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非摂動く り込み群におけるカイラル対称性の実現について
非摂動 くり込み群におけるカイラル対称性の実現について
越後
弥大
新潟大学大学院 自然科学研究科博士後期課程
自然構造科学専攻
目次
J
n
tr
oduc
ti
on
3
場の量子論 とくり込み群
4
2.
1 経路積分による場の量子論
4
‥
2.
1
.
1 生成汎関数 と有効作用 ‥ ‥ ‥ .
4
2.
1
.
2 有効作用について ..
6
7
2.
2 対称性について .‥ .
2.
3 くり込みについて ‥ .‥ ‥
2.
3.
1 くり込み ‥ ‥
8
8
2.
3.
2 見かけ上の発散次数 .‥ ‥ ‥ ‥
9
2.
3.
3 くり込み条件について ‥ ‥ ‥
1
0
2.
3.
4 くり込み群方程式 ‥
l
l
2.
4 非摂動 くり込み群 ‥ ‥
1
2
2.
4.
1 c
ut
o
ぼ関数について ‥
2.
4.
2 Wi
l
s
on作用 ‥
1
3
2.
4.
3 ブ ロ ックスピン変換による I
R作用 .
1
4
2.
4
1
5
1
6
1
3
連結 グリーン関数 ‥ ‥
‥
2.
4.
5 Po
l
chi
ns
k
i方程式 ‥ ‥
‥
.4
‥
‥
2.
4.
6 We
t
t
e
r
i
c
h方程式 ‥
1
7
非摂動 くり込み群によるカ イラル対称性
19
ブロックスピン変換 ‥ .
20
3
.
1
3
.
2
m 理論での W Ti
de
nt
i
t
y
3.
3
カイラル対称性の変形 ..
3.4
WT i
de
nt
i
t
yの解 として
- - .-
21
23
I
R 理論 .
25
3.
4.
1
相互作用が無い場合 .‥ ‥ ‥ ‥
25
3.
4.
2
相互作用がある場合 ‥ .‥ ‥
26
の
るI
R理論
3.
5
積分か ら得 られ
‥ .‥ ‥
3.
6
解の特徴について ‥
3 .7
今5による表現への変数変換 ‥ ‥ .
32
3.
8
1
′
5による表現への変数変換 ‥ ‥ .
34
3.
9
より一般的な解の構成につい
36
30
31
て
.
.
,
3
7
3
7
超対称性への応用
4.
1 超対称量子力学 ‥ ‥ ‥ ‥ ...
4.
1
.
1 相互作用が無い場合 ‥
3
8
4.
1
.
2 相互作用がある場合 ‥ ‥ ‥ ‥
3
9
4.
2 2次元 We
s
かZumi
no模型 ......
4
.
2
.
1 相互作用が無い場合 .
4.
2
.
2 相互作用がある場合 ‥
3
9
41
41
4
2
まとめと展望
1
付録 A 記法
4
3
付録 B 便利な公式
4
3
付録 C Ba
t
a
H
n
Vi
l
k
o
v
i
s
k
y形式
4
4
4
4
C.
1 マスター方程式
‥
‥
.
.
‥
.
‥
C.
2 Wi
l
s
o
n作用に対するマスター方程式
46
付録 D Zi
n
n
J
u
s
t
i
n方程式
47
付録 E 変形された超対称性を持つ作用の導出
48
2
1 I
nt
r
oduc
t
i
on
素粒子物理の標準模型は､現在の素粒子実験を非常によく説明する｡場の量子論によって記述されるこの模型は､
SU(
3
)
a xS
U(
2
)
LXU(
1
)
Yゲージ対称性に基づ くゲージ理論で､弱結合である SU(
2
)
LXU(
1
)
Yは､摂動論で記述
3
)
Cは低エネルギーで強結合になる性質を持ち､摂動論では扱えず､非摂動的なアプローチが必
されるO-方､SU(
要になる｡
場の量子論の非摂動的な手法としては格子理論が知 られている｡格子理論 とは､格子上の場の理論のことで､間隔
aの格子上で定義されるoこのとき運動量の上限が 7
T
/
aになり紫外発散がなくなるo但 し､空間の連続的な回転対称
性を失ってしまうという問題点がある｡
l
s
o
nによって定式化された非摂動 くり込み群がある｡この手紘
非摂動的な手法には､格子理論の他に､K.G.Wi
1
3
-20
]
｡その考え方は
は､統計系の臨界現象の解析で大きな成功をおさめ [
1
1
､その後､場の量子論に応用された [
ut
o
ぽすることによりミクロ理論 (
UV理論)を正
以下のようになる｡始めに､運動量の高エネルギー領域を Aoで c
oとA(
<Ao)の間にある場の自由度 (
高エネルギーモー ド)を積分することにより､運
則化する｡次に､運動量が A
I
R理論)が得 られる｡この時得 られる有効作用は
動量が A以下の低エネルギーモー ドのみで構成される有効理論 (
Wi
l
s
on作用 と呼ばれる｡この操作は､波長の短いゆらぎを平均化 し､波長の長いモー ドの有効相互作用として取 り
込むことに相当する｡これが くり込みである このように､高エネルギーモー ドの積分を次々に行 うことにより､有
｡
効作用に含まれる結合定数の変化を記述することができる｡高エネルギーモー ドの積分は､汎関数積分により記述
されるが､この積分は直接は行われず､汎関数積分 と同等の汎関数微分方程式を解 くことによって行われる｡この
微分方程式を非摂動 くり込み群方程式 と呼ぶ｡微分方程式による定式化の方法はい くつかある｡始めに､高エネル
ha
r
pc
ut
o
f
fと s
moo
t
hc
ut
of
fがある.さらに､Wi
l
s
o
n作用を
ギーモー ドと低エネルギーモー ドの分け方 として､s
使 うか､その L
eg
e
ndr
e変換されたものを使 うかによって分けられるo s
ha
r
pc
ut
o
f
Fで Wi
l
s
o
n作用を用いたものは､
We
g
nerHo
ug
ht
o
n方程式と呼ばれる [
2
〕
os
moo
t
hc
ut
o
f
fで Wi
l
s
o
n作用を使ったものは､Po
l
c
hi
ns
ki方程式と呼ば
moo
t
hc
u
t
o
f
fで Wi
l
s
o
n作用の Le
g
e
ndr
e変換をした作用を用いたものは､We
tt
e
r
i
c
h方程式 と呼
れる [
5
]
oまた､s
4
]
Oくり込み群方程式は､一般には非線形で､解 くためには何らかの近似が必要になる｡しかし､近似は非摂
ばれる [
動的に行 うことができることから非摂動 くり込み群 と呼ばれる｡
非摂動 くり込み群では､理論を正則化する際に､もともと持っていた対称性を破ってしまうという問題がある｡例
ut
o
ぽする場合､ゲージ対称性が破れてしまう｡ また､質量項の導入により正則化
えば､運動量を高エネルギー側で c
を行 う場合､カイラル対称性が破れてしまう｡ このように､正則化によって対称性が破られる場合の対策として､変
形された対称性を考えるという方法がある｡これは格子理論の前例に基づいている｡
ds
e
nNi
no
mi
yaの定理 [
6
]により､局所的で正 しい連続極限を持つ Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
rは 75との反
格子理論では Ni
交換関係がゼロにはならない｡これは､通常のカイラル対称性が実現できないことを示 している｡この問題に対して､
P.Gi
ns
pa
r
gとK.Wi
l
s
o
nは､ くり込み群においてカイラル対称性の破れを議論 した｡始めに､カイラル対称性を持
つ連続理論を考え､ブロックスピン変換によって､格子理論と関係をつける｡こうして得 られる格子理論はブロック
r
a
co
pe
r
a
七
o
rが満た
スピン変換によってカイラル対称性が破られてしまう｡このとき格子理論が持つ対称性から､Di
す関係式､Gi
ns
pa
r
g
Wi
l
s
o
n(
GW)r
e
l
a
t
i
o
nを導いたOこの関係式は､Di
r
a
cope
r
a
t
o
rと75の反交換関係が､格子
間隔に比例する量になることを示 している｡さらに､GW r
e
l
a
t
i
o
nを滞たす Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
rによって記述される格
子理論は､通常のカイラル変換から､格子間隔に比例 した量だけ変形された変換のもとでの不変性を持っている｡こ
e
l
a
t
i
o
nにより､Ni
e
l
s
e
n
Ni
no
mi
y
aの定理に抵触 しないo後に､M.LGs
c
he
rにより､
の変形された対称性は､GW r
変形されたカイラル対称性を持つ理論が構成された｡
非摂動 くり込み群においても､格子理論の例 と同様に､正則化によって対称性が破 られる場合､変形された対称
r
dTaka
ha
s
hi(
WT)i
de
n
t
i
t
y､または Ba
t
li
a
n
性に基づいて理論の定式化を行 うことができる｡理論の対称性は Wa
-
Vi
l
k
o
vi
s
ky形式 [
21
]での量子論的マスター方程式によって記述される｡ ブ ロックスピン変換によって I
R理論を
義することにより､UV理論 とI
R理論の生成汎関数の間に関係をつけ る こ とができ､その結果､UV理論で W
定
i
de
n
t
i
t
yが成 り立つ時､I
R理論では変形された変換のもとで WT i
denti
t
y が成 り立つことが知られている｡この
方
3
T
法は､ゲージ対称性などに応用されている [
2
2
-2
7
]
｡
本論文では､非摂動 くり込み群において､格子理論での前例 [
7
]に基づいて､変形されたカイラル対称性を持つ理
論の構成を考える｡この変形された対称変換は I
R作用に依存する形をしている｡このため､変形された対称性を持
つ作用の構成が非常に困難になっている｡通常は､与えられた変換のもとで作用を構成するが､この場合､変換 と作
用を同時に構成 しなければならない｡手順 としては､始めに作用の形を未知数を含む形で仮定 し､その作用のもとで
変形された変換を求め､最後にその変換のもとで作用が不変になるように未知数を決める｡よって､始めに仮定する
作用が､相互作用を含むか含まないかによって変換が異なるので､それぞれを別々に扱わなければな らない｡一般に､
高次の項を加えて考えたい場合もーから始めなければならない｡さらに､相互作用を含む場合､場の変換が非線形に
なり作用の構成が一般には困難になる.また､WTi
de
n
t
i
t
yはその形か ら､作用の仮定 として場の 4次の項を入れる
de
nt
i
t
yの中に 6次の項が生成される｡この項を相殺するために､あらかじめ 6次の項を入れると､さらに
と､WTi
高次の項が生成される｡このように WTi
de
n
t
i
t
yは場の 2次以上を仮定 した場合､閉じた形にはなっていない｡本
de
nt
i
t
再ま
論文では､湯川相互作用を含めて考えるが､フェルミオンについては双一次を仮定する｡この場合､WTi
フェルミオンについて 2次で閉じるので､変形された対称性を厳密に保つ作用を構成することができる｡
本論文の構成は以下のようになる｡第 2章では､非摂動 くり込み群で用いられる経路積分の基礎について説明する｡
そこでは､場の量子論が経路積分によって､どのように定式化されているかを見る｡さらに､場の量子論で対称性が
どのように記述されるかを述べ､最後に非摂動くり込み群の基礎について述べる｡第 3章では､本論文の主題である､
U
変形 されたカイラル対称性の実現について議論する｡始めにブロックスピン変換によ り V理論 と I
R理論の関係を
U
つける｡このとき､ブロックスピン変換に含まれるパラメーターであるブロックスピンカーネルを､ V理論が持つ
R理論では変形されたカイラル対称性が実現されるが､その変形
カイラル対称性を破るように選ぶ｡これによって I
を求めるために WTi
de
n
t
i
t
yの導出を行 う｡WTi
de
n
t
i
t
yにより､変形されたカイラル変換が得 られたら､相互作用
R理論の構成を行 う｡第 4車では､同様の方法の超対称性への応用を考える｡
が無い場合 と､ある場合に分けて I
2 場の量子論とくり込み群
この章では､場の量子論の経路積分による定式化 と､ くり込み群の基本的事項についてまとめる｡また､実スカ
ラー場の理論を考える｡
2.
1 経路積分による場の量子論
2
.
1
.
1 生成汎関数と有効作用
生成汎関数は､経路積分によって以下のように与えられる｡
p
[
i
S
l
Q
]
･i
zl
J]
-N/D
bex
L J(
a)
M ]･
(
2
･
1
)
ここで､Sは作用を､Jはソースを表す｡また､
/
･-1
-
[
i
S
l
b
]
]
Ⅹp
(
2.
2)
となる. これは､Z[
0
1-1とするための規格化定数である｡このとき､汎関数微分
芸
譜
-6(
x-y)
(
2
･
3)
を用いることによって､n点グリ-ン関数
G'
n'(
xl,･･･,
Xn)-N
/
D￠抽 )- 絢 )
e
x
pl
i
Sl
Q]
]
(
2
･
4
)
が､生成汎関数から以下のように計算される｡
a(n)(xl,- ,Xn)-
∂
i
J(
xl
)- ∂
i
J(
a
;
n)
4
(
2
･
5
)
図 1 連結グリーン関数 Gt
2
)を表す図｡灰色の円は連結なファインマン図の和を表すO左図が第 1項目､右図が
第 2項目を表し､引き算の結果､連結なもののみが残る｡
J]をテイラー展開 した時の n次の係数を表す.よって､Zl
J]は以下のように書 くことができるo
この式の右辺は､Zl
S
zl
J,-n .S /D1,
…,｡n G'
n
'
(
xl
,
A
-,
Xn,
J(
xl
)･
-J(
xn,･
n
(
2
･
6
,
回微分 LJ-0とすることによって､n点グリーン関数を得ることができるので Zl
J]は､グリー ン関数の生成汎
関数 と呼ばれる｡また､n点グリーン関数は n個の場の積の期待値を表す｡
(
2
.
7
)
(
4(
xl
)- 4
･
(
xn)
)-a(
n
)
(
xl,- ･
,
∬n).
次に､生成汎関数 Zl
J]に対 して関数 W l
J]
を導入するo
(
2.
8)
expl
i
Wl
J]
]-Zl
J]
ソース付の期待値を
l
ii
/
a
紘)
)
J
-Z-1l
J
]
一
鉢
娩
(
紬 )･
-
)･
･
･
妬 )exp Sl
Q]+
J(
瑚
x
)
]
(
2･
9)
で定義するとき､関数 W l
J]をソースで 2回微分すると､
i
∂2
wl
J]
-(
紳1
)
紳 2
)
)
J-∼
(
4
,
(
xl
)
)
J(
￠匝2
)
)
J- i
AJ(
xl
,
x
2
)
∂i
J(
xl
)
∂i
J(
∬2
)
(
2
.
1
0
)
となる｡ ここで､J=0としたものを
Gg)
(
xl
,
x2
)≡(
紳 1
)
紳 2
)
)-(
轍 王
)
)
(
紳2
)
)
(
2
.
l
l
)
と定義する｡第 1項 目は､ファインマン図のうち､連結な図と非連結な図の和になっているが､第 2項 目はそのうち
の非連結な図のみを表 し､引き算をすることによって､連結な図のみが寄与 している (
図1
)
れは､相互作用を全
opa
ga
t
or
(
e
xac
tpr
opaga
t
or
)を表している｡以後､
て含めた pr
i
△(
xl
,
x
2
)≡
と表 記する｡n回微分 も
リーン関数の生成汎関数
(
2･
1
2)
にな り､その結果 Gb
n
)
i
:
つている｡
している｡よって､Ⅳ[
J]は連結な n点グ
.
,
x
nGb
n
'
(
x
l
,
-･,
Xn,
J(
xl
,･
.
･
J(
xn,･
i
Wl
J,-義 払
(
2･
1
3)
また､皇子場 p(
x)を以下のように定義す るO
7
'
∂WL
J｣
4
,
(
x)
)
J甲(
x)≡(
∂
iJ (x )
関数 W[
J]の Legendr
e変換により､関数
(
2
.
1
4
)
●
r
l
p
]
を導入するO
ト
rl
p]-W[
J
J(
a
;
)
や(
x)･
5
(
2
.
1
5
)
これは､有効作用と呼ばれている｡rl
p]を pで n回微分 し､p-0とおいたものは､1粒子既約 (
1par
t
i
c
l
ei
r
r
e
duc
i
bl
e,
1
PI
)なファインマン図の和で表されるOこれを n点バーテックス関数 と呼び､r(
n)と書 く｡つま り､rl
p]はバー
テックス関数の生成汎関数になっている｡
,
日
n
;
.
最1
r(
n
)
(
xl,･･･,
Xn)
p(
xl
)- P(
x
n),
･
9
3
:
n
rl
p,-
r(
n
)
(
xl
,
-,
Xn)-
l
l
an
∂p(
xl
)- ∂p(
xn)
この有効作用は､S行列 と関係を持つ量である｡
2.
1.
2 有効作用について
PI図の生成汎関数になっている｡これは､以下のように確かめることがで
有効作用は､前節で言及 したように､1
きる.始めに rの p微分を考える01回の微分は
志 雄
認
｣
諾
認
p(
yト J(
x,
--J(
x,
,
(
2.
1
8
)
2回微分は
∂
2
r
∂J(
∬
2
)
･
.
･
.
一
･
･
･
･
･
･
一
･
･
一
･
.
･
･
一
･
.
･
=-.
一
･
･
･
･
･
.
･
.
△J(
xl
,
x2
)
｢ 1,
∂甲(
xl
)
∂甲(
x2
)
∂p(
xl
)-[
(
2.
1
9
)
3回微分は､
∂2
r
∂2
J(
xl
)
∂p(
x2
)
∂(
x3
)
aJ(
y
l
)aJ(
y
2
)aJ(
y
3
)
83
wl
J]
1,
y
2,
yB∂p
(
xl
)∂p(x2)∂p(
x3
)∂J(
yl
)
∂J(
y
2
)
∂J(
y
3
)'
xl
)
∂甲(
x2
)
∂p(
x3
)
∂p(
(
2.
20)
4回微分は
∂2
r
∂甲(
xl
)
∂p(
x2
)
ap(
x3
)
∂p(
x4
)
∂J(
y
l
)∂J(
y
2
)∂J(
y
3
)∂J(
y
4
)
∂3
wl
J]
p(
xl
)∂p(
x2
)∂p(
x3
)∂p(
x4
)∂J(
y
l
)
∂J(
y
2
)
∂J(
y
3
)
∂J(
y
4
)
aJ(
y
l
) a
J(
y
2
)a
J(
y
3
) 83wl
J
]
,
y
｡,
y8L
∂p(
x4
)
ap(
xl
)ap(
x2
)∂甲(
x3
)∂J(
y
l
)
∂J(
y
2
)
∂J(
y
3
)
･ 1
1,
y
2,
y
3,
y4 ∂
L
-(
x
3
,
y
3
)
)
]
,
yl
)- (
x
2
,
y
2
)
)+(
(
xl
,
y
l
)
･(
(
xl
(
2.
