数学 NAVI テキスト 中学3年 第3章 2次方程式

数学 NAVI
テキスト
中学３年
第３章 ２次方程式
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2
中学３年
２次方程式
の応用
第３章
２次方程式
MAP
７．解と方程式
の関係
８．文章題
４．解の公式の利用
２次方程式
の解法
３．平方完成の利用
２．平方根の利用
２次方程式
の意味
５．因数分解の利用
１．２次方程式
の意味と解
3
例題
例題１
次の方程式のうち、 x の２次方程式はどれですか。
ア
2x + 6 = x
イ
x( x − 3) = 0
ウ
x2 = 7
エ
x 2 + 3x = x 2 − 8
例題２
次の２次方程式を解きなさい。
（ア） x − 16 = 0
（イ） 9 x − 5 = 0
2
例題３
2
次の２次方程式を解きなさい。
（ア） ( x + 3) − 4 = 0
（イ） ( x − 2) − 12 = 0
2
2
例題４
x 2 + 8 x = 2 を、 ( x + m) 2 = n の形に変形して解きなさい。
例題５
次の２次方程式を、 ( x + m) = n の形に変形して解きなさい。
2
（ア） x − 10 x − 2 = 0
（イ） x + 5 x − 3 = 0
2
例題６
2
次の２次方程式を解の公式を使って解きなさい。
（ア） x − 2 x − 1 = 0
（イ） 2 x − 5 x − 3 = 0
2
例題７
2
次の２次方程式を解きなさい。
（ア） x − x − 20 = 0
（イ） x + 8 x = 0
2
例題８
2
次の２次方程式を解きなさい。
（ア） x − 6 x + 9 = 0
（イ） x − 9 = 0
2
例題９
次の２次方程式を解きなさい。
（ア） x − 6 = 0
2
例題 10
（ア） 3 x − 15 x + 12 = 0
2
（ウ） x − 6 x + 4 = 0
2
x2 x 1
（イ）
− + =0
18 3 6
次の２次方程式を解きなさい。
（ア） ( x + 2) = 5 x + 5
2
例題 12
（イ） x − 5 x + 6 = 0
次の方程式を解きなさい。
2
例題 11
2
（イ） ( x + 1)( x + 3) = 3
（ウ） ( x + 2) = 5
2
x についての２次方程式 x 2 + ax − 6 = 0 の解が３のとき、a の値と他の解を求めなさい。
4
例題 13
x についての２次方程式 x 2 + ax + b = 0 の解が４と−５のとき、a, b の値を求めなさい。
例題 14
連続した２つの整数のそれぞれの平方の和が 85 のとき、この２つの整数を求めなさい。
例題 15
縦 12m、横 20m の長方形の土地に、右のように
20m
縦、横同じ幅の道をつけて、残りの土地を花だんにしたい。
花だんの総面積を 180 m2 にするには、道の幅を何 m にすれ
ばよいですか。
12m
例題 16
秒速 20m の速さで地上から物体を真上に投げるとき、 t 秒後の高さ h m はおよそ
h = 20t − 5t 2 で表されます。この物体が 15m の高さにあるのは何秒後ですか。
5
練習問題
練習１
次の方程式を解きなさい。
（ア） x = 25
（イ） x = 28
2
練習２
2
次の方程式を解きなさい。
（ア） 16 x − 1 = 0
（イ） 5 x − 2 = 0
2
練習３
2
次の方程式を解きなさい。
（ア） ( x + 2) = 3
（イ） ( x − 3) = 18
2
練習４
2
次の方程式を解きなさい。
（ア） ( 2 x − 1) − 9 = 0
（イ） (3 x + 1) − 20 = 0
2
練習５
2
の中に当てはまる文字や数を入れなさい。
x 2 + 10 x + 1 = 0
x 2 + 10 x = −1
１を移項する
両辺に （ア） を加える
左辺を ( x + m) の形にする
2
x 2 + 10 x + （ア） = −1 + （ア）
( x + （イ） ) 2 = （ウ）
x + （イ） = （エ）
よって
x = （オ）
練習６
( x + m) 2 = n の形に変形して、２次方程式 x 2 − 2 x = 5 を解きなさい。
練習７
