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NAOSITE: Nagasaki University's Academic Output SITE
Title
繊維化塑性関節法の汎用性の向上と実用化に関する研究
Author(s)
林田, 幸浩
Citation
(2008-03-19)
Issue Date
2008-03-19
URL
http://hdl.handle.net/10069/15728
Right
This document is downloaded at: 2017-03-31T18:37:08Z
http://naosite.lb.nagasaki-u.ac.jp
繊維化塑性関節法の汎用性の向上と実用化に関する研究
2007 年 12 月
長崎大学大学院
生産科学研究科
林田幸浩
目次
第1章序
1.1 緒言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 既往の研究 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 山形鋼部材の力学的挙動に関する研究 . . . . . . . .
1.2.2 H 形鋼部材の力学的挙動に関する研究 . . . . . . . .
1.2.3 溝形鋼部材の力学的挙動に関する研究 . . . . . . . .
1.2.4 平面骨組構造解析に対応した解析手法に関する研究
1.3 研究目的および概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 2 章数値解析法に関する基礎理論
2.1 解析仮定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 幾何学的非線形剛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 塑性変形増分の算定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 閉断面要素における繊維の弾塑性構成関係 . . . .
2.3.2 閉断面要素における塑性関節の塑性接線係数行列
2.3.3 開断面要素における繊維の弾塑性構成関係 . . . .
2.3.4 開断面要素における塑性関節の塑性接線係数行列
2.4 要素の弾塑性接線剛性行列 . . . . . . . . . . . . . . . . .
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第 3 章本要素モデルの非対称断面部材への拡張と精度の検証
3.1 本研究の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証 . . . . . . . . . . .
3.2.1 研究計画 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 供試体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 実験装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 実験方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 残留応力試験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 解析モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7 実験結果と解析結果の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力 .
3.3.1 研究計画 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 供試体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 実験装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 実験方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 解析モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 解析結果と実験結果の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
3.4.1 研究計画 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ii
3.5
3.6
3.4.2 供試体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 実験装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 実験方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 解析モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.6 実験結果と解析結果の比較 . . . . . . . . . . . . . . . .
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証 . . . . . . . . . . .
3.5.1 研究計画 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 供試体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 実験装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 実験方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 解析モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6 残留応力を考慮した解析結果 . . . . . . . . . . . . . . .
考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 非対称断面へ拡張した本モデルの弾塑性挙動解析の精度
3.6.2 非対称断面部材の解析における残留応力の影響 . . . . .
3.6.3 弾塑性座屈供試体の座屈関連パラメータの比較 . . . . .
3.6.4 解析における要素分割数の影響 . . . . . . . . . . . . .
第 4 章平面骨組構造解析に対する精度の検証
4.1 研究計画 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 比較対象とする既存の要素モデル . . . .
4.2.1 fiber model . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 plastic hinge model . . . . . . . . .
4.2.3 quasi-plastic-hinge model . . . . .
4.2.4 plastic-zone model . . . . . . . . .
4.3 解析例 (1) Ziemian frame . . . . . . . .
4.3.1 解析モデル . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 比較対象の解析方法と要素分割数
4.3.3 解析結果の比較 . . . . . . . . . .
4.4 解析例 (2) El-Zanaty portal frame . . . .
4.4.1 解析モデル . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 比較対象の解析方法と要素分割数
4.4.3 解析結果の比較 . . . . . . . . . .
4.5 解析例 (3) Vogel’s portal frame . . . . .
4.5.1 解析モデル . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 比較対象の解析方法と要素分割数
4.5.3 解析結果の比較 . . . . . . . . . .
4.6 解析例 (4) Vogel’s 6-story frame . . . .
4.6.1 解析モデル . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 比較対象の解析方法と要素分割数
4.6.3 解析結果の比較 . . . . . . . . . .
4.7 考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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119
119
120
120
122
122
123
目
4.7.1
4.7.2
第5章結
次
iii
既存の解析手法との比較と本要素モデルの利点 . . . . . . . . . . . . . . 123
本要素モデルでの骨組接合部の扱い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
語
125
参考文献
127
謝
131
辞
付録 A FPHM interface の紹介およびマニュアル
132
第1章
序
1.1
緒言
構造物に地震力等の外力が作用した場合の構造物の安全性を確保することは，構造設計に携
わる者に課せられた重要な使命である．しかしながら，構造物の設計において最大耐力および
最大耐力以降の劣化域でのエネルギー吸収能をも考慮した的確な安全設計を行うことは現状で
はそれほど容易ではない．なぜならば，これまでの設計法では構造物の最大耐力やエネルギー
吸収能を精度よく推定することが難しいためである．一方，現状でも従来の手法によらない構
造物の設計に際しては，部材実験や数値解析を取り入れた設計が行われている．近年の数値解
析の精度の向上や，コンピュータの演算能力の向上により，構造設計における数値解析の有用
性はより高まっていくことが予想される．
阪神・淡路大震災を受け，日本建築学会は 1998 年に「建築および都市の防災性向上に関する
提言」1) を行い，建築構造物は今後各々の耐震性能を明らかにした性能表示形設計法により設計
されるべきであるとした．しかしながら，性能表示設計に必要と思われる耐震性能評価システ
ムについては，高速で高精度，かつ安価なものはほとんど提供されていない．現在主流となっ
ている ABAQUS や MARC などの汎用構造解析ソフトウェアは極めて高価な上，三次元骨組構
造物の耐震性能評価に対しては最適とはいえない．そのため，中小の設計事務所等では性能表
示設計の導入に苦慮している．この現状を打開するためには，骨組構造物の耐震性能について
汎用性，信頼性の高い解析手法を開発し普及させる必要があるが，建物が倒壊に至るまでの過
程を追跡可能な汎用的解析法は未だ確立されていない．
1.2
既往の研究
1.2.1
山形鋼部材の力学的挙動に関する研究
山形鋼は等辺であれば一軸非対称，不等辺であれば二軸非対称の断面を持つ部材である．送
電用鉄塔の主柱材や腹材として，あるいは一般の骨組構造物のブレース材として多く用いら
れている．特に，耐震ブレース材に使用される山形鋼の力学的特性を知ることは，近年の耐震
性能を明らかにする設計指針に対しても非常に有効であるといえる．しかしながら，既存の山
形鋼に関する研究を紐解いてみても，その力学的挙動に関する研究は極めて少ない．特に，ブ
レース材において問題となると思われる，偏心軸力を受ける山形鋼柱の座屈挙動に関する研究
では，弾塑性座屈挙動を扱った Usami ら2) の先駆的な研究や，これを比較対象として引用した
Al-Bermani ら3) の研究を除けば，Trahair ら4) や Al-Bermani ら5) の研究がそうであるように，弾
性的挙動の解析にとどまっているのが現状である．
一般に非対称断面部材は断面主軸が骨組の構面と一致しないため，弾性域であっても変形が
構面外に生じる．また，その塑性的挙動を断面力を引数とする降伏曲面と塑性流れ則で得よう
とすると，軸力の正負や曲げの方向などに応じてそれぞれ異なる降伏曲面を近似関数表示しな
ければならず3)6) ，塑性的挙動を考慮することで非対称断面部材の構面外変形はさらに大きくな
るため，本来なら平面骨組であっても三次元的な解析が必要になる．要求される仕事の煩雑さ
1.2
既往の研究
2
が関連する研究が少ない一つの要因であろうと思われるが，鋼骨組の変形性能や耐震性能を正
確に評価するためには，非対称断面部材を有する骨組を容易にかつ統一的に解析できる汎用は
り要素は欠かすことができない．fiber model がその一つの候補となり得るが，非対称断面であ
るから相応の fiber 数が必要であり，ブレース材一つだけでもかなりの fiber 数となることから
実規模の骨組の解析での使用は現実的とは言い難い．
1.2.2
H 形鋼部材の力学的挙動に関する研究
H 形鋼は，曲げにはフランジが，せん断にはウェブが，それぞれ主抵抗部として抵抗できる
断面を有し，また基本的には二軸対称部材であることから，三次元構造物において力学的に扱
いやすい部材である．そのため，一般の骨組構造物においては，柱やはりといった主要部材と
して，あるいはブレース材のような二次抵抗部材としても利用されており，その用途の広範さ
から H 形鋼に関する研究も多く見られる．
鈴木ら7) は H 形鋼はりの変形能力を，柱はり接合部の端部境界条件および応力状態から評価
する手法を提案した．一方，岡田ら8) は H 形鋼はりの変形能力を，柱はり接合部の継手効率か
ら評価する手法を提案した．金尾 (奥田) ら13) の繰返し載荷を受ける H 形鋼はりの横座屈挙動に
対する横座屈補剛間隔の定量的評価の研究では，横座屈細長比がある値以上の H 形鋼はりにお
いては，繰返し載荷による耐力劣化が単調載荷によるそれと比して顕著になり，単純載荷によ
る情報が繰返し載荷に対する耐力指標になり得ない事を示すとともに，H 形鋼はりが繰返し載
荷を受けても十分な耐力を保持しつつ塑性変形に耐えるための補剛間隔を定量的に示した．鈴
木ら9)10)11) は，H 形鋼のウェブに高張力鋼，フランジに軟鋼を使用したハイブリッド部材に関
する研究で，ハイブリッド化により H 形鋼部材が高い耐荷能力を得ることが確認し，この断面
のさらなる有効性が示した．宇田川12) は，1994 年に建設省総合技術プロジェクトの一部として
行なった 60 キロ級高張力鋼はりの横座屈についての実験的研究で， 60 キロ級高張力鋼はり部
材は通常の SS400 鋼によるものに比べて，曲げに対する塑性変形能力がやや小さくなることな
どを示した．
さて，H 形鋼材の弾塑性性状に関する研究も理論・実験の両面で数多く存在する．
松井ら14) は，軸力と任意方向水平力を受ける H 形鋼柱の弾塑性性状に関する実験的研究で，
軸力比，水平力の載荷方向が弾塑性挙動に及ぼす影響を示すとともに，単調載荷を受ける柱材
の大変形域の挙動が簡単な剛塑性解析で予測できることを示し，柱材の設計式の検討を行なっ
た．高松ら15) は，軸力と二軸曲げを受ける細長比の比較的大きな H 形鋼柱の弾塑性挙動につい
て，両端ピン支持柱の軸力載荷実験および対応する有限要素解析を実施し，耐力評価式を提案
し，また H 形鋼柱の二軸曲げでは変形能力とエネルギー吸収能力は弱軸曲げの場合の値で安全
側に評価されることを示した．金尾 (奥田) ら16) は，一つの有限要素をいくつかの等価集中断面
積を有する材料線要素に置換し，一軸の構成則を導入したモデルを用いて H 形鋼はりの弾塑性
座屈挙動の数値解析を行ない，実験結果と比較して良好な精度を有すること，H 形鋼の挙動で
は残留応力の影響が大きいことを示した．
このように H 形鋼部材の力学的性状に関する研究は数多く，解析手法も多く提案されている．
しかし現時点では，構造実務者がなじみのある要素モデルは fiber model あるいは単純な塑性関
節法が主であり，まだ選択肢は少ないといえる．また，fiber model はその扱いに相応の技術が
必要であること，単純塑性関節法は概算的なものであることから，精度が高くかつ扱いやすい
要素モデルを構造実務者に提案する必要がある．
1.2
1.2.3
既往の研究
3
溝形鋼部材の力学的挙動に関する研究
溝形鋼は，実際の骨組構造物において柱やはりといった主要部材として用いられることはほ
とんど無く，主にブレース材のような二次抵抗要素，あるいはブレースやスチールハウスの補
剛材として用いられることが多い．これは，溝形鋼は強軸については対称であるが，弱軸に対
しては非対称な一軸非対称断面であり，さらにせん断中心が断面の外に位置するため，構造物
の主要部材として用いる場合には大きな曲げ変形およびねじり変形を生じ，耐力が不足するた
めであると考えられる．国内における溝形鋼断面部材に関する研究は他の断面部材に比べて少
ないが，これは前述の理由から，溝形鋼を構造物の主要部材としてはほとんど用いないことが
一つの理由であると思われる．
以下に溝形鋼断面部材の力学的挙動に関する国内での研究の一例をあげる．岩本ら17)18) は，
軽量溝形鋼の軸部材について連成座屈性状および圧縮性状に関する実験的な研究を行った．同
研究に際し実施された，両端固定溝形鋼柱の平押し載荷実験では，リップの有無およびリップの
対フランジ剛性比の大小により，先行する座屈モードに違いが現れ，またリップの剛性が大き
くなると座屈波長が大きくなり，全体的な座屈モードに移行することなど，溝形鋼においてリッ
プが及ぼす影響が明らかとなった．半谷ら19) は，面材により部分拘束され曲げを受けるリップ
溝形鋼のゆがみ座屈挙動に関する研究を行なった．この研究では，薄板軽量リップ溝形鋼が構
造用合板や石こうボードなど面材と接合され部分拘束を受ける場合に，断面のゆがみを伴うゆ
がみ座屈を生じることに着目し，溝形鋼フランジを構造用合板で実験により形鋼のウェブせい，
横補剛間隔，面材取付けのためのドリルねじ間隔および打設位置による部材のゆがみ座屈挙動
への影響を調べ，特にウェブせいと横補剛間隔による影響が大きいことを示した．鈴木ら20) は，
弱軸非対称溝形断面梁の横座屈に関する研究を行なった．この研究では，材端に曲げモーメン
トが作用する溝形鋼はりにおける，モーメント作用位置による座屈性状の違いを，実験および
数値解析により明らかにするとともに，必要な横座屈耐力を得るための載荷条件を示した．こ
れらは溝形鋼部材を主要な要素として扱った研究であるが，その一方で，溝形鋼で補剛された
ブレースダンパーに関する研究21) など，溝形鋼断面部材に関しては，溝形鋼を別の部材の補剛
のための要素として用いる研究がほとんどである．
一方，海外ではわが国に比べ溝形鋼断面に関する研究は多いが，例えば King ら6) による非対
称部材の弾塑性解析についての先駆的な研究によって，溝形鋼や山形鋼のような非対称断面部
材は，配置する向きや載荷方向の違いによって降伏曲面の近似関数表示が大きく異なってくる
ため，定式化において場合分けが必要となること，平面骨組であっても三次元的な取り扱いが
必要になることが示されている．そのため，溝形断面は取り扱いが非常に煩雑になることが予
想され，これも国内での溝形鋼関連研究の少なさの一つの要因となっていると考えられる．
しかしながら，先に述べた山形鋼や H 形鋼と同様，耐震ブレース材として用いられることが
ある溝形鋼の力学的挙動，特に座屈挙動を知ることは，近年求められている構造物の耐震性能
評価にとって重要となることが予想される．現状，溝形鋼のような非対称断面部材の解析には
fiber model が多く用いられるが，解析にあたり山形鋼の場合と同様に相応の fiber 数が必要とな
り，実規模の骨組の解析での使用はやはり現実的とは言い難い．
1.2.4
平面骨組構造解析に対応した解析手法に関する研究
構造物の設計において，わが国ではこれまで構造物を平面骨組構造物として扱った評価が行
われてきた．また，この事情はわが国に比べ地震の少ない諸外国においても同様である．その
ため，平面骨組構造解析の手法に関する研究は，国内外を問わず多く，その内容も多岐にわた
1.2
既往の研究
4
る．例えば，小川ら22) ，加村ら23) は平面骨組を魚骨形骨組に置換し地震応答解析を行う研究で，
一般化塑性ヒンジ法による解析と比較し良好な結果を得ている．
近年，建築物の耐震性能を明らかにする性能表示形設計を行うことが求められているのは先
に述べたとおりであるが，実際に生じうる地震による構造物の挙動を正しく捉えるためには，
やはり構造物を平面的に扱う解析法だけではなく，三次元的に把握でき，かつ平面骨組解析法
としても精度よく適用可能な，汎用的な骨組構造物の解析法が必要となると考えられる．
現在，弾塑性挙動まで含む部材の挙動を，最も正確に追跡可能だと考えられるのは fiber model
であると思われ，これを利用した汎用解析ソフトウェアも多く市販化されている．この解法で
は部材を等価な繊維の集合体として分割し，荷重増分により刻々と変化する各繊維の状況をス
テップ毎に全繊維について数値積分することにより高い精度を有する解析を行うことが可能で
あるが，解析に要する時間が膨大なものとなるデメリットがある．さらに，構造物のどの部位
をどのように要素分割するかについては基準が完全には確立されていないため，この解析法の
実務的な利用には相応の技術訓練が必要となる．
また，plastic hinge model を採用した解析ソフトウェアも広く用いられている．この解法では
部材を一本ないし数本の棒要素として分割した上で，要素の端部の曲げモーメント∼回転角関
係をトリリニアで仮定し，これに達した要素端を以降降伏ヒンジとして扱うという概算的な手
法であり，計算速度は fiber model よりも短いが，精度に関しては前述のトリリニア仮定に信頼
性が無く十分なものとは言えない．建築構造物の設計は，これまでは概算的な側面もあったた
め，既存の plastic hinge model による解析法でも十分であったが，今後要求される性能表示形
設計においては，既存の plastic hinge model では不十分であるといえる．
以上を鑑みるに，従来の解析手法は，前者はその解析所要時間から，後者は解析精度の問題
から，それぞれ性能表示形設計の用途としては未だ十分ではないのが現状であり，より簡便で
高速かつ精度のよい汎用的な崩壊要素モデルの開発が必要であるといえる．筆者の所属研究室
では，前述の fiber model と plastic hinge model の双方の利点に注目し，これらを組み合わせた
新しいモデルの開発を進めてきた．その特徴から繊維化塑性関節モデルと称している33)34)35)36) ．
このモデルは三次元骨組の弾塑性崩壊解析を目的としており，弾性変形は通常のはり要素の幾
何学的非線形剛性で評価し，塑性変形については，繊維化した塑性関節部断面に関して繊維の
接線剛性を数値積分して求めた塑性接線係数行列で求めている．
修行ら30)31)32) は，この繊維化塑性関節モデルが CFT 部材が混在する三次元骨組の解析であっ
ても適用可能であり，上谷ら29) が示した片持ちはり‐柱の構面内挙動限界も検出可能な精密さ
を有し，さらにこの要素モデルが有する半剛接機能を利用すれば，I 形曲がりはりのような曲
率を有する部材であっても，その境界条件を局所的な座標変換なしに導入することが可能であ
り，ABAQUS シェル要素による精解と似た傾向を示す良好な解を得られることを示している．
この要素モデルは現在の主流である平面骨組解析にも対しても，三次元空間の一軸方向に関し
て固定する条件を設定すれば適用可能である．しかしながら平面骨組解析における解析精度に
ついては未だ検証されておらず，同じく平面骨組を対象とする他要素モデルと比較してどの程
度有効であるかを検証する必要がある．
1.3
1.3
研究目的および概要
5
研究目的および概要
本論は，著者が所属する研究室で開発を進めてきた鋼骨組の三次元崩壊解析のための汎用は
り要素モデルをベースとした，有限要素法になじみの薄い中小の設計事務所でも利用可能な三
次元耐震性能評価ソフトウェアシステムを構築するための研究の一環として，各種断面部材へ
の本要素モデルの拡張と，現在の主流となっている平面骨組構造解析における本要素モデルの
信頼性の確認のための研究について，その結果をまとめたものである．
本要素モデルを構造解析実務の骨組解析に用いることを考えると，まず第一に，特に重要な
指標である骨組の保有水平耐力について解析精度が十分であること，さらにその上で骨組の変
形状態が可能な限り把握できていることを確認する必要がある．
本論文は，以下のような構成となっている．
第 1 章では，本研究の目的および概要について述べた．
第 2 章では，本要素モデルにおける基礎理論について述べる．著者の所属研究室では開断面
材・閉断面材・半剛接接合部を有する鋼骨組の統一的三次元崩壊解析のための，汎用真直はり要
素を提案しており，その特徴から繊維化塑性関節法と呼んでいる．この要素は，modified incremental stiffness method 37)38) と，回転行列を用いて剛体回転を完全に除去する updated Lagrangian
formulation，そして要素端断面に関する塑性変形増分評価のための数値積分を組み合わせた要
素モデルとして定式化している．基本的には plastic hinge model であり，plastic hinge 部の塑性
変形増分を繊維に分割した断面に関する数値積分で求めるため，各種部材の断面力を引数とす
る降伏関数に関するデータベースを必要としない．材料定数と断面の形状・寸法に関するデー
タがあれば，理論的にはどのような形状の断面部材であっても構わない．言わば，前述の降伏
曲面と塑性流れ則の計算を内部で行う形になっており，非対称断面部材には特に向いた要素で
あるとも言える．また，基本的には塑性関節法であるため，要素の弾塑性接線剛性行列を導く
のに必要な弾性非線形剛性行列は陽な形で得られ，解析手順が比較的簡素であり，計算時間も
短いという利点を有する．
第 3 章では，本要素モデルを一軸非対称の溝形断面および二軸非対称の山形断面へ拡張する
とともに，これら 2 種類の非対称断面に H 形断面を加えた計 3 種類の断面部材で偏心軸力を受
ける一端固定一端ピン柱の弾塑性座屈実験を，さらに山形鋼については片持ち柱の繰返し弾塑
性曲げ実験を行ない，対応する弾塑性挙動解析を行なって，本モデルの解析精度を検証する．
一般に非対称断面部材は，断面主軸が骨組の構面と一致しないため弾性域であっても変形が
構面外に生じ，塑性的挙動を断面力を引数とする降伏曲面と塑性流れ則で得ようとすれば，軸力
の正負や曲げの方向などに応じてそれぞれ異なる降伏曲面を近似関数表示する必要がある．こ
のため，取扱いが煩雑になる可能性があり，従来の解析手法では解くことが難しいと思われる．
一方，本要素モデルでは第 2 章で述べる特徴からこのような非対称断面に関しても問題なく
取り扱えると考えられるが，実際の構造解析において有効な精度を有するか否かについては未
だ確認されておらず，検証する必要がある．
実際の構造物において，例えば部材の接合部をボルト接合とする場合，その荷重形態は部材
断面上に載荷点が生じる偏心軸力となる．本モデルを実務設計で使用することを考えた場合，
1.3
研究目的および概要
6
このような荷重形態の骨組に対しても，十分な精度を有するか否か検証する必要がある．
なお，H 形鋼部材に対する本モデルの信頼性は，修行らのこれまでの研究により，H 形鋼を
含む立体ラーメン構造解析の精度，そして水平力とねじりを受ける H 形鋼柱の弾塑性挙動解析
の精度の検証を通して確認されてきた．しかし，軸部材として H 形鋼部材を用いた際の弾塑性
座屈挙動に対する信頼性の検証は未だ行われていないため，本章での研究対象に加えた．
第 4 章では，平面骨組構造解析における本要素モデルの精度の検証に関する研究について述べ
る．日本を含め多くの国において，構造物の耐震性能を評価する際には平面骨組構造解析とす
ることが一般的であり，本要素モデルが耐震診断のための汎用的なツールとなるためには，本
来の用途である三次元骨組構造解析だけではなく，現在主流の平面骨組構造解析においても十
分な精度を有している必要がある．本研究では，わが国と同様に構造物を平面骨組として扱った
著名な解析例24)25)26) を用い，各種の要素モデルによる解析を実施した外国における研究24)27)28)
と，本要素モデルによる同解析例の解析結果を比較し，平面骨組構造解析における本要素モデ
ルの妥当性を検証する．
第 5 章は，本論文の総括とし，これまでの研究から得られた知見をまとめた．
また，巻末付録 A として，本要素モデルをパーソナルコンピュータ上でより扱いやすくする
ために著者が開発したインタフェース・ソフトウェアに関する紹介およびマニュアルを添付す
る．このソフトウェアは本要素モデルのメインプログラムとユーザの間に入るいわゆるユーザ・
インタフェースであり，解析対象の図面等から必要な座標値を取り込みモデル化するとともに，
部材の材料定数，荷重および端部境界条件，その他解析に必要な各種データの入力から解析の
実行までを補助するものである．なお，このソフトウェアは著者の所属する研究室である長崎
大学工学部構造工学科修行研究室の Web サイトにて無償公開されている (平成 19 年 10 月
現在) ことを付記する．
修行研究室 Web サイト http://www.st.nagasaki-u.ac.jp/ken/shugyo/shuken.html
第2章
数値解析法に関する基礎理論
2.1
解析仮定
本研究で用いる立体骨組解析法「繊維化塑性関節モデル」は，modified incremental stiffness
method37)38) と，各ステップで要素の剛体変位を完全に除去する updated Lagrangian formulation
および要素両端断面に関する塑性変形増分評価のための数値積分を組み合わせた方法であり，
塑性関節法の一種である．
従って，要素の弾性変形のみが容易に分離でき，骨組の内力が弾性ひずみエネルギーの勾配
として正確に得られる利点がある．本解析法は基本的には 1 ステップの増分計算に対して 1 回
の不平衡力を修正する modified incremental stiffness method である．
誘導仮定
要素の弾塑性接線剛性行列を求めるに当って仮定した事項を以下に示す.
(1) 部材の断面形状は薄肉の開または閉断面である．
(2) 断面はそり成分を除けば平面を保持する．
(3) 曲げによるせん断変形は無視する．
(4) 骨組の節点変位は大きいが部材の弾性ひずみは小さい．
(5) 閉断面材のときは垂直応力と St.Venant ねじりによるせん断応力が，また，開断面材では
垂直応力のみが部材繊維の降伏に寄与する．
(6) 塑性変形成分は閉断面材では軸力，二軸回りの曲げモーメントおよびねじりモーメント，
開断面材では軸力，二軸回りの曲げモーメントおよびそりモーメントのそれぞれ 4 成分に
対応する成分のみである．ただし，山形断面および溝形断面では，そりは生じない．
(7) 局部座屈は生じない．
(8) 一要素内では一般化塑性ひずみは直線形に分布する．
(9) 一要素の半分に生じる塑性変形は，それぞれ要素両端 i , j に集中して生じる．
2.2
幾何学的非線形剛性
幾何学的非線形剛性行列の誘導過程は，前田ら39) と同じである. 図 2.1 に一般的な開断面部
材の初期座標系 (x,y,z),(x,y,z) を示す．まず，要素の図心を決定する．要素の両端を i，j として
i 端の図心に原点 O をとり，材軸方向に x 軸，これと右手系をなすように断面主軸方向に y，z
軸をとる．次に，せん断中心を決定する．要素の両端を i，j とし i 端のせん断中心 S に原点を
とり，材軸方向に x 軸，これと右手系をなすように断面主軸方向に y，z 軸をとる．
幾何学的非線形剛性
2.2
8
z
z
y
y
図心軸
O
mz , φz
S
my , φy
fx , ε0
i
mx , φx
mω , φω
せん断中心軸
x
x
j
L
図 2.1: 座標系と一般化応力および一般化ひずみ
任意点における要素座標軸方向の変位成分をそれぞれ u(x, y, z) , v(x, y, z) , w(x, y, z) とおく
と，任意点におけるひずみ成分は，次式のようになる．
∂u 1
+
εx =
∂x 2
γxy =
γzx =
∂v
∂x
2
1
+
2
∂v ∂u
+
∂x ∂y
∂w ∂u
+
∂x
∂z
∂w
∂x
2 






