2
1
)
となる｡ここで､作用が S
l
￠
]
-Sl
-4
,
]となるとき､J-0とすると､(
2･
1
4
)より､p-0となるoこのとき､これら
の微分はバーテックス関数にな り､
r(
1
)
(
xl
)-0,
r(
2
'
(
xl
,
x2
)-il
i
A(
xl
,
x2
)
｢1,
r(3'(
xl
,
x2
,
X3
)--iL
鶴
r`4'(xl
,
x
2
,X3,
X4)-
y
2
,
y
3
[
i
A(
xl
,
yl
)
r ll
i△ (
x2
,
y
2)
]
1△
(
x
3
,
y
3
)
｢lG
g
3
'
(
yl
,
y
2
,
y
3
),
,
y2,
y3
,
y｡
y
l
)
]liA(x,y,
｢1
恒,
y
3
)
]
l
l
[
i
A(
T4,
y
4
,
]-1
[
i
A(
xl
,
-1
2 2
xGt
4
)
(
yl,
y
2,
y3
,
y4)
Ly
｡
(W'
3
'
'
xl
,4yl.
l
i
A'
yl
,
y
2
'
]
i
V
-
X ,
'
)
(
y
2
,
x2
,
X3'･{x1- x2
}+{
-
'
3
3
}
)]
(2
.
2
5
)
となる｡高次の項も同様に計算できる｡2次の項は､e
xa
c
tpr
o
pa
ga
t
o
rの逆数を表 していて､i
n
v
e
r
s
epr
o
pa
g
a
t
o
rと
6
図 2 バーテックス関数のファインマン図を表す｡灰色の円は連結な図を表し､2重線は外線 p
r
o
pa
g
a
t
o
rの取り
除きを意味する｡左図が 3点､右図が 4点バーテックス関数を表す｡4点バーテックス関数は､1粒子可約の図を
取り除くことによって 1
PIになっている｡
呼ばれ る｡3次 の項は､3点連結 グリー ン関数の 3点に､それぞれ i
nv
e
r
s
epr
o
pa
ga
t
orが掛け られている｡ これは､
o
pa
ga
t
o
rを取 り除 くこと (
a
mput
a
t
e
d)を意味する｡4次の項 は､3次 と同様､4
=
点連結 グリー ン関数か ら外
外線 pr
線 pr
o
pa
g
a
t
o
rを取 り除いているが､さらに､3点バーテックス関数 を 1本の pr
opa
ga
t
o
rでつないだ ものを取 り除
き､その結果 1
PIになっている｡
2.
2 対称性について
理論の対称性は Wa
r
dTa
k
a
ha
s
hi
(
WT)i
qe
n
t
i
t
yによって記述苫れるO始めに､生成汎関数
(
2
･
2
6
)
zl
J]-/ DQe
xp[
-S刷 ./p J(-p)W ]
に対 して場の無限小変換
￠ (p) う
を考 える｡ この変換の元で生成汎関数
zl
J]- 撫
+舶
Ⅹpl-Sl
-
- zl
J]･/ 卯 L (J(
っ榊
(
2
･
2
7
)
4･
(
p )+ 64,
(
p)
は 不 変 な の で
4]･ L
(
p上
J (- p )(" i )･ 6W
品
轍
)]
)十 品
榊
)) exp l- S l
Q,
･巨
p)
W ]+a(
6
42
)
(
2
･
2
8
)
となるO ここで､坤 の微分は積分測度からの寄与
瑚 +6
4)-- e
七
品(
打 瑚
-DQe
x
p[
nl
o
g(1+鍋
品
-PQ(1現
]
轍 )+0(
8
#)
)
(
2
･
2
9
)
を表す｡ このとき
L(J(
rp)
轍 )一品
榊 )十品
曹
)
)J -0
(
2
･
3
0
)
が成 り立つ｡ この式を WTi
de
nt
主
t
yと呼ぶ｡
次に有効作用が持つ対称性について考 える｡無限小変換
6
￠匝
)
-e
Rb,
4
,
]
のもとでの作用 と積分測度の不変を仮定する｡
Sl
4
･
+e
R]
-Sl
4
,
]
,
D(
b+e
R)-D￠･
7
(
2
･
3
1
)
このとき､WTi
de
nt
i
t
yは
0
(
2
.
3
4
)
i(
Rb]
)
JJトp)
2.
1
8)より
となるが､(
J(
-p)--
(
2
.
3
5
)
となるので､
品o
(
2
.
3
6
)
i(
Rb]
)
J
となる｡これは､有効作用が量子場の変換
p(
p)→p(
p)+e
(
Rl
p
]
)J
(
2･
37
)
のもとで不変であることを示 している. この対称性は Sl
a
vno
vTa
yl
ori
de
nt
i
t
yl
9
]と呼ばれる.線形変換の場合､
(
R)-R となり､作用と有効作用が同じ変換のもとで不変になる｡
2.
3 くり込みについて
通常､ラグランジアンに含まれる､質量や結合定数などのパラメーターは裸の量 と呼ばれる｡ これは､相互作用の
影響が含まれていない量だからである｡実験で観測される量は､裸の量に相互作用の影響を含めた量になるo一般に､
相互作用によるパラメーターへの補正量は発散する｡しかし､裸の童が逆符号の発散を持ち､その結果､有限の量が
観測されると考えることができる｡この考えをくり込み という｡
2.
3.
1 くり込み
￠4理論で考える｡ラグランジアンは以下のように与えられる｡
Lo-去
a
p
Q
o
∂PQo一芸瑚 上
(
2
.
3
8
)
組
ここで ､裸の量には添え字 0を付けて表す｡これら裸の量は発散量なので､有限な部分 と発散部分に分ける｡
60-Zl
/
2
4
,
,
m3-m2+6m2,
Ao -Z2(
A+6
^)-ZAA.
6
m2､6
人が発散量を表 し､m2､人が有限な童を表す｡また､Zは量子補正による規格化のずれを戻すためのもので､
波動関数 くり込みと呼ばれる｡このときラグランジアンは
L
:
0-i
:+i:
C
.unt｡r,
･-主,.
∴.
:-主 -一鉢
-
･
- 芸(
Z-I
)
apQaP巨 ;(
(
Z-1
)
- 2
+Z6
-
L coun
t
e
r
2
4
2一芸￠
)
4
となる｡工は､有限なパラメーター (くり込まれたパラメーター)のみを含み､ くり込まれたラグランジアンと呼ばれ
C
｡unt
e
rに含まれる項は相殺項 (
c
ount
e
rt
e
r
m)と呼ばれ､量子補正か らくる発散を相殺 し､その結果､有限な値
る.i:
が計算されることになる｡
くり込みを行 うときは､無限を有限にする操作である正則化が必要になる｡正則化の方法は複数あるが､例えば､
ut
of
fすることで正則化をすることができる｡量子補正に現れる発散は､正則
運動量積分において積分領域を Aoで c
8
化により有限な値 Aoにな り､相殺項により取 り除 くことができる｡このとき､有限な値を どの くらい残すかは任意
であ り､この任意の量を決めるための条件をくり込み条件 と呼ぶ｡
例えば､バーテックス関数を計算するとき､これらは運動量の関数になるが､発散を取 り除くときに残す有限な億
を､運動量 p2が適当な値 p2のところで決める.この p2を くり込み点 と呼ぶ.･
一般に､ くり込み点ごとに異なるく
り込み処方が存在するが､その結果与えられる物理量が同じであれば､それらは有限 くり込みでつながっている｡あ
る点でくり込んだ量を別の点で くり込んだ量にする変換をくり込み変換 と呼ぶ とき､この変換は群になり､ くり込み
群 と呼ばれる｡ くり込み点 〟2を無限小だけずらす変換は､微分方程式で表され､ くり込み群方程式 と呼ばれる｡
有効作用 rについて考える｡裸の量によって記述されるラグランジアン￡Oによって計算される有効作用は､裸の
量に依存するので､
(
2.
45
)
rl
m3,人o
;
Ao
】
と書 く.ここで､Aoは運動量の c
ut
of
fスケールを表す.一方､ くり込まれた量 と相殺項によって記述されるラグラ
ンジアン￡+￡｡
｡
u
n
t
e
rで計算される有効作用は､ くり込まれた量に依存する｡Ao依存性は相殺項により取 り除かれ､
その代わりくり込み点 〝2に依存する｡この有効作用を
(
2･
4
6
)
rr
e
n[
m2
,
A;
〃2
]
と書 くとき､この 2つの有効作用は､同じラグランジアン (
2
･
4
2
)によって計算された量なので｢等 しくなるo
rl
Qo
･
,
m呂,入o
;
Ao
]-rr
e
n[
4
,
;
m2,A;
p2
].
(
2.
4
7
)
つまり､有効作用はくり込み変換に依 ら豪いことが分かる｡このときバーテックス関数は以下のように変換される｡
r(
n)
b;
mZ,
入｡;
'
Ao
]-Z-n
/
2
r霊 b;
m2
,
A;
I
L
2
].
(
2
.
4
8
)
2.
3.
2 見かけ上の発散次数
バーテックス関数は一般に発散を含む.ループ積分をする際に､運動量の大きい部分での発散を紫外発散､小さい
部分での発散を赤外発散と呼ぶが､紫外発散において運動量の何乗に比例するかはファインマン図から知ることがで
きる｡この発散の次数を見かけ上の発散次数 と呼ぶ｡
ボゾン場を b
i個､フェルミオン場を f
i個､微分を di個含む相互作用項を考 える.この項の結合定数を giとする
iは
と､9iの質量次元 6
6
i-4-di-b
i一芸f
i
(
2･
4
9
)
と表されるoこの量は､理論のくり込み可能性の判定に使われるo次に､この相互作用を ni個含み､Eb個のボゾン
外線､Ef個のフェルミオン外線､z
b個のボゾン内線､I
f個のフェルミオン内線を含むファインマン図に対 して､運
動量の次数を考えることによって､見かけ上の発散の次数 Dsを求める｡ファインマン図に含まれるループの数を L
とすると
∑
nd
t
Ds-4L-2
I
bJ f
+
ii
(
2･
5
0
)
となるが､場の数の保存則より
∑
ni
b
i-2
Z
b+
Eb, ∑ ni
f
i-2
Z
f+Ef
も
も
(
2･
51
)
が成 り立つ｡さらに､運動量積分の数から
I
f
∑
i
+1
in
L-I
b+
9
(
2･
5
2
)
図 3 ￠4理論での発散を含むファインマン臥 外線が 6本以上の図に発散はなく､車の 4次までの相殺項を用意
することにより全ての発散を取り除くことができ､その結果有限な理論となる｡
とい う関係が成 り立つので､まとめることにより
芸 ∑tni6i
Ds-4-Eb
Ef-
(
2･
5
3
)
となる｡
このことから､理論のタイプを以下の 3つに分けることができる.1つ目は､6
i>0の相互作用のみから成る理論
で､超 くり込み可能 (
s
upe
rr
e
no
r
ma
l
i
z
a
bl
e
)な理論 と呼ばれるOこれは､摂動の高次にい くほど Dsが小さくな り､
発散 しなくなるからである｡2つ目は､6
i≧0の相互作用のみから成る理論で､ くり込み可能 (
r
e
no
r
ma
li
z
a
bl
e
)な理
論 と呼ばれる.このとき Dsは
Ds-4-Eb-言Ef,
(
21
5
4
)
とな り､摂動の次数に関係なく発散を含む｡しかし､外線の数が増えるごとに発散 しなくなり､その結果､有限の種類
のファイン潔ン図のみ発散することになる03つめは､S
i<0の相互作用を含むときで､ くり込み不可能な理論 と呼
ばれるo(
これは､摂動の高次絃い くほど見かけ上の発散次数が大きくなるので､外線の多いファインマン図でも発散
i
を含むことになる｡その結果､無限種類の発散するファインマン図が現れることになり､相殺項も無限に必要になる｡
4
,
4理論で考えた場合､結合定款 Aは無次元量で､質量次元が負になる結合定数がないので､この理論はくり込み可
能な理論になる. このとき､見かけ上の発散次数は (
2.
5
4
)
湛 なり､発散するファインマン図は､外線が 2本 と4本の
図になる (
図 3)
O盗れ以よ外線が多いファインマン図には発散はな く､少の 4次までの相殺項を用意すれば十分 起な
る｡外線が 2本の場合､見かけ上の発散次数は 2となり､2次発散 と対数発散を含む｡外線が 4本の場食､兄か頼止
の発散次数は 0となり､対数発散のみを含むOよって､この 3個の発散を取 り除 くことで有限になるO
2.
3.
3 くり込み条件について
発散量を取 り除 くときに､有限量をどのくらい残すかは 意であり､これを決める条件を くり込み条件 と呼ぶ｡ま
た､ この条件を課すときの運動量の備 〟2をくり込み点 と
のと
こ
ろ
にと るO夢4理論の場合､発散は外線が 2本 と4本の図､つまり2点
起こ
関
数
で
バーテックス関数 と4
＼
点バ
ー ス
それに対応 して､ くり込み条件 も 3
個必要になる｡2点バーテ ック
ス
関
数に
対し
で
は2
次発散と
対
り､ くり込み条件は
一般に､ くり込み点は物理的質量
- 0,
璃拍2
-m2
;
m2
,
^
]
主1
f
=
:
:
1
=
J･
=
I
:
=1
となる.一つ目の条件は､2点バーテックス関数は (
2･
2
3
)より e
xa
c
tpr
opa
ga
t
o
rの逆数になるので､物理的質量の
ところに e
xa
c
tpr
o
pa
g
a
t
orの極があるようにするための条件である｡二つ目の条件は､物理的質量における規格化
条件になる｡4点バーテックス関数には対数発散があり､くり込み条件は
r
f
き
拍 1･
P2-･
･
･
-P3･
P4;
m2,^]- 一入
1
0
(
2･
5
7
)
となるO これは､外線運動量が､p誉
-p茎
-p2
3-P2-m2 となるときの､4粒子 の対称点で条件を設定 したことにな
r
e
eレベルの借 と一致
るO これ らの条件は､質量殻上の くり込み条件 と呼ばれ､質量殻上のバーテ ックス関数の値を t
させ る条件になる｡
その他の くり込み条件 としては､以下のようなものがある｡
巧喜
抽 2-m2
;
m2,A;
p2
】-0,
蒜 r鮎
2
;
-2
,
- 1,
-
;p2]p2 -I
L
2
= -A.
巧含
ま励m2
,
A;
p2
]
毎+喜IL2(1-6i3･)
pi･
P,
･
- -P2
一つ 目の条件は､(
2
.
5
5
)と同様､m2を物理的質量に とるための条件である.残 りの条件は､ くり込み点 p2で与えら
れている｡ これは､異なるくり込み点 ごとに､異なる条件を与えることを表 している. この条件によ り､
.バーテ ック
ス関数が くり込み点 〃
2に依存することになる｡
また､バーテ ックス関数を質量パラメーターの関数 として有限にする くり込み もある｡その くり込み条件は以下の
ようになる｡
r2
鮎
鮎2-0;
蒜r
鮎 2
;
r
喜
抽- ;
r
- 2,
恒
2,柚
f
(
2
.
61
)
- 0;m 2
,
A;
p2
]l
m ｡=0 - 0,
2
]
l
m2
=p2
-
2
]p
2
=o
l
m2-p2
om 2,A;p2
]
=
(
2
.
6
2
)
-P
2,
-1 ,
(
2
.
6
3
)
一入.
(
2
.
6
4)
条件が 1つ多 いのは､2 発散す る 2点バ ーテックス関数 に 対 して､ 質量パラメー ター m 2で の微分
次
2.
38)
の 質量項を以下 の よ
対数発散 す る からであ る ｡4個の条 件 に対 応して､(
1
mg
)
払
mz･6
一書(
うに変更す
∂m2が
∂r (2)
/
る｡
mZ-Z-m2, 6
mg-Z 16
m2･
(
2
･
6
5
)
その結果､I:
C
｡
un
t
e
rに 4つの発散量 Z､Z
m､Z入､6
m2 が含まれ､それぞれが くり込み条件を満たすように決め られ
m､Z人は､条件が m2-p2の ところで与えられているため､質量パラメー
るO この とき､対数発散を くり込む Z､Z
A
恒 こ依存することになる.'
そのため､この くり込み条件を質量 に依 らない くり込み と呼ぶ.
ターに依存せず､入Oと /
2
.
61
)よ り､6
m2
0は m や 両 こ依存せず､
また､条件 (
6
m3-A2f
(
Ao
)
(
2
.
6
6
)
の形 になる｡
2
.
3.
4 くり込み群方程式
くり込み点 〃に依存するくり込み条件である (
2
.
5
8
)
､(
2
.
5
9
)､(
2.
6
0)で くり込 まれたバーテ ックス関数に対する く
り込み群方程式を考 える｡(
2･
4
7
)において両辺を くり込み点 〃で微分すると､左辺が 〃に依存 しない ことか ら
P
irr
e
n[
￠
;
-2
7
柚
2
]- o
となる｡ ここで､微分 は裸の量を固定 して行われる｡ くり込まれた量の 〃依存性 は
Z-Z(Ao,2 ,
2 ) ,
z
A-zA(Ao,2 ,
; ) ,
6-
2
-A
2f(^0
,
%
1
1
)
(
2･
67)
となる｡これは､Zが無次元量であることから､質量次元を持つ量に対 してはその比にしか依存しないことを表 して
いるOまた､6
m2が 再 こ依存 しないのは､ くり込み条件 (
2
.
6
0
)により､m が物理的質量 として与えられているから
である｡このとき､くり込み群方程式は､
l
pi ･β嘉 一T
Q
i]
r
r
e
n-0,
p
芸人
-一
成
♂-
l
o
gZ入 ,
7--P孟 l
o
g軽 量p孟 l
ogZ
となるo βはベータ関数､γは異常次元と呼ばれる量で､人と m/
F
Lの関数 となる.これをくり込み群方程式と呼ぶ｡
バーテックス関数に対するくり込み群方程式は以下のようになる｡
l
p
芸
.β嘉 一n
T匝
-o･
(
2･
7
4)
一方､質量に依らないくり込みに基づいたくり込み群方程式は以下のようになる｡
l
p
芸.
β
孟 -7
-2
嘉 一鳩
成
匹 p芸 人- 一
r
r
e
n-0,
l
ogZA,
7
桟l
o
g
2
p
孟o
g
Z
,
l
7-rP孟 l
o
gb-滝
l
o
gZ･
(
2
.
7
5
)
(
2
.
7
6)
(
2.
7
7)
(
2
･
7
8)
m､γは 入のみに依存する関数 となる｡バーテックス関数に対す
ここで､
T
mは質量異常次元と呼ばれるoまた､β､7
る方程式は以下のようになる｡
p孟 +β嘉 一7
--
2
品 -nT]rf霊-o･
(
2.
7
9)
2.
4 非摂動 くり込み群
非摂動 くり込み群 とは､K.G.
Wi
l
s
o
nによって定式化された手法で､統計系の臨界現象の解析で大きな成功をおさ
めている｡その後､場の量子論に応用され､素粒子物理に対するより深い理解が得 られている｡
ut
o
f
fすることによりミクロ理論 (
UV理論)を
その基本的な考え方は以下のようになる｡始めに､運動量を Aoで c
正則化する｡次に､A(
<Ao)とAoの間の運動量を持つ場のモー ドを積分することにより､A以下の有効理論 (
I
R理
論)が得 られる｡これは経路積分で以下のように表現される｡
/
D
Z
QI
RDQuve
-S
u
v"u
v+Q
I
R]- / 卯 I
Re
S
I
Rl
Q
I
R
]
(
2
･
8
0
)
ここで､4,
uvは A以上､￠I
R は A以下の運動量を持つ場のモー ドを表す.この操作は､波長の短いゆらぎを平均化
し､波長の長いモー ドの有効相互作用として取 り込むことに相当する｡その結果､理論のパラメーターである結合定
数がスケールとともに変化していくことになる｡このように､Aoで与えられていたパラメーターを､Aでのパラメー
ターに変換することをくり込み変換と呼ぶ｡但し､積分は直接行われるわけではなく､同等の汎関数微分方程式を解
くことによって行われる｡この微分方程式をくり込み群方程式と呼ぶ0
ut
of
F関数の説明をし､その後 Wi
l
s
o
n作用を定義するOそして､非摂動 くり込み群の基本方
この節では､始めに c
l
c
hi
ns
ki方程式 とWe
t
t
e
r
i
c
h方程式の導出を行う.
