6 振動 6. 振動

6 振動
6.
キ ワ ド
キーワード
● 単振動
● 単振り子
● 減衰振動
● 強制振動と共振
● 波動
単振動とは？
ある点Qが等速円運動するとき，その点Qがあ
ある点Qが等速円運動するとき
その点Qがあ
る直径に投ずる正射影の運動を単振動という．
(等速円運動をある軸上に投影した運動をいう)
Q
点Qの上下方向の運動を投影
単振動とは？
単振動の基礎となる関係式
振動数 (1秒間に振動する回数) f (回/s)
周期 (1回の単振動をする時間) T (s)
f = 1/T
角速度 (単位時間にまわる角) ω (rad/s)
2π
ω=
= 2 πf
T
((1回まわれば 2π ラジアン回ることになる))
単振動する点の変位・速度・加速度
積分
変位 x
2π
x = A sin ωt = A sin t
T
速度 v
2π
2π
v = ωA cos ωt =
A cos t
T
T
加速度 a
2
2π
⎛ 2π ⎞
a = −ω A sin ωt = −⎜ ⎟ A sin t
T
⎝T ⎠
2
微分
単振動する点の変位・速度・加速度
等速円運動をある軸上に投影したものが単振動だから，
，
その大きさは投影軸の方向成分の大きさになる．
単振動する点の変位・速度・加速度
速度
加速度
単振動する点の変位・速度・加速度
「質点」が最初(時刻0において)どこに位置しているか
(1) 中心にあって最大速度で動いている場合
x = A sin ωt
(2) 端にあって静止し中心に向かって動き出す
場合
x = A cos ωt
v = −ωA sin
i ωt
a = −ω A cos ωt
2
単振動の加速度と変位の関係
に代入す と
変位 x = A sin
i ωt を a = −ω 2 A sin
i ωt に代入すると，
a = −ω x
2
2π
が得られる．この時，角振動数 ω =
= 2 πf より
T
ω2 は変位 x ，時間 t に関係のない定数となる．
したがって，単振動している質点の加速度は，
大きさは変位に比例し，
し
方向は中心に向かう
ばねによる振動
ばね定数
ば
定数 k のばねに質量
ば
質量 m の錘をつるして静
錘
静
止させる．錘を A だけ引き下げて，あるいは
引き上げて離すと，静止点を中心として上下
げ
に振幅 A の単振動をする．
この時の周期 T について考えてみる．
ばねによる振動
ばねによる振動
図 6.1(b)より，ばねに引かれる力 kx0 と地球に
引かれる力 mg がつり合っているとき，
mg – kx0 = 0
となる．振動しているときは，この状態から
となる
振動しているときは この状態から x
だけばねが伸びると考える(逆の場合もあり)．
この時に錘に働く力 F は，
は
F = mg – k ( x + x0 ) = - kx (6.2)
(6 2)
となる．
ばねによる振動
錘は静止点を中心に単振動をしているから，この
錘は静止点を中心に単振動をしているから
この
時の運動方程式は，
F = ma = − kx
(6.2)
k
a=− x
m
この式と，単振動における加速度と変位の関係式
a = −ω x
2
ばねによる振動
k
ω=
m
2π
2π
ω=
,T =
ω
T
(6 6) が得られる．
(6.6)
が得られる
より
m
T = 2π
k
(6 9)
(6.9)
弾力による位置エネルギー
(図6 3のようなケースをイメージ)
(図6.3のようなケ
スをイメ ジ)
ばねによる単振動における力学的エネルギー保存則
(運動エネルギー) + (弾力による位置エネルギー)
1 2
K = mv
2
1 2
U = kx
2
= 力学的エネルギー = 一定
単振り子とは？
細くて軽い糸に，小さい錘をつり下げたも
細くて軽い糸に
小さい錘をつり下げたも
のを単振り子という．錘に働く力は，地球
が引く力 mg と，糸が引く力 S のふたつで
ある．
単振り子
法線方向： S – mg cos θ
中
中心に向く加速度
向 加速度 a を錘に与えて
錘 与
円運動させる
接線方向： mg sin θ
接線方向の加速度を錘に与えて振
動させる
x
mg cosθ
mg
図6.8 単振り子
単振り子
図 6.8のような単振り子を考える．振動中のある瞬間，
6 8のような単振り子を考える 振動中のある瞬間
角 θ が極めて小さい場合，以下の式が成り立つ．
x
sin θ =
l
これより 接線方向の力 F は
これより，接線方向の力
x
mgg sin θ = mgg
l
であり，実際には
x
− mg
l
x
で示される(符号が イナスな は，θ の増える向きと
で示される(符号がマイナスなのは，θ
