イースター2007

2014 年 RSS/JSS 試験（Higher Certificate）
HIGHER CERTIFICATE IN STATISTICS, 2014
モジュール 7：時系列と指数
制限時間： 90 分
4 問中 3 問を選択の上解答のこと．
各問は合計 20 点である．小問の配点は括弧の中に記されている．
グラフ用紙と統計数値表は配布する．
解答にあたっては電卓を使用してよい．
ただし，一般財団法人統計質保証推進協会による「受験要領」に
記された範囲で使用すること．
数学記号 log は e を底とする自然対数を表す．
その他の底をもつ対数は，例えば log10 のように底を明示する．
また，
n
は n C r と同じ意味とする.
r
1
HC モジュール 7
問題用紙は 8 頁からなり，それぞれの頁は片面にのみ印刷されている．
この表紙が 1 頁目である．
第 1 問は 2 頁目から始まる．
問題は全部で 4 問である．
© JSS 2014
2014 年
1.
(i)
よく用いられる時系列データの分解式に現れる 3 つの主な成分を述べな
さい．各成分が何を表しているかも説明しなさい．
(6)
(ii)
時系列を以下の分解によって表現した場合の式を答えなさい．
(a)
加法的分解
(b)
乗法的分解
(2)
(iii)
以下のグラフは月次の時系列データを表すものである．あなたはこの時
系列が加法的分解あるいは乗法的分解のどちらで表現するのが良いの
かをその理由もあわせて答えなさい．また，乗法的分解が不可能な状況
を記述して，その理由も説明しなさい．
(3)
(iv)
イギリスの時系列における‘イースター効果’はイースターの日曜日が
移動する性質と関係がある（イースターの日曜日は 3 月 22 日から 4 月
25 日の間にある．一般には，少なくとも隔年で 3 月と 4 月の間を移動す
る）．それゆえ，‘イースター効果’は，イースターの日曜日の 2 日前
および 1 日後に予定されている公共の祝日とも関係がある．月次あるい
は四半期の時系列データの分析において，クリスマスのように固定され
た祝日よりも，イースターのほうが複雑さをもたらしがちである理由を
説明しなさい．
(3)
問題は次のページにつづく
2
(v)
時系列データに回帰分析を行った際に，イースター効果に対するパラメ
ータ推定値が –29.3017 で，その標準誤差が 5.362 64 となった．イースタ
ー効果に対する調整は行うべきかどうかを論じなさい．
(2)
(vi)
以下の表は同じ時系列の 3 月および 4 月の 2 種類の季節調整値 Y1 と Y2
を示している．この系列は公的な祝日を含む月のほうが含まない月より
もより小さい値をとりがちであることを示している．Y1 はイースター
効果の調整がなされており，Y2 はイースター効果の調整がなされてい
ない系列である．どの年においてイースターが早く，どの年においてイ
ースターが遅いのかを，理由を付けて推測しなさい．
(4)
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Y1
305.72
310.95
349.24
393.64
449.70
492.95
385.98
472.08
478.48
563.40
581.56
595.13
586.63
666.98
3月
Y2
307.94
303.48
312.81
396.02
427.14
494.45
387.61
436.35
486.36
576.36
559.90
616.26
605.12
650.94
Y1 – Y2
–2.22
7.48
36.43
–2.38
22.55
–1.50
–1.64
35.73
–7.88
–12.96
21.66
–21.13
–18.49
16.04
3
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Y1
293.83
321.45
366.88
421.60
404.73
404.82
402.69
475.11
554.65
559.11
567.81
560.29
606.32
684.59
4月
Y2
292.66
328.64
402.43
416.78
422.06
391.94
385.41
492.47
529.49
531.58
582.87
540.09
594.65
709.39
Y1 – Y2
1.17
–7.18
–35.54
4.82
–17.34
12.88
17.28
–17.35
25.16
27.53
–15.07
20.19
11.68
–24.79
2.
