2π 1 L=8 S=3π 素朴なアイデアでサイクロイドなどの長さと面積を求める

素朴なアイデアでサイクロイドなどの長さと面積を求める
微積分を用いた方法は座標・極形式などを用いた方法がいくつもありよく知られている。微積分学の成立以前にも、それらの値は知られていた。ここでは、
はじめ、外（内）サイクロイドの長さ・面積を微積の力を借りて求め、サイクロイド・カージオイドに当てはめる。次いで素朴な方法でそれらを確認する。
y
§０ サイクロイド・カージオイドの長さと面積
L= 16
動円の半径が１であるサイクロイドとカージオイドについ
S= 50
て、それぞれの長さおよび面積は、図のようである。
T= 0
y
O
1
x
L= 8
1
S= 3π
y
O
2π
x
B
S
§１ 外サイクロイドの長さと面積の計算
C
θ
（１）外サイクロイドについて
aθ
1
P ( x, y)
定円の中心を０半径を a 、動円の半径を 1 とすると、
x = (a + 1) cosθ − cos((a + 1)θ )
y = (a + 1) sin θ − sin((a + 1)θ )
θ
O
A( a ,0)
となる。よって、
dx
dy
= −(a + 1)(sin θ − sin((a + 1)θ ) ) ，
= (a + 1)(cos θ − cos((a + 1)θ ) )
dθ
dθ
弧ＡＰＢの長さ L
2
2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
2
⎟ = (a + 1) {1 + 1 − 2 sin θ sin((a + 1)θ ) − 2 cosθ cos((a + 1)θ )}
⎟ +⎜
⎜
⎝ dθ ⎠ ⎝ dθ ⎠
= 2(a + 1) 2 {1 − cos aθ }
= 4(a + 1) 2 sin 2
L=
∫
2π
a
0
2
2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
⎟ dθ =
⎟ +⎜
⎜
⎝ dθ ⎠ ⎝ dθ ⎠
= 4(a + 1)
aθ
2
∫
2π
a
0
2π
aθ
aθ ⎤ a
2
⎡
dθ = ⎢− 2(a + 1) cos ⎥
2(a + 1) sin
2
a
2 ⎦0
⎣
2
⎛ 1⎞
= 8⎜1 + ⎟
a
⎝ a⎠
となる。
1
x
図形ＯＡＰＢ０面積 S1
1
x, y は共に θ で１回以上微分できる。従って、 S1 =
2
x
∫
2π
a
0
dx ⎫
⎧ dy
− y ⎬dθ
⎨x
dθ ⎭
⎩ dθ
である。
dy
dx
= (a + 1)((a + 1) cosθ − cos((a + 1)θ ) )(cosθ − cos((a + 1)θ ) )
−y
dθ
dθ
+ (a + 1)((a + 1) sin θ − sin((a + 1)θ ) )(sin θ − sin((a + 1)θ ) )
= (a + 1){(a + 1) + 1 − (a + 2)(cos((a + 1)θ )cosθ + sin((a + 1)θ ) sin θ }
= (a + 1)(a + 2){1 − cos((a + 1)θ − θ )}
= (a + 1)(a + 2)(1 − cos aθ )
よって、
1
S1 =
2
∫
2π
a
0
2π
1
1
⎡
⎤a 1
(a + 1)(a + 2)(1 − cos aθ )dθ = (a + 1)(a + 2) ⎢θ + sin aθ ⎥ = (a + 1)(a + 2)π
a
2
a
⎣
⎦0
扇型ＯＡＢ面積 S 2
2π
S 2 = a ⋅ πa 2 = aπ
2π
外サイクロイドと円Ｏの間の面積 S
S = S1 − S 2 =
1
1
2⎞
⎛
(a + 1)(a + 2)π − aπ = (a 2 + 3a + 2 − a 2 )π = ⎜ 3 + ⎟π
a
a
a⎠
⎝
となる。
（２）内サイクロイドについて
外サイクロイドと同様に、
⎛ 1⎞
L = 8⎜1 − ⎟
⎝ a⎠
，
y
2⎞
⎛
T = ⎜ 3 − ⎟π
a⎠
⎝
L
B
S
となる。
（詳細は参考（Ⅰ）
）
T
外サイクロイドと内サイクロイドの作る図形
M
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
L + M = 8⎜1 + ⎟ + 8⎜1 − ⎟ = 16
⎝ a⎠ ⎝ a⎠
C1
C2
P1
2⎞
2⎞
⎛
⎛
