企業獲おける最適広告費用の決定, 広告費用の製品間および媒体間での

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・−9ユ ー
企業の広告効果
梶 原 禎 夫
（1）
企業における革適広告費用の決定，広告費用の製品間および媒体由での最適 ■
配分の問圃を科学的に解くため紅は広告の直接的効果すなわち広嘗と販売の数
関係が明らかでなければならない。
本稿の目的ほ．企業における広告と販売の関係を表わす数量模塾を示すことで
く1）
ある。
本稿全体を通じて次の前提を設ける。
1広告以外の企業のすべてのマーケテイング方策は不変である。
2緊密な代替関係にある製品を販売する他企業のすぺてのマ−ケティソグ
方策は不変である。
8 広告は期間を定めて，期間毎紅行われる。
4 広告には常に．−・定組み合せの媒体が用いられる。
5 広告が行われなくなると販売額濾広告が行われなくなった時の販売額の
十定比率づつ毎期減退し，最後に・は零に・なる。この比率を販売の減退常
数とよぶ。
6 広告によって拡大することができる販売額には限界がある。この限界を
販売の飽和水準とよぶ。
7 広告によって販売額が零からある水準匪二重る場合，単位広告費がもたら
す販売額の増分は−・定である。この増分を販売の反応常数とよぶ。また
（1）基本部分ほ次の文献による。
ML Vidale and H”B Wolfe ＝An OpeIations・ResearcliStudy of Sales Res・
ponse to Advertising”in Frank MBass and Others，MathematicalModels
and Methodsin Mark占ting（Homewood，Illinois：Richard D…ⅠⅠwir，Inc・．1961）
pp−363∼377
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一−・92−・
第37巻 第4号
広告紅よつ・こ販売額が販売額Aから別の販売額に至る場合単位広告費
がもたらす販売額の増分は，
×（販売の飽和水準二販売額A）
販売の
販売の飽和水準
である。
以上の諸前提により，企業の時を通じての広告と販売の関係を販売の減退常
数，販売の飽和水準，販売の反応常数の三つのパブメ・一夕ー・で描くこどができ
る。
次のように記号を定める。
A，α
：広告費用
ぶ（わ，5（≠）：≠期の販売額
〟
：販売の飽和水準
r
：販売の反応常数
A
：販売の減退常数
（2）
毎期一一億額の広告費用Aをr期継続して授入する場合を考え．る。
才期払おける販売額の極限皮変化率は次式で表わすことができる。
≠くrでは，
dざ（≠）
γA〔〟−∫（り〕
−−
−一冊
〟
d才
ー・ス∫（才）
（2，1）
f＞Tでほ，
・−ス∫（ヂ）
≠期の販売額鞘）は微分方程式（2，1），（2，2）を解くこと紅よって与えら
れる。
0数分方程式（2，1）の解
（2，2）
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企其の広告効果
鱒t′ユ．＿∴
一夕3−−
γA〔〟・−∫（≠）〕
離
〟
・−・Åぶ（f）
＝rA−・（憲一ヰ・ス）ざ（才）
γA
陣β
-e
（錮十C〕
憎＋九）f〔
Cは任意常数である。
初期条件により，
rA
C＝＝∫（0）−・−
−算＋ス
である。従って−，
ー（憲一＋‘入）′
∫（≠）＝β
＿Aβ（孝＋入）f
・寸Å
γA
−一室・・−よ
ヰ印）
）
骨十人）f
＝憲封1−そ瑠＋入）f卜
印）β
（2，3）
または，
積卜瀞）才卜
一
となる。
0微分方程式（2，2）の解
‘′−′−
＝・−Aざ（才）
坤）ニCβ−一入≠
Cは任意常数である。
初期条件により，
瑠心）f
叩）β
（2，3）′
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第37巻 欝ヰ男
ー94−−
である。従って，
印）＝ぶ（r）β
一入（レア）
となる。
総販売額は（2，3）の0からrまでの積分と（2，4）のTから…までの
分の和である。
r
瑠＋入）；d才
十J叩）♂
（総販売額）
O
−（意・入）才
糾J∫（りβ
-e
一入（レア）
d才
O
タ．A〟〝
〃（′＜、
㌢・A・十入〟《 タ・A＋入凡才
r．4九ド
ー（憲一）＋入）r
十
（7・A十九〟）2
′・A〟2
（7・A十入〃）2
十算・＋入）r
∫（0）β
＋・昭）β
〃
γA＋入〟
∫（0）
￣入（ト弟
（2，5）の総販売額からf＝0とこれ以前に行われた広告による販売額を遷し弓
＼
いた残りがr期間に∴わたって行われた広告で得られた販売である。
≠＝0とこれ以前に行われた広告による販売額ぶ（才）の才期における極限
率は
ゐ（f）、《′．、
L
＝一入5（才）
政
である。これを解いて
ぶ（才）＝Cβ￣入′
（2，5
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企業の広薯効果
− 95 −−
をうる。Cは任意常数である。
初期条件により，C＝∫（0）であるから，
5（∼ノ＝封0）グー入≠
となる。
こ．の総販売額は5（才）の0から∞までの積分である。
こヾ
00
／5（岬＝．r叩）β■￣入fd才
O
0
ご＿。二＼一肌
（2，6）
入
従って（2，5）から（2，6）を差し引いた残りが問題の−・連の広告によって
得られた販売である。
（3）
広告費用αを≠＝0において．衝撃的に．一周だけ投入する場合を考える。
広告費の投入後，才期における販売額の極限変化率は次式で表わされる。
（′−
（3，1）
ニー九∫（≠）
dt
f期の販売額∫（才）はこの微分方程式の解であり，それほ．次のようになる。
（3，2）
坤）＝α￣一入≠
Cほ任意常数である。
初期条件は次のよう紅考えればよい。
広告費用ほ・0くどくrで毎期昔づつ投入され，才＞rで広告は行われないと
する。ここで，rを限りなく零軋近ずけると広告費用αをヂ＝0で衝撃的に一
回だけ投入する場合に等しくなる。
（2）
簡数Cは次のようになる。
（2）Frank M．．Bassand Others，OpCit…，MathematicalAppendix to“M．L．Vida王e
and H…B Wolfe，An Operations・Reserch Study of Sales Response to Advertisu
lng’’p．376，
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筋37巻 第4号
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C＝ニ友研ぶ（r）
r−ウ0
￣￣
意入r）朝
ニ盈〔措（トβ
￣意￣入Tl
タα
【￣
＝劫ト（朗ト・∫（0））g「好
従って，才期の販売額ぶ（才）は次のようになる。
可町桐（0））β
￣首卜入≠
総販売額は（8，8）の0から∞までの積分であり，それは次のようになる
（総販売義）＝打仰面））β￣意〕β￣入≠d才
rα
〟−（〟−・ぶ（0））β￣1仔
入
￣ タ■α
（3，4）のβ頂「ほ次のように展開できる。
上
乃−1
（・てヾけ
β−一＝ト十−
十‥・・ト1）
8！
ここで，が寸分小さいなら，
グーα
β1釘≒ト
である。
これを用いて，（3，4）は近似的に．次のようになる。
〟 （〟一・ぶ（0））（〟−・・Lγ・α）
九
九〟
（3，5）から（2，6）を差し引いた残りが，ヂ＝0で−・回だけ行われた広
得られた販売である。
些
㌢・α（〟−・∫（0）
＿−．＿．「
入
入〃
入