程式である Po
1
2
2.
4.
1 cu
t
o
f
F関数について
UVモー ド)と低エネルギーモー ド(
I
Rモー ド)の分離は､c
ut
o
庁関数
高エネルギーモー ド (
(
p
)
K
(
蛋
)
(
2.
81
)
K
によって行われる｡c
ut
o庁の仕方 としては､s
har
pcut
o
f
fとs
moo
t
hc
ut
of
fの 2種類あるが､ここでは s
moo
t
hc
ut
o庁
を考える.この関数は､p
2<Aで 1に漸近 し､p2-0で 1になるOまた､p2>Aで 0に漸近すると言 う性質を持
ut
of
Fできる. この性質をもつ関数の例 として
つ｡ これによって､運動量が A より大きいモー ドを c
卜(
蛋)
n
]
K(
p)-e
xp
(
2･
82)
がある｡ここで nは正の定数で､大きいほどs
ha
r
pc
ut
of
Hこ近づいてい く｡但し､c
ut
oぼ関数の特定はしないで､以
後は､滑らかで
(
p 2<A
)
(
p 2>A
)
1
K(
p)
;
tj
〈o
(
2･
83)
となる関数 として扱 う｡
2.
4.
2 WH
s
on作用
始めに､運動量が Aoで c
ut
o
f
Fされた理論を定義するO但 し､J-0とする｡
Z
/￠e
D
Ao
]
],
xpL 瑚
sl
b;
Ao
,
-蔓什
p)
諸
相
+S
I
l
糾 o
]･
ここで､D2
(
p)-p2+m2
､Ko
(
p)-K(
p2
/
A呂
)とし､SI
l
￠;
Ao
]は､スケール Aoで定義された相互作用を表す.ま
た､4
,は､Ao以下の運動量を持つ UV場を表す.c
ut
o
f
f関数を
Ko
(
p)-K(
p)+(
Ko
(
p)-K(
p)
)
(
2･
86)
とすることにより
1
K
(
+
￠(
-p)
-香
/
p
Sl
Q;
Ao
1
D2
(
p)
p)
￠(
p)+Sz
[
￠;
Ao
]
K(
p)
)
(K o(
p) -
(
2･
87
)
となるが､これは 4
,
- 如 +￠lとするとき
/
D日
Qexp
-N /
恥
￠
(
p
)
-S[
4
,
;
Ao
]
p
)
A(
p)+B(
)
-
I
p
伊
ト去
距
Xp
-p)
志
拍
)
+-
)
孟
柚
,
ト
s
I
l
Q
h
･
￠
l
;
A
o
･
]
(
2･
88)
が成 り立つので､
Z
-/D-
4"xpL
芸
枠
D2
Y 叫 rノ
Y'
L＼Y )
ノ
K
K(
)
上p)
蒜p
抽
) -
D2
o
(
p
)
-K(
p
)
抽
+l
)
ト 瑚 汗
-
]
(
2･
89)
と書き換えることができる.ここで､N は定数を表すが､Z ではこの定数を無視 した｡また､pr
opa
ga
t
orを見るこ
とにより､￠hは運動量が A2 <p
2<A呂の範囲に cut
o
f
fされ､4,
lは運動量が A以下に c
ut
of
fされていることが分か
る. このとき､如 積分を先に実行することにより､運動量が Aで c
ut
o
f
Fされた Wi
l
s
on作用 Sl
(
毎 A]が定義されるO
sl
bl
;
A,
-去L 頼
p)
蒜
1
3
抽 ).SIl
Ql
･
A,
A
(
2
･
90)
ここで Sz
l
4
,
l
;
A]は W i
l
s
on作用の相互作用パー トを表 し､
β2
如(
p)-Sz
[
如 +￠l
;
Ao
]
]
K
o
(
p
)
-K(
p
)
pl
s肋 A]
]-/DQhe
XP[-iL縦 p
)
e
x
(
2
･
9
1
)
となる｡
このように､元々の場 4
,
を､運動量が A2<p2< A呂に c
ut
of
fされた高エネルギーモー ド4
,
hと､運動量が p2<A2
にc
ut
ofされた低エネルギーモー ド￠lに分け､高エネルギーモー ドの積分のみを行 うことにより､低エネルギーモー
ドのみか ら構成される作用を得ることができるOこの とき､
Aoで定義された結合定数は､高エネルギーモー ドの影響
を受け元の値から変化する｡積分を次々に行 うことにより､任意のスケールの有効結合定数を得ることができる｡こ
の変化を微分方程式で表 したものが くり込み群方程式になる｡
2
.
4
.
3
ブロックスピン変換による l
R作用
高エネルギーモー ドの積分方法は一意的ではない｡ここでは､ブロックスピン変換による有効作用を考える｡ブ
tt
e
r
i
c
hにより連続理論に応用された.
ロックスピン変換は､もとは格子理論で使われているものだが､We
(
2.
84)で定義された生成汎関数に対 して､以下の定数を掛ける｡
1
′
2
/D
◎e
x
p
l
ASl
叫
,
･-(
De
t
α)
･sl
O,
拒
芸
L
(
@(
-p=
伸 上p)
)α(
p)
(
@(
p)-I(
p
)
∼ )･
ここで､◎は A以下の運動量を持つ I
R場を表 し､I(
p)は A以上を cut
of
fする関数 ､αはブロックスピンカーネル
と呼ばれる関数で､通常は
α(
p)-
R(
p)
(
2.
94)
i
(
p)
(
1-I(
p
)
)
とするoRは運動量の適当な多項式を表すo但 し､AぅAoのとき fう 1
､αう ∞ とする. これは､AI Aoとし
たとき､得 られる有効作用が元に戻るための条件 となる.このとき Zは､定数を除いて
Z
/
-
◎e
x
pl
-
[
机 上 Sl
b;
Ao
]
]
(
2･
95)
となる｡ここで､高エネルギーモー ドである 4
,の積分を先に実行することにより Wi
l
s
on作用 S
l
動 A】が以下のよう
に定義される｡
e
x
p
ト -
-
] /D￠e
x
p卜 △珊 軒 Sl
M
o
]
]･
(
2
･
9
6
)
A を A｡に近づけると､αは ∞ に近づき､△Sはデルタ関数的な振 る舞いをするo この とき fは 1に近づ くので､
U
V場 と I
R場を ◎- ￠と対応付けることになり､W i
l
s
on作用は元の作用 (
2.
85)に戻る｡
次に､Wi
l
s
on作用の相互作用パー トを求めるO車について平方完成すると
-
Z
/-
e
xp卜
去
封4
的(
蛋+
軒1
〉
(
蛋.
f
2
a
)
(
4
(
蛋+
f
2
a
)
1
榊〉
一
芸
軒 p
)
(
a
Jα(
蛋.
叶1
f
a
)
(
pp,-S潮A
o
]
,
@(
(
2
.
9
7
)
となるが､ ここで
,◎
′
f
α
(
蛋+
f
2
a
)
1
申
￠
′
-4
,
-◎′
1
4
(
2･
98)
と定義すると､Zは以下のようになる.
α(
p)
KJl
(
p)
D2
(
p)
@(
p)
p)
-1(
p)
D2+f2
(
p)
α(
p)
Ko
Z-/DdD◎expl一芸什
-芸か (
-p)
(詔
･f2
(
p,
α(
p
,
)d'
(
p,-SI
l
dH ,
;
Ao
]
]･
(
2･
9
9
)
ここで ￠ ′積分を行 うことによりWi
l
s
on作用の相互作用パー トが以下のように得 られる｡
e
x
p
トsIlO,;A]]/
D
d
e
x
p
卜呈
上
杵p
)
(
詔
+f
2
(
p
,
α(
p
)
)拍 ト S
I
l
4
'
,
捕,
･
Ao
]
]･
(
2
･
1
0
0
)
ブロックスピン変換によって得 られた Wi
l
s
o
n作用は､Jと αを
^'
(
,
p)
Ko
(
p)
D2
(
p)
α(
p)= K(
I(
p)-高 取
p)
(
Ko
(
p)-K(
p)
)
(
2.
1
01
)
とするとき､
α(
p)
K.
-1(
p)
D2
(
p)
D2
(
p)
i
･
,
T
l
･
3
c
t
･
(
p
J
K
.
-l
1(
p)
D2
+f2(
p)
α
匝
)= っ市
D2
(
p). 2
2
′
∴ ′
"
､
D2
(
p)
+f2
(
p)
α(
p)Ko
(
p)'J＼
rノ
…＼
rJ K o(
p)-K(
p)
f
a(
冨･f2a)-1- 1
となることによって､(
2
･
9
0
)と一致する｡
2.
4
.
4 連結グリーン関数
Wi
l
s
on作用に対する生成汎関数は､(
2
.
8
9
)より､以下のように書 くことができる｡
zl
J
]
-/D-
[一 芸上木
p,
誓
抽
(
2
.
1
0
5
)
)
]zAl
Ql
,
J
,
･
ここで､
zAl
Ql
,J]-/ -
e
xpl一芸L 縦
p)
品
抽
)- SI
l
Qh･Q
l
;
Ao
]
.L J(
-p
)
(
拍
)
+抽 )
)] (
2･
1
0
6
)
となるoここで､4
,
-4
,
h+4
･
lと変数変換すると
zAl
Ql
7J･-e
xpl
一鉢
-p)
品
･
/
D
Q
e
x
p
l
一伊
拍 )
]
-p)
諾
膏紬
S
掴;
A
o
]
･
什p
,
(
J
(
p
,
･
品
W
)]
(
2
･
1
0
7
)
となるので､￠積分を実行すると
pp
)
警
宗J
(
p
)
･
J
(
I
-)
)
]
l
一芸
L
(
J
･
諾詞 等空(
J
･
諾衰)
]
･
e
x
p
L sIl
銅
l
;
i
(
J
･
品 b
l
)
E
#(
J
･
品Q
l
)
]
Q
l
,
J
,
-exp[/ (;J(
zAl
･e
xp
(
2
･
1
0
8,
]e
xp
となる｡よって､J微分を実行 し､スケール Aでの相互作用を以下のように導入する｡
zAl
Ql
;
J,-e
x
p[L (;Jトp)竺 宗
J(
p)･J(
I-
1
5
]
]
･
)
)-SI[
至妄 空 J･Ql
;
A
(
2
･
1
0
9
)
これは (
2.
1
0
6
)より､4
,
l-0とすることで 4
,
hに対する通常の生成汎関数になる｡そこで､以下の量を定義するO
W^[
4
,
i
,
J]-l
ogZA[
4,
l
,
J]
-i(;J(-p)等
謹 J(
p)･J(
-p)
∼
)-SI[
等
竺 J･Ql
;
A]･
(
2･
1
1
0
)
これは､￠l-0とすることで､I
Rc
ut
of
fされた連結グリーン関数の生成汎関数になる｡
方程式
2,
4.
5 Pol
c
h
i
n
s
k
i
l
s
o
n作用に対する Po
l
c
hi
ns
k
i方程式を求める｡ このとき､Jと
始めに､ブロックスピン変換によって得 られた Wi
αを (
2.
1
0
1
)とすることにより､(
2
.
9
0
)に対する Po
l
c
hi
n
s
k
i方程式になる｡
Wi
l
s
o
n作用の定義式 (
2.
9
6
)をスケール Aで微分すると､Sl
4
,
;
Ao
]は Aに依 ら軌 ､
ので
-A言霊e
xpl
-sl
@;A]
]-/ DQA孟 (-△sl
O4]
)e
xp卜 △-
-S励 Ao
】
]
,
(
2.
1
1
1
)
となる.-方､場 ◎による微分は､
品
e
xp[
-ASl
O,4
]
]--α(
p)
(
@(
-p)-I(
p)
-
(
2.
1
1
2
)
)
)e
xpl
-△Sl
04]
]
,
より
x
軒 p)epl
-△sl
@,
車
f-1(
p)(隼 p)
･a-1
(
p)
品
(
2
･
1
1
3
)
)e
x
p[
- Sl
O,
Q
]
]
A
となるので,(
2
.
1
11
)の右辺に､ この式を代入すると
A
芸- s
L
l
e
p)
A等 と
*(
p)-@(
-p)
rl
A誓 (@(
p)
･α-1
(
p)
請
如
･芸(
@(
-p)+α-1
(
p
)
a
)
)
]
e
S
)I
-1
A等 f
-1(@(
p)+α-1
(
p)
請
(
2
.
1
1
4
)
が得 られる｡最後にこの式を整理することによって Po
l
c
h
i
ns
k
i
方程式が得 られる｡
∂(
f2
α) 1
A言霊-汁 (
A孟 l
o
gf)@
(
p
)
品
一芸f
2
A ∂A
また､Jと αに対 して (
2
.
1
01
)を代入すると
A芸 -投
A針
誓 @(
p,
義
(品
+去〈品
蒜
蒜
一品
5%
一品
&
)
]
･ (2･115)
)
]
(
2･
1
1
6
)
となる｡
次に､Wi
l
s
o
n作用の相互作用パー トに対する Po
l
c
hi
ns
k
i方程式を求める｡定義式 (
2.
1
0
0
)において､積分変数を
￠に戻す と
/
e
x
pl-sI酢 A】
]
-錘
銅 ,
･sI
l
去
-pト
DQe
x
p卜 △sI
l
O/
,
*]-S IlM
町
p
)
)
(
詔
o]]
+f
2
(
p,
"p)
)(
紬
,
拍)
一
と書けるので､A微分をすると､鋸 ￠;
Ao
]は Aに依 らないので
一
億
e
xp[
-
]
]
/
DQA孟 仁
;
A
△sIl
O,
Q]
)expト △sI
l
@,
￠]-Sl
Ql
･
Ao
]
]
(
2
･
1
1
9
)
となる.-方､
品
e
xpト △sI
l
O,
4]
]- (芸 針
f2
(
p)
α(
p)
)(
@ ,(
-p
ト ￠(
-p
)
)e
xpト △sI
l
@/
,
￠]
]
1
6
(
2
.
1
2
0
)
図 4 Po
l
c
hi
ns
k
i方程式を表す図 【
1
1
]
.灰色の円が相互作用の頂点を表し､黒点が c
ut
o
f
fされた p
r
o
pa
ga
t
o
rの
微分を表す｡点線は外線を表し､和は外線の数が両辺で等しくなるようにとっている｡
より
-
)e
xpl- A SIl･,74,] - 〈町
p)+ (認
･f2(
p,
"p,
) 1品
〉e
xpl-△sIl
0,
,
4,
]
(
2･
1
21,
となるので､(
2.
11
9)に代入することによって､Wi
l
s
on作用の相互作用パー トに対する Pol
c
hi
ns
ki方程式が得 られる｡
蛋
+
f
2
a
)
1
+a p
｢
抽孟(
針fa
)
1
1
[
品 最一
品 最]
･
f
a
)
(
f
a
)
1
(
蛋
穏 ･
-il
A晶 〈(
f2 )]･(葛
2
i
芸
･
1
＼
ーノ
′
し
∂
煎
A
n
H相聞
l
1
2
ここで､Jと α に (
2.
1
01
)を代入すると
∂
S
t
.∂
S
I ∂∂
S
z
野苛爾 否
軍
司爾
(
2･
1
2
2)
(
2･
1
2
3)
となる｡
ここで､SIを
S
I
(
p
l
,
･
i
1
7
日
1
P
n
Sz-
･
･,
P
n;
A)
@(
pl
).
･
･
@(pn),
a
n
S
I
s
i
n
)
(
pl
,
-･,
P示A)a*(
pl
)･･･
a@(
pn)
l
c
hi
ns
ki
方程式は
と展開すると､相互作用に対する Po
A孟s
i
n
'
b l,･
,
Pn)
/i (品 )
1
[
; Si
--
p
{
I 2, -'
(
-p,Il;A )Sf
l
'
(
p,
I
2;
Aト isi
n'2
)
(
-p,
p,
pl
,･ ･･ ,P n ,]
A
2･
1
26)
(
lは plか ら p
nの運動量を m 個､I
2は残 りの l個を､重複な く持つ とするoZ
lと I
2に対す
と表されるo ここで､I
-nとなる m と lについての和を表す. これは､図 4によって表ざれる.
る和は､m+i
2.
4.
6 We
t
t
e
r
i
c
h方程式
Aoで c
ut
of
fされた理論に対 して､I
Rc
ut
o
f
fを加えた生成汎関数を考 える｡
zl
J]-/D￠exp l- SP･
7
Ao
巨
△SAl
Q]･ L J(
-p)
W
]･
(
2･
1
2
7)
ここで､I
Rc
ut
of
fを表す △S
Aは
l
距錘A
b
)
軒p
)
紬
･sA
1
7
(
2･
1
2
8)
で与えられ､R
Aは､A1 0で 0､Aぅ Aoで ∞ になるように決められる.例 としてほ以下のようになる.
RA
(
p
)
符
(
2･
1
2
9
)
e
xpl
g]-e
x
pl
S]
このように定義ざれた生成汎関数に対 して以下の量を定義する｡
wA
l
J]
-l
o
gZl
J]-l
og/ 卯 e
xpl-
瑚
A oト
△
SA
l
糾 /
pJ(
棚
p,
]･
(
2･
1
30
)
さらに､有効作周は､I
Rc
ut
o
f
Fに依存する量子場 pを
p(
p)≡(
刷
(
2･
1
31
)
- 冨器
で定義するとき､以下のようになる｡
rAl
p]
--WAl
J]+
J
(
-p
)
甲(
p
)
-△S
A
l
p
]
･
L
(
2･
1
32
)
､
ここで用いた定義は､A十 Aoで r
AI S となるように構成されているO実際､(
2･
1
32)より､
J(
p
)
-A
(
2･
1
33)
IRA
(
p
)
直P
)
となるので､x-￠-pAとして
pl
-rA[
車
e
xpl
-sl
b;Ao
月
ex
去L x'
p
'
RA
'
p
)
冗(
p
'
]
x'
p
琴
ト
(
2･
1
3
4)
となるoAぅ Aoのとき R
Aヰ ∞ となるので､RAを含む項はデルタ関数的な振る舞いをし､その結果 TA十 S と
なる｡
We
t
t
e
r
i
c
h方程式は (
2.
1
3
2
)のスケール微分から得られる.始めに､△SAを除いた有効作用を テA とする.
rAl
p]-テAl
pト △SAl
p]
.
(
2.
1
35
)
このとき rAのスケ-ル微分は
[
J
]
｣ A器
A孟 fAl
p]- -A驚
卓
欝
･LA響
p(
p)
(
2.
1
3
6)
となるが､(
2･
1
31
)より､最後の 2項は消えるoさらに､WAの具体形より
A孟 f
Al
p]
-
u A空欝
-
)
"p)
)
(
2･
1
37
)
となるが､
8
2
wA
車上p)
￠(
p)
)-(
4
,
(
-p)
)
(
￠(
p)
)
-(
∂Jトp
)
∂
J
(
p
)
-(
4
,
トp
)
￠
(
p
)
ト
pトp
)
p(
p
)
(
2.
