薄膜工学：7 月 7 日の補足説明

薄膜工学：7 月 7 日の補足説明
垂直入射
垂直入射の場合には，cos θ1 = cos θ0 = cos θ2 = 1 である
から，空気 → 薄膜間（0 → 1），薄膜 → 基板（0 → 1）間で
θ0 θ0
n0 = 1
の反射率は，
r1
t1’
r1 =
-r1
t1
n0 − n1
n0 + n1 ,
r2 =
n1 − n2
n1 + n2
(10)
となる．
，垂直入射の場合には，空気 → 薄膜間，薄膜 → 基板
n1
θ1
間での透過率は，
r2
t1 =
t2
n2
2n0
n0 + n1 ,
t01 =
2n1
n0 + n1 ,
t2 =
2n1
n1 + n2
(11)
となる．
θ2
n0 = 1
エネルギー反射率，エネルギー透過率
θ0
エネルギー反射率は，振幅反射率の 2 乗として，
R = |r|2 = rr
(12)
で与えられ，エネルギー透過率 T は反射の残りであるから
境界面での反射率と透過率
T=1−R
教科書 152 頁 (4.16) の式は空気の屈折率 n0 を 1 としてい
るが，n0 ままで記述すると，
n0 sin θ0 = n1 sin θ1 = n2 sin θ2
で与えられる．なお，垂直入射の場合で示すが，
(
(1)
T=1−R=1−
教科書 152 頁 (4.17),(4.18) の式を変形すると，
r1,s
r1,p
r2,s
r2,p
sin(θ0 − θ1 )
sin θ0 cos θ1 − cos θ0 sin θ1
=−
=−
sin(θ0 + θ1 )
sin θ0 cos θ1 + cos θ0 sin θ1
n1 /n0 · sin θ1 cos θ1 − cos θ0 sin θ1
=−
n1 /n0 · sin θ1 cos θ1 + cos θ0 sin θ1
n1 cos θ1 − n0 cos θ0
=−
n1 cos θ1 + n0 cos θ0
n0 cos θ0 − n1 cos θ1
=
n0 cos θ0 + n1 cos θ1
n1 cos θ0 − n0 cos θ1
tan(θ0 − θ1 )
=
=+
tan(θ0 + θ1 )
n1 cos θ0 + n0 cos θ1
sin(θ1 − θ2 )
n1 cos θ1 − n2 cos θ2
=−
=
sin(θ1 + θ2 )
n1 cos θ1 + n2 cos θ2
tan(θ1 − θ2 )
n2 cos θ1 − n1 cos θ2
=+
=
tan(θ1 + θ2 )
n2 cos θ1 + n1 cos θ2
(
=
(5)
(14)
(15)
(16)
(17)
また，エネルギー反射率 R，透過率 T は
R = |r|2 ,
である．これら rs,p , ts,p はフレネル係数と呼ばれる．
また，一般に光の進行を逆転させた場合を r0 , t0 で表すと，
r = r = 1 − tt
n1
n1
= |t|2 ·
6 |t|2
=
n0
n0
透過率は s, p 偏光によらず同じ形式に表現できる．

 ni
p 偏光
cos θi
Yi =
 n cos θ s 偏光
i
i
√
√
Y0 − Y1
n0 cos θ0 2 Y0 Y1
t=
r=
·
Y0 + Y1 ,
n1 cos θ1 Y0 + Y1
(4)
(7)
(8)
0
4n0 n1
(n0 + n1 )2
光学アドミタンス Y を以下のように定義すると，反射率と
(3)
t1,p
02
·
=
光学アドミタンス
(2)
(6)
2
)2
)2
（屈折率 n の逆数に比例）を用いて補正しなければならない．
t1,s =
r0 = −r
2n0
n0 + n1
n0 − n1
n0 + n1
であり，T と |t|2 は等しくならない．媒質中の光の伝搬速度
と記述できる．また，
（振幅）透過率は，0 → 1 について，
2n0 cos θ0
2 cos θ0 sin θ1
=
sin(θ0 + θ1 )
n0 cos θ0 + n1 cos θ1
t1,s
2n0 cos θ0
=
=
cos(θ0 − θ1 )
n0 cos θ1 + n1 cos θ0
(13)
(9)
1
T=1−R=
n1 cos θ1 2
|t| 6= |t|2
n0 cos θ0
(18)
多重反射
あり，m を正整数として，