(2.1)
εy = εz = γyz = 0
x 軸上の任意点の変位 u0 と，x の任意点の変位 v0 ,w0 および回転角 ψ0 の関係は次式のように
なる．

dw0
dψ0 
dv0


−z
− ωs
u = u0 − y

dx
dx
dx 





v = v0 − z φ0
w = w0 + y φ0










(2.2)
ここで，ωs はせん断中心に関する一般化そり関数である．仮定 (1)∼(3) および modified incremental stiffness method40) を用いると (2.3) 式を満足する弾性接線剛性行列 K e が得られる．
K e dq e = dQ + R
(2.3)
ここに，R は不平衡力，Q と q e はそれぞれ要素端力と要素端弾性変位である．Q と q e の成分
2.2
幾何学的非線形剛性
9
は以下のようである．


Q = [Fxi Fyi Fzi Mxi Myi Mzi Mωi 





Fxj Fyj Fzj Mxj Myj Mzj Mωj ]T 






e e e e
e
e
e T 
u v w θ θ θ θ ] 
e e e
q e = [uei vie wie θxi
θyi θzi θxie
j
j
j
xj
yj
zj
(2.4)
xj
ここに，Fkl は l 端の k 方向の力，Mkl は l 端の k 軸回りのモーメント，Mωl は l 端のそりモーメ
ントであり，q e の成分は対応する弾性変位である．各ステップにおける要素の新しい座標系と
その座標系での要素端全変位は，大きな回転に対応した回転行列41) を用いて決定し，評価され
る．従って，K e に含まれる要素端変位のうちのいくつかは，もし要素が弾性域にあれば，常
に以下のようになる．

uei = vie = wie = vje = wje = 0 
e
e
θxi
= −θxj

(2.5)
K e を求めるにあたって v0 , w0 , φ0 については 3 次の，u0 については 1 次の変位関数を用いた．
2.3
2.3
塑性変形増分の算定
10
塑性変形増分の算定
本解法では，骨組構造物における弾塑性領域の発生による剛性低下を精度よく評価するため，
塑性関節部の塑性変形増分の算定にその断面の塑性接線係数行列を用いる．この係数行列は，
塑性関節部を断面に垂直な微小な繊維に分割して (図 2.2 参照)，各繊維の応力と剛性を各繊維
の中央点で評価し，各繊維のその時点での剛性を断面に関して数値積分することによって得る．
本節では，増分塑性理論に基づく弾塑性構成関係を誘導する．
z
z
y
o
(a) 円形断面
y
o
(b) H 形断面
図 2.2: 断面分割
2.3.1
閉断面要素における繊維の弾塑性構成関係
薄肉閉断面に関する弾塑性構成関係を定式化するため，材料非線形性を以下のように仮定す
る．材料は一般構造物に使用される金属材料を対象とする．
(1) 材料は降伏後，塑性硬化状態を呈する弾塑性体とする．
(2) 初期降伏基準は，von Mises の降伏条件式で判断する．
(3) 材料は弾性体では Hook の法則，非弾性域では Prandtl-Reuss の流れ則が成立する．
(4) 材料は塑性硬化状態で降伏曲面の中心位置が応力空間で移動する Ziegler の移動硬化則で
ある．
降伏基準
降伏基準は，塑性変形が開始する条件 (初期降伏条件) を規定するものであり，通常は応力空
間に描かれる曲面 (降伏曲面) によって表わされる．初期降伏条件は，仮定 (2) から，以下のよ
うに表現される．
f0 (σij ) = σx 2 + 3τxy 2 = σy0 2
ここに，
(2.6)
2.3
塑性変形増分の算定
σx
:
部材に働く，軸力，曲げモーメントによって生じる垂直応力
τxy
:
材軸まわりのねじりモーメントによって生じるせん断力
σy0
:
素材の降伏応力
11
塑性ポテンシャルと流れ則
塑性ひずみ増分 dεpij の成分比 dλ がポテンシャル関数 g(σij ) の応力勾配に比例すると仮定す
れば 42) ，
∂g(σij )
dλ
(2.7)
∂σij
となる．dλ は塑性ひずみ増分を規定する正のスカラーである．上式の表現を塑性流れ則とい
う．仮定 (3) から，塑性ポテンシャル関数 g(σij ) が降伏曲面 f (σij ) と一致し，式 (2.7) が式 (2.8)
に書き換えられる．
dεpij =
dεpij =
∂f (σij )
dλ
∂σij
(2.8)
ここに，
dεpij
f (σij )
dλ
: 塑性ひずみ増分
: 前負荷後の降伏曲面
: 塑性ひずみ増分量を規定する正のスカラー
ひずみ硬化則
硬化塑性材料では，初期降伏後の後続する降伏曲面は負荷関数とも呼ばれ，仮定 (4) より，初
期降伏後の後続する降伏曲面は大きさを変えずに移動のみを考える44) ．Ziegler の移動硬化則は
一般的に式 (2.9) と式 (2.10) のように表現される．(図 2.3 参照)
f (σij , αij ) = (σx − αx )2 + 3(τxy − αxy )2 − σy2 = 0
dαik = (σij − αij ) dµ
(2.9)
(2.10)
ここで，dµ は変形の履歴を考慮する正のスカラーであり，αij は降伏曲面の移動量で載荷履
歴の影響を考慮するものである．式 (2.9) の降伏条件式は，負荷により見かけの初期応力 αij が
生じたときの実効応力 σij − αij によって降伏が支配されると解釈することもできる．
式 (2.6) の全微分を計算すると次式が得られる．
df (σij ) =
∂f (σij )
dσij = 0
∂σij
(2.11)
式 (2.11) は ∂f (σij )/∂σij を成分とするベクトルと dσij を成分とするベクトルが直交することを
2.3
塑性変形増分の算定
12
τ
f (σij , αij )
f (σij , αij )1
C
αij
σ
O
図 2.3: 前負荷による降伏曲面 f (σij , αij ) の移動
dσik
f (σij , αij )
P
dαik
C
αik
C
P
c dεpik
dαik
σik
O
図 2.4: Ziegler の移動硬化則
示す．塑性変形が生じるとき，応力点は降伏曲面 f (σij ) の接線方向に沿って移動するから，dσij
は ∂f (σij )/∂σij に垂直である．
さて，図 2.4 より dσik − dαik は新しい降伏曲面 f (σij , αij ) に沿っているから，式 (2.11) を書
き換えると次式のようになる．
(dσik − dαik )
∂f (σij , αij )
=0
∂σik
(2.12)
よって，式 (2.12) に式 (2.10) を代入すれば，次式が得られる．
∂f (σij , αij )
dσik
∂σik
dµ =
∂f (σij , αij )
(σik − αik )
∂σik
(2.13)
塑性変形増分の算定
2.3
13
次に塑性ひずみを規定するスカラー dλ を決めなければならない．最も簡単な方法は，塑性
p
ひずみ増分の c 倍，c dεik が応力増分 dσik の降伏曲面の外側法線への正射影であると仮定する
p
ことである．式 (2.12) と同様に，図 2.4 より dσik − c dεik は新しい降伏曲面 f (σij , αij ) に沿って
いるから，
(dσik − c dεpik )
∂f (σij , αij )
=0
∂σik
(2.14)
となる．
式 (2.14) に式 (2.8) を代入すると，
∂f (σij , αij )
dσik − c
dλ
∂σik
∂f (σij , αij )
=0
∂σik
(2.15)
となり，dλ が
∂f (σij , αij )
dσik
1
∂σik
dλ =
c ∂f (σij , αij ) ∂f (σij , αij )
∂σik
∂σik
(2.16)
のように導かれる．式 (2.16) に式 (2.9) を代入すると，次式が得られる．
dλ =
m1 dσx + m2 dτxy
2a
ここで，
m1 = σx − αx
m2 = 3(τxy − αxy )
a
= c(m21 + m22 )



















(2.17)
各パラメータの物理的な意味は以下の通りである．
αx : 降伏曲面のσx 方向の現在までの移動量
αxy : 降伏曲面のτxy 方向の現在までの移動量
c : 素材のひずみ硬化挙動を表すパラメータ
式 (2.17) と式 (2.9) を式 (2.8) に代入すれば，塑性ひずみ増分は，
(2.18)
塑性変形増分の算定
2.3
14
dεpx
m2 dσx + m1 m2 dτxy
= 1
a







p
dγxy
m2 m1 dσx + m22 dτxy
=
a






(2.19)
となる．これをマトリックスで表示すると
dεpx
p
dγxy
m21
1
=
a m2 m1
m1 m2
m22
dσx
dτxy
(2.20)
ところで，繊維の弾性ひずみ増分 dεeij と応力増分 σij との関係は
dεex
e
dγxy
1/E
=
0
0
1/G
dσx
dτxy
(2.21)
である．ここに E は縦弾性係数，G は横弾性係数である．
繊維の全ひずみ増分 dεij は，次式のように弾性成分と塑性成分の和であると考えられるから
dεij = dεeij + εpij
(2.22)
式 (2.20) と式 (2.21) より
dεx
dγxy
=
1/E
0
0
m21
1
+
1/G
a m2 m1
m1 m2
m22
dσx
dτxy
(2.23)
が得られ，まとめると
dεx
dγxy
D11
=
D21
D12
D22
dσx
dτxy
(2.24)
となる．
2.3.2
閉断面要素における塑性関節の塑性接線係数行列
本節では，降伏断面の塑性的挙動を断面に関する接線剛性で評価するため45) の計算法につい
て述べる．断面の一般化応力 F と一般化ひずみ ∆ を次のように定義する．


F = [Fx Mx My Mz ]T 

∆ = [ε0 φx φy φz ]
T
ここで,



(2.25)
2.3
塑性変形増分の算定
Fx
:
軸力
Mx
:
ねじりモーメント
My , Mz
:
曲げモーメント
15
また，∆ の成分はそれぞれ F の成分に対応する一般化ひずみである．
一般化応力の増分と繊維の応力増分との関係，および，一般化ひずみの増分と繊維のひずみ
増分との関係はそれぞれ次のようになる．
dFx =
dMy =
dσ dA , dMx =


γ dτ dA 
(2.26)

z dσ dA , dMz = − y dσ dA 

dε = dε0 + z dφy − y dφz 
r=
(2.27)

dγ = r dφx
D−t
2
(2.28)
ここで，r は板厚中心までの距離，D は外径，t は板の厚さである．
Armen ら43) の方法により移動硬化則に従う鋼管の素材の応力∼ひずみ関係式を，式 (2.24) か
ら次式のように与えることができる．
dσ
dτ
B11
=
B21
B12
B22
dε
dγ
(2.29)
ここで，数値計算上の便利なため鋼管を基準に諸量を無次元化する．

σ
ε
τ
γ 

σ̄ =
, ε̄ =
, τ̄ =
, γ̄ =

σy
εy
τy
γy 
y
z
r



ȳ =
, z̄ =
, r̄ = = 1

D/2
D/2
r
ここで，
σy : 降伏引張り応力 εy : 降伏引張りひずみ
τy : 降伏せん断応力 γy : 降伏せん断ひずみ
式 (2.27) は，
(2.30)
2.3
塑性変形増分の算定
16

ε




εy




1


= (dε0 + z dφy − y dφz ) 



εy


= dε̄0 + z̄ dφ̄y − ȳ dφ̄z
dε̄ =
γ
1
=
r dφx
γy
γy
= r̄ dφ̄x
dγ̄ =
(2.31)
















とする．
現時点における応力増分 dσ とひずみ増分 dε との関係は式 (2.27) と式 (2.29) より，次式のよ
うになる．








B11 dε0 + B12 γdφz + B11 z dφy − B11 y dφz 

dσ = B11 dε + B12 dγ
=
dτ = B21 dε + B22 dγ
= B21 dε0 + B22 r φz + B21 z dφy − B21 y dφz
(2.32)









これを無次元化すると，

dσ̄ =
dσ
1



=
(B11 dε + B12 dγ)



σy
σy



B12
B11



εy dε̄ +
γy dγ̄
=
σy
σy


B12
B11


dε̄ + √
=
dγ̄



E

3G



= B̄11 dε̄0 + B̄12 r̄ dφ̄x + B̄11 z̄ dφ̄y − B̄11 ȳ dφ̄z 
(2.33)
B11
B12
, B̄12 = √
E
3G
(2.34)
ここで，
B̄11 =
dτ̄ =
dτ
1
= (B21 dε + B22 dγ)
τy
τy
=
B22
B21
εy dε̄ +
γy dγ̄
τy
τy
B22
3B21
ε̄ +
dγ̄
=
E
G
= B̄21 dε̄0 + B̄22 r̄ dφ̄x + B̄21 z̄ dφ̄y − B̄21 ȳ dφ̄z
ここに，

































(2.35)
2.3
B̄21 =
塑性変形増分の算定
17
3B21
B22
, B̄22 =
E
G
(2.36)
また，一般化応力 dF と一般化ひずみ d∆ をそれぞれ断面の単一荷重時の鋼管の初期降伏値で
無次元化して，
fx
Fx
1
=
=
Fyx
A σy
τ r dA =
1
K̄T
σ dA
mx =
Mx
1
=
Myx
KT τy
my =
My
D/2
=
Myy
Iy σy
Mz
D/2
mz =
=
Myz
Iz σy
=
1
Ā
1
σ z dA = ¯
Iy
σ y dA =
σ̄ da
τ̄ r̄ da

































1

− ¯ σ̄ ȳ da 



Iz

(2.37)
σ̄ z̄ da
ここに，
da = dȳ dz̄
I¯y =
,
z̄ 2 da ,
K̄T =
2 π r3 t
(D/2)2 r 2
I¯z =
,
Ā =
dy dz
(2.38)
ȳ 2 da
また，
ε0
ε0
1
ε̄0 =
=
=
Ā
ε0y
εy
φ̄x =



















ε̄ da
φx
r
1
=
φx =
Ā
φyx
γy
φx
D/2
1
φ̄y =
=
φy =
Ā
φyy
εy
∂γ̄
da
∂r̄
















da 

∂ ε̄
da
∂ z̄
φz
D/2
1 ∂ ε̄
φ̄z =
=
φz = −
Ā ∂ ȳ
φyz
εy
(2.39)
塑性変形増分の算定
2.3
18
式 (2.33) と式 (2.35), 式 (2.37) より，
1
df¯x =
dε̄0 B̄11 da + dφ̄x B̄12 r̄ da
Ā + dφ̄y B̄11 z̄ da − dφ̄z B̄11 ȳ da
1
dm̄x =
dε̄0 B̄21 r̄ da + dφ̄x B̄22 r̄ 2 da
KT + dφ̄y B̄21 z̄ r̄ da − dφ̄z B̄21 ȳ r̄ da
dm̄y =
1
dε̄0
Iy + dφ̄y
B̄11 z̄ da + dφ̄x
B̄11 z̄ 2 da − dφ̄z
1
dm̄z =
dε̄0
Iy + dφ̄y
B̄11 ȳ r̄ da
B̄11 ȳ da + dφ̄x
B̄11 z̄ ȳ da − dφ̄z
(2.40)

B̄12 r̄ z̄ da 







































B̄12 r̄ ȳ da
B̄11 ȳ 2 da
































が得られる．式 (2.40) を行列表示すると，
df = s̄ dδ
(2.41)
ここに，
df = [dfx dmx dmy dmz ]




dδ = [ε̄0 φ̄x φ̄y φ̄z ]



T
T

s̄ ≡

















B̄11
−
da
Ā
da
B̄21 r̄ ¯
KT
da
B̄11 z̄ ¯
Iy
da
B̄11 ȳ ¯ −
Iz
B̄12 r̄
da
Ā
B̄11 z̄
da
B̄22 r̄ 2 z̄ ¯
KT
da
B̄12 r̄ z̄ ¯
Iy
da
B̄12 r̄ ȳ ¯
Iz
−
da
Ā
(2.42)
−
B̄11 ȳ
da
Ā





da
da 
B̄21 z̄ r̄ ¯ − B̄21 r̄ ȳ ¯ 
KT
KT 



da 
2 da
B̄11 z̄ ¯ − B̄11 ȳ z̄ ¯ 
Iy
Iy 




da
2 da
B̄11 z̄ ȳ ¯
Iz
(2.43)
B̄11 ȳ ¯
Iz
である．
断面が弾性状態の時は，s̄ は単位行列である．式 (2.41) を用い Newton-Raphson 法によって f
∼δ 関係が求められる．いま，s̄ と dδ の弾性成分を s̄e , dδ e ，塑性成分を s̄p , dδ p で表すと，
2.3
塑性変形増分の算定






df = s̄e dδ e
dδ =
19
(2.44)




dδ e + dδ p 
式 (2.41) を式 (2.44) に代入して整理すると，次式を満足する塑性接線係数行列 s̄p が得られる．
−1
dδ p = (s̄−1 − s̄e ) df ≡ s̄p df
(2.45)
s̄e は断面の状態にかかわらず一定値を保つ．
式 (2.45) から df , dδ p の次元を回復させると，
dεp0
= εy
s̄p11
dφpx
= φyx s̄p21
dφpy = φyy
s̄p31
dφpz













Mz 





Myz 

Mz 





Myz 






Mz 




dFx
dMx
dMy
dMz
+ s̄p12
+ s̄p13
+ s̄p14
Fyx
Myx
Myx
Myx
= φyz s̄p41
Fx
Mx
My
+ s̄p22
+ s̄p23
+ s̄p24
Fyx
Myx
Myy
Fx
Mx
My
+ s̄p32
+ s̄p33
+ s̄p34
Fyx
Myx
Myy
(2.46)
Fx
Mx
My
+ s̄p42
+ s̄p43
+ s̄p44
Fyx
Myx
Myy
Myz
となり，有次元の関係式
d∆p = s dF
(2.47)
が得られる．ここで，
dF = [dFx dFx dFy dFz ]
T
d∆ =
p

s =
[εp0 φpx φpy φpz ]T




(2.48)



εy p 
s̄
Myz 14 

εy p
s̄
 Fyx 11

εy p
s̄
Myx 12
εy p
s̄
Myy 13
φyx p
s̄
Fyx 21
φyx p
s̄
Myx 22
φyx p
s̄
Myy 23
φyy p
s̄
Fyx 31
φyy p
s̄
Myx 32
φyy p
s̄
Myy 33
φyy p 

s̄34 

Myz

φyz p
s̄
Fyx 41
φyz p
s̄
Myx 42
φyz p
s̄
Myy 43
φyz p 
s̄
Myz 44
















φyx p 

s̄24 

Myz




(2.49)
塑性変形増分の算定
2.3
20
であり，閉断面要素の塑性接線係数行列である．
2.3.3
開断面要素における繊維の弾塑性構成関係
薄肉開断面部材に関して弾塑性構成関係は解析仮定の (5) より
dσ = Et dε
(2.50)
となる．ここで，σ は軸力，曲げモーメント，そりモーメントによる応力である．Et は鋼繊維
の一軸応力―ひずみ関係の接線係数である．
2.3.4
開断面要素における塑性関節の塑性接線係数行列
図 2.1 に一般化応力と一般化ひずみを示す．仮定 (5)，(6) (pp. 7) から，薄肉開断面における
一般化応力および一般化ひずみは次式のようになる．
F = [Fx My Mz Mω ]




∆ = [ε0 φy φz φω ]



