Page 1 Page 2 商 学 論 集 第67巻第3号 3コしさを避けて,030~253程度

薩学論集 第磁巻第3号 ｝§弱年2耀
ζ論文董
工程能力指数C．、の統計的推測
靖
永 田
董．はじめに
工程能力を驚撰するための簡優な指標として工程能力指数（騨Ocεssc3欝藪嶺y塗撞ex／がある。
これは，購本企業の贔貿管運の分野で非常によく篤いられている指標であり，不良率を指数化した
ものである。歴史的にもっとも最擁に登場した工程能力振数は，鷲性纏の母分散をσ2とするとき
こ8L一五3乙
cか一一 （茎／
6び
であった。ここで，乙壌しとL説はそれぞれ上鑓規格韓脚ers脚。簸。＆tl鰻ll搬lt／と下餓規格（loweダ
sp総。至轟ca蓑（難｝圭盤麺／であり，特性纏がこれらの規格磐の魑をとると不良と見なされる境界纏である。
C声は，許容差（む磁一L3L／を特性値の母線準備差の6倍と対比させたも6）に過ぎず，管運纒の設
計と同様に3シグマの癒獲の考え方1こ基づいている。騰賂の中心醗＃（碍L斎L磁〉／2が母平均ξ
に一致している場合には，ε芦＃墨なら
こ．なし一麗二麗一五磁、罵3σ （2／
となる。すなわち，C“＃iなら，工程の確率分葎のうち母平均を中心とした盤6の範鑓の分姦が許
容差の中におさまっている。不良率の観点からは，特性纏κが正規分布濁（ξ，σ2／に従うという想
定の下で，
P｝’（薄く五SL oぎズ＞お釧。β土圭）！容．春§2§ （3／
となる。
鐸習的には，Cか≧歪なら「工程能力はそこそこよい藩と考え，ε〆董なら「工程能力は不足して
いる」と考えられている。さらに，灘L一五SL二8σなら，Cべi．3器であ参，この場合ぎ）不良率は
P細く叢説。狸＞‘．碧君窃司．3鋤一§．毒鵬63 （尋〉
と穽鴬に小さくなるので，C≧亙．3鴛ならヂ工程能力は十分である」と考えられている。一方，紹L一
五説！4δなら，C戸倉．総67であり，この場合の不良率は
Pバκく乙3乙orκ＞碍麟窃＝毒．懸67／勇．縫欝 翰
と小さくないので，ε戸≦奪．§総7なら「工程縫方は不足している3と見なされる。
このように，工程能力場数は，特性値の確率分布の想定や母数の譲約条件の下に構成された不良
率の変換に遍ぎない。しかし，その計算が容易であること，小さな不喪率の小数値の取参籔いの績
？］
i
漁 学 論 集
第§7巻第3号
わしさを避けて，馨．蕪∼2．鷺程綾の籠鑓の数纏で詳細できるという稀点がある。また，実襟には，デー
タから不良率を推定する必要があるが，母不良率が小さいときには，不良品そのものの鶴灘が鱗待
できな鵠。そのような場合には，不良率の推定方法の一つとしてこのような旛標を定めておくこと
は有意義である。これらの逡蜜から，品質管遅の分野では，工程能力講査の名の下で，工程能力癩
数が非常によく篤いられている。
規整が片灘にしか設けられていない場合には，次のように工程能力指数が定義されている。
C鍔』繋㍉醗のみが灘さ津むている囎
⑥
誰一五3L
（7）
銀“署 （L説のみが謎されている儲／
また，規格が薦灘こ設定されているが，母平均ξが規格の中心解からずれている可能性のある場合
に対して，工程縫方振数
ε鎌コ薩費｛c鍔，c鉱｝
（8〉
が定義されている。C岬，ε鋭，ε鹸の値が玉である場合，それに対応する不良率はC少の場合と異な
るが，工程能力指数と対比させて「工程能力の十分さ・不一新分さ盛を宰登簿零する看遠甑§67，1，L333な
どは（〕βの場合と講様の感覚で患いられている。
当窃，工程能力捲数は，工程が安定していることを管運選などで確認したうえで，ヒストグラム
を掻くことのできるくらい十分多くのデータがある状況で，データから推定するという立場で繕い
られていた。このような場合には，データから計算される統計量の有するばらつきを無規しても大
きな覇懸の誤りには至らないと思われる。しかし，最近では，多くの特性が存在し，しかも迅速な
鞍懸と越理が求められることが多くなってきたため1こ，必ずしも十分なデータ数が揃わない状溌に
おいても，工程能力指数を推定し．その結果から工程籠力についての響翫を行わなければならなく
なっている。つまり，データのばらつきを考癒する必要が生じている。このような場面で1よ工馨
能力指数の推定薫に関する統計的推灘礫論が不再欠である。
本稿ではうーヒにあげた蓬つの工程能力指数のうち，C雌に関する統計的推灘礫論について著者のこ
れまでの蘇究成果をまとめながら総合的に報告する。◎の推灘は，母標準偏差の推灘に帰着するの
で，これはよく知られたことである．また，C拶やC無の推灘は，葬心オ分姦の葬心パラメータの
推灘に帰着する（永譲（i鱗茎1を参照／。一方，C鹸はこれまでの統計的推灘理論の中に登場してきた
パラメータにはないタイプであるので，その雛灘遷論を検討することは統計礫論の意練からも有益
である。
工程能力指数の講究は，ここ蔦牽くら恥の購に大きく発展した。上に挙げた護つの振擦の飽にも
