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電磁気全般の話
1
電磁気の構成
2
電磁気が関係した現象、応用
医学
生体内：膜、神経
測定方法：NMR、心電図、血糖値測定、など。
自然現象
雷
地球の磁場、宇宙の磁場
日常生活
身の回りの電磁波
スマートフォン、携帯電話
送電線 ガンの原因の１つとも言われている。
電気製品：テレビ、洗濯機、など。
興味のある人はレポート課題で調べてみて下さい。
3
ある年のレポートのテーマ分布
医療関係18
MRI(磁気共鳴画像法)and/or NMR(核磁気共鳴)11
PET(ポジトロン断層撮影)２、ベータトロン１
X線CT、心電図、光ピンセット、電磁波の生体への影響（ガン）
製品7
電磁誘導３
自転車のライト、綿菓子作り、
IH (電磁誘導加熱)調理
電磁波４
電子レンジと携帯電話、
GPS測量(カーナビ)、ラジオ放送、TVのアンテナの形
電磁波５。
電磁波、電波、赤外線、電波の測定、ピラミッドの謎
自然 ７
オーロラ４、雷２、プラズマ１
エネルギー３
燃料電池、電気エネルギーの損失、エアコン
コンピュータ関係２
記録の物理、メモリ。
他 ２
大学と高校の電磁気の比較。原子と原子核の大きさの実験、
4
ここからベクトルの話
5
２つの表記方法
1)場の考え方：
オイラー(Euler)の考え方 z
A(r, t )
y
2)粒子についていく考え方。
ラグランジュ(Lagrange)
電磁気だと、
x
A(r  Δr, t  t )
A(r, t )
・電場 E(r,t)を考えるのは、場の考え方。
・荷電粒子を追いかけて行くのは、ラクランジュの考え方。
6
「場（ば）」の考え方
場：field
電磁気や流体力学では、「場」の考え方を使う。
座標と時間を指定すると、
ある場の量が決まる。（スカラー、ベクトル）
電場、磁場、電荷、粒子密度など。
z
 (r, t )
空間の各点で定義される。
A(r, t )
y
x
２次元スカラー場の例は以前図示した。  ( x, y)  xy
問題1
問題2
２次元ベクトル場
A( x, y)  x, y  を図示せよ。
A( x, y)   y, x  を図示して前問の結果と比較せよ。
ヒント:座標上のいろいろな点において、矢印を書く。
7
ベクトルの矢印
追加ページ
y
(1,3)のベクトルを図示せよ。
（数学のベクトルとして）
数学の場合は特に指示がなければ、
原点を始点にして、
x方向1, y方向に3進んだ点を
終点とする矢印を書く。
-1
3
2
1
1
0
-1
2
x
8
ベクトル場の書き方の説明
A( x, y)   y, x
ベクトル（矢印）
場所
（矢印の始点）
例：
A(1,2)   2,1
追加ページ
y
2
1
0
1
2
x
(1,2)を始点とする、
ベクトル（-2,1)の矢印を描く。
x方向へ-2, y方向へ+1
行った場所がベクトルの終点になる
9
補足：ベクトル
数学のベクトル：自由に平行移動してよい。
y
ベクトルの成分表示
A  3,2
2
1
0
1
2
x
物理のベクトル：平行移動できない。
y
作用点（始点）が大事。
例：点(1,1)において、
ベクトル(3,2)を書け。
2
1
0
1 2
x
10
偏微分(へんびぶん）
前期の復習
教科書p.376
partial differentiation
２変数以上の関数で、１つの変数について微分する

x
：xについて微分する。(ｙを一定とみる）
11
前期の復習
偏微分の記号

f
x
読み方はいろいろある。
・ラウンドディー
・パーシャルディー
・ディー
英語では、
・rounded d
・partial d
・d
英語なら、rounded d over rounded x
日本語なら、ラウンドx 分の ラウンドf
または ディーf, ディーｘ
（これだと普通の微分と同じ読み方になるので、
ラウンドの方がよい。）
12
前期の復習
偏微分の例
p( x, y)  x y  sin x cos y  x
3
xについての偏微分
2
（yは定数だと思って微分する。）
p( x, y)
2 2
 3x y  cos x cos y  1
x
yについての偏微分 （xは定数だと思って微分する。）
p( x, y )
3
 x  2 y  sin x  ( sin y )
y
 2 x y  sin x sin y
3
13

場の微分
 
grad   
,
 x
ベクトル

,
y
 

z 
A  Ax , Ay , Az 
ラウンド
gradient: 勾配
グラジエント
に対して、
Ax Ay Az divergence:湧き出し、
divA 


吸い込み
x
y
z ダイバージェンス
Ay Ax
 Az Ay
Ax Az
rot A  

,

,

z
z
x
x
y
 y
rotation:回転
ローテーション
14



場の微分

   ,
 x
問題１
grad    ,

,
y
∇：ナブラ
  を使えば、

z 
div A    A, rot A    A
と書けることを示せ。
内積
外積
補助問題：２つのベクトルPとQに対して、内積と外積の
角度を使った定義および成分表示を書け。
問題2
ベクトル場
divA
rot A
A( x, y)  x, y 
に対して、
を計算せよ。
A( x, y)   y, x  についても同様に求めよ。
ヒント ２次元ベクトルはz成分が0の３次元ベクトルと
と考えてrotを計算する。
15
教科書
p.378-379
ここから面積積分の話
16

場の微分
 
grad   
,
 x
ベクトル

,
y
 

z 
A  Ax , Ay , Az 
ラウンド
復習
gradient: 勾配
グラジエント
に対して、
Ax Ay Az divergence:湧き出し、
divA 


吸い込み
x
y
z ダイバージェンス
Ay Ax
 Az Ay
Ax Az
rot A  

,

,

z
z
x
x
y
 y
rotation:回転
ローテンション
17



divとrotの意味
復習
y
y
2
11 2
0
2
11 2
0
divA  2
rot A  (0,0,0)
x
x
divA  0
rot A  (0,0,2)
divは湧き出しや吸い込みを示す量。
rotは回転を示す量。回転軸の方向もわかる。
18
べき関数の微分
微分の定義は
df
f (x + h) - f (x)
= lim
dx h →0
h
前期の復習
（数２）
微分の定義を使って、関数の微分を求めた。
a) f ( x) = c(定数）
->
f ( x)  0
b)
f (x) = x
->
f ( x)  1
c)
f (x) = x 2
->
f ( x)  2 x
d)
f (x) = x
->
f ( x)  3x 2
e)
f (x) = x
3
n
nは自然数 ->
n 1