T
T
(2.51)
ここで,
Fx
:
軸力
My , Mz
:
曲げモーメント
Mω
:
そりモーメント
また，∆ の成分はそれぞれ F の成分に対応する一般化ひずみである．
一般化応力の増分と繊維の応力増分との関係，および，一般化ひずみの増分と繊維のひずみ
増分との関係はそれぞれ次のようになる．
dFx =
dσ dA
, dMy =
dMz = − y dσ dA , dMω =


z dσ dA 

y z dσ dA 
(2.52)
(2.53)
dε = dε0 + z dφy − y dφz + ωdφω
式 (2.53) 右辺の第 4 項の ω は H 形要素の弾性範囲におけるそり関数であり，H 形鋼管断面の場
合は ω = yz ，山形断面および溝形断面では仮定 (6) より ω = 0 である．
ここで，数値計算上便利なため，諸量を無次元化する．
σ̄ =
σ
ε
y
z
ω
, z̄ =
, ω̄ =
, ε̄ =
, ȳ =
σy
εy
D/2
D/2
B/2 · (D − tf )/2
ここで，
σy : 降伏引張り応力 εy : 降伏引張りひずみ
(2.54)
塑性変形増分の算定
2.3
21
また，一般化応力 F の成分に対応する断面に単一荷重を受ける断面の初期降伏応力と一般化ひ
ずみ δ の成分に対応する初期降伏ひずみは次式のように表わされる．
Fyx = Aσy
Myy =
Myz


















， εy0 = εy
Iy σrmy
εy
， φyy =
D/2
D/2
Iz σrmy
εy
=
， φyz =
B/2
B/2
Myω =
Iω σrmy
εy
， φyω =
ω
B/2 · (D − tf )/2

















(2.55)
ここに，
Iy =
2
z dydz ， Iz =
2
y dydz ， Iω =
ωdydz
(2.56)
である．
一般化応力 F と一般化ひずみ δ をそれぞれ断面の単一荷重時の初期降伏荷重値で無次元化す
ると，式 (2.57) と式 (2.58) が得られる．
Fx
f¯x =
=
Fyx
1
Aσy
My
=
Myy
D/2
Iy σy
m̄y =
Mω
=
m̄ω =
Myω
ω
Iω σy
ε0
ε0
1
ε̄0 =
=
=
Ā
ε0y
εy
σ dA
=
σz dA
1
= ¯
Iy
Mz
B/2
m̄z =
=
(−
Myz
Iz σy
σ̄z̄ da
φz
D/2
1
φ̄z =
=
φz = −
Ā
φyz
εy
∂ ε̄
da
∂ z̄
∂ ε̄
da
∂ ȳ
φω
B/2 · (D/2 − tf )/2
1
=
φω =
Ā
φyω
εy
(2.57)



















ε̄ da























σ̄ ȳ da 











σ̄ ω̄ da 

1
σy dA) = − ¯
Iz
1
σω dA = ¯
Iω
σ̄ da
φy
D/2
1
φ̄y =
=
φy =
Ā
φyy
εy
φ̄ω =
1
Ā
∂ ε̄
∂ ω̄
















da 

(2.58)
塑性変形増分の算定
2.3
ここに，
da = dȳ dz̄
I¯y =
， Ā =
z̄ da ， I¯z =
2
22
dy dz
ȳ da ， I¯ω =
2
(2.59)
2
ω̄ da
である．現時点における応力増分 dσ とひずみ増分 dε との関係は式 (2.50) と式 (2.53) より，式
(2.60) のようになる．
dσ = Et dε0 + Et zdφy − Et ydφz + Et ωdφω
これを無次元化すると，式 (2.61) が得られる．
(2.60)
dσ̄ = Ēt dε̄0 + Ēt z̄dφ̄y − Ēt ȳdφ̄z + Ēt ω̄dφ̄ω
(2.61)
ここに，Ēt = Et /E である．
式 (2.57) に式 (2.61) を代入すると，
1
dε̄0 Ēt da + dφ̄y Ēt z̄ da
Ā − dφ̄z Ēt ȳ da + dφ̄ω Ēt ω̄ da
df¯x =
dm̄y =
1
dε̄0
Iy − dφ̄z
Ēt z̄ da + dφ̄y
Ēt ȳ z̄ da + dφ̄ω
Ēt z̄ 2 da
Ēt ω̄ z̄ da
1
dm̄z = −
dε̄0 Ēt ȳ da + dφ̄y Ēt ȳ z̄ da
Iz
2
− dφ̄z Ēt ȳ da + dφ̄ω Ēt ω̄ ȳ da
1
dm̄ω = −
dε̄0 Ēt ω̄ da + dφ̄y Ēt z̄ ω̄ da
Iω
− dφ̄z Ēt ȳ ω̄ da + dφ̄ω Ēt ω̄ 2 da







































































(2.62)
が得られる．式 (2.62) を行列表示すると，
df̄ = s̄ dδ̄
ここに，
(2.63)
塑性変形増分の算定
2.3

s̄ ≡



 




 
−



 
Ēt
da
Ā
Ēt z̄
da
Ēt z̄ ¯
Iy
da
Ēt ȳ ¯
Iz
−
da
Ēt ω̄ ¯
Iω
da
Ā
−
da
Ēt z̄ 2 z̄ ¯
Iy
−
Ēt ȳ
da
Ēt ȳ z̄ ¯
Iz
da
Ēt ω̄ z̄ ¯
Iω
−
23
da
Ā
Ēt ω̄
da
Ēt ȳ z̄ ¯
Iy
da
Ēt ȳ ω̄ ¯
Iz
da
Ēt ȳ ω̄ ¯
Iω
−
da 
Ā 



da 
Ēt ω̄ z̄ ¯ 
Iy 

da
Ēt ȳ 2 ¯
Iz
da
Ēt ω̄ 2 ¯
Iω









(2.64)
である．
断面が弾性状態の時は，s̄ は単位行列である．式 (2.63) を用い Newton-Raphson 法によって f̄
∼δ̄ 関係が求められる．いま，s̄ と dδ の弾性成分を s̄e , dδ e ，塑性成分を s̄p , dδ p で表すと，次
式を満足する塑性接線係数行列 s̄p が得られる．
−1
dδ p = (s̄−1 − s̄e ) df ≡ s̄p df
(2.65)
s̄e は断面の状態にかかわらず一定値を保つ．
式 (2.65) の次元を回復させると，
dεp0
= εy
s̄p11
dφpy
= φyx s̄p21
dφpz = φyy s̄p31
dφpω













Mω 





Myω 

Mω 





Myω 






Mω 




dFx
dMy
dMz
dMω
+ s̄p12
+ s̄p13
+ s̄p14
Fyx
Myy
Myz
Myω
= φyz s̄p41
Fx
My
Mz
+ s̄p22
+ s̄p23
+ s̄p24
Fyx
Myy
Myz
Fx
My
Mz
+ s̄p32
+ s̄p33
+ s̄p34
Fyx
Myy
Myz
(2.66)
Fx
My
Mz
+ s̄p42
+ s̄p43
+ s̄p44
Fyx
Myy
Myz
Myω
となる．
有次元の関係式
d∆p = s dF
が得られる．ここで，
(2.67)
2.3

s =
塑性変形増分の算定
εy p
s̄
 Fyx 11

εy p
s̄
Myy 12
εy p
s̄
Myz 13
φyy p
s̄
Fyx 21
φyy p
s̄
Myy 22
φyy p
s̄
Myz 23
φyz p
s̄
Fyx 31
φyz p
s̄
Myy 32
φyz p
s̄
Myz 33
φyω p
s̄
Fyx 41
φyω p
s̄
Myy 42
φyω p
s̄
Myz 43















であり，開断面要素の塑性接線係数行列である．
24
εy p 
s̄
Myω 14 


φyy p 

s̄24 

Myω


φyz p 

s̄34 

Myω


φyω p 

s̄44
Myω
(2.68)
要素の弾塑性接線剛性行列
2.4
2.4
25
要素の弾塑性接線剛性行列
閉断面要素については，部材剛性行列を求めるに際して以下のように仮定する.
(1) 塑性変形成分は軸力，二軸回りの曲げモーメントおよびねじりモーメントに対応する成
分のみである．
(2) 断面の形は降伏後も不変であり不安定状態は生じない．
部材の i 端および j 端の塑性変位増分 dq pi ，dq pj を仮定 (1) に従って次のように定義する．
dq pi
dq pj
=
[dupxi 0 0 p
dθxi
=
[dupxj 0 0 p
p
dθxj
dθyj
p
dθyi
p
dθzi
0]
p
dθzj








0] 
(2.69)
節点 i を原点とし節点 i から節点 j へ望む方向に部材軸をとると， i 端の断面が部材座標軸に
関して負の面であり j 端の断面が同じく正の面であることを考慮して，i , j 端の部材端力 Qi ,
Qj からそれぞれの断面の一般化応力 F が求められ，これらの値から式 (2.45) を満足する 4 次
の正方行列 si , sj が得られる．si の成分を (skl )i で表し，新たな 7 次の正方行列 spi を次式で
定義する．

 ( s11 )i
spi =


















0
0
0 (s12 )i (s13 )i (s14 )i 0 

0
0
0
0 0

0
0
0
(s21 )i
0
0
(s31 )i
0
0
(s41 )i
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0



(s22 )i (s23 )i (s24 )i 0 


(s32 )i (s33 )i (s34 )i 0 

(2.70)

(s42 )i (s43 )i (s44 )i 0 

0
0
0
0

同様にして，sj に対応する 7 次の正方行列 spj が定義できる．
次に，開断面要素は要素の剛性行列を求めるに際して以下のように仮定する．
(1) 塑性変形成分は軸力，二軸回りの曲げモーメントおよびそりモーメントに対応する成分
のみである．
(2) サンブナンねじりおよび曲げに起因するせん断応力は断面要素の降伏に寄与しない．
(3) 断面の形は降伏後も不変であり，不安定状態は生じない．
要素の i 端，j 端の塑性変位増分 dq pi , dq pj を仮定 (1) に従って次のように定義する．
dq pi
dq pj
=
[dupxi 0
=
[dupxj 0 0 0 0 0
p
dθxi
p
dθxj
p
p
dθyi
dθωi
]






p
p 

dθyj
dθωj
]
(2.71)
2.4
要素の弾塑性接線剛性行列
26
節点 i を原点とし節点 i から節点 j へ望む方向に部材軸をとると， i 端の断面が部材座標軸に
関して負の面であり j 端の断面が同じく正の面であることを考慮して，i , j 端の部材端力 Qi ,
Qj からそれぞれの断面の一般化応力 F が求められ，これらの値から式 (2.65) を満足する 4 次
の正方行列 si , sj が得られる．si の成分を (skl )i で表し，新たな 7 次の正方行列 spi を次式で
定義する．

