中学校第3学年 －二次方程式－ 数学

中学校第３学年 数 学
１
－二次方程式－
コアについて
（１） 「二次方程式」における他単元や他領域等との関連
【第３学年】
(1)正の数の平方根について理解し，それを
用いて表現し考察することができるように
する。
イ 数の平方根を含む簡単な式の計算を
すること。
(2)文字を用いた簡単な多項式について、式
の展開や因数分解ができるようにするとと
もに、目的に応じて式を変形したりその意
味を読み取ったりする能力を伸ばす。
ア 単項式と多項式の乗法及び多項式を
単項式で割る除法の計算をすること。
【第１学年では…】
一元一次方程式とそ
の解の意味を理解し 、
解き方について学習
する。
【第２学年では…】
連立二元一次方程式
とその解の意味を理
解し、解き方につい
て学習する。
イ 簡単な一次式の乗法の計算及び次の
公式を用いる簡単な式の展開や因数分解
をすること。
( a + b ) 2= a 2+ 2 a b + b 2
( a - b ) 2= a 2- 2 a b + b 2
( a + b ) ( a - b ) = a 2- b 2
( x + a ) ( x + b ) = x 2+ ( a + b ) x + a b
(3)二次方程式について理解し、それを用い
て考察することができるようにする。
ア 二次方程式の必要性と意味及びその
解の意味を理解すること。
イ 因数分解したり平方の形に変形した
りして二次方程式を解くこと。
ウ 解の公式を知り、それを用いて二次
方程式を解くこと。
※参考【高校】
方程式と不等式
エ 二次方程式を具体的な場面で活用す
ること。
図形 （三平方の定理）
○三平方の定理の応用場面などで、二次方程式を利用し、より広く問題を解決する。
（２） 指導するための基本的な考え方
【積み重ねを生かした指導】
○解を求めることに習熟するのではなく、一次方程式の解法に帰着したり、平方根の考え
を活用しながら、二次方程式を解くための工夫について考えるよう指導する。
【コアを身に付けるための数学的活動】
○既習の方程式では、解決できない問題の解法には二次方程式が必要であることを、道路
や花壇の面積を求める数学的活動を通して理解できるよう指導する。
【指導上の工夫】
○具体的な問題について二次方程式を利用して解決を図るときは、特に式をつくる段階の
指導に重点を置くよう工夫して指導する。
○生徒に定着の図られていない内容について、補充的な学習を指導過程に位置付けたりす
るなどの工夫をして指導する。
-1-
２
単元名
二次方程式
３
単元の目標及び評価規準
（１） 目標
○二次方程式の必要性とその解の意味を理解する。
○二次方程式を解くことができ、それを利用できる。
（２） 評価規準
○具体的な事象を通して、二次方程式及びその解に関心をもち、二次方程式を解こうとしたり、
二次方程式を利用して、問題を解決しようとする。【数学への関心・意欲・態度】
○因数分解や平方根の考え方を用いて二次方程式が解けることに気付き、二次方程式の解き方や
解の意味を考察することができる。【数学的な見方や考え方】
○二次方程式をつくることができ、因数分解や平方根の考えを利用して解をもとめたり、その手
順や解の適否を説明することができる。【数学的な表現・処理】
○因数分解や平方根の考え方、解の公式を用いた二次方程式の解き方を理解している。【数量、
図形などについての知識・理解】
４
単元の指導計画（色付きの部分がコア）
時間
主な学習内容
二次方程式とその解
・二次方程式を成り立たせる
ｘの値について調べること
１
内容の理解と定着を図るためのポイント
○正方形の一方の辺を１㎝長くし他方の辺を１㎝短くした長
２
方形の面積が２４㎝ であったときの、もとの正方形の一
数学的活
動
辺を長さを求めるなどの具体的な場面から立式し、二次方
程式が必要であることに気付かせる。
○二次方程式の解の意味は一次方程式と同じような扱いとな
るが、相違について考え、一般に解が二つあるということ