様々な指標が提案され，議論されている。それらはKotz a綴Jo麺so嬢i鱒3／の単行本にまとめら
れている。また，艮。｛観禦ez（欝§2／も手際iよくまとめている。ε艶に弱する統計的推瀕蓬論につい
てもこれらの文献でまとめられているが，本稿では，よ導詳綴な部分まで議論したい。
ハ／︸
2
永懸：工程能力詣数C麟の統計的推灘
2．C擁の麹然な推定量とその確率分奮
2．蓋 C髄の聳然な推定量C躍
特性値を表す確率変数鴎，κ2，＿，κ．が正規分姦濁（ξ，σ2〉に互いに独立に従っているとする。認凱
（欝五一L3五）彦と表すとき，（8／式で定義したC無は次のように表現することができる。
cズ雫霧 （9／
平均と標．準偏差をそれぞれ
ぼ
みf
薫瓢圏 （欝／
驚
・一醇 鱒
と定義すると，ε鹸の窪然な推定量として
δパ副器麟 （里2〉
が得られる。
2．2 C罐の確率分宿麗数
C泌鞭a鑓Ow磁（欝8§／は，ε鎌の確率分布弱数F（のが次のようになることを導いた。
F（c〉皿Pr（c鐘≦ご／
一｛1執禦、直話燦鷺夷駕ll礎 ，、，，
ここで
δ玉＃一3ノ万。解 （鱗〉
δ1二3厩■C鍼 （i5〉
∼二3》傭ぐ （16〉
R＿、正弦び÷ω （隻7）
2ご
ノ＃鐙一亙 （茎8／
碗蕊晒一α∫ゾの（芳δ）κ嘱緬 （轡
讃万
α∫〉キ（∫／2／2勝2 （2鵜
であ塗，7装δf〉（ドi，2）は自密度∫，非心母数δゴの非心ズ分薦に従う確率変数である。また，の（め
とφ（めは標準正規分姦の確率分姦震数と確率密度関数である。Owe紙婚65〉は9∫の魑を数纏的1こ
一23一
一落 学 識 集
第67巻第3号
計算するための漸化式を奪いている。
λ‡（ξ一声瞬／σ‡3（C鍵一C離／！2と定義する。F（のは，C競と瞬（または，‘野型認〆σと隣〉を還し
てのみ，C輝とC鉱の饒に依存する。
G瞭g質量s a蕪盆畷r主簿ez（欝92／はC擁の確率密度縫数のタラフを与えている。それよ参，C醗の
分薦形は歪んだ形の暈縫であることが分かる。
慧．C睡のモーメント
3．至 C雛のモーメントを与える武
K碗za麟」礁盤s磯（i難3〉は，
ご顔』一 Q一驚・、六．（茎素一盈轡／』響ガ（董ヨ告）（2i／
であることを基づいて，C餓の野次のモーメントを導いている。
ε￠餅（学ゲε（ガ）ゑ（一圭yOぐ滋γ蹴／ （22／
ここで，∼土，擁畿一瞬絃であ9，κ∫二」評σは自由度∫のz分布に縫う確率変数である。∼は
濁（》f｝麟．董）に従うから，屠は斬り重ねられた正規分姦（｛o董6e6醸）欝欝擁δls重r醸癒。癖に従う。績謹蜜
（欝磁〉よ撃，陰縫）最；窮の逢つのモーメントは次のようになる。
左（i属〉 薫2φ〈〆露λ〉…Ψ！「膏λ（i−2の（♂露λ〉〉薫μ｛ （23〉
E（iぜ）土i÷藤2 （2嘆／
E（1瞬3）二（戯2＋2雇一，碗λ（i−2φ（雫優λ〉〉 （25／
E（楼う皿3÷6離ズ＋ず漸 （2§）
麟擬「〉（7！i，2，3，蔀はλの偶関数であること紅注意する。また，
ε（ガ〉一纏毒甥〉 （27／
である。
3．2 平均とノくイアス
（22／式よりC無の平均は次のようになる。
瞬』撒1易〉塵［卜轟｛2φ（諏／諏脚麟｝1 （28〉
バイアスは
辰ごか無1；E（ご鋤〉一。鹸 （2勢
である。
バイアスを数韓的に評慰する。ε無の確率分霧やモーメントは2つのパラメータ瞬と諮に依存
︵ノ一
4
永灘こ工程籠力指数。麟の統計的雄離
する。数値計算の結果を述べる蕪に，本稿で設定する瞬とバの髄．および，そのときのC勲の魑を
表iにあげておく。
表董． 譲iとδ串の糞嚢とそのときのC擁の｛護
ご野
一
§
4
奪1｛ 7『 … 1 ？i ll・5旨・5韓 …幅3i L欝7i i L蹴
（1講 聯§ ！i謬 i正斜
｛1・圭§7 駐・833 … 至・欝 i 玉・講
2・｛1 （懸7 1 董・纈 i L3釜3
C錬の｛療が表iの籔i璽外にある場合には，C鹸の推漢群ま実務的睾こはあま静意味がない。
表董のパラメータの設定の下でバイアスを計算した結果を表2に示す。
表2． ε鍾亨）バイアス（掴C勲爵（上段：｝2二鱒，中段1｝F灘．下段二露二婚韓
−1｝．騒2替2
離．摂｝22
ll
D．碁23（》
−／l．馨32春
一一
一酵．酵2i7
一韓．§欝董
昏．磯鶏
砦．5
i．爵
尋
s
5
1
2
i⋮
λ
‘君
1｝．（奏蟹海
／妻．総論
一§．醗離
一奪．｛疑｝§2
○，麟38
一（｝．（1越§
一｛1．韓4〔垂
一套．醗蔦
ξ灘31
｛172§
§
騨．｛墨33砦
1
1妻．至3懇 … …
I i
琴．欝72
毒．縫劔
（｝．縫皺
馨．練緯
奪．穣董さ
む。艇韓
（1．縄器
（季．韓42
§．i2藩
磐．蔦簿
脅．講79
轟．馨2§8
静．奪358
1｝．縫47
〔1．織2碁
鯵．（翼》騒
琶．韓77
軽．韓縛2
暮．纏鰺
鬘．艇き7
○．縫驚
酵．葺785
〔1。圭鱒
毒．辞韓5