 ( s11 )i
spi =


















0
0
0
0
0
0 (s12 )i (s13 )i (s14 )i 

0
0
0
0 

0
0
0
0
0
0
0
0
(s21 )i
0
0
0
(s31 )i
0
0
0
(s41 )i
0
0
0





0
0
0 


(s22 )i (s23 )i (s24 )i 


(s32 )i (s33 )i (s34 )i 


0
0
0
(2.72)
(s42 )i (s43 )i (s44 )i
同様にして，sj に対応する 7 次の正方行列 spj が定義できる．
一軸曲げの状態の場合，要素内における一般化塑性ひずみ増分は線形に分布すると仮定する
から，要素の塑性曲率増分の分布は図 2.5 のようになり，第 2 章 2.1 節の仮定 (9) を導入すると
p
i 端の塑性回転角増分 dθyi
が次のように求められる．
p
−dθyi
l 3 dφyi + dφyj
l
1
1
=
dφpyi + (dφpyi + dφpyj ) × =
2
2
2
2
4
p
p
(2.73)
j
i
dφpyi
dφpyj
l/2
l/2
l
図 2.5: 要素における塑性曲率の分布の仮定
従って，i 端においては前に述べたように一般化ひずみと要素端変位の符号が逆であることを
考慮すると，i 端の塑性変位増分が次式で得られる．
dq pi
p
p
l 3 si dQi − sj dQj
=
2
4
同様にして，j 端の塑性変位増分が次のように得られる．
(2.74)
要素の弾塑性接線剛性行列
2.4
dq pj =
27
p
p
l −si dQi + 3 sj dQj
2
4
(2.75)
式 (2.74) と式 (2.75) をまとめれば，
dq pi
dq pj
l 3spi
=
8 −spi
−spj
3spj
dQi
dQj
≡s
p
dQi
dQj
(2.76)
となる．
i ，j 端の全変位増分 dq i , dq j は，弾性成分 dq ei , dq ej と，塑性成分 dq pi , dq pj の和であるから，
dq i
dq j
=
dq ei
dq ej
+
dq pi
dq pj
(2.77)
従って，
dq ei
dq ej
=
dq i
dq j
−
dq pi
dq pj
(2.78)
弾性変位増分 dq e については，部材端力増分 dQ との間に，
dQ = K e dq e
(2.79)
が成り立つ．式 (2.79) に式 (2.78) を代入すると次式を得る．
dQ = K e dq − K e dq p
(2.80)
式 (2.80) に式 (2.76) を代入すれば，
dQ = K e dq − K e sp dQ
(2.81)
[I + K e sp ] dQ = K e dq
(2.82)
となり，整理すると
よって，(2.3) 式の不平衡力ベクトルRを考慮して次式が得られる．
dQ + R = [I + K e sp ]−1 K e dq
ここで，I は単位行列である．
(2.83)
第3章
本要素モデルの非対称断面部材への拡張と精度の検証
3.1
本研究の概要
繊維化塑性関節モデル (以下「本モデル」) は，基本的には部材を線材として扱う塑性関節法
であるが，要素端の断面のみを微小な繊維に分割し，塑性変形増分をこの断面に対する数値積
分によって求めているため，断面の形状・寸法の別無く，理論的にはどのような形状の断面部
材にも対応可能である．そのため本モデルは，従来の解析手法では降伏曲面の定式化の難しさ
等の要因から十分な解析を行なうことが難しかった，一軸および二軸非対称断面部材に対して
特に有効であると考えられる．
本章では，一軸非対称断面として溝形鋼部材を，二軸非対称断面として山形鋼部材を取り上
げ，これらの非対称断面への本モデルの拡張を行ない，実験により解析精度を検証するととも
に，二軸対称断面の H 形鋼についても，弾塑性座屈挙動に対する本モデルの解析精度を確認
した．
本章の実験では，これら 3 種類の断面部材について偏心軸力を受ける上端ピン下端固定の鋼
柱の弾塑性座屈実験を行ない，さらに山形鋼部材に対しては，片持ち柱の柱頭部に繰返し水平
力を載荷する繰返し曲げ実験も行なった．これらの実験結果と対応する本モデルによる解析結
果を比較することで，本モデルの解析精度・性能を検証する．
一般に，鋼骨組の軸部材では部材接合部に大きな荷重が加わると考えられるが，その荷重は
図心ではなく接合ボルト・リベット等の存在する板厚中心に近い位置に載荷点が生じる，いわ
ゆる偏心軸力が主であると考えられる．本モデルの実用化には，このような実際の構造物に生
じうる載荷条件に近い状態での解析精度の検証が必須であり，本章の弾塑性座屈実験でもこの
ような偏心荷重を対象とした．
なお，本章では以降の座標系の取り扱いについて，XYZ を全体の座標系，xyz を (断面の) 要
素座標系とし，主軸が回転している山形鋼断面の場合，特に主軸座標系として x̂ŷẑ を設定する．
3.2
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
3.2.1
研究計画
本節では，溝形鋼の柱に対して偏心座屈実験および対応する本要素モデルによる解析を行な
い，開断面部材の弾塑性座屈挙動に対する解析ルーチンの解析精度や性能を検証するものであ
る．溝形鋼部材は，現在一般的な構造物の主要部材に用いられることはほとんど無く，主にブ
レースなどの二次的な構造部材に用いられている．また，非対称断面特有の降伏曲面の複雑さ
6)
から，従来の解析手法では正確にその力学的挙動を把握することが難しい．しかし，本論文
の目的である汎用はり要素モデルの実用化には，規格化されている主要な鋼断面により多く対
応可能であることを示す必要があり，溝形断面鋼についてもその解析精度・性能を確認する必
要がある．
本節での載荷条件は一軸偏心載荷とし，柱頭部の図心から Y 軸方向に −11.3mm の点 P に載
荷したもの (供試体 C-1) とする．
3.2
3.2.2
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
29
供試体
75
32
7
φ2
4
供試体は SS400 の溝形鋼を使用するものとし，その形状を図 3.1 に示す．供試体の上端と下
端には円形の厚板が溶接されている．下端の厚板を介して供試体を実験装置にボルトで接続し
て固定端とする．上端も同様に厚板を介してスイベルヘッドにボルトで接続してピンとし，偏
心軸力を載荷する．なお、軸力の大きさは油圧ジャッキに取り付けられた油圧計により計測す
る．ウェブ中心の板厚中心に軸力が載荷されるようにそれぞれボルト穴を設けてある．
5
40
7
φ2
5
5
32
75
7
φ2
4
1210
(上部厚板)
40
0
φ3
0
(単位:mm)
(下部厚板)
図 3.1: 供試体
供試体の断面寸法と機械的性質
供試体の断面寸法を図 3.2 に，断面定数，及び機械的性質を表 3.1 に示す．ただし，
B, D
tw
A
σy
:
:
:
:
板幅 [mm] (図 3.2 参照)
ウェブ厚 [mm]
断面積 [mm2]
降伏応力 [N/mm2]
tf
Iy ,Iz
: フランジ厚 [mm]
: 断面二次モーメント [× 104 mm4]
である．
供試体の縦弾性係数は標準値の E=2.058 × 105 N/mm2 を用い，降伏応力 σy =316 N/mm2 は
ミルシートに記載された値を用いた．また，断面寸法はミルシートに記載された値ではなく供
試体の実測値である．
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
3.2
30
z
Z
tw
y
Y
tf
D
o
B
図 3.2: 供試体の断面
表 3.1: 供試体の断面寸法と機械的性質
D
B
tw
tf
A
Iy
Iz
σy
C-1
75.3
39.7
5.0
7.0
863
74.8
13.3
316
ひずみゲージ
供試体には変曲点近傍に 2 枚のアクリル板を接着し各々2 台ずつ変位計を設置して，Y 軸およ
び Z 軸の水平 2 方向の変位を計測する．ひずみゲージは供試体下部の厚板上端から 30mm，部
材端部より 10mm とせん断中心線の延長線上の位置に単軸ゲージ 6 枚を固定端近傍のひずみ計
測用に貼付している．その貼付状況を図 3.3 に示す．
X
Z
3
Z
1
2 3
6
5
4
2
1
O
4
5
Y
6
図 3.3: ひずみゲージの貼付状況
3.2
3.2.3
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
31
実験装置
装置の全景
図 3.4 に実験装置の全景を示す．既存の 300kN 疲労試験用フレームを利用して，供試体の上
部を島津製スイベルヘッドに，下端をフレームに固定し上端ピン下端固定の状態にする．供試
体の上部に取付けたスイベルヘッドを介し油圧ジャッキで偏心軸力を載荷する．供試体下部の
厚板上端から 363mm の変位計測位置に変位計を Y 軸および Z 軸の水平 2 方向に各々2 台ずつ
計 4 台設置する．各装置の詳細は以下に示す通りである．
X
油圧ジャッキ
スイベルヘッド
供試体
変位計
Z
油圧ポンプ
反力フレーム
図 3.4: 実験装置全景
変位計
図 3.5，3.6 に変位計の設置状況を示す．変位計測位置（下部厚板の上端から 363mm）の水平
変位とねじれを計測するために，Y 軸と直交する面には変位計 (1) と (2) を水平方向に 2 台，Z
軸と直交する面には変位計 (3) と (4) を垂直方向に 2 台それぞれアクリル板を介して鋼材に固定
する．
変位の補正
一般的な実験において，ねじれが生じた場合，変位計による計測値と実際の変位とに誤差が
生じてしまう．そこで一般的な変形として図 3.7 を仮定し，変位の補正を行う．次式を用いて
ねじれによる誤差を除き，その値を変位計測位置（下部厚板の上端から 363mm）の水平変位と
する．
今回の実験では Z 軸方向に変位は生じないが，実験の厳密さや今後の研究のため，一般的な場
合の補正式を導いた．
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
3.2
Z
変位計 (1)
50
O
Y
変位計 (2)
変位計 (3)(4)
図 3.5: 変位計の設置状況 (上面図)
(3)
50
(4)
変位計
図 3.6: 変位計の設置状況 (側面図)
前提：供試体が平行移動＋回転移動した場合を考える．
変位計 (3)，(4) の計測値は平均をとることで変位計測位置の Z 方向
変位計測値とする．
長さ a，b を求める．
a = s cos θ
b = s sin θ
長さ c，d を求める．具体的には
d = w + b = w + s sin θ
c = r1 − d = r1 − w − s sin θ
32
3.2
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
33
長さ e，f を求める．
e = c · tan θ = (r1 − w − s sin θ) tan θ
f = d · tan θ = (w + s sin θ) tan θ
以上から，変位計 (1)，(2) の計測値である δ1 ，δ2 について解く．
δ1 = v + a − e − s
= v + s · cos θ − (r1 − w − s · sin θ) tan θ − s
(A)
δ2 = v + a + f − s
= v + s · cos θ + (w + s · sin θ) tan θ − s
(B)
4
同様にして, 変位計 (3)，(4) の計測値の平均値である δ3 +δ
について解く．
2
δ3 + δ4
D
D
D
=
+ d − cos θ − (v + a − s + sin θ − y0 ) tan θ
2
2
2
2
D
sin2 θ
(1 − cos θ −
) + w + s · sin θ − (v · tan θ + s · sin θ − s · tan θ − y0 tan θ)
2
cos θ
1
D
) + w + s · tan θ − v · tan θ + y0 tan θ)
= (1 −
(C)
2
cos θ
=
回転角 θ を求める
(B) - (A) より
δ2 − δ1 = r1 tan θ
δ2 − δ1
θ = tan−1
r1
変位 v ，w を求める．(C) より
w=
D
1
δ3 + δ4
+ v · tan θ − (1 −
) − (s + y0 ) tan θ
2
2
cos θ
(C )
(B) より
δ2 = v + s(
1
− 1) + w · tan θ
cos θ
(C ) を代入
δ3 + δ4
D
1
1
− 1) + (
+ v · tan θ − (1 −
) − (s + y0 ) tan θ) · tan θ
cos θ
2
2
cos θ
δ3 + δ4
D
1
1
tan θ − (1 −
) tan θ − y0 tan2 θ
= v 2 + s(cos θ − 1) −
cos θ
2
2
cos θ
δ2 = v + s(
従って，v は
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
3.2
v = δ2 cos2 θ − s(cos θ − 1) −
D
δ3 + δ4
sin θ cos θ + (cos θ − 1) sin θ + y0 sin2 θ
2
2
(C ) に代入．w は次のように求まる．
δ3 + δ4
δ3 + δ4
w=
+ (δ2 cos2 θ − s(cos θ − 1) −
sin θ cos θ
2
2
D
D
1
+ (cos θ − 1) sin θ + y0 sin2 θ) tan θ − (1 −
) − (s + y0 ) tan θ
2
2
cos θ
δ3 + δ4
=
(1 − sin2 θ) + δ2 sin θ cos θ − s((cos θ − 1) tan θ + tan θ)
2
1
D
)) + y0 (sin2 θ − tan θ)
+ ((cos θ − 1) tan θ − (1 −
2
cos θ
δ3 + δ4
1
D
=
cos2 θ + δ2 sin θ cos θ − s sin θ + (sin θ − tan θ − 1 +
)
2
2
cos θ
+y0 (sin2 θ − tan θ)
Z
v
s
δ1
a
e
z
(1)
c
y
r1
O
b
S
(2)
D/2
θ
w
d
S
y0 O
δ2 f
Y
(δ3 + δ4)/2
(3)
(4)
図 3.7: 変位の補正
v
: Y 方向変位
w
: Z 方向変位
δ1
: 変位計 (1) の計測値
δ2
: 変位計 (2) の計測値
δ3
: 変位計 (3) の計測値
δ4
: 変位計 (4) の計測値
D
: ウェブ長さ
r1
: 変位計 (1) から Yg 軸までの距離 θ
: 回転角
34
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
3.2
3.2.4
35
実験方法
供試体の加力および測定システム線路の概要を図 3.8 に示す．実験は次の手順で行う．
(1) 各点にひずみゲージを貼付した供試体の上端を島津製スイベルヘッドに，下端を反力フ
レームにボルトで固定する．この時，反力フレームの中心と供試体の載荷軸とを一致さ
せる．
(2) 下部厚板の上端から 363mm の変位計測位置に水平 2 方向にアクリル板を接着し，Y 軸と
直交する面には左右に，Z 軸と直交する面には上下に，それぞれ変位計を 2 台ずつ設置
する．
(3) 各センサをデータロガー (TDS-303) に接続する．
(4) 出力されたデータをパソコンでモニターしながら変位制御で偏心軸力を載荷し，変位計
測位置の Y 方向，Z 方向の変位，各点の垂直ひずみをステップ毎に計測する．
油圧ジャッキ
変位計 (3)，(4)
供試体
油圧ポンプ
油圧計
供試体
変位計 (1)，(2)
データロガー
パーソナルコンピューター
図 3.8: 測定システム線路図
3.2
3.2.5
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
36
残留応力試験
目的
本研究では，溝形鋼断面の残留応力を考慮した解析を行なうことを考えたが，参考となる文
献を発見できなかったため，今回の溝形鋼の偏心座屈実験と並行して残留応力試験を行い，そ
の結果を本モデルの解析コードに組み込んだ．
以下に，残留応力試験の詳細を記述する．
試験計画
本試験は供試体と同種の溝形鋼部材を切断し，その際の開放ひずみから残留応力を求める，
切断開放法である．
試験体は偏心圧縮実験の鋼材と同じものを使用し，材長 1000mm の溝形鋼の 250mm，500mm
の位置の切断線を帯鋸盤で切断した．ひずみゲージの貼付位置は切断線から 5mm の位置に平
行となるように貼付け計測した．溝形鋼はフランジに 3 枚ずつウェブに 5 枚の計 11 枚のひず
みゲージを貼付けした．貼付位置はフランジ側で材端から 3mm と 20mm，ウェブ側は材端から
3.5mm，20.5mm，37.5mm の位置である．その詳細を図 3.9，3.10，3.11 に示す．なお，ひずみ
ゲージは所定の位置に貼付けた後，ろうのコーティング剤を上から薄く塗り保護をした．
試験装置
装置の全景
図 3.12 に試験装置の全景を示す．b. 帯鋸盤を利用して、供試体の 250mm，500mm の位置の
切断線を切断する．c. 切削油はそのときに発生する摩擦熱を抑えるのに使用するものである．
a. 供試体
溝形鋼 SS400．
b. 帯鋸盤
帯のこぎりを直径の等しい二個の調べ車にかけ，回転させて木材や金属を切断する機械．
c. 切削油
被削材-工具，工具-切屑で発生する摩擦熱やせん断熱を吸収し，被削材を冷却，工具の硬
度低下を防いで磨耗を減少させる．
500
250
図 3.9: 残留応力試験体
3.2
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
3
2
1
9
10
11
4
5
6
7
8
図 3.10: ひずみゲージ番号
3
3
20
3.5
3.5
20.5
20.5
37.5
図 3.11: ひずみゲージ貼付位置
b. 帯鋸盤
a. 供試体
c. 切削油
図 3.12: 試験装置全景
37
3.2
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
38
試験方法
試験手順
供試体の切断および測定システム線路の概要を図 3.13 に示す．実験は次の手順で行う．
(1) 供試体のひずみゲージを貼付したごく近傍である 250mm，500mm の位置の切断線を帯鋸
盤に締め付け固定する．
(2) 各センサをデータロガー (TDS-303) に接続する．
(3) センサより出力されたデータから初期ひずみを計測する．
(4) センサより出力されたデータから締め付け固定したときのひずみを計測する．
(5) 供試体を帯鋸盤により切断する．
(6) センサより出力されたデータによるひずみをステップ毎に計測する．
(7) センサより出力されたデータにより切断後のひずみを計測し，残留ひずみを導く．
(8) 残留ひずみより残留応力を導く．
帯鋸盤
供試体
切削油
データロガー
図 3.13: 実験装置全景
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
3.2
39
残留応力分布
残留応力試験の結果，溝形鋼のひずみ分布は下図のようになった．1 回目と 2 回目とではひ
ずみゲージの貼付状況が異なるので 2 回目の試験をもとに残留応力分布を求めた．
残留応力分布は 2 回目の試験をもとに，ひずみの値に縦弾性係数 E=205800[N/mm2] を掛け
て 3.17 の値を求めた．ここで得られた残留応力分布を基礎に解析プログラムの中に残留応力を
考慮したサブルーチンを作成した．
න૏Ǵ
図 3.14: ひずみ分布 1 回目
න૏Ǵ
図 3.15: ひずみ分布 2 回目
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
3.2
40
න૏Ǵ
図 3.16: ひずみ分布平均
න૏/2C
図 3.17: 残留応力分布
3.2
3.2.6
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
41
解析モデル
解析モデルは図 3.18 に示すような一端固定一端ピンのモデルである．解析における部材軸は
部材の図心 O を通り，Y，Z 軸を図のようにとる．解析ではこのモデルを対象に 6 要素分割の
解析を試みた．
1210 mm
X
Z
Y
図 3.18: 供試体モデル
供試体の要素分割
供試体の節点番号と部材番号を図 3.19 に示す．要素分割は，供試体の下部厚板の上端から上
部厚板の下端までの 1210mm を長さの順に 1/10，1/2、9/10 で 4 要素に分割する標準の分割に，
変位計測位置（下部厚板の上端から 363mm）の節点を追加し「柱 5 要素近似モデル」とした．
加えて上部厚板とスイベルヘッドを剛体とみなし，1 要素としているので全体では 6 要素となっ
ている．
なお，ひずみ計測点 (30mm) のひずみ解析値については 3 章および 4 章と同様に，要素 1 の
両端の値から比例配分的に算出している．
断面の繊維分割
断面の繊維分割はフランジ部は板厚方向に 2 分割，Y 軸方向に 20 分割，また，ウェブ部は板
厚方向に 2 分割，Z 軸方向に 41 分割し，計 162 分割とする．
断面の繊維分割の詳細を図 3.20 に示す．
3.2
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
P
42
X
7
170
(6)
6
5
(5)
(4)
要素番号
1210
節点番号
w
4
(3)
3
v
363
(2) Z
2
1
(1)
Y
図 3.19: 供試体の節点番号と部材番号（柱 5 要素近似モデル）
z
Z
82 41
20
21
40
21
O
o
102
Y
61
y
yo
142
122 81
162
zo
123
143
図 3.20: 断面の繊維分割
3.2
3.2.7
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
43
実験結果と解析結果の比較
載荷条件
溝形鋼供試体の載荷条件は，載荷点を柱頭部の図心から Y 軸方向に-11.2mm，Z 軸方向に 0mm
の点とする強軸偏心載荷であり，柱頭部に溶接された円形鋼板を介して油圧ジャッキにて載荷
を行った．そのときの鉛直荷重と計測点での Y 軸方向，Z 軸方向の変位，軸ひずみを計測した．
P
O
11.2
図 3.21: 溝形鋼の載荷状況
実験結果と解析結果の比較
以下，図 3.22∼図 3.29 に各種実験結果と解析結果を示す．
溝形鋼柱の変位計測点（下部厚板の上端から 363mm）における Y 軸及び Z 軸方向変位につ
いて図 3.22，図 3.23 に示した．解析モデルにおいては節点 3 における Y 軸及び Z 軸方向変位に
ついて軸荷重 P と Y 軸方向の変位 v との関係を P -v 曲線として，荷重 P と Z 軸方向の変位 w
との関係を P -w 曲線とした．
また，ひずみ計測点（下部厚板の上端から 30mm）における軸ひずみについては図 3.24∼図
3.29 に示した．解析モデルではひずみ計測点に節点を設けず，節点 1 と節点 2 のひずみから比
例配分的にひずみを求め，そのひずみ ε と軸荷重 P との関係を P -ε 曲線とした．
なお，これらの解析結果は，残留応力試験により得られた残留応力を考慮して解析した結果
とそうでないものの両方を掲載している．
荷重∼変位関係の Y 軸方向変位については，実験値に比べて解析値の方が若干弾性域で変位
が大きく出ているが，最大荷重値やそれ以降の挙動についてはほぼ一致していることがわかる．
一方 Z 軸方向変位については，解析では Z 軸方向に偏心がないので変位は生じていないが，実
験では変位が最大で 0.75mm 生じた．ただし，この変位は非常に小さく，変位計を取り付ける
際に生じた誤差によるものだと考えられ，実験値で生じた Z 軸方向変位は許容範囲内であると
言える．
また荷重∼軸ひずみ関係についても荷重∼変位関係と同様に解析値の方が実験値より若干ひ
ずみが大きく出る傾向にあるが，弾性域での傾きがほぼ一致するものや，ひずみが圧縮から引
張へと転じる現象などその挙動の性状を良好な精度で追跡することができた．
なお，残留応力を考慮した解析と考慮しない解析とでは，考慮した解析において最大荷重が
およそ 4kN 程度低下するものの，その影響についてはほとんど見られなかった．これは，今回
の供試体 C-1 の残留応力分布による影響が小さかったという可能性が考えられるが，今回の溝
3.2
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
44
形鋼は供試体が一つのみであり，さらに溝形鋼に関する既存の研究が極めて少なく，一般的な
溝形鋼の残留応力分布に関する情報がほとんど得られなかったため，検証のためにはより多く
の溝形鋼部材について残留応力試験を行なうなど，より詳細な情報を得る必要がある．
溝形鋼柱に関しては，溝形鋼の主な用途として考えられるブレース材の再現として，ウェブ
中心の板厚上に載荷する一軸偏心載荷での弾塑性座屈挙動に関して解析および実験を行なった
が，残留応力については十分な検証が行なえなかったものの，全体的には荷重∼変位関係，荷
重∼軸ひずみ関係ともに十分な精度で追跡することができており，本要素モデルは溝形鋼のよ
うな一軸非対称断面部材の一軸偏心載荷による弾塑性座屈挙動を，実用的な精度で解析可能で
あることを確認した．
3.2
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
P[kN]
160
140
120
100
80
60
40
ᱷ⇐ᔕജ⠨ᘦ
ታ㛎
ᱷ⇐ᔕജ䈭䈚
20
0
5
10
15
20
v[mm]
図 3.22: 計測点における Y 軸方向変位 v の実験
結果と解析結果
P[kN]
160
140
120
100
80
60
40
ᱷ⇐ᔕജ⠨ᘦ
ታ㛎
ᱷ⇐ᔕജߥߒ
20
0
- 1.5
-1
- 0.5
0
0.5
1
1.5
w[mm]
図 3.23: 計測点における Z 軸方向変位 w の実験
結果と解析結果
45
3.2
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
P[kN]
160
140
120
100
80
60
40
20
0
- 0.01
ᱷ⇐ᔕജ⠨ᘦ
ታ㛎
ᱷ⇐ᔕജߥߒ
- 0.0075
- 0.005
ǭ[Ǵ]
- 0.0025
0
1 の軸ひずみの実験結果と解析
図 3.24: ゲージ
結果
P[kN]
160
140
120
100
80
60
40
ᱷ⇐ᔕജ⠨ᘦ
ታ㛎
ᱷ⇐ᔕജߥߒ
20
0
- 0.0005
- 0.00025
0
0.00025
0.0005
ǭ[Ǵ]
2 の軸ひずみの実験結果と解析
図 3.25: ゲージ
結果
46
3.2
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
P[kN]
160
140
120
100
80
60
40
ᱷ⇐ᔕജ⠨ᘦ
ታ㛎
ᱷ⇐ᔕജߥߒ
20
0
- 0.0005
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
ǭ[Ǵ]
3 の軸ひずみの実験結果と解析
図 3.26: ゲージ
結果
P[kN]
160
140
120
100
80
60
40
ᱷ⇐ᔕജ⠨ᘦ
ታ㛎
ᱷ⇐ᔕജߥߒ
20
0
- 0.0005
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
ǭ[Ǵ]
4 の軸ひずみの実験結果と解析
図 3.27: ゲージ
結果
47
3.2
一軸非対称断面 (溝形鋼) への拡張と精度の検証
P[kN]
160
140
120
100
80
60
40
ᱷ⇐ᔕജ⠨ᘦ
ታ㛎
ᱷ⇐ᔕജߥߒ
20
0
- 0.0005
- 0.00025
0
0.00025
0.0005
ǭ[Ǵ]
5 の軸ひずみの実験結果と解析
図 3.28: ゲージ
結果
P[kN]
160
140
120
100
80
60
40
20
0
- 0.01
ᱷ⇐ᔕജ⠨ᘦ
ታ㛎
ᱷ⇐ᔕജߥߒ
- 0.0075
- 0.005
ǭ[Ǵ]
- 0.0025
0
6 の軸ひずみの実験結果と解析
図 3.29: ゲージ
結果
48
3.3
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
3.3
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
3.3.1
研究計画
49
本節では，典型的な二軸非対称断面部材である不等辺山形鋼の片持ち柱について，柱頭部に
水平力を載荷する繰返し曲げ実験を行ない，非対称断面部材の弾塑性曲げ性状を把握し，本要
素モデルによる解析結果と比較して精度の検証を行う．本研究室ではこれまでに，下端固定上
端ピン支持の供試体について繰返し載荷実験を行なってきた．その実験により，山形鋼の場合
曲げ載荷を行った場合に非常に大きなねじれを生じることが明らかであるが，その場合本研究
室の実験装置では上端のピン部分の状態を保つことがその構造上困難である．そこで繰返し曲
げ実験については上端自由下端固定の山形片持ち柱を対象とした．
本節での載荷条件は，不等辺山形鋼柱のせん断中心に載荷した場合 (供試体 B-1) と図心に載
荷した場合 (供試体 B-2) の計 2 種類とする．
3.3.2
供試体
供試体
供試体は等辺山形鋼 SS400 を使用するものとして，その形状を図 3.30 に示す．供試体の下端
には円形の厚板 A を溶接し，実験装置にボルトで接続して固定端とする．供試体上端には剛板
B を溶接し，この板に溶接した載荷用のピン C を介して繰返し水平力を載荷する．供試体 B-1
では鋼板をせん断中心軸上に，B-2 では図心軸上に載荷装置が接続できるようにそれぞれ設計
されている．
載荷ピン C
19
剛板 B
B-2
B-1
674
733
剛板 B
下端接続板 A
32
下端接続板 A
φ300
(単位 : mm)
φ300
図 3.30: 供試体
供試体の断面寸法と機械的性質
供試体の断面寸法を図 3.31 に，断面定数，および機械的性質を表 3.2 に示す．ただし，
3.3
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
50
t
z
ŷ
ẑ
D
α
y
B
図 3.31: 供試体の断面
B, D
A
Iyz
Iŷ , Iẑ
Hy
:
:
:
:
:
図 3.31 に示す板幅 (mm)
断面積 (mm2 )
相乗モーメント (×104 mm4 )
主二次モーメント (×104 mm4 )
初期降伏水平力 (kN)
t
Iy , Iz
α
σy
:
:
:
:
板厚 (mm)
断面二次モーメント (×104 mm4 )
主軸位置
降伏応力 (N/mm2 )
である．機械的性質はミルシートに記載されたものを使用し，ヤング率は E = 2.058×105 N/mm2
と仮定した．また，断面寸法はミルシートに記載された値ではなく供試体の実測値である．
表 3.2: 供試体の断面寸法と機械的性質
B
D
t
A
Iy
Iz
Iyz
α
Iŷ
Iẑ
σy
Hyz
74.83
89.52
8.77
1364
68.24
107.1
-50.36
34.4
141.7
33.71
309
7.296
3.3
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
51
ひずみゲージ
供試体には固定端近傍のひずみを調べるためにひずみゲージを貼付する．その貼付状況を図
3.32 に示す．図 3.32 のようにせん断中心 S を原点とする全体座標系 XYZ を定めると，全ての
供試体に共通してひずみゲージは固定端より 30mm の位置の Y，Z 軸上に単軸ゲージを各 1 枚，
部材の端部より 10mm の位置に表裏各 1 枚貼付している．
X
10
Z
6
5
10
1
4
3
Y
2 S
30
C−C
C
1 ∼
6 : 単軸ゲージ
C
Y
(単位:mm)
図 3.32: ひずみゲージの貼付状況
3.3
3.3.3
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
52
実験装置
装置の全景
図 3.33 に実験装置の全景を示す．既存の 30 トン疲労試験フレームを利用して，供試体の下
端をフレームに固定し片持ち柱の状態にする．供試体上部に厚さ 19 mm の鋼板と載荷のため
のピンを溶接している．水平力は反力壁に取り付けられた自動調心コロ軸受けと自在継手およ
びロードセル (a) を介して油圧ジャッキ (b) により供試体の図心またはせん断中心上に溶接され
たピンに載荷する．柱頭部の鋼板には自在継手の反対側とその直交方向にアクリル板を接着し，
図 3.34 に示すように載荷方向とその直交方向に対して各々2 台ずつ変位計を設置して，水平 2
方向の変位を計測する．各装置の詳細は以下に示す通りである．
a. 水平荷重用ロードセル (TCLP-10B – 東京測器研究所製，許容荷重 ±10t)
Z 方向繰返し水平力荷重の大きさを測定する．
b. 水平荷重用油圧ジャッキ (MHJ10-6 – 山本扛重機製，許容荷重 ±10t，ストローク ±100mm)
Z 方向繰返し水平荷重を負荷する．
c. 供試体
等辺山形鋼および不等辺山形鋼 SS400．
d. 水平変位用変位計 (CDP-100 – 東京測器研究所製 100mm 変位計)
Z 方向水平力荷重の作用点の繰返し水平変位を測定する．
(Y 方向水平変位の計測にも同種の変位計を利用する．)
自動調整コロ軸受け
反力壁
b. 油圧ジャッキ
X
d. 変位計
a. ロードセル
c. 供試体
反力フレーム
図 3.33: 実験装置全景
Z
3.3
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
53
繰返し水平力の伝達機構
図 3.34 に繰返し水平力載荷時における油圧ジャッキの接続状況を，図 3.35 に自在継手と載荷
ピンの接続状況を示す．繰返し水平力ジャッキは曲げモーメントの発生を防ぎ，載荷方向の荷
重のみを伝えるようにするため，反力壁に取り付けられた自動調心コロ軸受けと，供試体に溶
接した載荷板と載荷ピンを介して取り付けた自在継手に接続する．なお，ピンと自在継手の間
に発生する摩擦を抑えるためにあらかじめピンを十分に研磨してグリスを挿しておく．
自動調心コロ軸受け
反力壁
X
変位計
油圧ジャッキ
ロードセル
Z
供試体
反力フレーム
立面図
変位計
自動調心コロ軸受け
油圧ジャッキ
Z
ロードセル
反力壁
供試体
Y
平面図
図 3.34: 繰返し水平力用ジャッキ部
3.3
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
54
自在継手
載荷板
載荷ピン
図 3.35: 自在継手と載荷ピンの接続状況
自在継手部のモデル化の検討
本実験では，載荷点となる二軸まわりのピンとして図 3.35 の自在継手を設計した．しかし，
実際には載荷ピン-自在継手の接続部の鉛直軸まわりのピン，自在継手-油圧ジャッキの接続部の
面外方向軸まわりのピンとなり，厳密には接続部間の長さ分，ピンの位置にずれが存在する．
このずれの影響により，当初予定していた解析モデル化に実験の状況を反映できない可能性
が考えられたため，自在継手部やジャッキ部を含めた解析モデル化を行ない，本要素モデルが
有する半剛接機能を用いてピンとなる節点の特定方向の回転剛性を変化させるなど，より厳密
な解析モデルの検討を行なった．結果，本実験では供試体柱頭部に曲げとねじれの連成した挙
動が生じるため，骨組の大変形の影響を正確に評価する本要素モデルではこれらピン支点の柱
変形後の回転能や挙動がかえって不明瞭になってしまい，厳密なモデル化はできなかった．
しかし，自在継手のピン接合間の距離は供試体高さに対して十分に短く，第一次近似として
ほぼ一箇所で二軸方向のピンを成していると考えられることから，本実験は当初の予定通り片
持ち柱の柱頭水平力載荷としてモデル化しても問題とならないと考え，図 3.39 に後述する解析
モデルとした．
変位計
図 3.36 に本実験における変位計の設置状況を示す．柱頭の水平変位とねじれを計測するため
1 と
2 を垂直方向に，載荷方向軸と垂直をなす
に，水平力載荷方向軸と直交する面には変位計
3 と
4 を水平方向にそれぞれフレームに固定する．なお，
水平方向軸と直交する面には変位計
1 と
2 ，
3 と
4 の中間点はせん断中心を通
図心載荷，せん断中心載荷のいずれの場合も変位計
る Z，Y 軸上に位置するように固定する．
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
3.3
変位計
60 60
Z
自在継手
Y
アクリル板
変位計
(単位:mm)
(a) 平面図
X
アクリル板
60 60
自在継手
(b) 側面図
変位計
(単位:mm)
(b) 側面図
図 3.36: 供試体 B-1 での変位計の設置状況
55
3.3
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
56
変位の補正
柱頭にねじれが生じた場合，本実験装置では水平方向変位において変位計による計測値と実
際の変位とに誤差が生じてしまう．そこで次式を用いてねじれによる誤差を除き，その値を柱
頭の水平変位とする．

δ3 + δ4 δ3 − δ4 δ1 + δ2 ry (1 − cos θx ) 