r0 = −r，r2 + tt0 = 1 であることに注意して，多重反射を
考慮した反射率 R および透過率 T は，
2δ =
4πn1 d cos θ1
= mπ
λ
∴ λ=
4n1 d cos θ1
m
例えば図 1 では，極値を示す波長は，
R = r1 + t1 r2 t01 e−2iδ + t1 r2 (r10 r2 )t01 e−4iδ
=
=
=
T =
4 × 1.8 × 300 cos(arcsin(sin(π/3)/1.8))
2m
]
1894 [
= 1894, 947, 631, 473, 379, 316, · · ·
=
m
λm =
+ t1 r2 (r10 r2 )2 t01 e−6iδ + · · ·
(19)
∞
(
)
∑
k
r1 + t1 r2 t01 e−2iδ
r10 r2 e−2iδ
k=0
t1 r2 t01 e−2iδ
r1 − r1 r10 r2 e−2iδ + t1 r2 t01 e−2iδ
r1 +
=
1 − r10 r2 e−2iδ
1 − r10 r2 e−2iδ
r1 + r2 e−2iδ
r1 + r2 e−2iδ (r12 + t1 t01 )
=
(20)
−2iδ
1 + r1 r2 e
1 + r1 r2 e−2iδ
t1 t2 e−iδ + t1 (r2 r10 )t2 e−3iδ + t1 (r2 r10 )2 t2 e−5iδ
+ · · · + t1 (r2 r10 )k t2 e−(2k+1)iδ + · · ·
∞ (
)k
∑
= t1 t2 e−iδ
r2 r10 e−2iδ
となっている．
振動・波動と複素数表示
2 つの実数 x, y を内部情報として持つ複素数 z = x + iy は，
いわば 1 つの記号で 2 つの量を扱うことができる便利な表現
(21)
である．
虚数単位 : i2 = −1
k=0
−iδ
=
(25)
複素共役 : z̃ = x − iy
t1 t2 e
t1 t2 e−iδ
=
1 − r2 r10 e−2iδ
1 + r1 r2 e−2iδ
(22)
絶対値 : abs(z) = |z| =
x2 + y 2 =
y
偏角 : arg(z) = arctan
x
[ ]
z + z̃
実数部 : Re z = x =
2
[ ]
z − z̃
虚数部 : Im z = x =
2i
2 光線の干渉 多重反射ではなく，薄膜表面の反射光と薄膜–
基板界面で 1 回反射した光の 2 本の光線だけによる干渉を計
算する．すなわち，式 (19)，(21) の右辺第 2 項までの和を取
れば，r1 , r2 が実数の場合，
Rd = r1 + t1 r2 t01 e−2iδ = r1 + r2 (1 − r12 )e−2iδ
√
√
(26)
z z̃
(27)
(28)
(29)
(30)
複素数は，偏角 θ = arg(z) と絶対値 |z| を用いて，極形式に
(23)
表すことができる．
fd
Rd = Rd R
= r12 + r22 (1 − r12 )2 + 2r1 r2 (1 − r12 ) cos 2δ
z = |z|eiθ
(24)
(31)
この表記は，オイラーの公式
例えば，空気，薄膜，基板の屈折率を n0 = 1, n1 = 1.8, n2 =
1.5 とし，厚さ d = 300 nm の薄膜に対する s 偏光のエネル
ギー反射率を，入射角 60 °，波長 λ = 300 ∼ 800 nm の範囲
で求めた結果を図 1 に示す．
eiθ = cos θ + i sin θ
(32)
と組み合わさると，振動・波動現象の記述において極めて有
用なものとなる．
nf = 1.8, d = 300 nm, ns = 1.5, θ = 60
o
単一の振動数を持つ振動・波動現象は，三角関数
エネルギー反射率
0.25
I(t, x) = A cos(ωt − kx + φ0 )
0.2
(33)
で表される．関数を特定するには，振幅 A と位相差 −kx + φ0
0.15
を定めることが必要である．ところが，三角関数は位相差が
関数の中に入っており，それだけを単独に取り扱うことが難
0.1
しい．このことが計算を困難にしている．一方，複素数の極
0.05
0
300
形式表示では
400
500
600
700
0 ) iωt
