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無次元性能指数(ZT)と熱電変換効率()
熱電発電では、負荷における電力が、仕事(W[W])として取り出すことができるエネルギ
ーなので、負荷の抵抗を R[]とすると仕事は
W  I 2R
(1)
ここで、I[A]は回路に流れる電流である。今、p 型と n 型の
半導体で構成される一対のモジュールを考えると(図 1)、
回路に流れる電流は
I
( p   n )(Th  TL )
Rr
(2)
ここで、[V/K]はゼーベック係数で、r[]はモジュールの
内部抵抗である。添字 n と p は、n 型と p 型の物性値に対
応する。接合抵抗や配線抵抗が、半導体素子の抵抗に比べ
て無視できるほど小さい場合、r は
r
Lp  p
Ap

Ln  n
An
図 1 熱電モジュール（1 対）
(3)
L:半導体の長さ、A:半導体の断面積、:電気抵抗率である。
一方、使用するエネルギー(q)は
q  K (Th  TL )  ( p   n ) ITh 
I 2r
2
(4)
となる。第一項は熱伝導により流入する熱エネルギー、第二項はペルチェ効果により流入
するエネルギー、第三項はジュール熱により高温側へ戻されるエネルギーである。(ジュー
ル熱の係数 1/2 は、発熱を含む熱伝導方程式を図１の場合に適用することで求められる。
定性的には、半分の熱が高温側へ半分の熱が低温側へ流れると理解することができる) 式 4
中の K[J/K]は熱抵抗の逆数で熱伝導率を[W/mK]とすれば
K
 p Ap
Lp

 n An
Ln
(5)
以上より、熱電モジュールのエネルギー効率は

W
q
(6)
内部抵抗 r と負荷 R との比を M とし、効率を最大とするように M を決めると(すなわち、
d/dM=0 となる場合)、M は以下のようになる。
M  (1  ZTM )1 / 2
(7)
ここで TM は、Th と TL の平均温度で、Z は以下を表す。
Z
( p   n ) 2
[( p  p )1 / 2  ( n  n )1 / 2 ]2
(8)
M を用いると、最大の効率は以下のように表される。

(Th  TL ) ( M  1)
Th
( M  TL Th )
(9)
9 式の第一項はカルノー効率(理想的な熱機関の効率で最も効率が高い)で、第二項はそれに
対する比率を表していることがわかる。また、効率を上げるには、高温動作が有利で、ま
た Z が高い材料が必要であることもわかる。
図 2 は、低温側を室温とした場合の熱効
率を表している。現在、研究レベルでは
ZT=2.2 が 900K で達成 1)されている。
図３は、図２のデータをカルノー効率に
対して書き直したものである。ZT が高
いほど、理想的な熱効率に近づき、高効
率の材料ではカルノー効率の 3 割程度
であることがわかる。
Reference
1) K. Biswas et al., Nature, 489, 414(2012).
図 2 熱電モジュールの熱効率
図 3 熱電モジュールのカルノーサイクルに対する熱効率