翻訳> 最古のラテン語数学問題集: アルクイン 『青年達

Kobe University Repository : Kernel
Title
<翻訳>最古のラテン語数学問題集 : アルクイン『青年達
を鍛えるための諸命題』の翻訳と注解(The Oldest
Mathematical Problems in Latin : A Japanese Translation
of Propositiones ad acuendos juvenes Attributed to
Alcuin of York)
Author(s)
三浦, 伸夫
Citation
国際文化学研究 : 神戸大学国際文化学部紀要,8:157*196*
Issue date
1997-09
Resource Type
Departmental Bulletin Paper / 紀要論文
Resource Version
publisher
DOI
URL
http://www.lib.kobe-u.ac.jp/handle_kernel/81001191
Create Date: 2017-03-31
157
最 古 の ラ テ ン語 数 学 問 題 集 ポ
ア ル クイ ン 『青 年達 を鍛 え る ため の
諸 命 題 』 の翻 訳 と注 解
三
浦
伸
夫
西 欧 中世 の 数学 は13世 紀 初 頭 の ピサ の レオ ナ ル ドに結 実 す る とい え るで あ ろ
う.レ オ ナ ル ドは ア ラ ビア数 学 の圧 倒 的 影響 の も と,さ ら に独 自の研 究 を加 え,
中世 後 期 に 多大 な影 響 を与 え た の で あ る.一 方,ア
ラ ビ ア数 学 との 接 触 以 前 で
は,西 欧 は11世 紀 頃 か ら多 くの アバ クス 文 献 を残 して きた,し か しそ れ 以 前 と
な る と,多 くの数 学 史書 は古 代 末期 の ボ エ テ ィ ウス に さか の ぼ るの が 常 で あ っ
た.古 代 末期 に は,ボ エ テ ィウス 『算 術 教 程 』 や,古 代 ロー マ の 土 地 測量 師 の
手 引 きを ま とめ た 『土 地 測 量 術 』 が 著 され,こ れ らは西 欧初 期 ラテ ン世界 に も
影 響 を与 え て きた.前 者 は理 論 算 術 書,後 者 は 実用 幾何 学書 で あ り,こ れ ら に
ユ ー ク リ ッ ド 『原 論 』 か らの初 等 的抜 粋 が 理 論 幾 何 学書 と して 後 に加 わ っ た.
そ れ以 外 に は,百 科 的書 物 で あ る プ リニ ウ ス 『
博 物 誌 』,イ シ ドル ス 『語 源 』,
カ ッシ オ ドル ス 『聖 俗 教 程 』 な どに数 学 の初 歩 的 な項 目が垣 問み られ るだ けで,
西 欧 中世 初 期 に は数 学 を扱 っ た もの と して は わず か な書 物 しか な か っ た.こ
う
した な か ア ル ク イ ンの 『青 年 達 を鍛 え る た め の諸 命 題 』 は,ボ エ テ ィ ウス 以 降
西 欧 世 界 最 初 の ま とま っ た数 学 書 と して重 要 で あ る.し か しそ の存 在 は 知 られ
て はい たが,研 究 さ れ る こ とは あ ま りな か っ た.そ の理 由 は,ま ず 十 分 な批 判
校 訂 版 が な か っ た こ とで あ る.ま た そ の作 品 内容 が 初 等 数学 に属 し,し か も貧
弱 であ っ た か らで もあ る.し か しなが らア ル ク イ ンの そ の書 は,古 代 か ら中世
へ の学 問 伝 達 上 きわ めて 多 くの情 報 を提 供 して くれ る.本 稿 で は,こ の ア ル ク
イ ン 『青 年 達 を鍛 え る た めの 諸 命 題 』 を,近 年 出版 され た ラ テ ン語 批 判校 訂 版
を もと に翻 訳 し,さ らに そ こ に幾 らか の解 説 を加 え る もの で あ る.
158
1
1.ア
ル ク イ ン の 生 涯 と著 作
教 皇 大 グ レゴ リウ ス は6世 紀 末 に ブ リタ ニ ア に宣 教 師 を派 遣 し,大 々 的 に キ
リス ト教 布 教 を開 始 した.こ
う してそ の後 イ ング ラ ン ドや ア イ ル ラ ン ドに キ リ
ス ト教 が 浸 透 して い った.こ
う した なか 各 地 に修 道 院や そ の付 属 学 校 が 設 け ら
れ る よ うに な った.な か で も ノ ーサ ン ブ リ ア に あ る ヨー クの 大聖 堂付属 学 校 は,
カ ン タベ リー の そ れ と並 んで 高 度 の 文 化 を維 持 す る よ う に な っ た.そ の 付 属 学
校 の 図 書館 は8世 紀 には イ タ リ ア を除 い て 西 欧 で 最 も冊 数 を誇 る図 書 館 に な っ
て い た とい う.
ア ル ク イ ン は730年
頃 に ヨ ー ク に 生 ま れ た.778年
書 館 管 理 者 に な り,師
と め,学
に 従 っ て 少 な く と も 二 度 ロ ー マ に 旅 し,多
者 に 出 会 い,あ
て 著 名 な 教 師 と な り,各
他 方,大
に彼 は大 聖 堂付 属 学 校 の 図
る い は 教 育 を視 察 し帰 っ て き た.こ
くの 図 書 を も
う して 彼 は きわ め
地 か ら 多 くの 学 生 が 彼 の も と に 集 ま っ た と い う.
陸 の フ ラ ン ク 王 国 の 学 問 の 状 況 は惨 憺 た る も の で あ っ た.そ
ル 大 帝(742/47-817)は,782年
学 校 に 呼 び 寄 せ,そ
に,ヨ
ー クか ら ア ル ク イ ン を ア ー ヘ ン の 宮 廷
の 校 長 に 任 命 し,聖
職 者 教 化 に取 り組 ん だ.そ
の 結 果,ノ
サ ン ブ リ ア の 学 術 ・文 化 が フ ラ ン ク 王 国 へ と移 植 さ れ た の で あ る.そ
ク イ ン は,聖
書 ・典 礼 書 の 改 訂,正
書 法 改 革,カ
オ 聖 歌 導 入 な ど 多 くの 改 革 を す す め,ま
ロ リン グ朝 小 字 体 や グ レゴ リ
うして
ル ク イ ン は そ の 中心 人 物 と し て
「青 年 達 を 鍛 え る た め 」 に 数 々 の 貢 献 を し た 後,晩
年 に ト ゥー ル の 聖 マ ル タ ン
間 過 ご し,「 ア ル ク イ ン と は,常
と い う碑 文 を残 し て804年
ー
こでアル
た 神 学 論 争 に も参 加 し た.こ
「カ ロ リ ン グ ・ル ネ サ ン ス 」 が 成 立 し た,ア
修 道 院 長 と し て8年
こで カー
に 智 を 愛 す る 者 の 名 な り」
に な く な っ た.
ア ル ク イ ン の 著 作 の 三 分 の 二 は 神 学 に 関 す る も の で あ る.ま
究 に 不 可 欠 な も の と し て 自 由 七 科 の 学 習 の 必 要 性 を 説 い た.こ
法 』,『弁 証 論 』 な ど の 三 科 に 関 す る 初 等 教 科 書 を残 し て い る.四
『音 楽 』 が 書 か れ た と さ れ る が 現 存 し な い.四
が 『青 年 達 を 鍛 え る た め の 諸 命 題 』 で あ る.ま
た 彼 は,聖
う して彼 は
書研
「文
科 に 関 し て は,
科 を扱 っ た 唯 一 の 残 され た 作 品
た,カ
ー ル大 帝 との 間 で 交 わ さ
159
れ た天 文 学 に 関す る書 簡 が 残 され て い る.彼 の著 作 の一 部 は対 話 体 で書 か れ,
実 践 的 教 育 的傾 向 を持 っ てい た よ うで あ る.
2.『 青 年 達 を鍛 え る た め の 諸 命 題 』
『青 年 達 を 鍛 え る た め の カ ー ル 大 帝 の 学 者 ア ル ク イ ン に よ る 諸 命 題 』
(Pr・P・rti・nes・41cuinid・ct・risσ
juvenes)の
テ ク ス ト は,ミ
αr・liMαgnilmperat・risαdα
ー ニ ュ版
・uend・S
『ラ テ ン 著 作 者 集 』 の ア ル ク イ ン の 巻 に
る
う
含 ま れ て い る.ま
た,ベ
ー ダ の 巻 に も ベ ー ダ偽 書 と し て 含 ま れ て い る.し
な が ら そ の 批 判 校 訂 版 の 編 集 は 長 い 間 試 み ら れ る こ と は な か っ た.よ
か し
う や く19
78年 に な っ て,フ
1993年 に,フ
ォ ル カ ー ッ は12の 写 本 を も と に 批 判 校 訂 版 を 出 し た.さ
らに
ォ ル カ ー ッ と ゲ ー リ ケ と は テ ク ス トに 独 訳 と解 説 と を付 け て 出 し
た.た
だ し こ の テ ク ス トに は 異 読 な ど が 示 さ れ て お ら ず,文
劣 っ て い る.他
方 シ ン グ マ ス タ ー ら は,1992年,英
献 上 で は 先 の版 に
訳 に先 の フ ォ ル カ ー ツ と ゲ ー
お
リケ に基 づ い た解 説 を付 け て 出 した.こ
う して 『青 年 達 を鍛 えるた めの諸 命題 』
の 研 究 は端 緒 につ い た ば か りで あ る.
『青 年 達 を鍛 え る ため の諸 命 題 』 は53の 具 体 的問 題 か らな る.し か し9世 紀
ら
末 の もので あ る現 存 最 古 の 写 本 は,お お よ そ全 体 の 三 分 の一 を欠 い て い る.し
た が っ て時 代 と と も に問 題 が 付 け加 え られ てい っ た のか も しれ な い.と こ ろで
執 筆 年 代 お よ び場所 に関 す る情 報 は残 され て い ない.問 題 中 に ラ ク ダ,東 洋 の
商 人 な どが 登 場 す る こ とか ら,執 筆 地 は ヨ ー クで は な くフ ラ ン ク王 国 での 可 能
性 もあ るが,決 定 的 な こ とは な に も言 え ない.そ れ ら問 題 が 後 に な っ て付 け加
え られ こ と もあ る し,ま た古 代 か ら伝 承 され て きた 問 題 を取 り入 れ た だけ か も
しれ な い か らで あ る.実 際,扱 わ れ て い る 問題 は雑 多 で あ る.問 題 に は具 体 的
数値 が 与 え られ,そ の 数値 解 が 問 わ れ る.幾 何 学 の 問 題 とい え ど も,面 積 な ど
の 数値 問題 で あ る.類 似 した 問題 は大 方 は順 に な っ て は い る が,問 題 配列 には
取 り立 て て基 準 が あ る わ け で は な い よ うで あ る.す べ て 問題 は,「 ….言
いな
さ い」 とい う形 で終 わ る.問 題 の あ とに は直 ち に具 体 的解 答 とそ の検 算 とが与
160
え ら れ る が,決
して 解 法 は 示 さ れ な い.教
育 的 配 慮 か ら解 法 は 読 者 に 委 ね ら れ
た の で あ ろ う か 。 当 時 の 資 料 が 少 な い 今,そ
ア ル ク イ ン は 自 由 七 科 を 重 要 視 した が,彼
ウス
の 解 法 は 推 測 に よ る しか な い.
はユ ー ク リ ッ ド 「
原論 』や ボエ テ ィ
『算 術 教 程 』 の よ う に 理 論 算 術 を 扱 わ な か っ た.教
は,当
時 の 教 育 の 実 際 を 鑑 み,そ
育 家 と して ア ル ク イ ン
の 程 度 に 合 わ せ て 実 際 的 な 教 育 を 目指 し た も
の と 思 わ れ る.そ
の 点 か ら 言 え ば,『 青 年 達 を鍛 え る た め の 諸 命 題 』 は,数
書 の な か で も,数
学 パ ズ ル 集 あ る い は 数 学 遊 技 集 と も呼 べ る 部 類 に 属 す る こ と
に な る.と
りわ け 問 題11,14,17,18,19,20,43は
伝 統 は ギ リ シ ャ,イ
根彦循
ン ド,中
パ ズ ル とみ な せ る.こ
国 と 各 文 化 圏 に も 見 ら れ る もの で,和
『勘 者 御 伽 双 紙 』,村 井 中 漸
『算 法 童 子 問 』,福 田 理 軒
ど に う か が え る.ギ
リ シ ア ・ラ テ ン 世 界 で 言 え ば,ギ
ロ ドル ス(4∼6世
紀 頃)の
学
の
算 で も,中
『算 法 玉 手 箱 』 な
リ シ ア語 で 書 か れ た メ ト
『算 術 エ ピ グ ラ ム 』 が そ れ 以 前 か ら あ る 諸 問 題 を
ま とめ た もの だ が,ア ル ク イ ンの 書 との 類 似 性 を持 つ.ア ル ク イ ンの は この 種
の もの と して は ラテ ン語 で 書 か れ た 今 日 まで に知 られ う る最 古 の もの で あ る.
