Comments
Description
Transcript
CKM行列フラッシュプログラムによる CP対称性の破れ入門
CKM 行列フラッシュプログラムによる CP 対称性の破れ入門 石川 健一 林 雅子 広島大学大学院理学研究科 両角 卓也 東広島市鏡山 1-3-1, 739-8526 平成 21 年 1 月 20 日 概要 本稿では石川健一と林雅子が開発した CKM 行列フラッシュプログラムの意味を小林・益川 の原論文 [1] にそった形で紹介する. CKM 行列フラッシュプログラムはなぜ３世代のクォー クが CP の破れに必要だったかを実感させるのによい教材である. このプログラムの簡単 な説明, プログラムの動作と CP の破れの関係を議論する. 他に 2 世代でも CP の破れが起 きるマヨラナニュートリノの場合にどの様にプログラムを使うかも説明する. 本プログラ ムは広島大学素粒子論研究室のホームページ [http://theo.phys.sci.hiroshima-u.ac. jp/∼soken/Flash CKMmatrix/CKMmatrix.html] において公開されている. はじめに : 石川ー林プログラムを使って高校生と遊ぶ 1 2008 年 11 月 24 日に広島大学千田町キャンパスで高校生フェスタという催しがあった. 「南部, 小林・益川の描いた素粒子と宇宙」という講演1 のあと, 小教室においた 3 台のノートパソコン 上で高校生グループが CKM フラッシュプログラムを使って遊んだ. 15 分ほどであったが CP 対称性の破れが 2 世代模型では起きないこと, 3 世代以上では起きることを実感した. プログラムではカビボ・小林・益川 (CKM) 行列要素の偏角 (複素位相) の方向を時計の針の 方向に対応させた.(図 1) クォーク 4 つの 2 世代模型だと 4 = 2 × 2 個の行列要素に対応して 4 つ の時計が描かれており (図 4) 正午の向きが実軸に対応している. CP 対称性の破れは,CKM 行列 要素の複素位相に関係している. 小林・益川の論文 [1] においては, CP の破れが実際に起きる かどうかを示す上で, 複素位相をクォーク場の位相変換の自由度を使って消すことができるか が重要な点であった. 彼らは 4 種類のクォーク (カルテット) を含む 2 世代 4 元模型では位相を 消し去ることができ, 従って CP の破れが起きないことを示し, 6 種類のクォークを含む 3 世代 6 元模型ではどうしても消し去れない位相 (小林・益川位相) が残ることを明らかにした. これ によって 6 種以上のクォークの存在を予言した. 石川と林が開発したフラッシュプログラムでは, 複素位相を消し去ることができるかどうか を時計の針を正午方向にそろえることができるかどうかということになぞらえた. これによっ て, 遊びながら小林・益川の論文の物理的内容を眼に見える形で体験できる. 画面 (図 1,2 を参照) に向かって青色のダイヤルを回すと時計の針が連動して回る様になって いる. 4 つの時計の場合は, ダイヤルの操作ですべての時計の針を正午方向にそろえることがで 1 稲垣 知宏氏による. 1 きる. これは 4 元クォーク模型では, 複素位相を消し去ることができ, CP の破れが起きないこ とを意味する. 6 種類のクォークに対応して, 9 つの時計は, ダイヤルをいくらひねっても正午方 向にそろえることができない. すなわちクォークの位相変換の自由度をどの様に使っても消し 去ることができない複素位相 (CP の破れ) があることを意味する. 高校生フェスタではフラッシュプログラムで遊んだあと, ベータ崩壊や CKM 行列の話を簡単 に紹介したが, プログラムの物理的な背景は十分理解してもらえなかった様だ. その一方で, こ のプログラムにより CP 対称性の破れに対する興味は湧いたと思う. 本稿の目的は CKM フラッシュプログラムの紹介をし, このプログラムを通じて専門家以外に も小林・益川の原論文の内容や CP 対称性の破れの物理のおもしろさを理解してもらうことに ある. 第 2 節では CKM フラッシュプログラムの各部の名称と動かし方, 動作環境について説明 する. 第 3 節では, 特に 2 世代模型での CKM 行列の位相の自由度について CKM フラッシュプ ログラムの時計の針の動きと関連させて, 理系大学生レベルの数学の知識で詳しく説明した. 第 4 節では 3 世代模型では時計の針を正午に合わせることができないことを, 原論文 [1] の CKM 行列のパラメトリゼーションを例に紹介する. CKM フラッシュプログラムのみでは最後まで消 せずに残った位相の間に関係があることはわからないが, 具体的な CKM 行列のパラメトリゼー ションを与えることでこれを理解する. 第 5 節では, CKM フラッシュプログラムの作成に関し て, 作成環境, 数値計算部分, および, Flash 化の考え方について概略を述べる. 2 CKM フラッシュプログラムの動作環境, 各部の名称および動 かし方 図 1: 初期画面. 図 2: 行列の大きさを３にした場合. 