( x + m) 2 = n の形に変形して、２次方程式 x 2 + 5 x − 3 = 0 を解きなさい。
練習８
２次方程式 ax + bx + c = 0 の解の公式を書きなさい。
練習９
２次方程式 x − 8 x + 6 = 0 を解の公式を使って解きなさい。
2
2
6
練習 10
２次方程式 3 x − x − 4 = 0 を解の公式を使って解きなさい。
練習 11
次の方程式を解きなさい。
2
（ア） x
2
練習 12
+ 3x + 2 = 0
2
練習 13
2
練習 14
+ 5x = 0
（イ） 2 x
+ 10 x + 25 = 0
練習 15
2
（イ） x
2
− 8 x + 16 = 0
（イ） ( x − 5) = 5(6 − 2 x )
2
（イ） ( x − 5)( x + 3) = 20
次の方程式を解きなさい。
1 2 1
1
x − x+
=0
3
2
12
（イ） 3 x − 24 x + 21 = 0
2
次の方程式を解きなさい。
（ア） (5 x − 2)
2
−9 = 0
（イ） 2( x + 3)
2
−5 = 0
次の方程式を解きなさい。
（ア） ( x + 3)
練習 19
−x=0
次の方程式を解きなさい。
（ア） x − 10 = 6( x + 1)
練習 18
2
次の方程式を解きなさい。
（ア） ( x − 4)( x + 4) = 8
練習 17
+ 4 x − 21 = 0
次の方程式を解きなさい。
（ア） x
（ア）
2
次の方程式を解きなさい。
（ア） x
練習 16
（イ） x
2
= 2(3x + 5)
（イ） x( x − 6)
= 3x
次の方程式を解きなさい。
（ア） ( x + 2)( x + 6)
= 3( x + 4)
（イ） ( 2 x − 1)( x + 2)
7
= 12
練習 20
次の方程式を解きなさい。
（ア） ( 2 x − 3)( x + 1)
練習 21
= x( x + 5) − 5
（イ） ( x + 7)
2
= x(3 − 2 x) + 43
x についての２次方程式 x 2 + 3x + a = 0 の１つの解が４のとき、 a の値と他の解を求め
なさい。
練習 22
x についての２次方程式 x 2 + ax + b = 0 の２つの解が − 3 と 6 のとき、a, b の値を求めな
さい。
練習 23
x 2 + x − 12 = 0 の大きい方の解が、 x 2 − 9 x + a = 0 の１つの解であるとき、 a の値を求
めなさい。
練習 24
大小２つの自然数があって、その差が７、積は 78 です。小さい方の自然数を x として、
方程式をたて、この２つの自然数を求めなさい。
練習 25
連続する３つの整数のそれぞれの平方の和が 365 であるとき、このような３つの整数を
求めなさい。
練習 26
地上 10m の高さのところから、毎秒 20m の速さで真上に投げ上げられた小石の、 t 秒後
のときの地上からの高さ h m は、 h = 10 + 20t − 5t で表されます。小石が地上から 25m の高さに
2
あるのは、投げ上げてから何秒後ですか。
練習 27
n 角形の対角線の本数を表す式は
n(n − 3)
となります。対角線の本数が 35 本である多角
2
形は何角形ですか。
練習 28
右の図のように、ある正方形の２つの辺を３cm ずつのば
３cm
して正方形をつくったところ、面積はもとの正方形の２倍になりま
した。このとき、もとの正方形の１辺の長さを求めなさい。
３cm
8
練習 29
幅 44cm のトタン板を、両端から同じ長さずつ垂直
に曲げて、断面の長方形の面積が 210cm2 となる水路をつく
ろうと思います。両端から何 cm のところで折り曲げればよ
いですか。
44cm
練習 30
BC＝24cm，AC＝18cm，∠C＝90°の△ABC の辺 BC 上
Ａ
をＢからＣまで毎秒１cm の速さで動く点Ｐと辺 AC をＣからＡま
で毎秒２cm の速さで動くＱがあります。２点Ｐ，Ｑが同時に出発
Ｑ 18cm
1
するとき、最初に△CPQ の面積が△ABC の面積の になるのは何
2
秒後ですか。
Ｂ
Ｐ
24cm
9
Ｃ
入試問題−標準問題
問１
次の２次方程式を解きなさい。
（東京都）
x 2 − x − 12 = 0
問２