−
×
+
v=

2
β
2
cos θx
δ1 + δ2 δ3 − δ4 δ3 + δ4 rz (1 − cos θx ) 


w=
+
×
+

2
β
2
cos θx
(3.1)
また，柱頭の回転角は次式より求める．
θx = tan−1
δ3 − δ4
2
(3.2)
ここに，
v
θx
: Y 方向変位 (mm)
w
: Z 方向変位 (mm)
: 柱頭の回転角 (rad)
β
3 と
4 の間の距離 (mm)
: 変位計
r
: せん断中心からアクリル板までの距離 (mm)
δ1
1 の計測値 (mm)
: 変位計
δ2
2 の計測値 (mm)
: 変位計
δ3
3 の計測値 (mm)
: 変位計
δ4
4 の計測値 (mm)
: 変位計
3.3.4
実験方法
供試体の加力および測定システム線路の概要を図 3.37 に示す．実験は次の手順で行う．
(1) 各点にひずみゲージを貼付した供試体の下端を反力フレームにボルトで固定する．この
時，反力フレームの中心と供試体に取り付けられた載荷ピンとを一致させる．
(2) 載荷板に水平 2 方向にアクリル板を接着し，載荷方向には上下に，載荷方向と直交方向に
は左右に，それぞれ変位計を 2 台ずつ設置する．
(3) 載荷板に自在継手を介した水平力用ジャッキを取り付ける．ここで，各センサをデータロ
ガー (TDS-303) に接続する．
(4) 出力されたデータをパソコンでモニターしながら変位制御で水平力を載荷し，繰返し水
平力，Y 方向，Z 方向の柱頭変位，各点の垂直ひずみをステップ毎に計測する．
3.3
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
油圧ジャッキ
ロードセル
1 2
変位計 ,
油圧ポンプ
供試体
3 4
変位計 ,
供試体
データロガー
パーソナルコンピューター
図 3.37: 測定システム線路図
57
3.3
3.3.5
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
58
解析モデル
解析モデルは図 3.38 に示すような一端固定，一端自由のモデルである．解析における部材軸
は部材のせん断中心を通り，Y，Z 軸を部材の板幅方向と平行にとる．
660 mm
X
Z
Y
図 3.38: 供試体モデル
供試体の要素分割
供試体の解析モデルを，各載荷方法について図 3.39 に示す．どちらの載荷方法も 6 要素 5 節
点とし，要素 (1) および (2) は山形鋼部材である．また，要素 (3) および (4) は鋼板と載荷ピンで
あるため変形の起こらない剛性の高い要素としてモデル化している．
節点の位置は試体下端の溶接ビード上縁 (節点 1)，山形鋼部材高さの 1/5 点 (節点 2)，山形鋼
の上端 (節点 3)，変位計測点 (節点 4)，および載荷点 (節点 5) としている．なお節点 1 から 3 ま
での長さは 660mm である．
ひずみ計測点 (下端から 30mm) のひずみ解析値については，
「要素内のひずみは線形分布であ
る」という仮定のもとに，要素 (1) の両端の値から比例配分的に算出している．
供試体の断面分割
本解法では部材断面に対し繊維分割を行い，塑性関節部の塑性変形増分の算定を行なう (2.2
参照)．山形鋼断面の繊維への分割を図 3.40 に示す．
なお，山形鋼断面の繊維数は 84 である．
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
3.3
X
X
59
X
(4)
5
5
4
3
4
3
(3)
(3)
733
674
5
4
3
(4)
要素番号
要素番号
節点番号
節点番号
(2)
(2)
Z
135
30
C
Z
2
2
(1)
(1)
C
Z
(単位：mm)
2
1
1
1
Y
(2) せん断中心載荷
(1) 供試体
Y
(3) 図心載荷
図 3.39: 供試体寸法と各載荷状況におけるモデル化の様子
図 3.40: 山形鋼断面の繊維への分割
3.3.6
解析結果と実験結果の比較
載荷条件
表 3.3 に各供試体における載荷状況を示す．すべての供試体について Z 方向載荷となってい
るが，供試体ごとに全体座標系に対する設置状況が異なるため，図 3.42，図 3.46 にその様子を
示す．
表 3.3: 供試体の載荷条件
供試体名
載荷点
載荷方向
変位振幅 (mm)
B-1
せん断中心
Z 方向
22.05 ∼ - 21.99
B-2
図心
Z 方向
21.68 ∼ - 22.65
解析結果と実験結果
以下，図 3.41∼図 3.44 に供試体 B-1，図 3.45∼図 3.48 に供試体 B-2 の各種実験結果と解析結
果を示す．
3.3
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
60
図 3.41，3.45 の (a) 水平荷重∼載荷方向変位の関係を見ると，本実験の繰返し水平力載荷に
よるループはほぼ原点対称であり，柱頭部の押し引きによる挙動に対称性が見られる．解析結
果は供試体 B-1，B-2 とも，載荷初期は若干荷重を大きく評価し，除荷変位に達する頃になる
と若干荷重を小さく評価する傾向が見られるものの，荷重が大きい時点で安全側の解析結果と
なっており，全体的には実験の挙動を十分に捉えた解析ができているといえる．
図 3.41，3.45 の (b) 柱頭変位履歴を見ると，供試体 B-1，B-2 とも，一軸方向への水平力載荷
であるにも関わらず構面外方向への変位が発生していることが確認された．また，同形の供試
体に対しほぼ同じ変位振幅で載荷を行なったが，図心載荷の供試体 B-2 では，せん断中心載荷
の B-1 よりも大きな構面外の柱頭変位が生じているように思われる．解析結果は図 3.41(b) せ
ん断中心載荷の B-1 では実験の柱頭変位は良好な精度で追跡することができているものの，図
3.45(b) 図心載荷の B-2 では，解析結果が実験よりも載荷直交方向変位 v を 10 ％∼20 ％ほど大
きく評価する傾向を示した．
図 3.43，および図 3.47 の水平荷重∼回転角関係を比較すると，せん断中心に載荷した B-1 に
比べて，図心に載荷した B-2 ではその実験値において最大で 10 倍程度のねじれが発生してお
り，このことと先に述べた供試体間の柱頭変位履歴の大小から，水平力載荷による弾塑性曲げ
挙動では，載荷点の位置がねじれの発生に大きな影響を持ち，山形鋼部材においては図心に載
荷した場合に大きなねじれとそれに伴う構面外の水平変位を生じることがわかる．また，図??
を見ると，供試体 B-2 では実験結果がループを描いており，除荷の際に回転角の変化が無いこ
とがわかる．また，せん断中心載荷の供試体 B-1 では良好な解析結果となっている．しかし，図
心載荷の B-2 では，実験結果はある最大荷重付近で柱頭が回転せずに荷重だけが増える挙動を
示し，また，解析ではこの現象を追跡できていない．この差異は恐らく，載荷ピンと自在継手
の間の潤滑が十分でなかった，二方向ピンとして設計した自在継手が実験では曲げねじれの連
成によりうまく機能しなかったなどの可能性によるものと考えられる．
1 と
5 ，
2 と
3 ，そして
図 3.44，3.48 の水平荷重∼ひずみ関係では，ゲージ貼付位置が近い
4 と
6 でそれぞれ類似の性状を示している．荷重∼ひずみ関係については，定量的には幾分か
の差があるものの，履歴曲線を見る限りその性状については十分追跡できており，定性的には
よく一致しているといえる．ひずみ値がシフトしている原因としては，実際は降伏直後におい
て完全塑性体に近い繊維の応力ひずみ関係を，本要素モデルではひずみ硬化係数 H=E/100 の
バイリニアに仮定していることによる影響と考えられる．
柱頭変位履歴や回転角に解析結果と実験結果の差が生じた理由としては，載荷ピンと自在継
手の間の潤滑が十分でなかった可能性や，さらに解析で載荷点となる自在継手と載荷ピンのピ
ン接合部の回転が厳密にモデル化できていなかったために，解析と実験の間に乖離が生じてい
たことなどが考えられる．
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
3.3
15
10
Hz (kN)
5
0
-5
- 10
- 15
- 30
- 20
- 10
0
w (mm)
10
20
30
10
20
30
(a) Hz - w 曲線
30
20
w (mm)
10
0
- 10
- 20
- 30
- 30
- 20
- 10
0
v (mm)
(b) w - v 曲線
実験値
解析値
図 3.41: 供試体 B-1 の水平荷重∼柱頭変位関係と柱頭変位履歴
61
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
B
3.3
Hz
z
S
D
y
図 3.42: 供試体 B-1 の設置状況及び載荷状況
12
9
6
Hz (kN)
3
0
-3
-6
-9
- 12
- 0.04
実験値
解析値
- 0.02
0
0.02
0.04
θx (rad)
図 3.43: 供試体 B-1 の水平荷重 (Hz ) ∼ 回転角 (θx ) 関係
62
3.3
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
1
ゲージ
10
10
0
-5
- 10
- 0.01
2
ゲージ
5
Hz (kN)
Hz (kN)
5
0
-5
0
0.01
- 10
- 0.01
0.02
0
εx
10
0
-5
4
ゲージ
0
-5
0
0.01
- 10
- 0.01
0.02
0
εx
0.01
0.02
εx
5
ゲージ
10
10
6
ゲージ
5
Hz (kN)
5
Hz (kN)
0.02
5
Hz (kN)
Hz (kN)
5
0
-5
- 10
- 0.01
0.01
εx
3
ゲージ
10
- 10
- 0.01
63
0
-5
0
0.01
0.02
- 10
- 0.01
0
εx
0.01
εx
experim
analysis
図 3.44: 供試体 B-1 の水平荷重 (Hz ) ∼ ひずみ (εx ) 関係
0.02
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
3.3
15
10
Hz (kN)
5
0
-5
- 10
- 15
- 30
- 20
- 10
0
w (mm)
10
20
30
10
20
30
(a) Hz - w 曲線
30
20
w (mm)
10
0
- 10
- 20
- 30
- 30
- 20
- 10
0
v (mm)
(b) w - v 曲線
実験値
解析値
図 3.45: 供試体 B-2 の水平荷重∼柱頭変位関係と柱頭変位履歴
64
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
D
3.3
O
Hz
z
B
y
図 3.46: 供試体 B-2 の設置状況及び載荷状況
20
15
10
Hz (kN)
5
0
-5
- 10
- 15
- 20
- 0.09
実験値
解析値
- 0.06
- 0.03
0
0.03
0.06
0.09
θx (rad)
図 3.47: 供試体 B-2 の水平荷重 (Hy ) ∼ 回転角 (θx ) 関係
65
3.3
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 1 水平力
1
ゲージ
20
Hz (kN)
Hz (kN)
10
0
- 10
0
εx
0.01
- 20
- 0.02 - 0.01
0.02
3
ゲージ
20
0
εx
0.01
0.02
0.01
0.02
0.01
0.02
4
ゲージ
20
10
Hz (kN)
10
Hz (kN)
0
- 10
- 20
- 0.02 - 0.01
0
- 10
0
- 10
- 20
- 0.02 - 0.01
0
εx
0.01
- 20
- 0.02 - 0.01
0.02
5
ゲージ
20
0
εx
6
ゲージ
20
10
Hz (kN)
10
Hz (kN)
2
ゲージ
20
10
66
0
- 10
0
- 10
- 20
- 0.02 - 0.01
0
εx
0.01
実験値
0.02
- 20
- 0.02 - 0.01
0
εx
解析値
図 3.48: 供試体 B-2 の水平荷重 (Hy ) ∼ ひずみ (εx ) 関係
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
3.4
3.4
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
3.4.1
研究計画
67
本節では，典型的な非対称断面部材である不等辺山形断面鋼柱に対し偏心軸力載荷実験を行
ない，その弾塑性座屈性状を把握するとともに本解法による解析結果と比較して精度の検証を
行う．この偏心軸力載荷実験については，実験装置の物理的制約および厳しい載荷条件での精
度の検証のため，下端固定上端ピン支持の柱とした．
本節での載荷条件は，不等辺アングル柱頭部の図心より水平方向の y 軸方向に 8mm，z 軸方
向に-8mm 偏心した点を載荷点とする場合 (供試体 A-1)(図 3.50 参照) と，不等辺アングル柱頭
部のせん断中心に載荷した場合 (供試体 A-2) の計 2 種類とする．
3.4.2
供試体
供試体
供試体は SS400 の不等辺アングルを使用するものとして，その形状を図 3.49 に示す．供試体
の下端には円形の厚板 A を溶接し，実験装置にボルトで接続して固定端とする．供試体上端に
は円形の厚板 B を溶接し，2 方向自在継手 (島津製スイベルヘッド) にボルトで接続してピン支
点とし偏心軸力を載荷する．供試体 A-1 ではアングル図心から水平 Y 軸方向に 8mm，Z 軸方
向に-8mm 偏心した点 A 上に，A-2 ではせん断中心上に載荷できるようにそれぞれ設計されて
いる．供試体の載荷点については，本研究の実施に際し，本研究室の所有する実験装置で載荷
可能な荷重の範囲で弾塑性座屈を生じうる載荷点として決定した．
275
D
32
D
B
φ 275
φ 275
A-1
A-2
φ 300
φ 300
A-1
A-2
32
1210
B
300
(単位 : mm)
図 3.49: 供試体
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
3.4
68
z
ẑ(主軸)
D
y
Z
t
α
Y
ŷ(主軸)
B
図 3.50: 供試体の断面
供試体の断面寸法と機械的性質
供試体の断面寸法を図 3.50 に，断面定数，および機械的性質を表 3.4 に示す．ただし，
B, D
A
Iyz
Iŷ , Iẑ
: 図 3.50 に示す板幅 (mm)
t
: 断面積 (mm2 )
Iy , Iz
: 相乗モーメント (×104 mm4 )
α
: 主二次モーメント (×104 mm4 )
σy
: 板厚 (mm)
: 断面二次モーメント (×104 mm4 )
: 主軸位置
: 降伏応力 (N/mm2 )
である．機械的性質はミルシートに記載されたものを使用し，ヤング率は E = 2.058×105 N/mm2
と仮定した．また，断面寸法はミルシートに記載された値ではなく供試体の実測値である．
表 3.4: 供試体の断面寸法と機械的性質
供試体
B
D
t
A
Iy
Iz
Iyz
Iŷ
Iẑ
α
σy
A-1
90.2
75.3
8.8
1381
69.8
110.1
-51.6
145.4
124.4
-34.5
309
A-2
90.2
75.5
9.0
1404
71.6
111.8
-52.7
148.1
124.4
-35.3
309
ひずみゲージ
供試体には固定端近傍のひずみを調べるためにひずみゲージを貼付する．その貼付状況を図
3.51 に示す．供試体 A-1，A-2 ともひずみゲージは固定端より 30mm の位置のせん断中心を通
る軸上に単軸ゲージを各 1 枚，部材の端部より 10mm の位置の表側に各 1 枚貼付している．
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
3.4
69
10
X
4
3
30
s
Z
o
a
Z
1
2
10
Y
(単位:mm)
図 3.51: ひずみゲージの貼付状況
3.4.3
実験装置
装置の全景
図 3.52 に実験装置の全景を示す．既存の 300kN 疲労試験フレームを利用して，供試体の上部
を 2 方向自在継手スイベルヘッド (島津製) に，下端をフレームに固定し上端ピン下端固定の状
態にする．供試体の上部に取付けたスイベルヘッドを介し油圧ジャッキで偏心軸力を載荷する．
供試体下部の厚板上端から 363mm の位置にある節点 4 に変位計を 4 台設置する．各装置の詳
細は以下に示す通りである．
a. 供試体
不等辺アングル SS400．
b. 2 方向自在継手スイベルヘッド (島津製)
ジャッキからの荷重を供試体に伝達し，2 方向自由のピン支点となる．
c. 300kN 軸力用油圧ジャッキ
鉛直荷重を負荷する．
d. 変位計 (容量 100mm)
変位計測点の y 方向および z 方向水平変位を測定する．
e. 反力フレーム
反力を負担する．
3.4
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
70
X
e. 反力フレーム
c. 油圧ジャッキ
b. スイベルヘッド
a. 供試体
d. 変位計
Z
図 3.52: 実験装置全景
変位計
図 3.53 および 3.54 に供試体における変位計の設置状況を示す．供試体の座屈変曲点近傍 (供
試体下部厚板より 363mm の位置) の水平変位とねじれを計測するために，y 軸と直交する面には
1 と
2 を水平方向に，z 軸と直交する面には変位計
3 と
4 を鉛直方向にそれぞれフレー
変位計
2 が y 軸を，変
ムに固定する．なお供試体 A-1，A-2 のいずれの場合も図 3.53 のように変位計
3 および
4 が z 軸を通るように固定する．
位計
アクリル板
o
Z
16.0
3 ，
4
23.5
2
1
変位計
50.0
(単位 : mm)
Y
図 3.53: 変位計の設置状況 (水平方向)
3.4
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
71
X
アクリル板
3
4
60.0
変位計
(単位 : mm)
図 3.54: 変位計の設置状況 (鉛直方向)
変位の補正
柱頭にねじれが生じた場合，本実験装置では水平方向変位において変位計による計測値と実
際の変位とに誤差が生じてしまう．そこで次式を用いてねじれによる誤差を除き，その値をせ
ん断中心の水平変位とする．また，図
3.55 に補正詳細図を示す．
δ
+
δ4
3
2
2
+ (ry − δ2 ) tan θ + rz tan θ
v = cos θ
2
v
ry
rd
θ
δ1
δ3
3.4.4
: Y 方向変位
w = δ2 − rz tan θ + w tan θ
w : Z 方向変位
3 ，
4 との間の距離
: Z 軸と変位計
1 と変位計
2 との距離
: 変位計
rz
2 との間の距離
: Y 軸と変位計
: 回転角
1 の計測値
: 変位計
3 の計測値
: 変位計
δ2
δ4
2 の計測値
: 変位計
4 の計測値
: 変位計
実験方法
実験手順
供試体の載荷および測定システム線路の概要を図 3.56 に示す．実験は次の手順で行う．
(1) ひずみ計測点にひずみゲージを貼付した供試体の上端を島津製スイベルヘッドに，下端
を反力フレームにボルトで固定する．この時，反力フレームの中心と供試体の載荷軸と
を一致させる．
(2) 変位計測位置の水平 2 方向にアクリル板を接着し， Y 軸と直交する面には左右に， Z 軸
と直交する面には上下に，それぞれ変位計を 2 台ずつ設置する．また，油圧ポンプには油
圧計を取り付ける．
3.4
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
72
z̄s
3 ，
4
w
z̄s
ry
s
zs
rd
rz
v
(v >0 として扱う)
2
1
ȳs
ȳs
ys
図 3.55: 変位の補正
(3) 各センサをデータロガー (TDS-303) に接続する．
(4) センサより出力されたデータと油圧計の値をモニタリングしながら変位制御で偏心軸力
を載荷し，変位計測位置の Y 方向，Z 方向の変位，ひずみ計測点の垂直ひずみをステッ
プ毎に計測する．
油圧計の指示値
本実験装置の制約上，軸力の計測にロードセルを用いることができなかったため，油圧ポン
プに取り付けられた油圧計の指示値を目視で確認しながら載荷を行った．この指示値に関して
は，弾性域における軸ひずみからの換算軸力を用いて比較を行ない指示値が軸力を示している
ことを確認している．その荷重比関係を図 3.57 に示す．
3.4.5
解析モデル
解析モデルは図 3.58(2) に示すような一端固定，一端自由のモデルである．解析における部材
軸は部材の図心を通り，Y，Z 軸を部材の板幅方向と平行にとる．
また，図中の v ，w は Y 方向および Z 方向水平変位である．
供試体の要素分割
供試体の解析モデルにおける要素分割を，各載荷方法について図 3.58(3) および (4) に示す．
本解法では部材を 4 要素に分割するのが標準であり，その場合でも十分な精度の解が得られる
3.4
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
油圧ジャッキ
3 4
変位計 ,
供試体
油圧ポンプ
油圧計
供試体
1 2
変位計 ,
データロガー
パーソナルコンピューター
図 3.56: 測定システム線路図
73
3.4
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
74
300
200
100
0
0
100
200
300
experiment
1:1
図 3.57: 圧力計∼ロードセル関係
が，偏心載荷における弾塑性挙動という複雑な挙動に対しての精度を検証するために柱を 10 要
素に分割したモデルでも解析を行い比較検討を行なった．
比較のため変位を計測する点を統一する必要があったため，柱を 10 等分し，上部厚板とスイ
ベルヘッドを剛体とみなし 1 要素を追加した「柱 10 要素近似モデル (図 3.58(3))」と，標準の柱
4 要素に変位の計測点を追加した柱 5 要素に，剛体 1 要素を追加した「柱 5 要素近似モデル (図
3.58(4))」として解析を行なった．
本実験での水平変位 v ，w の計測点は供試体下端から 363mm の位置で，10 要素近似モデル
では節点 4，5 要素近似モデルでは節点 3 にあたる．また，ひずみ計測点 (下端から 30mm) の解
析値については，
「要素内のひずみは線形分布である」という仮定から，両モデルとも計測点を
含む要素 1 の両端の値から算出した．
供試体の断面分割
本解法では部材断面に対し繊維分割を行い，塑性関節部の塑性変形増分の算定を行なう (2.2
参照)．アングル断面の繊維への分割を図 3.59 に示す．
なお，アングル断面の繊維数は 84 である．
3.4.6
実験結果と解析結果の比較
載荷条件
表 3.5 に各供試体における図心に対する載荷点の Y 方向，Z 方向水平偏心量 eY ，eZ を示す．
ただし単位は mm である．なお，供試体 A-2 は載荷点がせん断中心載荷となるように偏心させ
ている．
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
3.4
X
P X
170
1210
30
363
w
v
Z
Y
Z
Y
(1) 実験
X
X
12
(単位:mm)
(2) 解析モデル
75
7
(11)
(6)
6 (5)
11 (10)
10
5
(9)
9
(8)
(4)
8
(7)
要素番号
節点番号 7 (6) 要素番号節点番号
6
4
(5)
(3)
5
(4)
4
3
(3)
(2)
3
(2)
2
2 (1)
(1)
1
Z
Z
1
Y
Y
(3)10 要素近似
(4)5 要素近似
図 3.58: 解析モデルと要素分割
図 3.59: アングル断面の繊維への分割
表 3.5: 供試体の載荷条件
供試体
偏心量 eY
偏心量 eZ
A-1
8.0
-8.0
A-2
16.0
-23.5
実験結果と解析結果の比較
以下，図 3.60∼図 3.62 に供試体 A-1，図 3.63∼図 3.65 に供試体 A-2 の各種実験結果と解析結
果を示す．図中の実線が実験結果，点線と破線が本解析法による 12 分割モデル，7 分割モデル
(図 3.58(b) および (c)) での結果である．前述の通り，変位の計測点は供試体下端から 363mm の
位置で 12 分割モデルでは節点 5，7 分割モデルでは節点 4 にあたり，ひずみの計測点は供試体
下端から 30mm の位置で 12 分割，7 分割ともに要素 (1) の中に収まっている．
3.4
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
76
図 3.60，図 3.63 の荷重∼ｙ軸方向変位関係，および図 3.61，図 3.64 の荷重∼z 軸方向変位関
係をそれぞれ比較すると，より図心に近い点に載荷した供試体 A-1 のほうが，A-2 よりも大き
な荷重を負担しており，同程度の軸力に対するたわみ幅は小さかった．これは，偏心軸力載荷
の柱においては偏心量が大きいほど生じる曲げモーメントも増し，結果軸力が比較的小さいう
ちに降伏してしまうということを示している．
本解法は弾性域における荷重∼変位関係は，y 軸方向変位に関してはほぼ一致しており，z 軸
方向変位に関しては変位をやや大きめに評価しているものの，最大荷重は実験値とほぼ一致し
ていることから，全体的には本解法は実験の挙動をよく捉えていると言えよう．
図 3.62 と図 3.65 の荷重∼軸ひずみ関係に着目すると，弾性域，塑性域ともに本解法は実験の
1 の実験値が解析値と大きく異
挙動を追跡できている．図 3.65(a) に示した供試体 A-2 のゲージ
なるのは，実験中にゲージが剥離してしまったためである．しかしながら，このゲージに関し
ても弾性域に関してはほぼ一致している．このことから，ひずみに関しても本解法は実験挙動
をよく捉えていると言える．
また，本研究では前述の通り図 3.58(b) および (c) のような要素 12 分割，7 分割の 2 通りのモ
デルを考え解析を行った．結果，解析モデルの要素分割数が異なっても解析値はほとんど同じ
値を示しており，このことから柱について 5 要素程度の分割でも十分な精度の解が得られるこ