増える向きと
逆の向きに力が働くからである．常に中心に向かう)．
単振り子
この時の運動方程式より，
時 運動方程式より，
x
g
ma = − mg , a = − x
l
l
となる．錘の加速度 a は，常に中心 O に向かい，変
位 x に比例する．つまり，単振動する．よって，単振
に比例する つまり 単振動する よって 単振
動の式
2
a = −ω x
を用いて，
g
ω =
l
2
∴ω =
2π
l
∴T =
= 2π
ω
g
g
l
(6 37)
(6.37)
単振り子と重力加速度 g
2π
l
T=
= 2π
g
ω
より
l
g = 4π 2
T
2
この式を用いることにより，振り子の周期
この式を用いることにより
振り子の周期 T
がわかれば，その場所における重力加速度 g
を測定することができる．
を測定することができる
重力加速度 (1章より)
地球が物体を引く力，重力によって生ずる加速度を重
地球が物体を引く力
重力によって生ずる加速度を重
力加速度という．重力加速度の大きさは，地球上の場
所によりわずかに違う 標準には 北緯45°の海面上
所によりわずかに違う．標準には，北緯45
の海面上
の値 = 980.665 cm/s2 = 9.8 m/s2 を用いる．
赤道： 978.0 cm/s2
東京： 979.8
979 8 cm/s2
京都： 979.7 cm/s2
富士山頂： 978.8 cm/s2
極： 983.2
983 2 cm/s2
減衰振動 (p.88)
(p 88)
現実の振動では，摩擦や空気の抵抗などで振
動のエネルギーが失われ，振幅が時間ととも
に減衰していく．
振幅の変わらない振動を 持続振動という
振幅の変わらない振動を，持続振動という．
強制振動と共振 (p.89)
(p 89)
強制振動：物体に外から周期的な力が働き，
強制振動
物体に外から周期的な力が働き
外力と同じ周期の振動を起こさせること．
共振・共鳴：ある振動体がその物体の持って
いる固有の振動の周期に等しい周期で変化す
る外力を受けるとき，受ける振動のエネル
ギ は小さくても物体は大きく振動するよう
ギーは小さくても物体は大きく振動するよう
になる．
共振・共鳴の例
タコマ橋の破壊
1940年，アメリカにあったタコマ橋が18～20m/sの風に
共振して 橋にねじれ振動が発生し崩壊した
共振して，橋にねじれ振動が発生し崩壊した．
その他橋の落下事故
整列した軍隊が橋を行進中，兵隊の歩調が橋の揺れを増
幅させる共振現象を引き起こし，落下した．
洗濯機の脱水機
脱水機が止まりかける前に大きく振動することがある．
これは洗濯機の固有振動の周期と脱水機のかごの回転の
周期が等しくなり 洗濯機がかごに共振したためである
周期が等しくなり，洗濯機がかごに共振したためである．
波動 (p.91)
(p 91)
振動が伝わる現象を波動といい，波動を伝える
振動が伝わる現象を波動といい
波動を伝える
ものを媒質という．波が伝わる場合，波形はあ
る方向に進行するが 媒質の各点は進行せず
る方向に進行するが，媒質の各点は進行せず，
つり合いの位置を中心として振動している．
横波：
媒質の各点が波の進行方向に直角に振動する波
縦波：
媒質の各点が波の進行方向に平行に振動する波
横波(a)と縦波(b)
λ
v = λf =
T
(6.61)
6章まとめ
1.単振動する点の変位，速度，加速度
単振動する点 変位 速度 加速度
2 ばねによる単振動 (運動方程式，周期)
2.ばねによる単振動
(運動方程式 周期)
3 単振り子 (周期)
3.単振り子
4.共振，波動 (主には，言葉の意味)
演習問題 6-A-3
6A3
ばね運動の振動における周期 T の式を用いて
解けます．
演習問題 6-A-4
6A4
単振り子の周期 T の式を用いて解けます．
の式を用いて解けます
演習問題 6-A-5
6A5
演習問題 6-A-8
6A8
1 この時の運動方程式は，ma
1.
この時の運動方程式は ma = F = kx となる．
となる
2. エネルギー保存則を使うことで，解くこと
，
ができます．
演習問題 6-B-2
6B2
単振動の考え方で，問題を解く．
単振動の考え方で
問題を解く
振動数 f (回/s = Hzヘルツ) p.82
単振動における力Fと変位xの関係式は，
単振動における力Fと変位xの関係式は
F = ma = − kx
(6.1)
1
m
T = = 2π
f
k
と，f=4 Hz, a=4gを用いる
演習問題 6-B-3
6B3
重力加速度が g の時の周期 T と，重力加速度
と 重力加速度
が1/100増した時の周期 T’ との関係を考える．