そ こで扱 わ れ た 問 題 は,後 に ピサ の レオ ナ ル ド 『算 盤 の 書 』(1202年)を
はじ
め と して,そ れ 以 降14世 紀 か ら16世 紀 にか け て の イ タ リ ア算 法 学 派 の テ クス ト
に 用 い られ る よ うに な る.だ が 算 法 学 派 が 衰 え た17世 紀 に な る と,そ れ ら問 題
は バ シ ェ に よ っ て 集 大 成 さ れ,さ
好 者 用 の 著 作 に 多 く現 れ る.こ
ら に 今 度 は フ ラ ン ス,英
国 な どの 数 学 遊 技 愛
う して サ ム ・ロ イ ドや 今 日 の ガ ー ドナ ー に 至 る
こ と に な る.
3.問
題 の分 類
シ ング マ ス タ ー に よる分 類 に 幾 らか変 更 を加 え て,問 題 を 分類 整 理 して み よ
ユ う.用 い られ て い る 数 字 は 問題 番 号 で あ る.
算術 問題
単純 な乗法
50
161
単 純 な 除 法37,46,49
速 さ の 問 題1
イ ヌ と ウ サ ギ26
1元 方 程 式
挨 拶 の 問 題2,3,4,36,40,44,45,48
ア ハ 問 題7
数 列 の和
算 林了数 り42
幾イ
可数 列13,41
利 益 配 分6
2元 一 次 連 立 方 程 式16
謎 解 き 問 題14,43
百 鶏 問 題5,32,33,33a,34,38,39,47
遺 産分 配
樽12,51
双 子35
幾 何 学 問題
面積
矩 形9,10,21,22,23,24,25,27,28,29,30,31
円 形25,29
そ の他 の 問題
奇 妙 な 家 族11,11a,11b
渡 船17,18,19,20
さ て,幾
(1)百
つ か の 典 型 的 な 問 題 を 見 て み よ う.
鶏 問題
こ れ は5世
紀 中国の
『張 丘 建 算 経 』 巻 下38の,「
今 有 鶏 翁 一 直 銭 五,鶏
母一
162
直 銭 三,鶏
雛 三 直 銭 一,凡
bbl+cz=h,x+y+z==feと
百 銭 買 鶏 百 隻,問
鶏 翁 母 雛 各 幾 何 」 に 由 来 し,α κ+
い う連 立 不 定 方 程 式 に 還 元 で き る 問 題.h=100と
る と典 型 的 な 百 鶏 問 題 に な る.ア
ル ク イ ンで は 次 の よ う な 数 値 を 持 つ.
第5問10x+5y+(1/2)z=100,
x-←y一 ト2=100;(x,bl,2)=(1,9,90)
第32問3x十2bl十(1/2)z=20,
x十
ツ 十z=20;(x,ニ
第33問3x十2y十(1/2)z=30,
x十
二y一
トz=30;(x,ly,z)=(3,5,22)
第33a問3x+2y+(1/2)2=90,
x十
二y十z=90;(x,二y,2)=(6,20,64)
第34問3x+2y+(1/2)2=100,
x十bl-1-z=100;(x,y,2)=(11,15,74)
第38問3x+y+(1/24)2=100,
x十
第39問5x+y+(1/20)z=100,
x一 トニy十z==100;(x,二y,z)=(19,1,80)
第47問
2x十(1/2)y十(1/4)z=12,x十
こ こ で,第34問
す
ソ,z)=(1,5,14)
二y一
トz=100;(っ
二y一
ト2=12;
じ,二y,z)=(23,29,48)
(x,)ノ,z)=(5,1,6)
は 他 に も(17,5,78),(14,10,76),(8,20,72),(5,
25,70),(2,30,68)と
複 数 の 解 が 可 能 で は あ る が,テ
クス
トで は た だ 一 つ
ユ
ヨ
し か 示 さ れ て い な い.
(2)土
地測量
土 地 測 量 に 関 し て は 古 代 ロ ー マ 以 来 多 くの 文 献 が 残 さ れ て い る 。 ア ル ク イ ン
も そ の 伝 統 下 に あ る と み て よ い で あ ろ う.幾
が 土 地 測 量,27,28,29が
何 学 の 問 題 で も,22,23,24,25
都 市 に 家 屋 を 建 て る 問 題 で あ る.こ
『
作 者 未 詳 の 幾 何 学 』(Geometriaincertiauctoris)に
れ ら は ま た,
も表 現 や 値 が 少 し異 な
ヰ
る けれ ど も見 い だ さ れ,両 者 の 問題 の類 似 性 が 指 摘 で きる.
これ らの 中 に は古 代 中 国,エ
ジ プ トに見 られ る問 題 と類 似 した もの もあ るが,
これ ら古代 文 明 とア ル ク イ ン との 直 接 の影 響 関係 を見 い だす の は 困難 で あ る .
ア ル ク イ ンは 図 書館 管 理 者 と して 多 くの ラ テ ン世 界 の文 献 に通 じてい た.実 際,
彼 は 図書 の 著作 リス トを詩 文 に して残 して い る.し たが っ て ロ ーマ 時 代 末 期 以
163
来 の ラ テ ン語著 作 か らの 影響 は 間 違 い ない で あ ろ う.ア ル ク イ ン 自 身 に は ギ リ
シ ア語 の知 識 は な か っ た とい わ れ て い る.彼 自身 この 著 作 以 外 に は数 学 書 を残
してお らず,ま
たお そ ら くは書 か な か っ た で あ ろ うか ら,そ の 問 題 作 成 能 力 は
不 明で あ る.し か し彼 の 受 け た 当 時 の 数学 教 育 の状 況 か ら して,問 題 の 多 くは
既 に存 在 してい た 多 くの 問 題 か ら選 び取 られ た と見 て差 し支 えな い と思 われ る.
4.数
表 記 と計 算 法
ア ル ク イ ン の 時 代 に は,計
ら れ て い た.実
際,ア
バ ク ス が 用 い ら れ る よ う に な る の は11世 紀 初 頭 の ジ ェ ル
ベ ー ル の 頃 か ら で あ り ,さ
ら で あ る.さ
算 途 中 の 数 表 記 に は古 代 ギ リシ ア以 来 の指 が 用 い
ら に ア ラ ビ ア 数 字 に よ る 計 算 法 は12世 紀 に な っ て か
て 指 に よ る 数 表 記 で は,両
ま で を 示 す こ とが で き る.ア
算)を
た が,複
指 を 用 い てn・10`(n=1-9;i=0-3)
ル ク イ ン の 師 で あ る ベ ー ダ が コ ン プ ト ゥ ス(暦
押 し進 め た こ とか ら,計
計
算 法 は 学 者 た ち の 間 で は い く ら か 普 及 して は い
雑 な 計 算 に な る と 写 本 で も多 くの 誤 記 が 見 ら れ る .実 際,問
題 で扱 わ
れ て い る 数 値 も 計 算 が 楽 に な る よ う に と10の 倍 数 が 多 い.
ア ル ク イ ン は ま た ロ ー マ 数 字 を 用 い て い る が,こ
な い の は1000倍
の 数 で あ る.ま
た 部 分 に つ い て は,数
ず 彼 は,あ
る い は 写 本 の 写 字 生 は,1000を
字 の 上 に 線 を付 け る.た
つ ま り一 般 的 に 用 い ら れ て い る と さ れ るMは
1000の1000倍
で はmiUemilliaと
millemilliaXCVIICLIIと
な り,用
超 え
あ る.
用 い ら れ な い の で あ る .さ
ら に,
な わ ち,2097152はbis
い ら れ て い る 最 大 数1073741824は,
表 記 され る.
を表 記 す る の に ど ち らを用 い る か の基 準 が な い ま ま数
詞 と ロ ー マ 数 字 と が 併 用 さ れ て い る.な
表 記 も み え る.こ
と え ば,7500はVIIDで
い う 数 詞 を 用 い る.す
miliesI.XXIIImillemilliaDCCXLIDCCCXXIIIIと
写 本 と 編 集 本 で は,数
こで 注 意 して お か ね ば な ら
か に はTriginta皿(三
十3)の
ような
う い っ た 混 在 の 数 表 記 は そ の 後 も 中 世 西 欧 で は み ら れ る.
164
最 後 に,用
い ら れ て い る 単 位 を 示 して お く.
長 さ
1ペ ー ス=12ウ
ン キ ア(;約30crn)
1パ ッ ス ス=5ペ
ース
1ペ ル テ ィ カ=10ペ
ース
1レ ウ ヴ ァ=1500パ
ッス ス
1ク ビ トゥ ス(=約45cm)
面積
1ア リ ペ ン ヌ ス=(12ペ
ル テ ィ カ)2(=約1300m2)
容積
1メ ル ス=3セ
ク ス タ リ ウ ス(=約3/2リ
1モ デ ィ ウ ス=24セ
ッ トル)
クス タ リウス
1メ
トル ム=48セ
クス タ リウ ス
1メ
ト レテ ー ス=3モ
デ ィウ ス
重 さ
1ソ リ ド ゥ ス=12デ
1リ ブ ラ=20ソ
ナ リウ ス
リ ド ゥ ス=12ウ
ンキ ア
値段
1ソ リ ド ゥ ス=12デ
1リ ブ ラ=20ソ
ナ リ ウス
リ ド ゥ ス;12ウ
1タ レ ン ト ゥ ム=75ポ
1ポ ン ド ゥ ス;12ウ
ンキ ア
ン ドゥス
ン キ ア=72金
ソ リ ドゥス
翻 訳 に あ た っ て の注 意
[]内
は訳 者 が補 っ た もの.
原 文 が ロ ー マ 数 字 の もの は 算 用 数 字 で,原 文 が 数 詞 の もの は漢 数 字 で と訳 し分 け た.
各 問題 の 末 文 は,「 望 む 者 は,… 言 い な さい 」,「で き る者 は,… 言 い な さい 」 な ど
165
で あ るが,こ れ らの 「
望 む者 」,「で き る者 」 等 は訳 文 で は省 略 した.
会 話 部 分 の 「」 は訳 者 が 補 った.
〈 〉 内 は テ ク ス ト校 訂 者 フ ォ ル カ ー ツが 補 った もの.
ユら
『
青 年 達 を鍛 え る た め の諸 命 題 』 翻 訳 と注 解
[1,]ナ
メクジ
1レ ウ カ 離 れ た と こ ろ に い る ナ メ ク ジ が ツ バ メ か ら 食 事 に 招 待 さ れ た.と
ろ が ナ メ ク ジ は,日
に1ウ
ン キ ア の 歩 行 し か で き な か っ た.で
こ
は この ナ メ ク ジ
は 何 日 か か っ て こ の 食 事 に た ど り着 け る で あ ろ う か を 言 い な さ い.
解
答
1レ ウ カ は1500パ
ッ ス ス,あ
る い は7500ペ
ー ス,あ
る い は90000ウ
ン キ ア.
ら
ウ ン キ ア と 同 じ だ け の 日 に ち が か か っ た.そ
[2.]道
れ は246年
と210日 で あ る.
行 く男
道 行 く男 が 向 か っ て くる 人 を見 て,彼
らに こ う言 っ た.「 あ な た 方 と同 じ人
数 だ け他 に も人が い て,ま た[そ の合 わせ た 人 数 の]半 分 の 半 分 の 人 と,さ ら
に 〔以上 の]半 分 の 人 数 に 関 して そ の半 分 の 人 が い た と し よ う.す る と私 を含
め て100人 に な った 」.で は最 初 に彼 が見 た の は何 人 で あ っ たの か を言 い なさい.
解
答
最 初 に 彼 が 見 た の は36人 で あ っ た.[そ
は72人,[そ
の]半
い な さ い.「72人
分 の 半 分 は18人,そ
と18人 と で90人
れ と]同
の 半 分 は9人
を な す.9人
ユア
加 え よ.す
る と100人 が 得 ら れ る で あ ろ う 」.
じ人 数 だ け の 他 の 人[と]
で あ る.そ
を 加 え よ.99人
れ ゆ え こ う言
に な る.話
者 を
166
[3.]コ
ウノ トリ を見 た 二 人 の 旅 人
二 人 の 道 行 く男 が コ ウ ノ ト リ を 見 て,「 何 羽 い る の だ ろ う か 」 と 互 い に 言 い
交 わ し た.数
を 議 論 し な が ら彼 ら は こ う 言 っ た.「 も し他 に も同 じ数 だ け い て,
ま た 三 度 目 も 同 じ数 だ け い て,さ
が 加 え ら れ る と,100羽
ら に そ の 三 分 の 一 の 半 分 が い て,そ
に な っ た 」.で は,最
して 二 羽
初 に 彼 らが 見 た の は 何 羽 で あ っ た
の か を 言 い な さ い.
解
答
28羽 と28羽 と三 度 目 の 同 じ 数28羽
分 は14羽 で あ る.す
を 合 わ せ て84羽
る と全 体 で98羽 で あ る.こ
に な り,そ
の三 分 の一 の半
う し て 二 が 加 え ら れ る と100羽
に な る.