1
3
8)
より､
孟lp]-i l;
A
fA
wA
8
2
A
A 響a
aJ(
-p)
aJ
(
p)･
A孟 △s
Al
b
]
]
(
2･
1
3
9)
となる｡ここで､恒等式
J
wA
∂2PA
p-q
)
∂(
p
)
∂
J
(
A
)∂p(
k)
∂p
(
q
)-6(
∂2
1
8
(
2.
1
40
)
図 5 2点バーテックス関数に対するWe
t
t
e
ic
r
h方程式を表す図0数字入りの灰色の円がバーテックス関数を表
し､黒点が 月Aの微分を表している｡2重線 は e
xa
c
tpr
o
pa
g
a
t
o
rを表す｡
t
t
e
r
i
c
h方程式が以下のように得 られる.
を使 うことによって We
∂2rA
九品 rAl
拒
妄L A響
+
1
]
(
2.
1
4韮
)
RA(
p)
n点バーテックス関数を F
k
n
)と書 くとき､これらに対する方程式は (2.141)を微分することにより得 られる.例え
ば､2点バーテックス関数に対する方程式は､
∂2
A品 ri
2
) ∂甲∂甲A孟 r湖
BRA a
r
i
2
'
+R
壷
〈A ∂A ∂p(l
A
〕
1
r
i
3
'
l
r
i
2
'
+RA
]
1
)
)
-尊
纂
簿
酵'
･RA]1
r
i
3
'l
rだ)･軒
l
r
i
3
'l
ri
2
)+RA]
-1
l
r
k
2
'
･RA]1
r
k
4
'l
Ti
2
'･軒
警
(
2.
1
42
)
1
〉
に対 して､甲-0としたものになる.これは､2点バーテックス関数に対 して､3点 と4点のバーテックス関数が薄暮
していることを表 している (
図･
5
)
｡一般に､n∴
点バーテックス関数には､(
n+1
)点 と (
n+2
)点からの寄与がある0
3 非摂動 くり込み群によるカイラル対称性
この車では本論文の主題である､非摂動 くり
でのカイラル対称性の実現につい
理論がもつ対称性を破ってしまうという問題に対
､変形苦れた対称性による理論の
格子理論での前例に基づいている｡格子理論では､格子正則化によってカイラル対称性は破れて しまう｡この間題に
対 して P.Gi
ns
pa
r
gと K.
Wi
l
s
onによって以下のようなアプローチが とられた 聞｡始めにカイラル変換のもとで
不変な連続理論の作用を考える｡この作用に対 して､カイラル対称性を
なブロックスピン変換を行 うこと
によって格子理論の作用 と関係をつける｡このとき､
ンの双一次であると仮定すると､
Di
r
a
cope
r
a
t
o
rを D としたときに､以下のような関係式がえ
75
D+D75-2
(
3.
1)
α臥 ブロックスピンカーネルと呼ばれ､格子間隔 αの逆数に
e
l
at
i
onと呼ばれ､格
汀
するo この関係式は GW r
子理論でカイラル対称性を実現する際に重要になる｡
フェルミオンに対するカイラル対称性は､Di
r
ac
の定理によ り､局所的で正 しい
o
pe
r
at
orと75の反可換によって与えられるが､
ならない｡しかし､GW r
e
l
at
i
o
nを たす Di
r
a
c
連続極 限を持つ Di
r
a
eope
r
a
t
orは 75との反交換関
満
e
l
s
e
nNi
no
mi
ya
o
pe
r
a
t
orは､75との反交換関係がゼロではなく､格子間隔に比例する量だけずれている｡よって Ni
の定理には抵触 しない｡さらに､連続極限で通常のカイラル変換に戻 ることを示 している｡この Di
r
a
cope
r
a
t
orに
よって記述される自由理論は､変形されたカイラル変換のもとでの不変性を持っている｡後に､この変換のもとで不
変な格子理論が 1
9
98年に M.L軸c
he
rにより構成された [
8
]
O
非摂動 くり込あ群で も同様 に変形された対称性を扱 うことができる.理論の対称性は War
dTaka
has
hi
(
WT)
U
i
de
nt
i
t
yによって記述されるが､ V理論が場のある変換のもとでの対称性を持っているとき､ブロックスピン変換
1
9
0
図 6 左は c
l
l
t
Of
f関数 K(
p
)を表すO右はA/
A -1/2としたときの f
(
p
)を表すO
で関係付け られた I
R理論では､変形された場の変換のもとでの対称性が実現されていることが知 られている｡ この
変形 された対称性は､格子理論 と同様､ 自由理論に適用すると GW r
e
l
a
t
i
o
nを導 く｡ 本論分では､格子理論での前
例
【
7
]に基づいて､非摂動 くり込み群の立場で､湯川相互作用を含めて得 られる､変形された対称性を持つ理論の構
成を考える｡但 し､フェルミオンに対 して双一次を仮定する｡ これは､変形された対称性を持つ作用 として､場の高
de
nti
t
yを解 くのが非常に困難になるためである｡
次項を含んだ作用を仮定すると､WTi
3.
1 ブロックスピン変換
高エネルギーモー ドを積分する方法はい くつかあるが､ ここでは We
t
t
e
r
i
c
hによって導入されたブロックスピン変
V
換の連続理論版 [
4]を使用する｡始めに､必要 とされる関数を導入 し､そのあとにブロックスピン変換 によって U
理論の生成汎関数 とIR理論の生成汎関数の関係をつけるO
以下のような c
ut
o
f
f関数を導入する｡
(
p
2<A2
)
(
p
2>A2)
1
(針
互
〈0
(
3
.
2
)
さらに､以下の関数を定義する｡
(
蛋),K(
p
)≡K(
g),i(
p
)≡認
Ko
(
p
)≡K
･
(
3
.
3
)
Ko
(
p
)は Ao以上､K(
p
)は A以上を cutoだする関数にな り､I(
p
)は K(
p
)と同様に A以下を cut
o
fする関数にな
る.場
￠A
のグラスマンパ リティを Cで表 し､
e
(
4
,
A)-e
A
(
3.
4
)
として､ ￠A が Gr
a
s
s
ma
nnoddの場合 e
A-1
､￠A が Gr
a
s
s
ma
nne
v
e
nの場合 e
A- Oとする.
次に､ブロックスピン変換によって I
R作用を定義するoU
V理論の作用を SUvl
4
,
･
,
Ao
]とすると､生成汎関数は
ZU
v
と
l
J
]
/
-
U
v
【
榊o
]
+Ko
-1
J･
￠
D4
,
e-S
(
3･
5
)
な る｡ここで､場 や ソースJに依存 しない定数
/
D
@
e
i
(
O
J
]
-N
J
/
-fQJ
を掛けることによって､
ZUvl
)
･
α
恒
･
'
Ka'- 1
D◎D函 弓
…*
)
･
α
･
(
…
(
w
J'
Ka'
Ml
.
J)
中上 S
Uv[
榊o
】
+K 1
J･
￠
(
3･
6
)
(
3
.
7
)
に
な
る
｡
となる｡ ここで､勅 は以下のよう
l
ogNJ-一等
LJ
A(
-P,
K-2
(
p,l
a-1
(
p,
]
ABJ
B(
p)･
2
0
(
3
･
8
)
このとき先に U
V場 ◎の積分を実行することによりI
R作用を以下のように定義する｡
-
e
-SIRl
O;
A]=
/
D4
,
e
弓
(
O-f￠)
･
a･
(
◎-f
￠
トS
u
v[
榊 o
]
(
3.
9
)
このとき U
V場 と I
R場の関係は ◎ 村f
￠となり､これは U
V場 ￠の運動量が A以下のモー ドを I
R場に対応させて
いることを表す｡αはブロックスピンカーネルと呼ばれ､A ぅ Aoで αう ∞ となるパラメーターを表す｡これは､
A 十 Aoとした時､◎- ￠となることによって I
R作用が U
V作用に戻るための条件になっている｡U
V理論の生成
R理論の生成汎関数の関係は以下のようになる｡
汎関数 と I
J
/
D◎e
S
I
Rl
和 人]
+K-1
J･
◎
Zuvl
J]-N
(
3
.
1
0
)
- N JZI
Rl
J]
I
(
3.
9)において､αを含む項が U
V理論の持つ対称性を尊重 しない場合､左辺の I
R作用は U
V理論の持つ対称性を
3
.
1
0
)を用いることによって
持つことはできない｡ しかし､無 くなってしまう訳ではなく変形された形で残ることが (
示される｡
3.
2 l
R理論での WTi
de
n
t
i
t
y
前節で U
V理論の生成汎関数 と I
R理論の生成汎関数の関係が得 られたOこの関係式を使 うことによって､I
R理論
de
n
t
i
t
yを求めることができる｡この節では､U
V理論で WTi
de
n
t
i
t
yが成立するときに､ブロッ
で成 り立つ WT i
R理論の WTi
de
n
t
i
t
yが､U
V場の変換 とは異なる変換のもとでの不変性を導いて
クスピン変換で関係付けられた I
いることを見る｡
UV理論の生成汎関数
,
e
J
/D4
ZU
vl]
Suv[
榊o
]
+Ko
-1
J･
￠
(
3
･
1
1
)
に対 して､無限小変換 ￠
′
A(
a)- ￠A(
x)+坤A(
x)を行 うと､この変換の元で生成汎関数は不変なので､
-
ZUvl
J]
/
D4
,
′
e
-S
U
v酢Ao
]
+Ko
-1
J
･
￠
′
･Q(Ko
1
J
･
6
4- 励 Ao
]
)a
-S
u
v匝;
Ao
]
'Ko
1
J
･
叫 o(
6
￠2
)
-zuvl
J] /D
(
3
･
1
2
)
となり､これより以下の関係式が得 られる｡
/
Db(
Ko
l
J･
6
￠-El
Q･
7
Ao
]
)e
-
SUvl
Q;
Ao
'
'K
o
1
J
･
￠-o
･
l
(
3
･
1
3
)
ここで､∑[
4
,
;
Ao
]は WTope
r
a
t
o
rと呼ばれ､
･[
M o
]
-
招詣
6
QA(
p)守
)eA
品
6
QA(
p)
)
(
3･
1
4)
で与えられる｡第 1項は U
V場の変換 64
,のもとでの作用の変分 6
Suvを表す｡第 2項は積分測度の変換
碑
-- De
七
品(
打∂
4
)
-
DQe
xpl
sTtl
o
g孟(
頼
朝
(
3
.
1
5
)
より､
6
D￠-D4
,
′
-D￠
-卯 [
(
-)
eA
L
品
2
1
6
QA(
p)+
a(
6
4
2
)
]
(
3
･
1
6
)
か らの寄与を表 しているoここで､Sn は運動量積分 も含めているoU
V 理論の変数変換の元での不変性は WT
i
de
n
t
i
t
y
∑[
￠;
Ao
]-0
(
3
.
1
7
)
によって与えられる｡次に I
R理論の WTi
d
e
n
t
i
t
yについて考える｡(
3･
1
3
)より､
(
3.
1
8)
(
∑l
b;
Ao
]
)Q
,
Ko
1
J-Ko
-1
J･(
瑚 岬.
1
J
となるが､一般に 64
,
は4
,
に依存するので､車を J微分に書き換えて ￠積分の外に出すと､
(
∑【
仙
(
3
.
1
9
)
]
)
4
,
K.
TU-K.
-1
J･
河芸 ]zUvl
J]
･
UV理論の生成汎関数 と I
R理論の生成汎関数は (
3.
1
0
)によって ZUv[
J]
p
-NJZI
R[
J]と関係がついているので､こ
れを代入すると
(
∑[
￠;
A.
]
)
Q,
Ko
-1
J-K.
TI
J･
河 芸 ]NJZI
Rl
J
]
J
)
-NJ
〈
NJ
1
Ko
ll
J･
(
6
Ql
芸]
N +Ko
-1
J･
∂
掘
)
]zIRl
J]
･
(
3.
2
0
)
このとき､I
R理論の WTo
pe
r
a
t
o
rは最後の行によって表される｡
(
3･
21
)
(
∑[
@;
A]
)
*,
K1
J- (NI1
Ko
-1
J･(
64l
g ]NJ)･Ko
-1
J･6
Ql
g]
)zIRlJ,･
I
R理論での WTi
d
enti
t
yは､
∑[
◎;
A]-0
(
3.
2
2)
U
U
で与えられるが､これは V理論で WTi
d
e
n
t
i
t
yが成 り立っているときに成 り立つ｡この恒等式は V理論が対称
R作用がもつ対称性を記述 している｡
性を持っているとき､ブロック変換で関係付けられた I
d
e
n
t
i
t
yを具体的に求める｡変換は
次に､グローバルな線形変換の仮定の元で WTi
6
4
,
A(
p)-RABl
A.
]
4
,
B(
p)
(
3･
2
3)
/
(
3･
2
4)
となるので､WTo
pe
r
a
t
o
rの第 1項は
L
J
A(
-P)
RAEl
A.
]
∂J
B(
-P)l
o
gNJ-(
le
A'1p
K-2(
p)
J
A(
-P)
RABl
Ao
]
l
a-1
(
p)
]
BCJ
c(
p)
となるが､
K-2
(
p)
J
A(
-P)
Jc(
p)
ZI
Rl
J
]
-
D◎e-I
R匝湖
S
al
al
C^･
-1J･
(
I
)
a@A(
p)8@0(
-p)
(
3.
2
5)
より､部分積分をすると
K-2(
p)
J
A(
-P)
J
c(
p)
ZI
Rl
J
]
-
l a
l e-SIRlO;^]
K
1
J
.
申a
D申 e
∂◎A(
p)∂◎C(
-p)
al
al
sI
R al
sI
R
細 A(
p)紬 Cトp) 紬 A(
p)紬 C(
-p)
(
3.
2
6)
となる｡第 2項は､
ZI
Rl
J]
-/D ◎K-1JA(-P)◎B(
p)
a
-S
I
Rl
叫 +K-1
J
･
◎
J
A(
-P)
aJ
B(
-P)
-(
-)eA / D申
(
品
2
2
e
K1
J
･
@
)
O
B(
p)
e
-SIRl
O･
A'
(
3
.
2
7
)
より､部分積分をすると
J
A(
-P)
aJ
B(
-P)
zI
Rl
J,
-(
-)
eA
･1
(品
OB (
pト 蒜
OB(
p,
)仰
J
(
3
･
2
8
)
となる｡よって､I
R理論の WTo
pe
r
a
t
o
r
(
3
.
2
1
)は､
(
∑-
∫- NJL (芸竜
,-
RA
Bl
Ao
]
(@B(pト
l
a-1
(
p,
]
BC
al
SIR
-p)
RABl
Ao
]
(OB(
pト [
α1 p)
]
BCa@C(
))a,K _lJ
斗 )
e
A品
(
3
･
2
9
,
となり､I
R理論の WTi
d
e
n
t
i
t
yは､
-i (芸竜
剛
6
･A(
p,-(
-)
e
A品
紬A(p,
)-0,
6
@A(
p)-RABl
Ao
]◎B(
p)-[
α1
(
p)
]
BC
(
となる｡この式は､I
R理論が I
R場の変換 (
3
.
31
)のもとでの対称性を持っていることを示 している｡
このように､U
V理論がある対称性を持っていたとしても､ブロックスピン変換がその対称性を破ると､I
R理論は
UV理論が持つ対称性を保持することができず､変形された形で実現されていることが分かる｡この変形された対称
R作用に依存する形をしているので､対称性に基づいて I
R理論を構成する場合､変換 と作用を同時に決め
変換は､I
R理論 として自由理論を考える場合 と､相互作用を含めて考える場合では､変換性がこ
なければならない｡つまり､I
となるので､別々に扱わなくてはならないO-椴に､高次項を加えるたびに WTi
de
n
t
i
t
yを-から解かなければなら
ない｡また､相互作用を含めることにより､変換が非線形になり､I
R作用の構成が困難になる｡
3.
3 カイラル対称性の変形
通常のカイラル対称性を持った U
V作用は以下のように与えられる0
sUvl
4
,
;
Ao
]-S4
,
[
砂,
夢,
捌,
1
]
+瑚 ￠
,
4
,
1
]
S
4
,
l
O,
4
,
,
4
･
,
4
,
1
]
尋(
TP)
(
K.
1
(
p
)
46(
p-q
).0(
pq
)
)
*(
p
q
左
S Q l4,,4,
1]
/L
叩/
ここで､
(
3･
3
2
)
),
4
･
1
(
-p)
Ko (
p)
p2
4
,
(
p)
+Sz
l
捌,
t
]
,
L
l
となるoSz
l
Q,
4
,
1
]は､￠のみから構成される相互作用を表し､銅ま
0(
p-q
)-g
P+4
,
(
p-q
)+g
P_4
,
i
(
p-q
),
となる｡この作用はカイラル変換
6
4
,
(
p
)- ieTS*(
p
)
,
鍾(
-p)-尋(
-p)
i
e
75,
坤(
p)--2
i
e
4
,
(
p),
(
3
･
3
7
)
6
4
,
†
(
-p)-2
i
e
4
･
†
トp)
の元で不変である ここで､
｡
D(
p,
q
)-垢 1
ク6(
p-q
)+0(
p-q
)
2
3
(
3
.
3
8
)
とお くと､この D は以下の関係式を満たすo
(
3
･
3
9
)
h5
,
D(
p
,
q
)
)ニー(
i
e
)
-1
6
D(
p
,
q
)
･
亡
0
山
●
〃
乃
む
00 .
20
oE
I
e
E
o〇
一
亡
このとき､￠A- 仲,
尋,車座†)に対 して､(
3
.
2
3
)で与えられる変換行列 RABは以下のようになる｡
(
3
･
4
0
)
2
i
E
WToperatorは (
3
･
1
4
)より､
∑[
4
,
;
Ao
]-2
i
e
r7
T
5-0
(
3･
41
)
となり､U
V理論は WTi
de
n
t
i
t
yを満たす.
oo
o和
e
so
)o
oo
ooo
刀
α
和
α
=
oo
0
次に I
R理論について考える｡ブロックスピンカーネル αAβを以下のようにとる｡
(
3
･
4
2
)
(
UV の作用 と I
Rの作用は (
3･
9
)により関係付いているので､αかを含む項が通常のカイラル変換で不変であれば､つ
75
,
αD) - 0を満たすなら､I
Rの作用も通常のカイラル対称性を持つことになる. しかし､ここでは正
まりαβが (
則化によって対称性が変形される場合を考えたいので､フェルミオン場に対する αかを以下のようにカイラル不変で
はない形にとる｡
p)αD(
Ko
(
p)
(
3･
4
3
)
〟
p)
(
Ko
(
p)-K(
p)
)
K (
ここで､〟 は質量次元 1を持つ定数である｡スカラー場に対する α は
αS(
p)-
Ko
(
p)
(
3
A4
)
p2
(
K
o
(
p)-K(
p)
)
K (
p)
とするが､これは対称性には影響 しないので､I
Rの WTi
de
n
t
i
t
yには影響 しない｡以下では αかを α と書 くO この
de
n
t
i
t
yは (
3.
