絶対値

絶対値
2009/05/13 by 矢崎
実数 a に対して、その絶対値 absolute value を |a| と表し、以
下のように定義する。
{
a,
a=0
|a| =
−a, a < 0
y
例. |3| = 3, | − 3| = −(−3) = 3
関数 y = |x| は、定義域は実数全体で、値域が [0, ∞) となる。
絶対値の記号はカール・ワイエルストラス により 1841 年に導入
され、また、絶対値という用語は、（アルガン Jean-Robert Argand
が複素数に対して導入した意味で）遅くとも 1806 年にはフランス
語で、1857 年には英語で使用され始めていた [1]。ただ、スミス [4,
√
p.267] では、ワイエルストラスが、複素数 a + bi に対して、 a2 + b2
という値を絶対値と呼び、それを |a + bi| と表したと記されている。
x
O
Karl Theodor Wilhelm
Weierstrass,
1815.10.31–1897.2.19.
ドイツの数学者 [3]。
ワイエルストラス [2]. 初め、ボン大学に入学したものの、ビール
と決闘に熱中して４年間で一つも単位を取らなかった。その後、ミュ
ンスター大学の教職課程に入り、クリストフ・グーデルマンに出会
い、楕円関数論への関心を持つようになった。卒業後、26 歳で教員
として田舎の高校に就職する。教員としての仕事（数学に国語に地
理、そして体操まで教えた）をしながら、アーベルの定理とヤコー
ビの二重周期関数の研究の統合を目指した。初期の業績は超楕円積
分の研究で、これがきっかけでベルリン大学に招聘された。楕円関
数論では、位数 2 の楕円関数である P 関数の研究を行い、複素解析
では、解析接続に基づいた厳密な方法を発展させた。その他、イプ
シロン-デルタ論法、一様収束の概念の考案など、微分積分学の基礎
付けや、一変数複素関数、代数関数のべき級数による理論の整備に
業績を残した。弟子には、ミッタク＝レフラー、ソフィア・コワレ
フスカヤがいる。
実数 a に対して、その符号 sign を sgn(a) と表し、以下のように
定義する。
{
1,
a=0
sgn(a) =
−1, a < 0
例. sgn(3) = 1, sgn(−3) = −1
y
1
x
O
関数 y = sgn(x) は、定義域は実数全体で、値域が {±1} となる。
注. 実数の符号であるから、符号の無い零を定義域から除くこと
もある。
1
-1
記号 sgn はクロネッカー が導入したと言われている [6, p.142]。
実数 a の絶対値 |a| は常に非負 |a| = 0 であるから、符号や平方根
の記号を使って上記以外の表現がなされる。
√
|a| = sgn(a)a, |a| = a2
Leopold Kronecker,
1823.12.7[ポーランド] –
1891.12.29[独].
ドイツの数学者 [5]。
注. 微分法を知っている者は、
d
|x| = sgn(x) (x ̸= 0)
dx
が成り立つことがわかるであろう。
問. 以下の各問に答えよ。
(1) sgn(a)|a| を簡単にせよ。
(2) |a|a を sgn を用いて表せ。また、関数 y = |x|x のグラフを描け。
参考文献
[1] Absolute value: Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute value
[2] カール・ワイエルシュトラス: フリー百科事典『ウィキペディア
（Wikipedia）』http://ja.wikipedia.org/wiki/カール・ワイエ
ルシュトラス
[3] Weierstrass: The MacTutor History of Mathematics archive
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Weierstrass.html
[4] David Eugene Smith, “History of Mathematics (Volume II)” Dover
Publications (1925).
[5] Kronecker: The MacTutor History of Mathematics archive
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Kronecker.html
[6] 黒木哲徳「なっとくする数学記号」講談社 (2001).
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