[4.]人,お
よ び 野 原 に 放 し飼 い に さ れ た ウ マ
あ る 男 が 野 原 に 放 し飼 い に さ れ た ウ マ を見 て,そ
た.「 そ れ ら が 私 の も の で,さ
れ ら を欲 し くな っ て こ う言 っ
ら に 他 に も 同 じ頭 数 だ け と,そ
半 分 と が 私 の もの で あ っ た ら な あ 」.す る と き っ と 彼 は100頭
と に な る で あ ろ う.で
は,最
して そ の 半 分 の
の 馬 を 自慢 す る こ
初 に そ の 人 物 は 何 頭 の 放 し飼 い の ウ マ を見 た の か
を判 定 し な さ い.
解
答
放 し飼 い に され て い る の は40頭 の 馬 で あ った.他 の 馬 と合 わせ る と80頭 に な
ユ る.こ
の 半 分 の 半 分,つ
[5.]100デ
ま り20頭 が 加 え ら れ る と100頭 に な る.
ナ リ ウ ス を持 つ 買 い 手
あ る 買 い 手 が 言 っ た,「 百 デ ナ リ ウ ス で100頭 の ブ タ を 買 い た い.た
タ を10デ ナ リ ウ ス,母
ブ タ を5デ
で 買 う と す る 」.さ て,頭
何 頭 の 母 ブ タ,何
ナ リ ウ ス,他
だ し雌 ブ
方 二頭 の 子 ブ タ を一 デ ナ リ ウス
数 が 過 不 足 な い よ う に す る た め に は,何
頭 の 子 ブ タ に な る の か を 言 い な さ い.
頭 の 雌 ブ タ,
167
解
答
9頭 の 母 ブ タ と一 頭 の 雌 ブ タ と を 五 十 五 デ ナ リ ウ ス,そ
40デ ナ リ ウ ス で 買 い な さ い.す
る と90頭 の ブ タ に な る.残
10頭 の 子 ブ タ を 買 い な さ い.す
る と 双 方 で100頭
し て80頭 の 子 ブ タ を
りの五 デ ナ リ ウス で
[6.]100ソ
と な る で あ ろ う.
リ ド ゥス 所 持 して い る 二 人 の 商 人
合 わ せ て100ソ
リ ド ゥ ス 所 持 し て い る 二 人 の 商 人 が い て,そ
タ を購 入 した.ニ
ソ リ ドゥ ス で5頭
の ブ タ を 買 い,そ
れ らで 彼 ら は ブ
れ ら を 太 ら せ,再
び売 っ
て も う け よ う と し た 。 しか し彼 ら は ブ タ を 太 ら せ る に は 適 切 な 時 期 で は な い こ
と が わ か り,し
か も 彼 ら は ブ タ を 冬 に 放 牧 す る こ と が で き な か っ た の で,で
る こ と な ら そ れ ら を 売 っ て 利 益 を得 よ う と した.し
た.と
き
か し なが ら そ う は で きな か っ
い う の も彼 ら は そ れ ら を 買 っ た 値 段 で し か 売 る こ と が で き な か っ た か ら
で あ る.つ
ま り,5頭
わ か っ た の で,彼
の ブ タ を ニ ソ リ ド ゥ ス で 得 た よ う に で あ る.こ
の こ とが
ら は 互 い に 言 葉 を 交 わ し た.「 ブ タ を 分 け る こ と に し よ う 」.
彼 らが 買 っ た よ う に ブ タ を 分 け る こ と が で き れ ば 利 益 が 得 ら れ る で あ ろ う.で
は 最 初 に は 何 頭 の ブ タ が い た の か を 言 い な さ い.そ
し て 分 割 し て 売 っ て,し
た
が っ て 直 ち に 売 る こ と で は 得 ら れ な か っ た よ う な 利 益 を 得 な さ い.
解
答
最 初250頭
の ブ タ が い た が,そ
わ れ て い る の で あ る か ら,100ソ
れ ら は5頭
リ ド ゥ ス で 買 い 集 め ら れ た.と
五 十 倍 も50の 五 倍 も250で あ る か ら.そ
方 も 同 じだ け 手 に 入 れ た.片
他 方 は[品
質 の]す
の ブ タは ニ ソ リ ド ゥス で あ る と言
方 は[品
れ ら を 分 割 し て 片 方 の 商 人 は125頭,他
質 の]劣
っ た ブ タ 三 頭 を一 ソ リ ド ゥス で,
ぐ れ た ブ タニ 頭 を 一 ソ リ ド ゥ ス で 売 っ た.こ
た ブ タ を売 っ た 者 は120頭 の ブ タ か ら40ソ リ ドゥ ス を 得 た が,他
ブ タ を 売 っ た 者 は60ソ
リ ド ゥ ス で,す
い うの も五 の
リ ド ゥス を 得 た.と
ぐれ た ブ タ20頭 は10ソ
て 双 方 に は そ れ ぞ れ ブ タ5頭
う し て,劣
方,よ
っ
り よい
い う の も劣 っ た ブ タ30頭 は 常 に10ソ
リ ド ゥス で 売 ら れ た か ら で あ る.こ
が 残 っ て お り,そ
れ ら か ら彼 ら は4ソ
うし
リ ドゥス と
168
ユ
ニ デ ナ リ ウ ス の 利 益 を 得 る こ と が で き た.
[7.]30リ
ブ ラの 重 さの 皿
金,銀,真
る.銀
鍮,鉛
か ら な る30リ ブ ラ,つ
は 金 の 三 倍,真
ま り600ソ リ ド ゥ ス の 重 さ の 皿 が あ
鍮 は 銀 の 量 の 三 倍,鉛
は 真 鍮 の 三 倍 の 重 さ で あ る.で
は
各 々 の 金 属 は ど れ ほ ど の 重 さ な の か を 言 い な さ い.
解
答
金 は 九 ウ ン キ ア の 重 さ に な る.銀
三 ウ ン キ ア に な る.真
ラ と9ウ
6リ ブ ラ と9ウ
は 三 倍 の6リ
ン キ ア の 重 さ に な る.9ウ
ン キ ア,20リ
ブ ラ と3ウ
さ ら に ソ リ ド ゥ ス に 関 す る 別 法.金
は 三 倍 の15,つ
ン キ ア の 三 倍,つ
鍮 は 三 倍 の ニ リ ブ ラ と 三 倍 の3ウ
ン キ ア の 重 さ に な る.鉛
り20リ ブ ラ と3ウ
は9ウ
ま り45.真
ン キ ア,つ
ブ ラ と 三 倍 の9ウ
ン キ ア,2リ
ま り6リ
ブ
ン キ ア,つ
ま
ブ ラ と3ウ
ン キ ア,
ン キ ア が 加 え ら れ る と30リ ブ ラ に な る.
は く 銀>15ソ
鍮 は 三 倍 の45つ
り405で あ る.405と135と45と15と
ま りニ リ ブ ラ と
リ ド ゥス の 重 さ で あ る.銀
ま り135で あ る.鉛
は 三 倍 の135つ
を 合 わ せ な さ い,す
る と600ソ
こ に は そ れ ぞ れ[最
大 で]三
ま
リ ドゥスが 得
ら れ,こ
れ は30リ ブ ラ で あ る.
[8.]樽
100メ ト レ テ を 含 む 樽 が あ り,そ
流 す こ と の で き る3本
の 管 が つ い て い る,モ
六 分 の 一 と が 一 つ の 管 を,も
デ ィウス の 数 の う ち の三 分 の 一 と
う 一 つ の 管 に は 三 分 の 一 だ け が,第
は 六 分 の 一 だ け が 流 れ て い る.で
モ デ ィウス を
三 番 目の管 に
は各 々の 管 に は一 体 どれ ほ どの セ ク ス タ リウ
ス が 流 れ て い る の か を 言 い な さ い.
解
答
最 初 の 管 に は3600セ
ク ス タ リ ウ ス が,第
二 の 管 に は2400セ
き
第 三 の 管 に は1200セ
クス タ リ ウス が 流 れ て い る。
ク ス タ リ ウ ス が,
169
[9.]外
套
私 は 丈100ク
ビ ト ゥ ス,幅80ク
そ れ ぞ れ が 丈5ク
ビ ト ゥ ス の 外 套 を持 っ て い る.そ
ビ ト ゥ ス,幅4ク
れ を 分 け て,
ビ ト ゥス の 小 外 套 を 作 りた い.で
は何 着 の
小 外 套 が 作 ら れ る の か を 言 い な さ い.
解
答
400の 八 十 分 の 一 は5,百
分 の 一 は4で
あ る.そ
4を 百 倍 し て も 汝 は 常 に400を 見 い だ す.そ
れ ゆ え5を
八 十 倍 し て も,
れ だ けの 小 外 套 が 作 られ る で あ ろ
う.
[10.]麻
私 は 長 さ60ク ビ ト ゥ ス,幅40ク
ビ ト ゥ ス,幅
ビ ト ゥ ス の 麻 を 持 っ て い る.そ
四 ク ビ ト ゥ ス に な る よ う に 分 け て,下
れ を長 さ六 ク
着 を 作 りた い.で
は何着の
下 着 が そ こ か ら作 ら れ う る の か を 言 い な さ い.
解
答
六 十 の 十 分 の 一 は6,四
十 の 十 分 の 一 は4で
も 四 十 の 十 分 の 一 も十 回[取
4ク ビ ト ゥ ス の 百 着[の
[11.]そ
れ る]と
下 着]が
あ る.そ
れ ゆ え 六 十 の 十分 の 一
見 な さ れ る の で,長
さ6ク
ビ ト ゥ ス,幅
見 い だ せ る.
れ ぞ れ の姉 妹 と結 婚 す る 二 人 の 男
も し二 人 の男 が 互 い に一 方 が 他 方 の 姉 妹 と結 婚 した ら,彼 らの子 供 た ち は互
う
い に どの よ う な親 族 関 係 に な るの か を言 い な さ い.
[11a.]そ
れ ぞ れ の母 親 と結 婚 す る二 人 の男
も し二 人 の 男 が 互 い に一 方 が 他 方 の 母 親 と結 婚 した ら,彼 らの 子 供 た ち は互
い に どの よ う な親 族 関 係 で 結 びつ け られ るの で あ ろ うか.
170
[11b.]父
と 息 子,未
も し 父 と息 子 が,残
亡 人 とそ の 娘
さ れ た 妻 つ ま り未 亡 人 と そ の 娘 と,息
親 と い う組 み 合 わ せ で 結 婚 す る の な ら,彼
子 と 母 親,娘
と父
らか ら生 まれ た 子 供 た ちは 互 い に ど
ア
の よ うな 関係 で結 ば れ る の か を言 い な さい.
[12.]あ
る家 長 とそ の 三 人 の息 子 た ち
あ る家 長 が 死 ん で,そ の三 人 の 息子 た ち に 遺 産 と して30個 の ガ ラス ビ ン を残
した.そ の うち の十 個 は油 で満 た され,他 の 十個 は 半分 満 た され,第 三番 目の
十 個 は空 で あ っ た.三 人 の息 子 各 々 に ガ ラ ス ビ ン と油 とが等 し く行 き渡 る よ う
に,油
解
とビ ン とを分 け な さい.
答
そ れ ゆ え 三 人 の 息 子 と30個 の ガ ラ ス ビ ン と が あ る.ガ
は 満 杯 で,10個
は 半 分 満 た さ れ,10個
は 空 で あ る.十
ラ ス ビ ン の う ち の10個
を 三 倍 す る と30に な る.
各 々 の 息 子 に 対 し て10の ガ ラ ス ビ ンが 取 り分 と し て 与 え ら れ る.三 分 しな さ い.
す な わ ち,第
一 番 目 の 息 子 に は10個 の 半 分 満 た さ れ た ガ ラ ス ビ ン を,つ
二 番 目 の 息 子 に は5個
の 満 杯 の ビ ン と5個
も 同 様 に 与 え な さ い 。 す る と3人
の 空 の ビ ン と を,第
いで第
三 番 目の息 子 に
の 兄 弟 の 間 で ガ ラ ス ビ ン と油 とが 等 し く分 け
ら れ る で あ ろ う.
[13.]王
とそ の 軍 隊
あ る 王 が そ の 召 使 い に,そ
仕 方 で,30の
一人で
た.こ
解
,第
れ ま で 召 集 し て き た の と 同 じ人 数 を 集 め る と い う
村 か ら軍 隊 を 召 集 す る よ う 命 じ た.た
二 の 村 に は も う 一 人 と,さ
だ し彼 ら は最 初 の 村 に は
ら に 第 三 の 村 に は[他
に]三
人 で 出か け
れ ら30の 村 か ら ど れ だ け の 人 が 集 め られ た の か を 言 い な さ い,
答
そ れ ゆ え 最 初 の 逗 留 で は二 人,第 二 で は4人,第
三 で は8人,第
四 で は16人,
171
第 五 で は32人,第
512人,第
六 で は64人,第
十 で は1024人,第
8192人,第
十 一 で は2048人,第
十 四 で は16384人,第
十 七 で は131072人,第
七 で は128人,第
十 二 で は4096人,第
十 五 で は32768人,第
十 八 で は262144人,第
1048576人,第
二 十 一 で は2097152人,第
8388608人,第
二 十 四 で は16777216人,第
は67108864人,第
九で は
十三 で は
十 六 で は65536人,第
十 九 で は524288人,第
二 十 二 で は4194304人,第
二十 で は
二 十三 で は
二 十 五 で は33554432人,第
二 十 七 で は134217728人,第
二 十 九 で は536870912人,第
八 で は256人,第
二 十 六で
二 十 八 で は268435456人,第
三 十 番 目の 村 で は1073741824人
に な っ た.