f ( x)  nx 19
積分は微分の逆
数２の復習
 dx  x  C
2
x
 xdx  2  C
3
x
2
 x dx  3  C
 af ( x)dx a f ( x)dx
  f ( x)  g ( x)dx 
 f ( x)dx   g ( x)dx
n 1
x
 x dx  n  1  C
n
C
は積分定数
20
積分とは
積分はたし算： 微小量をたくさん加える。
・高校の数学の積分は、
１次元（直線上）。F ( x) 
 f ( x)dx
・大学では、いろいろな領域での積分
1) 線積分
2) 面積積分
3) 体積積分
積分する領域によって名前が付いている。
21
面積積分
y
xy面上の小さい面積要素を考える。
dS  dxdy
ある面Ｓ上で関数f(x,y)を積分する
ことができる。
 f ( x, y)dS   dx dyf ( x, y)
問題
dS
dy
dx
x
(1)
関数f(x,y)=xyについて、
0≦x≦1, 0≦y≦1の正方形上で
上記(1)の積分を求めよ。
次の問題で、方向を加えた面積積分を考えます。
22
補足
f ( x, y)
の意味
f (x)
変数x, yの関数
変数xの関数
f ( x, y)  xy　の意味
ある関数f(x,y)の関数形がxy
f ( x)  x 3
　2
関数f(x)の関数形が23
x 2 3
　補足
なぜ dS  dxdy
か？
dxはx軸方向の微小量
dyはy軸方向の微小量
dx
すると、xy面に平行な面の
微小面積dSは、
dS  dxdy
0
x
(dxとdyのかけ算の意味）
になる。
y
dS
dy
dx
x
24
ここから
方向を含む面積積分の話
25
方向を含む面積積分
dS  ndS
ベクトル
dS
n
dSは面積の微小量。スカラー
nは法線ベクトル
面に垂直なベクトル。
外向けをプラスにとる。
一般には法線ベクトルの長さはいろいろであるが、
ここでは単位ベクトル（長さが１）にする。
26
法線ベクトル補足
normal vector
垂直なベクトル
２次元空間内：
線上の法線ベクトル
（直線でも曲線でもよい）
３次元空間内：
面上の法線ベクトル
（平面でも曲面でもよい）
直線上のどの点でも
法線ベクトルの
方向は同じ
場所によって
方向が違う
27
方向を含む面積積分
dS  ndS
なぜ、わざわざ法線ベクトルをかけて、
方向のある面積積分にするのか？
dS
n
流れ出す量を表すには、法線ベクトルと内積を取ると便利
A
A
n
A n
が大きい
面から流れ出る量が多い。
n
A n
A
水の流れ
n
面の法線
ベクトル
が小さい
面から流れ出る量が少ない。
28
方向を含む面積積分の問題
問題
ベクトルA=(y,x,0)に対して、
面S: 0≦y≦1, 0≦z≦1, x=1 の正方形上で
A

dS

を求めたい。
z
S
1) 右の図をノートに書き、
0
x
正方形を図示せよ。
2) この正方形の法線ベクトル
を求めよ。
（ただし、原点から見て外向けの方向にとる。）
3) 正方形上の点(1,y,z)における
を求めよ。
4)
をこの面上で求めよ。
y
n
dS
A  dS
5) 積分
 A  dS
S
を求めよ。
29
補足
x=1は１次元では点、２次元では線、３次元では面を表す。
y
z
y
x
0
1
0
1
x
x
0
1
30
式x=1が３次元では面を表す
(1)１次元、２次元、３次元と増やしてみて理解する。
（前のページ）
(2) x=1は、x座標が一定であることを示す。
ある点のx座標は、yz平面への距離。
平面から距離一定の点の集合は、平面になる。
例： 教室の壁から一定の距離にある点の集合は、
壁に平行な面になる。
31
補足：スカラー場とベクトル場
スカラー：１成分、方向がない。
例 温度
個数
面積
dS  dxdy
体積
密度
ベクトル：２成分以上。矢印で表す。
例
速度ベクトル、
加速度ベクトル
電場、磁場（後で電磁気でやります。）
方向を持った面積要素
dS  ndS
32
ここから
ガウスの定理
33
ガウスの定理（divergence)
後で電磁気で使います。
ベクトル場Ａに対して
A

d
S

(div
A
)
dV


S
V
表面積全体の
積分
dS
S
(1)
V
わきだし
体積内の積分
表面に垂直、外向きのベクトル
34
ガウスの定理の補足
A

d
S

(div
A
)
dV


S
(1)
V
・コメント「面積積分＝体積積分が疑問」について
両辺の単位を比較してみる。
divは場所に関する微分が入っている。
両辺とも（長さ）の２乗の単位になる。
・コメント「左辺はベクトル、右辺はスカラーで積分？」
左辺は内積を取っているので、スカラーになる。
右辺のdivAもスカラーになる。
したがって、両辺ともスカラーになる。
35
定積分の補足
 f ( x)dx
不定積分：場所を指定しない積分
定積分：決まった場所での積分
高校の定積分
１次元で積分：区間を指定
大学の定積分：３次元空間内
面上の積分

S
dS

b
a
f ( x)dx
立体の中の積分

dV
V
どこで積分するかを、
積分記号の下または右下に書く。
36
ガウスの定理（divergence) 続き
S
ベクトル場Ａに対して
A

d
S

(div
A
)
dV


S
V
(1)
V
わきだし
意味
ある立体の表面積から出ていく流れは、
内部からの湧き出しと同じ。
37
ガウスの定理の証明
)dV
 A  dS   (div A　S
(1)
V
問題１ 微小直方体（１辺Δx, Δy, Δz)に関して、
(1)式の右辺と左辺をそれぞれ書いて変形し、
(1)が成立することを示せ。
S
V
小問に分けると、
1) xy面に平行な２面に関して、それぞれ法線ベクトルを図示せよ
2) 法線ベクトルの成分を書け。
3) 1)の面に関して、スカラーのdSはdx, dy, dzを使って
どう書けるか。
4) ベクトル dS を求めよ。
5) 1)の２つの面について、 A  dS を求めなさい。
S
ただし
A  ( Ax , Ay , Az )

6) ６面について(1)の左辺を計算せよ。
38
ここで微分の復習
39
微分の定義
前期の復習
教科書p.367-368
y = f(x) の微分
df
f ( x  x) - f ( x)
 lim
dx x→0
x
関数
Δ
デルタ と読む。
Δｘ
xが少し変化した量
lim
lim
x 0
引き算と割り算
limitの略。極限、限度。
Δｘが0に近づいた時の値。
xが少しだけ変化した時に、y=f(x)がどのくらい変化するか
割合を示す。 微分の図形的意味は後のページへ。
40
前期の復習
微分の補足
Δxとは xの増分（＝増加した分）
もし、xがΔｘだけ増えると、
x → 0
x
x + x
x
とは
x
がどんどん小さくなること。
41
直線の傾きとは
前期の復習
y
Δy
Δｘ
0
y
直線の傾き＝
x
x
傾斜が急かどうかを表す。
42
曲線の傾きとは？
その点での接線の傾き。
場所によって傾きが違う。
青い点での傾き大きい
赤い点での傾き小さい
43
接線の傾きをどう定義するか？
前期の復習
y=f(x)
直線の傾きを求めるには、２点必要.
44
接線の傾きをどう定義するか？
前期の復習
赤い点での傾きを求めるには、
曲線上の点（黄色）との傾きを求める。
黄色、緑、青と近づけると、
赤い点での傾きに近くなっていく。
45
微分の図形的意味
y
df
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x0
x
y=f(x)
前期の復習
f(x+Δx)
接線
f(x)
x
青い点線の傾きが
x+Δx
x
f ( x  x)  f ( x)
x
Δxが0に近づくと、青い実線に近づいていく。
df
dx
は接線の傾きを現す。
46
微分の復習、終わり
47
偏微分の場合も同様
df
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x0
x
zについての偏微分は、
Az ( x, y, z)
Az ( x, y, z  z)  Az ( x, y, z)
 lim
z 0
z
z
48
偏微分の場合も同様
df
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x0
x
zについての偏微分は、
Az ( x, y, z)
Az ( x, y, z  z)  Az ( x, y, z)
 lim
z 0
z
z
limを省いて書くと、
Az ( x, y, z) Az ( x, y, z  z)  Az ( x, y, z )

z
z
両辺にΔzをかけて、左辺と右辺を入れ替えると、
Az ( x, y, z )
Az ( x, y, z  z )  Az ( x, y, z) 
z
z
49
ここから
連続の式
50
連続の式
問題２ ガウスの定理(1)を使って、流体に関する連続の式
d
  divv   0
dt
を示せ。

v
流体の密度
流体の速度
51
問題２の解説（連続の式を導く）
流体の場合、
 ( x, y, z, t )
場所(x,y,z)だけでなく、時間tによ
単位時間で
ある領域内の変化＝入ってくる量－出ていく量
d
dV   v  dS