3
0
)より､
とき WTi
0-i
C
/
P[
認
一品
･品
-
il静
一品
(
75 (
p
,-(
7
5α -1(
p,
)
競
)+町 p)
7
5
品
i
e
(
75
,
α 1(
p)
)宗
(
-2
i
e
,
(
p(
pト αS
-1
(
p,
g
,
+蔑
2
i
e(p
T(
-p
ト αs
lp
)
篇
亡
75( (
p,-2
α1(
p,
競
)再 (
-p,ie75
品
V
2
i
E
75
a1
(
p
)
品
)
]
+蔑
(
-2
i
e
,
p(
p)十 品
2
ie
p.(
-p)
]
(
3A5
)
となる｡これより､I
Rでの変形されたカイラル変換は以下のようになる｡
3g(
p
,- %
l
e
TS
(
V(
p,-2
α1
(
p
)
請
紬 卜p)- Qr(-p)
i
e
r
y
5,
6
や(
p)--2
i
e
p(
p),
)
,
(
3･
4
6
)
6
pl
(
-p)-2
i
ep
I
トp)二
対称変換の変形はフェルミオン場にのみ現れるが､これはフェルミオン場に対応する α でのみ対称性を破ったことに
よるo このとき､仮に αが 戸に比例する項を含んでいても75との反交換関係により寄与 しない｡
2
4
3.
4 WT i
den
t
i
t
yの解としての I
R理論
I
Rでの WTi
de
nti
t
y(
3.
45)を満たす作用 SI
Rを具体的に求める.始めに､変換 (
3.
46)のもとで不変な作用を構成
V場と同じ変換性を持っているので､スカラー場に対する I
R作用は U
V
する｡この変換は､スカラー場については U
作用と同じ形 とするOフェルミオン場に対する作用は双一次を仮定 し解を求める｡
3
.
4.
1 相互作用が無い場合
始めに､相互作用が無い場合について考える｡作用を
s
I
RlO;
A]-S
Q
,
[
甘,
可+Splp,pl
]
(
3
.
4
7
)
とし､S甲は U
V のスカラー場の作用 SQと同じ形をしていると仮定する｡フェルミオン場については､双一次を仮定
しているので､
S
甘
l
g
,
可
/
p
◎トp)
Do
(
p)
甘(
p)
(
3.
48)
となり､このときカイラル変換は､
6g(
p)- 禦 [
1-2α 1(
p)
Do
(
p)
]
q(
p)≡i
e
15
(
p)
g(
p),
∂
母上p)- g(
-p)
i
e
75,
6p(
p)- -2i
ep
(
p),
(
3
･
4
9
)
∂
pl
トp)-2i
e
p†
トp)
となる｡このとき WTi
de
n七i
t
yは (
3･
45)より､
i
E
L
@(
p
)S
O-
l
TDo(
p)+Do(
p)
75-2Do(
p)
75
a-1
(
p)
Do
]gb
)
-2叫
5
α-1
Do
]
(
31
50)
となる｡ここで､Trはスピナーインデックスと運動量に対するトレースを表すO 魯
中 の係数をゼロと置いた式､
75
工)
o
(
p)+Do
(
p)
75-2
Do
(
p)
r
y
5
C
rl
(
p)
Do
(
3･
51
)
は､GW r
e
l
a
t
i
onと呼ばれるoDoがこの G価 r
e
l
a
t
i
onを満たす と (
3.
50)の右辺第 2項は､
T
r
l
D.
JT5
Do
]･T
r 75
2
T車 5
αl
Do
]-
=0
(
3･
5
2)
となり､WTi
de
n
t
i
t
yが満たされるOさらに､(
3･
49)で導入した 1
,
5は､
今5
(
節)
2-75(
I-2
c
r1
(
節)
Do
(
p)
)
7
5(
I-2α 1
(
p)
Do
(
p)
)
- 1-2
α1
(
節)
(
7
5
Do
(
p)+Do
(
p
)
75-2
Do
b)
75
α1
(
p)
Do
(
p)
)
=1
(
3･
5
3)
を満たす｡GW r
e
l
a
t
i
onを満たす Doとしては､例えば I
R作用の定義式を直接積分 して得 られる
Ko
-1
(
p)
〆
D
o
b)-Ko
-1
(
p)
?+f2b)
ab
,
)
砲 )
(
3･
5
4)
や､格子理論で Ne
ube
r
ge
rによって得 られた解 明 の連続理論版 [
1
2
]である
Do
b,
-判
+篇
篤
]
などがあるが､以下では､Doの具体的な形は特定 しないで､GW r
e
l
a
t
i
on(
3.
51
)を満たすものとして扱 う｡
2
5
(
3･
55)
3.
4.
2 相互作用がある場合
R作用を求める｡I
R場 申- 毎,
pT
,
甘,
叫 に対する作用を以下のように仮定する.
次に､相互作用を含めた I
sI
R[
◎;
A]-堀 中,
宙,
p,
pT
]+sp[
p,
pl
]
･
/
ここで､
(
3.
5
6)
魯トp)
D(
p,
q
)
甘(
q
),
∩
︼
sp[
p,
pl
]
L叩イ
- L叩
sql
q
t
,
魯湖 が]
pl
(
-p)
K 1p2甲(
p)+Sz[
p湖 †
】
+Sc
｡
u
n
t
e
r
l
p,
pl
]
と仮定 し､D は pに依存する I
R の Di
r
a
cope
r
a
t
o
rを表 し､Szは pのみに依存する相互作用を表す.相互作用
Sz
l
p,pT]は､
U
V作用の相互作用 S
I
[
少,
4
,
1
]と同じ形を していると仮定するoS
c
｡
u
n
t
e
rは (
3･
45)左辺第 3項を相殺す
るために導入 した項である｡このとき変形されたカイラル変換は
-if
_
6g'
p) e
75
[
6'
p-q
'- 2α1(
p)
D(p,
q
'
]
V'
q
'
,
6
g(
-p)-㊨(
-p)
i
E
75,
6
や(
p)--2
i
e
p(
p),
(
3･
5
9)
6
pl
(
-p)-2
i
ep
†
(
-p)
となる｡ この作用を (
3.
4
5
)に代入すると,
O-i
C/
P,
q魯(
旬 ト5
D(
p,
q
,
+D(
p,
q
,
75-2/
kD(
p,
k,
TS
a-1
(
k,
D(
k,
q
,･(
i
e
)
-1
6
D(
p,
q
,
]g(
q
)
i
e
r
T
[l
D
]
I6
S
c
o
up
-2
75
α
(
3･
6
0)
n
t
e
r
l,
pf
]
となるO ここで､6はスカラー場によるカイラル変換を表すo魯中 の係数をゼロと置いた式
)(
p,
k)
75
α-1
(
k)
D(
k,
qト (
i
e
)
-1
6D(
p,
q)
r
y
5
D(p,
q
)
+D(
p,
q)
75-2 7
/A
(
3.
61
)
は､相互作用を含めた一般的な GW r
e
l
a
t
i
onを表すoD がこの GW r
e
l
a
t
i
onを満たす とき (
3･
60)の右辺第 2項は､
2
T車 α
l
D
]
-nl
D
1
7
5
D
]
･T
r75.(
i
E
)
-1
T
車-6D]
1
-(
i
e
)16Ttl
o
gD
(
3.
6
2)
とな り､例えば､
sc
｡
u
n
te
r
l
p,pl]- T
rl
o
gD
(
3.
63)
とすることにより WT i
de
nt
i
t
y(
3.
60
)が満たされる｡但 し､β｡
｡
｡n
t
e
rの選び方にはカイラル不変な項の任意性がある
ので､必ず しもこの形でな くてもよい｡
3.
61
)を満たす Di
r
acope
r
a
t
or‡
)を求めるO始めに D を自由部分 と相互作用部分に分けるo
次に､(
D(
p,
q
)-Do
(
p)
6(
p-q
)+Ll
po
(
p)
】
㊤(
p,
q
)
Rl
Do
(
q
)
]
･
(
3.
6
4)
ここで L と別 ま､GW r
e
l
a
t
i
on(
3.
51
)の解 Doの関数であ り､6日ま､
o(
p-q
)-gP+甲(
p-q
)+gP_p†
(
p-q
)
(
3.
65)
の関数であるO このとき 汐の変換性は
甜(
p-q
)--2i
e
75粛
(
p-q
)
2
6
(
3.
6
6)
となる｡この Di
r
a
cope
r
a
t
orを一般化された GW r
e
l
a
t
i
o
n(
3.
61
)に代入すると､
p
,
q
)
-i
e
l
L
1
(
p
)
(
〈75,
L(
p
)
)-2Do(
p
)
7
5
α1 p
)
L(
p
)
)0(
p,
q
)
･㊤(
p
,
q
)
((7
5,R(
q
)
ト 2
R(
q
)
75
α11
(
q
)
Do(
q
)
)
R1
(
q
)
6
0(
2
J (
k
7
5
α
- (75,
0(
p,
q
)
)-
o(
p,
k)
R )
-1(
k)
L(
k)
0(
k,
q
)
]
(
3
･
6
7
)
となるoL と Rに対する選択を
L(
p)-R(
p)- 1-αll
(
p)
Do
(
p)≡ り(
p)
(
3.
6
8)
とすると､GW r
e
l
a
t
i
on(
3.
51
)より (
3.
67)の左辺第 1項は
(
3.
69)
n
1
(
p
)
(
(
7
5
,
7(
p)
)-2
Do
(
p)
75α 1(
p)
n(
p)
)-27
5
となり､第 2項も同様に計算できる｡さらに最後の項は
2n(
p)
75
α1
(
p)
r
J
(
p)-α一l
(
p)
(7
5,
n(
p)
)
(
3･
70)
/
h
O(
71
)
(
3.
となるので､その結果 (
3.
6
7)は､
6
0(
p,
q)
--i
e
(
(
75,
0(
p
,
q
)
)
p,
k
)
a-1
(
k
)
(
75
･
梱 )0(
k,
q
)
)
となる｡次に (
3･
71
)草満たす ㊤ を求めるo解 として以下の形を仮定するo
o(
p,
q
)-A(
p)/kO(
p- k)
読
(
A
,
q
)
a(
q
)
正義 (p
,
k
)
0(
k-q
)
a(
q
)･
〒A(
p)
ここで､A､B､Cはカイラル変換の元で不変な定数であり､(
1+即 )
-1は展開によって定義されるo
T
h(
p,
q
)- ト B(
p
)
0(
p,
q
)･/AB(
p
)
0(
p,
k)
B(
A)
0(
k,
q
)ト
3･
7
4)
(
.
(
3.
7
2)で両辺のカイラル変換 ∂をとると (
3･
66)より､
6
0(
p,
q
)-A(
p)/A l
60(
p- k)
士完
A
(
k,q
)W p- k)
手志 (
p ,k
)
B60(
k,l
)
Th
- ｢2
i
el(
p)
7
5
A- 1(
p)o(
p,q)-
i
o
a-1
(
k)
B(
A)
7
5A
(p ,k)
- 1(k
(
l
,q
)
]a(
q
)
)
0(
k,
q)
]･
(
3
･
7
5
)
同様に､(
3.
7
3)に対 して
J
6
0(
p,
q
)--2
i
e
l
0(
p
,
q
)
a-1(q)75
C(
q
) k0(
p,
k)
a-1(k
)
7
5
B(
k)
A-i
(
k)
0(
k,
q
)
]
(
3･
7
6
)
となる｡ここで､(
(
3.
75)
+(
3.
76)
)
/2を計算すると､
p)
75
A-1(
p)
o(
p,
q
)+o(
p,
q
)
C1
(
q)
T
S
C(
q
)
6
0(
p,
q
)ニーi
eA(
/
k
令
(
p
,
k
)
C
-1
(
k)
(75,
B(
k
)
〉
A1
(
k)
0(
A
,
q
)
]
とな り､これが (
3.
71
)と一致するためには､次の条件を満たせばよい｡
(75,
0(
p,
q
)
)-A(
p)
7
5
A
(
p)
o(
p,
q
)+o(
p,
q
)
all
(
q
)
p
y
5
C(
q
),
1
C-1(
k)
(
75
,
B(
k)
)
A一l
(
k)- αll
(
k)
(7
5
,
n(
k)
)･
2
7
(
3.
7
7)
(
3･
7
9
)よりAは､
(
3･
8
0
)
A(
k)- α(
k
)
(7
5
,
7(
k)
)
Il
o-1
(
k)
(7
5
,
B(
k)
)
となるが､公式 (
75
,
r
7
)-2
7
7
75
r
lを使 うと､
A(
k)- 争
(
3.
81
)
1 k)
75
n-1
(
k
)
a-1
(
k)
(75
,
B(
k
)
)
となる.一方､もう一つの条件 (
3･
7
8
)は､
-[
75
,
A(
p)
]
A 1(
p)
o(
p,
q
)+o(
p,
q
)
a-1
(
q
)[
75
,
a(
q
)
]-0
(
3･
8
2
)
と整理できるので､75とA の交換関係を計算すると,
[
75
,
A(
p)
]- 乎
ト5
,
711(p)75州
乎 ([75,拙
)
a-1(p)
(
75
,
B(p)
)
]
p)
75
7-1(
p)
]
0-1
(
p)
(7
5
,
B(
p)
)･7-i
(
p)
75
州
)
[
75
,
a1
(
p)
]
(75
,
B(
p)
)
(
3･
8
3
)
･r l
(
p)
7
5
7-1
(
p)
a-1
(
p
)
[
7
5
,
(
75
,
B(
p)
)
]
)
となるが､第 1項は公式 今
5
(
p)
7
｢1
(
p)- T
7
(
p)
75を使 うと､
[
75
,
r
rl
(
p)
75
炉1
(
p)
]- 75
り-1
(
p)
75
炉1
(
pト 炉 1
(
p)
75
軒1
(
p)
75
-(
1-2α 1(
p)
Do
(
p)
)
り1
(
p)
7-1
(
p)一灯 1
(
p)
(
ト
α1
(
p)
Do
(
p)
)
り1
(
p)
=0
(
3･
8
4
)
となる｡最後の行は T
7が D oから構成されてお り､その結果 D oと交換することから導かれるOさらに第 3項は､
[
75
,
(
75
,
B(
p)
)
]-75(
75
B(
p)+B(
p)7
5
ト (
75
B(
p)+B(
p)
75
)
75
=0
(
3.
8
5
)
となる｡よって (
3･
7
8
)は,
一字 州
)
75
n-1
(
p)[
75,
a-1
(
p)
]
(
75
,
B(
p)
)
A-1
(
p)
o(
p,
q
)+o(
p,
q
)
a-1
(
q
)[
75
,
a(
q
)
]- 0
(
3･
8
6
)
となるが､これは Cが 75と交換すれば 別 こ対する制限を加えずに満たされる｡よって､(
3･
7
1
)を満たす ㊤は､
[
75
,
C(
p)
]-0
(
3･
8
7
)
を満たす C と､任意の B を用いて､
o(
p,
q
)- 令
-1
(
p)
-
k
1
(
p)
a-1
(
p
)
(
75
,
B(p)
)f 0(
p-k)
読
(
k
,
q
)
a(
q
)
(
3･
8
8
)
と表される｡これにより､相互作用を含む一般化された GW r
e
l
a
t
i
o
nを満たす Di
r
acope
r
a
t
o
rは
D(
p,
q
)-Do
(
p)
6(
p-q
)･乎 75
7-1
(
p)
a-1
(
p
)
〈
75
,
B(p)
)か (
p-k)
T
h
(
A,
q
)
a(
q
)
"q
)
(
3･
8
9
)
となる｡
最後に Scounterについて考える｡以前に (
3.
6
3)で与えたが､この作用はカイラル不変な項の任意性があるOそこ
で､具体的に得 られた解で書き換えることを考える｡始めに､Di
r
a
cope
r
a
t
or7
)そのものに対するものを考えるOそ
れは以下のように与えられる｡
c
o
u
s
nt
er-
T
rl
o
g[
1-α
2
8
1
D
]
(
3･
9
0
)
これは､カイラル変換により
6
D
α-1
1-α-1
D
6
Sc
o
u
n
t
e
r- T
r
(
3･
91
)
となるが､GW r
e
l
a
七i
o
n(
3.
61
)より､
D-1
α
1
D[ ,
α-D]]
6
Sc
｡
u
n
t
e
r-i
e
Tt2
75
α-1
75
1
(
3･
9
2
)
となる｡ ここで､第 2項は トレースの巡回性から消え､その結果 (
3･
60
)の右辺第 2項を相殺する項 となる｡次に､
Di
r
a
cope
r
a
t
o
rを以下のように書き換える｡
D(
p,
q
)- Do
(
p)
6(
p-q
)+75
7
7
-1
(
p)
75
0′
(
p,
q
)
7
7
(
q
).
(
3.
9
3
)
ここで､㊨/は
o/
(
p,
q
)- 乎
cl
p)
(75,
B(
p)
)か (
p-k)
Th
(
k
,
q
)
a(
q
)
(
3.
9
4)
であり､カイラル変換は
6
0,
(
p,
q
)--i
e((
75,
0,
(
p,
q
)
ト
2
/0/
(
p,
k)
75
α-i
(
k
)
0'
(
k7
q
)
)
(
3･
9
5
)
となる｡このとき (
3
･
6
0
)の右辺第 2項は､
n[ l
D
]-2ieTtlα
1
㊤
′
]
-2
i
e
75α
75
-
(
3.
9
6
)
となり､これを相殺する作用は
1
0
/
]
(
3
.
9
7
)
α-1
∂
㊥′
/
(
3.
9
8
)
sc
o
u
n
t
e
r-n l
o
gl
1-α
となるO実際､カイラル変換をすると
6
Sc
｡
u
n
t
e
r-Tt
1ICr
lO
となるが､(
3
･
9
5
)より､
∂
Sc
｡
u
n
t
e
r-i
e
n 2
75
α-1
(
9
㌧ 1-α-1
0/[
7
5
,
α-l
o,
]
]
(
3･
9
9
)
となり､第 2項は トレースの巡回性から消える｡よって､(
3.
9
7
)は (
3.
9
6
)を相殺する作用となる.さらに 0/の具体
α
Sc
.
u
n
t
e
r- T
rl
o
g
jiiiiiiiiiiiiiiiiil
α
l
r:
[
｡
u
n
t
e
rは､
的な形を使 うことによって Sc
,
B
)
w
T
hc
)
-n l
o
g(ト朗
i
完+
箸[,
B
]
e
f
長房
)
- Ttl
o
g[
(
1箸 S,B]転 義]
ト C1
苦く
75
-nl
o
g(
75
･
l
T
(
3
･
1
0
0)
となるが､
6n
l
o
g
(
1+
昔[
7,B]
0
)-n
l
+菅
1
5
計
2 B]60]
7
=i
e
T
t
+管[ ,B]粛 ,B 醐 +可
=
01
,]
㊥
[
75 B
1
75
2
9
5,
5
TS ]
(
2l
(
3.
1
01
)
より､カイラル変換で不変な項を落 とすと､
T
r
l
o
g(
B
Sc
｡
un
t
｡
r- -
(
3･
1
0
2
)
1+♂)
と表すことができる｡この相殺項は､次章で見るように､U
V理論を直接積分 して得 られる I
R作用に含まれる項 と
関係づいている｡
3.
5 積分から得られる 暮
R理論
仮定 した U
V理論はフェルミオン場について双一次なので､I
R作用の定義式 (
3.