次の２次方程式を解きなさい。
（静岡県）
2x 2 − 4x = 6
問３
次の２次方程式を解きなさい。
（神奈川県）
x 2 + 3x − 2 = 0
x 2 − 5 x + 3 = 0 を解き、そのうち大きい方の解を求めなさい。 （埼玉県）
問４
２次方程式
問５
x の２次方程式
x 2 + ax − 6 = 0（ a は定数）の一つの解が x = −3 のとき、他の解を求めなさい。
（専修大附）
問６
２次方程式 x − 2 x − 15 = 0 の負の解が２次方程式 x + ax − 2a + 6 = 0 の解の一つになってい
2
るとき、 a の値を求めなさい。
問７
2
（大分県）
次の２次方程式を解きなさい。
（千葉県）
( x + 1)( x + 2) = 12
問８
次の２次方程式を解きなさい。
（福井県）
( x − 1) 2 − 5( x − 1) − 6 = 0
問９
次の２次方程式を解きなさい。
（私・大阪）
5x 2 − 6 x + 1 = 0
問 10 次の２次方程式を解きなさい。
（東京工業）
5
1
( x − 1) 2 − ( x − 1) + = 0
6
6
10
問 11 面積が 12cm2 で、横が縦より３cm 長い長方形を作るには、縦の長さを何 cm にすればよいか、求
めなさい。
（鹿児島県）
問 12 縦が５cm、横が４cm の長方形がある。右図のようにこの長方形の
４cm
x cm
縦を x cm 短くし横を x cm 長くして新たな長方形を作ったら、面積が
16cm2 になった。このとき、 x の方程式を作り x を求めなさい。
（栃木県） ５cm
x cm
問 13 次の２次方程式を解きなさい。
（桐光）
( x − 2)( x + 3) = (3x + 4)( x − 1) − 4
問 14 次の２次方程式を解きなさい。
（大阪桐蔭）
x2 + x x + 5
=
−1
2
3
b
a
=
が成り立つとき、 a + b の値を求めなさい。 （大教大・天王寺）
a −1 b −1
問 15
a >bで
問 16
a を負でない整数とします。x についての方程式 x 2 + 5 x + a = 0 の２つの解が整数のとき、a の
値をすべて求めなさい。
（青山学院）
問 17 ４つの正方形がある。これらの正方形の一辺の長さは連続した整数で、これらの正方形の一番小
さい正方形と２番目に小さい正方形の面積の和は３番目に小さい正方形の面積に等しいとき、一番
大きい正方形の面積を求めなさい。
（和洋国府台女子）
問 18 ２次方程式 x + ax + b = 0 の解は − 3 と m であるが A 君は解くとき b の値をまちがえたので、
2
解は２と−６になりました。このとき、 m の値を求めなさい。
（山形県）
x についての２次方程式 x 2 − 2ax + a 2 − 9 = 0 の２つの解はともに正の数で、大きい方の解は小
さい方の解を２倍して１を加えたものです。このとき２つの解と a の値を求めなさい。
問 19
（法政大第一）
問 20 自然数 a から４を引き、その数を３倍して 15 をたす。さらにその数を２ a 倍した数を b とする。
b = 180 となるときの a の値を求めなさい。また b ≤1200 となる a の個数を求めなさい。 （立教）
11
入試問題−発展問題
x 2 − 4 x + 1 = 0 の大きい解を a とするとき、 ab + a + 1 = 0 を満たす b の値を求めなさい。
問１
（ラ・サール）
問２
２次方程式 x − 4 x + 2 = 0 の２つの解の小数第１位を四捨五入した数は x + ax + b = 0 の解で
2
2
す。このとき a, b の値を求めなさい。
（学芸大附）
２次方程式 x − 8 x + a = 0 の２つの解の差が 2 2 のとき、 a の値を求めなさい。
2
問３
（東海大浦安）
問４
円の形をした池のまわりに幅３ｍの道路をつくったら、その道路の面積は池の面積の６割でした。
池の半径を求めなさい。
問５
（市川）
２次方程式 2 x − 2 x − 1 = 0 の２つの解を a, b とします。 a < b のとき、次の問いに答えなさい。
2
（日本女子大附）
（ア） a, b の値を求めなさい。
（イ）
問６
a+b
の値を求めなさい。