以下のデータは 3 年間のある機種の携帯電話の店頭売り上げを示したものであ
る．この機種を販売し続けるかどうかを決定するために，店の経営者たちはこ
の時系列の背後にある動きを把握する必要がある．彼らを助けるために，あな
たは適切な平滑化の方法を選ぶ必要がある．
2010
2010
2010
2010
2011
2011
2011
2011
2012
2012
2012
2012
第 1 四半期
第 2 四半期
第 3 四半期
第 4 四半期
第 1 四半期
第 2 四半期
第 3 四半期
第 4 四半期
第 1 四半期
第 2 四半期
第 3 四半期
第 4 四半期
13
15
18
19
21
22
23
25
23
19
15
12
(i)
2 4 移動平均は 4 時点の単純移動平均に対する 2 つの単純移動平均に
よって定義される．こうして定義される移動平均のウェイトを計算し，
その移動平均を上記の表の時系列に適用しなさい．正確な解答を与えな
さい．
(7)
(ii)
単純指数平滑法で用いられる方程式を書きなさい．この式は t 時点の一
期先予測，t – 1 時点の一期先予測，および t 時点の時系列の値を関係付
けるものである．この方程式における平滑化パラメータを 0.5 として，
この方法を上記の表の時系列に適用しなさい．なお，小数点以下第 3 位
まで解答しなさい．
(7)
(iii)
単純指数平滑法で生成される 1 期先予測の系列は系列のトレンドの推定
値として用いることができる．上記の表の時系列に対して，(ii)でトレン
ドを推定するために利用されている指数平滑法を用いることと，(i)での
移動平均法を用いることとを比較して利点と欠点を述べなさい．
(4)
(iv)
(ii) における平滑パラメータを 0.5 と選択することが適切であるかどう
かについて議論しなさい．
(2)
4
3.
ある国が単一の携帯電話通信ネットワークを持っているとする．以下の表は国
内利用者およびローミング利用者（ネットワークを利用する外国人滞在者）の
売上げ単位のデータを示している（売上げ単位とは 1 つのテキストメッセージ
あるいは 1 分間の電話通話のことである）．このデータを用いて以下の問いに
答えなさい．
(i)
2011 年を基準時点として 2012 年のラスパイレス価格指数，パーシェ価
格指数，フィッシャー価格指数を小数点第 2 位まで計算しなさい．
(10)
(ii)
これらの価格指数について驚くべきことが生じているように見えるが，
そのことを述べて，そのありうる説明を与えなさい．
(2)
(iii)
以上で計算された指数を所与として，2011 年を基準時点とした時の 2012
年のラスパイレス数量指数，パーシェ数量指数，フィッシャー数量指数
を計算するための最も単純な方法を述べなさい．
(3)
(iv)
上記で解答した方法を用いて，2011 年を基準時点とした時の 2012 年の
ラスパイレス数量指数，パーシェ数量指数，フィッシャー数量指数を計
算しなさい．
(5)
商品内容
国内利用者
ローミング
2011 年の売上 2011 年の売上 2012 年の売上 2012 年の売上
げ単位数（100 げ高（100 万 げ単位数（100 げ高（100 万
万）
ポンド）
万）
ポンド）
100.6
10.00
120.0
11.04
1.0
1.00
1.9
1.87
5
4.
(i)
現在時点 0 で基準時点 1 のラスパイレス価格指数は，現在時点が 1 で基
準時点が 0 のパーシェ価格指数の逆数となることを証明しなさい．
(3)
(ii)
現在時点 0 で基準時点 1 のパーシェ価格指数は，現在時点が 1 で基準時
点が 0 のラスパイレス価格指数の逆数となることを証明しなさい．
(3)
(iii)
(i) と (ii) の結果を用いて，現在時点 0 で基準時点 1 のフィッシャー価
格指数が，現在時点 1 で基準時点 0 のフィッシャー価格指数の逆数とな
ることを証明しなさい．
(4)
(iv)
トゥルンクヴィスト価格指数に対する式を
(0,1) = ∏
(
)
とする．ただし，
0 は基準時点であり,
1 は現在時点である．また,
p は価格を表し，
w は支出の割合，
i は個別の項目を表すとする．
現在時点を 0，基準時点を 1 とするトゥルンクヴィスト価格指数は，現
在時点を 1，基準時点を 0 とするトゥルンクヴィスト価格指数の逆数と
なることを証明しなさい．
(6)
(v)
価格と数量によるラスパイレス価格指数とパーシェ価格指数の２つの
式を，相対価格と支出額を用いてどのように表現するかを示しなさい．
(4)
6
BLANK PAGE
7
BLANK PAGE
8