9
)において直接積分を実行するこ
R作用を求める｡スカラー場については積分をしないで U
V場 と I
R場
とができる｡以下､積分によって得 られる I
を同一視するOこれは､摂動的に考えると､スカラー場が内線 として現れるフアンマン図を無視する近似をしたこと
に相当すると考えられる｡
UV理論のフェルミオンに対する作用は
4(
-p)
D(
p,
q
)
4
,
(
q
),
*
i
,
q
S
D(
p,
q)-Ko
-1(
p)
46(
p-q
)+W(
p-q
)
となるので､I
R作用の定義は
e一柳
e
x
p
日,
q
(
@
(
て)
f'
p'
Qp
'
)
α
(
p'
6
'
p-q
'
(
V'
q
'-f'
q
'
"q
)
)
-/軸
｣,
q
'
-
(
3･
1
0
5
)
i(
-p,
D(
p,
q
,
"q
,
]
pH
-/ 蜘
ex
(
尋A J
A(
D･f
2
折 )(
D ･f2
α)(恒
D･f2α)
-1
-
(
｣,
q
)
)
]3
1
1
0
6
)
魯(
-p
)
(
"p)
6
(
p-q
,-i(
p)
α(
p)
(
D If
2軒 1
(
p,
q
)
I(
q
)
a( q(
q
q ,)
(
とな り､フェルミオン積分を実行することにより以下のように I
R作用が得 られる｡
魯(
-p)
D(
p,
q
)
甘(
q
ト l
o
gDe
t
(
D+f2α),
i7
q
D(
p,
q
)-α(
p)
6(
p-q
ト f(
p)
α(
p)
(
D+f2
α)
-1
(
p,
q
)
I(
q
)
α(
q
).
Svl
甘 ,句
ここで､(
D+fα)1は､
(
D･f
2a
)
(
p,
q
)-(
K.
1
?･I(
p
)
2α
(
p
)
)
6
(
p-q
)･0(
p-q
)
≡△ー1
(
p)
6(
p-q
)+1
9
(
p-q
)
と定義することにより､
,
[
去(
p-q
,-△ p
, p-q
)･L
(
D･f2
a)
-1(
p,
q
( W(
-△(
p
)
6(
p-q
)-A(
p)[
粛7品
△(
p)
o(
p-pl
)
A(
p
l
)
0(
pl-q)I- ]
A(
q
)
(
3･
1
1
1
)
(
3.
1
1
2
)
](
p,
q
)
△(
q
),
となる｡よって､
UV作用を直接積分 して得 られる I
R作用の Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
rは､
∴
D(
p,
q
)-Do
(
p)
6(
p-q
)+I(
p)
α匝)
A(
p)
二=
三
(
p,
q
)
△(
q
)
I(
q
)
α(
q
)
(
3.
1
1
3
)
となる｡自由場の Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
rDoは
Do
(
p)-α(
p)-i(
p)
α(
p)
A(
p)
i(
p)
α(
p)
3
0
(
3･
1
1
4)
と表される｡このとき
△-I-2
α1
(
α-Do
)
α一l
(
p)
-r '
1
'
J
‖】
(
3.
11
5)
と表される｡
次に､l
o
gDe
tの項を見てみると､
-l
o
gDe
t
(
D +f2
α)ニーT
rl
o
g(
△ 1+ β)
(
3･
11
6)
となるが､これは (
3.
1
02
)で任意定数 β を △ に置き換えたものに対応する｡
3.
6 解の特徴について
前の章では､正則化によって変形された対称性を記述する WTi
de
nt
i
t
yを解 くことによって I
R での作用を求めた
が､この作用は任意パラメーター B と､75と交換するとい う条件を課せ られたパラメーター C によって表されて
いた｡ここで､β や Cを具体的に指定 したときにどのような解が得 られるかを調べる｡さらに､積分 して得 られた
Di
r
acope
r
a
t
o
rもβ と C の選択によって得られることを見る｡
始めに
B(
p)- α一l
(
p), a(
p)- 1
D(
p,
q
)-Do
(
p
)
6
(
p-q
)+7
5
り1
p肌
H
一
丁
山
九
p(
Ⅳ
地
∫
ム
5
7
ー
n
u
p
▲
iu
t
l
柑
u
となる場合を考える｡このとき Di
r
aco
pe
r
a
七o
rは､
(
3.
1
1
7)
k,
q
)
T
7
(
q)
1+c
rl
㊥(
(
3･
1
1
8)
となる｡さらに､
(
p), a(
p)- 75
炉1
(
p)
75
T
rl
(
p)
B(
p)-α一l
(
3･
1
1
9)
とすると､Di
r
a
cope
r
a
t
orは､
q
)
:
,
i
:
:
D(
p, -Do
(
p)
6(
p-q
)+7
7
(
p)
;一二 1 +
α - 1㊥
(
k,
q
)
7
5
r
rl(q)75
(
3･
1
20)
となる｡これらの解は 【
7
】で与えられた格子上での解の連続理論版 となる｡
次に､
B(
p)-f 2
(
p)
αl
l
(
p)
7
1
(
p), a(
p)-I-1
(
3.
1
21
)
とるすと､
(
r
y
5,
B)-f 2α-l巨 s
,
両
-2
fー2
α1
m5
7
1
(
3･
1
22)
となるので､Di
r
a
cope
r
a
七o
rは
f
刊函
(
p
)
J
o
(
p-k)
1
D(
p,
q
)-Do
'
(
p)
6
(
p-q
)･
+
I
(
k,
q
)
f1
(
q
)
7
7
(
q
)
-2
α1
叩タ
(
3.
1
23)
となるが､これは積分 して得 られる Di
r
a
cope
r
a
t
or(
3.
1
1
3
)と同じである｡
最後に､I
R作用の定義式を積分する際に､αにPに比例する項を加えた場合を考えるO積分を実行する時に､αに
de
nt
i
t
y(
3･
45
)に含まれる αは 75
対 して条件を課す必要がないので､Pを加えて考えることができる0-万､WT i
との反交換関係によりタに比例する項を含むことができないOよって､WTi
de
nti
t
yの解 として構成 した (
3･
8
9)に
de
n
t
i
t
yの解 (
3･
8
9)は､αにPに比例する項を加えて積
含まれる αは クに比例する項を含まないOその結果､WTi
31
分 して得 られた Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
rを再現できないように見えるo しか し､これは戸に比例する項を含む αを αpとする
とき､侮(
p)ニ ト
c
ql
(
p)
Do
(
p)とし､
(
3.
1
2
4)
B(
p)-f 2
(
p)
n
p(
p)
C
す1
(
p), C(
p)-f 1
(
p)
侮(
p)
叩1
(
p)
とすることにより再現できる｡新たに導入 した r
T
p(
p)は GW r
e
l
a
t
i
onより
75
7
7
p(
p)-7
7
p(
p)
今5
(
3･
1
25
)
を満たすので i
,
5
(
p)
r
rl
(
p)-r
rl
(
p)
75と合わせることにより 【
75
,
C(
p)
]-0を満たす.このとき WTi
de
n
t
i
t
yの解
3.
8
9)は
として得られた (
D(
p,
q
)-Do
(
p)
6(
p-q
)
(
p,
q
)
I-1
(
q
)
T
i
p(
q
)
p
)
)
l
o
1+I-2
侮αp
-1
(
p)
q
9
･75
%-1
(
p)
崇
(
3･
1
2
6
)
(
p)
(
75
,
n
p(
p)
ap
-1
(
となるが､ここで
(75
湖(
p)
αp
-1
(
p)
)-〈
75
,
n
p(
p)
)c
Y
p
ll
(
pト n
p(
p)
[
75
,
α〆 (
p)
]
-2
7
7
p(
p)
75
α-1
(
p)
q
p(
p)
(
3.
1
27
)
より､
D(
p,
q
)-Do
(
p)
6
(
p-q
)+I-1(
節)
T
7
p(
p)
(
p,q
)
rl
(
q)
r
l
p(
q
)
(
3.
1
2
8
)
]
1+I-2
†
わC
b
-i
(
p)
粛
r
7
となるOこれは､積分で得られた Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
r(
3･
1
1
3
)に対 して､α→ αp､r
7→ pとして得 られる Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
r
と同じ形をしている 但 し､ap
-1
(
p)と Do
(
p)はともにクのみに依存 し､75 に依存 しないので､[
αp
-1,
r
7
p(
p)
]-0と
した｡
O
de
n
t
i
t
yの解 として得 られた Di
r
a
co
pe
r
a
七
o
rは､
このように､フェルミオンに対 して双一次の仮定のもとで､WTi
以前か ら格子理論で知 られていた解を再現するだけではな く､直接積分 して得 られる解をも含む (
スカラー場は積分
しない)
､より一般的な解になっていることが分かる.
3.
7
今
5
による表現への変数変換
WTi
de
n
t
i
t
yによって与えられる I
R理論の変形されたカイラル変換は､湯川相互作用を考える場合､非線形な形
をしていた｡この節では､変形されたカイラル変換を､変数変換を行 うことによって線形にするこ,
とを考える
｡
以下の変数変換により新 しい変数 Q
r
/を導入するo
)
L
(
p
,
q
I
甘
(
p
)g
′
(
q
).
(
3.
1
29)
このとき 申/のカイラル変換は
/
6
l
L
-
6g'
(
p)-
-
1(
p,
q
)
V(
q
)
]
/[
(
6L
1
)
L･ i
eL
1
75(
1- 2
α-1
D)
L]
(
p,
q
)
V′
(
q
)
(
3･
1
30)
となる｡ここで､Di
r
a
co
pe
r
a
t
orとして (
3･
8
9
)を使い､Lを以下のように定義する｡
6
L(
p,
q
)-ie(% (
p)
L(
p,
q
)-L(
p,
q
)
%(
q)12J a-1
(
p)
n-1(
p)
75
0,
(
p,
k)
"k)
L(
k,
q)
)･
(
3･
1
31
)
これによって､甘/のカイラル変換は
6g/
(
p)-i
e
嶺(
p)
申'
(
p)
3
2
(
3･
1
3
2
)
は
以下のよう
に
与えられる｡
(
p
,
q
)
r
7
(
q
)
L
(
p
,
q
)
-7
7
1
1
(
p
)
1
-α
1
㊤/
これは､両辺のカイラル変換を
と
ること
により
確かめることができる｡始
め
に
(
3
.
9
5
)
よ
り
､
(
3
.
1
3
3
)
(
p
,
q
)
-i
e
l
T
S
,
0
,
(
p
,
q
)
ト2
i
e
Ll
1
-α
l
o
'
]
(
p
,
k
)
7
5
α
1
(
k
)
0
/
(
k
,
q
)
となるので､(
3.
1
33)のカイラ
ル
変
換は
(
3
･
1
3
4
)
となる｡この (
3.
1
31
)を満たす 上
･1 p)
60,
1 α
.
"
. 1
l
♂
㊤
/
(
p
,
q
)
叩
(
q
)
(
p
,
q
)
-7
7
1
(
p
)1
-c
rl
O/
肌
〉
〉
1
-α
1
0/
(
p
,
q
)
i
e
r
r1
(
p
)1-α-1
1
-α
-1
0
/
㊤/
6
L
(
l
,
q
)
叩
(
q
)
c
r
l
O
/
I2
i
e 7
5
α
1
(
k
)
0/
(
k
,
I
)
1-
(
3
.
1
3
5
)
となるが､
(
3
･
1
3
6
)
となるので､その結果
,
i
)
(
I
,
q
)
T
7
(
q
)
1
α
l
o
/
T
(
p)-2
i
e 75
α1
(
A)
0'(
k
p,
qT
6
L(p,q)- ier7-1(p)75)1-α-1㊥/(
/､
′
)
]
(
3
･
1
3
7
)
となるoさらに公式 75
叩-7
膏5とr
r1
75-今5
r
7
-1を便 うと,
6
L(
p
,
q)
-i
E
(
%(
p
)
L(
p,
q
)
-L(
p,
q
)
15(
qト 2/ka-1
(
p)
7-1(
p)
75
0,
(
p,
頼 k)
L(
k,
q)
)
(
3･
1
38)
とな り定義を満たす｡よって､(
3
.
1
3
3
)は (
3
･
1
3
1
)の解になる｡この変換によりI
R作用は
S
甘
-
魯トp)
D/
(
p,
q
)
V(
q
)
とな り､新 しい Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
rD′は､
(
3･
1
3
9)
=
D(
p,
k)
L(
A
,
q
)
D/
(
p,
q
)
(
3･
1
40)
と定義される｡具体的に求めると､
A
)一一二
(
k)
Do
(
p)
6
(
p-k
)
+75
T
l1
(
p)
7
5
0′
(
p,
A)
r
7
( 叩⊥
(
k
,
q
)
7
7
(
q
)
1
-α
1
0
/
D,
(
p,
q
)- i (
-Do
(
p
)
6
(
p-q)･ l
n-1
a-1
Do･75
叫
(
k,
q)
り(
q
)
0/
(
p)/ o/
(
p,
k) -α-1
(
3･
1
41
)
1
となるが､
叩1
α-l
oo+75
叩1
75-α 1
Do
n 1+ (
i-2
α1
7
)
o
)
rl
-(
I-αI
I
Do
)
炉 1
革亭印
(
3
.
1
4
2
)
より､
o
(
p
)
6
(
p-q
)+
D'
(
p,
q
)-D
3
3
(
p,
q
)
T
l
(
q
)
1
α
1
0
/
(
3
･
1
4
3
)
ら
に ㊤ ′の定義
(3 .9
う
[7
1
k,
q
)
C(
q
)
1+β∂(
1
k)
TT
三㍍ (
k,
q
)
a(
q
)
1十 月∂
rc
c
.
I
.
5
1 γ･
:
,.･
･
L
c
']
∧
仙
u
十
日
二
)
T
か
川
p
I
dⅦ
川u
泊
U
〟
.
Rム
u
F
n
u
p
.
lu
t
川
u
β
5
-α
C
1-1㊥/
l
o
′
7
n
u
HU
I
5
7
ニ
)
〃
︼
p
L
u
]iⅦ
より､
山九
p
-C- 1(
p
)i l
l+讐 5
7
ーn
,H1
q
n
U
.1
1■
H
一
)
7
弓
▲
p
I
"u
t
L
川U
β
5
7
･
･-α-1(p)0 ,
(
p
P
.
i
ut
川
U
を
使 と､
,
q
)C-1
(
p5
(
4)
/ ム ｢車 上
V
和
H
u ﹄
.
.
t
a.
とな る｡さ
(
k
,
q
)
a(
q)
(
3.
14
4
)
(
3･
1
4
5
)
となる｡ここで､
0
)
" (p,q
-
1
α -
-
1
0 /
(
p,q)り(q)
(
3･
1
4
6
)
と定義すると､0
/
/は
60"
(
p,
q
)- -i
e(
7
5
0"(
p,
q
)I0"(
p,
q
)
%(
q
)
)
(
3･
1
4
7)
と､線形な変換性を持っている｡
変数変換 (
3.
1
2
9
)をすることにより､以下のようなヤコピアンが導かれる｡
D甘 -D甘/e
J)
0
'
]
I
J- Ttl
o
gト
α1
このヤコピアンは､相殺項 (
3.
9
7
)と相殺する｡ その結果得 られる I
R作用は
sI
R-i,q魯(
-p)
D'
(
p,
q
)
q/
(
q
)
ら
+i pT(
-p)
K-1(
p)
p2
p(
p)+sI
l
p,
Pt
]
(
3.
1
5
0)
となる｡カイラル変換は以下のようになる｡
g
'
()
6
5
()
g
'(
p - iei, p
p
)
,
%(
-p)- 魯(
- ie75 ,
6
p(
p)
- -2i
e(p)
,
6
p†
トp)- 2iep†(- ).
6
p )
p
p
(
3.
15
1)
(
3･
15
2)
5
3)
(3･
1
(
3.
15
4 )
ここで得 られた ㊤
〟は､B=α-1
､C=1のときに､
0〝(
p,
q
)-粛(
p-q
)
n(
q
)
-p+p(
p-q
)
A+(
q
)+p_p†
(
p-q
)
i_(
q
)
(
3･
1
5
5
)
となる｡ここで､
Pi(
p)-
1j
=今5
(
p)
(
3.
1
5
6
)
である｡これは [
7
]で得られた相互作用の連続理論版になる｡
3.
8
75による表現への変数変換
前節の変数変換で､新 しい変数 甘/が､通常のカイラル変換である
∂
V
'
(
p
)
-i
e
75
g'
(
p
)
3
4
(
3.
1
5
7
)
となるように Lを定義するoこのとき Lは
L
(
3･
1
5
8)
6
L(
p,
q
)-i
e
(l
TS,L(
p,
q)
]-2 75
α-1
(
p)
D(
p,
k)
L(
k,
q
)
)
という性質を満たす｡この方程式の解は
p,
q
)
L(
p,
q
)- 1- α- 17)(
(
3.
1
5
9)
となるが､これは以下のようにして確かめることができる｡始めに､カイラル変換をとると
p
,
k)
1
-αD (
6
L(
p,
q
)-
I
,
q)
(
k
)
6
D(
k,
i
)
1
-α
1
D(
α一l
-1
(
3.
1
6
0)
となるが､GW r
e
l
a
t
i
o
n(
3.
61
)から得 られる関係式
7
5
,
D(
p,
q
)
)-2LD(
p,
k)
75α
1 k
)
D(
k,
q
)
)
6D(
p,
q
)- -i
e((
--2iea(p)I(
6(
pk)
-α1
(
p)
D(
p
,
k))75α1 k
)
D(
k,
q
)･i
el
75
,
D(
p,
q
)
]
(
3･
1
61)
を使 うことによって､
e
8
L(
p,
q
)- i
1-
k)[
75,
α一l
(
k)
D(
k, α
1
D(p,
c
rlD
I)]
1
2
i
e α 1(p)D(p,k)1-α-1ヱ
k,
q
)
(
)
75
/A
(
3.
1
6
2)
となる｡第 1項目は
i
, 1- α-1D
k,
q)(
p,
k)lry5,α-1
(
k)
D(
k,
I
)
]1-α-1
D(
1-α-1
D(
p,
q
)
]
(
3･
1
6
3)
3.
1
5
8)に一致するOこの Lを使って変数変換をすることにより､変形されたカイラル変換が通
となるので､これは (
常のカイラル変換に戻る｡
このとき､新 しい変数のもとでの Di
r
a
copera
t
o
rは
/
-
1 α
-1D (k,q)
D(
p,
k)
(
3.
1
6
4)
D(
p,
q
)-Do
(
p)
6
(
p-q)+V(
p-q
)
(
3･
1
65)
D,
(
p,
q
)
となるが､変数変換前の Di
r
acope
r
a
t
orを形式的に
と書 くとき､
o
1
α
1
Da-D
D
D
a
を使 うことによって､
によって関係付けられた
D′
(
p,
q
)-Db
(
p)
6(
p-q
)+T
rl
(
p)
(
3.
1
6
6)
o
p,
q
)
r
7
-1(
q
)
v(
1-c
rl
rl
(
3.
1
6
7
)
D
と表されるoまた､ 吊 まくr
y5,
Dも
)-0を満たす｡(3.
6
0)より､新 しい Di
r
aco
pe
r
a
t
orの満たす関係式は
6
D′
(
p,
q
)-一
転〈75,
D′
(
p,
q
)
)
(
3･
1
6
8
)
となる｡
この変数変換によるヤコピアンの寄与 Jを考えると､(
3.
1
5
9)より､
J-Ttl
o
gl
l - α-1
D]
35
(
3.
1
6
9)
となるが､これは (
3
.
9
0
)を相殺する｡その結果､得られる I
R作用は､
i 魯(-p,D,(
p,
q
,Q,
(
q
).
i p.
(
TP,
Ki p,
pi
p(
去)+sIl
p,
P.
'
sI
R-
(
3･
1
7
0
)
,
q
とな り､カイラル変換は
6甘'
(
p)- ie7
5
(
p)
q/
(
p),
(
3.