本プログラムは, CP 対称性の有無と小林・益川模型の世代数の関係をわかりやすく説明する ために作成された フラッシュ(Flash) アプリケーションである. フラッシュ(Flash) とは Adobe 社が提供している,Web コンテンツを作成するソフトまたは, コンテンツのことである. これを 利用することで, Web 上にアニメーションやキーボードマウスによるインタラクティブなコン テンツを提供することができる. Flash によって作成されたコンテンツを閲覧するためには, Web ブラウザに専用のプラグイ ン「Flash Player」を導入する必要がある [2]. 「Flash Player」は Adobe 社より無料で提供さ れており, Flash コンテンツの閲覧は一般的に広く可能になってきている. このことから, Web ページの作成には Flash を利用したものが広く見られる様になってきている. 2 今回は, CKM 行列と世代と CP の破れの関係をわかりやすく説明するためのコンテンツとし て, Flash を利用したプログラムを作成した. 本プログラムの閲覧には上記の様に Flash Player が必要である. できるだけ最新版の Flash Player を利用することを勧める. 上記動作環境を導入した上で PC の Web ブラウザで [http://theo.phys.sci.hiroshima-u. ac.jp/∼soken/Flash CKMmatrix/CKMmatrix.html] へアクセスする. アクセスすると図 1 の様 な画面が現れる. 初期画面では矢印が４つ, 青いダイヤルが４つ現れる. 「Reset」と書かれて いる所をマウスでクリックすると, 矢印の向きが変化する (リセット動作). リセット動作の度に 矢印の向きはランダムに変化する. 「行列の大きさ」と書かれている所の下のタブをクリック するとプルダウンメニューが現れる. そこで３を選択すると図 2 の様な画面に変化する. 青い ダイヤルは縦に３つ, 横に３つ, 矢印は９つ現れる. 以下では矢印のことを時計, 時計の針, また は単に針と呼ぶことにする. マウスでダイヤルをクリックしながらドラッグするとダイヤルを 回すことができる. ダイヤルに連動して針が回転する. 行列の大きさとは, すなわち小林・益川模型の世代数に対応するものである. 時計の針は, CKM 行列の成分の位相角度を表現しているものである. ダイヤルは各世代のアップ型クォーク (縦のダイヤル) とダウン型クォーク (横のダイヤル) の持つ位相の自由度を表している. 高校生フェスタにおいては, まず高校生に各部の動かし方を説明し, 世代数を変えたりして遊 んでもらった. しばらくすると, コツを覚えて, 針を正午に合わせるにはどう動かせばよいかわ かり始め, 3 世代以上では時計の針を全て正午に合わすためにはダイヤルの自由度が足りない ことに気が付いてくる. しかし理由は定かでないが, 2 世代では正午に針を合わせることができ る. よく考えると, 時計の針が最初から完全にランダムであればたとえ 2 世代でも, 針を全て正 午に合わせるには自由度が足りないことに気がつく. この点に関して, 高校生には少し考えても らった. 次節では, 2 世代の場合になぜ正午に合わせることができるのかを理系大学生レベルの数学の 知識で説明することを試みたので紹介する. 3 位相の自由度と 2 世代模型 本節ではクォークが 4 種類 (u, d, c, s) ある 2 世代模型のときのプログラムの動作と CKM 行列 要素との対応を説明する. まず, 時計の針が正午にそろっていく様子をその操作とともに確認し ておく. • ダイヤルは 4 箇所ある. 縦に並んでいる 2 つのダイ ヤルについて, 上のダイヤルを u ダイヤル, 下を c ダ イヤルと呼ぶ. 横に並んでいる 2 つのダイヤルのう ち左側を d ダイヤル, 右側を s ダイアルと呼ぼう.(図 4 も参照) 図 3-a: 2 世代 4 元クォーク模型のとき の初期画面 • まずはじめに,「Reset」の文字の下にある「行列の 大きさ」で「2」を選び時計をリセットをすると 4 つ の時計が一見ばらばらな方向を向いて現れる. 3 • 左上の u ダイヤルを回すと, ダイヤルと水平方向に ある時計が一斉にダイヤルの回す向きと同じ向きに 回る. これでまず 1 行 1 列にある時計を正午にあわ せよう. 針がぴたり正午にあうと橙色から白色に変 わる. 図 3-b: u ダイヤルを回して 1 行 1 列の 針を正午に合わせた所. • 次に左下の c ダイヤルを回して 2 行 1 列にある時計 も正午にそろえることができる. この段階で１列目 にある 2 つの時計は正午にそろえることができてい る. 2 列目はどうだろう. 2 列目の時計は同じ方向を 向いていることに注目してほしい. 図 3-c: c ダイヤルを回して 2 行 1 列の 針を正午に合わせた所. • 最後に, 右下の s ダイヤルを回すことで 2 列目も正 午にそろえることができた. CP 対称性が回復しま した! 図 3-d: s ダイヤルを回して全ての針を 正午に合わせた所. 3.1 2 世代 4 種類のクォークでは 3 回の操作でそろえることができる. 規則性? リセットボタンを押すと一見ばらばらな方向を向いている時計が現れるが, あとで示す様に ある規則性をもっている. 