1 演習問題 1 statistical_physics/quiz/演習 1.docx 【1】サイコロをふって

演習問題 1
statistical_physics/quiz/演習 1.docx
【１】サイコロをふって，出た目の数を x とすると， x = 1,2, 3, 4,5,6 である．そ
れぞれの目が出る確率は等しく， 1 / 6 である．
１） x の期待値 x
を求めよ．
２） x 2 を求めよ．
３） ( x − x
)
2
=
35
を示せ．
12
サイコロを N 回ふる． j 回目のサイコロの目を x j として，次式を定義する．
N
X = x1 + x2 + ...+ x N = ∑ x j
j=1
４） X を求めよ．
５） ( X − X
)
2
を求めよ．
(
)
６） X の平均値 X からの相対誤差が， O 1 / N であることを示せ．
【２】図のように体積 V の容器に気体が封入されている．気体の分子数を N と
する．この容器内に，体積 v の小領域を考え，小領域内の気体分子の数を n とす
る．
１） n の期待値 n を求めよ．
２） ( n − n
)
2
を求めよ．
(
)
３） n の平均値 n からの相対誤差が， O 1 / N であることを示せ．
1
＜解答＞
【１】１） x =
２） x 2 =
1
7
× (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) =
6
2
1
91
× (12 + 2 2 + 32 + 4 2 + 5 2 + 6 2 ) =
6
6
３） ( x − x
)
2
2
= x2 − x
N
=
2
91 ⎛ 7 ⎞
35
−⎜ ⎟ =
6 ⎝ 2⎠
12
N
7 7
= N
2
j=1 2
４） X = ∑ x j = ∑
j=1
５）
N
N
N
N
j=1
i=1 j( ≠i )
X 2 = ∑ ∑ xi x j = ∑ x 2j + ∑ ∑ xi
i=1 j=1
右辺第２項では， i ≠ j のとき xi x j = xi
xj
xj
であることを用いた．
１）の結果より， xi = 7 / 2 ，また，２）の結果より x 2j = 91 / 6 だから
X2 =
91
49
49 2 35
N+
N ( N − 1) =
N +
N
6
4
4
12
６） X の分散は
(X −
X
)
2
= X2 − X
2
=
49 2 35
49 2 35
N +
N−
N =
N
4
12
4
12
よって，相対誤差は
(X −
X
X
)
2
=
35
N
12 = 5 × 1 ∝ 1
7
21
N
N
N
2
【２】１）１つの気体分子が小領域内にある確率は p =
n = Np =
v
だから，
V
v
N
V
2
２）N 個の気体分子のうち，j 番目の気体分子が小領域に存在する状態を，n j = 1
とあらわす．小領域に存在しない場合は， n j = 0 である．この変数 n j を用いる
と，小領域内に存在する気体分子の数 n は，次式で書ける．
N
n = ∑ nj
j=1
明らかに， n j = p ．また， n 2j = 12 × p + 0 2 × (1− p ) = p である．これらを用い
ると
N
N
N
n 2 = ∑ ∑ ni n j = ∑ n 2j + ∑ ni n j = Np + N ( N − 1) p 2
i=1 j=1
j=1
i≠ j
よって
(n − n )
2
= n2 − n
2
= Np + N ( N − 1) p 2 − N 2 p 2 = Np (1− p )
３）前問の結果より，
(n − n )
n
2
=
Np (1− p )
1− p 1
1
=
∝
Np
p
N
N
3