1｝．犠3淫
1｝．鑓24
轟．韓i
暴．韓至3
辞．鋳33
昏．辞懸護
O．轟総
轟．l13至4
融．総器
今，鐙尋2
嚢．玉257
（｝．1｝総§
§．繧7§
騒．籠繕
嚢．〔13§8
（1．綴事2§
§．韓5蓋
毒．鈴77
0．韓鎗
蜂．〔季重33
（｝．餐222
○．鑓i2
1｝．（1｛13暮
／1．鱗嬉壌
暮．儒墨箋
（季．嬢1蓼§
玉
一昏．｛1嬢｝1｝
表2よ弓，駅窃掩／の値の変化について次のようなことが分かる。瞬の値を露足した下で，〆が増
撫するとき単調増纐する。4讐）纏を瞬寇した下で，瞬が増撫するときいったん単調増撫し，瞬判煽
のときに最大雛をとり，その後単調減少する。実際，これらのことは，解蟹的に示すことができる。
最大値を与える1漏6）纏は
ト2φ（》織、1〉＋暑2鐙／2）鱒 （3暮）
》ノr（（ノー三／／2）
の解であり，最大値は
一25
第欝巻第3号
−臨 学 論 集
聯醒砧桔（警鑛秀賠i）一驚錨f2〉φ（榊 （3i〉
である。また，表2よ吟，辰ε擁／は正負いずれの値もと9得ること，雑が大きくなるとδ（C餓／は§
に近づく （舞1凱諺以夕事罷）場合〉ことも分毒Σる。
諺．3分散
（22／式に基づいて，C鹸の分散
ド（c鎌／麗E（c鎗一｛E（c鹸／｝2 （32／
を数鑓計算すると表3を得る。
表3よ箏，敢C鹸／の値について次のことが分かる。鋳の纏を鶴足した下で，4＊が増撫するとき
単調増撫する。磨の値を瞬足した下では，譲が増蔵するとき単調減少する。また，箆が大きくなる
と駅（C勲）はノ罫さくなる。
表謹． c錬の分数（事1（c麺／）（上段1声F憩，中段：㌶＝3｛き，下段1擢皿i韓〉
4＊
「庵
§．暮7§3
韓．錘3i
§．22薦
轟．3295
毒．蓼§蟹｝
（》．鑓g3
｛1．〔｝3華強
轟．鶴論
1｝．劔縣
韓．綴蹴§
§．瞬騒
奪．縫蟹
ξ1．｛無毒5
昏、昏2｛纏
む．昏337
嚢．馨727
暮．！3玉3
○．2縛吾
暮．3彗7垂
窪．轟轟8§
（惨．鑓7暮
昏．鍵む7
酵，鱗83
§．§7巷2
奪．醸）2茎
｛季．§撰8
窃．｛》鍵3
暮．鍵2§
§。磁器8
轟．春2達i
轟．鱒35
蔭、i舵春
轟．王7董3
静．2§弼
轟．韓§2
鐸．骸27
§．縫37
1｝．輪鱒
轟．§懇7
騨．叙建7
§．瞬35
昏、軽縄4
昏．醗編
輯．劔5？
○
魯．醗52
幕．5
i．嚢
﹁3
亙
2．静
馨．劔§7
〔署，曇3麟
暮．奪75碁
昏．i3羅
暮．2i3玉
昏．灘鱗
毒．鋳灘
§．劔77
暮．嚢3｛18
葛．醒83
書．鶴里3
暮．鋳24
暮．韓銘
奪．繍83
〔肇．艇2§
（1．ξ肇玉43
昏．轟24茎
○．縣36
鐸．鐙2暮
1｝．i7髭
馨．毒撰暮
○．懸春2
｛｝．縫27
暮．麗3？
（肇．｛13蟹1
春．叙lii
韓．暮醗7
魯．昌盛5
○．ll総4
韓．｛1鯵5
3．蓬 醗s露
C鹸の磁SEは次式で求めることができる。
絡E（C錬〉一悪■（C鹸／＋｛潔ε勲〉｝2 （33〉
翻3E（C鹸）を数魑計算すると表号を得る。
衰運よ参，醒ε鎮C鎌／の値について次のことが分かる。瞬の値を露寇した下で，ゲが増撫すると
き単調増撫する．4‡の纏を遜定した下では，瞬が増撫するとき単調減少する。また，｝2が大きくな
ると疹ゑ3E（C鹸／は小さくなる。
擾定量C鋤は滑らかではないから，麗Sε燦準の下では許容的でない。すなわち，潔3露橋準の下
？一
容
永震1工程能力指数C麟の統計的鑑灘
でC勲を一様に改良する推定量が存産する。しかし，それはまだ見鐵されていない。
ここでは，
醤ag撮＆（鯵§§緋での試みを紹介するに留める。
C鍾を
c鍛一。か」響
。遍の．凝躍（離3E（窃講（上段：
装填．
（3毒
鴛；i｛1，も禽段： 難＝3馨，一ド段1 麗！i｛糞垂｝
磨
§
戸3
蓬
血ノ︸
3
昏
r3昏
i 3 §7 § 春OG 護 垂i 轟 昏爵 9 §
§至
§ 8 塁§ i 8護 3 毒i 毒 §奪 韓 §
［3至
2．毒
§．彰導3
§．乾暮里
暮．驕75
§．至i蔦
§．鰺7正
春．暮毅馨
§．韓62
〔1．綴3玉
1》．鑓難
倉．鍛練
§、韓雛
暮．轡鑓7
葛．§韓5
§。鑓麟
｛1．懸総
衷
置毎
穣嬉改養護（霧綾ホ。遍，c鹸／〉（上段：
｝F鱒，中段：∫匹灘，下段＝箆！蹄硝
﹁厩
ゴ毒
一言
昌
2．1》
§
○
玉．5
3
5
1争．3董
8．i董
i2，77
欝．82
黷P7．蟹
鼈ｱ．鱗
黷U．鱒
￨2．鐙
鼾ｨ．鍵
鼡ﾊ至．紡
黷刀A§3
黶
D2警
齔aD騒
黷R．3軽
？銭 酵門
2碁．綬
ウフ 州
27．演
28．麟
敷麟
？衰離
28．32
28．5i
翠5董
9．4垂
警．7§
9．§§
懲，1｝2
難．解
2．8罎
2．§7
3．（｝2
3．薦
3．齪
2魯．3里
2暮．88
29．鰭
2§．i8
2§．23
D建
D7§
D艶
燕戟D§2
e．劔
Q．72
Q．§2
R，§暮
R、§4