実際, 4 つのクォークの場合だと上で示した様に 3 回の操作でそろえ 4 ることができる. これをはっきりさせるために, 図 4 には典型的な場合の針の向きを描いた. 左 上の時計は 10 時を示している. 右上は 3 時, 左下は 8 時, 右下は 1 時である. よく見ると上の行 の 2 つの時計は, 左の時計が 7 時間進んでいる. 下の行の 2 つの時計も左の時計が 7 時間進んで いる. このおかげで 3 回の操作で正午にそろえることができたのである. 4 つの時計の時刻の間 には, [右下の時計の時刻] = [左下の時計の時刻] + [右上の時計の時刻] − [左上の時計の時刻], 1 時 = 8 時 + 3 時 − 10 時. (1) という関係があることがわかる. 図 3-c のところで説明した様に 1 列目の 2 つの時計を正午にあ わせると, 2 列目の 2 つの時計は正午とは限らないがある同じ方向を指している. この様に 4 つ の時計の針の指している時刻はでたらめではなく, 隠れた規則性を持っている. これは次節で説 明する CKM 行列のユニタリー性という性質と関係している. 図 4: 一見ばらばらにリセットされた４つの時計. 時計の針は, 正午を基準にして, カビボ・ 小林・益川 (CKM) 行列要素 Vij の偏角 (複素位相) の 2 倍の方向を指している. 2θij = 2 arg Vij . 3.2 弱い相互作用と CKM 行列 この小節では弱い相互作用と CKM 行列を説明する. CKM 行列は, 弱い相互作用のうち電荷 Qu = 2/3 のアップ型クォークと Qd = −1/3 のダウン型クォークを結びつける荷電カレントと 呼ばれる相互作用に関係している. クォークがダウンクォーク (d) からアップクォーク (u) へ転 化するときには Q = −1 の弱ゲージボソン W − を伴った以下の相互作用が関与している. d → u + W −. 5 (2) ¯ から反アップクォーク (ū) への転化が起こり, 対応する反粒子に対しては, 反ダウンクォーク (d) d¯ → ū + W + , (3) ∗ の相互作用が関与する. これらの過程に対する確率振幅は, それぞれ,Vud とその複素共役 Vud に 比例する. CP 対称性の破れは Vud の虚部, すなわち ImVud に関係している. ダウン型, アップ型 それぞれ 2 種類のクォーク (u, c),(d, s) がある 4 元クォーク模型の場合は, 図 5 の様に弱い相互 作用の可能な道筋は 2 × 2 = 4 通りある. それぞれの矢印に対応して 4 つの量子力学的な確率振 幅 が割り当てられている. 図 5: 左:ダウン型クォーク (j) からアップ型クォーク (i) への遷移振幅が CKM 行列 Vij に比例し ている. 右:反ダウン型クォーク (j) から反アップ型クォーク (i) への遷移振幅が CKM 行列 Vij∗ に 比例している. 2 種類ずつのアップ型とダウン型クォークを含む, 4 元クォーク模型の場合の荷電カレント相 互作用は, ( L = (uL , cL ) Vud Vus Vcd Vcs ) ( γµ dL sL ) W +µ ( + dL , sL ) ( ∗ Vud Vcd∗ ∗ Vus Vcs∗ ) ( γµ uL cL ) W −µ , (4) の様に表される. 4 つの確率振幅は d から u への遷移に対して Vud という風に矢印の起点のダウン型クォーク を列に配置し矢印が入っていく遷移先のアップ型クォークを行に配置した 2 × 2 の行列で表さ れる. d から u への荷電カレントや W ボゾンの CP 変換は uL γµ dL → dL γ µ uL , W +µ → Wµ− (5) となり, L で与えられる相互作用を CP 変換すると, L CP ( = dL , sL ) ( Vud Vcd Vus Vcs ( ) γµ uL cL ) ( W −µ + (uL , cL ) ∗ ∗ Vus Vud Vcd∗ Vcs∗ ( ) γµ dL sL ) W +µ , (6) となる. 「物理法則が CP 変換に対して対称である (または不変である)」ということは, LCP = L で あることを意味する. このためには CKM 行列要素 Vij が実数であることが必要だ. 逆に CKM 6 行列要素が複素数ならば CP 対称性が破れている. しかし実際には, u, d, c, s クォークが持つ位 相の自由度のため, CKM 行列要素の持つ位相をクォークが吸収することができる. 従って, 見 掛け上 CKM 行列要素が複素数になっているからといって, CP 対称性が破れているとは限らな い. 正しく CP 対称性の有無を判断するにはクォークが持つ位相の自由度を用いて最大限 CKM 行列要素を実数にしてからでないと判断ができない. CKM 行列要素は複素数であるから, 大きさと複素位相で表現できる. 各 CKM 行列要素を表 に示したのが表 1 である. CKM 行列フラッシュプログラムの時計はこの CKM 行列要素を表 1 や図 4 の様に対応させて描いてある. 時計の針の角度は CKM 行列成分の複素位相の 2 倍に対応 しており, 正午の方向が複素位相が 0 と π に (または実軸に) 相当している. ダイヤルによる操 作は, クォークが持つ位相の自由度による CKM 行列要素の位相の変化を表現したものである. 