に気付かせる。
２
因数分解による解き方
～
・因数分解を利用した解き方
３
・形に適した解き方の工夫
○因数分解によって一次式の積に変形し、
「ＡＢ＝０ならば、
積み重ね
Ａ＝０またはＢ＝０」であることを用いる方法による解き
方では、既習の一次方程式の解法に帰着できることに気付
かせる。
平方根の考え方による解き方
４
～
５
・平方根の考えを使って、二
次方程式を解くこと
・ｘの係数が偶数の場合の二
次方程式の解き方
２
○等式の変形によって、ｘ ＝ｋの形を導き、平方根の考え
を用いる方法による解き方では、平方根を求めることに帰
着できることに気付かせる。
○解を求めることに習熟するのではなく、二次方程式を解く
のに、因数分解や平方根の考えによるなど工夫して考える
ようにする。
６
解の公式による解き方
～
・解の公式について理解する
７
こと
・解の公式を用いて２次方程
○完全平方式を用いた２次方程式の解き方と比較しながら、
解の公式が導かれる過程を調べる。
○解の公式を利用することにより、２次方程式を能率的に解
く方法として生み出された解の公式の有用性を見いだす。
式を解くこと
-2-
積み重ね
時間
主な学習内容
二次方程式の利用
・二次方程式を利用して、問
題を解決する方法を考える
こと（本時案の例）
８
内容の理解と定着を図るためのポイント
○問題の解決により広く方程式が利用できることを実感させ
る。
（例）第２学年の既習事項を踏まえ、文字を用いた式のよ
さを繰り返し指導するとともに、二次方程式を用いて問
数学的活
動
指導上の
工夫
題を解決する具体的な問題を設定する。
～
○問題を解決する際に、一元一次方程式や連立二元一次方程
９
式、二次方程式を見通しをもって的確に用いることができ
るようにする。
○二次方程式のまとめとして個の学習状況に応じるため、個
別学習やコース別学習などを設定し、既習事項の定着を図
る。
10
学習のまとめ
-3-
指導上の
工夫
５
本時（８／１０）
（１） 目標
○ｎ角形の対角線の本数を文字を用いて表し、二次方程式を利用して問題を解決することがで
きる。
（２） 展開
指導のねらいと発問
○既習事項の復習
・ｎ角形の内角の和を
表す式とその求め方
を振り返る
「ｎ角形の内角の和は
どのような式で表すこ
とができたでしょう
か。」
「その式はどのように
して求めたでしょう
か。」
学習活動
○２年生の復習
・ 四角形、五角形とそれぞれについて
考え、ｎ角形の場合を求めた。
○問題の提示
「今日は多角形の対角
線の本数について考え
てみましょう。」
○解決方法の検討
問題
「表を用いて考えてみ
ましょう。」
「 四角形の対角線につ
いて考えてみましょ
う。」
「 でも、全部で対角線
の数は２本です。どう
してでしょうか。」
「 では五角形の対角線
についても考えてみま
しょう。」
「 でも、全部で対角線
の数は５本です。どう
してでしょうか。」
指導のポイント
四角形 五角形 六角形 七角形 八角形
頂点の数
４
５
６
７
８
三角形の数
２
３
４
５
６
内角の和
１８０°×２ １８０°×３ １８０°×４ １８０°×５ １８０°×６
・頂点がｎの多角形は、１つの頂点から
引いた対角線によって 、（ｎ－２）個
の三角形に分けることができる。
・１つの三角形の内角の和は１８０°だ
から、ｎ角形の内角の和は１８０°×
（ｎ－２）である。
ｎ角形の対角線の本数を求めるにはど
うしたらよいか。
・ｎ角形の対角線の本数を文字を用いた
式で表す。
・内角の和を求めたように表で考える。
頂点の数
対角線の数
積
… ｎ角形
…
ｎ
… ｎ－２
… １８０°×（ｎ－２）
み
重
ね
○第２学年で学習
した内容を提示
し、数量の関係
を文字を用いて
表すことのよさ
や必要性につい
ての理解を深める。
評価・配慮事項等
○本時で用いる問
題や表は、ワー
クシートなどに
して生徒に配付
する。
○２年生で学習し
たｎ角形の内角
の和の求め方を
表や図を使って
確認する。