R．§尋
27．魯5
28．総
2§．鑓
2§．圭§
2§．22
W。癬
D讐
X．83
D鰭
燕戟D鶉
Q．葬
Q．8尋
Q．§7
R．舵
R、｛15
27．57
2s．33
28．8§
2§．驚
2磐．墨§
W．齢
X．達8
X．7醤
X．§2
蛛D鑓
Q．52
Q．72
Q．盟
R．韓
R．麟
一一
i．警
淫
2
¥3．鐙
肖ゴ
？一
藤 学 論 集
第67巻第3号
と分解する。このとき，窃の窪然な推定量はC〆6ノ（331であるが
、＿（∫一2〉E（ガ〉＿（ノー2〉八（卜i〉！2〉
￡一 一 ＿ 》7 42〆八ノ／21
（35／
とおくとき，〆Cβが翻3E爆準の下でε芦を一様毒こ改良する．次轟こ，1矯〆3の自然な推定量は1毒！3瓢
陵一麟1（3s／であるが，δ‡降i／3が隣毒を一様に改良する。そこで，ご勲を改良する推定量の候補
としてグC鋤を考えることができる。また，この推定量は次のようにして得ることもできる。推定
量δごグ612i13のクラスを考えて，このクラスの中で鋸εEを最小とするαと券を求める。これら
の羅とみは未知パラメータを含むので，これらを露然な形で推、寇するとα＊C錘を得る。
バC鎌の性能を調べるために，帽対改善度を次のように定義する。
館ご鎖編選3ε（c癒鷹（β＊ω×麟％／ （3春／
この数値計算すると表きが得られる。
表5よ拳，瞬二｛1の場合にはグ◎碁こよってε擁を改善することはできないが，そ0）飽の場合に
は改善できることが分かる。窪＊の蕪葬ま，表§に示すようにiよリノ罫さな｛擁であるゆつまり，ε餓は
…種の縮小推定量となっている。また，隠が大きくなるとグは葺こ近づき，権繋改善度も小さくな
る。
なお，αε雛という定数倍の形では，ε錬を一様に改良する推定量の存在しないことが翼融解穣
（鐙95緋に示されている。
表§． 〆の値
認 1 欝 2馨 1 騰 5轟 騰
表7．
8
玉
r3
段
だ半
段．§32
毒．鱒蕪
辞．欝淫
辞．盤7
C無の歪痩（S戴｛C勲）／（、ヒ段：鴛二欝，中段：｝才二鱒，下段：羅二i鵜1
iλ1
〆
l i
2
i．蓬騰
︵︸
『 一
圭．毒
4
5 … …
容
1．556
圭．5至3
i．騒｛1
圭．轟5轟
P多．§鋸
驕D6灘
撃戟D6§？
1｝．7韓
P）．278
宦C333
k1．3鱒
P｝．355 ｝
1》．3懇
至．24？
i．藝護
i．器薦
玉．騰 1
i．5尋3
戟D5§墨
P｝．磁6
ｨ．§75
]、68s l
（1．齢垂
早D2韓
吹D332
P妻．3藤
X，353
彗．3蕊
｝．齢8
玉．鱒2
豊．銘8
i．52董
ま．537
魯．尋74
韓．622
静．薦6
ll．礁3
〔肇．囎2
§．23§
葺．3聖7
§．3戯
0．3§尋
｛1．354
．縣2
w．3
3
［3
玉
灘順「
？］
奪
魯。68警
玉．3鱗
垂．457
§，288
9．572
韓．§511
§．i騒
1｝．2懸
§．332
一§．1舞舞
董．玉1｝3
亙．鱒4 至．銘§
工、52里
一（1．1｝綴1
〔1．474
（達．§22 韓．艇鴻
韓．683
−1う．曇蟹1
書．23§
1董．3玉7 §．3壌
〔1．35雛
．．一．…
28一
1）・3輯 1 §・353
永懇：工程能力詣数C漂ぎ）統議的推灘
表8． ◎身の尖度〔蓬7x鳥海〉〉（上段：｝F鯵、中段：麓二鵠，下段二｝2二欝欝
瞬
ナ
8．2欝 1 ｝
§
卜
S t ｝
2 3 i
卜
T 1 β
暮・352 i
8．3齢
3．953
3。暢8
3．§75
3，243
3．2鐘蓼
3．25書
暮．8尋3 7．7縫
呂．鐙8
さ、23嵯
8．3縫
3．§7書 3．8鍵
3．§蔦
3．襲尋
3．9灘
3．丑32 3．22童
3．23春
3，243
3，247
δ．i78 7．§3｛1
7．認？
8．玉74
8。2総
3．灘董 3．8総
3．8§7
3．鍵5
3．§53
3、舞2 3．2鱒
3．23春
3．24馨
3．2蕊
7．縣6
7、8i§
8，董韓
s．22き
3．7欝
3．縄2
3．鑓§
3．鱗5
3．i82
3．22董
3．23§
3．243
■
4．2（矯
6．2至2
7．53§
7．§韓
8．重器
3、2韓
3．鶴3
3．懇董
3．8総
3，8響
3．§35
3．2総
3．23舞
3．2鎗
7．739 8．王畿I l
暮
3．821季
3．§2（1
i3．2縫 … 3．232 …
暮．5
茎、蘇
§
63至
§断
§
ヨ
3．鍵2
3．5 歪度と尖度
（22／式に基づいてδ鹸の歪度（蕗ew配ss／S照C露と尖度（鼓雛之os三s／κ7’（ε紛を数値計算す
ると表7および表8が得られる。
表7と表8よ拳，議とグが変化するとき，S超C砂とκT（C紛は広い範麟で変化していること
が分かる。表7より，瞬を闘寇しだFでS照ごρ轟〉は4聾こついては単調増撫し．醗を鶴寇した下
でSκ￠声海／は機ね単講減少する。表8より，譲を露足した下でKT（C砂は諮について単調増撫