上で述べた様に,「物理法則が CP 変換に対して対称である (または不変である)」ということ 示すためには, この CKM 行列要素を全て実数に取れるかどうかを確かめることが必要である. 次小節から, 具体的に CKM 行列の性質とクォークが持つ位相の自由度について CKM 行列フ ラッシュプログラムと対応付けて説明していく. u c Vud Vcd d u |Vud |eiθud c |Vcd |eiθcd d Vus Vcs s |Vus |eiθus |Vcs |eiθcs s 表 1: CKM 行列要素をフラッシュプログラムの時計と同じ位置に配置した図. ダウン型クォー ク (d, s) は下のダイヤル, アップ型クォーク (u, c) は左のダイヤルに対応している. 3.3 ユニタリー性 量子力学の遷移確率の保存に対応して, CKM 行列はユニタリー行列であるという特徴を持っ ている. ユニタリー性のために d クォークや s クォークの u クォークや c クォークへの結合の強 さはそれぞれ, |Vud |2 + |Vcd |2 = 1, |Vus |2 + |Vcs |2 = 1, (7) を満たす. これから 4 つの成分は Vud = cos θeiθud , Vus = sin θ′ eiθus , Vcd = sin θeiθcd , Vcs = cos θ′ eiθcs , (8) と表すことができる. さらに 1 列目と 2 列目のベクトルを次の様に v1 , v2 で定義すると, V ≡ ( ) v1 v2 ( = Vud Vus Vcd Vcs ) , (9) 直交関係, v1† · v2 = 0, 7 (10) を満たす. 条件式 (10) は式 (8) を用いて, 以下の様に書ける. tan θ′ ei(θus −θud ) = − tan θei(θcs −θcd ) . (11) 式 (11) から角度 θ と θ′ は等しく (θ′ = θ), 4 つの偏角 (位相) に関しては次の関係がある. θcs = θcd + π + θus − θud . (12) 式 (8) から θ′ と θus を消去すると一般に 2 × 2 のユニタリー行列は, 1 つの角度と 3 つの独立な 位相を用いて次の様になる. ( V = 3.4 cos θeiθud − sin θei(θcs +θud −θcd ) sin θeiθcd cos θeiθcs ) . (13) フラッシュの時計の意味 図 4 に示した様に 4 つの時計は CKM 行列要素の位相の 2 倍を書いている. 2θij = 2 arg(Vij ). (14) 式 (1) の 4 つ時計の針の関係は CKM 行列要素の位相の関係で表すと, 2θcs ≡ 2θcd + 2θus − 2θud (mod 2π), (15) を意味している. これはまさにユニタリー性から導いた関係 (12) の下で成り立つ式である. 以 上で示した様に, 時計の針の向きはランダムな方向を向いているのではなく,CKM 行列のユニ タリー性から関係があることがわかった. 3.5 ダイヤル操作の意味:クォークの位相の自由度. クォークの質量を mq (q = u, d, c, s, ...) とすると, 質量項 Lmass = − 実数に保ったままでクォークの位相は次の様に再定義できる. u → ue−iθu , c → ce−iθc , d → de+iθd , s → se+iθs . ∑ q mq qq において mq を (16) 再定義されたクォークの場でみた CKM 行列要素はその大きさは変わらないが, 位相は次の様 に変化する. Vij → Vij ei(θi +θj ) , θij → θij + θi + θj . (17) ダイヤル操作はこの位相の再定義に対応する. 2 世代 4 元クォーク模型の CKM 行列が, クォークの位相の再定義によってどの様になるかを 見てみよう. ( V = cos θeiθud − sin θei(θcs +θud −θcd ) cos θeiθcs sin θeiθcd ) ( → cos θei(θud +θu +θd ) − sin θei(θcs +θud −θcd +θu +θs ) sin θei(θcd +θc +θd ) cos θei(θcs +θc +θs ) ) . (18) 2 世代 4 元クォーク模型の場合に位相の再定義とダイヤル操作の対応をまとめると次の様になる. 8 (操作 U) u クォークの位相の再定義は u ダイヤルを回すことに対応する. (操作 C) c クォークの位相の再定義は c ダイヤルを回すことに対応する. (操作 D) d クォークの位相の再定義は d ダイヤルを回すことに対応する. (操作 S) s クォークの位相の再定義は s ダイヤルを回すことに対応する. ダイヤル操作の意味がわかったので, なぜ 2 世代模型では CP 対称性が破れないのかを考えよう. 4 つのダイヤル操作があるので, 初めの時計の向きが完全にでたらめでも十分正午の方向にそ ろえる自由度はありそうに思うかもしれない. しかしそれは正しくない. 