S
dt V
dS
(1)
vは単位時間の変位。
面に平行な方向の流れは、出入りに関係ない。
vが外向けの時、dSとの内積がプラス。
外向けの流れで領域内の水量が減る。
dS
流体中に仮想的な箱を
考える。
（本当の箱を置くと
流体が箱にぶつかって、
流れが乱れるので
仮想的な箱）
(1)式が定義できるには、
・定量化されている必要。ρ（密度）が定義できるか。
・領域が定義できるか。
52
流体の密度
 ( x, y, z, t )
ρ as a function of
x, y, z and t
補足
f(x)は１変数の場合。
f of x
f as a function of x
x, y, z, tの関数
場所(x,y,z)だけでなく、
時間tによっても違う
53
仮想的な箱でないとなぜ乱れるのか？
本当の箱を流れの中に置くと、水は箱をよけて流れる。
54
流体の密度の解説
 ( x, y, z, t )
v( x, y, z, t )
ある時間tにおける、ある場所(x, y, z)での密度と速度
55
左辺の意味

dV

密度の体積積分
＝体積内の質量全体
V
d

dV

dt V
質量の時間変化
56
  v  dS
右辺の意味
S
v
密度x 速度 = 質量の流れ
（単位時間に単位面積から
出る質量）
kg/m3 × m/s = kg/m2s

S
v  dS
面Ｓから出る質量の流れ
次のページに図
57
ｖ方向による違い。
d

dV



v

d
S


S
dt V
v
外
内
n
速度が外向けの時、
右辺の内積は正。
右辺全体は負。
左辺で質量が減るので負。
dS  ndS
v
n
速度が内向けの時、
右辺の内積は負。右辺全体は正。
左辺で質量が増えるので正。
58
教科書p.380-382
線積分
ストークスの定理
59
積分
integration
微分
（元の意味は統合）
積分はたし算：
微小量をたくさん加える。
・高校の数学の積分は、
１次元（直線上）。
differentiation
（元の意味は差別化）
「差」を取る。
 f ( x)dx
・大学では、いろいろな領域での積分
1) 線積分
曲線上での積分
2) 面積積分 面での積分
3) 体積積分 立体の体積内での積分
積分する領域によって名前が付いている。
 A  dl
C
A

d
S

S
 f dV
V
60
積分の基本的性質
高校の数学の１次元積分では、

b
a
a
c
c
b
a
b c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
大学では、もっと一般的に領域の積分を考える

A
 
B

A B
領域Ａでの積分＋領域Ｂでの積分＝領域「A＋Ｂ」での積分
61
線積分
ベクトル場Ａに対して
 A  dl
dl
C
を考える。
dl
エル。lineから
ある曲線Cに沿った
微小ベクトル
積分すると長さになる。
微小ベクトルとは。
高校の数学で、dxやΔxは勉強した。スカラーの微小量。
では微小ベクトルはどのような量か？
長さが微小。方向は変わる。
62
線積分の例題
問題 図のように、xy面上に原点を中心とする、
一辺の長さ２の正方形がある。
A=(y,-x)とする。
A
-1
(1) 辺AD上で図の方向のベクトル
(2) 辺AD上で
 A  dl
dl
を求めよ。
を求めよ。
B
y
0
1
D
x
1
C
-1
AD
(3)他の辺についても同様に積分を求め、正方形の周囲全体で
 A  dl
を求めよ。
C
63
ここから
ストークスの定理
64
ストークスの定理
後で電磁気で使います。
ベクトル場Ａに対して
)  dS
 A  dl   (rot A　C
S
(1)
dS
表面に垂直、外向きのベクトル
dS
Cは曲面Sの周囲
問題 微小長方形（１辺Δx, Δy)に関して、 y
(1)式の左辺と右辺をそれぞれ書いて変形し、
(1)が成立することを示せ。
dl
Δy
Δx
x
65
divとrotの意味
y
y
2
11 2
0
2
11 2
0
x
rot A  (0,0,0)
回転していないベクトル場は、
rot A がゼロになる。
x
rot A  (0,0,2)
回転しているベクトル場は、
rot A が回転面に
垂直方向になる。
66
ストークスの定理の意味 面Ｓでのベクトル場の回転を
右辺
２通りの方法で表現している。
(rot
A
)
d
S

dS  ndS
S
rot A
は回転を表すベクトル。
面Sの法線方向の成分
( rot A)  n
は、面Ｓでの回転を表す。
rot A
回転していない場では、
rot A  0
回転している場では、
が回転面と
垂直方向になる。 67
rot A
ストークスの定理の意味
 A  dl
左辺
C
A
A  dl  0
dl
回転していない場では、
経路上の微小ベクトルとの
内積がゼロになる。
A
A  dl  0
dl
ベクトル場が回転していると、
内積が値を持つ。
68
ストークスの定理の補足
長さの単位をm（メートル）とした時に、
ストークスの定理の両辺の単位が何になるか、
説明して下さい。
69
ガウスの定理（divergence)
以前見せたパワーポイント
ベクトル場Ａに対して
A

d
S

(div
A
)
dV


S
表面積全体の
積分
V
S
(1)
V
わきだし
体積内の積分
これがヒント。
補足：コメント「面積積分＝体積積分が疑問」について
両辺の単位を比較してみる。
divは場所に関する微分が入っている。
両辺とも（長さ）の２乗の単位になる。
70
ストークスの定理の場合
A

d
l

(
rot
A
)

d
S


C
S
左辺は長さの積分なので、
単位は(Ａの単位) ×m
右辺の面積積分の単位は、m2
rotA
は微分が含まれているので、
単位は,（Ａの単位）/m
よって右辺の単位は
（Ａの単位）/m × m2 = （Ａの単位）×
左辺の単位と等しくなる。
m
になり、
71
３次元極座標をやる前に
復習をします。
１．三角関数の復習（高校数学）
２．２次元極座標の復習（高校の数学Ｂ）
３．円筒座標の復習（前期）
72
三角関数の復習
高校の数学１，数学２
図のように、直角三角形を置く。
（角度φが水平からの角度、直角部分が右下）
水平の辺
cos  
斜辺
垂直の辺
sin ＝
斜辺
斜辺
φ
垂直の辺
水平の辺
高校では、角度はθ（シータ）を用いたが、
後で極座標や円筒座標と比較するために、
φ（ファイ）を使っている。
73
２次元極座標
高校の数学３の復習
質点の位置P(x,y)を２次元極座標(r,φ)で表す。
x  r cos 
y  r sin 
y
P(x,y)
r
r≧0
0≦φ＜2π
0
φ
x
高校ではθを使うが、
後の都合でφを
使っている。
74
質問：なぜφの範囲を0からπにして、
rをマイナスも考えないか？
ぐるっと回った時に、
rがプラスからマイナスになるのは、
不連続な変化になってしまう。
y
0
x
rはずっとプラスにしておく。
75
２次元極座標、続き
r=一定の図形
y
半径rの円
x
0
φ=一定の図形
半直線
y
0
x
76
円筒座標系（前期の復習）
77
教科書p.2の1-1図の右
円筒座標系
z
質点の位置P(x,y,z)を円筒座標(r,φ,z)で表す。
x  r cos 
y  r sin 
zz
0
x
P(x,y,z)
φ r
Q
点P(x,y,z)のxy平面上への射影を
Qとする。
OQの長さがr, x軸からOQへの角度がφ
φ(ファイ） 角度によく使う記号。
0≦φ＜2π
z=0にすると、２次元極座標になる。
78
y
円筒座標系：大きく書くと
質点の位置P(x,y,z)を円筒座標(r,φ,z)で表す。
x  r cos 
z
P(x,y,z)
y  r sin 
zz
0
φ
x
y
r
Q
79
円筒座標系の問題
前期の復習
問題 「r=一定」「φ=一定」「z=一定」は
それぞれどのような面になるか。
それぞれ３次元空間内に図示せよ。
80
教科書p.2の1-1図の右
前期の復習
円筒座標
z
P
0

x
P(x, y, z)
y
r
Q
x  r cos 
y
xy平面
y  r sin 
Q
r

O
zz
x
81
一定の図形
z=一定
x
前期の復習
z
0
xy面からの距離が一定。
無限に広がる平面
y
r=一定
r
x
0
y
円筒座標のrの定義に注意。
xy平面に射影した時の原点からの
距離
（つまり、z軸との距離）
r=一定は、円筒の側面になる。
上下に無限に続いている。
82
一定の図形、続き
前期の復習
φ一定
φはxy面上に射影した時の、
x軸からの角度。
0
x

y
φ=一定の図形は、
半平面。上、下、rが大きくなる方向
には無限に広がる。
z軸の反対側には行かない。
φの範囲は0から2π。
反対側は違うφになる。
83
参考：極座標（後期に詳しくやります。）
z
θ
0
x