Aei(ωt−kx+φ0 ) = A e|i(kx−φ
{z } e
800
波長
(34)
位相情報
= A cos(ωt − kx + φ0 ) + iA sin(ωt − kx + φ0 )
図 1 多重反射ではなく，2 本の光線だけを考慮した単層膜のエネ
ルギー反射率の波長依存性
(35)
であるから，位相情報が独立して扱えるようにみえる．ただ
し，実際の三角関数を得るには，実数部を取り出す必要があ
なお，反射率が極値を取る条件は明らかに cos 2δ = ±1 で
り，煩雑な計算となる場合がある．
2
和の計算
積の計算
エネルギー（平均値）は振幅の 2 乗 A2 を計算すればよい．
振動数が共通である二つの波動 f1 , f2 の和は，三角関数の
合成の公式を用いて，
時間依存性を含めて，積を計算すると，
? f? + f
f?
[ ] [ ] f ? + ff
1
2
f1 f2 = Re f1? Re f2? = 1
· 2
2
2
?f
?f
?
?
f? ?
f ? f ? + ff
1 f2 + f1 f2 + f1 f2
= 1 2
4
[ ? ?]
[
]
?
Re f1 f2 + Re f1? ff
2
=
2
[ ? ?]
6= Re f1 f2
f1 + f2
= A1 cos (ωt − α1 ) + A2 cos (ωt − α2 )
(36)
= A cos (ωt − δ)
(37)
P = A1 cos α1 + A2 cos α2 ,
(38)
Q = A1 sin α1 + A2 sin α2
√
Q
A = P 2 + Q2 , tan δ =
P
(39)
(40)
(50)
(51)
(52)
であるから，極形式複素数表示でも表現が簡素にならない．
と計算できるが，実は途中で cos(ωt − α1 ) = cos ωt cos α1 +
なお，(51) の分子第 1 項は e2iωt の時間依存性，第 2 項は時
sin ωt sin α1 のように一旦分解する計算が含まれ，煩雑であ
る．一方，極形式複素数表示では，同じ計算が
間依存しない定数となる．
f1? + f2?
(41)
= A1 e−iα1 eiωt + A2 e−iα2 eiωt
)
(
= A1 e−iα1 + A2 e−iα2 eiωt
(42)
指数関数を複素数 z = x + iy に拡張して
(43)
−iδ iωt
= Ae
減衰振動
e
eiz = ei(x+iy) = eix ei
(44)
A1 e
+ A2 e
(53)
(54)
の極形式複素数表示は，複素振動数 ω ∗ = ω + iλ を定義して，
−iδ
= Ae
(45)
f ? = Ae−iα eiω
を解かねばならず，暗算とはいかない．無論，値は式 (40) と
= Ae
る複素関数 Ae−iα eiωt の記号表記であり，以下の関係にある．
[
]
Re f1? + f2? = f1 + f2
∗
t
= Ae−iα ei(ω+iλ)t
(55)
−λt −iα iωt
同じである．なお f ? は三角関数 f = A cos(ωt − α) に対応す
[ ]
Re f ? = f,
= eix e−y
f = Ae−λt cos(ωt − α)
振幅 A と位相 δ を具体的に算出するには，
−iα2
y
が成立することを認めると，時間的に減衰する振動
と (43) の如く，和を取る算法が簡潔に表現される．もっとも，
−iα1
2
e
e
(56)
と定めることができる．空間的に減衰する波動を表現する場
合には，減衰定数を波数 k に虚数部として加えて，複素数の
(46)
波数を導入すればよい．
多重反射の和の計算においては，反射を繰り返す毎に位相
差が増え，以下の値を計算しなけれなならない．
∞
∑
時間微分
三角関数の時間微分と極形式複素数表示の時間微分が正し
Ak cos(ωt − 2δk)
く対応していることは以下のように確かめられる．
k=0
= cos(ωt) + A cos(ωt−2δ) + A2 cos(ωt−4δ) + · · ·
(47)
f = A cos(ωt − α)
直ぐには手がつけられないが，極形式複素数表示を用いると，
∞
∑
(Ae−2iδ )k eiωt = eiωt lim
N →∞
k=0
N
∑
(48)
(59)
?