し，ゲを蔭足した下でκT（C蝕｝は単講減少する。
また，表7と表8よ陰，麗が大きくなると（5κ（C擁〉，κ7’（C紛擁ま正編分布の麺（巷，3／に近づく
ことも観察できる。実際，C触簸et＆1．（簿鱒／はε競の漸近正縷牲を証萌している。
凄．｛塚め確率分奮の近徴
婆．箋基本的な考え方
δ錬の確率分布関数は（麟式1こ示したように葬常に複雑である。したがって，次章で述べるよう
な信頼区闘の簡便な式を導くため1こは縁らかの近獄分姦を考えることが必要となる。その燦，C鎌そ
のものを瓦焼近戯することはあまり適窮ではない。その理密は，3．5簸で述べたように，ε鰍は漸近
的には正規分葎に縫うが，鶴頼落間が必要となるようなサンプルサイズ｝2が小さい場合には正趨性
からのずれが大きいからである。そこで，この章では，次のような考え方に基づいてC鍛の確率分
布を近似する。（2葺式より
？一
§
第劔巻第3畢
蔚 学 論 集
F（cド麗睡換PKか之1啓癬諮）
（37／
となる。ここで，∼と燈は独立であることに注意する。（37／式に基づいて確率変数yを
i 々
y瓢慌一1之1÷7rκ∫
（38／
耀 》ノ
と定義する。K磁z畿r継Jo擁so簸（ig§3／は，（3鏡式について，「館→oOのとき，右辺の第i項は右
辺の第2項と比較して無視できる」と述べている。しかし，この記述は歪しくない。というのは，ξ
隠縫でないのなら，館一チ○○のとき1羅／》簾→i爆，ゑヱげ》7一｝々となるからである。億万で，F屡は鴛が大
きいとき正規分1藩に近似でき，表§から分かるように鎗の歪度と尖慶は正規分姦の値（嚢，3／に近
い。むたがって，鷺が大きいとき，（38／式のyは影規分薦紅近似的に従っていると見なすことがで
きる。以下では・鴛が大きくないときの露橋分薦への近似の妥当性をN＆露ta（欝鶴a擁こそって縷
説する。
表§． κゴぴ）歪痩と尖護
障
歪漫
尖度
跨
昏、2§2
3．饒墨
2§
昏．玉68
3．韓2
灘
馨．i3尋
3．§艇
5｛1
春．馨2
3．韓暮
玉総
§．｛茎72
3．醗｛き
逢．2正i規近似
（38／式で定義されたrのi歪度Sκ（y／と尖度κT（めを検討する。鐵と篇は独立であるから，γ
の歪度と尖度は（23／∼（27／式に基づいて計算することができる。
まず，γの歪度SK（γ）について考える。Sκ（めの値は，嶽，々，躍に依存し，グには俵存しな
い。また，1漉ε照y『唇一Sκ（κ∫），il溢Sκ（γ〉＃3κ（婆〉，1雛Sκ（y）鳳Sκ（κノ〉が疹誇立つ。さら
島r一ゆ白 々一｛｝ 々一￠自
にラ
愕ly／一、諺・ぐ雛爵一驚〉
（鋤
となる。ここで，μ，，シ．，ρ，はそれぞれ鐵，紛，rの平均鐘のまわ警ぴ）7次のモーメントである。財
瓢》7趣範ノ（㌻囑趣レ3〉とおく。瞬＜Ooに嬉して磨＞魯である。したがって，3κ（y〉は爵二§で極大縫
をと警，為二がで極ノ輩、纏をと婆，（一〇〇，㊧り韓＊，Qo／で庵について増撫し，（導，が）で庵について減
少する。次に
炉
13’2レ3
1醸sκ（γ／瓢 一一一
（吉・亨ず
（鰯
が成馨立つ。（紛）式は，々について単講増撫し，爵二一〇〇のとき最小麺一Sκ（簾／をと雛，海螢OGの
一灘一
氷襲：工程縫方旛数。採み統計的雄灘
とき最大｛雍3κ（飽〉をとる。
3照めの値を表騰に示す。
表7と表欝を比べることによ撃，次のことが分かる。瞬と羅を露寇した下で，綜κ（め1の展こつ
いての最大値麟Sκ（◎、／lのづ鴛こついての最大値よ馨も多くの場合に小さい．講または鱗が増擁
するとき，SK（ぎ）は3κ（C鹸／よりもはるかに小さくなる。身は，瞬や6＊とは異なり，未知パラメー
タではなく設定できる値なので，この性質は正規近似を考える上で重要である。鴛が大きくなると，
「擬＃講なら，εκ（y）は春に近づく。
衰欝．yの歪度（躍（y）1（上段：理工灘，中段＝｝F3馨．下段：晒騰，繕彊穣ま々≠の態
々
λ
一重． 一覧．（｝ 一幕．5 雛 §．5 玉．乏》 i．
一〇〇
．2§2 ノ
奮
，1｝総 ．欝8 ．5瞬 ，9蕗 ．暮灘 ．3簿 ．2齢 ＼ ．2騒 ノ ．252
／3．2尋／
§
，歪34 ノ
．暮28 。2暮§ ．暮玉§ ．§§碁 ．§5｛｝ ．32巷 ．2（疑｝ ＼ ．i33 ノ ．墨34
／§．25）
．（172 ノ
．｛肇72 ．238 ．§2暮 。§｛妻5 ．§尋§ ．3｛｝2 ．玉6蓉
．躰i ノ ．暮72
（茎玉．8／
。252 ノ
．韓s ．2鋳 ．52§ ．733 ．5醜 ．3輔 ．2総 ＼ ，23暮 ノ ．器2
（3．亙2｝
．玉誕 ノ
暮一3
．｛》3蓬 ．玉33 ．2ξ｝2 ．33i ．27…｝ ．玉§5 ．i5（｝ ㍉ ．i24 ノ ．墨3蓬
（3．獅
ワゴ
“／一
§
一．1》72 ノ
．（｝22 ．蟹鷺 ．醗3 ．縫§ ＼ ．1鍾8 ノ
縛．37）
．252 ノ
岬3
奪
庶
一．欝尋 ノ