[14,]牛
一 日中耕 す牛 は
解
,最 後 の 畦 に 足 跡 を い く つ 残 す の か を 私 に 言 い な さ い.
答
牛 は鋤 よ り も前 に進 み,そ の あ と鋤 が続 くの で あ る か ら,最 後 の 畦 には 決 し
て足 跡 は残 らな い.と い うの も,こ の よ うに未 耕 地 を前 進 しな が ら多 くの足 跡
を残 そ う と も,耕 す こ とで あ とに続 く もの は消 され て し ま うか らで あ る.こ
う
して最 後 の畦 に は足 跡 は な に も見 い だせ な い.
[15.]人
私 は あ な た に こ う尋 ね ます.人 が 畑 の各 端 ご とに 三つ の転 回点 を作 った と き,
そ の人 は そ の土 地 に何 本 の畝 を作 っ た こ とに な る の か を私 に言 っ て下 さい と.
解
答'
畑 の 一 端 に3つ,他
端 に3つ[の
転 回 点 が]作
ら れ る の で,転
回 点 を 持 つ7
本 の 畝 が 作 られ た こ と に な る.
[16.]牛
を 引 く二 人 の 男
二 人 の 男 が 道 に 沿 っ て 牛 を 引 い て お り,そ
の う ち の 一 方 が 他 方 に 言 っ た.
172
「私 に 二 頭 の 牛 を 下 さ い.そ
うす れ ば私 は あ な た が持 っ て い る の と同 数 の 牛 を
持 つ こ と に な る で し ょ う 」.す る と他 方 が 言 っ た.「 で は あ な た も私 に 二 頭 の 牛
を 下 さ い.そ
う す れ ば あ な た が 持 つ2倍
う 」.何 頭 の 牛 が い た の か,各
解
の 頭 数 の 牛 を私 は持 つ こ と に な る で し ょ
々 は 何 頭 の 牛 を持 っ て い た の か を言 い な さ い.
答
二 頭 の 牛 を 与 え る こ と を 互 い に 要 求 し た 最 初 の 人 物 は,4頭
他 方,要
求 さ れ た 人 物 は8頭
を持 っ て い た,と
求 し た 人 物 に 二 頭 の 牛 を 与 え た の で,各
け 取 っ た 人 物 は,2頭
し て 彼 は8頭
残 り,こ
持 つ こ と に な り,こ
れ は8の
[17.]そ
の 牛 を,6頭
い う の も,要
を 持 っ て い た.
求 され た 人 物 は 要
々 は 六 頭 に な っ た か ら で あ る.先
に受
持 っ て い た 最 初 に 与 え た 人 物 に 返 し,こ
れ は 四 の 二 倍 で あ り,他
方 の 人 物 に は4頭
う
が
片 方 で あ る.
れ ぞ れ 姉 妹 の あ る3人
3人 の 友 人 が い た.そ
の友人
れ ぞ れ 姉 妹 が い て,川
を渡 らね ば な らな か っ た 。 彼 ら
の 各 々 は そ の 親 友 の 姉 妹 と と も に 渡 る こ と を 望 ん だ.川
船 しか 見 い だ せ ず,そ
に や っ て きた 彼 らは小
の 船 で は 彼 ら の う ち の 二 人 し か 渡 れ な か っ た.姉
もが 彼 ら に よ っ て 辱 め ら れ な い よ う に す る に は,ど
妹 の誰
の よ うに して 渡船 した ら よ
い の か を 言 い な さ い.
解
答
まず 最 初 に私 と私 の姉 妹 が 乗 船 し,川 を渡 り,対 岸 で私 の姉妹 を船 か ら出 し,
私 は河 岸 に 向 け て船 で戻 っ た.次 に,二 人 の男 つ ま り岸 に残 っ て い た男 達 の そ
の 姉 妹 が 乗 船 した.こ う して 彼 女 らが 上 陸 した ら,最 初 に渡 っ た私 の 姉 妹 が 乗
船 し,私 の も とへ と船 を戻 した.彼 女 が外 に出 た ら二 人の 友人 は船 に乗 っ て渡 っ
た.次 い で 彼 らの う ちの 一 人 はそ の姉 妹 と と もに船 に乗 り,我 々 の ところ に渡 っ
て きた.私
と船 で や って きた ばか りの 者 とが 私 の 姉 妹 を残 して 再 び 渡 っ た.
一 人 の 女 が 船 を戻 し
,私
の 姉 妹 を つ れ て 私 の と こ ろ に 渡 っ て く る.こ
う して,
173
そ の 姉 妹 が 対 岸 に残 っ てい る男 が 船 に乗 り,彼 女 を連 れ て戻 る.こ
う して い か
な る辱 め も起 こ る こ とな く渡 船 が 成 し遂 げ られ た.
[18。]オ
オ カ ミ,ヤ
ギ,そ
して 一 束 の キ ャ ベ ツ
あ る 男 が 川 を 越 え て オ オ カ ミ,ヤ
な か っ た.と
ギ,そ
して一 束 の キ ャベ ツ を運 ば ね ば な ら
こ ろ が そ れ ら の う ち の 二 つ を 運 ぶ こ と の で き る 船 しか 他 に は 船 を
見 つ け る こ と は で き な か っ た.彼
ぶ こ と で あ っ た.い
の 使 命 は,こ
れ ら す べ て を ま っ た く無 償 で 運
か に して これ ら を無 償 で 運 ぶ こ とが で きた の か を言 い な さ
)讐.
解
答
す な わ ち[前
間 と]同
様 な 方 法 で 最 初 に 私 は ヤ ギ を 運 び,オ
ッ は 外 に 残 して お い た,そ
ミ を 対 岸 に お き,さ
運 ん だ.そ
オ カ ミ とキ ャベ
の あ と 戻 っ て 今 度 は オ オ カ ミ を 連 れ て 渡 り,オ
ら に ヤ ギ を 船 に 乗 せ 連 れ て 渡 り,ヤ
し て 再 び 戻 っ て ヤ ギ を 連 れ て 渡 っ た.こ
ギ を 残 し,キ
オカ
ャベ ツ を
の よ う に し て さ ほ ど混 乱 も
な く効 果 的 に 漕 ぎ 渡 っ た の で あ る.
[19.]体
重 が荷 車 の 重 さ と同 じ男 と妻
そ れ ぞ れ の体 重 が 荷 車 の重 さ と同 じ男 と妻 が,合 わ せ て荷 車 の重 さに 等 しい
二 人 の子 供 を つ れ て大 きな川 を 渡 らね ば な らな か った.荷 車 一 台 の 重 さ を運 ぶ
こ との で きる 船 しか他 に は 船 を 見 つ け る こ とは で きな か った.船 が 沈 む こ との
な い よ う に渡 らせ な さい.
解
答
こ こで も上 と同 じ順 番 にせ よ.最 初 に二 人 の 子 供 が 乗 船 し,渡 り,そ の う ち
の 一 人 が 船 を戻 す.次
に母 親 が 船 で 渡 る.次 い で そ の 息 子 が 船 を戻 す.戻
した
後 そ の 兄 弟 が 船 に乗 り,二 人 で 渡 り,さ ら に彼 らの う ちの 一 人 が 船 を父 親 の と
こ ろ に戻 す.こ の 息 子 が 一 人 外 で 待 って,父 親 が 渡 り,さ ら に先 に渡 っ て い た
174
息 子 が この 同 じ船 に乗 って 兄 弟 の と こ ろ に戻 る.二 人 は乗 船 し渡 る.こ の よ う
に巧 妙 に漕 げ ば,お そ ら く難破 す る こ と も な く航 海 が 達 成 され るで あ ろ う.
[20.]ハ
リ ネズ ミ
ニ 匹 の 子 供 を 持 ち,体
重 一 リ ブ ラ の,大
きな川 を渡 ろ う と して い る雄 雌 のハ
ヨ リ ネ ズ ミ.
解
答
上 と同様 に して,最 初 に二 匹 の 子 供 が 渡 り,そ の うち の 一 匹 が 船 を戻 す .父
親 が そ の 中 に 入 っ て 渡 り,最 初 に 渡 っ た 子供 が 船 を対 岸 に戻 す.そ の 兄 弟 が 再
び 中 に入 り,二 匹 は越 え て 渡 る.そ の うち の 一 匹 が外 に 出 て ,も う一 匹 が 母 親
の とこ ろ に船 を戻 し,母 親 は そ の 中 に入 り渡 る .前 に渡 っ た息 子 が 外 に 出 て,
さ ら にそ れ に乗 船 して兄 弟 の もと に戻 る.二 匹 は そ の 中 に乗 船 して ,こ う して
恐 ろ しい 難 破 も な く航 海 が 達 成 され る。
[21.]平
地 と そ こ に 横 た わ る 羊.
長 さ200ペ ー ス,幅100ペ
各 々 の 羊 が 長 さ5ペ
ー ス の 平 地 が あ る.そ
ー ス,幅4ペ
こに 私 は 羊 を放 し飼 い に し,
ー ス を 占 め る よ う に し た い.で
は何 頭 の羊 を
そ こ に 横 た え る こ とが で き る の か を 言 い な さ い.
解
答
こ の 平 地 は 長 さ200ペ ー ス,幅100ペ
割 れ.百
ー ス で あ る.200を5で
割 れ ,す
る と40
の 四 分 の 一 は25で あ る.そ
れ ゆ え40倍
の二 十
に な る.次
に100を4で
五 も,25倍
の 四 十 も千 と い う 数 を満 た す.そ
れ ゆ え これ だ け の頭 数 の羊 が そ こ
に 配 置 で き る.
[22.]円
錐 状 に とが った 平 地
一 辺 が100ペ
ル テ ィカ
,他
の 辺 が100ペ
ル テ ィ カ,前
方 は50ペ
ル テ ィ カ,中
央
175
は60ペ ル テ ィ カ,も
う 一 つ の 前 方 は50ペ ル テ ィ カ の 平 地 が あ る.ア
リペ ン ノ ス
を ど れ だ け 含 む の か を 言 い な さ い.
解
答[1]
こ の 平 地 の 長 さ は100ペ
ル テ ィ カ,各
前 方 の 幅 は50,他
中 央 の 長 さ と 両 端 の 長 さ と を 加 え な さ い,す
取 り な さ い,す
る と53で,[そ
れ を12等 分 し な さ い,す
れ に]百
方 中 央 は60で
る と160に な る.そ
を か け な さ い,す
る と441が 見 い だ さ れ る.さ
あ る.
の三 分の 一 を
る と5300に
な る.こ
ら に こ れ を12等
分 しなさ
ヨヨ
い,す
解
る と37が 得 ら れ る.こ
れ が こ の 平 地 に あ る ア リ ペ ン ノ ス の 数 で あ る.
答[2]
二 つ の 長 さ を 加 え な さ い,す
る と100で あ る.そ
る と200で あ る.二
し て50と60と50と
三 分 の 一 を 取 り な さ い,す
百 の 半 分 を 取 り な さ い,す
を加 え な さ い,す
る と53で あ る.53の100倍
る と160で
あ る.160の
を 取 りな さ い,す
る と5300
で あ る.5300を
十 二 で 割 り な さ い.す
な わ ち そ こ か ら12回 取 り な さ い.た
ば,5300の12の
部 分 を 取 り な さ い,す
る と441で あ る.さ
ら に441か
とえ
ら12の 部 分
を 取 り な さ い,す
[23.]四
れ が こ の 中 の ア リペ ン ノ ス の 数 で あ る.
角 形 の平 地
一 辺 が30ペ
が32ペ
る と37で あ る.こ
ルテイカ
,他
辺 が32ペ
ル テ イ カ,前
ル テ ィ カ の 四 角 形 の 平 地 が あ る.そ
方 が34ペ ル テ ィ カ,他
の前 方
こ に は どれ ほ どの ア リペ ン ノス が含
ま れ る の か を 言 い な さ い.
解
答
平 地 の2つ
の 長 さ は62に な る.62の
半 分 を 取 り な さ い,す
地 の 二 つ の 幅 は 合 わ さ れ る と66で あ る.66の
る.こ
の 三 十 一 倍 を 取 り な さ い,す
再 び12で 割 り な さ い.す
な わ ち,千
る と31で あ る.平
半 分 を 取 り な さ い,す
る と1020で
あ る.こ
る と33で あ
れ を上 で行 っ た よ う に
二 十 の 十 二 分 の 一 を 取 り な さ い,す
る と85
176
で,さ
ら に85を12で
割 り な さ い,す
る と7で
あ る 。 そ れ ゆ え この ア リペ ン ノス
ヨう
の 数 は 七 で あ る.
[24.]三
角形 の平地
一 辺 が30ペ ル テ ィ カ
平 地 が あ る.ど
解
,他
辺 が30ペ
ル テ ィ カ,前
方 が18ペ
ル テ ィカ の三 角 形 の
れ ほ ど の ア ル ペ ン ノ ス が 含 ま れ る こ と に な る の か を言 い な さ い.
