ディラックのデルタ関数 δ(x)

ディラックのデルタ関数 δ(x)
1. ディラックのデルタ関数とは?
デルタ関数とは以下のような関数である。

 0, x 6= 0
δ(x) =

Z
∞
dx δ(x) = 1
−∞
∞, x = 0
したがって、
Z
b
½
0
0
0
0
dx δ(x − x ) =
a
Z
b
0
½
dx f (x )δ(x − x ) =
a
1,
0,
a<x<b
x < a, x > b
f (x),
0,
a<x<b
x < a, x > b
となる。
重要
普通の関数は、多項式以外次元を持たない。しかしながら、デルタ関数は次元を持
つ関数である。これは積分して「1」になることからわかる。
δ(x) の次元は [x]−1 である
1
2. 極限操作によるデルタ関数の定義
lim δL (x) = δ(x)
L→∞
（a）

1


 L, |x| < 2L
δL (x) =


 0, |x| > 1
2L
（b）
δL (x) =
1
1
2
πL x + 1/L2
2
（c）
L
δL (x) = √ exp(−L2 x2 /2)
2π
（d）
δL (x) =
1 sin Lx
π x
ここで、
Z ∞
1
1
1
(b) において δL (x) =
=
dk exp(ikx − |k|/L)
πL x2 + 1/L2
2π −∞
Z L
1 sin Lx
1
(d) において δL (x) =
=
dk exp(ikx)
π x
2π −L
で与えられるので、デルタ関数のフーリエ積分表示は以下のように与えられる。
1
δ(x) =
2π
Z
∞
dk exp(ikx)
−∞
3
3. デルタ関数の性質
（a）δ(x) = δ(−x)
Z
Z
∞
∞
dxf (x)δ(−x) =
y=−x
−∞
dyf (−y)δ(y)
−∞
= f (0)
Z ∞
=
dxf (x)δ(x)
−∞
（b）xδ(x) = 0
Z
Z
∞
∞
dxf (x)xδ(x) = f (0) × 0 = 0 =
dxf (x) × 0
−∞
（c）δ(ax) =
−∞
1
δ(x)
|a|
Z ∞
Z
dxf (x)δ(ax)
−∞
=
δ(x)=δ(−x)
=
y=|a|x
=
=
（d）δ(x2 − a2 ) =
Z
∞
∞
dxf (x)δ(|a|x)
−∞
Z ∞
1
dyf (y/|a|)δ(y)
|a| −∞
1
f (0)
|a|
Z ∞
1
dxf (x) δ(x)
|a|
−∞
1
{δ(x − |a|) + δ(x + |a|)}
2|a|
Z
2
dxf (x)δ(x − a ) =
−∞
y=x
2
2
0
dxf (x)δ(x − a ) +
Z
0
Z
0
0
dxf (x)δ(x2 − a2 )
−∞
∞
=
=2
Z
∞
2
∞
{f (x) + f (−x)} δ(x2 − a2 )
dy
√
√
√ {f ( y + f (− y))} δ(y − a2 )
2 y
1
{f (|a|) + f (−|a|)}
2|a|
Z ∞
1
dxf (x)
{δ(x − |a|) + δ(x + |a|)}
=
2|a|
−∞
=
4
（e）x
d
δ(x) = −δ(x)
dx
Z ∞
Z ∞
d
d
=
−
{xf (x)} δ(x)
dxf (x)x δ(x)
dx
−∞ dx
−∞
部分積分
½
¾
Z ∞
d
=
−
dx f (x) + x f (x) δ(x)
dx
−∞
=
−f (0)
Z ∞
=
−
dxf (x)δ(x)
−∞
（f）δ 0 (x) = −δ 0 (−x)。 ここで δ 0 (x) ≡
d
δ(x)
dx
xδ 0 (x) = −δ(x)
· · · (e) より
= −δ(−x)
· · · δ(x) = δ(−x)
0
= −xδ (−x)
· · · 再び (e) より
（g）δ(f (x)) =
X
1
i
|f 0 (xi )|
f (xi ) = 0。
δ(x − xi )。ただし、xi は f (x) の零点。すなわち、
『 証明 』
f (x) の一つの零点 xi の近傍で、f (x) = f 0 (xi )(x − xi ) とかけるので、(c) を
用いると、この領域では、
δ(f (x)) =
1
δ(x − xi )
|f 0 (xi )|
となる。すべての零点に対してこれを足し加えると上式が得られる。
5
4. 3 次元のデルタ関数
δ(r − a) = δ(x − ax ) × δ(y − ay ) × δ(z − az )
Z
1
dkx dky dkz exp {ik(r − a)}
=
(2π)3
ここで、r = (x, y, z)、a = (ax , ay , az )、k = (kx , ky , kz ) である。すると、
½
δ(r − a) =
½
Z
dxdydz δ(r − a) =
Ω
0,
∞,
r 6= a
r=a
0,
1,
積分領域 Ω の中に a が含まれない
積分領域 Ω の中に a が含まれる
応用
（a）r = a に電荷 q がある時の電荷密度 ρ(r)
ρ(r) = qδ(r − a)
（b）
∇2
1
= −4πδ(r)
|r|
[証明]
Z
dxdydz ∇
21
r
Ω
Z
=
dxdydz div∇
ZΩ
=
1
r
1
dS n · (∇ )
r
∂Ω
ここで、r = |r|、Ω は半径 R の球の内部、∂Ω は半径 R の球面を表す。また、
n は ∂Ω の法線ベクトル r/r である。1 行目から 2 行目の変形でガウスの定理
を使った。
¶
∂ 1 ∂ 1 ∂ 1
,
,
∂x r ∂y r ∂z r
³ x
y
z´
r
= − 3,− 3,− 3 = − 3
r
r
r
r
1
∇ =
r
µ
より、上式は以下のように計算される。
Z
dxdydz ∇
Ω
21
Z
r
r
· (− 3 )
r
r
r
µ
¶
Z∂Ω
1
=
dS − 2
r
∂Ω
1
= − 2 × 4πR2 = −4π
R
6
=
dS
一方、
∂2 1
1
3x2
=
−
+
∂x2 r
r3
r5
と計算されるので、
∇2
となる。したがって、−
1
3(x2 + y 2 + z 2 )
3
=
− 3
5
r
r
r
=0
1 21
∇ は 3 次元のデルタ関数の性質を満たしている。
4π
r
この関係式を用いると、電荷密度分布 ρ(r) があるときの電位 φ(r)
1
φ(r) =
4π²0
Z
ρ(r 0 )
d r
|r − r 0 |
3 0
がポアソン方程式を満たすことはすぐにわかる。
Z
1
1
∇ φ(r) =
d3 r 0 ρ(r 0 )∇2
4π²0
|r − r 0 |
Z
1
=
d3 r 0 ρ(r 0 ) {−4πδ(r − r 0 )}
4π²0
ρ(r)
=−
²0
2
7
5. θ(x) と sgn(x)
θ(x) と sgn(x) は以下のように定義される。
½
0, x < 0
θ(x) =
1, x > 0
½
−1, x < 0
sgn(x) =
1, x > 0
θ(x)
sgn(x)
これらの関数の微分はデルタ関数で表される。
d
θ(x − x0 ) = δ(x − x0 )
dx
d
sgn(x − x0 ) = 2δ(x − x0 )
dx
8