P
P(x,y,z)
z
r
Q
r
Q
θ
y
O
y
y
Q
O

x
x
角度が２種類必要。片方がθ、もう片方がφ。
-> 円筒座標の角度φと同じ測り方。
rの取り方が違うことに注意。
極座標では原点からの距離。
円筒座標では、xy面上に射影してから、原点からの距離。
極座標は球対称な場を考えるときに使う。
例：電荷が球状に分布している場合。
84
円筒座標を使うメリット
・円運動、らせん運動、円筒の
対称性を持つ系
（例えば直線電流の周りの磁場）を
扱いやすい。
85
３次元極座標
86
補足
不等号
同じ意味です。
≦
高校ではこちら
水平線が２本。

大学ではこちらが多い。
水平線が１本。
87
３次元極座標
教科書p.2の図1-1の真ん中の図も参照
z
P(x,y,z)
ある点Pの直交座標(x, y, z)と
極座標(r, θ、φ）の関係
r
θ
0
r: 点Pから原点までの距離
y

θ：z軸からOPへの角度
x
Q
φ：x軸からOQへの角度
（点Qは点Pをxy平面に投影した点）
問題 直交座標x, y, zと、極座標r, θ、φの関係は
以下であることを示せ。
x  r cos  sin 
0    2π
y  r sin  sin 
0   π
z  r cos 
0r
←不等号に注意
θは両方とも
≦(イコールあり）
88
なぜθはπまで、φは2πまでか？
y
θ
r
0
θ
x
２次元空間は、x,yの正負により、４つの象限に分けられる。
２次元極座標だと、角度は１個でよくて、0から2π。
89
なぜθはπまで、φは2πまでか？
z
P(x,y,z)
θ
φ
0
x

r
y
Q
３次元空間は、x,y,zの正負により、８個の象限に分けられる。
角度は２個必要。１個めの角度が0から2πで平面上の回転。
２個めはz方向の角度で、0からπでよい。
（もしz方向も0から2πにすると、余分になる。）
90
３次元極座標の問題
z
P(x,y,z)
θ
0
x

x  r cos  sin 
0    2π
y  r sin  sin 
0   π
z  r cos 
r
0r
y
問題4 ３次元空間内で、以下の図形をそれぞれ描け。
（別々の図にすること。）
(a) r=一定、
(b) φ=一定、
(c) θ=一定、
(d) r＝一定、φ=一定
(e) r=一定、θ=一定、
(f) φ=一定、 θ=一定
91
次に、３次元極座標で
体積の微小部分を求める
92
３次元極座標
z
P(x,y,z)
θ
0
x

教科書p.2の図1-1の真ん中の図も参照
x  r cos  sin 
0    2π
y  r sin  sin 
0   π
z  r cos 
r
0r
y
問題１ 極座標の基本単位ベクトル e r , e , e
を図に描け。
(r,θ,φが増える方向の単位ベクトル）
問題2 体積の微小部分を３次元極座標で書くと、
dV  r 2 sin drdd
(1)
と書けることを示せ。（図を描いてみること。)
問題3 式(1)を「r≦a、φ、θは全範囲」で積分して、
半径aの球の体積が得られることを確かめよ。
93
体積の微小部分とは
(x, y, z)座標
z
dz
dx
P(x, y, z)
ez
x
ex
dy
ey
0
dV  dxdydz
y
x,y,z方向に長さa, b, cの直方体の体積を
積分で求めるには、
V   dx  dy  dz  x y z   abc
a
b
c
0
0
0
a
0
b
0
c
0
94
平面角と弧の長さ
扇形の弧の長さ=

θ
r

θ
r

θ
θ
r
  r
 単位はラジアン
半径x 中心角
 
  r
半円の場合
円の場合
  2
  2 r
95
教科書
p.229
数学編の最後：
立体角
96
平面角
(高校の数学)
半径１の円上の弧の長さ。
0から2πの範囲。 単位：ラジアン(rad)
1
O
θ
立体角：
空間的な広がりを表す量
中心０から半径1の球に投射した時の
球上の面積
単位：ステラジアン(sr)
O
Ω
別の表現
点Ｏから出る半直線が、半径１の球の表面に
切り取る面積
次のページで図解
97
立体角の図解
（球の半径が1の場合）
大きな立体角
小さな立体角
(a)
立体角<2π
(b)
(c)
2π<立体角<4π
立体角=2π
（半球の表面積）
(d)
立体角=4π
（球の表面積）
98
問題：
ある閉曲面上の微小面積dSの法線ベクトルnが
ベクトルrとなす角をθとする。
dSが原点Ｏに対して作る立体角をdΩとする。
この時、
cos 
d  2 dS
r
であることを、図を使って説明せよ。

n 
大文字の「オメガ」
抵抗の単位として使う時は、
「オーム」とも読む。
r
dS
O
ω 小文字のオメガ
99
ここから、
電磁気
100
電荷とは
electric charge
静電気
セーターを脱ぐ時
ドアに触った時など、
パチパチ音がすることがある。
物体が電気を帯びている。
これを「電荷」と呼んでいる。
1C(クーロン): 1A(アンペア）の電流が１秒間に運ぶ
電気の量
電子１個の電荷：
1.6 x 10-19クーロン
101
教科書p.225-226
クーロンの法則
電荷Q1からベクトルｒの位置にある電荷Q2が受ける力は、
ベクトルで書くと、
1 Q1 Q 2
F
er
2
4 0 r
単位
Q: C(クーロン)
r: m
F: N(ニュートン)
Q2
Q1
同じ符号の電荷
の時に反発力
前についている定数の値
0
1
k
=9.0 x 109 N・m2/C2
4 0
真空の誘電率
er
動径方向の
単位ベクトル
r
er 
r
前期に
やった
「誘電」の意味は後で。
102
定理と法則の違い
定理 theorem
数学で使う。証明できる。
例：３平方の定理
ガウスの定理、ストークスの定理
法則
law
自然科学、社会学、日常用語にも使う。
証明できる法則も、経験則もある。
例：電場に関するガウスの法則
クーロンの法則。オームの法則。
103
クーロンの法則の補足

イプシロン
誘電率の意味は後で出てきます。
今はとりあえず、何かの定数だと思って下さい。
104
MKS単位系
m(メートル), kg(キログラム）,s(秒）
を使って表した単位系。
電磁気ではこれに、
C(クーロン)またはＡ(アンペア）を
加えて使う。
105
クーロンの法則（補足）
1 Q1Q2
F
er
2
4 0 r
経験則（実験から発見）
18世紀後半にクーロンさんが法則として
提唱した。
106
クーロンの法則
問１
1
k
4 0
1 Q1Q2
F
er
2
4 0 r
の単位を、クーロンの法則から求めよ。
m(メートル), s(秒)、kg(キログラム), C(クーロン）
を使って書け。
補助問題：力Fの単位を、m, ｓ, kgを使って書け。
問2 ２つの電荷の間に働く力を大きくするには、
どうすればよいか書け。
問3 距離rを横軸にして、クーロン力のグラフを書け。
問4 xy面上の原点に正の電荷Q1を置く。
いろいろな点に正の電荷Q2を置いた時に、受ける力を
ベクトルで書け。
107
クーロン力の特徴
1
r2
長距離力。
純粋なクーロン力はかなり遠くまで行っても減衰しない。
他の電荷で遮蔽されることが多い。（水中など）
たんぱく質の構造：電荷のクーロン力の効果が大きい。
電荷が変わると立体構造が変わる可能性。
（立体構造が変わると性質が変わる。）
例：狂牛病は、たんぱく質が正しくfold（折りたたみ）
しなくなる。
だが、なぜ正しくfoldしないかは明確ではないし、
間違ったfoldのたんぱく質を正しくする方法は
今の所ないらしい。
108
電場の定義
教科書p.227-230
電場 E
ある場所に単位電荷を置いた時に、受ける力。
電荷qの粒子に作用する力は
電位 
F  qE
単位電荷を無限遠から
その点まで運ぶのに要する
エネルギー
r
   Er dr