答
こ の 平 地 の 二 つ の 長 さ を加 え よ,す
30に な る.前
る と270に な る.こ
す な わ ち270を 十 二 で 割 れ,す
[25.]円
半 分 を と れ ,す
方 は18ペ ル テ ィ カ な の で18の 半 分 を と れ,す
の 三 十 を と れ,す
割 れ.す
る と60に な る.60の
こ か ら 再 び12[で
る と9に
割 る こ と]を
る と22と 半 分 に な る.さ
ら に22と
ると
な る .九
倍
お こ な え.
半分 を十二 で
る と 一 ア ル ペ ン ノ ス と10ペ ル テ ィ カ と 半 分 に な る,
形 の平 地
周 が400ペ
ル テ ィ カ の 円 形 の 平 地 が あ る.そ
れ は い くつ の ア リ ペ ン ノ ス を 占
め る こ と に な る の か を 言 い な さ い,
解
答[!]
400ペ ル テ ィ カ を 含 む こ の 平 地 の 四 分 の 一 は100で あ る .も
に 乗 ぜ ら れ る と,す
な わ ち 百 倍 さ れ る と,10000に
な る.こ
け ね ば な ら な い.一
万 の 十 二 分 の 一 は833で あ り,そ
しこれ が 自分 自身
れ を12の 部 分 に 分
れ が さ ら に12の 部 分 に 分
ヨ け ら れ る と,69が
解
得 ら れ る.こ
の 平 地 は こ れ だ け の ア リ ペ ン ノ ス を含 む,
答[2]
そ れ ゆ え400の 四 分 の 一 を と れ,す
の 一 を と れ,す
る と132に な る.100の
に132の 半 分 を と れ,す
る と100に な る,そ
半 分 を ま た と れ,す
る と66に な る.66の
し て さ ら に400の
三分
る と50に な る .さ
五 十 倍 を と れ,す
る と3151に
ら
なる。
177
こ れ を12で 割 れ,す
る と280に な る.さ
24の 四 倍 を と れ,す
る と96に な る.全
ら に280を 十 二 で 割 れ,す
る と24に な る.
[26.]平
地,そ
体 で は96ア
して 犬 の 追 跡 と兎 の 逃 走
長 さ150ペ ー ス の 平 地 が あ る.一
端 に は 犬 が,他
わ ち 兎 が 逃 げ た あ と を 犬 が 追 い か け る.と
む 間 に 兎 は7ペ
し て,犬
解
リ ペ ン ノ ス と な る.
ー ス 進 む.兎
端 に は 兎 が い る.後
こ ろ で 犬 が 一 回 の 跳 躍 で9ペ
者 す な
ー ス進
が 捕 ま る まで に どれ だ けの ペ ー ス あ る い は一 跳 躍
は 追 跡 し 兎 は 逃 走 す る の か を 言 い な さ い.
答
こ の 平 地 の 長 さ は150ペ
は 一 飛 び で9ペ
捕 ま え る ま で,犬
ー ス で あ る.150の
ー ス 進 む.75倍
の 九 は675で
半 分 を と れ,す
あ り,兎
は こ れ だ け の ペ ー ス 進 む.兎
の 七 十 五 を 七 倍 せ よ,す
る と525に な る.捕
る と75に な る.犬
を追 跡 して 堅 い 歯 で 兎 を
は 一 度 に7ペ
ー ス 進 む の で,こ
ま る まで に兎 は こ れ だ け の ペ ー ス
ヨ 逃 走 し て 進 む.
[27]四
角形の都市
一 辺 が 千 百 ペ ース
,他
辺 が 千 ペ ー ス,前
ス の 四 角 形 の 都 市 が あ る.私
幅30ペ
方 が600ペ
ー ス,他
は そ こ に 家 の 屋 根 を置 い て,各
ー ス に な る よ う に し た い.何
の 前 方 が600ペ ー
家 が 長 さ40ペ ー ス,
件 の家 が 占め る こ と にな るの か を言 い な さ
い.
解
答
も し こ の 都 市 の 二 つ の 長 さ が 加 え ら れ る と,2100に
二 つ の 幅 が 加 え ら れ る と1200に
に な る.さ
ら に2100の
40ペ ー ス,幅30ペ
な る.そ
半 分 を と れ,す
ー ス な の で,1050の
ら に600の 三 十 分 の 一 を と れ,す
れ ゆ え1200の
る と1050に
な る.同
半 分 を と れ,す
な る.そ
四 十 分 の 一 を と れ,す
る と20に な る.そ
様 に し て,も
し
る と600
して各 々 の家 は長 さ
る と26に な る.さ
れ ゆ え26の 二 十 倍 は520に
な
178
る.こ
れ だ け の 数 の 家 が 占 め ら れ る.
[28.]三
角形の都市
一 辺 が100ペ
ース
,他
辺 が100ペ
ー ス,そ
し て 前 方 が90ペ ー ス の 三 角 形 の 都 市
が あ る.各
家 が 長 さ20ペ ー ス,幅10ペ
した い.何
件 の 家 が 占 め る こ と に な る の か を 言 い な さ い.
解
ー ス に な る よ うな家 屋 をそ こに私 は建 築
答
そ れ ゆ え こ の 都 市 の 二 つ の 辺 が 加 え ら れ る と200に な る.200の
す る と100に な る.ま
な る.各
々 の 家 の 長 さ は20ペ ー ス,幅
20が あ り,40の
な る.こ
半 分 を と れ,す
は10ペ ー ス な の で,100の
中 に は 四 倍 の10が あ る.そ
れ ゆ え4の
る と45に
中 には五倍 の
五 倍 を と れ,す
る と20に
れ だ け の 家 を こ の 都 市 は 占 め る こ と に な る.
[29,]円
形 の都 市
周 囲 が8000ペ
す る と,[そ
解
た 前 方 は90ペ ー ス な の で,90の
半 分 を 取 れ,
ー ス の 円 形 の 都 市 が あ る.各
こ に は]何
家 が 長 さ30ペ ー ス,幅20ペ
ース と
件 の家 が な け れ ば な らな い の か を 言 い な さい
答[1]
こ の 都 市 の 周 り に は8000ペ
と,4800と3200に
な る.前
全 体 か ら 半 分 を 引 け,す
そ れ ゆ え こ の1600を
ー ス が 数 え ら れ る が ,そ
者 は 家 の 長 さ,後
き い 方 の 全 体 す な わ ち2400が30の
れ る.80の
者 は 幅 で あ る.そ
る と大 き い 方 か ら2400が,小
二 十 で 割 れ,す
八 十 倍 を と れ,す
れ を一倍 半比 に分 割 す る
れ ゆ え,双
さ い 方 か ら1600が 残 る 。
る と 八 十 倍 の 二 十 が 見 い だ さ れ,さ
部 分 に 分 け られ,八
る と16000に
な る.上
市 の 中 に は こ れ だ け の 数 の 家 が 建 て ら れ 得 る.
方の
らに大
十 倍 の三 十 が 数 え たて ら
記 の 命 題 に よ る と,こ
の都
179
解
答[2]
こ の 都 市 の 周 囲 は8000ペ
と2000に
な る.さ
を と れ,す
ら に8000の
る と1000に
さ ら に1333の
を と れ,す
ー ス で あ る.そ
れ ゆ え8000の
三 分 の 一 を と れ,す
な り,さ
ら に 二 千666の
三 十 分 の 一 を と れ,〈
る と50に な る.44の
四 分 の 一 を と れ,す
る と2666に
な る.二
半 分 を と れ,す
す る と44に な り,さ
五 十 倍 を と れ,〉
す る と2200に
千 の半分
る と1333に
ら に1000の
る
な る.
二 十分 の一
な る.こ
こか ら
む
二 千200の
[30.]大
四 倍 を と れ,す
る と8800に
な る.こ
れ が 家 の 総 和 で あ る.
聖堂
長 さ が240ペ
ー ス,幅
る 一 個 の 煉 瓦 は,長
が120ペ
ー ス の 大 聖 堂 が あ る.煉
瓦 を 敷 き詰 め た 道 に あ
さ23ウ ン キ ア す な わ ち 一 ペ ー ス と11ウ
キ ア す な わ ち 一 ペ ー ス で あ る.こ
ン キ ア で,幅12ウ
ン
の 道 を覆 うに は 幾 つ の 煉 瓦 が 必 要 な のか を言
い な さ い.
解
答[1]
126個 の 煉 瓦 は 長 さ240ペ ー ス で あ り,120個
の 煉 瓦 は 幅120ペ ー ス で あ る.各
の 煉 瓦 は 幅 に ペ ー ス の 尺 度 を 持 つ の で そ れ ゆ え126を 百 二 十 倍 せ よ,す
体 は15120に
な る.そ
々
る と全
れ ゆ え この 大 聖 堂 で は こ れ だ け の個 数 の 煉 瓦 が 舗 装 を 覆
う こ とが で き る.
る 解
答[2]
240の 十 二 倍 を と る と,2880に
で,2880の
十 五 分 の 一 を とれ,す
す る と1440に
れ,す
な る.そ
して 煉 瓦 一 個 は 長 さ15ウ
る と192に な る.さ
し て 各 煉 瓦 は 幅8ウ
る と180に な る.192を
数 の 煉 瓦 が 覆 い 尽 くす.
な る.そ
ら に120の 十 二 倍 を と れ,
ン キ ア な の で,1440の
百 八 十 倍 せ よ,す
ンキア なの
る と3460に
八分の一 をと
な る.こ
れ だ け の個
180
[31.]酒
蔵
長 さ100ペ ー ス,幅64ペ
ち 中 央 部 が4ペ
ー ス,通
ー ス の 酒 蔵 が あ る.各
樽 が 長 さ7ペ
路 が 四 ペ ー ス に な る よ う に す る と,何
ー ス,辺
す なわ
個 の樽 が必 要 に
な る の か を言 い な さい 。
ヨ
解
答[1]
百 の な か に は 十 四 倍 の7が
数 え ら れ る.64に
の う ち か ら 酒 蔵 の 長 さ を な す 通 路 と し て4が
は 十 五 倍 の 四 が あ り,100の
す る と210に な る.上
は 十 六 倍 の 四 が 含 ま れ,こ
切 り取 ら れ る.そ
れ ゆ え60の 中 に
な か に は 十 四 倍 の 七 が あ る の で,14を
記 の 大 き さ に よ れ ば,こ
の64
十 五 倍 せ よ,
れ だ けの 樽 が こ の 酒 蔵 に は 含 ま
れ る.
る
解
答[2]
7を 六 倍 せ よ,す
路 に 至 る よ う に,3を
に 加 え よ,す
七 倍 せ よ,す
る と63に な る.六
の 一 を と れ,す
す る.そ
る と42に な り,こ
し て6列
れ は6列
の 樽 で あ る.3ペ
る と21に な る.そ
れ ゆ え,42と21と
列 の 樽 に 対 して 通 路 が あ る.次
る と25に な る.こ
れ は 一 列 に 対 して25個
の 樽 が あ る の で,25の6倍
ー ス を持 つ通
い で100の
を 同時
四分
の樽 が あ る こ とを意 味
は150に な る.こ
れ が 全 体 の樽 の
個 数 で あ る.
[32.]穀
物 を分 配 す る 家 長
あ る 家 長 は20人 の 家 族 を も ち,彼
じ た.夫
に は 三 モ デ ィ ウ ス,妻
ら に20モ デ ィ ウ ス の 穀 物 を 与 え る こ と を 命
に は ニ モ デ ィ ウ ス,そ
ス が わ た る よ う に 命 じ た の で あ る.何
人 の 夫,妻,子
して 子 供 に は 半 モ デ ィ ウ
供 が い る こ と に な るの か
を 言 い な さ い.
解
答
三 を一 倍 せ よ.す な わ ち一 人 の夫 は3モ デ ィ ウス を受 け取 る.同 様 に して 二
181
を 五 倍 せ よ,す
る と10に な る.つ
二 を 七 倍 せ よ,す
ま り五 人 の 妻 が10モ デ ィ ウ ス 受 け 取 る.さ
る と14に な る.す
な わ ち14人 の 子 供 は7モ
て
デ ィ ウス 受 け 取 る.
そ れ ゆ え1と5と14を
加 え よ,す
る と20に な る.こ
れ が 家 族 の 数20で あ る.そ
し て 次 に3,7,10を
加 え よ,す
る と20に な る.こ
れ は モ デ ィ ウ ス の 数 で あ る.
そ れ ゆ え 家 族 が20人,20モ
[33.]他
デ ィ ウ ス が 成 り立 つ.
の 問題
あ る 家 長 は30人 の 家 族 を 持 ち,彼
う に 命 じ た.夫
ら に 対 し て30モ デ ィ ウ ス の 穀 物 を 与 え る よ
は 三 モ デ ィ ウ ス,妻
ウ ス を 受 け 取 る よ う に で あ る.何
は ニ モ デ ィ ウ ス,子
人 の 夫,あ
供 はそ れ ぞ れ 半 モ デ ィ
る い は 何 人 の 妻,あ
るい は何 人 の
子 供 が い た の か を 解 き な さ い.