a − ab + b 2
2
２次方程式 x + 4 x − b = 0 の解の１つが − 2 +
2
a (a > 0) で a と b の関係が a : b = 5 : 3 のとき、
a, b の値を求めなさい。 （成城学園）
問７
２次方程式 x − 2( 2 − 1) x − 2 2 = 0 の２つの解を p、q（p＜q）とするとき、
2
（ア）p、q の値を求めなさい。
（イ） pq + p + q + 1 の値を求めなさい。
問８
（慶應）
右図のようなＡＢ＝６、ＢＣ＝４、ＣＤ＝３、ＤＡ＝５、ＡＢ//
Ｄ
３
Ｃ
ＤＣの台形があります。辺ＡＤ、ＢＣ上にそれぞれ点Ｐ、Ｑを２Ａ
Ｑ
Ｐ＝ＣＱとなるようにとり、線分ＰＱが台形ＡＢＣＤの面積を２等
５
４
分します。線分ＡＰの長さを x とするとき、x についての２次方程
式を求め、ＢＱの長さを求めなさい。
Ｐ
Ａ
（東海）
12
６
Ｂ
問９
２つの数 p、q に対して
p ⊕ q は p＋q が１より小さいときは p＋q
p＋q が１以上のときは１
p ⊗ q は pq と定義します。このとき次の問いに答えなさい。 （早稲田本庄）
1 2 1 3
⊗  ⊕  ⊗  の値を求めなさい。
2 3 2 4
（ア） 
 3
2   3(1 − 3 )
2 + 2
⊕
⊕−
 の値を求めなさい。
⊗
2
2
3
2

 

（イ） 
（ウ） (3 x + 2) ⊕ x = 4 x ⊗ x を満たす x の値を求めなさい。
問 10
x についての連立不等式①と２次方程式②があります。
x−2

x + 3 > 1 −
3 ……①

2 x − a < x + 3
3x 2 + bx + c = 0
……②
②の解の差が１のとき、次の問いに答えなさい。
（江戸川学園取手）
（ア）連立不等式①を満たす x の整数値がただ１個存在するとき a のとり得る値の範囲を求めなさ
い。
（イ）（ア）における x の整数値が２次方程式②の解の一つであるとき、b、c の値と残りの解を求
めなさい。
問 11 ２次方程式 x( x − 1) = n （ただし n は自然数）の解が整数となるような 100 以下の自然数 n は全
部で何個あるか求めなさい。
（青雲）
問 12 図は一辺の長さ１の正五角形ＡＢＣＤＥとその対角線に
Ａ
よって作られる正五角形ＦＧＨＩＪです。ＡＩ = a 、ＩＨ
= x とするとき、次の問いに答えなさい。 （中央大附）
a
（ア）∠ＡＩＨは何度になるか求めなさい。
Ｉ
Ｂ
（イ） x + a の長さを求めなさい。
Ｈ
Ｅ
x
（ウ） x を求めなさい。
Ｊ
Ｇ
Ｆ
Ｃ
13
Ｄ
問 13
a, b, c は正の整数で、50＜c＜100 とします。 x についての方程式 ax 2 − bx − c + 1 = 0 の２つの解
が２と p、方程式 bx − cx − a + 3 = 0 の２つの解が３と q であるとき、次の問いに答えなさい。
2
（開成）
（ア） a, b, c の値の組をすべて求めなさい。
（イ）またそのときの p、q の値を求めなさい。
問14
右図のように長方形ＡＢＣＤを２つの線分ＥＦ，ＧＨで面積の等しい３つの長方形に分けました。
６つの線分ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ，ＥＦ，ＧＨの長さの和が 22 であるとき、次の問いに答えな
さい。
（桐朋）
（ア） ＧＨの長さはＡＤの長さの何倍ですか。
Ａ
Ｅ
（イ） ＡＢ＝ x とするとき、ＡＤの長さを x の式で表しなさい。
（ウ） 長方形ＡＢＣＤの面積が 12 になるとき、ＡＢの長さを求
Ｇ
Ｄ
Ｈ
めなさい。ただしＡＢ＜ＡＤとします。
Ｂ
Ｆ
Ｃ
問 15 ２つの容器Ａ，Ｂに m g ずつ食塩水が入っており、濃度はそれぞれ 10％，２％です。両方の容
器から x g ずつくみ出してＡからの液はＢへ、Ｂからの液はＡへ入れ、よくかきまぜます。さらに
同じ操作をもう一度繰り返したとき、Ａの食塩水の濃度は７％になりました。次の問いに答えなさ
い。
（灘）
（ア） １度めの操作後のＡ，Ｂそれぞれの食塩水の濃度を m ， x を用いて表しなさい。
（イ） １度めの操作後のＡの食塩水の濃度を求めなさい。ただし、このときＡの食塩水の濃度は
Ｂの食塩水の濃度より低くなっていたものとします。
14