実際にこの節の始め に図で説明した操作と対応させると, 上の (操作 U)[図 3-b] と (操作 C) で 1 列目の時計は正午に できる [図 3-c]. (操作 D) は既にそろった一列目の時計をずらしてしまうのでもう行なうことは できない. 次に (操作 S) これだけで 2 列目の 2 つの時計の針を一発で正午に持っていかなけれ ばならない [図 3-d]. もし (操作 C) の後に 2 列目の時計がばらばらな方向を向いていたらこれは 不可能である. 3.6 ユニタリーなら OK ここで式 (13) でてきた 2 × 2 のユニタリー行列なら (操作 U),(操作 C) と (操作 S) の 3 回のダ イヤル操作で全ての時計を正午にできることを示そう. これは式 (17) を使って, θu ,θc と θs をそ れぞれつぎの式を満たす様に取ることに対応する. θud + θu = 0, θcd + θc = 0, θcs + θc + θs = 0. (19) θu は (操作 U), θc は (操作 C), θs は (操作 S) によって加えられた. (操作 D) は行なわないので θd = 0 である. ここで 1 行 2 列成分 (Vus ) が自動的に実数になっていることに注意しよう. なぜ なら, 位相変換する前には, 式 (13) で Vus = − sin θei(θcs +θud −θcd ) のように複素数であった行列要 素の位相が (操作 U,C,S) のあと, θcs + θud − θcd + θu + θs , となる. これは, 式 (19) より, θcs + θud − θcd + θu + θs = (θcs + θc + θs ) + (θud + θu ) − (θcd + θc ) = 0 + 0 − 0 = 0, (20) となる. 結局, 位相変換した後,CKM 行列は次の実直交行列で表される. ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) . (21) 以上の様に 2 世代 4 元クォーク模型ではクォークの位相の取り替えにより全ての CKM 行列要 素を実数に取ることができ, CP 対称性は破れないことがわかる. 9 1 列目の時計が正午を向いたとき 2 列目の時計が同じ方向を向いているわけは次の様にして も理解できる. 2 × 2 の CKM 行列を構成する 1 列目のベクトル v1 が v1T = (cos θ, sin θ) の様に実数になった とき v2 が位相を除いて決まることに対応する. これを次に示す. v2 は複素ベクトルだがその実数部も虚数部も同じ v1 に直交する実数の単位ベクトルに比例 しなければならない. v1T · Rev2 = v1T · Imv2 = 0. (22) 2 次元で v1 に直交する実ベクトルは唯一 eT2 = (− sin θ, cos θ) であるから, v2 は e2 の線形結合 である v2 = c e2 + i d e2 = (c + id) e2 , (23) の形を取る (c, d は任意実定数). |v2 | = 1 の条件から c, d は一つの位相で書けて, これから, ( v2 = − sin θ cos θ ) eiα , (24) となる. α は任意実定数である. 2 列目の時計の針は同じ方向 2α を向いている. (操作 S) はこの α を消去する操作に対応する. 3.7 2 世代レプトンの混合行列の CP の破れ CKM フラッシュプログラムを使って理解できる現象のひとつとしてニュートリノがマヨラ ナニュートリノの場合のレプトンの混合行列 (牧・中川・坂田 (MNS) 行列) を考察しよう. ここ では 2 世代模型, レプトンが 4 個の場合を考える. ニュートリノがマヨラナ粒子の場合はクォー クや荷電レプトンの場合と違って質量を実数に保ったままマヨラナ粒子の位相の再定義はでき ない. もはや (操作 S) に対応するダイヤルの回転はできないのである. よってクォークの場合 では消すことができた位相が 1 個残ってしまう. この CP の破れの位相はマヨラナ位相として 知られている. マヨラナニュートリノの場合は図 3-c の様に 2 列目が正午からずれたままでこ れ以上回転することはできない (表 2 右参照). u cos θ c sin θ d − sin θeiα cos θeiα s e cos θ µ sin θ ν1 − sin θeiα cos θeiα ν2 表 2: 左:1 列目を実数にした後の CKM 行列要素. 2 列目は共通の位相 α でそろっている. この位 相は s クォークの位相の再定義で消去できる. 右:ニュートリノがマヨラナニュートリノであっ た場合の 2 世代模型の牧・中川・坂田 (MNS) 行列. マヨラナニュートリノの位相は動かせない ので 2 世代でも位相は除去できない. この様にレプトンの場合 4 個のレプトンでも CP の破れ が起きる場合がある. 4 3 世代:クォークが 6 つならなぜそろえることができないか 10 図 7: 3 世代のクォーク模型では 9 つの時計が 3 × 3 の CKM 行列の位相を表す. ダイヤルは縦 に上から u, c, t ダイヤル, 横に左から d, s, b ダイヤルと名付ける. 左:リセットした直後. 右:1 行目と 1 列目を正午にそろえる. 