解
答
3を3倍
に す れ ば9に
な る.そ
に 二 十 二 を 半 分 に す る と,11に
し て 二 を 五 倍 す る な ら,10に
な る.す
な わ ち 三 人 の 夫 は9モ
り,五
人 の 妻 は10モ デ ィ ウ ス 受 け 取 り,二
る.こ
の3,5,22が
11,22が
[33a.]さ
して 次
デ ィ ウス 受 け 取
十 二 人 の 子 供 は11モ デ ィ ウ ス 受 け 取
同 時 に 加 え ら れ る と,30人
の 家 族 が 生 じ る.さ
同 時 に 加 え ら れ る と30モ デ ィ ウ ス を 生 む.こ
も あ り,30モ
な る.そ
ら に8,
う し て 同 時 に 家 族30人 で
デ ィ ウ ス で も あ る.
ら に別 の 問 題
あ る 家 長 に は90人 の 家 族 が い た が,彼
よ う に 命 じ た.夫
は 三 モ デ ィ ウ ス,妻
ウ ス 受 け 取 る よ う に で あ る.何
は90モ デ ィ ウ ス の 穀 物 を 彼 ら に 与 え る
は ニ モ デ ィ ウ ス,子
人 の 夫,何
人 の 妻,何
供 は それ ぞれ半 モ デ ィ
人 の子 供 が い た の か を言
い な さ い.
解
答
三 を 六 倍 せ よ,す
る と18に な る.そ
し て 二 十 を 二 倍 せ よ,す
る と40に な る.
182
六 十 四 を 半 分 に せ よ,す
取 り,20人
る と32に な る.こ
の 妻 が40モ デ ィ ウ ス 受 け 取 り,64の
と で あ る.こ
れ ら す な わ ち6,20,64を
同 様 に し て,18,40,32を
す.こ
れ は 六 人 の 夫 が18モ
子 供 が32モ
デ ィ ウス 受 け取 る こ
同 時 に 加 え る と,90人
加 え よ,す
る と90に な る.こ
デ ィ ウ ス を受 け
の 家 族 を 生 む.
れ は90モ デ ィ ウ ス を 示
れ ら 同 時 に 加 え ら れ た も の は90人 の 家 族 と90モ デ ィ ウ ス と を 意 味 す る.
[34.]さ
らに 別 の 問 題
あ る 家 長 に は100人 の 家 族 が お り,彼
は100モ デ ィ ウ ス の 穀 物 を彼 ら に 与 え る
よ う に 指 示 し た 。 夫 は 三 モ デ ィ ウ ス,妻
デ ィ ウ ス 受 け 取 る よ う に で あ る.そ
は ニ モ デ ィ ウ ス,子
れ ゆ え,何
人 の 夫,何
供 はそれぞれ半モ
人 の 妻,何
人の子供
が い た の か を 言 い な さ い.
解
答
三 を 十 一 倍 せ よ,す
七 十 四 を 半 分 に せ よ,す
取 り,15人
る と33に な る.そ
し て15を 二 倍 せ よ,す
る と37に な る.こ
れ は 六 人 の 夫 が33モ
の 妻 が30モ デ ィ ウ ス 受 け 取 り,74の
と で あ る.こ
れ らす な わ ち6,15,74を
人 の 家 族 を意 味 す る.同
こ れ は100モ
子 供 が37モ
デ ィ ウ ス を 意 味 す る.そ
デ ィ ウス を受 け
デ ィ ウス 受 け取 る こ
同 時 に加 え る と,100に
様 に し て,33,30,37を
る と30に な る.
加 え よ,す
な り,こ
れ は100
る と100に
な り,
れ ゆ え こ れ ら が 同 時 に 加 え ら る と,100人
の 家 族 と100モ デ ィ ウ ス が 得 ら れ る.
[35.]あ
る家 長 の死
あ る 家 長 が 子 供 達 と960ソ
リ ド ゥ ス の 蓄 え と妊 娠 中 の 妻 と を 残 し て 死 ん だ.
る も し彼 に男 子 が 生 まれ た な ら,そ の 子 は 全体 の 四 分 の 三 つ ま り9ウ ン キ ア受 け
取 り,そ の 母 親 は 四分 の一 つ ま り3ウ ンキ ア 受 け 取 る こ と を,他 方 女 子 が 生 ま
れ た ら,そ の 子 は十 二 分 の 四つ ま り7ウ ンキ ア 受 け取 り,そ の 母 親 は十 二 分 の
五 つ ま り5ウ ンキ ア受 け取 る こ と を命 じて い た.と
ころ が 母 親 は 息 子 と娘 の 双
子 を生 ん だの で あ っ た.母 親 は い く ら,息 子 は い くら,娘 は い くら受 け 取 っ た
183
の か を 解 き な さ い.
解
答
そ れ ゆ え9と3と
で あ る.同
を加 え よ,す
様 に し て7と5と
倍 は24に な る,他
方24ウ
る と12に な る.一
を 加 え よ,す
分 の 三 を な す の で,40を
18リ ブ ラ を 受 け 取 り,こ
て[十
二 分 の]三,娘
に 対 し て[十
わ せ る と そ れ]は8を
な す.そ
ら,40を
八 つ の 部 分 に 掛 け よ.そ
取 り,こ
れ は320ソ
の で あ る か ら,40を7つ
ブ ラ に な り,こ
と320と280と
れ は280ソ
を 加 え よ,す
れ は40ソ リ ドゥス で あ る.
二 分 の]五
れ ゆ え,二
あ る.次
れ ゆ え 息 子 は40の 九 倍,つ
リ ド ゥス で あ る.そ
ま り
して 母 親 は 息 子 に 対 し
を受 け 取 る の で,3と5[を
合
回 に わ た っ て遺 言 され た の で あ る か
れ ゆ え 母 親 は 八 倍 の40,つ
リ ド ゥ ス で あ る.次
れ ゆ え12の 二
れ ら の 二 十 四 の 部 分 は40で
九 に 掛 け よ.そ
れ は360ソ
ンキ アは 一 リ ブ ラ
る と ま た12に な る.そ
ン キ ア は ニ リ ブ ラ で あ り,こ
そ れ ゆ え960を 二 十 四 の 部 分 に 分 け よ.そ
に,四
方,12ウ
に[娘
の 部 分 に 掛 け よ.そ
リ ド ゥ ス で あ る.こ
は]七
ま り16リ ブ ラ 受 け
に な る よ う に 遺 言 され た
の の ち40を 七 倍 せ よ,す
る と9リ
れ を 娘 は 受 け 取 る.そ
れ ゆ え360
る と960ソ リ ド ゥ ス で あ り,こ
れ は48リ
ブ ラ で もあ
る る.
[36.]少
年 に対 す る あ る老 人 の挨 拶
あ る老 人 が 少 年 に挨 拶 して こ う言 っ た.「 息 子 よ,生 き長 ら えな さい 」.そ し
て こ う質 問 した.「 お まえ が今 まで生 きて きた の と同 じ年 月 だ け 生 き長 ら え な
さい,そ
して もう他 にそ れ だ けの 年 月 生 き長 ら え な さい.そ
[の年 月生 き長 らえ な さい].さ
して そ の3倍 だ け
ら に神 はお ま え に私 の 年 齢 か ら一 歳 加 え る で あ
ろ う.す る とお ま え は百 歳 に な るで あ ろ う」.そ の と き この 少 年 は 何 歳 で あ っ
た の か を解 き な さい.
解
答
彼 が 言 っ た こ と,つ ま り 「お ま えが 今 まで 生 きて きた の と 同 じ年 月 だ け生 き
184
長 ら え な さ い 」 で は,彼
は す で に8年
「も う 他 に そ れ だ け の 年 月 」 は16年
は33年
を な し,そ
と 三 カ 月 間 生 き て き た の で あ る.そ
と6ケ
れ が 三 倍 さ れ て99年
月 を 意 味 し,さ
と な る.こ
ら に そ の2倍
して
の年 月
れ に 一 が 加 え ら れ て100歳
と
るア
な る.
[37.]家
を建 て よ う と してい る 人
家 を 建 て よ う と し て い る 人 が6人
一 人 は徒 弟 で あ っ た
.そ
の 職 人 を 雇 っ た.そ
の う ち の5人
は 親 方 で,
し て 家 を 建 て よ う と し て い る 人 と 職 人 の 間 で は,一
の 報 酬 は25デ ナ リ ウ ス で,ま
日
た 弟 子 は 親 方 一 人 が 受 け取 る額 の 半 分 を受 け取 る
と い う こ とが 同 意 さ れ て い る.毎
日彼 ら 各 々 は ど れ だ け 受 け 取 る の か を 言 い な
さ い.
解
答
ま ず22デ
ナ リ ウ ス を 取 り,そ
い 。 五 人 の 親 方 の 各 々 に4デ
る.4の
れ ら を6つ
に 分 け よ.つ
ナ リ ウ ス を与 え な さ い.実
半 分 で あ る 残 っ た 二 を取 り,徒
ま り次 の よ う に し な さ
際,五
弟 に 与 え な さ い.す
倍 の 四 は20で あ
る と こ こ ま で で3
デ ナ リ ウ ス 残 っ て い る が,そ
れ を 以 下 の よ う に 配 分 し な さ い.各
ら11の 部 分 を 取 り な さ い.三
倍 の 十 一 は33に な る.こ
を 取 り,そ
れ ら を5人
れ らの 部 分 の 三 十 分 の 一
の 親 方 で 分 配 せ よ 。 五 倍 の6は30で
の 部 分 が 各 親 方 の も の に な る.30か
デ ナ リ ウス か
あ る.そ
れ ゆ え6つ
ら残 っ て い る 六 の 半 分 で あ る 三 つ の 部 分 を
取 り,徒 弟 に 与 え な さ い.
[38.]百
頭 の動 物 を 買 う人
あ る 人 が 百 ソ リ ド ゥス で 百 頭 の 雑 多 な 動 物 を 買 お う と し た.こ
ソ リ ド ゥ ス,牛
馬,何
頭 の 牛,何
が1ソ
リ ド ゥ ス,24頭
の 羊 が1ソ
う して 馬 が 三
リ ド ゥ ス で 買 わ れ た,何
頭 の 羊 が い た の か を 言 い な さ い.
頭の
185
解
答
三 を 二 十 三 倍 せ よ,す
な る.そ
で29ソ
る と69に な る.そ
れ ゆ え23頭 の 馬 で69ソ
リ ド ゥ ス に な る.そ
に な る.そ
リ ド ゥス,48頭
れ ゆ え23と48と29と
し て 次 に69と2と29と
の 羊 で2ソ
る と48に
リ ド ゥ ス,29頭
を 加 え よ,す
を 加 え る と,100ソ
え 同 時 に 加 え られ る と100頭 の 動 物 と100ソ
[39.]東
し て 二 を 二 十 四 倍 せ よ,す
る と100頭
リ ドゥ ス に な る.そ
の牛
の動物
れ ゆ
リ ド ゥ ス に な る.
洋 の あ る買 い 手
あ る 人 が 東 洋 で100ソ
召 使 い に,ラ
ク ダ を5ソ
リ ド ゥス 払 っ て 雑 多 な 動 物 を100頭 買 お う と し た.彼
リ ド ゥ ス,ロ
ス で 調 達 す る よ う命 じ た.100ソ
バ を1ソ
リ ド ゥス,20頭
リ ド ゥス の 取 引 で,何
は
の 羊 を 一 ソ リ ドゥ
頭 の ラ クダあ るい は ロ
バ あ る い は 羊 を 買 っ た の か を 言 い な さ い.
解
答
5を10倍
と 九 倍 す る と95に な る.す
に よ っ て95ソ
リ ド ゥ ス で 買 わ れ た.こ
ロ バ を 加 え よ,す
な わ ち19頭 の ラ ク ダ が,5の10倍
れ ら に一 す な わ ち一 ソ リ ドゥス の一 頭 の
る と96に な る 。 そ して 次 に 四 を 二 十 倍 せ よ,す
す な わ ち 四 ソ リ ド ゥス で は80頭 の 羊 に な る.そ
す る と100に な る.こ
加 え よ,す
れ は100頭
る と100に な る.そ
と九 倍
れ ゆ え19と1と80と
の 動 物 を 意 味 す る.そ
る と80に な る.
を 加 え よ,
し て 次 に95と1と4と
を
れ ゆ え 同 時 に合 わ せ て100頭 の 家 畜 と100ソ リ ドゥ
ス と な る.
[40.]人,お
よび 山で 放 牧 され て い る羊 た ち
あ る 人 が 山 で羊 が放 牧 され て い る の を見 て,こ
う言 っ た.「 そ れ だ け の 頭 数
と,も う他 に 同 じ頭 数 と,そ の 半分 の 半 分 の 頭 数 と,こ の 半 分 の 半 分 の 頭 数 の
羊 が 欲 しい.そ
して これ らに 私 を含 め て 百 と して 私 は 帰 宅 し た い 」.彼 は何 頭
の 羊 が そ こで 放牧 され て い る の を見 た の か を解 きな さい,
186
解
答
そ れ ゆ え 彼 が 述 べ た こ と 「私 は そ れ だ け の 頭 数 が 欲 しい 」 で は,彼
見 た 羊 は36頭 で あ る.そ
して
「も う 他 に 同 じ頭 数 」 は72頭,そ
つ ま り36頭 」 の 半 分 は18頭 で あ る.さ
な る.そ
ら に18を 加 え よ,す
る と90に な る.90に9を
[41.]ブ
「そ の 半 分
ら に こ の 第 二 の 半 分 す な わ ち36か ら 半 分
が 取 ら れ る と,18に
に こ の 男 が 加 え ら れ て100と
して
が最初 に
れ ゆ え36と36と
を加 え よ,す
加 え よ,す
る と72に な る.こ
る と99に な る.こ
れ
れ ら
な る.