とが明らかになった．
3.4
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
P(kN)
300
250
200
150
100
Analysis ( 7 el.)
Analysis (12 el.)
Experiment
50
0
-6
-5
-4
-3
V(mm)
-2
-1
0
図 3.60: 供試体 A-1 の荷重∼Y 軸方向変位関係
P(kN)
300
250
200
150
100
Analysis ( 7 el.)
Analysis (12 el.)
Experiment
50
0
2
4
6
8
w(mm)
図 3.61: 供試体 A-1 の荷重∼Z 軸方向変位関係
10
77
3.4
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
P(kN)
300
P(kN)
300
250
250
200
200
150
150
100
100
Analysis ( 7 el.)
Analysis (12 el.)
Experiment
50
0
-6000
-5000
-4000
Analysis ( 7 el.)
Analysis (12 el.)
Experiment
50
-3000
−6
ε(×10 )
-2000
-1000
0
0
-1000
78
0
1000
2000
ε(×10−6)
3000
4000
5000
1 (b) ゲージ
2
(a) ゲージ
P(kN)
300
P(kN)
300
250
250
200
200
150
150
100
100
Analysis ( 7 el.)
Analysis (12 el.)
Experiment
50
0
-1000
0
1000
2000
ε(×10−6)
3000
4000
5000
50
0
-6000 -5000
Analysis ( 7 el.)
Analysis (12 el.)
Experiment
-4000
-3000
ε(×10−6)
-2000
3 (d) ゲージ
4
(c) ゲージ
図 3.62: 供試体 A-1 の荷重∼軸ひずみ (εx ) 関係
-1000
0
3.4
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
P(kN)
300
250
200
150
100
Analysis ( 7 el.)
Analysis (12 el.)
Experiment
50
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
v(mm)
図 3.63: 供試体 A-2 の荷重∼Y 軸方向変位関係
P(kN)
300
250
200
150
100
Analysis ( 7 el.)
Analysis (12 el.)
Experiment
50
0
2
4
6
8
w(mm)
図 3.64: 供試体 A-2 の荷重∼Z 軸方向変位関係
10
79
3.4
二軸非対称断面 (山形鋼) への拡張と精度の検証その 2 偏心軸力
P(kN)
300
P(kN)
300
250
250
200
200
150
150
100
100
Analysis ( 7 el.)
Analysis (12 el.)
Experiment
50
0
-6000
-5000
-4000
-3000
ε(×10−6)
Analysis ( 7 el.)
Analysis (12 el.)
Experiment
50
-2000
-1000
0
0
80
1000
2000
3000
ε(×10−6)
4000
5000
6000
1 (b) ゲージ
2
(a) ゲージ
P(kN)
300
P(kN)
300
250
250
200
200
150
150
100
100
Analysis ( 7 el.)
Analysis (12 el.)
Experiment
50
0
1000
2000
3000
ε(×10−6)
4000
5000
50
0
6000 -6000 -5000
Analysis ( 7 el.)
Analysis (12 el.)
Experiment
-4000
-3000
ε(×10−6)
-2000
3 (d) ゲージ
4
(c) ゲージ
図 3.65: 供試体 A-2 の荷重∼軸ひずみ (εx ) 関係
-1000
0
3.5
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
3.5
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
3.5.1
研究計画
81
本節では，H 形鋼部材の柱に対し偏心座屈実験を行ない，その弾塑性性状を把握するととも
に本解法による解析結果と比較して精度の検証を行う．この偏心軸力載荷実験については下端
固定上端ピン支持の柱とした．
本節での載荷条件は，柱頭部の図心から断面の弱軸方向および強軸方向に 20mm ずつ偏心し
た点を載荷点とする場合 (供試体 H-1)，および弱軸方向にのみ 20mm 偏心した点を載荷点とす
る場合 (供試体 H-2) の計 3 種類とする．
3.5.2
供試体
供試体
供試体は SS400 の H 形鋼を使用するものとして，その形状を図 3.66 に示す．供試体の下端に
は円形の厚板 A を溶接し，実験装置にボルトで接続して固定端とする．供試体上端には円形の
厚板 B を溶接し，2 方向自在継手 (島津製スイベルヘッド) にボルトで接続してピン支点とし偏
心軸力を載荷する．
供試体 H-1 では H 型鋼図心から水平 Y 軸方向に 20mm，Z 軸方向に 20mm 偏心した点 A 上
に，そして供試体 H-2 では H 型鋼図心から水平 Z 軸方向に 20mm 偏心した点 C 上に載荷できる
ようにそれぞれ設計されている (図 3.67 参照)．
275
D
32
D
B
B
V
φ 275
φ 275
H-1
H-2
1210
V
U
32
W
φ 300
300
φ 300
H-2
H-1
W
(単位 : mm)
図 3.66: 供試体
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
3.5
82
供試体の断面寸法と機械的性質
供試体の断面寸法を図 3.67 に，断面定数，および機械的性質を表 3.6 に示す．ただし，
B, D
: 図 3.67 に示す板幅 (mm)
tf
: フランジ厚 (mm)
tw
: ウェブ厚 (mm)
A
: 断面積 (mm2 )
Iy , Iz
σy
: 断面二次モーメント (×104 mm4 )
: 降伏応力 (N/mm2 )
である．また，供試体の一部から切り出した試験片で引張試験を行った．今回の解析ではこの
引張試験により得られた縦弾性係数 E = 2.058×105 N/mm2 と降伏応力 σy = 364.1N/mm2 を用
いた．なお，断面寸法はミルシートに記載された値ではなく供試体の実測値である．
Z
tw
tf
D
Y
B
図 3.67: 供試体の断面
表 3.6: 供試体の断面寸法と機械的性質
供試体
B
D
tf
tw
A
Iy
Iz
σy
H-1
100.0
50.4
7.2
5.0
1153.8
183
15.4
364.1
H-2
100.1
50.6
7.3
5.0
1166.3
185
15.7
364.1
5
R1
6.5
12.5
R1
5
引張試験
実験に先立ち，H 形鋼供試体についてフランジの一部を切り出し引張試験を行った．試験片
は図 3.68 に示す寸法の 14B 号引張試験片 (JIS Z 2201) で，値はすべて実測値 (単位 mm) である．
また，引張試験により得られた荷重∼ひずみ関係を図 3.69 に示す．この引張試験より降伏応力
σy =364.1N/mm2 ，縦弾性係数 E = 2.058×105 N/mm2 が得られた．
55
75
200
(単位:mm)
図 3.68: 14B 号引張試験片 (JIS Z 2201)
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
3.5
83
400
引張応力 (N/mm2)
300
200
100
試験値
0
0
10000
20000
30000
40000
軸ひずみ ε (µ)
図 3.69: 引張試験の結果
ひずみゲージ
供試体には固定端近傍のひずみを調べるためにひずみゲージを貼付する．その貼付状況を図
3.70 に示す．すべての場合の供試体で，ひずみゲージは固定端より 30mm の高さのフランジ板
縁より 5mm の位置に 1 枚ずつ計 4 枚貼付している．
X
Z
5
㫁
㪾
o
Y
㪿
30
㫀
Y
(単位:mm)
図 3.70: ひずみゲージの貼付状況
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
3.5
3.5.3
84
実験装置
装置の全景
図 3.71 に実験装置の全景を示す．既存の 30 トン疲労試験フレームを利用して，供試体の上
部を 2 方向自在継手スイベルヘッド (島津製) に，下端をフレームに固定し上端ピン下端固定の
状態にする．供試体の上部に取付けたスイベルヘッドを介し油圧ジャッキで偏心軸力を載荷す
る．座屈変曲点となる供試体下部の厚板上端から 363mm の位置に変位計を 4 台設置する．各
装置の詳細は以下に示す通りである．
a. 供試体
H 形鋼 SS400．
b. 2 方向自在継手スイベルヘッド (島津製)
ジャッキからの荷重を供試体に伝達し，2 方向自由のピン支点となる．
c. 30t 軸力用油圧ジャッキ
鉛直荷重を負荷する．
d. 変位計 (容量 100mm)
変位計測点の y 方向および z 方向水平変位を測定する．
e. 反力フレーム
反力を負担する．
X
e. 反力フレーム
c. 油圧ジャッキ
b. スイベルヘッド
a. 供試体
d. 変位計
Y
図 3.71: 実験装置全景
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
3.5
85
変位計
図 3.72 および 3.73 に供試体における変位計の設置状況を示す．供試体の座屈変曲点近傍 (供
試体下部厚板上面より 363mm の位置) の水平変位とねじれを計測するために，Y 軸と直交する
1 と
2 を水平方向に，Z 軸と直交する面には変位計
3 と
4 を鉛直方向にそれぞれ
面には変位計
1 および
2 は y 軸か
フレームに固定する．なおいずれの供試体の場合も図 3.72 のように変位計
3 および
4 は z 軸上を通るように固定する．
ら等距離の位置に，変位計
Z
アクリル板
1
変位計
50
O
Y
2
変位計
3 ，
4
変位計
(単位 : mm)
図 3.72: 変位計の設置状況 (水平方向)
X
アクリル板
50
変位計 3
変位計 4
(単位:mm)
図 3.73: 変位計の設置状況 (鉛直方向)
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
3.5
86
変位の補正
柱にねじれが生じた場合，本実験装置では水平方向変位において変位計による計測値と実際
の変位とに誤差が生じてしまう．そこで次式を用いてねじれによる誤差を除き，その値を変位
計測点の水平変位とする．また，図 3.74 に詳細図を示す．
1
δ3 + δ4
δ3 + δ4
tan2 θ − 1
D
+
+ r tan θ
v=−
−
δ1 + (1 + cos θ − sin θ tan θ) +
2 tan θ
tan θ
tan θ
2
2 tan θ
1
tan2 θ − 1
D
+ δ1 + (1 + cos θ − sin θ tan θ) +
(δ3 + δ4 ) + r tan θ
w=−
tan θ
2
2 tan θ
θ=
δ2 − δ1
2r
ただし，
v : Y 方向変位
D : ウェブ幅
1 の計測値
δ1 : 変位計
3 の計測値
δ3 : 変位計
1 (
2 ) から Y 軸までの Z 方向距離
r : 変位計
w
θ
δ2
δ4
:
:
:
:
Z 方向変位
回転角
2 の計測値
変位計
4 の計測値
変位計
Z
v
δ1
1
ō
w
θ
r
Y
O
r
2
(δ3 + δ4 )/2
3
δ2
4
D
図 3.74: 変位の補正
3.5
3.5.4
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
87
実験方法
実験手順
供試体の載荷および測定システム線路の概要を図 3.75 に示す．実験は次の手順で行う．
(1) ひずみ計測点にひずみゲージを貼付した供試体の上端を島津製スイベルヘッドに，下端
を反力フレームにボルトで固定する．この時，反力フレームの中心と供試体の載荷軸と
を一致させる．
(2) 変位計測位置の水平 2 方向にアクリル板を接着し，Y 軸と直交する面には左右に，Z 軸
と直交する面には上下に，それぞれ変位計を 2 台ずつ設置する．また，油圧ポンプには圧
力計を取り付ける．
(3) 各センサをデータロガー (TDS-303) に接続する．
(4) センサより出力されたデータと油圧計をモニタリングしながら変位制御で偏心軸力を載
荷し，変位計測位置の Y 方向，Z 方向の変位，ひずみ計測点の垂直ひずみをステップ毎
に計測する．
油圧ジャッキ
1 2
変位計 ,
油圧ポンプ
供試体
油圧計
供試体
3 4
変位計 ,
データロガー
パーソナルコンピューター
図 3.75: 測定システム線路図
3.5
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
88
圧力計
油圧ポンプに取り付けた圧力計の指示値に関しては，別のロードセルを用いて試験を行ない，
概ね正しいことを確認している．その荷重比関係を図 3.76 に示す．
300
圧力計の指示値 (kN)
250
200
150
100
50
圧力計∼ロードセル
1:1 直線
0
50
100
150
200
250
300
ロードセルの指示値 (kN)
図 3.76: 圧力計∼ロードセル関係
3.5.5
解析モデル
供試体の要素分割
解析モデルは図 3.77(1) に示すような一端固定，一端自由のモデルである．解析における部材
軸は部材の図心を通り，Y，Z 軸を部材の板幅方向と平行にとる．また，図中の v ，w は Y 方向
および Z 方向水平変位である．
図 3.77(2) および (3) と要素分割図を示す。柱部材の分割については、本解法では原則として
部材長さの 1/10、1/2、9/10 の位置に節点を設け 1 部材を 4 要素に分割するのが標準であり、一
般的にはこれで十分な精度の解を得る事が可能である。本実験は偏心載荷による弾塑性座屈挙
動という複雑な現象であるため、柱を長さ方向に 10 等分して 10 要素とした「柱 10 要素近似モ
デル図 3.77(2)」でも解析した。標準である 4 要素モデルには水平変位の計測点を節点として追
加したため、
「柱 5 要素近似モデル図 3.77(3)」となっている。また、両モデルとも，柱頭の円
形鋼板とスイベルヘッドのピン部までを一体として剛体に置換して 1 要素とし追加している。
なお，ひずみ計測点 (30mm) のひずみ解析値については 3 章と同様に，要素 1 の両端の値か
ら比例配分的に算出している．
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
3.5
X
X
P
7
170
12
節点
w
v
363
1210
(11)
(10)
10
(9)
9
(8)
8
(7)
7
(6) 要素
6
(5)
5
(4)
4
(3)
3
Z
(2)
2
(1)
1
Y
11
(単位:mm)
Z
Y
(1) モデル化
89
6
5
(6)
(5)
(4)
節点
要素
4
(3)
3
(2)
2
1
Z
(1)
Y
(3) 5 要素近似
(2) 10 要素近似
図 3.77: 解析モデルと要素分割
供試体の断面分割
本解法では部材断面に対し繊維分割を行い，塑性関節部の塑性変形増分の算定を行なう (2.3
節参照)．H 形鋼断面の繊維への分割を図 3.78 に示す．なお H 形鋼断面の繊維数は 246 である．
図 3.78: H 形鋼断面の繊維への分割
載荷条件
表 3.7 に各供試体における図心に対する載荷点の Y 方向，Z 方向水平偏心量 eY ，eZ を示す．
ただし単位は mm である．なお，供試体 H-2 は弱軸載荷となるように偏心させている．
表 3.7: 供試体の載荷条件
供試体
偏心量 eY
偏心量 eZ
H-1
20.0
20.0
H-2
0
20.0
3.5
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
90
実験結果と解析結果の比較
解析での材料定数は、フランジ、ウェブともに前記の引張試験で得られた値を用い、繊維の
降伏後のひずみ硬化係数 H は H = E/100 と仮定した。このように、繊維の応力ひずみ関係を
バイリニア形としたのは、本解法を実規模骨組に使用する際の入力データを極力簡素にしたい
ためである。この簡素な応力ひずみモデルでどこまで実験結果を追跡できるかを確認すること
も本研究の目的の一つである。なお、初期不整や残留応力はここでは無視したが、本解法は部
材の残留応力を考慮した解析を行なうことも可能であり、その場合の解析については次節で述
べる。
図 3.79 と図 3.80 は供試体 H-1 の、図 3.81 と図 3.82 は供試体 H-2 の、それぞれ荷重∼水平変
位関係および荷重∼軸ひずみ関係の実験結果と解析結果の比較である。図中の実線は実験結果、
一点鎖線と点線がそれぞれ 5 要素モデルおよび 10 要素モデルによる本解法の解析結果である。
変位の計測点は供試体下端（溶接ビードの上端）から 363mm の位置で、10 分割では節点 4、5
分割では節点 3 にあたる (図 3.77)。また、10 分割、5 分割ともに節点 2 の X 座標値は 121mm、
ひずみの計測点の X 座標値は 30mm であるので、ひずみの解析値は要素 (1) の両端断面での値
を用いて線形補間法で求めた。
残留応力を考慮しない解析の場合，H-1 は Z 軸方向にのみ 20mm の偏心、H-2 は Y 軸 Z 軸方
向ともに 20mm の偏心のある供試体であるが、H-2 の Y 軸方向への偏心の影響が Z 軸に比べ相
対的に小さいためか、両者の挙動に大きな差は見られない。荷重∼水平変位関係を見ると、H-2
の Y 軸方向変位への偏心の影響は解析ではわずかに生じているが、実験では検出できていない。
H-1、H-2 とも Z 軸方向変位については P = 100kN 近くから差が大きくなり始めるものの、解
析値と実験値は比較的よく対応していると言える。P = 100kN を超える部分での差は，これら
の解析において部材に含まれている残留応力を考慮していないことに主に起因していると考え
られる．
次に、荷重∼軸ひずみ関係からは以下のことがわかる。(1) 偏心軸力によって固定端近傍には
曲げ変形が生じるが、H-1、H-2 とも載荷初期の弾性域では実験と解析のひずみの値がよく一致
しており、実験は当初の想定通りに行われたと判断できる。(2)H-1、H-2 ともに P = 100kN あ
たりからひずみの実験値が急激に増加して解析との差が大きくなっているが、これは前述の残
留応力の影響に加えて、実際の供試体では降伏後しばらくはほとんどひずみ硬化がないのに対
し、解析では応力ひずみ関係をバイリニアに仮定しているためであると思われる。(3)H-2 にお
いては、Y 軸方向への偏心の影響で圧縮側の片方のみが最初に降伏するため、圧縮側ひずみの
3 と
4 の実験値に差が見られる。
なお、図 3.79∼図 3.82 から明らかなように，5 要素と 10 要素のモデル間では要素分割数の影
響はほとんど見られず，部材中に変曲点のある弾塑性座屈を起こす部材であっても，5 要素程
度の近似で実用的には十分な精度が期待できると思われる。
3.5
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
91
P (kN)
200
Analysis(5 elements)
Analysis(10 elements)
Experiment
150
100
50
0
-10
-5
0
5
10
-5
0
v(mm)
P (kN)
200
Analysis(5 elements)
Analysis(10 elements)
Experiment
150
100
50
0
-20
-15
-10
w(mm)
図 3.79: 荷重∼水平方向変位関係 (H-1)
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
3.5
P (kN)
P (kN)
200
200
2
ゲージ 1
ゲージ 150
150
100
100
50
50
0
2000
92
4000
6000
ε(×10−6 )
8000
0
2000
4000
6000
ε(×10−6 )
8000
P (kN)
P (kN)
200
200
3
ゲージ 4
ゲージ 150
150
100
100
50
50
0
-8000
-6000
-4000
-2000
0
0 -8000
-6000
ε(×10−6 )
-4000
-2000
ε(×10−6 )
Analysis(5 elements)
Analysis(10 elements)
Experiment
図 3.80: 荷重∼軸ひずみ関係 (H-1)
0
3.5
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
93
P (kN)
200
Analysis(5 elements)
Analysis(10 elements)
Experiment
150
100
50
0
-10
-5
0
5
10
v(mm)
P (kN)
200
Analysis(5 elements)
Analysis(10 elements)
Experiment
150
100
50
0
-20
-15
-10
-5
w(mm)
図 3.81: 荷重∼水平方向変位関係 (H-2)
0
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
3.5
P (kN)
94
P (kN)
200
200
2
ゲージ 1
ゲージ 150
150
100
100
50
50
0
2000
4000
6000
ε(×10−6 )
8000
0
2000
4000
6000
ε(×10−6 )
8000
P (kN)
P (kN)
200
200
3
ゲージ 4
ゲージ 150
150
100
100
50
50
0
-8000
-6000
-4000
ε(×10−6 )
-2000
0
0
-8000
-6000
-4000
ε(×10−6 )
Analysis(5 elements)
Analysis(10 elements)
Experiment
図 3.82: 荷重∼軸ひずみ関係 (H-2)
-2000
0
3.5
3.5.6
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
95
残留応力を考慮した解析結果
本実験の供試体は H 形鋼であり、その内部に残留応力が存在していると考えるべきである
。本解法では要素の両端を繊維に分割するので、H 形鋼部材の製造時に生じる残留応力の影
響を考慮した解析を行なうことが可能である。本研究においては供試体の両端に鋼板を溶接し
ているため、標準的な残留応力分布ではなくなっている可能性もあるが、ここではそれを無視
し、文献 5 に示された分布であると仮定して解析してみる。文献 5 では H 形鋼部材のフランジ
端部に生じる引張残留応力 σrt および中央部に生じる圧縮残留応力 σrc を仮定し、これらが釣り
合うようにウェブの残留応力分布状態を算出している (図 3.83)。ここでは降伏応力 σy に対し、
σrt = 0.5σy 、σrc = 0.35σy とした場合 (RS1) と、σrt = 0.5σy 、σrc = 0.5σy とした場合 (RS2) の
2 パターンの解析を行ない、先の実験結果と比較した。
図 3.84 と図 3.85 は供試体 H-1 の、図 3.86 と図 3.87 は供試体 H-2 の、それぞれ荷重∼Z 軸方
向水平変位関係および荷重∼軸ひずみ関係の実験結果と解析結果の比較である。前節で述べた
ように本解法は要素分割数 5 程度で十分な解析精度を期待できるため、ここでは 5 要素モデル
のみで比較を行なった。図中の実線は実験結果、点線が残留応力を考慮しない場合の解析結果、
一点鎖線および二点鎖線がそれぞれ残留応力パターン RS1 および RS2 での解析結果である。な
お、変位計測点等の条件は前節で述べた 5 要素モデルのものと同じである。
46)
σrt
h/4
σrc
h h/2
h/4
図 3.83: H 形鋼部材の残留応力分布46)
標準的な H 形鋼の残留応力を考慮した場合の解析値は，図 3.84 および図 3.86 の荷重∼Z 軸方
向水平変位関係から、残留応力を考慮しない場合よりも実験値に近づくことがわかる。また軸
ひずみに関しても、圧縮側ひずみの急激な増加を追跡することはできていないが、残留ひずみ
を考慮した RS1 および RS2 の解析値は全体的により実験の挙動に近くなっている。
以上の結果より、H 形鋼部材の弾塑性座屈挙動の解析でも、素材の応力ひずみ関係を標準的
なバイリニア形に仮定することで実用的な解を得ることができるが、残留応力の影響は無視で
きないことが明らかになった。
3.5
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
96
P (kN)
200
150
Analysis (No Residual Stress)
Analysis (RS1)
Analysis (RS2)
Experiment
100
50
0
-20
-15
-10
w(mm)
-5
図 3.84: 荷重∼Z 軸方向水平変位関係 (H-1)
0
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
3.5
P (kN)
P (kN)
200
200
1
ゲージ 2
ゲージ 150
150
100
100
50
50
0
0
2000
4000
0
6000
−6
ε(×10 )
0
2000
4000
6000
ε(×10−6)
P (kN)
P (kN)
200
200
3
ゲージ 4
ゲージ 150
150
100
100
50
50
0
-8000
97
-6000