4 箇所そろえることができないところが残った. 3 世代模型の場合,CKM 行列フラッシュプログラム ではどうしても針を正午に向けることができない時計 が４つ残る (図 7). 遊んでいるうちに感覚的にわかっ てくることであるが, これはダイヤルを回して針をそ ろえる自由度が最初に与えられる針の方向の乱雑さよ りずっと小さいためである. ところで, 実際の 3 世代 CKM 行列の場合にはユニタリー性の条件があり, 正 午にそろわずに残った時計の針の向きにも一定の相関 がある. この相関は CP の破れを特徴付けるひとつの パラメータからきている. なぜひとつのパラメーター 図 6: 3 つのダウン型クォークと 3 つの で CP の破れが表されるのか, どの様な相関になって アップ型クォークの間には 9 通りの相互 いるのかを理解するには, フラッシュプログラムの時 作用がある. 計の針をいくら眺めてもわからない. そこで本節で は, 具体的に数式で正午にそろわない時計の針を特徴 付けるパラメータがどの様になっているか考え, 原論文 [1] に現れる CKM 行列の具体形を導出 してみる. 3 世代模型はアップ型クォーク (u, c, t) とダウン型のクォーク (d, s, b) をそれぞれ 3 個ずつ含 むので CKM 行列は図 6 に対応して 3 × 3 のユニタリー行列となる. Vud Vus Vub ( ) = , V = Vcd Vcs Vcb v v v 1 2 3 Vtd Vts Vtb (25) ここで三つの単位ベクトル v1 ,v2 ,v3 を導入した. 更に, V のユニタリー性を用いて vi (i = 1, 2, 3) 間の関係をつけていく. まずフラッシュプログラムの操作からわかる様に, いつでも一列目を実数にする自由度があ る (縦の u, c, t ダイヤルを回す). そこで, 1 列目のベクトル v1 は実数に取ることができる. ま た, V のユニタリー性からベクトルの長さに |v1 | = 1 の条件がある. 以上の条件から, v1 は次 11 の様に表すことができる. cos θ1 v1 = sin θ1 cos θ2 . sin θ1 sin θ2 (26) V のユニタリー性から v2 , v3 の実部, 虚部はそれぞれ 1 列目の作る v1 に直交する. v1T · v2 = 0, v1T · v3 = 0. (27) 実三次元空間で v1 に直交する単位ベクトルとして次の 2 つのベクトル e2 , e3 , − sin θ1 e2 = cos θ1 cos θ2 , cos θ1 sin θ2 0 e3 = − sin θ2 , cos θ2 (28) を選ぶ. ここで eTi · ej = δij である. このとき式 (27) の直交条件から v2 , v3 は, 実ベクトル e2 , e3 の次の様な線形結合で書けるはずである. v2 = U22 e2 + U32 e3 , (29) v3 = U23 e2 + U33 e3 . (30) Uij , (i = 2, 3, j = 2, 3) は任意複素数である. さらに, V のユニタリー性から v2 ,v3 は長さ 1 であ る条件と, 互いに直交する v2† · v3 = 0 の条件を課す必要がある. これらの条件からは, |U22 |2 + |U32 |2 = 1, ∗ ∗ U22 U23 + U32 U33 = 0, |U23 |2 + |U33 |2 = 1, (31) の条件が出てくる. 結局条件 (31) は, Uij を成分に持つ以下の 2 × 2 小行列 U2×2 ( U2×2 = U22 U23 U32 U33 ) , (32) がユニタリー行列であることを意味している. 以上の議論をまとめると,V は次の様に書けたことになる. ( ) v1 v2 v3 = ( v1 e2 0 ) 1 e3 0 U22 0 U32 0 U23 , U33 (33) 小行列 U2×2 はユニタリー行列であるので, 前節で求めた一般式 (13) を用いることができる. ここでは式 (13) を少し変形した次のものを用いる. ( U2×2 = 1 0 0 eiδ )( cos θ3 sin θ3 sin θ3 − cos θ3 )( eiα 0 0 eiβ ) . (34) 以上まとめると, V は以下の様に分解できたことになる. 1 0 0 1 0 0 1 0 0 cos θ1 − sin θ1 0 V = sin θ1 cos θ2 cos θ1 cos θ2 − sin θ2 0 1 0 0 cos θ3 sin θ3 0 eiα 0 . 0 0 eiβ 0 sin θ3 − cos θ3 0 0 eiδ sin θ1 sin θ2 cos θ1 sin θ2 cos θ2 12 (35) 最後に, 全ての行列の積の計算を行なうと以下の式が得られる. cos θ1 − sin θ1 cos θ3 eiα − sin θ1 sin θ3 eiβ V = sin θ1 cos θ2 (cos θ1 cos θ2 cos θ3 − sin θ2 sin θ3 eiδ )eiα (cos θ1 cos θ2 sin θ3 + sin θ2 cos θ3 eiδ )eiβ . sin θ1 sin θ2 (cos θ1 sin θ2 cos θ3 + cos θ2 sin θ3 eiδ )eiα (cos θ1 sin θ2 sin θ3 − cos θ2 cos θ3 eiδ )eiβ (36) フラッシュプログラムの操作からわかる様に, まだ s クォークと b クォークの位相の再定義の自 由度が残っている. これらを用いて 2 列めと 3 列めの一番上にある位相 α と β を消し 1 行目を 全て実数に取ることができる. しかし, V のユニタリー性からそれ以上のことが式 (36) からわ かる. 