タ小 屋 と母 ブ タ
あ る家 長 が ブ タ小 屋 を区 切 って 新 しい 区画 を作 り,そ こ に母 ブ タ を置 いた と
ころ,そ れ は まず 中 央 部 で7頭 の子 ブ タ を生 ん だ.ま た母 ブ タ を8番
れ らは そ の母 ブ タ を含 め て そ れ ぞ れ7頭
目 と しそ
を四 隅 で 生 ん で い った 。 そ して 最 後 に
そ れ らは ブ タ小 屋 中央 部 で 各世 代 ご とに7頭 生 ん だ.母 ブ タ を含 め て ブ タは何
頭 に な っ た の か を言 い な さい.
解
答
さ て,ブ
タ 小 屋 中 央 部 で は 最 初 に7頭
八 番 目 で あ る.そ
れ ゆ え八 が 八 倍 さ れ て64に
だ け の 数 の 子 ブ タ が 最 初 の 一 隅 に い た.そ
に な る.そ
の 子 ブ タ が 誕 生 し て,そ
な る,そ
れ らの 母 親 を含 め て これ
して 次 に 六 十 四 が 八 倍 さ れ る と512
の 母 親 を含 め て こ れ だ け の 数 の 子 ブ タ が 第 二 番 目 の 一 隅 に い た.さ
ら に512が 八 倍 さ れ て4096に
番 目 の 一 隅 に い た.こ
な る.そ
の 母 親 を含 めて これ だ け の 子 ブ タ が 第 三
れ が 八 倍 さ れ て32768と
け の 数 の 子 ブ タ が 第 四 番 目 の 一 隅 に い た.さ
262144に
れ らの 母 親 が
な る.ブ
な る.そ
の 母 親 を 含 め て これ だ
ら に32768を
八 倍 せ よ,す
タ 小 屋 中 央 部 に 最 も新 しい 区 画 が 作 られ た と き,た
る と
しか に こ
れ だ け の 数 の 子 ブ タ が 生 ま れ て い た の で あ る.
[42.]百
段 の階段
百 段 の 階 段 が あ る.第
一 段 に は 一 羽 の ハ ト,第
二 段 に は 二 羽,第
三段 には
187
三 羽,第
四 段 に は 四 羽,第
同 様 で あ る.全
解
五 段 に は 五 羽 が 座 っ て い た.百
段 に至 る ま で各 段 で
体 で は 何 羽 の ハ トが い た の か を 言 い な さ い.
答
次 の よ う に 数 え よ う.一
羽 が と ま っ て い る 最 初 の 段 か ら そ れ を 取 り,九
段 目 に 陣 取 っ て い る99羽 に 加 え よ,す
る と100羽 に な る.第
目 に も 同 様 に し て 同 じ よ う に100を 見 つ け る.同
二 番 目 と九 十 八 番
様 に して 各 段 に 対 し て,そ
よ り 上 の 段 一 つ と よ り下 の 段 一 つ と を こ の 順 に 加 え よ,す
に 百 が 見 い だ せ る.た
れ
る と この 二段 に は 常
だ し 五 十 段 目 ぢ け は だ だ 一 つ で あ り,対
様 に し て 百 段 目 も 一 つ の ま ま で あ る.そ
十九
を 持 た な い.同
れ ゆ え す べ て を 同 時 に 加 え よ,す
ると
5050が 見 い だ せ る.
[43.]ブ
タ
あ る 人 が300頭 の ブ タ を 飼 っ て い た が,そ
つ 殺 す よ う 命 じた.30頭
の ブ タ 全 体 を3日
に 関 す る 同 じ内 容 の 命 題 も あ る.300頭
間 で奇 数頭 数つ
に し ろ30頭
に
るき
しろ,三
解
日間 で何 頭 の 奇 数 の ブ タが 死 な なけ れ ば な ら ない の か を言 い な さい.
答
これ は作 り話 で あ り,300頭 あ る い は 三 十頭 の ブ タが 三 日間 で 奇 数 頭 数 つ つ
死 ぬ とい う問 題 は誰 に も解 け ない.こ の 作 り話 は子 供 た ち に刺 激 を与 え る た め
る に 作 ら れ た.
[44.]父
親へ の子 供 の挨 拶
あ る 子 供 が 父 親 に 挨 拶 し た.「 や あ,お
「や あ,息
い.こ
子 よ,お
と う さ ん 」.彼 に 対 して 父 親 が 答 え た.
まえ が今 まで 生 きて い た の と同 じ年 月 だ け 生 き長 ち え な さ
の 倍 に な っ た 年 月 を 三 倍 し,私
の 年 齢 か ら 一 歳 を 加 え な さ い,す
100歳 に な る で あ ろ う 」.そ の 当 時 子 供 は 何 歳 で あ っ た の か を 言 い な さ い.
る と
188
解
答
そ の 子 供 は16歳
る.こ
と6ケ
月 で あ っ た.こ
れ が 三 倍 に さ れ る と99に な る.父
れ が 月 と と も に 倍 に さ れ る と33歳 に な
親 の 年 齢 の 一 歳 が 加 え ら れ100歳
とな
う る.
[45.]ノ
、ト
木 に と ま っ て い る ハ トが 飛 ん で い る 他 の ハ トを 見 て 彼 ら に こ う 言 っ た.「 他
に も 同 じ 数 だ け の ハ トが い て,ま
こ と を 私 は 望 み ま す.す
た 第 三 番 目 に も そ れ と 同 じ だ け の ハ トが い る
る と 私 を 含 め て100羽
に な り ま す 」.最
初 に何 羽 の ハ ト
が 飛 ん で い た の か を 言 い な さ い.
解
答
三 十3羽
の ハ トが い て,こ
も う 同 じ数 い る の で66羽
れ らが 飛 ん で い る の を 最 初 の ハ トは 見 た.さ
に な り,三
ま っ て い る ハ ト を 加 え よ,す
[46.]人
らに
度 目 に ま た 同 じ数 い る の で99羽 に な る.と
る と100羽 に な る で あ ろ う.
の 見 つ け た財 布
道 を 歩 い て い る 人 が ニ タ レ ン ト ゥ ム 入 っ て い る財 布 を 見 つ け た.そ
人 が 彼 に こ う 言 っ た.「 友 達 よ,お
れ を見 て
ま え の 見 つ け た も の の 一 部 を我 々 に よ こ せ 」.
彼 は 彼 ら に 渡 し た く な く て 断 っ た.す
る と彼 ら は 突 進 し て き て,財
り,各
る と彼 は 自分 自 身 で は そ れ に 対 抗 で き な
々 が 五 十 ソ リ ド ゥス 取 っ た.す
い こ と が わ か っ た の で,手
を 伸 ば し,五
布 を奪 い 去
十 ソ リ ド ゥ ス 奪 い 返 す に と ど め た .人
は 何 人 い た の か を 言 い な さ い.
解
答
ー タ レ ン ト ゥ ム は75ポ
72ソ リ ド ゥ ス で あ る.72が
と10800に
な る.10千
らユ
ン ドゥス あ る い は リブ ラ で あ る
七 十 五 倍 さ れ る と5400に
と 八 百 は 五 十 倍 の216で
あ る.そ
.他
な り ,こ
方 リブ ラ は黄 金
の 数 が 二倍 され る
れ ゆ え これ だ け の 数 の 人
189
が そ こ に い た.
[47。]12個 の パ ン を聖 職 者 に分 配 す る こ とを命 じた 司教
あ る 司教 が12個 の パ ン を聖 職者 に分 配 す る こ と を 命 じた.実
2個 の パ ン,助 祭 は 半分,朗
際,各
司教 は
読者 は 四 分 の 一 を受 け取 る よ うに命 じたので あ る.
た だ し聖 職 者 とパ ンの 数 は同 じとす る.何 人 の 司 教,何
人の 助 祭,何
人 の朗 読
う 者 が い なけ れ ば な ら ない の か を言 い な さい,
解
答
五 倍 の 二 は10,す
分 を,そ
な わ ち 聖 職 者5人
し て 朗 読 者6人
時 に 加 え よ,す
が 十 個 の パ ン を 受 け 取 り,助
が 一 個 と 半 分 の パ ン を 受 け 取 っ た.5と1と6と
る と12に な る.さ
ら に10,半
に な る 。 こ れ は 十 二 個 の パ ン を 示 し,こ
と12個 の パ ン に な る,そ
[48.]学
祭 一 人 が半
分,一
を同
と 半 分 を 加 え よ,す
る と12
れ らが 同 時 に 加 え ら れ る と12人 の 人 間
れ ゆ え 聖 職 者 とパ ン の 数 は 同 じで あ る.
生 た ち に出 会 っ た人
あ る 人 が 学 生 た ち に 出 会 い,彼
ら に こ う 言 っ た.「 学 校 に は何 人 い ま し た か?」
彼 ら の 一 人 が こ う答 え た.「 そ れ に つ い て は あ な た に は 言 い た く あ り ま せ ん 。
我 々 を 二 度 数 え て,三
に 私 を 加 え る と,そ
倍 し な さ い.そ
し て 四 で 割 り な さ い.そ
の 数 の 四分 の一
の 数 は 百 人 と な り ま す 」.道 を 歩 い て い る 人 に か つ て 出 会 っ
た の は 何 人 で あ っ た の か を 言 い な さ い.
解
答
三 十 三 の 二 倍 は66で あ る.こ
出 会 っ た.こ
な る.こ
れ だ け の数 の学 生 が 道 を歩 い て い る 人 に か つ て
の 数 に 二 を 掛 け る と132に な る.こ
の 四 分 の 一 は99で あ る.返
れ を 三 で 掛 け よ,す
答 し た 子 供 を 加 え よ,す
る と396に
る と100に な る.
190
[49.]大 工
7人 の大 工 が 七個 の車 輪 を作 った.何 台 の 四 輪 車 を作 った のか を言 い な さい .
解
答
7を 七 倍 せ よ,す る と49に な る.こ れ だ け の車 輪 を大 工 た ち は作 っ た ,四 が
12倍 され る と48に な る.48個
の車 輪 の上 に十 二 台 の 四輪 車 が 作 られ ,一 個 の車
輪 が 余 る.
[50,]他 の 命 題[容 器 中の 葡 萄 酒]
百 メ トル ム の葡 萄 酒 は どれ だ け セ クス タ リ ウス を含 ん で い るか,あ
るい は こ
の 同 じ百 メ トル ム は どれ だ け の メ ル ム含 ん で い る の か を 言 い な さい .
解
答
一 メ トル ム は40と8セ
る.こ
ク ス タ リ ウス を含 む
.48を
百 倍 せ よ,す
れ だ け の セ ク ス タ リ ウ ス が あ る こ と に な る.同
288メ ル ム で あ る.288を
百 倍 せ よ,す
る と28800に
様 に して,一
な る,こ
る と4800に
な
メ トル ム は
れだ けの メル ムが
あ る.
[51.]あ
る 父親 に よっ て 分 配 され た容 器 中 の 葡 萄 酒
瀕 死 の 父 親 が そ の 四 人 の 息 子 に葡 萄 酒 四樽 を残 した.第 一 の 容 器 に は40,第
二 に は30,第 三 に は20,第 四 に は10モ デ ィ ウ ム入 って い た .彼 は 自分 の 家 の 執
事 を呼 ん で こ う言 った.「 こ れ ら葡 萄 酒 四樽 を,中 身 を保 っ た ま ま 四 人 の 我 が
息子 た ち に分 け な さい.た だ し彼 らの 各 取 り分 が 葡萄 酒 で も容 器 で も等 し くな
る よ うに」.皆 が 等 し く受 け取 れ る よ う にす る に は どの よ う に分 け れ ば よい の
か を言 い な さ い.
解
答
実 際,第
一 の 樽 に は40モ デ ィ ウ ム,第
二 に は30,第
三 に は20,第
四 に は10モ
191
デ ィ ウ ム あ っ た.そ
れ ゆ え40と30と20と10と
次 に 百 の 数 を 四 つ の 部 分 に 分 け な さ い.百
が 二 倍 さ れ る と,そ
ウ ム に な る.あ
人 の 息 子 で は50モ デ ィ ウ ス に な る.第
四 の 樽 に は10モ デ ィ ウ ス あ る.こ
[52.]家
一 の樽 に は
れ ら が 加 え ら れ る と50モ デ ィ
な た は こ れ を 二 人 の 息 子 に 与 え る 。 同 様 に し て,第
も上 と 同 じ よ う に し て 二 人 に 与 え る と,彼
の数
れ ゆ え各 々 の 息 子 の取 り
樽 に あ る30モ デ ィ ウ ム と20モ デ ィ ウ ム と を加 え な さ い,す
に な り,こ
る と100に な る.
