バンドパス・フィルタ

第5回
バンドパス・フィルタ
佐々木 淑恵
これまで，いろいろな設計例をもとに，バターワース型とチ
の範囲を示す周波数で，この周波数での減衰量を阻止域端減
ェビシェフ型のローパス・フィルタおよびハイパス・フィル
衰量といいます．周波数特性は図 1 に示すとおりです．
タについて，設計手法を解説してきました．今回は，バター
ワース特性，チェビシェフ特性におけるバンドパス・フィル
タへの変換について説明します．バンドパス・フィルタへの
変換式は，参考文献が少なく，計算も複雑です．ここでは一
例題 1
次のようなバターワース特性バンドパス・フィルタを
設計せよ．
般的な変換の式を導き，公式化しました．式の導き方も記し
中心周波数 f 0 ＝ 1000Hz
てありますので参考にしてください．また，ディジタル・フ
通過域帯域幅 f p ＝ 500Hz
ィルタである IIR 型バンドパス・フィルタについても，設計
阻止域帯域幅 f s ＝ 2000Hz
アルゴリズムについてふれます．
通過域端減衰量 αmin ＝ 3dB
阻止域端減衰量 αmax ＝ 20dB
1. バターワース型バンドパス・フィルタの特性
バンドパス・フィルタは，ある一定の周波数区間の信号の
みを通過させるフィルタのことをいいます．バターワース特性
入力と出力の信号は同相として，利得は 0dBで設計する．
●次数を求める
バターワース特性バンドパス・フィルタの次数を求め
バンドパス・フィルタは，通過域帯域が平たんで，減衰域
る式は，公式 1 のとおりです．
は−6dB×n /oct（n はフィルタの次数）の傾斜で緩やかな曲線
公式 1
を描くフィルタです．通過域端周波数は，減衰量が− 3dB と
バターワース特性バンドパス・フィルタを満足す
なる点で，2 箇所存在します．この二つの周波数で囲まれた
るために必要な次数
範囲を通過域帯域幅といいます．阻止域端周波数は，阻止域
N=
[(
ω 
2 log s 
ωp 
通過域端周波数1
20
通過域帯域幅fp
0
通過域端
周波数2
fp ：通過域帯域幅（Hz）
ωp = 2π fp
平たん
fs ：阻止域帯域幅（Hz）
ωs = 2π fs
3dB
（通過域端
減衰量αmin）
利
得
（dB）
−30
)]
)(
log 10α max /10 − 1 / 10α max /10 − 1
阻止域端
減衰量αmax
α min ：通過域端減衰量（dB） （=3dB）
α max ：阻止域端減衰量（dB）
この式に例題の仕様をあてはめて計算すると，
N=
[(
)(
)] = 1.65
log 10 20 /10 − 1 / 103 /10 − 1
2000
2 log
500
で，切り上げて 2 次のフィルタを設計すればよいことがわ
かります．
−80
10
周波数（HZ） 阻止域端周波数
10k
阻止域帯域幅fs
〔図 1〕バターワース特性バンドパス・フィルタの周波数特性
118 Design Wave Magazine 2000 August
●特性パラメータを求める
次に公式 2 と公式 3 から，N ＝ 2（偶数）の場合の伝達関
フィルタ回路 の 設計ノート ＋
数を導きます．
1 段目のバンドパス・フィルタ BPF1 の中心周波数 …¾
f01 = f0 / m
公式 2
フィルタ回路の伝達関数
H (s) =
N が奇数のとき
2 段目のバンドパス・フィルタ BPF2 の中心周波数 H
( N −1 ) / 2
(s + a ) ∏ (s
0
2
+ b2 s + c2 n
n =1
H (s) =
N が偶数のとき
2
+ b2 n −1 s + c2 n −1
n =1
公式 3
)
4 × 2 × 2 + +1 + 16.7
16.7 − 4 × 2 × 2 + 1
+
2 2 ×2
2 2 ×2
= 1.194
1
1
=
s 2 + b1 S + c1 s 2 + 1.414 s + 1
1
= 0.707
1.414
f02 = 1000 × 1.194 = 1194( Hz)
です．
利得を 0dB にするためには，BPF1 と，BPF2 それぞれ
波数と Q の値を導きます．
で信号を増幅する必要があります．増幅率は，全体で，
H=
公式 4
Q 2 ( 2.87 ) 2
=
4
q2
= 2.06
となり，BPF1 の増幅率は，
バンドパス・フィルタへの変換式
中心周波数 f0（Hz）
通過域帯域幅 fp（Hz）
h1 = 2.06 = 1.43
BPF2 の増幅率は，
各特性のローパス・フィルタの伝達関数，
c
s 2 + bs + c
…¸
h2 = 2.06 = 1.43
となります．これらの特性のパラメータをまとめると図 2
の Q を，
c
b
…¹
と定義します．
4q2 + c + γ
2 2q
(4 q
2
のようになります．
●回路を設計する
バンドパス・フィルタの Q は，
Q' 
1
Q=
q m + 

m
c
ただし，
f
q= 0
fp
γ =
BPF2 の中心周波数は，
= 2.87
なので，公式 4 を使ってバンドパス・フィルタの中心周
m=
1000
= 837(Hz )
1.194
1

Q = Q'q  m + 
m
1 

= 0.707 × 2 ×  1.194 +


1.194 
c =1
f
q= 0 =2
fp
Q' =
f01 =
同じになるので，
b = 1.414
H (s) =
ここで，BPF1 の中心周波数は，
バンドパス・フィルタの Q の値は，BPF1，BPF2 とも
ここで，
Q' =
= 16.03
m=
)
バターワース特性の場合は
a0 = 1

mπ

bm = 2 a0 cos
2N

cm = 1
ただし m は 2n または 2n−1
H (s) =
(4 × 2 × 2 + 1)2 − 4 × 2 × 2 × 1.414 2
r=
H
N/2
∏ (s
…¿
f02 = f0 ×m
)
2
+
−4 q 2 + c + γ
+ c − 4 q 2b 2
2 2q
図 2 の回路を多重帰還型回路で設計します．多重帰還
…º
型回路の素子値の計算方法は図 3 のとおりです．
まず，1 段目の回路は，
…»
…¼
…½
入力
回路1
（BPF1）
回路2（BPF2）
多重帰還型
Q ＝2.87
f01＝837Hz
h1＝1.43
多重帰還型
Q ＝2.87
f02＝1194Hz
h2＝1.43
出力
〔図 2〕バターワース特性バンドパス・フィルタのパラメータ
Design Wave Magazine 2000 August 119