1
7
1
)
線 上p)- 魯トp)
i
e
75 ,
6p(
p)- -2i
ep(
p),
(
3
･
1
7
2
)
(
3･
1
7
3
)
6
pI
トp)=2i
E
P†
(
-P)
(
3
.
1
7
4)
となる｡これは､通常のカイラル変換 と､その変換のもとで不変な作用になる｡
r
a
co
pe
r
a
t
orに対 して､変数変換によって､通常わカイラル
このように､非線形なカイラル変換のもとで不変な Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
rを構成することができた｡次は､逆に､通常のカイラル対称性を持った D/に対 して､
対称性を持った Di
(
3
1
1
6
8)を解き､それを使って変数変換前の Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
rを求めることを考えるo(
3･
1
6
8
)に対する一般解は､75
と反交換する Daを使 うことによって､D′
-Da+V′とするとき､
2(
p)
㊥(
p-k
)
(
a
c
)
1
(
k
)
汐(
k-q)
C
;(
q)
C
/
A
V′
(
p,
q
)-c
l
(
p)
β(
p-q
)
C
'
1
(
q
)+
/
.
C
3(
p)
♂(
p- k)(a
c
)2(
k)
澄(
k一g
)
(
ac
)
3
(
l
)哩 -q
)
C
;+-
.
I
(
3.
1
7
5
)
と書 くことができるoここで､ ciと C
まは 75と交換する量で､(
a
c
)
1は 75と反交換する量を表すOこのとき V′は以
下の関係を満たす｡
(
3.
1
7
6
)
∂
Ⅴ/
(
p,
q
)- -ieh 5,
V(
p,
q
)
)･
この Ⅴ′
を使い､非線形なカイラル変換のもとで不変な Di
r
a
co
pera
t
o
rを求めると､
D(
p,
q
)-Do
(
p)
6(
p-q
)
(
p,
q
)
r
7
(
q
)
1+α-1
1
1
V/
)
(
3･
1
7
7
)
となるが､この解は (
3･
8
9
)において､汐
うV′とした式なので､(
3.
8
9
)には含まれていないように見える0
3.
9 より一般的な解の構成について
前節において､ブロックスピン変換により変形された非線形なカイラル変換を､変数変換によって線形､さらには
U
V理論 と同じ､通常のカイラル変換への変換を考えた.これにより､より一般的な解の構成を考えることができる.
(
3.
1
7
7
)を参考に､(
3.
7
2
)の段階で､β
ぅV とする｡
o(
p,
q
)-A(
p)(V蒜
)(
p,
q
)
a(
q
)･
(
3
･
1
7
8
)
ここで V は (
3.
1
7
5
)と同じとするoこのとき､0 と75の反交換関係をとることにより
(
7
5
,
0)-[
7
5
,
A
]
Vr
完 C･A〈
7
5
,
V
手
品
〉
C･A
f
義か C
]
(
3.
1
7
9
)
となるが､右辺の第 2項冒は
A(75,
V手品
A
(
7
5
,
V
)
手
島C
+
A
VT
h
〉O-
--(
i
e
｢1
6
｡+㊤C-1(75,
B)
A-1o
3
6
l
75,
BV]
這 戸0
(
3･
1
8
0
)
と変形できる｡よって､
ニー
i
e
A
(
p
)
7
5
A1(p)o(
p,
q
)+o(
p,
q
)
C
[
6
0(
p,
q
)
-
1
(
q
)
T
ら
c(
q
)
-
/㊨(
p,
k
)
(
rl
(
k)(75
,
B(
k
i
)
Al
l
(
k)
0(
k,
q
)
]
(
3･
1
81)
とな り､(
3.
77
)と同じ形になる｡A B,C に対する条件は以前 と同じになり､その結果､(
3.
89)において W
ぅ Vと
した解が得 られる｡
去(
p,
q
,-Do
'
p,
6'
pA
･争
5n- 1(
p'
C -1(
p,
(75,
B'p｡(v
f蒜
)'
p,
q
'
C(
q
,
"q
'･
(
3･
1
8
2)
こうして得 られた解は､B-α 1
叩､a-1とすることにより (
3.
1
77)を含む解になっている｡
4 超対称性への応用
前章では､変形されたカイラル変換のもとで理論を構成することを考えたが､この方法は他の対称性にも応用する
ことができる｡この章では超対称性に対する応用を考 える｡つまり､ブロックスピン変換で超対称性を破る時に得ら
れる､変形された超対称性と､それを満たす作用を求める｡また､以下では座標空間で考える｡
4.
1 超対称量子力学
始めに､超対称量子力学について考えるoU
V場を ￠-玩,
F,
4
,
,
弟 として､超対称な U
V作用を以下のように定
義する｡
sUv刷 -/十 去x
∂2
x.i(
a･凱
2-FW]
, W --x･妄g
x2･
守
(
4･
1
)
この作用は､以下のような超対称変換のもとで不変である｡
Eu一E
l
n
H
一Erpn
H
一
2 34 5
4
4
4
4
lu
1
L
uiZ
E
iu
一
llq
一
u
6
x-一さ
ゆ+
6
F- -e
a
中一E
∂
尋,
神 主e
トax-F
)
,
6
尋-i
(
ax-F)
.
吋
,
ここで､亡は Gr
a
s
s
mannoddなパラメーターである｡このとき､場の変換を
6
4
,
A-(
e
M +通 )
AB￠B
と書 くと､変換行列は
0 0 0 0
r
=
一
7 oo
＼︺
1
000
二
兎
〇 〇 〇 ∂
′
(
＼︺
17 0 0
0 0 00
00｣o
OC
Po
A
/
I=
となる｡ブロックスピンカーネルαを
＼
J
o o 叫O
1
oo o 7
500 0
oc
こ
O00
6
e
q
//
し
l
;
α
3
7
(
4･
8
)
とすることにより､I
R場 ◎- (9,
7,
甘,
可 に対する WTi
de
nt
i
t
yは以下のようになる｡
O
il
箸仁中-al語)
･
e
(
紅al等)
〉
昔a
l
砦+
孟e
a
l
等
(
e
a
(
せ
-al
語)
e
a
(
i-al
等)
上品E
al
a等 一
基eal∂箸
∂甘
e
(-∂(p-a
葦
)-(
I-ao讐 )〉･蒜 e
a
2
∂箸
p
a
葦)
(
7
-a
o
警
･e
ia(
十品 eao
驚
普+
孟e
a
2
倍一
芸E-ao讐
))
]
これより､変形された超対称変換は以下のようになる｡
6
p
中-al語)
･
e
(
紅al等 )
,
6
78
(
g
-al
砦 トa
(
トal等 )
,
紬-e
(-a( -a
葦)
(-a
o
讐)
)
,
転e
(
∂
(
p-a
葦)
ニ
(
FlaO
警 )).
p
(
4･
1
0
)
(
4･
1
1
)
(
4･
1
2
)
I
(
4.
1
3)
6
残 りの項は､変形された超対称変換か らのヤコピアンの寄与になる｡ これらは､場の 2階微分になっているが､全て
r
a
c場の微分が含まれているので､スカラー場 や または補助場 F と Di
r
a
c場の積が作用に含 まれていなけ
の項に Di
れば､ゼロになる｡ 自由理論の場合はそのような項がないので無視することができるが､湯川相互作用がある場合は
無視できな くなる｡
4.
1
.
1 相互作用が無い場合
変形された遊対称性を持つ自由理論の作用は以下のように与えられる｡
sI
Rl
O]-/x ト 妄pDo
2
D2 再 (
∂+-)β+g+
甲
7-荒
D2
D2
p
]
･
FD2
(
4.
1
4
)
ここで導入 した演算子は
D2=
(
4.
1
5)
1+a
2
∂2-驚 m2'
∂2+a
o
(
∂2-m2)
=∂2--聖一m2,
Do
21+α
0
1+αo
1
1+α
2
(
∂2- m2)
L
)
宣1+α
0
T千石 +蕊
(
∂2-m2
),
(
4･
1
6
)
β+-
(
4.
1
8
)
β_-
1
1+α
1
(
∂十m)I
1
(
4.
1
7)
(
4･
1
9)
1-al
(
∂一m)
となる｡この時､変形された超対称性は以下のようになる｡
6
p- -e
P+甘+e
β_膏,
(
4･
2
0
)
6
7- -E
∂β+甘-e
∂β_争,
(
4･
2
1
)
6甘=e
a+a
o
(
8-m)
1+α
o
38
1+α2
∂(
∂一 m)
1+αo
1+α
2
∂(
∂+m)
1+α
o
(
4.
2
2
)
(
4.
23)
4.
1.
2 相互作用がある場合
相互作用を含めるとWTi
de
n
t
i
t
yを解 くとこが非常に困難になる｡そこで､α1-α2- 0とお く｡つまり､補助場
r
a
c場の微分だけになる｡その結果､作用
のみのブロックスピン変換を考える｡この時､2階微分の項は補助場 と Di
に湯川相互作用が含まれていても､2階微分項を無視することができる｡
変形された超対称性を持つ作用は以下のように与えられる
｡
sI
Rl
O]-什
去982
p+ @(
a･若
)
- 去丁去
7
2-読
F
W
･去荒
]･
W 2
(
4･
24)
また､変形された超対称変換は以下のようになる｡
6p- 一百
g+e甘,
(
4.
25)
6
7--e
aせ
(
4.
26)
-E
∂甘,
g
e
(
-手
長 蓋W
)
,
蕗e
(
∂
p
読 F･荒 W
)
･
∂p-
6
7･
(
4･
27)
(
4.
28)
Fに対する運動方程式より
7=-〟
(
4.
29)
となるが､これを作用に代入すると _
-什
主動
sI
Rl
@]
十%(a･ 芸
)
弓W
2
]
(
41
30)
とな り､α
o依存性がなくなるという特徴を持つ｡
4.
2 2次 元 W es
s
Zumi
no模 型
s
s
Zumi
no模型の作用は以下のようになる｡
2次元 We
sUvl
Q]-什
恒 F･
F仰 (
F
x
･
F･
x･
)
沼 2
x･Q(
p -)
･
g Q (p ･ x ･
用は､以下のような超対称変換のもとで不
この作
変
で
あ
る
p L y
) 一
芸g(
Fx2+F･x*2)]･
(
4･
31)
｡
6
x--e
P+4
6
x
*
-一首
P_4
7
6
F-一百
P_如 +卵 p_C,
,-
尋 p + E,
(
4･
32)
-
47
P _ C,
(
4･
33)
【
=
(
4･
34)
【
=
6
F*-一百
P+如 +4
,
gp+
(
4･
35)
C ,
6
誓 -(
(
O
x'F*)
PL
'(
裾 +F)P
･
)
i,
瑚-i
(
p
-鶴 -F*)･P
'(
O
x
*-F))･
作 用 は ､e
-
0 と した ぎ の み の 変 換 ､ま た は そ の逆 の元 で も不 変 に な っ て い る ｡こ の とき
(
4･
36)
(
4.
37)
U
V場
￠-(
x,
x*
,
F,
F*
勅 4
,
)に対する変換行列は
hB
A
e
6￠A-e
MA
BQB + ￠B
39
(
4･
38)
0 0 0 0
0
0
巴
i
S
P
J
A
.
｡
↑紘｢↑
豊
1 一㌃
一
oooo た
OOOo n
T
〇
o
た
o o o o
oooo
o
oo oo o
oo
c
Sfl
o
(
4･
40)
1
7
S
o
o
o
恥
o
o
ooo
e
e
i
q
O0000
o eeo
s ooo
l
n
r
o o o o
0 0 0 0 0 0
謹
･｡ ｡
l 詔II
oooooた
o o o o o nr
.
♂
oooooQ
i
+
ー
爪
の
r
oooooた
となる｡ブロックスピンカーネル αを
o
とするとき､
R場 申- (p,p*,
7,
7*,
甘,
叫 に対する WTi
d
e
n
t
i
t
yは
とすると I
i[
驚く
e
p
･
(
甘
-a
l
語)
(
画
一
a
l
等 )p
･
十品
〈
e
p
･
a
l
等 +al等 p･e
)
･
欝仁e
p
(
トal等)
(
魯
-a
l
等)
p
e
)
一
基〈
e
p
a
l
等 ･al等 p-e
)
･
讐仁E
P
専 一al砦)
+
(
魯
-a
l
等)
b
p
+ 針p
a
l
倍 -al等 i
p
弓
･
賢く
i
p
･
中-al語)
+
(
魯
-a
l
等)
紘 )一品〈
e
p
･
a
1
倍 -al等 転 )
･
箸仁(
♂
(
p-a
2
欝)
+
(
十a
o
讐)
)
p
-(
a
(
p
･
-a
葦)
+(
7
-a
農)
)
p
･
)
e
･
荒く
(
a
2
倍 -ao讐 )p-e+(Oa葦 -a農 )
p
･
e
)
a
S
I
R
p
*
十一aO課)
)
)
普
)
一
･
e
i
p
(
a
p
L
a
2
欝)
ヤ aO
筈)
)
.
p
･
(
中 -a2∂
ト
･e
ip
+ a
2
8
% ･ao
% )･P･
(
-a
2
8
%･ao
g)
)
i]
(
4Al
)
0-
(
ー
となる｡これより､変形された超対称変換は以下のようになる｡
p
i
P
･
(
中
一a
l
砦)
(
魯
-a
l
語 )p
･
E
,
(
4A2
)
二
e
P
L
F-al語)
(
魯
-a
l
等 )p-E,
6
7e
T
L
中-al語)
+
(
魯
-a
l
等)
i
p
i,
6
7㌧e
P
･
中-al
砦)
+
(
魯
-a
l
等)
h e,
(
4
･
4
5
)
6
g
(
♂
(
p-a
2
欝)
.
(
7
*
a
o
讐)
)
p
e
-(
#
(
p
･
-a
葦)
+(-a
農)
)
p
･
e
7(4･
4
6
)
p
(
隼 a
2
欝)
(
7
･
a
o
驚)
)+ ･
(
中 一a
葦)
(
7
a
農)
)
･(4･47)
6
(
4･
43)
好
(
4･
44)
I
E
P
2階微分はヤコピアンからの寄与を表すO
40
4.
2.
1 相互作用が無い場合
変形された超対称性を持つ自由理論の作用は以下のように与えられる｡
隼 /
xl -
sI
Rl
2
p･-
一
7一恵
一-
2
(
FD2
p･7･D 2
p*)
]
(
4･
4
8
)
ここで導入 した演算子は
Do
2-∂2-一堂⊥m
2,
1+α
o
トi
嵩 +荒
(
4.
5
0
)
(
｡2-m2)っ
D2-
D2 =
(
4.
49)
(
4.
51
)
1+a2Do
2
P+-
β+帆
1+α1
(
β十m)ラ
(
4.
5
2)
D_=
β一m
1-al
(
β一m)
(
4.
5
3)
となる｡このとき､変形された超対称変換は以下のようになる｡
i
P
.
(
I-a
L
P.
)
甘-i(1+ん
1
)
p.C,
(
4.
5
4)
-(
1-a
l
b.)中一@(1･左 a
l
)pJ ,
(
4.
5
5
)
6
p--
6
p,-
諺(1.D+-al)p-E,
(
4.
5
6
)
6
7--e
p-(
1-al
P.
)
鍾+
6
7*--e
P
.
(
1-al
P.
)
紳 十重
紬 ニト (
紅 荒
･ 卜 (8-荒
6
魯-可
･e
勘
o･荒
(
[
(
打 荒
-)D2p
-
(
4.
5
7
)
.D
t
-a
l
)p.C
,
1+a
2
0(
β一m)
1+α
o
1+a
2
0(
β一m)
+α
-)D2
p*1+α2
β(
♂+m)
1
+α
o
-)D2
p 1+α
2
β(
β十 m)
1
+α
o
-)D2
p･1
o
(
4.
5
8)
(
4.
5
9)
4.
2.
2 相互作用がある場合
相互作用がある場合について､α
1-α
2-0とおいて考える｡超対称量子力学のときと同様に 2階微分の項は寄与
R作用は以下のようになる｡
しない｡変形された超対称性を持つ I
sI
Rl
O]-什
〆 両鴻
∂2
紬
-読
F*
上
･g
@(
p･p･PP･)
甘-宣長
記 (
Fp･7･p･)+荒
(
Fp2･7･
p･
2
)+芸濃
41
-2
函
(函
2+ 拘
)+ 芸
謹
蒜
P･
2
p2
]･
(
4.
6
0)
また､変形された超対称変換は以下のようになる｡
6p - -e
P+中 一魯p+E,
(
4･
61)
ニ ーe
7 _中 一魯p_E,
(
4･
62)
6
7 - -e
7_メ
紬 +魯βp_E
,
(
4.
63)
6〆
【
=
【
弓
=
6
7*ニ ーe
P+細 +魯βp+E,
6
g- [-ap･莞
-材
･[凍 *.手篭
6転 e
p-l
Op･荒
(
4･
64)
量志
-小
-p.芸i
豊
･E
P･[
裾 十荒
92･手長
雪荒
7･
]p-
〆2･Tld
平2一千五
野 ･･芸濃
F
p･E,
(
4.
