解答例

　series
情報誌　第 12 号 ( 2014.1 )
１
「数学を楽しもう」no.6　解説編　豆腐を右図のように 64 個の直方体に切り分けるとき、最低 6 回包丁を入れる必要があることを証明せよ。
【証明】　内部の直方体に着目する。直方体は 6 つの面で構成されるので、それぞれの面が
切り離されるには包丁を最低 6 回使う必要があるから。
【解説】
ほとんど「当たり前」であるが、どのような表現であれば説得力があるかが問われている。
２
任意の多面体の頂点 ( vertex ), 辺 (edge ), 面 ( face ) のそれぞれの数を v, e, f とするとき、
v -e+ f =2 であることを証明せよ。（オイラー Euler の多面体定理）
【証明】
任意の多面体がゴムでできていて、引き伸ばすことができると考える。
多面体のひとつの面を取り除き、多面体をその面で引き伸ばして平面図
D
A
HB
E
形する（右図）。このとき、元の多面体と平面図形との関係は、頂点の
面EFGHを
取り除き、
平面になる
ように引き
引き伸ばす。
C
G
F
H
数と辺の数は等しく、面の数が 1 つ少ないが、頂点や辺や面の接続関係
は変わらない。従って、平面図形で v - e + f の関係を調べればよい。
E
平面図形の内部の辺を取り除く操作を繰り返し、外周の多角形を残す
A
G
D
B
C
F
ことを考える。一辺を取り除くとき、その両端の頂点の繋がり具合（辺
が 3 本または 4 本以上集まるか）に応じて、次の 3 つの場合がある。
① 両端の頂点が消える場合
② 一方の頂点が消える場合
③ 両端の頂点が残る場合
頂点の数 v が 2、辺の数 e が 3、 頂点の数 v が 1、辺の数 e が 2、 頂点の数 v は変わらな いが、
面の数 f が 1 減る
※ 頂点が消え、辺がつながる
面の数 f が 1 減る
辺の数 e と面の数 f が 1 減る
※ 頂点が消え、辺がつながる
※ 辺のみが消える
①②③いずれの場合の操作においても、 v- e+ f の値は変わらない。
操作が終了し多角形になったとき、n 多角形では v = e= n, f = 1 であるから、v - e+ f =1 である。
よって、平面図形では、常に v - e + f =1 となる。
平面図形を多面体に戻したとき、面の数 f が 1 だけ増えるので、 v - e + f =2 となる。
３
正三角形 ABC において、三角形の内部の点 P から 3 辺 AB, BC, CA に下ろした垂線の長さの和は一定であることを証
明せよ。
【証明】
点 P から各辺に下ろした垂線の足を L, M, N とし、正三角形の一辺の長さを a 、面積を S とする。
A
点 P がどこにあっても、面積の関係は S =△APB+△BPC+△CPAである。
1
1
1
2S
つまり　a ･ PL+ a ･ PM+ a ･ PN= S　+ PL+PM+PN=
=一定
2
2
2
a
L
N
P
B
M
C
４
三角形 ABC について、次の問に答えよ。（入試における関連問題：2000 東北大、2013 東大など多数）
(1) 3 辺 AB, BC, CA をそれぞれ 1 辺とする正三角形 BPC, CQA, ARB を三角形ABC の外側に作る。
このとき、正三角形 BPC, CQA, ARB の外接円は 1 点 F で交わることを証明せよ。また、4AFB =4BFC =4C
FA = 120, であることを証明せよ。（点 F をフェルマー ( Fermat ) 点という。）
(2) (1) の F は、直線AP, BQ, CR の交点であることを証明せよ。（これをフェルマー点の定義とすることもある。）
(3) △ABC が 120, 以上の内角をもたないとき、点 F は 3 つの頂点 A, B, C からの距離の和が最小となる点であることを
示せ。120, 以上の角があるときはどうなるか。（この点をシュタイナー ( Steiner ) 点という。）
R
【(1) の証明】
四角形AFBR, AFCQ において、∠R=∠Q=60, であり、
A
Q
それぞれ円に内接するので、相対する内角の和は 180, なので
∠AFB=∠AFC=120, +∠BFC=120,
F
B
四角形BFCP において、∠BFC+∠BPC=180, であるから、四角形
C
BFCP は円に内接する。これは△BCPの外接円にほかならない。
【(2) の証明】
弦AR に対する円周角の関係から∠AFR=∠ABR=60, であり、
P
∠AFC=120, であるから、
R
∠RFC=∠RFA+∠AFC=60,+ 120, =180,
A
Q
つまり、R, F, C は一直線上にある。A,F,P と B,F,Q も同様である。
【解説】
F
作図で点F を求めるとき、外接円の交点を求めるより直線の交点を求める
B
C
ほうが簡単であるので、こちらを Fermat 点の定義とすることが一般である。
【(3) の証明】
点A, B, C をそれぞれ通り、AF, BF, CF に垂直な直線 l , m, n を引き、
これらの直線が作る三角形を△LMN とする。
P
N
l
I A
M
四角形AFBN において、∠AFB=120, ,∠FAN=∠FBN=90, より、
∠LNM=60, である。同様に、∠NLM=∠LMN=60, であるから、
△LMN は正三角形となる。
△LMN の内部に任意の点G をとり、G から△LMN の各辺に下ろし
n
F
B
C
G
J
た垂線の足をそれぞれ I, J, K とする。GI+GJ+GK は G をどこにとっ
K
m
ても一定であるから、
L
AF+FB+FB=GI+GJ+GK…①
ここで、GI は G と直線 l との最短距離であり、直線 m , n についても同様である。
よって、GI≦GA, GJ≦GB, GK≦GC である。また、これと①より
N
AF+FB+FB=GI+GJ+GK≦GA+GB+GC
つまり、点F において、F と A, B, C との距離の和が最小となる。
FM
△ABC の内角の1つが 120, 以上の場合、Fermat 点は△ABC の外部にくる
ので、Steiner 点と一致しない。（右図の場合、Steiner 点は A である。）
【解説】
A
B
C
Steiner点の議論は平面上の n 個の点を結ぶ最短連絡網を求める問題に一般化され、「最小 Steiner 木
A
( minimal steiner tree ) 問題」と呼ばれている。例えば「4 つの町を繋ぐ最短の道路網を作
D
る」などの切実な社会問題と結びついている。この問題は n が増えると指数関数的に計
算量が増える難問として有名であり、コンピュータを駆使して挑戦されている。
B
C