具体的には, 位相 α は 2 列目全体に, 位相 β は 3 列目全体にそれぞれ共通して掛かってい る. 従って, s クォークと b クォークの位相の再定義より, 完全に位相 α と β を V から取り去る ことができるのである. これらの位相を消した後, 残った行列成分を表示すると, 原論文 [1] の式 (13) になる (調べて みよう). cos θ1 − sin θ1 cos θ3 − sin θ1 sin θ3 iδ sin θ cos θ cos θ cos θ cos θ − sin θ sin θ e cos θ1 cos θ2 sin θ3 + sin θ2 cos θ3 eiδ 1 2 1 2 3 2 3 . iδ iδ sin θ1 sin θ2 cos θ1 sin θ2 cos θ3 + cos θ2 sin θ3 e cos θ1 sin θ2 sin θ3 − cos θ2 cos θ3 e (37) 式 (37) からわかる様に, 原論文のパラメトリゼーションでは, 右下すみの 4 つの行列要素が 複素数になっている. これらが, フラッシュプログラムで正午に合わせることができなかった残 り 4 つの時計に対応している (図 7 の右図). これらの時計の角度は式 (37) の右下すみの 4 つの 行列要素から導出することができ, 時計の角度は θ1 , θ2 , θ3 , δ の 4 つのパラメータで書けている. これは 2 世代のときと異なり複雑なものである. しかし, これら全てのパラメータが CP 対称性 の破れに関与しているわけではない. CP 対称性の破れは V が実行列に取れないことに起因す るので, これに関係しているパラメータは δ のみであることが式 (37) から読み取れる. 結局, 式 (37) の形に帰着するまでに, u, c, t, s, b の 5 つダイアルの操作で 5 つの位相を消してきた. 3 × 3 のユニタリー行列は一般には 6 個の位相を含むがクォークの位相の再定義では 5 つまでしか消 せない. 消せずに残った位相は式 (35) の位相 δ である. 前後 2 つの行列との積の順番は可換で ないため, クォークの位相の再定義では消すことができない位相が残った. これが 3 世代 6 元模 型では CP 対称性の破れが起こる理由である. 以上の様に CP 対称性の破れは３世代模型の場 合, たった一つのパラメーター δ で表されていることになる. 5 CKM 行列フラッシュプログラム作成の概略 本 CKM Flash コンテンツの作成には, Adobe 社の Flash CS3 を使用した [3]. また, ボタンや 矢印などの画像材料の作成には, 同社の Illustrator 等を利用した. Flash CS3 において, Flash のアニメーション機能及び Action Script 3.0 言語を利用し, ユニタリー行列を生成するための 数値計算プログラムや, ダイヤルやプルダウンメニュー等のインタラクティブ機能を作成した. 13 5.1 数値的な部分の概略 本プログラムでは一見, 矢印がランダムな角度で生成される様にみえるが, 実際にはユニタ リー性が課されている. この様に, ユニタリー性を課した状態で角度部分だけを生成すること は, 一般の世代を考えると難しいため, 本プログラムでは, 実際にユニタリー行列を数値的にラ ンダムに生成しそこから角度を取り出している. N 世代ユニタリー行列の生成は以下の様に行なう. まず, 正規分布からランダムに取り出し た実数値を複素数に組み, それを N × N 行列として変数に保持する. 次に, その行列を グラムシュミット法で正規直交化する. ここから各成分の偏角を取り出し角度テーブル (N × N ) 行列 を作成する. リセットボタンを押す度に, このユニタリー行列は再度ランダムに生成される様に した. 針の動きに関する位相の取り直しは, 角度テーブルの対応する行, または列の位相角度に数値 を足し引きすることで表現する. ただし, 角度の数値は 0–2π の間に収まる様に 2π の剰余をとっ ている. 5.2 Flash 化について CP 対称性が破れているか破れていないかは, ランダムにユニタリー行列が生成された時点で 既に決まっているのであるが, クォークの位相の取り直しによって全ての偏角を 0 または π に 回すことができるかを実際に確かめることで, CP 対称性の破れの有無を認識させる様にした. 行列の大きさ (世代数) については, 2 から 8 まで選択できる様にした. 画面上で偏角を表現する場合, 偏角が 0 か π の位置で CKM 行列成分が実になることをわか りやすく表現する必要がある. 