S + T = ⎜ 3 + ⎟π + ⎜ 3 − ⎟π = 6π
a⎠
a⎠
⎝
⎝
θ
O
であり、定円の半径 a に従属しない。
2
P2
A( a ,0)
x
§２ サイクロイドとカージオイドの長さと面積
（１）外サイクロイドにおいて定円の半径を a = 1 とすれば、
⎛ 1⎞
L = 8⎜1 + ⎟ = 16
⎝ a⎠
⎛
⎝
， S = ⎜3 +
2⎞
⎟π = 5π
a⎠
となり、カージオイド の長さと面積を得る。
（２）同様に、定円の半径 a を無限大とする。つまり、 a → ∞ とすれば、
⎛ 1⎞
L = 8⎜1 + ⎟ → 8
⎝ a⎠
⎛
⎝
， S = ⎜3 +
2⎞
⎟π → 3π
a⎠
となり、サイクロイド の長さと面積を得る。
§４ 微分積分を使わない方法について
（１）長さ
y
2
サイクロイドの縮閉線（エボリュート，evolute）は、
L
2
L
2
サイクロイドになる。したがって、サイクロイドの伸
O
2π
開線（インボリュート，involute）もサイクロイドで
x
ある。
【注１】
・・・参考の（Ⅳ）
右の図で
L
= 4 、したがって
2
−2
L = 8 となる。
さて、外サイクロイドの縮閉線は、相似な外サイクロイドになる。図のように、大小２つの外サイクロ
イドの長さを、それぞれ L, M とする。今、相似比は
L : M = (a + 2) : a
つまり、 L =
(a + 2) : a であるので、
y
a+2
M
a
B
また、線分 PO の長さを考えることにより、
P
M⎞
⎛
(a + 2) : a = a : ⎜ a + 2 − ⎟ ………②
2 ⎠
⎝
M
2
T
②より
Q
1
a + 4a + 4 − (a + 2) M = a 2
2
Ｍ
2
2
となり、 M = 8 ⋅
L=
a +1
を得る。したがって、
a+2
O
a
a− a+
2
a+2
a +1
a +1 ⎛ 1 ⎞
×8⋅
= 8⋅
= 8⎜1 + ⎟
a
a+2
a
⎝ a⎠
となり、微積分を用いないで外サイクロイドの長さを求めることができた。
3
L
2
A( a ,0)
a+2
x
（２）面積
サイクロイドの面積
y
2
1
H
P
Q
π
2
O
π
x
サイクロイド上の点Ｐから、 y 軸に平行な動円の直径に下ろした垂線の足をＨとする。上の図より明ら
かに、点Ｈの軌跡は縦２、横 π の長方形を二等分する。
よって点Ｈの軌跡と x 軸の間の面積は、 2π となる。
y
π
2
π
π
O
π
2π
x
最後に、サイクロイドと点Ｈの軌跡の間の面積であるが、点Ｐが１回転する間の直径への垂線ＰＨの長
さであるので、それは円の面積と等しい。したがって、サイクロイドと x 軸の間の面積は、 3π となる。
※このみごとな論法は、ローベルバル（１６０２－１６７５）による。
4
参考
y
B
（Ⅰ）内サイクロイドについて
T
定円の中心を０半径を a 、動円の半径を 1 とすると、
C
x = (a − 1) cosθ + cos((a − 1)θ )
T1
y = (a − 1) sin θ − sin((a − 1)θ )
aθ
1
P
θ
となる。
O
A( a ,0)
dx
dy
= −(a − 1)(sin θ + sin((a − 1)θ ) ) ，
= (a − 1)(cosθ − cos((a − 1)θ ) )
dθ
dθ
弧ＡＰＢの長さ M
2
2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
2
⎟ = (a − 1) {1 + 1 − 2 sin θ sin((a + 1)θ ) − 2 cosθ cos((a + 1)θ )}
⎜
⎟ +⎜
⎝ dθ ⎠ ⎝ dθ ⎠
= 2(a − 1) 2 {1 − cos aθ }
= 4(a − 1) 2 sin 2
M =
∫
2π
a
0
2
2
aθ
2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
⎜
⎟ +⎜
⎟ dθ =
⎝ dθ ⎠ ⎝ dθ ⎠
∫
2π
a
0
2π
2
aθ ⎤ a
aθ
⎡
dθ = ⎢− 2(a − 1) cos ⎥
2(a − 1) sin
2
a
2 ⎦0
⎣
⎛ 2⎞
⎛ 1⎞
= −4(a − 1)⎜ − ⎟ = 8⎜1 − ⎟
⎝ a⎠
⎝ a⎠
図形ＯＡＰＢ０面積 T1
x
dy
dx
−y
= (a − 1)((a − 1) cosθ + cos((a − 1)θ ) )(cosθ − cos((a − 1)θ ) )