問題：閉じた曲面Sで囲まれた領域Vを考える。
領域V内の電荷をQとする。
Q
E

d
S



0
であることを、クーロンの法則を使って示せ。
ヒント：電荷が１個だとして、その電荷の位置を原点にして、
微小面積dSで原点への立体角を考える。
109
閉曲面（閉じた曲面とは）
大きさが有限で、空間を切り分けるような曲面。
中に水を入れて振っても水が漏れない。
閉曲面の例：球の表面。
開曲面の例：球面に穴があいた場合。
閉曲線：閉じた曲線
元の所に戻って来る曲線
110
いろいろな積分

閉曲線の積分（ぐるっと一周する積分）の
場合、積分記号に○を付けることがある。

面積積分の場合、２次元なので、
積分記号を２つ書く場合がある。
（省略して１個でもよい。）

体積積分の場合、３次元なので、
積分記号を３つ書く場合がある。
（省略して１個でもよい。）
111
電場に関するガウスの法則
Q
 E  dS   0
問題
電荷を電荷密度
 (r )
 (r )
div E 
0
教科書p.228の下から
ガウスの法則：
積分形
で書くと、上の式は、
ガウスの法則：
微分形
と書けることを示せ。
112
密度とは
密度＝
ある量
体積、面積、長さのどれか
例: 人口密度＝人口/ 面積
113
いろいろな密度
(1)体積密度 （普通の密度）
単位体積当たりの量
(volume) density
density per volume
電荷の場合
電荷密度、または
電荷の体積密度
単位
(2)面密度、または面積密度
単位面積当たりの量
area density
density per area
(3)線密度
単位長さ当たりの量
line density
density per length
C/m3
電荷の面積密度
単位 C/m2
電荷の線密度
単位 C/m
114
電荷密度とは
 (r)
単位体積の電荷
電荷/体積
単位は、C/m3
クーロン 毎 立方メートル
電荷密度を体積で積分すると、全部の電荷になる。
  dV  Q
115
ここから保存場の話
116
「経路によらない」とは。
英語で言うと、
does not depend on the path.
始点と終点を固定する。
どの経路をとっても、変わらない時、
「経路によらない」と言う。
117
保存場
教科書p26
一般に、あるベクトル場
r1

A(r) の経路Ｃに沿った積分、
A(r )  dr
r0
C
が経路によらない時、
A(r)
は「保存場」であるという。
（特に力の場合は「保存力」という。）
始点 r0
と終点 r1
を固定して、
経路Ｃを変化させても、変わらない場合が保存場。
保存力の例
重力、クーロン力（後で証明）
保存力でない例：摩擦力、空気抵抗
118
保存場の問題
一般に、あるベクトル場
r1

教科書p26
A(r) の経路Ｃに沿った積分、
A(r)  dr
r0
C
が経路によらない時、 A(r ) は「保存場」であるという。
（特に力の場合は「保存力」という。）
問題１ 保存場 A(r )
の
任意の閉曲線に沿った積分について、
 A(r )  dr  0
を示せ。
問題２
クーロン場は保存場であることを示せ。
119
問題１を微分形で書くと
)  dS
 A  dr   (rot A　C
S
左辺が任意の閉曲線に対して０なら、
rot A  0
保存力の微分形を使った定義
問題２のクーロン力の場合
E(r) 
Q
4 0 r
2
er
３次元極座標でrotを書いて rotE=0を示せる。
（余裕のある人は、やってみて下さい。）
120
保存場その２
教科書p.234
問題２により、
クーロン場は保存場なので、
r
   E  dr
r0
の右辺は経路によらず同じになる。
したがって電位が定義できる。
特に、動径方向に経路をとり、r0=∞にとると、
r
   Er dr

あるいは、
E   grad 
121
電位の補足
r
   Er dr
E   grad 

gradは勾配（傾き）を
表す。
電位は山の高さのようなもの。
正電荷を置いた時に、電位の低い方に動く。

r
具体的な例を後で考える。
122
電位と電場
教科書p.234
クーロン場は保存場。
違う経路でも積分

r
r0
E  dr
の値が変わらない
積分値を１つの記号で書ける。
r
電位
   E  dr
r0
特に、動径方向に経路をとり、r0=∞にとると、
r
   Er dr

逆は
E   grad 
123
静電場の例題
124
ガウスの法則
Q
 E  dS   0
教科書p.232, 236－237
積分は領域Vの面について。
Q:領域Vの「中」の電荷
問題 半径aの球の内部に、密度ρで一様に
電荷が分布しているとする。
この時の電場を球の外と中で求めよ。
電位も求めよ。グラフに示せ。
方法１：微小電荷からのクーロン力を積分する。（大変）
方法２：ガウスの法則を使う。
ガウスの法則は元々クーロンの法則を使っているので、
結果は同じになるはず。
ガウスの法則を使って計算してみて下さい。
ヒント：半径rの球内の電荷を考える。
125
ここから磁場の話
126
磁場の例
自然界
・地球磁場
地球内部でFeやNiが溶けている。
導電性で電流が流れると磁場を作る。
地磁気は反転している。
過去7600万年で171回。
一番最近は70万年前。
・宇宙磁場
生体内の磁場
電荷が動けば磁場ができる。
人間が作った電磁波
・携帯電話の電磁波
・医療機器
磁場を利用した計測。
例：MRI (磁気共鳴イメージング）
127
電流とは
電流Iは、電荷Qの流れ
dQ
I
dt
単位も割り算
単位時間にどれだけの電荷が
流れるか。
C(クーロン）
A(アンペア）　
s(秒）
交通流（交通の流れ）と似ている
１分間に自動車が何台通るか。
128
電流の作る磁場
教科書p.274, 275
ビオ・サバール(Biot-Savart)の法則
電流の微小部分 Ids
が
ある点Ｐに作る磁場は、
微小部分から点Ｐへのベクトルを
r とすると、
I
I
dH 
ds  r 
ds  e r
3
2
4 r
4 r
問題
I
ds
r
er 
r
r
P
磁場の単位は、
A/m
A:アンペア
電流Iが直線状に流れている時、
電流から距離bの点での磁場を
ビオ・サバールの法則から求めよ。
しかし対称性を使って、もっと簡単に出す方法もある。
（次のページ）
129
参考：ビオ・サバール(Biot-Savart)の法則
I
フランス人の物理学者、ビオさんとサバールさんが
1820年に発見した。
130
動径ベクトルの復習
z
r
er 
r の説明
er
r
O
x
r
r
er
y
動径ベクトル。原点から点Pまでのベクトル。
動径ベクトルの長さ
動径方向の単位ベクトル
したがって、
r  rer
P
r
er 
r
131
ビオ・サバールの法則：補足
電流の微小部分 Ids
が
ある点Ｐに作る磁場は、
微小部分から点Ｐへのベクトルを
r とすると、
I
I
dH
ds  r 
ds  e r
3
2
4 r
4 r
dは微小量
H
I
ds
r
×は外積
ds
I
r
P
磁場の単位は、
A/m
A:アンペア
r
er 
r
磁場
電流 単位はアンペア[A]
電流に沿った微小長さ
電流の微小部分から点Ｐまでの動径ベクトル
132
補助問題
1
f ( x) 
tan x
を微分せよ
前ではやりません。
133
電流の作る磁場
アンペールの法則
教科書p.276-279
対称性を使う方法
ある閉曲線の周りで磁場を積分すると、
この閉曲線を貫く電流Ｉに等しい。
問題1
問題２
H
ds