-4000
-2000
0
0
-8000
-6000
-4000
ε(×10−6)
−6
ε(×10 )
Analysis (No Residual Stress)
Analysis (RS1)
Analysis (RS2)
Experiment
図 3.85: 荷重∼軸ひずみ関係 (H-1)
-2000
0
3.5
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
98
P (kN)
200
150
Analysis (No Residual Stress)
Analysis (RS1)
Analysis (RS2)
Experiment
100
50
0
-20
-15
-10
-5
w(mm)
図 3.86: 荷重∼Z 軸方向水平変位関係 (H-2)
0
H 形鋼の弾塑性座屈挙動の解析精度の検証
3.5
P (kN)
P (kN)
200
200
1
ゲージ 2
ゲージ 150
150
100
100
50
50
0
0
2000
4000
0
6000
−6
ε(×10 )
0
2000
4000
6000
ε(×10−6)
P (kN)
P (kN)
200
200
3
ゲージ 4
ゲージ 150
150
100
100
50
50
0
-8000
99
-6000
-4000
-2000
0
0
-8000
-6000
-4000
ε(×10−6)
−6
ε(×10 )
Analysis (No Residual Stress)
Analysis (RS1)
Analysis (RS2)
Experiment
図 3.87: 荷重∼軸ひずみ関係 (H-2)
-2000
0
3.6
3.6
考
察
100
考察
一軸非対称断面 (溝形鋼) の柱の弾塑性座屈挙動解析については図 3.22∼図 3.29 に，二軸非対
称断面 (山形鋼) の片持ち柱の繰返し曲げ挙動解析については図 3.41∼図 3.48 に，二軸非対称断
面の柱の弾塑性座屈挙動解析については図 3.60∼図 3.65 に，それぞれ解析と実験の比較の結果
を示した．また，H 形鋼柱の弾塑性座屈挙動解析については，図 3.79∼3.82 に残留応力を無視
した結果を，図 3.84∼3.87 に一般的な残留応力を考慮した結果を示した．
以下，一軸ないし二軸非対称の断面部材および H 形鋼部材における，本モデルによる弾塑性
挙動解析と対応する実験結果の比較から得た全体的な考察を示す．なお，各供試体ごとの解析
結果と実験結果の比較および考察は，それぞれの項 (3.2.7，3.3.6，3.4.6 および 3.5.6) に示した．
3.6.1
非対称断面へ拡張した本モデルの弾塑性挙動解析の精度
本研究は，従来の解析手法では難しいと考えられる一軸および二軸非対称の断面を有する部
材 (溝形鋼，山形鋼) に対し，理論上は断面形状の影響に左右されず解析可能とされる本要素モ
デルを拡張し，その弾塑性挙動解析の精度を実験との比較により検証したものである．
その結果，本要素モデルを一般の構造計算に供することを考えた場合に重要であると考えら
れる最大荷重は，溝形鋼の弾塑性座屈挙動解析，山形鋼の繰返し曲げ挙動，そして弾塑性座屈
挙動のいずれの解析でも実験結果とよく一致しており，また変位や固定端近傍の軸ひずみにつ
いても一部の供試体で若干大きめに評価するものの比較的良好な解析結果となった．これらの
結果により，本要素モデルは非対称断面部材について問題なく取り扱えることが確認された．
なお，これらの解析の所要時間はいずれの供試体の場合も 15 秒から 20 秒程度である．
3.6.2
非対称断面部材の解析における残留応力の影響
薄肉開断面において考慮する必要があると考えられる残留応力の影響について，山形鋼では
特に考慮しなかったが，溝形鋼では 3.2.5 節に示した切断解放法による試験値で，H 形鋼では標
準的な分布状態46) で考慮した解析も行なった．その結果，H 形鋼では解析結果が荷重，変位と
も実験結果に近いものとなったのに対し，溝形鋼ではほとんど影響が無かった．対象とした溝
形鋼供試体が一体のみで残留応力試験の件数が少なかったこと，また，標準的な溝形鋼の残留
応力分布についての文献が発見できなかったことから，溝形鋼部材では今後残留応力に関する
情報を精査して検証する必要があるが，H 形鋼部材の解析に関しては残留応力の影響が無視で
きないことが確認された．
3.6.3
弾塑性座屈供試体の座屈関連パラメータの比較
比較のための指標
本研究では，溝形鋼，山形鋼，そして H 形鋼の 3 種類の開断面部材に関し，上端ピン下端固
定の柱に偏心軸力を載荷する弾塑性座屈実験を行なったが，これらの供試体は部材長さと端部
の支持条件，すなわち有効座屈長さが共通であり，主に断面形状と偏心量が異なる供試体群で
ある．このような供試体群の座屈について総合的に比較するための指標は，主に細長比や，断
面の核と載荷点の位置関係などであると考えられる．ここでは，本章で対象とした供試体群に
関し，断面および座屈に関連するパラメータを比較のための一覧として示す．
図 3.88 に各断面の図を示す．なお，図中の y，z は断面の図心を原点とする主軸の座標系で
ある．
考
3.6
察
101
表 3.8 に各供試体の二軸回りの断面主二次モーメント，断面積，断面二次半径，細長比，お
よび核点距離を示す．また，次項で定義する偏心率も併記する．(ここに記載されていない断面
寸法等については，図 3.49，図 3.66 および図 3.1 を参照)
ただし，
Iy , Iz
: 断面主二次モーメント (cm4 )
A
:
断面積 (mm2 )
iy , iz
:
強軸および弱軸回りの断面二次半径 (cm)
I
A
細長比 (弱軸について)
lk
lk : 有効座屈長 lk =0.7l (l=1210mm のピン-固定柱)
λ=
iz
図 3.88 に示す核点の図心からの距離 (mm)
Iy
Iy
Iz
Iz
k1 =
k2 =
k3 =
k4 =
Az2
Az1
Ay4
Ay3
z1 ,z2 ,y3 ,y4 : 図 3.88 に示す最縁端距離
i=
λ
:
k 1 ∼k 4
:
e
:
偏心率 (次項に定義)
㫁
y4
㫁
y3
y4
y3
tf
z(弱軸)
tw
tw
z1
k1
z1
y3
D
k1
k2
D
㫀
o
k4
α=34.5 °
z2
k2
z2
k2
y(強軸)
B
㫀
k3
o
k3
z1
tf
z2
k3
o
tw
k4
k4
k1
D
y4
B
B
図 3.88: 弾塑性座屈供試体の断面
表 3.8: 弾塑性座屈供試体に関する定数
供試体
Iy
Iz
A
iy
iz
λ
k1
k2
k3
k4
e
A-1
145.4
34.5
1381
32.45
15.81
53.57
32.23
20.99
5.46
4.33
1.51
A-2
148.1
35.3
1404
32.48
15.86
53.40
32.07
21.01
5.49
4.35
3.12
H-1
183
15.4
1153.8
39.8
11.55
73.33
31.72
31.72
5.30
5.30
3.83
H-2
185
15.7
1166.3
39.8
11.60
73.02
31.69
31.69
5.32
5.32
3.76
C-1
74.8
13.3
863
29.44
12.41
68.25
23.02
23.02
11.25
5.93
1.90
考
3.6
察
102
偏心率の定義
供試体間の偏心の割合を比較するために，各供試体について断面の核に対する載荷点の偏心
量の比を偏心率 e として定義し，表 3.8 に掲載した．本論文では偏心率 e を次のように定義す
る．
2
yp 2
zp
e=
+
ka
kb
ここに，
yp ，zp : 図 3.88 の座標系 yz における，載荷点の偏心量 (mm)
ka
: 図 3.88 に示す k3 ,k4 のうち，載荷点に近い側の値 (mm)
kb
: 図 3.88 に示す k1 ,k2 のうち，載荷点に近い側の値 (mm)
細長比および偏心率による供試体への影響
表 3.8 中の細長比および偏心率がそれぞれ最大荷重の低下に影響を及ぼすと考えられる．
表 3.9 に，各供試体の細長比 λ と偏心率 e，本研究での最大荷重 Pmax ，降伏軸力 Py ，および
Pmax の Py に対する比 Pmax /Py を示す．座屈のしやすさを示す細長比 λ を比較すると，今回の
供試体の中では H 形鋼が最も座屈を生じやすく，山形鋼が座屈を生じにくいことが確認できる．
また，H 形鋼供試体の H-1 と H-2 の間には強軸偏心 (弱軸偏心と同じ 20mm) の有無の違いがあ
るが，この違いによる偏心率の差は小さい．これは，この H 形鋼断面において弱軸偏心による
影響が強軸偏心の影響に比べ相対的に大きく，強軸偏心の影響はほとんど吸収されることを意
味すると思われる．
なお，今回の供試体群では全体的に，細長比に偏心率を乗じた値 (λ×e) が大きいほど，Pmax /Py
が小さくなる傾向が見られた．
表 3.9: 各供試体の細長比，偏心率および最大荷重
供試体
λ
e
λ×e
Pmax
Py
Pmax /Py
A-1
53.57
1.51
81.10
268.0
426.7
0.628
A-2
53.40
3.12
166.72
195.0
433.8
0.449
H-1
73.33
3.83
280.73
127.4
420.1
0.303
H-2
73.02
3.76
274.48
126.0
424.7
0.297
C-1
68.25
1.90
128.96
140.5
272.7
0.515
ここに，
Pmax : 各供試体の実験での最大荷重 (kN)
Py
: 各供試体の降伏応力と断面積から算出した降伏軸力 (kN)
3.6
3.6.4
考
察
103
解析における要素分割数の影響
検証対象
本要素モデルは通常の骨組軸部材について，1 部材 4 要素分割で十分な解析精度を得られ，こ
れを 1 部材の最小の要素分割数であるとしている．これに対し，本研究では山形鋼および H 形
鋼の柱部材の要素分割数を，最小要素数に変位計測点を加えた 5 要素近似に加え，柱を 10 等分
した 10 要素近似として解析を行なった．これは，上端ピン下端固定の柱の弾塑性座屈挙動が，
通常の両端ピンの場合の座屈に比べて挙動が複雑であり，本要素モデルで十分な精度が得られ
る要素分割数がまだ検証されていなかったためである．
結果，本要素モデルはこのような複雑な弾塑性座屈挙動であっても 1 部材 5 要素近似程度で
十分な精度の解析が可能であったが，要素分割数を 10 要素よりもさらに多くした場合の精度に
ついては検証していない．本節では，代表的な部材である H 形鋼を用いた偏心座屈実験の供試
体 H-1 を対象とし，要素分割数をさらに増やした場合の，解析に及ぼす影響を検証した．供試
体 H-1 を含む H 形鋼柱の弾塑性座屈実験の内容については，3.4 節にて詳細を示す．なお，供
試体 H-1 は弱軸 (z 軸) 方向の一軸偏心載荷である．
解析モデル化
本節で考える解析モデルの要素分割数については，図 3.89 に示す 5 要素近似 (b)，10 要素近
似 (c)，および柱部分を 20 要素に等分割した柱 20 要素近似モデル (d) の 3 種類とする．
X
Z
Y
(1) モデル化
(2) 10 要素近似
̖
(4)
要素
節点
̖
(3)
8
3
(2)
2
1
要素
節点
4
̖
v
363
w
(21)
21
20 (20)
Z
(1)
(3) 5 要素近似
Y
̖
170
節点
22
(6)
6
(5)
5
11
O
1210
(11)
(10)
10
(9)
9
(8)
8
(7)
7
(6) 要素
6
(5)
5
(4)
4
(3)
3
Z
(2)
2
(1)
1
Y
X
7
12
̖
X
P
3 (2)
2
1 (1)
Z
Y
(4) 20 要素近似
図 3.89: 本節の検証での要素分割
解析の結果
図 3.90 および図 3.91 に 3 種の要素分割による解析結果と，対応する実験結果を示す．供試体
H-1 は弱軸偏心であり変位は弱軸 (z 軸) 方向のみに生じるため，水平変位についてはその方向
のみ結果を示す．
図 3.90 は荷重∼z 軸方向水平変位関係，図 3.91 は荷重∼ひずみ計測点の軸ひずみ関係である．
なお，変位計測点およびゲージ貼付位置は本実験時と同様である．
これらの結果から，1 部材を 20 要素とした場合の解析結果は 10 要素分割時とほとんど差が
無かった．また，本要素モデルを実用に供するにあたり重要となる荷重の値については，要素
を多くすると僅かに安全側になることが示された．本要素モデルは，一端固定一端ピンの柱の
弾塑性座屈挙動について，1 部材 5 要素分割で十分な解析精度を得られることが確認された．
3.6
考
察
104
P(kN)
200
150
Analysis (5 el.)
Analysis (10 el.)
Analysis (20 el.)
Experiment
100
50
0
-20
-15
-10
-5
0
w(mm)
図 3.90: 要素分割数による影響の比較 (荷重∼偏心方向変位：供試体 H-1)
考
3.6
P(kN)
200
察
105
P(kN)
200
ࠥ࡯ࠫԘ
ࠥ࡯ࠫԙ
150
150
100
100
Analysis (5 el.)
Analysis (10 el.)
Analysis (20 el.)
Experiment
50
0
2000
4000
6000
Analysis (5 el.)
Analysis (10 el.)
Analysis (20 el.)
Experiment
50
8000
0
2000
4000
㫑
6000
8000
-2000
0
㫑
P(kN)
200
P(kN)
200
ࠥ࡯ࠫԚ
ࠥ࡯ࠫԛ
150
150
100
100
50
0
-8000
Analysis (5 el.)
Analysis (10 el.)
Analysis (20 el.)
Experiment
-6000
-4000
㫑
50
-2000
0
0
-8000
Analysis (5 el.)
Analysis (10 el.)
Analysis (20 el.)
Experiment
-6000
-4000
㫑
図 3.91: 要素分割数による影響の比較 (荷重∼固定端付近の軸ひずみ：供試体 H-1)
第4章
平面骨組構造解析に対する精度の検証
4.1
研究計画
本章では，本来は三次元骨組解析法である繊維化塑性関節モデルを現在の主流である平面骨
組解析に用いた場合に，その精度・性能がどのような立ち位置にあるのかを検証する．
精度の高い，あるいは広く用いられている既存の要素モデルを用いた著名な解析例を，本要
素モデルを用いて解析して精度や解析所要時間を比較することで，その解析性能を検証する．
4.2
比較対象とする既存の要素モデル
繊維化塑性関節モデルとの比較対象とする要素モデルは，以下の 4 つの手法とする．これら
は現在の構造解析分野において主流となっているもの，あるいは解析性能が高いとされている
ものである．以下にその特徴を簡単に示す．
4.2.1
fiber model
fiber model とは，部材を材軸方向に細分割するとともに断面も微小な繊維に分割し，これら
各繊維について状況を追跡し，各ステップ毎の数値積分により要素剛性を算出している解析手
法である．
これは，部材を微小要素の集合体として考えるので様々な形状に対応でき，基本的には微小
要素の分割を増やせば増やすほど精度が向上するため，正確に構造物の挙動を追跡できる解析
手法である．しかし，細分割された繊維について同時に多くの計算を行うために要素数の分割
数の増加により解析に必要な時間が飛躍的に長くなる，骨組不連続点がいわゆる特異点となり，
条件によっては解析ができない場合がある，効率のよい要素分割には相応の知識や経験が必要
といった，いくつかの弱点が存在する．
4.2.2
plastic hinge model
plastic hinge model とは，部材にいくつかの節点を設けて線材要素に分割し，節点断面におけ
る塑性域の漸増過程は無視しながら，応力が降伏曲面を超えた段階で要素の変形を塑性となっ
た節点断面に集中させる手法であり，あたかもこの断面に塑性の関節ができたように変形する
ため，その後の計算ではヒンジとして扱って挙動を追跡していく解法である．
節点断面の塑性域の漸増を無視することで計算処理を非常に簡略化できるため，解析時間に
ついては fiber model 等に比べ大幅に短くなる．しかし，実際の断面では塑性域が増加すると部
材剛性が低下するが，この解析手法では剛性の低下がないため，弾性域ではさほど影響がない
ものの，降伏時の剛性については過大評価する傾向がある．なお，この解法の仮定としてひず
み硬化は無視されている.
4.2.3
quasi-plastic-hinge model
quasi-plastic-hinge model28) は，梁，柱の interaction curve による降伏条件をもとに降伏後の剛
性を導く点については plastic hinge model と同様であるが，弾塑性曲率を長さ方向に連続積分
4.2
比較対象とする既存の要素モデル
107
することによって計算されたたわみ係数をもとに剛性を算出している点が異なる解法である．
fiber model と同様に，この解法の仮定としてせん断変形，ねじれの影響および部材の仮定に
おけるひずみ硬化は無視されている.
4.2.4
plastic-zone model
plastic-zone model24)27) は，fiber model の一種である．
部材全体を微小要素に細分割する点では，fiber model とほぼ同様であるが，要素に断面・部
材全長の降伏状況を調べ，それらの塑性化を把握するための Gauss Point を設ける事で，全体の
要素分割数を抑えるとともに，計算時間の短縮を実現し，計算精度については fiber model と同
程度に保っていることが特徴である．また，この解析手法では，各要素に残留応力やひずみ硬
化といった影響が含まれている．
4.3
解析例 (1) Ziemian frame
4.3
解析例 (1) Ziemian frame
4.3.1
解析モデル
108
Ziemian frame
Ziemian frame25) は代表的な平面骨組であり，梁・柱の塑性化の影響を考慮した 2 次の非線形
の解析プログラムの性能を評価しやすい骨組の 1 つでもある．この骨組は塑性化に伴い著しい
力が伝播されるという特徴をもっている．異なったサイズの部材を使用しているのは，解析プ
ログラムが実用に近い形でも有効であるかを見極めるためである．
Ziemian frame は図 4.1 に示すように２層２スパン骨組で，梁上層部に等分布荷重 q1 =3.5k/ft
(=0.05kN/mm)，下層部に等分布荷重 q2 =7.5k/ft(=0.11kN/mm) をそれぞれ漸増させながら作用さ
せている．各部材は表 4.1 に示すように AISC(American Institute of Steel Construction) 規格に基
づいた９種類の断面を使用している．ヤング係数 E ＝ 2.9 × 104 ksi（＝ 2.0 × 105 Mpa)，降伏応
力 Fy ＝ 36ksi(=248MPa) である．なお，残留応力は存在しない．
20 − 0”
15 − 0”
Gravity load 3.5 k/ft
W 27 × 102
W 21 × 44
W 8 × 13
W 14 × 120
W 14 × 109
Gravity load 7.5 k/ft
W 36 × 170
W 27 × 84
W 8 × 15
20 − 0”
W 14 × 120
W 14 × 132
48 − 0”
図 4.1: Ziemian frame25)
解析例 (1) Ziemian frame
4.3
109
表 4.1: 断面寸法
Y
tf
d
X
k1
k
X
T
W SHAPES Dimensions
tw
k
Y
bf
Web
Flange
Distance
T
k
k1
In.
In.
In.
In.
4.015
0.315
6 58
3
4
1
2
0.230
4.000
0.255
6 58
11
16
7
16
20.66
0.350
6.500
0.450
18 14
3
1 16
7
8
30.0
27.09
0.515
10.015
0.830
24
9
1 16
15
16
W 14 × 109
32.0
14.32
0.525
14.605
0.860
11 14
9
1 16
7
8
W 14 × 120
35.3
14.48
0.590
14.670
0.940
11 14
1 58
15
16
W 14 × 132
38.8
14.66
0.645
14.725
1.030
11 14
1 11
16
15
16
W 27 × 84
24.8
26.71
0.460
9.960
0.640
24
1 38
15
16
W 36 × 170
50.0
36.17
0.680
12.030
1.100
32 18
2
3
1 16
Desig-
Area
Depth
Thickness
Width
Thickness
nation
A
d
tw
bf
tf
In.2
In.
In.
In.
W 8 × 15
4.44
8.11
0.245
W 8 × 13
3.84
7.99
W 21 × 44
13.0
W 27 × 102
解析例 (1) Ziemian frame
4.3
4.3.2
110
比較対象の解析方法と要素分割数
本解析例での比較対象は，Attalla ら28) による fiber model，plastic hinge model，および quasiplastic-hinge model の 3 種類とする．
fiber model
骨組を 536 の要素，断面を 80 の繊維に分割している．
plastic hinge model
骨組を 28 の要素 (柱 4 要素，梁 1 要素) に分割している．
quasi-plastic-hinge model
骨組を 28 の要素 (柱 4 要素，梁 1 要素) に分割している．
本要素モデル
骨組を 40 の要素 (柱 4 要素，梁 4 要素)，断面を 246 の繊維に分割している．
4.3.3
解析結果の比較
図 4.2 に，本解析例の荷重係数∼右柱頭部の水平変位関係を示す．本解析例での比較では，弾
性域にはさほど解析の差が見られず，いずれの解析手法でも骨組弾性域の挙動の解析性能は同
等である．その後荷重の増加に伴い一旦変位が減少し，その後崩壊に向けて変位が増大するが，
概算的な plastic hinge model ではその時の変位を正しく評価できていない．また，最大荷重に
ついては幾分かの差はあるものの，いずれの解析手法でもほぼ同等の値となっている．しかし，
fiber model では途中で何らかの理由で解析が途切れており，場合によっては解析が十分にでき
ないことが確認された．また，本要素モデルは本解析例を，一般的な PC(CPU クロック数 2GHz
程度) で約 20 秒程度で解析可能であった．
1.2
Applied Load Ratio
1
0.8
0.6
0.4
fiber model 28)
plastic hinge model 28)
quasi-p-h model 28)
proposed model
0.2
0
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Lateral Displacement ∆T [mm]
図 4.2: 右柱頭部の荷重− X 方向変位関係
- 10
4.4
解析例 (2) El-Zanaty portal frame
4.4
解析例 (2) El-Zanaty portal frame
4.4.1
解析モデル
111
El-Zanaty portal frame
El-Zanaty portal frame26) は，解析例 (1) の Ziemian frame と同様に解析プログラムの性能を評
価しやすい標準的な骨組の 1 つである.
El-Zanaty portal frame は，図 4.3 に示すように初期不正のない 1 層 1 スパン骨組で，柱頭部
に一定軸力 P が作用した状態で，水平荷重 H を漸増させ挙動を追跡していく．軸力 P は柱の
降伏軸力を Py として P /P y ＝ 0.2，0.4，0.6 の 3 つの場合を採用している．部材は梁・柱とも
細長比 L/r=40 の表 4.2 に示す H 形鋼（W8 × 31) であり，ヤング係数 E ＝ 2.9 × 104 ksi（＝
2.0 × 105 Mpa)，降伏応力 Fy ＝ 36.575ksi(=250MPa) である．解析ではフランジに残留引張応力
Frt =0.210Fy ，ウェブに残留圧縮応力 Frc =0.333Fy を考慮している (図 3.83 参照)．
なお，本解析例では全部材について，面内に強軸方向を配した場合と弱軸方向を配した場合
の両方を考慮し，解析を行なっている．
P
P
∆
W 8 × 31
H
L/r = 40.0
W 8 × 31
Frc = 0.333Fy [ksi]
L
L
図 4.3: El-Zanaty portal frame26)
(Frc はフランジ先端)
4.4
解析例 (2) El-Zanaty portal frame
112
表 4.2: 断面寸法
Y
tf
d
X
k1
k
X
T
W SHAPES Dimensions
tw
k
Y
bf
Web
Distance
T
k
k1
In.
In.
In.
In.
0.435
6 18
15
16
9
16
Desing-
Area
Depth
Thickness
Width
Thickness
nation
A
d
tw
bf
tf
In.2
In.
In.
In.
9.13
8.00
0.285
7.995
W 8 × 31
4.4.2
Flange
比較対象の解析方法と要素分割数
本解析例での比較対象は，Attalla ら28) による fiber model，plastic hinge model，および quasiplastic-hinge model の 3 種類とする．
fiber model
骨組は 50 の要素，断面は 200 の繊維に分割している．
plastic hinge model
骨組を 9 の要素 (柱 4 要素，梁 1 要素) に分割している．
quasi-plastic-hinge model
骨組を 9 の要素 (柱 4 要素，梁 1 要素) に分割している．
本要素モデル
骨組を 12 の要素 (柱 4 要素，梁 4 要素)，要素端断面を 246 の繊維に分割している．
4.4.3
解析結果の比較