65)
･
]
〆21
if ]
･
(
4･
66)
5 まとめと展望
本論文の主題である､非摂動 くり込み群における対称性の実現に対 して､格子理論での前例である文献 [
7
]に基づ
いて､変形された対称性のもとでの理論の構成を試みた｡
V理論の生成汎関数 と I
R理論の生成汎関数を関係付ける｡こ
始めに､ブロックスピン変換の連続理論版により U
V理論の持つ対称性を破ってしまうと､I
R理論では変形された対称性が実現され
のとき､ブロックスピン変換が U
d
e
n
t
i
t
yによって記述される.変形された対称性を記述する I
R
ることが知られている｡理論の対称性は一般に WTi
､U
V理論の WTi
de
n
ti
t
yに対して､
U
V理論 と I
R理論の生成汎関数 どうしの関係を用いる
理論の WTi
de
n
t
i
t
yは
ことによって得 られる｡これによって得 られた対称変換は､I
R作用に依存する形を持 っている｡対称性に基づいて理
論を構成する場合､通常は与えられた変換のもとで不変な作用を構成するが､変形された対称性によって理論を構成
する場合､作用と変換を同時に構成しなければならない｡
V理論 として湯川相互作用を
本論文では､これらの一般論のカイラル対称性に対する応用を議論 したO始めに､U
de
n
t
i
t
yの
含むカイラル対称な理論を定義 したO但 し､フェルミオンについて双一次を仮定 したOこれは､後に WTi
解 とし得 られる作用 と､I
R理論の定義式を直接積分 して得 られる作用を比較するためである｡次に､ブロックスピン
カーネルを質量項に比例する形に選ぶことによってカイラル対称性を破る｡この時に得 られる変形された対称変換は
I
R作用に依存するので､始めに I
R作用の形を仮定する必要があるoそこで､フェルミオンのに対 して双一次の仮定
のもとで､相互作用を含まない自由理論から始めたo Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
rを未知数 とする相互作用を含まない作用を仮定
r
a
co
pe
r
a
t
o
rを決めたOこの とき Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
r拓
し､その結果得 られた変換のもとで作用が不変になるように Di
e
l
a
t
i
o
nと呼ばれる｡次に､湯川相互作用を含む形を仮定 し､変形された変換を求め､作用
課せ られる条件式は GW r
を不変にするための Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
rに対する条件を求めた｡この条件式に対する解を求めるために､Di
r
a
co
pe
r
a
t
o
r
を自由理論で得 られた結果 と湯川相互作用に分け､湯川相互作用に対する条件式を求め､それを解いた｡そうして得
られた結果は､フェルミオンのみを直接積分して得 られる作用 と､文献 [
7
]で得 られた結果の連続理論版を含むより
一般的な解になっていた｡相互作用を含めた場合､変形された対称変換は非線形であるが､変数変換を施すことによ
り､最終的に線形な変換性にできることが分かった｡最後に超対称性に対する応用を考えたが､カイラル対称性の時
と同様に､変形された対称性のもとで理論を構成することができた｡
本論文の結果で重要なことは､変形された対称性を厳密に保つ理論を構成 したことである｡但 し､フェルミオンに
対 して双一次を仮定 しているので､高次項を含めて理論を構成できるかは今後の課題 となる｡また､非摂動 くり込み
群で最も問題視されているゲージ対称性に対しても同様のアプローチが可能かを検証することは重要であり今後の課
題 となる｡
42
謝辞
本論文の作成にあたり､お忙 しい中議論 して頂いた五十嵐尤二先生､伊藤克美先生には心より感謝いたします｡ま
た､日頃から議論 して頂いた佐藤雅尚氏にも深 く感謝致 します｡また､谷本盛光先生､中野博章先生には論文内容に
対 しど指導 して頂き心より感謝致 します｡
付録 A 記法
本論文で用いる記法の説明をする｡
空間については､4次元ユークリッド空間を用いる｡また､運動量空間での演算 として､
J･
4
)
-
J
A(
-P)
￠A(
p),
≡_
:
i
_
二
恒･
4
A
F
B
L
Q
A'
p
'
l
a'
p
'
]
A
B
QB'
p'
∬
4
α
'
′
′
ノ
ニ
ム
を定義する｡積分は
d
i
p
面
..
i戸
=
i
I
_-
を表す｡
場 ゆでの右微分 と左微分を以下のように定義する｡
a
l
x
=
【
=
(
)
(
:
)-品
e
7
(
･
)
I
I- 壁
∂
(
:
I
)-x; ･
x,
付録 B 便利な公式
7
5
r
7
(
p)-叩(
p)
今5
(
p),
r
7
-1
(
p)
75-今5
(
p)
r
7
-1,
75+ 嶺(
p)-2っ
′
5
り(
p),
(
75
,
可 -2
m5
り･
IlH11Ⅳ
肌
リーn
uFJ
一
1 2 3 4
B
B川rq
B
Bu
lu
t
柑
UI"l
t
t
rl"l
75と GW r
e
l
a
t
i
onを満たす D oの間に成 り立つ関係式をまとめる｡
αが 声に比例する項を含む場合､α1 αp､叩J qpとし
75
T
7
p(
p)-敬(
p)
今5
(
p)･
囁l
(
p)
75-今
5
(
p)
雇1
が成 り立つ｡これらの公式は GW r
e
l
a
t
i
onによって示される｡
次に､超対称性への応用で定義 した演算子に対する公式をまとめる｡始めに､超対称量子力学で使った公式は以下
のようになる｡
D2-1-a
2
∂2+荒
m2
D2
-1-a2Do
2
D2
1l a D2
2
D2+
O
43
a.Ia2
82
D2
1+α
o
l
l･a2(
82-m
2)]D2
α
2
-1
-- m2D2
1+ αo
(
B.
1
0)
β+- 1-al(
∂+m)
β+
β_- 1+α1(
∂一m)
β_
2次元 We
s
s
Zumi
no模型で使った公式は以下のようになる｡
pP [
1
-a
l
D']
(
#･m),
9-l
l･pa
l
]
(
0-m)
これ らの公式は､演算子の定義から直ちに従い､変形された超対称性の計算や､作用の不変性を示す時に役に立つ公
式 となる｡
付録 C Ba
t
al
i
n
Vi
J
k
ovi
s
k
y形式
C.
1 マスター方程式
Ba
t
li
a
nVi
l
k
o
vi
s
k
y(
BV)形式 [
21
]とは､一般的なゲージ理論をロー レンツ共変的に量子化する方法 として考えら
ope
nga
ug
et
he
or
y)や､全ての生
れた形式である｡例えば､運動方程式が成 り立つときのみ代数が閉じている場合 (
r
e
duc
i
bl
ega
ug
et
he
o
r
y)等にも適用できる｡また､非摂動 くり込み群において対称性を議
成子が独立では無い場合 (
論する際にも用いられる｡
￠
始めに BRS
T変換のもとで不変な作用 Sol]を考 えるO理論に含 まれる場を ￠A で表 し､その無限小 BRST変換を
￠A → ￠A + ∂
￠Aβ
(
C.
1
)
と表す｡ここで､βは Gr
a
s
s
ma
nnoddなパラメーターを表す｡また､ラベル A には運動量 も含めて表 している｡作
用はこの変換のもとで不変であると仮定する｡
欝
6
￠A -o･
(
C･
2
)
6QA-o
(
C･
3
)
BRST変換は ni
l
po
t
e
n
tなので､
欝
となる.次に､BRST変換のソース として反場 蝿 を導入するo この反場の統計 陸は､場の統計因子を e
(
4
,
A
)-eA
とした とき､
E
(
4
,
i
)-eA+1 (mod2)
(
C･
4
)
4
,
,
4
,
*
]と書 く.
となる｡反場を加えた作用を Sl
Sl
4
,
,
￠*
]-Sol
￠]+4
･
*･
64
,
･
(
C･
5
)
この とき､作用 Sは以下の関係式を満たす｡
O-
宗
宗 ･
(
C.
6)
実際､反場のゼロ次の項は作用の不変性か ら､反場の 1次の項は BRS
T変換が ni
l
po
t
e
ntであることか ら消える｡こ
Cl
a
s
s
i
c
l Ma
a
s
t
e
rEqua
t
i
o
n,CME)と呼ばれるO反場の 1次の項を加えただけで
の方程式は古典的マスター方程式 (
は新 しいことはない｡ しか し､BV形式では一般に反場の高次の項を加えて考える｡そのとき CMEは､反場のゼロ
次が作用の不変性を与え､反場の高次項は低次項に対する c
o
ns
i
s
t
e
nc
yc
o
ndi
t
i
onを与えることになる｡
4
4
ここで､場と反場の任意関数 X[
Q,
￠*
]
､Y
[
4
,
,
4
,
*
]に対 して a
nt
i
br
ac
k
e
tと呼ばれるものを定義する.
(
x,
Y)
≡蒜
宗 一琵
蒜
･
(
C.
7
)
このとき､場と反場の間に
(4,
A,￠B
)-
GAB , (4
,
A,4B)
,
4,
A,4,
A)
- 0･
(
-
(
C･
8
)
が成 り立つ.また､ a
n
t
i
br
a
c
k
e
tは以下の性質を持つ｡
(
Y,
x)ニート)
(
e
x+1)
(
e
y+1
)
(
x,
Y)
,
(
C･
9)
(
(
x,
Y)
,
Z)+(
-)
(
e
x'1)
(
e
y'ez
)
(
(
Y,
Z)
,
x)+(
-)
(
e
z+1
)
(
e
x+e
y)
(
(
Z,
x)
,
Y)-0,
(
C･
1
0)
(
X,
YZ)-(
X,
Y)
Z+(
-)
e
Y (
X,
Z)
Y,
(
C･
11
)
(
xy,
Z)-x(
Y,
Z)+(
-)
e
xe
yy(
x,
Z)･
(
C･
1
2)
e
Z
一つ 日の式は､X と Y が共にボゾン的なとき交換 し､それ以外のときに反交換することを示 している｡二つ目の式
nt
i
br
ac
k
e
tが J
a
c
o
bi恒等式を満たすことを示 している｡また､ボゾン的な関数を B､フェルミオン的な関数を
は､a
F としたとき､
ar
Bal
B
(
β,
β)
-2
∂4
･
A∂賎
(
F
,
F
)
-0
'
が成 り立つ｡このとき､C
MEは
(
β,
β
)-0
(
C.
1
5)
と表すことができるo次に､一般化された B
RS
T変換を
6
￠
A-(
￠
A,
S),
6亀 - (
孤,
S)
で定義する｡この変換が ni
l
po
t
e
ntであることは､(
C.
9)
､(
C.
1
0)
､(
C.
1
5)から従 う｡また､作用が (
C.
5)のとき通常
T変換になるoこれにより､CMEは一般化された BRS
T変換のもとでの作用の不変性 として解釈できる｡
の BRS
∂
5-(
∫,
β)-o･
(
C･
1
8
)
次に､量子論的な対称性を見るために生成汎関数についてを考える0
Z= D岬 が e-Sli,抑
.
/
(
C.
19)
ここで､ゲージ固定は場のみの関数であるゲージ固定フェルミオン 中を使い､反場に以下の条件を課すことによって
行われる｡
∂甘
亀
-評
(
C･
20)
･
その結果､生成汎関数は以下のようになる｡
一
芸 )
み -/ - ￠
車
e-sl
w ]
Dd
,
e
-S
l
Q,
4
'
]
レ:I
-苦L
:
i
-
45
(
C.
21
)
この生成汎関数に対 して､世 の無限小の変換 6
世 を考えるOこのとき生成汎関数 は
6Z 9-回
一芸 碁
(
C.
22
)
g]e
-S
l
4,
4*]･
二
･
ユ
ニだ丁
6
となる｡ ここで､部分積分をすると､
6Z や
-/D4,∑[4,,4*]e 鞘
が
6
甘,
】
･
Jユ
ニ二
千㌢
･[
紺]
-去(
S
,
S
)-△S
となる｡ここで､△ は
(
C.
25
)
ザ A+ lJ2
1 一
生
△=(
∂蝿 ∂￠A
となる. この微分演算子の統計因子は e
(
A)-1であ り､n
i
l
po
t
e
ntであるO
△2
=O.
(
C･
26)
ここで､Zせがゲージ固定条件に依 らないことから､蝿 -∂g/
∂￠A において､
(
C･
27)
･桐 *
]-芸(
S
,
S
)-△S -0
が成 り立つ｡ これは､量子論的マスター方程式 (
Qua
n
t
um Ma
s
t
e
rEqua
t
i
o
n,QME)と呼ばれる｡
C.
2 WH
s
on作用に対するマスター方程式
スケール Aoでの作用を Sl
￠,
4
,
*
;
Ao
]とし､
･
J-0での生成汎関数を
/
Z
-
(
C.
28
)
Q･
6
(
4
左)e
xpト sl
Q,
Q･;
Ao
]
]
とした とき､BV形式での Wi
l
s
on作用 Sl
申,
針;
A】は､この生成汎関数 に定数
･=N / D紺
･珊
誓
6鶴 -I-1w exp[-AS
l
@,
Q
]
],
◎*
4
]
-寸
◎A二fQA)
α
AB(
@B 弓 ￠
B)
を掛けることによって
e
xp
[
珊
]
/
抑9
6
@*
;
A]
'
亀 -
鶴 )e
xp卜 ｡sl
@,
Q
]
十柳
*
;
Ao]
]
(
C･
31
)
で定義されるoWi
l
s
o
n作用を S
Aと書 くとき､ この作用に対する QMEは
s
A,
s
A)-ASA-0
･[
*,
*･
]-;(
(
C.
32)
となる｡ここで､◎は I
R場を表 し､その変換は Wi
l
s
o
n作用を用いて
S
A),
60- (
O,
60*- (
@*,
S
A)
で与えられるoきた､UV理論で ∑[
4
,
,
￠*
]-0が成 り立つ とき､I
R理論でも ∑[
@,
◎*
]-0が成 り立つ ことが知 られ
ている｡
4
6
付録 D Zi
nn
｣us
t
盲
n方程式
作用に対する対称変換が線形のとき､(
2.
3
6)より､有効作用も同じ変換のもとでの不変性を持つ｡ しかし､BRST
変換の場合､変換は非線形にな り有効作用に対する対称変換 と､通常の作用に対する対称変換は異なる｡そこで､有
効作用に対する恒等式 (
2.
36)を書き換えることを考える｡
始めに､BRST不変でゲージ固定 したものを考える｡場を ￠A とし､その変換を
￠A
→￠
A+∂△ A
(
D･
1
)
とする｡ここで､BRST変換のソースとして ガ を導入する｡
/
D
￠
e
x
p
l
-
zl
J,
K]
･
J
]
.
Sl
Q]+△ ･
K ･Q
(
D･
2
)
この生成汎関数に対 して､連結グリーン関数の生成汎関数を定義する0
Wl
J,
K]-l
o
gZl
J,
K]
･
(
D･
3
)
rl
p,
K]- W l
J
K,
K]-p ･
JK
(
D･
4
)
さらに､有効作用を
で定義する｡J
kは
ar
Wl
J,
K]
-
p
A(
p
)
(
D･
5
)
として定義する｡このとき､△ が ni
l
po
t
e
ntであることから､-S+△･
K は BRST不変になるので､(
2･
3
6)のとき
と同様に
L
(
A
A
b]
)
J
K,
K品
o
(
D･
6
)
となる｡ここで､有効作用を ∬ で微分すると
ar
Wl
J,
K]
ar
JKB(
-k)
aJB(
-k) J
)
=J
K ∂KAトp
∂r
r匝,
K]_ ∂r
Wl
J,
K]
∂KAトp)
∂KA(
-P)
J,
K]
ar
Wl
aKA(
-P)
B,
い∂r
JKB(
-k)
∂KAトp)
(
D･
7
)
となるが､
ar
Wl
J,
K]
-(
△ Ab
】
)
J
K,K
(
D･
8
)
2.
36
)は
となるので､BRST変換に対する (
∂r
rlp,
K] ∂l
r =0
p)
-P)∂pA(
L ∂KA(
(
D･
9
)
となる｡これは a
nt
i
br
a
c
k
e
tを使 うことにより
(
r,
r)-o
( 10)
D
･
と書 くことができる.但し､反場による微分は K による微分に置き換える｡この式は､Zi
nnJ
us
t
n 方程式 と呼ばれ
i
nnJus
t
i
n方
る｡BV形式の CME と同じ形をしているが､CMEが通常の作用に対する方程式であるのに対 して､Zi
程式は有効作用に対する方程式なので量子効果を含み､QME と関係を持つ量 となる｡
4
7
付録 E 変形された超対称性を持つ作用の導出
超対称量子力学において､ブロックスピン変換によって変形された超対称性は､以下のように与えられる｡
6
p
中一al等 )+e( al等),
(
E.
1
)
紅
1
6
8
(
O
-a
l
語)
e
a
(
紅 α
1
箸)
,
(
E.
2
)
6
7-
6
9-e
〈
a
(
p-a
葦)
(
I
a
o
讐)
)
,
6
転e
中(
p-a
葦)
(
I
a
o
驚 )〉･
(
E.
3
)
(
E.
4
)
この変換のもとで不変な作用の構成を考える｡
U
始めに､自由理論の解を求める｡仮定 として V作用 と同じ形の I
R作用を考える｡
s
I
'
;
'
l
O]
-什
主動
十%(
a･-)
弓
(
E･
5
)
72--7p
]･
この作用は､変形された超対称変換に対 して不変ではなく､αに比例 した項が残る｡
-l
(
e
一
O
]什
6SI
'
&'l
驚
a
)(
∂
2
p･-F)-al
(
E
a砦
-E
等
+e
∂等
)(
7･ -p)
(
a
2
.a
o
e
一
驚 )(
∂.-)
的 魯(
a･-) e
∂箸 ･a
o
e
讐 )]
･
･ 仁 a2
e
倍
(
E.
6
)
このとき､右辺の項は､変形された超対称変換で書き直すことができる｡
6
S
I
'
;
'
[
@
]
-錘
普 +al等 (∂.-)純
一
6
p
(
a
2
∂
2
箸+ao-警)
-(a2-管 +ao驚
a
l
(
8㍍ )
)]･
(
E.
7
)
よって､
'
J
a
l
6
%a
l
(
∂･-)
普 +al等
6
SI
R≡6SI
'
;
-6p(
a
2
∂豊
(
∂･-)紬
+a
o
-驚 )-6
7(
a
2
-管 .ao讐
)
]
(
E･
8
)
で定義 した 6
S
I
Rは､変形された超対称変換のもとで不変になるOこれより､
/
a
l仁∂
2
(
6
SI
Rl
O]
6
p
∂
p
)
(
I-a
o
%
p-a
2
))
a
S
I
Ra
S
I
R
r
n
.
a
2
V
)
∂
.
ア
･6
7
(
(
I-a
o ) ( ≒t
二
>
a
L
s
I
R
a
@)
･6
%(
a十-)
(
中
+
(
魯-a
l
等)
(
∂
+
)
6
g
]
一 al
｡
a
S
I
R
∂
p8
2
(
p-a
葦)
(
I
a
o
讐
(
E･
9
)
となり､以下の連立微分方程式が得ら
れる
a
S
I
R
∂
､
ア--( -ao
讐
7
十 -ト
48
)
母)
,
a
(
E.
1
0
)
,
(
E.
l
l
)
a
r
S
I
R
∂
甘ニ
ー(
∂--)
(
紅 a
l
等)
,
a
l
S
I
R
∂
◎-(
∂
･
)
(
ト al砦
(
E.
1
2
)
)
･
(
E.
1
3
)
これらの微分方程式を解 くことにより､(
4.
1
4
)が得 られる｡
相互作用がある場合､作用の仮定を
s
I
'
;
'[
@]-什
･@(a十若
言動
72- W], w l
p]-- p･去gP2
)弓
(
E･
1
4)
とする｡変形された超対称変換をとると
6
SI
'
i
'
圃
- l(
什
a
籍
倍
･(-a
ョ
e
-
一
昔
)(
∂2
p･芳
.ao
e
一
驚
(e
B等
+E
∂箸
一 al
)(
Fin)
)(∂+芸 )叫 @(8･貰 )(a2
e
∂箸
･ao
e
讐
)] (
E･
1
5
)
となるが､これを変形された超対称変換で書き換えると以下のようになる｡
6
SI
'
;
'
l
O,-仲
al(∂･g )普
-6
p(a
2
∂2
箸
瑠 )
6
9
(∂
+al
語
+a
o
芸 讐
)-6
7(環
箸
.a
o警
)
a
2
(
E･
1
6)
･(
神･e
@) (環 )等 ]･
最後の項は､場の変換で書 くことができず､この項があると自由理論のときのように解 くことができな くなる｡そこ
で､α2-0とおくと､変形された超対称変換のもとで不変な作用を
6
SI
R≡6
SI
'
i
'-庸
al(∂+若 )等
+al
等
pao
貰 讐
- 6
(∂+若 )6
-
6 ao
讐
(
E.
1
7
)
7
と定義することができるoよって､自由理論のときと同様に SI
Rが満たすべき微分方程式が以下のように求まるo
箸ニ
ー
8
2
p
一
芸(
I
a
o
讐)
,
a
S
I
R
∂
ア
+a
o
%)
-W,
a
r
S
I
R
∂
甘--(∂一芸)
(
㊨
- 等)
,
al
al
SI
R
a@ - (
∂･
g)ト
al
語
)･
(
E･
1
8
)
(
旦1
9
)
(
E･
2
0
)
(
E･
21
)
簡単のため､a
1-0とした解が (
4.
2
4)になるが､alを残 して解 くこともできる｡また､2次元 We
s
s
Zumi
no横型で
も同様に解 くことができる｡
参考文献
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1
9
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9
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9
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9
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1
9
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