一．醗§ ．玉ii ．27§ ．3麟．論2 ．233 ．2静 ＼ ．2癖7 ／ ．252
／i．7聯
．i34
．｛34里 。（護》§ ．（）2§ ．（》3き ＼ ．（》36 ノ
韓．3静〉
．252 ノ
？］
鍔ざ
ワ畑
打’
昏
ノ
．｛｝28 ．｛縫尋 ．｛｝｛》3 ．｛翼翼｝ ＼ ．〔薄｛垂 ノ
（1｝．（袴／
．252
．辱9｛｝ ．（｝4§ ．｛翼｝垂 ．〔銭2 ＼耳 ．（｝茎2 ノ
（§．総｝
茎。§
一
一。慧4 ノ
．（172 ノ
．至3運
．暢3 ．乾§ ．騰5 ．ll懸 ＼ ．鱒舜 ！
（窮。麟
．昏72
．〔128 ．縫4 ．鯵3 ．1翼鏡 ㌧ ．蟹鶏 ノ
（毒．麟
oo
ノ
．2き2
．玉3塁 ノ
．〔1灘 ．鑓§ ．〔矯5 〔1 ．瞬5 ．紛轟 ．縣3
ノ
．i3塁
．奪72 ノ
．縫魯 ．鍵4 ．醸｝3 0 ．蟹）3 。韓尋 ．春2s
ノ
〔，
ラ］
．簿2 ．052 ．韓｛｝ 辱 ．磯｛｝ ．鶉2 ．亙（12
書
．252 ノ
d
次に，yの尖度κ質y）を考えよう。κT（めは爵の鶴関数となる。そして，1醸κT（γ）m
烏一癖
κT（綴1，i重盗κT（y／＃κT（鎗〉が成撃立つ。また歩
赴一舜
門3
里
第§7巻第3号
臨 学 論 集
際y／一■纏（臨〉鎌｛漸一瓢琴留三譜
（鱒
となる。κ7X惣〉＞3であるから，κT（渇／≦13ならκT（y）は々について増撫する。一方，κT（鐵／
＞3なら，κT（γ／は（奪，ゑ料／でゑにつ鵠て減少し，々‡鳶纏で極小纏をと9，（々辮，OG／でゑについ
て増撫する。ここで，
静護絵姿号舗三謝璋
（違2／
である。次に
3 6解 彫
瑚 剽Xヂ
（43／
が成拳立っ。（4瞬式の右辺は海について単講増超する。
表聾にκT（y）の値を与える。
表餐． yの尖護（κア（y／／
（鉱段1羅二欝．中段：濯工講，一ド段1鰐二i鵜．鑑懸跨縁海騨の鑓）
々
「−卜
3．総§
［3
轟
展i
i
i．嚢
3。薦3
oo
爵緋
3．蓼52 ＼ 3．ξ羅漢 ノ 3．1縫玉
3．i45
／？．護2／
§
3．i灘
3．8§§ 3．47悉
3、8恐§
3．懸｛1
＼ 3．馨春里 ノ 3．§講
（2轟．§／
3。逢7§
3．i暴3
3．鋸茎
＼ヨ 3．〔矯§ ノ 3．畿｝奪
（離．8／
3．i鱒
3．韓轟
3．醗3
3．戯i
＼ 3．（1茎（｝ ノ 3．（建i
（3，麟
ノ
3。ξ鰻
2．鱗3
ノ
3．鶴舞
2．懲7
2．88§
9 3
ノ
3、縫i
戸3
？一
f ｲ
［3
轄
㌧．8蕗
q乙
断、
抑、
2．87S
逢
ワ♂
曇
2．絡3
…
2．6警7
3．蟹縫
3．韓暮
3、韓雛
3。騰§
3．曇総
ノ
3．鯵春
2．9懸
2．懸§
2．§48
3．韓韓
3．（｝（｝｛1
3．∈1鋤
3．嚢韓
3．鱒轟
3．§韓
3．鋤春
3．§韓
3購書
3辞鱒
3韓重
3鋳3
3．ギ矯騨
3．｛肇鵜
3．韓鋳
3．〔1鱒
3．雛韓
3．韓癖
3．韓｛灘
3。麟馨
鼻ヒ
ノ
ノ
心．
．■
与﹂
ノ
董
貸
2．§7彗
﹁3
2．気5
ラ一
2、§鰺
聾
王．○
4
岬3
一
ワ’
2．鱗主
ウ臼
2．6駆
§
1｝．3
i
3．韓薫
3．瞬§
■
3．§ii
ノ
・De
3．韓董
ノ
3．1織／
表8と表Hを比べることにより，次のことが観察できる。置F韓程度でも，KT（y）の纏は3か
う一
3
永露：工軽能力捲数C瞬の統謙的推灘
ら大きく異なることはない。機ね，κT（y）の方がκT（C競）よりも3に近い。ゑまたは｝2の魑が大
きくなると，κT（y〉は3紅逝づく。
以、鉦よ拳，隷1または1爵1の｛澄方書大き毒ナれ孕まy「はC鰍よ今も璽三燦分布善こはる力縛こ近いこと力量分力蔦るむ
瞬の魑は未知である。一方，爵は設定できるから，どのくらいの爵の纏で十分な歪規逝似が得られ
るのか，また，そのような場合が実務的な状況で利霧できるのどうかを考えたい。表緯および表鷺
より大ざっぱ裟述べると，睡1≧エ．5であるなら，盤継緯κ（y）緯書．3，魏a薦κT（y／−3侭§．総とな塗，
1えi 瞬
yを正燭近似しても問題はないと患われる。ε鐘の確率分布の上翻欝暮α％点を藪と表す。つま婆，
Pγ（c餓≦窪、／業i一α （護4／
である。第§章で述べるようにッN＆ga籔a警6翼確a｝鍛捻（姶92）はγの歪燦近似を篤いて窪、の近
似式として次式を導いている。
鋸為｛妄ヂ＋（i一書）／（警麗〉｝至雌
（護5／
4β ト器ノ（2∫〉
ここで，諏は標準猛爆分布の上灘i鱒α％点ある。（37）式と（38／式を晃箆べることによ彗，爵＃
3碗と対癒する。 （45〉式よ！）歩老盤3撫の纏を求めると表12が得られる。
表茎2． 上鰭緯鞭％点に舞する彦の透獄纏
i一α
鰐
c競
．薦
i｛1
3毒
．灘
器
．騰
．§5
9．5
暮．s8
至．昏癖
i．2董
i．5｛1
玉．8惑
2．3董
2．65
茎．9
2．暮5
2．22
2．54
3．縫
3．6i
逢．3§
5．轟i
玉．器