図 4.4∼図 4.6 に面内に部材強軸を配置した場合の，図 4.7∼図 4.9 に面内に部材弱軸を配置し
た場合の，左柱頭部の水平荷重∼水平変位関係の解析結果をそれぞれ示す．なお，P を柱頭一
定軸力，Py を柱の降伏軸力としたとき，図 4.4 および図 4.7 は P /P y ＝ 0.2，図 4.5 および図 4.8
は P /P y ＝ 0.4，図 4.6 および図 4.9 は P /P y ＝ 0.6 とした場合の解析結果である．
本解析例では，plastic hinge model 以外の解析手法でほぼ同様の結果となった．plastic hinge
model については，柱頭の一定軸力が大きくなるのに伴い，断面降伏の判定における他解析手
4.4
解析例 (2) El-Zanaty portal frame
113
法との乖離による差が大きくなっている．なお，本解析モデルは quasi-plastic-hinge model の結
果に近い解析結果を示した．また，本要素モデルは本解析例を，一般的な PC(CPU クロック数
2GHz 程度) で約 10∼15 秒程度で解析可能であった．
4.4
解析例 (2) El-Zanaty portal frame
114
Normalized lateral load (HL/2Mp)
0.8
0.6
0.4
fiber model 28)
plastic hinge model 28)
quasi-p-h model 28)
proposed model
0.2
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Lateral deflection ∆/L
図 4.4: 荷重−変位関係 (強軸方向:P/Py = 0.2)
Normalized lateral load (HL/2Mp)
0.5
0.4
0.3
0.2
fiber model 28)
plastic hinge model 28)
quasi-p-h model 28)
proposed model
0.1
0
0
0.01
0.02
0.03
Lateral deflection ∆/L
図 4.5: 荷重−変位関係 (強軸方向:P/Py = 0.4)
0.04
4.4
解析例 (2) El-Zanaty portal frame
115
Normalized lateral load (HL/2Mp)
0.25
fiber model 28)
plastic hinge model 28)
quasi-p-h model 28)
proposed model
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Lateral deflection ∆/L
図 4.6: 荷重−変位関係 (強軸方向:P/Py = 0.6)
Normalized lateral load (HL/2Mp)
0.8
0.6
0.4
fiber model 28)
plastic hinge model 28)
quasi-p-h model 28)
proposed model
0.2
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Lateral deflection ∆/L
図 4.7: 荷重−変位関係 (弱軸方向:P/Py = 0.2)
0.05
4.4
解析例 (2) El-Zanaty portal frame
116
Normalized lateral load (HL/2Mp)
0.6
0.4
0.2
fiber model 28)
plastic hinge model 28)
quasi-p-h model 28)
proposed model
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Lateral deflection ∆/L
図 4.8: 荷重−変位関係 (弱軸方向:P/Py = 0.4)
Normalized lateral load (HL/2Mp)
0.3
0.2
0.1
fiber model 28)
plastic hinge model 28)
quasi-p-h model 28)
proposed model
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Lateral deflection ∆/L
図 4.9: 荷重−変位関係 (弱軸方向:P/Py = 0.6)
0.025
解析例 (3) Vogel’s portal frame
4.5
4.5
解析例 (3) Vogel’s portal frame
4.5.1
解析モデル
117
Vogel’s portal frame
Vogel’s portal frame24) は，図 4.10 に示すように 1 層 1 スパン骨組で，柱頭部に軸力 P と水平荷
重 H を同時に漸増させ挙動を追跡していく．部材は表 4.3 に示す H 形鋼（HEA340，HEB300)
であり，ヤング係数 E ＝ 205 ｋ N/mm2，降伏応力 σy ＝ 235 ｋ N/mm2 である．解析では残留
応力 (Frt =Frc = 0.5Fy N/mm2) を考慮している (図 3.83)．また，柱の初期不整として L/400 のた
わみ角を与えている．
P = 2800kN
P
HEA340
H = 35kN
HEB300
HEB300
E = 205kN/mm2
Fy = 235N/mm2
5.00m
φ0
4.00m
図 4.10: Vogel’s portal frame24)
解析例 (3) Vogel’s portal frame
4.5
118
表 4.3: 断面寸法
bf
Ss
tf
45◦
r
h
d
X
hi
tw
Y
Designation
Dimensions
Dimensions for
Section
detaling
properties
G
h
b
tw
tf
r
A
hi
d
Ss
Ix
Iy
kg/m
mm
mm
mm
mm
mm
cm 2
mm
mm
mm
cm4
cm4
HEB300
117
300
300
11
19
27
149.1
262
208
80.63
25170
6310
HEA340
105
330
300
9.5
16.5
27
133.5
297
243
74013
27690
7436
解析例 (3) Vogel’s portal frame
4.5
4.5.2
119
比較対象の解析方法と要素分割数
本解析例での比較対象は， Teh ら27) による plastic-zone model とする．
plastic-zone model
骨組は 9 の要素に分割しているが，断面分割数は不明である．
本要素モデル
骨組を 12 の要素 (柱 4 要素，梁 4 要素)，断面を 246 の繊維に分割している．
4.5.3
解析結果の比較
図 4.11 に骨組右柱頭部の荷重係数∼水平変位関係の解析結果を示す．
本要素モデルの結果は，精度が高いとされている plastic-zone model とほぼ同等であり，十分な
解析精度を有していることが確認できた．また，本要素モデルは本解析例を，一般的な PC(CPU
クロック数 2GHz 程度) で約 20 秒程度で解析可能であった．
1.2
1
Load factor
0.8
0.6
0.4
plastic-zone model 27)
proposed model
0.2
0
0
2
4
6
8
Horizontal drift of top right eave [cm]
図 4.11: 右柱頭部の荷重− X 方向変位関係
10
解析例 (4) Vogel’s 6-story frame
4.6
4.6
解析例 (4) Vogel’s 6-story frame
4.6.1
解析モデル
120
Vogel’s 6-story frame
Vogel’s 6-story frame24) は図 4.12 に示すように 6 層 2 スパンの骨組で，各梁に等分布荷重、左
柱と梁との接合部にそれぞれ水平荷重を漸増させながら作用させ挙動を追跡していく．また、
柱の初期変位として L/450 のたわみ角を与えており，部材は表 4.4 に示すように 10 種類の断面
を使用しており，ヤング係数 E=205kN/mm2，降伏応力 Fy =235N/mm2 である．残留応力 (H 形
鋼:Frc = Frt = 0.5Fy N/mm2 ，I 形鋼:Frc = Frt = 0.3Fy N/mm2) を含んでいる (図 3.83)．
q1
IP E400
6.0 m
φ = L/450
3.75 m
3.75 m
IP E360
I 形鋼 (IP E) : Frc = 0.3Fy N/mm2
3.75 m
q1
H 形鋼 (HE) : Frc = 0.5Fy N/mm2
L
3.75 m
IP E330
Fy = 235 N/mm2
3.75 m
HEB200
q1
HEB240
IP E300
E = 205 kN/mm2
3.75 m
q1
HEB240
HEB160
HEB160
HEB220
IP E300
HEB260
H1
IP E240
HEB260
H1
HEB220
H1
HEB220
H1
q1 = 49.1 kN/m
HEB220
H1 = 20.44 kN
HEB200
q2 = 31.7 kN/m
H2 = 10.23 kN
6.0 m
図 4.12: Vogel’s 6-story frame24)
解析例 (4) Vogel’s 6-story frame
4.6
121
表 4.4: 断面寸法
bf
Ss
tf
45◦
r
h
d
X
hi
tw
Y
Designation
Dimensions
Dimensions for
Section
detaling
properties
G
h
b
tw
tf
r
A
hi
d
Ss
Ix
Iy
kg/m
mm
mm
mm
mm
mm
cm 2
mm
mm
mm
cm4
cm4
IP E240
30.7
240
120
6.2
9.8
15
39.12
220.4
190.4
43.37
3892
283.6
IP E300
42.2
300
150
7.1
10.7
15
53.81
278.6
248.6
46.07
8356
603.8
IP E330
49.1
330
160
7.5
11.5
18
62.61
307
271
51.59
11770
788.1
IP E360
57.1
360
170
8
12.7
18
72.73
334.6
298.6
54.49
16270
1043
IP E400
66.3
400
180
8.6
13.5
21
84.46
373
331
60.20
23130
1318
HEB160
42.6
160
160
8
13
15
54.25
134
104
51.57
2492
889.2
HEB200
61.3
200
200
9
15
18
78.08
170
134
60.09
5696
2003
HEB220
71.5
220
220
9.5
16
18
91.04
188
152
62.59
8091
2843
HEB240
83.2
240
240
10
17
21
106.0
206
164
68.60
11260
3923
HEB260
93.0
260
260
10
17.5
24
118.4
225
177
73.12
14920
5135
4.6
4.6.2
解析例 (4) Vogel’s 6-story frame
122
比較対象の解析方法と要素分割数
本解析例での比較対象は，Vogel24) による plastic-zone model とする．
plastic-zone model
骨組，断面とも分割数は不明である．
本要素モデル
骨組を 120 の要素 (柱 4 要素，梁 4 要素)，断面を 246 の繊維に分割している．
4.6.3
解析結果の比較
図 4.13 に骨組右柱頭部の荷重係数∼水平変位関係の解析結果を示す．なお，本解析例では部
材によって 2 種類の残留応力が混在するため，本要素モデルでは全部材で残留応力分布を統一
し，圧縮残留応力 Fr c および引張残留応力 Fr t が 0，0.3Fy ，0.5Fy の 3 種類の分布状態を考慮し
て解析を行なった (Fy は部材の降伏応力)．
本要素モデルの結果は，精度が高いとされている plastic-zone model とほぼ同等であり，十分
な解析精度を有していることが確認できた．また，本解析例では 3 パターンの残留応力分布を
考慮したが，さほど大きな影響は見られなかった．なお，本要素モデルは 6 層 2 スパンの大型
の平面骨組であっても，一般的な PC(CPU クロック数 2GHz 程度) で約 2 分程度で解析可能で
あった．
Applied Load Ratio
1.2
0.8
0.4
plastic-zone model 24)
proposed model (Frc = 0)
proposed model (Frc = 0.3)
proposed model (Frc = 0.5)
0
0
8
16
24
Lateral Displacement ∆ [cm]
図 4.13: 右柱頭部の荷重− X 方向変位関係
32
4.7
考
察
4.7
考察
4.7.1
既存の解析手法との比較と本要素モデルの利点
123
解析例 (1) および (2) で比較した 3 つの解法の中で，最も正確に挙動を追跡できるのは fiber
model だと思われるが，この解法は要素の分割数の膨大さと，それに伴う解析時間の増加によ
り，大きなコストを要することが知られている．その問題を解決すべく開発されたのが quasiplastic-hinge model である．この解法は精度が良く所要時間も短いが，基本的には plastic hinge
model に近い手法であるため，解析を行う前に各種断面の降伏曲面のデータベースを必要とす
る．このため，決して効率的とは言えず，特に変則的な断面部材や三次元解析への適用は困難
であると思われる．また，従来型の plastic hinge model については，もともとが概算的な側面
の強い解析手法であり，解析速度については実用的であるものの，精度についてはあまり期待
できない．一方，本要素モデルはその特徴から，部材の材料定数を得ることができれば，理論
的にはどのような形状・寸法，使用材料の断面にも対応可能であり，元々が三次元骨組解析の
ために構築された要素モデルであることから，三次元骨組についても問題なく対応できること
は明らかである．また，今回の解析結果からも明らかなように，現在構造解析に用いられる主
流の解析手法の中で，精度が高いと言われている fiber model による結果と比較しても，本要素
モデルとの差はわずかであるのに加え，例えば fiber model では，図 4.2 や図 4.4 のように，解
析が途中で途切れてしまうという解析の不安定さがあるのに対し，本要素モデルでは最高荷重
点以降でも安定した解析が可能である．なお，解析所要時間についての比較は引用文献に記述
が無かったため行なっていないが，本モデルは基本的に塑性関節法であるため fiber model に比
べ要素分割数が比較的少なくなり，解析時間の面でも有利になると考えられる．本モデルの解
析所要時間は，解析例 (1) および (2) を一般的な PC(CPU 周波数が 2GHz) で解析した場合，10
∼20 秒程度であった．
解析例 (3) および (4) の calibration frame は，異なる解析手法や簡易化された極限荷重に基づく
解析手法の性能を測るためによく用いられる frame である．これらの解析例では，fiber model と
同等の精度をもつといわれる plastic-zone model と本要素モデルを比較した．plastic-zone model
は部材全体を微小要素に分割するものの，塑性化の把握のための Gauss Point を追加することで，
要素数を減らし所要時間を短縮するという，どちらかと言えば fiber model に近い解析手法であ
る．今回の比較によって，本要素モデルの解析結果は精度が高いとされる plastic-zone model と
の差がわずかであると確認できたが，本研究で引用した plastic-zone model に関する文献では，
要素および断面の分割数に一部不明な箇所があり，残念ながら分割数に対する考察ができなかっ
た．しかしながら，本要素モデルでの分割数は 1 部材につきわずか 4 要素であり，要素端の節点
断面のみが繊維に自動で分割される (H 形鋼では 246 繊維) という実務上有利な特徴を有してい
ること，本要素モデルは 6 層 2 スパンの大型の平面骨組である Vogel’s 6-story frame であっても
解析所要時間が一般的な PC(CPU 周波数が 2GHz) で約 2 分程度であること，そして fiber model
や plastic-zone model 並みの平面骨組解析精度を有しているということが明らかとなり，有用な
要素モデルであることが確認された．
4.7.2
本要素モデルでの骨組接合部の扱い
近年の解析手法では，柱はり接合部のいわゆるパネルゾーンに関する弾塑性特性を解析に組
込むことが一般的になりつつある47)48) ．しかし，本論文で比較対象とした諸解法に関して言え
ばこれを無視しているため，本要素モデルでもパネルゾーンの影響は無視した．しかしながら，
4.7
考
察
124
本要素モデルでは，パネルゾーンの挙動についての弾塑性特性を今後の研究で得ることができ
れば，例えばパネルゾーンに該当する部分をいくつかの小要素に分割し，それら節点に任意の
コンプライアンスを考慮できる半剛接機能を用いることで，擬似的に影響を再現することが可
能と考えられる．
第5章
結
語
本論文は，汎用三次元骨組の弾塑性解析の要素モデルとして開発された繊維化塑性関節モデ
ル (以下，
「本要素モデル」) の実用化と，その汎用性の向上を目的とした各種の研究をまとめた
ものである．
本論文では，まず第 1 章で既存の研究に触れるとともに，本研究の目的に付いて述べ，第 2
章で本要素モデルの定式化のついて示した．第 3 章以降では，山形，H 形および溝形断面を有
する鋼部材の弾塑性挙動に対する本要素モデルの解析精度を，実験を行ない検証するとともに，
現在の構造解析の主流となっている平面骨組解析において，本要素モデルが既存の要素モデル
に対しどのような立ち位置にあるのかを，精度・性能を現在の主要な要素モデルと比較するこ
とで検証してきた．
以下，研究結果をまとめる．
第 3 章では，一軸非対称断面を持つ溝形鋼，二軸非対称断面を持つ不等辺山形鋼への本モデ
ルの拡張と，実験による解析精度の検証 (H 形鋼を含む) を行なった．
一軸非対称断面への拡張とそれに伴う精度の検証では，偏心軸力を受ける一端固定他端ピン
の溝形鋼柱の弾塑性座屈挙動を，実験を行なうとともに本要素モデルで解析し，両者の結果を
比較した．本実験の供試体は，強軸方向のみ偏心している溝形鋼柱であり，荷重∼変位関係の
強軸方向変位については，実験値に比べて解析値の方が若干弾性域で変位が大きく出ているが，
最大荷重値やそれ以降の挙動についてはほぼ一致しており，弱軸方向変位についても，変位計
を取り付ける際に生じたわずかな誤差が見られたのみであった．また，荷重∼軸ひずみ関係に
ついても荷重∼変位関係と同様に解析値の方が実験値より若干ひずみが大きく出る傾向にある
が，弾性域での傾きがほぼ一致するものや，ひずみが圧縮から引張へと転じる現象などその挙
動の性状を良好な精度で追跡することができた．なお，残留応力を考慮した解析と考慮しない
解析とでは，少なくとも今回の供試体では影響がほとんど見られなかった．溝形鋼の弾塑性座
屈挙動に関して本要素モデルが荷重∼変位関係，荷重∼軸ひずみ関係ともに精度良く追跡可能
であることを確認した．
二軸非対称断面への拡張に伴う精度の検証では，不等辺山形鋼片持ち柱の繰返し弾塑性曲げ
実験を行ない，本要素モデルで解析した結果と比較した．この研究では，山形鋼は構面内の水
平力載荷によって，構面外方向への変位が発生していることが確認され，水平荷重∼回転角関
係を比較すると，せん断中心に載荷した供試体に比べて，図心に載荷した供試体ではその実験
値において最大で 10 倍程度のねじれが発生し，このことから載荷点の位置がねじれの発生に
大きな影響を持ち，山形鋼部材においては図心に載荷した場合でも大きなねじれとそれに伴う
構面外の水平変位を生じることを確認した．なお，せん断中心載荷の供試体では良好な解析結
果となったが，図心載荷の供試体では，主に自在継手部の問題と考えられる要因により，解析
と実験の間に若干の差が生じた．しかしながら，実験値と解析値の比較については，一部の値，
性状に大きな差が生じてしまったものの，その他の結果についてはその性状をよくとらえてお
り，全体として定性的にはよく一致している．
第5章
結
語
126
また，二軸非対称断面に関しては，偏心軸力を受ける一端固定他端ピンの不等辺山形鋼柱の
弾塑性座屈挙動についても実験を行なうとともに，本要素モデルで解析した結果と比較した．
荷重∼水平変位関係をそれぞれ比較すると，より図心に近い点に載荷した供試体のほうが，よ
り大きな荷重を負担しており，同程度の軸力に対するたわみ幅は小さいことを確認した．これ
は，偏心軸力載荷の柱においては偏心量が大きいほど生じる曲げモーメントも増し，結果軸力
が比較的小さいうちに降伏してしまうということを示しているといえる．本要素モデルは，弾
性域における荷重∼変位関係は，一方の水平方向変位に関してはほぼ一致しており，他方の水
平方向変位に関しても変位をやや大きめに評価しているものの，最大荷重は実験値とほぼ一致
していることから，全体的には本モデルは実験の挙動をよく捉えていると言える．荷重∼軸ひ
ずみ関係に着目すると，弾性域，塑性域ともに本解法は実験の挙動を追跡できており，ひずみ
に関しても本モデルは実験挙動を十分に捉えていると言える．また，解析モデルの要素分割数
が精度にどの程度の影響を与えるかを検証するため， 2 種類の要素分割数で解析を行った．結
果，解析モデルの要素分割数が異なっても解析値はほとんど同じ値を示しており，このことか
ら柱について 5 要素程度の分割でも十分な精度の解が得られることが明らかになった．
また，柱材とした場合の弾塑性座屈挙動に対する解析性能が未検証であった H 形鋼部材に対
しても，偏心軸力を受ける一端固定他端ピンの H 形鋼柱の弾塑性座屈実験を行なうとともに本
要素モデルでも解析し，両者の結果を比較した．本実験では，二軸偏心供試体と弱軸偏心供試
体を用いたが，強軸方向への偏心の影響は相対的にかなり小さいため、両者の挙動に有意差は
見られなかった。荷重∼水平変位関係を見ると、弱軸方向変位については柱の降伏点近傍から
差が大きくなり始めるものの、解析値と実験値は比較的よく対応していた．また，実験後期の
差については，部材の初期状態における残留応力を解析では考慮していないことに起因すると
考え，残留応力を考慮した解析を新たに行なった．その結果，残留応力を考慮した場合の解析
値は残留応力を考慮しない場合よりも実験値に近づくことがわかった．これにより，本要素モ
デルは H 形鋼部材の弾塑性座屈挙動の解析であっても実用的な解を得ることができるが，残留
応力の影響は無視できないことが明らかになった。
さらに第 3 章全体の考察として，弾塑性座屈供試体全体に対し細長比や載荷点の偏心率など
のパラメータによる総合的な比較を行なうとともに，要素分割数が解析に対し影響を及ぼすか
否かの検証を行ない，得られた知見をまとめた．
第 4 章では，一般的あるいは精度のよいとされる従来の要素モデルで解析した平面骨組解析
例を，本要素モデルを用いて解析することで，既存の要素モデルと本要素モデルの精度・性能の
比較を行なった．その結果，本要素モデルは高い精度を持つと言われている既存の fiber model，
plastic-zone model と比較しても，十分な精度を有していることを確認するとともに，fiber model
では解析時間の長さや手間の多さ，quasi-plastic-hinge model では三次元的な解析への対応のし
にくさなど，既存の解析手法には多くの問題点があるが，本要素モデルはもともと三次元解析
のための要素でありながら平面骨組にも対応し，6 層 2 スパンのような大きな骨組であっても
約 2 分という短い時間で解析可能であるなど，従来の解析手法に対して有利であることを確認
した．
本論では，以上の研究により本要素モデルが部材レベル・骨組レベルの両面で高い弾塑性挙
動解析の精度を有し，また，従来の解析手法では取り扱いが難しいとされる非対称断面部材で
あっても問題なく取り扱える汎用性の高さも有することから，十分に構造計算の実務において
実用化可能であることを確認した．
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謝
辞
最後に，本研究の遂行に当たり貴重なご指導，ご助言を賜わりました長崎大学構造工学科教
授修行稔博士に厚く御礼申し上げます．また，本研究の実験，論文作成等に際しご尽力いた
だいた長崎大学構造工学科助教島津勝博士，ほか長崎大学構造工学科修行研究室のみなさま
に心より感謝の意を表します．
付録 A
FPHM interface の紹介およびマニュアル
繊維化塑性関節モデルをパーソナル・コンピュータ上で利用する場合のインタフェースソフ
トウェア (補助プログラム) として開発した，
「FPHM Interface」のマニュアルを添付する．
本ソフトウェアは，本要素モデルの普及の一環として著者が開発したものであり，学校体育
館骨組に特化した本要素モデルでの静的解析をパーソナル・コンピュータ上で実施する際に，入
力データ作成などの諸作業を補助するインタフェースとして動作する．主な機能は以下のとお
りである．
• 設計図面からの座標値の取得
• 節点要素モデルの構築
• 要素端断面の形状，寸法，および材料の設定
• コードアングル (骨組内での要素の向き) の設定
• 節点の固定条件の設定
• 初期荷重，増分荷重の設定
• 半剛接節点の設定
• 解析の制御変位や結果表示の設定
• 本要素モデルによる解析の実行と結果の表示
なお，本ソフトウェアは著者の所属する長崎大学工学部構造工学科修行研究室の Web サ
イトにて無償公開されている (平成 19 年 10 月現在)．
修行研究室 Web サイト http://www.st.nagasaki-u.ac.jp/ken/shugyo/shuken.html

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