(60)
2
i(ωt−α)
f = Ae
k=0
−2iδ N +1
1
1 − (Ae
)
= eiωt
1 − Ae−2iδ
1 − Ae−2iδ
[
]
]
[
]
[
e
∴ Re
= Re Be−i eiωt = Re Bei(ωt−)
−2iδ
1 − Ae
cos(ωt − )
(49)
= B cos(ωt − ) = √
1 + A2 − 2A cos 2δ
[
]
A sin 2δ
tan =
1 − A cos 2δ
= eiωt lim
(58)
f¨ = −ω A cos(ωt − α) = −ω f
2
(Ae−2iδ )k
(57)
f˙ = −ωA sin(ωt − α)
f˙? = iωAe
N →∞
iωt
i(ωt−α)
(61)
(62)
f¨? = −ω 2 Aei(ωt−α) = −ω 2 f ?
[ ]
[
]
Re f˙? = Re iωA(cos(ωt − α) + i sin(ωt − α))
[
]
= Re iωA(cos(ωt − α) − ωA sin(ωt − α))
= −ωA sin(ωt − α)
]
[ ]
[ ]
[
Re f¨? = Re − ω 2 f ? = −ω 2 Re f ?
= −ω 2 A cos(ωt − α)
と計算が進む．
3
(63)
(64)
例題 1 （減衰振動） 減衰振動の運動方程式
ẍ + 2λẋ + ω 2 x = 0
の解を極形式複素数表示を用いて求めなさい．ただし，ω > λ
とする．
[解] 解の極形式複素数表示を
x? = Aei(ω
∗
t−α)
と仮定すると，運動方程式は，
− ω ∗2 x? + 2iω ∗ λx? + ω 2 x? = 0
⇒ − ω ∗2 + 2iλω ∗ + ω 2 = 0
√
√
⇒ ω ∗ = iλ ± (iλ)2 + ω 2 = ± ω 2 − λ2 + iλ
√
∴ x? = Aei(±
ω 2 −λ2 +iλ)t−α)
√
= Ae−λt ei(±
ω 2 −λ2 t−α)
よって，
√
[ ]
x(t) = Re x? = Ae−λt cos(± ω 2 − λ2 t − α)
例題 2 （強制振動の複素数表示解法） 減衰振動系におけ
る，外力 cos pt による強制振動
ẍ + 2λẋ + ω 2 x = cos pt
の定常解 A cos(pt − α) を，極形式複素数表示を用いて求め
なさい．
[解] 想定する定常解のおよび外力の極形式複素数表示は
x? = Aei(pt−α) , p? = eipt
であるから，運動方程式を解いて，
ẍ? + 2λẋ? + ω 2 x? = eipt
(
)
⇒ Aei(pt−α) −p2 + 2ipλ + ω 2 = eipt
⇒ Ae−iα (ω 2 − p2 + 2ipλ) = 1
1
=z
∴ Ae−iα = 2
ω − p2 + 2ipλ
したがって，
√
A = |z| =
1
(ω 2 − p2 )2 + (2pλ)2
α = arg(z) = arctan
2pλ
ω 2 − p2
4