I
 s
I
Hs
電流Iが直線状に流れている時、
電流から距離rの点での磁場を、
アンペールの法則を使って求めよ。
ストークスの定理を用いて、上記のアンペールの
法則は、 rot H  j
と書けることを示せ。
電流密度。
j
は単位面積を流れる
134
ストークスの定理
（復習）
ベクトル場Ａに対して
A

d
l

(rot
A
)

d
S


C
Cは曲面Sの周囲
S
dS
表面に垂直、外向きのベクトル
dS
dl
135
135
電場と磁場の比較
クーロンの法則
ガウスの法則
1 Q
E
e
2 r
4 0 r
Q
 E  dS   0
対称性が高い場合に
便利
電荷があると、電場ができる。
ビオ・サバールの法則
アンペールの法則
I
dH  2 ds  e r
4r
H
ds

I
s

電荷が動くと電流になる。
電流があると磁場ができる。
発展問題（興味のある人はやってみて下さい。）
136
前回の電荷が一様に分布した球の作る電場を、
クーロンの法則から（対称性を使わずに）出してみよ。
対称性が高い場合、低い場合 とは。
オレンジの部分に電荷が分布している
場合の電場は、クーロンの法則を使って、
微小電荷からの電場を積分する。
対称性が低い
Er
青い部分に電荷があるとする。
中心から距離rの点では、
電場の大きさが等しいと考えられる。
（対称性が高い）
したがって、ガウスの法則を使って
計算できる。
137
ここから、導体と誘電体の話
138
導体
電気を通す。 例：金属
教科書p.237
電場があると、電子がすぐ動く。
電場の中で電荷が表面に来る。
導体内の電場はゼロ。
導体面上では電位が等しい。
E
導体が電荷Qを持ち、電位Vとする。
この時QとVにQ=CVが成立し、比例係数Cを
電気容量と言う。
単位はF(ファラッド)=C(クーロン)/V(ボルト)
- --
+ ++
+
表面だけに電荷

E
0
問題１：導体の表面の電荷密度がσである時、導体表面の電場は、
であることを、ガウスの法則を使って示せ。
問題２：２枚の平行な導体板でコンデンサーを作る。
極板の面積をS, 間隔をdとする時、
を示せ。
 0S
C
d
139
コンデンサー
電荷をためておくところ。
iPhoneにも使われている。
140
絶縁体 (誘電体）
教科書p247
電気を通さない。
例：空気、大部分の物質
電場中でも電子は少ししか動けない。
外部から見ると、表面だけに
電荷があるように見える。
（しかし誘電体のどこを切っても
同じように電荷分布している。
導体は中は電荷はいない。）
外から見ると
分極電荷：正負に分けて取り出せない。
E
中では
+
+
- +- + +
+
- + - ++
+
- ++
+ - ++
誘導分極
141
分極ベクトル
P
教科書p247-249
方向は図のように、
負の電荷から正の電荷に向かう方向
大きさは、表面電荷σに等しい。
P  n
分極方向の
単位ベクトル
E

+
+

-
-
P
多くの場合、分極ベクトルは電場に比例（同じ向き）
P   e 0 E
→
0
e
真空の誘電率(クーロンの法則で
出てきた）
電気感受率（無次元量）
electric susceptibility
142
英単語：感受率、分極
教科書p.250までの部分
導体の間に誘電体をはさむ
真空の時
S
C0  0
d
Q0  C0V
0
E
0
 Q0
Q0
Q0   0 S
V
誘電体の時、電圧Vは真空中と同じ。
従って、電場Eも真空中と同じ。電荷が異なる。
極板上の電荷をQ, 誘電体の分極電荷を-Q’
とする。電場EはQ-Q’によって作られる。
Q0  Q  Q
Q  Q0  Q
面密度で、    0      0 E   
誘電分極で P   n
P   e 0 E
   0 E  P   0 E  e 0 E   0 (1  e ) E
D  0E  P
とおく。電束密度と言う。
V
-Q’ Q’
Q+ - +
+ - +
+
+
+
-
+
-
+
-Q
-
143
電束密度 D   0E  P
P   e 0 E
   0 (1   e )
とおくと
D E
e
Dに対する
ガウスの法則

領域内の
真の電荷
D  dS  Q
 Q
  E  dS  Q誘導電荷も
0
電気感受率の値
水 80
ベンゼン 1.2
CO2
9.9x 10-4
水の話は電気伝導の所でまたします。
純水と不純物が入った水の違い。
含む
微分形
div D  
144
磁場の空間変化と電流の関係
教科書p.297から
既に見たように、
アンペールの法則の微分形
rot H  j
定常電流の周りの磁場。
電流が定常でない場合。空間のある部分で
電荷がたまることがある。この場合は、
D
rot H  j 
t
D
D   0E  P
div D  
電束密度
マクスウェル方程式の１つ。
使い方は後でやります。
145
教科書p.255-256
電気抵抗
電荷の時間変化
dQ
I
dt
導体に流れる電流Iと電位差Vは比例する。(オームの法則)
I: 電流.単位はA =C/s（秒)
V: 電圧.単位はV （ボルト）
R: 抵抗 単位はΩ(オーム)
V  RI
長さℓ、断面積Sの針金の場合、

R
S
ρ：抵抗率 （物質によって違う）
σ=1/ρ： 電気伝導率
Rの逆数を電気伝導度と言う。
Ωの逆数1/ΩをS(シーメンス）と呼ぶことがある。
電流密度 j
(単位面積を流れる電流） を使って書くと、
j  E
英単語
→
抵抗
後でマクスウェル方程式と一緒に使う。
146
電位と電場
電位

単位電荷を無限遠からその点まで運ぶのに要する
エネルギー
r
   Er dr

r2
r1
r2


r1
2  1   Er dr   Er dr   Er dr
電場が一定だとすると、
2  1   E  dr   E r2  r1 
r2
r1
V  2  1
電位差
V  Ed
d  r2  r1
とおくと、
距離
E V /d
147
問題
V  RI
問題１ 抵抗率の単位を求めよ。
問題２ 電気伝導率の単位を求めよ
問題３
j
j E
電流密度

R
S
ρ：抵抗率
σ=1/ρ： 電気伝導率
を示せ。
(単位面積を流れる電流）
148
補足：単位の話
（勉強レポートの内容から）
Ax Ay Az
divA 


x
y
z
 Az Ay
Ax Az
rot A  

,

,
z
z
x
 y
Ay
Ax 


x
y 
divもrotも微分が入っている。
A　の単位
divA の単位　
m(メートル)
なぜ微分の単位が割り算になるかは、微分の定義のため。
df
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x0
x
149
補足：単位の話 その２
電位
r
   E  dr
r0
φの単位 = E（電場）の単位 x m(メートル）
150
ここから、
磁性体の話
151
磁極に作用する力
教科書p.264
「磁極」Qm が磁場H中にある時、作用する力は、
F  Qm H
電場中の電荷に似ている。
Qm
磁極 Wb (ウェーバー)
H
磁場 A/m
しかし電荷と違い、片方の符号の磁極を
単独では取り出せない。
152
磁極に作用する力
Qm1 , Qm2
Qm1Qm 2
F
e
2 r
4  0 r
の間に作用する力は、
２つの磁極
F  Qm1H
教科書p.265
Qm1 , Qm2
0
磁荷
真空の透磁率
より、磁極の作る磁場は、
Qm 2
H
e
2 r
4 0 r
電場の場合と同様に、ガウスの法則が成立する。
153
磁位
m
教科書p.266 一番上の行
無限遠からある場所Pまで単位磁極を運ぶのに
要する仕事。