3．圭7
3．韓
3．85
逢．灘
5．38
6．5i
7。轄
2．毒
4．27
垂．5暮
5．美5
6．§春
7．鯵
8．磁
§．8善
2．5
5．3碁
5．72
6．逢5
7．5む
8．9善
亙§。7暮
茎2．論
暮．5
亙．i2
亙。董肇
i．33
玉．醗
玉．6§
至．瞬
2．総
玉．§
2．韓
2。§2
2．73
3．樋
3．32
3．6尋
3．8§
董．5
3．総
3．82
尋．圭2
尋．5｛1
魂、鱒
5．蕊
5．7§
2，轟
垂．鶴
5．登
5．5奪
暮．鱒
§．韓
7．2護
7．醗
2．5
6．至4
6．韓
6．8蓼
7．藤
s．2毒
§．縫
§．5§
i．28
i．33
玉．鱒
i．灘
至．齢
1．蒲
璽、76
至．暮
2．蘇
2．72
2．編
3．鯵
3．玉7
3．33
3．尊3
埋．7淫
蓬．97
§．玉2
6．3i
§．鑓
6．8墨
7．紹
8．26
8．5董
董．5
逢，む§
淫．欝
塁．28
2。嚢
s．35
§．蕗
5．72
2．§
6．簿
§．8§
7．i轟
差・春［♂
（｝．5
§
［馨
3書
轟r3
鱒§
欝
．2s
表12よ拳，ε鎌＜§．5でト窪＜§．5以磐の場合には繊≧｝．5が満たされていることが分かる。つま
り，実務的1こC鹸の推灘紅意練のあるほとんどの場合にはyの正規近似を緩いることができると
思われる。
一33一
藤 学 論 集
第67巻第3号
5．C敵の信頼区間の近鍛公式
5．玉近似公武の必要性
第圭章で遜べたように，最近では，数少ないデータから工程能力指数を求め，工程能力に関する
懸漸を行わなければならない状溌が多い。その場合には，工程能力捲数の点推定髄を求めただけで
は不十分であ撃，推定量のばらつきを考癒して醤籔に結びつける必要がある。そのためには，億頼
区闘を構成すればよい。C鼓。琶et頷．（婚9紛は，鷲灘繕頼置聡の衰（下鰯信頼鰻界値の表）を求め
ている。しかし，この表の髄は誤った前提の下で計算されてお穆，廓雛ることができない。表の形
式では，すべてのサンプルサイズに僻して提示することはできないので，実鰹に篤いる場合には補
間などの繹業が必要となる。また，震頼率を変更する度1こ購の表が必要となる。したがって，実務
的な観点からは，糖度がある程渡：よい霞蓉便な信頼区闘の近似公式の方が有霧である、
信頼区間を構成する際には，片灘鶴頼麩闘よりも薦灘信頼区鷺の方が露然である。通常は爾灘信
籟区懸を篤いるのが普通であ陰，工程能力は「悪くてもこれくらい窪，「良くてもこれくらい3と爾
麗で繕を設けておく方が解親しやすいからである。
以下では，Na繋ta a綴Nag識3ね（欝92／にそって，C鹸の嚢灘近似鱈頼区間の構成とその権能
について述べる。片耀繕頼襲閣についても講様に購成することができるが，その講容については省
酪する（翼ag袋綴aη6Na解嶽ね（ig9毒を参照／．
5．2 近似信頼区間の構成
C鮭の確率分葎の近似的な上鰯欝警α％点穿、を見鐵したい。つま箏，
Pr（δ勲鱒．／雇一α （輸
となる恥である。そのために，
欝一蜘（び3㌻導㎜響）羅・蕩
（違7〉
と定義し， ε（鍵）鷲θ，y（欝〉二τ2とおく。（37〉式より，
i…麗轟〉一Pr（4一傷一3購燐）一躍一陣 （魂8／
である。第蓬章で逮べたように，晦、i≧i．§ならyを正規近似できる。そこで，摂箸海7〉＃、4，終篇／
47〉盤Bとおくとき，ゲーrm謄一助、簸〆」は近似的に正親分布醸θ一3藪澱，〆÷9雄8〉に従う
と考える。これよ讐，（淫8〉式は，
ト岬r（鉢飾）一Pγ（麻遷編） （鋤
となる。（獅式において，パは標準正爆分布1こ近似的に従う確率変数を表す。欝）式よ箏，
θ一3藪ノ聖
♂編瓢恥
とおく。
一3護一
（謝
永覆：工程籠力振数。麺の統計的誰灘
ここで，
∫（…，…，8）』盛観響翫廼 （5i〉
酵（α1ズ，ご；護，β／業護κ＋御薦 （52）
と記号を定義する。これらの記号を購いると，（灘／式を藪について解いて
曙α業∫（z世汐／3，r㌧4，B〉 （53／
と表すことができる。（5i／式と（§2／式のあ秘だ1こは，窟，み，護，8がすべて歪で，、42一β〆〉台のと
き，
κ≦∫（窪；み，ご1煮，β）盤⇒δ≧窪（一露；κ，ご1擁，劫 （襲〉
ズ≧∫（一α；δ，‘；湾，β）盤⇒δ≦彦（α1ズ，6；擁，β〉 （酪／
という関｛系方書成り．立つ。
以上よ陰，次式が成静立っ。
i一α電Pγ（∫（一∼α／2；θ／3，π2；擁，8）≦ε艶≦∫（zα121θ／3，τ21擁，8）／
二Pズ（8（一∼α、2；◎幽，τ2；。4，β速θ／3≦〆∼α，21δ芦為，τ2；、4，B／〉 （56／
（56／式より，（蚕一∼α哲ε鹸，τ㍉擁，B〉，蚕Z．函C鹸，τも盗，8）／はθ〆3の繕頼率i一αの近似的な欝
頼区間である。
θ／3のバイアス
撫ゾ3戸E（館13／一ε勲窯θ／3一ε鹸 （57）
を考える。雇鐙／3／は瞬の纏縫数でありλ鴫のとき最小鐙一2／（御嚥／をと参，瞬について単講