dθ
dθ
+ (a − 1)((a − 1) sin θ − sin((a − 1)θ ) )(sin θ + sin((a − 1)θ ) )
= (a − 1){(a − 1) − 1 − (a − 2)(cos((a − 1)θ )cosθ + sin((a − 1)θ ) sin θ }
= (a − 1)(a − 2){1 − cos((a − 1)θ + θ )}
= (a + 1)(a + 2)(1 − cos aθ )
よって、
1
T1 =
2
∫
2π
a
0
2π
1
1
⎡
⎤a 1
(a − 1)(a − 2)(1 − cos aθ )dθ = (a − 1)(a − 2) ⎢θ − sin aθ ⎥ = (a − 1)(a − 2)π
2
a
a
⎣
⎦0
扇型ＯＡＢ面積 S 2
S 2 = aπ
内サイクロイドと円Ｏの間の面積 T
1
1
2⎞
⎛
T = S 2 − T1 = aπ − (a − 1)(a − 2)π = (a 2 − a 2 + 3a − 2)π = ⎜ 3 − ⎟π
a
a
a⎠
⎝
5
x
（Ⅱ）
C1 級の閉曲線で囲まれた図形の面積について
y
Ｐ（ｔ1 ）
C1 級の閉曲線Ｌ (動点Ｐ( x, y ), x = f (t ), y = g (t ), α ≤ t ≤ β ) が
左側に囲む面積をＳとする。
S1 =
∫
f ( t1 )
ydx =
f (α )
∫
t1
α
S2
S
Ｐ（ｔ 2 ）
dx
y dt
dt
f ( t2 )
S1
S
∫ ∫
dx
S = ydx =
y dt
∫ ∫ dt
dx
dx
dx
dx
S = S − S − S = − y dt − y dt − y dt = − y dt
∫ dt ∫ dt ∫ dt ∫ dt
t2
S 2 = − ydx = −
dx
dt ｆ
dt
y
f ( t1 )
t1
f (β )
Ｐ（ α ） = Ｐ（ β ）
3
O
f(t 2 )
β
f(α)=f(β)
f(t 1 )
x
3
f ( t2 )
t2
t2
2
1
3
α
t1
（Ⅲ）
β
t1
β
α
t2
ある閉曲線で囲まれた図形の面積
C1 級の曲線Ｌ (動点Ｐ( x, y ), x = f (t ), y = g (t ), α ≤ t ≤ β ) と
y
B
その両端の点Ａ ( f (α ), g (α )) ，Ｂ ( f ( β ), g ( β )) と原点Ｏが
S3
り、図形ＯＡ U Ｌ U ＢＯが閉曲線となり、その左側に囲む
図形の面積をＳとする。
S1 =
S2 =
S3 =
1
f (α ) g (α )
2
∫
f (α )
ydx =
f (β )
α
∫
y
β
S2
dx
dt
dt
O
1
f (β ) g (β )
2
α
S = S 2 + S 3 − S1 =
α
∫
y
β
dx
1
1
dt + f ( β ) g ( β ) − f (α ) g (α )
dt
2
2
∫
dx
1
y dt −
=
∫ dt 2 ∫ ( f ′(t) g (t) + f (t) g ′(t))dt
1
1
⎛
⎞
= ⎜ g (t ) f ′(t ) − f ′(t ) g (t ) − f (t ) g ′(t ) ⎟dt
∫⎝
2
2
⎠
1
(g (t ) f ′(t ) − f (t ) g ′(t ) )dt
=
2∫
1 ⎛ dy
dx ⎞
=
⎜ x − y ⎟dt
dt ⎠
2 ∫ ⎝ dt
=
y
β
L
S
dx
1
α
dt − [ f (t ) g (t )]β
dt
2
α
α
β
β
α
β
α
β
β
α
6
f (β)
A
S1
f (α)
x
（Ⅳ）インボリュートとエボリュートの説明の図
・・・・・・ 【注１】
y
動円Ｃを y 軸方向に − 2 平行移動したものが動円
'
Ｃ とする。∠ＴＰＲが常に 90°となることより、
点Ｒは上のサイクロイドの縮閉線である。
T
P
O
C
Q
C'
x
R
これらサイクロイド（外サイクロイド）の合同（相似）の証明のアイデアは大阪教育大学付属池田校舎・
教諭友田勝久氏のものです。
※
参考ＵＲＬ
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/report/index.html
http://horibe.jp/GrB1F.HTM
愛知県立春日井東高等学校
堀部 和経（ ほりべ かずのり ） 2009 / 5 / 10
7