本プログラムでは, 時計の正午の方向が偏角が 0 と π に相当す る様に, 角度テーブルの角度の 2 倍を表示する時計の針の角度に対応させた. この表現方法によ り, CKM 行列成分が実になることと, 時計の針を正午に合わせることとを対応させることがで きた. 全ての時計の針を正午に合わせることができたら, CP 対称性が回復したと画面上でわからせ る様にした. この点については, 最初に行列が生成された時点で CP 対称性の有無は決まってい るのであるが, 表現のわかりやすさを優先したため, 物理的には正しくないこの様な表現になっ てしまった. 今後の改良が必要である. 時計の針が正午に合っているかどうかの当たり判定は, あまり厳しく判定するとマウスの操 作上困難が生じるため, 多少余裕を持たせて判断している. そのため非常に小さい確率で, 3 世 代以上でもランダムに生成したユニタリー行列の位相時計の矢印を全て上に (当たり判定の範 囲で) 揃えることができる場合が生じる. CKM 行列と CP 対称性の関係を説明しているとき に, この様な状態が発生した場合はリセットを押してやり直してもらう必要がある. この点に関 しては実数値で保持している角度データを有理化及び整数化して, 微妙なマウス操作を避ける 様な工夫が必要である. Action Script はオブジェクト指向型の言語で画面の各パーツに対応するオブジェクトの属す るクラスを用意する必要がある. 時計の針やダイヤルに対応するクラスを作成しそれぞれに, 必 要な機能を持たせることで動きを表現することができる様になっている. 数値は実数を扱うこ とはできるが複素数を扱えるクラスはないので, ベクトル型のクラスを継承して複素数型のク ラスを作成した. 14 6 謝辞 大川正典氏, 加藤明菜さん, 坪山透氏 (KEK：Belle) には草稿を読んで貴重な御意見をいただ きました. CKM フラッシュプログラムの作成にあたっては, 広島大学情報メディア教育研究セ ンターの隅谷孝洋氏, 稲垣知宏氏に貴重な御意見や御助言をいただきました. 林 青司氏 (神戸 大) や広島大学素粒子論研究室とゲージ場 II の学生諸君との議論を通じて解説を書く上での貴 重なヒントを得ました. ここに心からの感謝の念を表して謝辞とさせていただきます. 最後に 素粒子論研究・電子版に投稿を勧めてくれた笹倉直樹氏に感謝します. 参考文献 本論文で述べたクォークの位相のとり方の自由度に関しては原論文 [1], およびノーベル賞 講演 [4] にある. CP 対称性の入門書として [5], 大学院生向けの教科書として [6] がある. 原 論文をレビューしたものとして [7] がある. [1] M. Kobayashi and T. Maskawa, Prog. Theor. Phys., Vol. 49 No. 2 (1973), pp. 652-657. [2] [http://www.adobe.com/jp/products/flashplayer/] からダウンロードできる. [3] 大重美幸, 「Adobe Flash CS3 詳細! ActionScript 3.0 入門ノート」, ソーテック社 (2007). [4] M. Kobayashi, Nobel Lecture (2008) [http://nobelprize.org/nobel prizes/physics/ laureates/2008/kobayashi-lecture.html]; T. Maskawa, Nobel Lecture (2008) [http: //nobelprize.org/nobel prizes/physics/laureates/2008/maskawa-lecture.html]; 益川 敏英,「CP 対称性の破れが我々に語ったこと」, 素粒子論研究, Vol. 116 No. 5 (2008), pp. 151. [5] 三田一郎,「CP 非保存と時間反転ー失われた反世界」岩波講座 物理の世界 素粒子と時空 ⟨ ２ ⟩, 岩波書店, 2001. [6] T. Morii, C. S. Lim, and S. N. Mukherjee, “The Physics of the Standard Model and Beyond”, World Scientific Publishing Company, 2004; I. I. Bigi and A. I. Sanda, “CP violation” (Cambridge Monographs on Particle Physics, Nuclear Physics and Cosmology), Cambridge University Press, 1999; G. C. Branco, L. Lavoura, and J. P. Silva, “CP violation” (International Series of Monographs on Physics), Oxford University Press, 1999. [7] 高木崇志, “小林–益川理論レビュー”, 大阪大学素粒子論研究室, 2007 年度卒業論文 (2008), [http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/paper.html]. 15