数 学 的 活 動
○第２学年で学習
した内容を発展
させた問題を示
し、解決への意
欲を高める。
四角形 五角形 六角形 七角形 八角形 … ｎ角形
４
５
６
７
８
…
ｎ
…
・１つの頂点からひいた対角線の本数は
１本である。
・頂点が４つあるから対角線は４本引く
ことができる。
・２か所重なっているから２をひいた。
・同じ対角線を２回数えているので２で
割った。
・１つの頂点からひいた対角線の本数は
２本である。
・頂点が５つあるから対角線は１０本引
くことができる。
・５か所重ねっているから５をひいた。
・同じ対角線を２回数えているので２で
わった。
頂点の数
対角線の数
四角形 五角形 六角形 七角形 八角形 … ｎ角形
４
５
６
７
８
…
ｎ
２
５
…
-4-
○①重なりをひく
考え方、②２で
割る考え方につ
いて、より簡単
な方法を生徒が
問題を解決する
中で考えさせる。
指導のねらいと発問
学習活動
○問題解決（自力解決） （六角形について）
「六角形から八角形ま ・１つの頂点からひいた対角線の本数は
で考えてみよう。」
３本である。
・頂点が６つあるから対角線は１８本引
くことができる。
・９か所重ねっているから９をひく。
・同じ対角線を２回数えているので２で
わる。
（七角形、八角形については略）
頂点の数
対角線の数
「では、対角線が２０
本の多角形は八角形に
なるかどうか確かめて
みよう。どうすればよ
いか。」
「方程式を解いてみま
しょう。」
○結果の確認と学習の
まとめ
評価・配慮事項等
○既習事項が問題
の解決に役立つ
ことを実感でき
るようにする。
○個人で考えたり、
相談したりする
時間を十分に保
障する。
四角形 五角形 六角形 七角形 八角形 … ｎ角形
４
５
６
７
８
…
ｎ
２
５
９
１４
２０ …
○問題解決（相互交流） ・すべての頂点からひくことのできる本
「対角線の本数を求め
数を２で割れば対角線の本数を求める
るときに気を付けるこ
ことができる。
とは何だろう」
・１つの頂点からひいた対角線の本数は
「ではｎ角形の対角線 （ｎ－３）本
の 本 数 を 求 め て み よ ・頂点がｎ個あるから対角線は
う。」
ｎ（ｎ－３）本引くことができる。
・同じ対角線を２回数えているので、２
でわって、ｎ角形の対角線の本数は、
ｎ（ｎ－３）
本と表すことができる。
２
・対角線の本数は、
頂点の数
対角線の数
指導のポイント
○物事の関係やき
まりを見つけた
り、たどり着い
た結果について
根拠を明らかに
し筋道立てて説
明し伝え合うよ
うにする。
（評価）
○既習事項を活用
しながら、ｎ角
形の対角線の本
数を式で表すこ
とができる。【数学
的な見方や考え方】（机間指導、
ノート、発表）
四角形 五角形 六角形 七角形 八角形 … ｎ角形
４
５
６
７
８
…
ｎ
ｎ
（ｎー３）
２
５
９
１４
２０ …
２
ｎ（ｎ－３）
本と表わせるので
２
ｎ（ｎ－３）
＝２０ という式が成
２
り立つ。この方程式を解けばよい。
・両辺に２をかける
ｎ（ｎ－３）＝４０
２
ｎ －３ｎ＝４０
２
ｎ －３ｎ－４０＝０
（ｎ－８）（ｎ＋５）＝０
ｎ＝８、ｎ＝－５
ｎは４以上の整数でないと成り立たな
いので、－５は問題に適していない。
求める多角形は八角形である。
（評価）
○二次方程式を用
いて、具体的な
問題を解決する
ことができる。
【数学的な見方や考え方 】（机
間指導、ノート、発表）
○確認の問題を行う。
・ ｎ角形の対角線の本数をもとに二次
対角線の本数が３５本である多角形は
何角形ですか。（十角形）
方程式をつくり、解を求める。
○学習を振り返る。
具体的な問題を二次方程式を用いて解
決することができる。
・今日の学習から分かったことを自由記
述する。
-5-
指導上の工夫
○二次方程式を用
いることのよさ
を理解できるよ
うに、立式し、
方程式を解く問
題を設定する。
○既習事項で学ん
だ考え方をもと
に、新たな問題
の解決に活用で
きることのよさ
に気付かせる。