 m   H  ds
P
あるいは、
H   grad  m
154
磁気モーメント
磁極
 Qm
 Qm
と
 Qm
の位置から
Qm
があり、
 Qm
d とする。
m  Qm d
教科書p.265, 266
までの
ベクトルを
を磁気モーメントという。
 Qm
d
単位：Wb・m
問題： 磁気モーメントmが磁場H中に、
mとHのなす角θで置かれた時、
磁気モーメントの受ける力のモーメントを求めよ。
m
を一定にしたまま、dを小さくした極限を
磁気双極子と呼ぶ。
155
磁性体
教科書 p.267
磁場の中に入れると、磁場と相互作用する物質。
電場の中の誘電体と似ている。
H
M
磁化
M
単位体積あたりの磁気モーメント
m
M
V
多くの磁性体で
M
M  0  m H
単位：Wb/m2
は
磁場と同じ方向。
χm：帯磁率
magnetic susceptibility 156
磁束密度
教科書p.269下-p.270
B  0 H  M
M  0  m Hが成立するような物質では、
B  0 (1   m )H   H
  0 (1   m )
0
透磁率 permeability
真空の透磁率
157
磁束
教科書p.285
B  0 H  M  H
磁束密度
磁化
磁場
ある断面積を通るBを積分したものを、
磁束と呼ぶ。
   B  dS
dS
B
単位はWb(ウェーバー）
158
電磁誘導
教科書p.286
ある閉回路の中を通る磁束  が時間的に変化する時は、
変化の速さに比例した起電力が生じる。
d
Ve   E  ds  
dt
問題 微分表示で上の式は、
B
rot E  
t
と書けることを示せ。
ヒント：ストークスの定理を使う。
ファラデーの
電磁誘導の法則
磁場の中で閉回路を
回転させると、
閉回路を貫く磁束が
変化して起電力が
生まれる。
例：自転車のライト
159
レンツの法則
教科書p.286
補足パワポ
電磁誘導で流れる電流の向きは、
その電流の作る磁場が、
誘導の原因となった磁場の変化に
さからうように生じる
160
なぜ、磁束は常微分で、磁束密度は偏微分か？
磁束密度は、場所と時間の関数
Br, t 
他の変数もあるので、
時間についての微分は偏微分になる。
B
（偏微分：２変数以上の関数を
１つの変数で微分する）
t
磁束密度を面積について積分すると、
時間だけの関数となる。
t 
B
t
d
dt
dS
B
   B  dS
したがって、時間に関する微分は普通の微分。
d t 
dt
161
マクスウェルの方程式
B
rot E  
t
D
rot H  j 
t
div D  
div B  0
教科書p.299-302
電磁誘導
磁場が変化すると、
電場ができる。
アンペールの法則
電流や電束密度の時間変化
で磁場ができる。
ガウスの法則
（クーロン則を使う）
単独磁荷はない。
D   E B   H  ,  , は物質によって値が違う。
j  E
162
時間変化しない場合は、静電場か静磁場を考えればよい。
時間変化する場合は、電場と磁場の両方を考える必要。
電磁波の話
163
マクスウェルの方程式
B
rot E  
t
D
rot H  j 
t
div D  
div B  0
電磁誘導
磁場が変化すると、
電場ができる。
アンペールの法則
電流や電束密度の時間変化
で磁場ができる。
ガウスの法則
（クーロン則を使う）
単独磁荷はない。
D  E B  H  ,  , は物質によって値が違う。
j  E
164
時間変化しない場合は、静電場か静磁場を考えればよい。
時間変化する場合は、電場と磁場の両方を考える必要。
電磁誘導の応用
金属探知機（空港で飛行機に乗る前）
弱い磁場の中を荷物を通す。
もし金属があれば、磁場を切るので、電流が流れる。
その電流を探知する。
9.11事件以降、パイロットは、ハイジャッカーの
言う通りにしなくてよいことになった。
それまでは、犯人が言う場所に連れて行けば、
乗客の安全が守られることが多かった。
金属探知機だけでは、9.11の犯人は見つけられないが、
初歩的なハイジャッカーを探すことはできる。
参考：Physics for Presidents
翻訳は『今この世界を生きているあなた
のためのサイエンス』
165
電磁波に関する問題
教科書p.302-305
一様な媒質中を伝わる電磁波を考える。
電磁波の進む方向をz軸とする。
E,D,B,Hの各成分は、zとtだけの関数で、x,yにはよらない。
媒質中には電荷も電流もないとする。
マクスウェル方程式を成分で書き、
1) 電磁波は横波である（電場、磁場のz成分が0になる）
ことを示せ。
2
2) 次の微分方程式が導かれることを示せ。 2 E x

1 Ex

（波動方程式）
2
2
1
v

3)

とおく時、
 z
t
E x  f ( z  vt)  g ( z  vt)
の関数形が2)の微分方程式の解になっていることを確かめよ。
4) Eがx方向の時、Hがy方向であることを示せ。
166
縦波と横波
動画のサイト
http://www.asahi-net.or.jp/~zn6t-szk/physics/sin1.html
上が横波、下が縦波。
赤い部分に着目する。
167
問３の補足
y  A sin( kx   t )
Ex  f ( z  vt)  g ( z  vt)
は波になる。
168
電磁波の続き
特に真空中で
 0 , 0
の測定値から、
1
 0 0
を求めると、光速度の測定値に一致することが知られている。
光も電磁波も横波であることと合わせて、
「光は電磁波である」とマクスウェルは考えた
169
電磁波のイメージ
電場や磁場は、電磁波の進行方向に垂直な方向に
振動している。
H
進行方向
E
電場が大きくなる場所を追うと、
進行方向に進んでいく。
170
電荷が磁場から受ける力
F  qv  B
教科書p.271
q
電荷
B
磁束密度
×は外積
v
電荷の速度
問１ 両辺の単位が等しくなることを確かめよ。
問２ 運動方程式を書け。
問３ 運動方程式をx,y,z成分で書け。
磁場はz方向とする。
問４ 運動方程式を解いて、速度と座標の
時間変化を求めよ。
xy面内で円軌道になることを示せ。
171
電荷が電場から受ける力
F  qE
q
電荷
E
電場
電場の定義の所でだいぶ前に出てきた。
電場と磁場の両方ある所では、
前ページの力を加えて、
F  qE  v  B B
v
この力を「ローレンツ力」と呼ぶ
磁束密度
電荷の速度
172
ベクトル積（外積）
前期の復習
A B
ベクトル A, B
のなす角をθとする。
ベクトル積 A  B
は、
ベクトル A, B に垂直で、
B
A 
大きさは A  B  A B sin 
のベクトルである。
θはAからBに向けて測り、右ねじのしまる(進む）向きを
ベクトル A B
の向きとする。
問１．A 
 A1, A2 , A3 とB  B1, B2 , B3 
に対して、
AB
の成分表示
A  B   A2 B3  A3 B2 , A3 B1  A1 B3 , A1 B2  A2 B1 
を示せ。
173
前期の復習
成分の覚え方
A B   A2 B3  A3 B2 , A3 B1  A1B3 , A1B2  A2 B1 
A
1
2
③
B
3
①
1
②
1 2 3 1
①
第１成分
A2 B3  A3 B2
174
三角関数の微分
前期の復習

sin x 

cos x 
 cos x
  sin x
175
グラフを使った説明 sin x   cos x
前期のパワポ
「微分は接線の傾き」を使う。
1
y
y  sin x
0
π
y  cos x
2π
x
・原点でsinxの傾きは１．cos xの値も１．
・sinxの頂上(x=π/2)で傾きは０．cos xの値も０
176
微分方程式の問題
前期の復習
微分方程式： 関数の微分を含む式
例：
dy
 a(定数)
dx
y  ax  b
いろいろな関数の微分を知っていれば、
微分方程式を解くことができる（場合もある。）
問題 次の微分方程式を解け。
2
dy
2
dy
d
y
(1)
 sin x (2)  cos x (3)d y
 cos x
(4)

sin
x
2
dx
dx
dx
dx 2
2
2
d
y
d
y
(5)
  y (6) 2  Cy C  0
2
dx
dx
177
(6)の補足
合成関数の微分
dy dy du

