スライド 1 - 家研究室

東葛テクノプラザ夏休み科学教室
2006年8月8日(火)，9日(水)
かたちの科学
トポロジーって面白い
東京大学物性研究所
家 泰弘
問題（１）
１個の円のまわりに同じ大きさの円をくっつけて並べるといっ
たい何個並ぶでしょうか？ 十円玉を使って試してみればす
ぐにわかるように６個です．
これは簡単ですね．
では，球の場合はどうでしょう？ １個のボールのまわりに同
じ大きさのボールをくっつけて並べると最大何個並べることが
できるでしょうか？
ケプラー問題
ヨハネス・ケプラー
(1571-1630)
リンゴを積み上げる
球をすきまなく詰める： パッキング問題
１つの球のまわりにくっつけられる同
じ大きさの球の数は最大で１２個 ・・・
ケプラー予想
数学的に厳密な証明は１９９７年に
なってようやく成し遂げられた．
発泡スチロールの球でやってみよう
発泡スチロール用接着剤で
くっつける
１２個をくっつけるやり方はひと通
りではない．
⇒ もっと別の例を後ほど示す
正多角形と正多面体
正三角形
正方形
正六角形
正八角形
正五角形
円
頂点（ちょうてん）
１回転は３６０度
頂点の数＝３
３６０度÷３＝１２０度
頂点の数＝４
３６０度÷４＝９０度
頂点の数＝５
３６０度÷５＝７２度
頂点の数＝６
３６０度÷６＝６０度
９０度
正多角形のタイルで床を敷き詰める
隙間なく敷き詰めること
ができるのは，正三角形，
正方形，正六角形の３つ
だけ．
３６０÷６０＝６
３６０÷１２０＝３
３６０÷９０＝４
３６０÷108＝３ 余り ３６
正多面体（面が正多角形でできている立体）
正四面体
正十二面体
正六面体
(立方体）
正八面体
正二十面体
正多面体はなぜ５つしかないか？
正六角形を３つ集めると平面に
なってしまうから，
使えるのは正三角形，正四角形，
正五角形だけ
頂点に集まる
正多角形の数
３：正四面体
４：正八面体
５：正二十面体
３：正六面体
３：正十二面体
正二十面体を組み立てよう
正二十面体の
展開図
はさみでていねいに
切る
透明粘着テープで貼
り合せる（できるだけ
内側から貼るときれい
にできる）．
発泡スチロール球で作ってみよう
正二十面体配置
天動説と地動説
コペルニクス
(1473-1543)
ガリレオ
(1564-1642)
太陽系
ケプラーの法則
太陽の周りを回る惑星の
軌道は楕円である
ただし，冥王星以外の惑
星の軌道は楕円と言って
もかなり円に近い
彗星
ケプラー
(1571-1630)
宮廷の占星術
（星占い）師で
もあった
太陽
惑星
万有引力の法則
ニュートン
(1642-1727)
ケプラー模型
ケプラーの時代には惑星は，水星，金星，火星，木星，
土星の５つしか知られていなかった．
その５つと５つの正多面体が関連していると考えた．
宇宙は神様が造ったのだから完璧なはずである
太陽から惑星までの距離は正多面体を入れ子にした図
のような構造で説明できる，と考えた
問題（２）
ケーニヒスベルグという町をを流れるプレーゲル川
には，真ん中にクナイホックという島があり，その島
へは、７つの橋のいずれかを渡っていきます．この７
つの橋をそれぞれ１度ずつ通ってすべての橋を渡る
ような散歩をすることができるでしょうか？
実は，この問題は下の図形が「一筆描き」で書けるかどうか
という問題と同じです．やってみましょう．「一筆描き」という
のは，どこから描き始めても良いけれど，描いている途中は
鉛筆を紙から離さず，また同じ線を二度通ったりしないで描
くことです．試してみてください．
オイラー
一筆書き問題を解決
すべての頂点が偶数本の線の場合
⇒どこから始めても一筆書きできる
奇数本の線の頂点が２個ある場合
⇒奇数の頂点から始めれば一筆書きできる
オイラー（1707-1783）
奇数本の線の頂点が２個より多い場合
⇒一筆書きは不可能
どんな複雑な図形でもこの規則
でＯＫ ⇒ グラフ理論
オイラーの定理
正多面体の
面の数，
辺の数，
頂点の数
をそれぞれ数えてみよう
４
６
４
４＋４－６＝２
６
１２
８
６＋８－１２＝２
（面の数）＋（頂点の数）－（辺の数）＝２
この式はどんな多面体でも成り立つ
トポロジー（位相幾何学）
線のつながり方
紐の結び目
穴の数
トポロジー数学者
にはコーヒーカップ
とドーナツの区別
がつかない！
メビウスの帯
ふつうの輪
紙テープの端と端をつなげて輪をつくる
一ひねりしてつなぐ ⇒ メビウスの帯
メビウスの帯には表裏がない！
Ｍ．Ｃ．エッシャーの絵
クラインの壷
クラインの壷
円筒の端をつなぎ合わせる２つの方法
トーラス（ドーナツ型）
メビウスの帯を切ってみよう
普通の輪の真中に沿って一周切ると
⇒ 半分の幅の輪が２つできる
では，メビウスの帯の真中に沿って
一周切るとどうなるだろう？
メビウスの帯の真中ではなくて，端か
ら１/３くらいのところを切るとどうなるだ
ろう？
二回ひねって付けた輪ではどうなるだ
ろう？
今日，勉強したこと
ケプラー問題
球のまわりに同じ大きさの球を何個くっつけられるか？
パッキング問題
球を隙間なく詰めるには？
オイラー
一筆書きができる条件
オイラーの定理
メビウスの帯
トポロジーって面白い