轡撫し，1量瀧潔欝／3／二βとなる。また，τ2も燐の儒関数であ雛，瞬について単調増撫し，瞬＃Gの
ときr2瓢（i−2／π〉／驚，1墳mOOのときτ2輩レ麗となる。
そこで，バイアスを倉と見積もり，r2瓢㌶ηとし，永譲（鐙傷）に従って擁瓢i，B＃i〆／2∫／と設
定して，C餓の信頼区間ムを構成する。
1聖業（θ〈一∼哩，2；C声身，至〆鴛；亙，圭／（2∫／／，θ（2渡ノ2；C鹸，亙擁段，1／（2〆〉）／
《ご…碗▽嘉，碗外事の （58〉
穿F謙，トα瓢§．§5に対して信頼確率P鍾C鹸∈鎗を計算した繕果を表欝に示す。
器
第邸巻第3号
商 学 論 集
表欝．ムの信頼確率碗皿欝，玉一α＝蓉．§5）
瞬
c鰍
昏．難
昏．7轟
i、鋳
i．鋳
玉．鎗
〔1．轟§
§．鱒2
唇．鱗§
登．§斜
e．警聡
窃．鱗8
（》．鈴
9．§簿
§．鶉2
静．鱒7
韓．警55
昏．警53
辞．§53
貸．2警
§．弱5
警．瓢§
§．鱒6
軽．§5淫
§．3毒
§．958
曇．§5§
彗．縣3
暮．§53
辞．総2
暮．灘
轟．鱒圭
融．鶉2
毒．§32
§．§5i
轡．§縫
§．7彗
馨．95垂
馨．露玉
轟．9駐
§．§5i
馨．鱒至
聖．駐｛｝
辞．95董
§．§5i
馨、§騒
暮．鱒i
§．§5玉
表鴛より，ムの繕頼確率は，C寿．を轟足した下で樋の弱数である。そこで，以下では，C鹸を
闘寇して，
（59／
1CP（1〉二酸蚕Pr（c艶∈1）
を信頼落間∫の性龍の基準として採霧する。
i一喫罵倉．§§と設定して，ムに煙して1εP（ム〉を求めた結果を表艮に示す、
表賛より，ムの信頼率（の最小魑）は，わずかに名蔭の値を下蟹っているものの，実務的には問
題のないレベルと思われる。1C」Pの値を名醤の纏以上￡するために，ここでは（§7／式のバイアス
を考癒する。先1こ述べたバイアスの盤質から，δ（麟凱一i／（3獅碗／と設定する。つまり，次のような
修正信頼区間あを考える。
伝（ダ〈一如；δ鹸，轟1郎2∫）／÷悪髭謹く硬；δ鹸」／瞬i〆（2餅署§慌）
《銀＋、，轍一漂馬δ師÷、、㌃褐亨『嘉）
（鋤
1一費Z馨．9§と設定して，ムに対して／CP（為／を求めた結果を表蔦に示す。
表意．κP（跡の魑（レα二暮．§5／
躍
。離
欝
2聾
3巷
5暮
1騰
§、§灘
§．§灘
§．鶉
○．§52
轟．鱒玉
書．9§墨
辞．7聾
辞，擁§
1》．髄§
書．§轟
昏．彊§
1凄．襲§
葺．魑7
§．鱗婁
1き．蟹8
轟．鍵8
○．9塁7
§．鱗讐
春、§認
§．9逢8
§．9珪9
玉．韓
1．3難
§．§銘
9．鱗蓼
亙．鑓
暮．§4§
9．繋蓼
騨。鱗8
韓．§磐
量．鱒
轟．望警
聾．§48
離．籔8
警．鱗8
馨．蟹§
暮．§認
§．蟹§
警．鰻§
2．鰺
喜．§灘
9．94§
一3§一
永醗：工程籠力捲数。睡の統計的推灘
表懇．1CP紛の績（レα；馨．鰯
麓
c鞭
鯵
2碁
3§
5§
欝§
昏．韓
鱒．弱垂
§．§§2
昌．弱i
§．9灘
§．§灘
§．簿
§．縣5
§．蛎3
警．952
§．95圭
§．§繋
！．麟
9．縣2
§．§5重
§．露玉
酵、勇圭
辞．饒墨
差．3彗
暮．§溌
暮．§灘
§．§赫
§．95巷
9．§5圭
1．6む
（1．9溌
昼．§5｛）
暮、§灘
韓．§灘
暮．§灘
i．繋
曇．§5i
§．§灘
藝．§灘
§．95毒
巷．§驚
2．欝
（》．§溌
§．§5倉
（1，懸馨
暮。§灘
9．9憩
表器より，バイアス講整した修蓬麟頼麩縫最の信頼確率（の最小値／は名羅の魑以上となってい
ることカ§わカ≧る。
本籖で述べた内容は，名目の儒頼率i一々鱒．鱒，馨．鱒に対しても成鯵立つ。
6．最後 に
本稿では，工程能力指数C鎌の統計的推灘こついて述べてきた。統計学的垂こは，（演を一様に改
良する推定量を見つけることが一つの興味ある議題である。また，多変量への雛張は，第i章1こ述
べたように蓬論的にも実務的にも縷説しなければならない話題である。現姦は，特雛髄が多くあっ
ても，一変量ごとに工程能力捲数を験討していると思われる。多変量への拡張は，多変量での蔑格
をどのように考えるべきであるかという開題が結んでお軽，これは統計学の運論だけで定まるもの
ではない。一変量ごとに考えるということは多変量の場合に規格を矩形で考えるということである。
一方，多変量の場合は纏縫を考憲して楕霧形の規格領域を考えるほうが妥当であろう。しかし，規
格はデータから与えられるものではないから，規格籟域とデータの従う確率分姦から定まる集中楕
醗との整合性はあまりない。そこが多変量への拡張の難しいところである。
参考文献
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商 学 誌 集
第67巻第3号
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