dx du dx
前期のパワポ
教科書p.369
y  sin ax の微分を求めたい時、
dy
 cos u
u  ax とおくと、 y  sin u
例
du
du
a
dx
dy dy du
dy

a
 a cos ax
dx du dx
du
2
d y
2
2
 a sin ax  a y
2
dx
178
バネの運動方程式
前期のパワポ
例１：強さkのバネに質量mのおもりがついている場合、
バネの、伸びxに比例した力F=-kxで
縮ませようとする力が働く。
壁
F
 kx
k 0
x
したがって運動方程式は、
2
d x
m 2  kx
dt
(tは時間）
問題１ 上の微分方程式を解いて、運動を求めよ。
（意味：xをtの関数として求めよ。）
179
前期のパワポ
単振動の角振動数と周期
x(t )  A sin t
k
 
m
2
 
k
m
sinφのφの部分を「位相」と呼ぶ。単位はrad(ラジアン）
ωは角速度または角振動数と呼ばれる。
単位はrad/s。単位時間当たりに何rad進むかを表す。
sin関数の周期は2π(=360°)。
1周するのに必要な時間を周期と呼ぶ。Ｔとおくと、
T  2
2
m
T
 2

k
180
質量分析計の原理
マクマリー
『有機化学（上）』第8版、
12章、構造決定
磁場の中に荷電粒子を一定速度で入れると、
荷電粒子は曲がる（円運動をする）。
円運動の半径は、質量/電荷 に比例する。
分子Mをイオン化する。
（高エネルギーの電子をぶつけると、
分子から価電子がはじきだされる。
磁場で曲げる
検出する
90度程度でよい
（１周の円にする必要はない）
181
ローレンツ力を用いて電磁誘導の法則を導く
F  qv  B
磁場の中で電子が動く。
↓
電流が流れる
↓
起電力ができると考える。
182
電磁誘導
教科書p.286
ある閉回路の中を通る磁束  が時間的に変化する時は、
変化の速さに比例した起電力が生じる。
   B  dS
d
Ve  
dt
ファラデーの
電磁誘導の法則
183
交流発電機の原理    B  dS
B
長方形に曲げた針金を
一定の磁場Hの中で、
C
一定の角速度ωで回転させる。
BCと磁場(x軸方向）のなす角
をθ=ωtとする。
図の法線ベクトルnは、n  (sin  , cos  )
A
D
y
磁束密度はx方向なので、
B  dS  BdS sin 
C
面積内のどこでもBやθは一定なので、
  B sin   dS  BS sin t
   0 sin t
B
θ
x
n
184
B
交流発電機の原理
右下の図の位置で、
針金AB内の荷電粒子を考える。
磁場はx方向で、(B,0,0)
AB内の電子の方向は、
B点での接線方向。
(-sinθ,cosθ,0)
F  q v B
すると、

A
D
y

v  B  (0,0, B cos  )
正の荷電粒子１個が受ける力
は、Z方向(BからAに）、
qBcosθ。
B
θ
C
x
n
185
相互インダクタンス
２つのコイルがあるとする。
コイル１を流れる電流 I 1 が
コイル２に作る磁束を  2 とおくと、比例する
（ビオサバールやアンペールの法則で電流と磁場は比例）
 2  MI1
I1
が時間的に変化するとき、
2
も変化する。
d 2
dI1
V2  
 M
dt
dt
電磁誘導の法則より、
M を相互インダクタンスと呼ぶ。
186
自己インダクタンス
コイルが１個の場合でも、
流れる電流が変化 →磁場が変化
-> 電流が変化する。
-> 電磁誘導で起電力
dI
V  L
dt
L
自己インダクタンス または単に
インダクタンス
インダクタンスの単位：
Ｈ： ヘンリー
問題 インダクタンスの単位 H（ヘンリー）を、
kg, m, s, Cで表しなさい。
187
単位の補足：アンペア(A)とクーロン(C)
相互の関係
dQ
I
dt
電荷Ｑの時間変化が電流I
Ａ＝Ｃ／ｓ
Ｃ＝Ａ・ｓ
SI単位系では、アンペア（A)が基本単位に入っている。
理由：電流の方が測定しやすい。
概念的には、クーロンの方が理解しやすい。
試験では「○○で表せ」と指定された方に
変換できるようにしておく。
188
相互インダクタンス
２つのコイルがあるとする。
コイル１を流れる電流
の作る磁束を  と
I1
2
おくと、比例する。
（ビオサバールやアンペールの法則で電流と磁場は比例）
 2  MI1
I1
が時間的に変化するとき、
2
も変化する。
d 2
dI1
V2  
 M
dt
dt
電磁誘導の法則より、
M を相互インダクタンスと呼ぶ。
189
電気回路
直流回路 direct current
電流の流れる方向が一定
交流回路 alternating current
電流の流れる方向が時間とともに変わる
190
抵抗と電源の作る回路
オームの法則：
電圧＝抵抗×電流
E  (r  R) I
E
I
R
r
起電力
V(ボルト)
電流 A(アンペア）
外部抵抗
電池の内部抵抗
191
Ω（オーム）
電力の導出
問題２により、
クーロン場は保存場なので、
F  QE
から、
r
   E  dr
r0
r
Q   F  dr
r0
右辺は仕事の定義。電位差をＶとすると、
W  QV
電圧が一定だとする。
dW
dQ
V
 VI
dt
dt
192
消費電力
教科書
P  VI
電力＝電圧ｘ電流
電力の単位
W(ワット）= V(ボルト）× A(アンペア）
単位時間あたりのエネルギーを表す
193
電気回路
直流回路 direct current DC
電流の流れる方向が一定
例：乾電池で動く懐中電灯
交流回路 alternating current
AC
電流の流れる方向が時間とともに変わる
例：家庭のコンセントに来ている電気
194
交流発電機の原理   B  dS

長方形に曲げた針金を
一定の磁場Hの中で、
一定の角速度ωで回転させる。
B
A
C
BCと磁場(x軸方向）のなす角
をθ=ωtとする。
図の法線ベクトルnは、n  (sin  , cos  )
D
y
磁束密度はx方向なので、
B  dS  BdS sin 
C
面積内のどこでもBやθは一定なので、
  B sin   dS  BS sin t
   0 sin t
B
θ
x
n
195
問題 電磁誘導の法則を使って、起電力を求めよ。
ここから
電力の話
196
電力
電圧と電流の積を「電力」と呼ぶ。
P  VI
単位は、
Ｗ＝Ｖ×Ａ
ワット=ボルト×アンペア
問題 電力の単位は、時間あたりのエネルギー
の単位と一致することを示しなさい。
197
実効値
交流
V  V0 cos  t
コンセントに書いてある「100V」は、
V0 のことではない。 V0 実効値
2
V0
V0
V0
2
2 を表示する理由：、
1) 最大値はめったにとらない。
2) 最大値はずれやすい。苦情が出やすい。
3) 電力の平均値との関係（後で見ます）
198
交流電流の実効値
交流
I  I 0 cos  t
電気製品に書いてある「２Ａ」（アンペア）などは、
I 0 のことではない。 I 0 実効値
2
I0
I0
2
199
交流の電力
問題
交流電圧と電流が
V  V0 cos  t
I  I 0 cos  t
である場合、
(1)電力の時間変化の式を書きなさい。
(2) グラフを書きなさい。
(3)電力の平均値を求めなさい。
200
ここから
交流回路
201
抵抗と交流回路
V  RI
Ｓ
V  V0 cos  t
オームの法則
問 抵抗を流れる電流は、どのような
時間変化をするか。
202
コンデンサーと交流回路
Q  CV
dQ
I
dt
Ｓ
V  V0 cos  t
コンデンサーの
電荷＝電気容量×電圧
電流と電荷の関係
問 コンデンサーを流れる電流はどの
ような時間変化をするか。
203
コイルと交流回路
V  V0 cos  t
dI
Ve   L
dt
電流が変化すると、
起電力ができる。
L
インダクタンス
問 コイルを流れる電流はどのような
時間変化をするか。
204