う よ け つ に を る き で に 実 演 身 ル キ ス 路 回 算 設 計 用 応

続
実設計に
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きる
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演算回路スキ ル を
を
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よ う
う
デバイスの記事
第2回
外村元伸
キュービック・スプライン補間演算器の設計
連載第1 回（本誌2006 年7 月号，pp.78-84）では，画像の拡
ても言及します．あいかわらず数式の多い説明になってい
大・縮小スケーリング表示に使われるリニア補間法やキュービ
ますが，スプライン法の画像の拡大表示への応用について，
ック補間法などの演算を取り上げました．リニア補間法は拡大
具体的に式を示したものはほかにはないと思います．
率を上げていくと画像がぼけてしまいます．そこで，補間精度
を改善するためにキュービック補間法が用いられています．前
1．キュービック・スプライン法の設計手法
回は，キュービック補間法の中でもおもにコンボリューション
（convolution）法について説明しました．コンボリューション
連載第1 回で説明したコンボリューション法は，3 次曲線間
法は，完全に解けていない方程式の未定係数を経験値で補って
の1 次微係数までの一致をとるものでした．一方，スプライ
いるという不自然さがあることを指摘しました．今回は，もう
ン法では2 次微係数まで一致させ，方程式を完全に解きます．
一つのキュービック補間法であるスプライン（spline）法を説明
キュービック・スプライン法では正規化のため，ϕ（0）＝
します．
（筆者）
前回説明したコンボリューション法に対して，スプライ
ン法は数学的に（厳密に）定義されています．そのため，拡
大率が大きくなるにつれてスプライン補間による表示のほう
1
がコンボリューション補間よりも勝ってきます注（写真
1）
．
スプライン法に関する書籍は数学書としての傾向が強く，
今のところ画像の拡大に応用するための適当な解説書が見
2
当たりません注 （p.122
のコラム「B-スプラインのさまざま
2/3 とします．8 個の未定係数を解くための連立方程式は，




























2 3 = ϕ (0) = d1
ϕ (1) = a1 + b1 + c1 + d1 = a 2 + b2 + c 2 + d 2
0 = ϕ (2 ) = 8 a 2 + 4 b 2 + 2 c 2 + d 2
0 = ϕ ' (0) = c1
ϕ ' (1) = 3 a1 + 2 b1 + c1 = 3 a 2 + 2 b2 + c 2
………
（1）
0 = ϕ ' (2) = 12 a 2 + 4 b 2 + c 2
ϕ " (1) = 6 a1 + 2 b1 = 6 a 2 + 2 b2
0 = ϕ " (2) = 12 a 2 + 2 b 2
な表現形態」を参照）
．演算器の構成にまで立ち入ったもの
は皆無と思われます．そこで，ここではあくまでも画像の
となり，完全に解けます．ここで，ϕ（± 1）＝ 0 ではないこ
拡大スケーリングにスプライン法を応用することを目的と
とに注意してください．
して説明を進めます．また，具体的な演算器の構成につい
ここでは，キュービック・スプライン法の重み関数 ϕ（x）
3
を β （x）
≡ ϕ（x）と記述することにします．これは，ϕ（x）
注 1 ：自然画像は人工画像と比べてシャープに撮影するのが難しい．しかし，
ゾーンプレートと呼ばれる人工的に描画した画像を用いて各種補間法
に基づく画像の拡大スケーリングを比較すると，スプライン法とコン
ボリューション法の違いがよくわかる（連載第 1 回を参照）
．
注 2 ：専門的なスプライン補間法については，参考文献（1）
，
（2）を参照．
KeyWord
が 3 次式であることを示すため，そしてこの関数が B
（basis）-スプライン関数と呼ばれているためです．β 3 は次
のように表せます．
リニア補間法，キュービック補間法，コンボリューション法，スプライン法，B-スプライン，鏡像，線形方程式，
前進消去，後退代入，ガウス消去法，キャリ・セーブ
120 Design Wave Magazine 2006 August
続
実設計に
る
に 応用で
で き
き る
演算回路 スキ ル を
を
身に
に つ
つ け
けよ
よ う
う
（a）原画像
（b）最近傍選択
（c）バイリニア
（d）バイキュービック・スプライン 6 点
（e）バイキュービック・スプライン 4 点
（f）バイキュービック・コンボリューション
写真 1
各種補間法に基づく画像拡大スケーリング表示結果の比較
各辺の拡大率は 7 倍，面積拡大率は 49 倍
β 3( x) =

















2 1 2
− x (2 − x ) , 0≦ x ＜ 1
3 2
1
1≦ x ＜ 2
(2 − x )3 ,
6
0,
2≦ x
f ( x) =
((
)
1
− c−1 + 3 c0 − 3 c1 + c2 x 3
6
(
)
+ ( −3 c−1 + 3 c1) x + ( c−1 + 4 c0 + c1 ))
+ 3 c−1 − 6 c0 + 3 c1 x 2
…………
（2）
………
（4）
ここで，画素位置 k に対する画素値をf k ＝f（k）とします．
ここで，ck を補間係数とし，画素位置 k ＝ 0 を基準とす
ると，補間区間 0 ≦ x ＜ 1 の補間値 （x）
f
を求めるキュービ
式（3）と式（4）は k ＝ 0 を基準とするときの式ですが，画素
位置 k ＝− 1，1，2 を基準にする場合も同様にして，
ック・スプライン補間式は，次の式（3）によって求められ
fk =
ます．
f ( x) =
2
∑c β
k
3
(x − k)
= c−1 β 3 ( x + 1) + c 0 β 3 (x )
+ c1 β
(k = −1 ,
0 , 1 , 2 ) ……
（5）
となります．ただし，4 個の補間係数 c−1，c0，c1，c2 の外
k = −1
3
1
(c + 4 ck + ck +1 )
6 k −1
( x − 1) + c2 β ( x − 2 )
3
…………………
（3）
にある c−2 と c3 は，c−2 ＝ c0，c3 ＝ c1 のように境界条件を
つけて，鏡像であると考えます．一部の文献などでは，
c−2 ＝ c3 ＝ 0 として境界条件を無視していますが，画質的
式（2）から次式が得られます．
には鏡像と考えるほうがよいようです．これにより，
Design Wave Magazine 2006 August 121