の 四 分 の 一 で あ る25が 生 じ,こ
こ か ら五 十 と い う数 が 生 じ る.そ
分 は25モ デ ィ ウ ス と な り,二
40モ デ ィ ウ ス,第
を 加 え な さ い,す
二 と第 三 の
る と50に な り,こ
れ
ら は 各 々25モ デ ィ ウ ス 受 け 取 る こ と
う して 各 々 の 息 子 の 取 り分 は葡 萄 酒 で も樽 で も等 し く な る で あ ろ う.
長
あ る家 長 が,90モ
デ ィ ウ ス の 穀 物 を 自 分 の 家 か ら30レ ウ ヴ ァ 離 れ た も う 一 軒
の 家 に 運 ぶ よ う に 命 じた.た
運 ぶ こ と が で き,各
だ し一 頭 の ラ ク ダは そ の 穀 物 全 体 を三 回の 旅 程 で
旅 程 で は30モ デ ィ ウ ス 運 ば れ る と す る.と
各 レ ウ ヴ ァ ご と に 一 モ デ ィ ウ ス 食 べ る.ど
こ ろで ラ ク ダ は
れ だけ の モ デ ィ ウス が 残 る こ と に な
る の か を 言 い な さ い.
解
答
最 初 の 旅 程 で ラ ク ダ は20レ ウ ヴ ァ に 対 して30モ
と に 一 モ デ ィ ウ ス 食 べ る.す
デ ィ ウ ス 運 び,各
レウ ヴ ァご
な わ ち ラ ク ダ は20モ デ ィ ウ ス 食 べ る の で10モ デ ィ
ウ ス 残 る の で あ る.第
二 の 旅 程 で は 同 様 に し て30モ デ ィ ウ ス を 運 び,そ
20モ デ ィ ウ ス 食 べ,し
た が っ て10モ
様 に し て 行 う.つ
べ,こ
デ ィ ウ ス 残 る で あ ろ う.第
ま り ラ ク ダ は30モ デ ィ ウ ス 運 び,そ
う し て 十 モ デ ィ ウ ス 残 る で あ ろ う.さ
行 程 で は10レ ウ ヴ ァ で あ る.こ
家 に 運 び,途
こか ら
三 の旅 程 で も同
こ か ら20モ デ ィ ウ ス を 食
て 残 っ て い る の は30モ デ ィ ウ ス,
れ ら30モ デ ィ ウ ス を ラ ク ダ は 第 四 回 目 の 旅 程 で
中 の 旅 程 で そ れ ら の う ち 十 モ デ ィ ウ ス を 食 べ る.こ
体 の う ち20モ デ ィ ウ ス だ け が 残 る.
う して そ の 全
192
らヨ
[53.]12人
の 修 道 士 か ら な る修 道 院 の 院 長
あ る修 道 院長 の も とに12人 の修 道士 が い た.彼 は そ の 家 の 執事 を呼 んで ,20
4個 の 卵 を与 えて,こ れ らす べ て か ら 同 じ取 り分 を各 々 に与 え よ と命 じた .た
だ し次 の よ う に 命 じ た の で あ る.5人
68個,3人
の 司 祭 に85個 ,四
人 の助 祭 に
の 朗 読 者 に51個 の 卵 を与 え よ と.誰 にお い て も個 数が 超 過 もな くま
た 不 足 もな く,上 で 述 べ た よ う に皆 が 同 じ取 り分 を受 け取 れ るよ うにす る には,
彼 らの 各 々 には何 個 の 卵 が 行 き渡 る こ とに な る のか を言 い な さい.
解
答
そ れ ゆ え 二 百 四 を12で 割 りな さ い.実
う の も十 二 倍 の17も 十 七 倍 の12も204に
際,こ
な る か らで あ る.八
し た も の で あ る よ う に,六
十 八 は 四 倍,五
え5と4と3を
る と12に な る.こ
加 え よ,す
さ ら に85と68と51と
で あ る,そ
を 加 え よ,す
れ ゆ え 以 上 か ら,各
の12分 の 一 は 十 七 に な る.と
い
十 五 は 十 七 を五 倍
十 一 は 三 倍 し た も の で あ る .そ
れゆ
れ は 人が 十二 人 とい う ことであ る.
る と204に な る.こ
取 り分 と し て は,十
れ は 卵 が204個
とい うこ と
二 等 分 して皿 に分 け られ た
十 七 と い う 数 で あ る17個 の 卵 が 出 て く る.
1.ア
ル ク イ ン の 生 涯 に 関 し て は 次 の も の を 参 照 .朝
上 智 大 学 中 世 思 想 研 究 所(編)『
pp.75-103.松
川成夫
倉文市
「司 教 座 聖 堂 附 属 学 校 」,
中 世 の 教 育 思 想 』(上)
,東
洋 館 出 版 社,1984,
「カ ロ リ ン グ ・ル ネ サ ン ス と ア ル ク イ ン」,前
掲 書,pp.129-
155,
2.し
た が っ て ヨ ー ク の ア ル ク イ ン(AlcuinofYork)と
ル ク イ ヌ ス(Alcuinus),ア
3.部
分 訳 が あ る.ア
ル ク イヌ ス
ル ビ ヌ ス(Albinus)な
5.Migne,J.-P.,PαtrogiαeLαtinae
テ ン語名 は ア
ど.
「文 法 学 」,上 智 大 学 中 世 思 想 研 究 所(編)「
グ ・ル ネ サ ン ス 』(中 世 思 想 原 典 集 成6),平
4.Migne,J.-P.,1)αtrogiαeLαtinαe,C
呼 ば れ る .ラ
凡 社,1992,pp,117-131.
.,Paris,1863,cc.1143-1160.
,XC.,Paris,1904,cc.665-676.
6.Folkerts,M.,DiedltesternαthernαtischeAufgαbensαmrnlunginlateinischer
Sprαche∫DieAlleuinzugeschriebenenPropositionesadacuendQsinverユes
カ ロ リン
193
Uろerlieferung,/nhα1ちKritischeEditi・n,(OsterreichisheAhadernieder
Ufissensch(xftenMαthemαtis・h-naturwissenschaftlicheKlαsseDenkschriften
116Band6,Abhandlung),Wien,1978.
7.Folkerts,M,andGericke,H.,"DieAlkuinzugeschriebenenPrQpositiones
adAcuendosJuvenes",inBultzer,P.L,et.α1.(ed.),ScienceinWestern
αndEαsternCivili2αtioninCαrolingiαnTimes,Base1,1993,pp.283-362.
8.Singmaster,D.andHadley,J,,"ProblemstoSharpentheYoung",The
MαthemαticαlGαzette76no.476(1992),pp,102-126,こ
れ を 改 訂
し た も の が
あ る.Singmaster,C.andHadley,J.,ProblemstoSん
醐 ρθηtheYoung,
SouthBankUniversityTechinicalReportSBU-CISM-95-18,London,
1995.
9.Folkerts,op.cit.,1978,S.24.
10.こ
れ は
『ギ リ シ ア 詞 華 集 』
に 含
ま れ て い る.Paton,W.R.(tr,),TheGreθ
ん
Anthology,voL5,LoebClassicalLibraty,London/NewYork,1918(rep.
1960),pp.84-107.そ
こ に は31問
が 収 め ら れ て い る.ア
ル ク イ ン が
こ れ ら の 問 題
を
知 っ て い た か ど う か は 不 明.
11.Claude-GasparBachetdeM6ziriac,Problbmesplα
ξsαnsetd61ectαbles,
...,LyOn,1612.
12。Singmaster,1995,0p.cit.,P.27.
13.百
鶏 問 題
と ア ル ク イ ン と の 関 係 は 次 の 書 物 で も 言 及 さ れ て い る 。 林 隆 夫
数 学 』 中 公 新 書,1993,p.270.こ
と は 考 え ら れ な い.お
の き わ め て 典 型 的 な 問 題 は ア ル ク イ ンが 考 案
そ ら く 中 国 で 考 案 さ れ,イ
に も た ら さ れ た も の で あ ろ う.10世
詳 細 に 論 じ て い る.し
か し12世
『イ ン ド の
紀 に は ア ブ ー
ン ド を 通
じ ア ラ ビ ア を 介
し た
し て 西 欧
・カ ー ミ ル な ど が ア ラ ビ ア 世 界 で
紀 ル ネ サ ン ス 以 前 に ど の よ う な 経 路 を 辿 っ て こ の 問
題 が ラ テ ン 世 界 の ア ル ク イ ン に 至 っ た の か は 興 味 深 い 謎 で あ る 。
14.ア
ル ク イ ン の 問 題22-25,27-31が
応
『作 者 未 詳 の 幾 何 学 』 の 問 題31-39と
こ の 順
に 対
し て い る.N,Bubnov(ed.),GerbertiposteαSilvestrillpmpαeoperα
mαthemαticα,Berlin,1899(rep.Hildesheim,1963),cc.352-356.
15.使
用 し た テ ク ス
ト は,Folkerts,1978,0p.cit,,SS.45-76.
16.90000÷365=246あ
17.最 初 ・道 行 ・男 槻
ま り210.
た 人数 ・ ・ とす ・ ・,・・導
・去 ・穿+1-1・
…
て・
x==36,
18.最
初 ・ 見 た 鳥 の 数 ・ ・ とす ・ ・,・+・+・+x+ぎ+x・
去 ・ ・-1・
・…
て・
194
x=28.
19・ 最初 ・ 放 ・飼 い に され て い る ウマ の 頭 数 をxと す ・ …+x+麦
・穿
一1…
よ っ て,x=40.
20・ 雌 ブ タ をx・
=100
21ゴ
.よ
母 ブ タ をO・J子
ブ ・ をzと
す る と ・x+・+x-1…1・x+…
号
っ て,りc=1,ッ=9,z=80十10,
タ1頭 は 号 ・ ・ ド・ス ・ 痩 せ ・ ブ ・は 青 ・ ・ ド・・,fi巴えた ブ ・は 去 ・ ・ ド・
・…
て残 ・ た ブ タ1・頭 か ・…
22.金,銀,真
鍮,鉛
デ ィ ウ ム=7200セ
の 解 答 は わ か り に くい.別
は 長 さ5ク
20に な り,ま
ビ ト ゥ ス,幅4ク
た80[写
・ ド・ス の 利 益 ・得 ・ .
ン キ ア を 用 い て 求 め る.
ク ス タ リ ウ ス.
の 写 本 で は 次 の よ う に 書 か れ て い る .「 各 々 の 小 外 套
ビ ト ゥス で あ る の で,100の
本 で は40と 誤 記]の
そ れ ゆ え 二 十 の 二 十 倍 を と れ,す
ト ゥ ス,幅4ク
・t・
ブ ラ と す る と ,x+g+z+u;30,
ブ ラ=12ウ
ト レ テ=300モ
24.こ
・・9-・
を そ れ ぞ れ,x,y,g,uリ
y=3x,z=3y,u=3z.1リ
23.100メ
が
五 分 の 一 を と れ,す
四 分 の 一 を と れ,す
る と400に
な る.こ
ると
る と 同 様 に20に
なる .
こ か ら こ れ だ け の 長 さ5ク
ビ ト ゥ ス の 小 外 套 が 作 ら れ う る の で あ る 」.Folkerts
ビ
,op.cit,,S.
49.
25.編
集 テ ク ス トで は 解 答 は 真 正 の も の で は な い と 見 な さ れ 省 略 さ れ て い る .あ
で は 次 の よ う に 書 か れ て い る.「 た と え ば,も
私 の 姉 妹 を 嬰 り,我
父 と な り,彼
々 に[子
供 が]生
ま れ る の で あ れ ば,私
女 は 私 の 息 子 の 伯 母 と な り,彼
る写 本
し 私 が 私 の 友 人 の 姉 妹 を 嬰 り,彼
が
は 私 の姉 妹 の 息 子 の 叔
ら の 間 は こ の よ う な 相 互 関 係 に な る,
そ れ ゆ え 私 の 息 子 と 私 の 姉 妹 の 息 子 は 従 兄 弟 と 呼 ば れ る 」.Folkerts,op.cit,,S.
50.
26.編
集 テ ク ス トで は 解 答 は 省 略 さ れ て い る が ,あ
「そ れ ゆ え 私 の 息 子 と私 の 母 親 の 息 子 と は,叔
る 写 本 で は 次 の よ う に 書 か れ て い る.
父 と 甥 で あ る 」.Folkerts,op.cit.,
S,51.
27.編
集 テ ク ス トで は 解 答 は 省 略 さ れ て い る が,あ
「そ れ ゆ え 私 の 息 子 と 私 の 父 親 の 息 子 と は,互
る 写本 で は 次 の よ うに 書 か れ て い る.
い に 叔 父 と 甥 で あ る 」.Folkerts,
op.cit.,S,51.
28.テ
ク ス トは
「こ れ ら 二 人 の ど ち ら か の 女 の 一 人 」 で あ る が,実
女 は 一 人 で あ る の で,テ
29.こ
こ で は,オ
際には この時点 で は
ク ス ト を 訂 正 して 訳 し た 。
オ カ ミ は ヤ ギ を,ヤ
ギ はキ ャベ ッ を食 べ て しま う こ とが 前 提 さ れ て い
195
る.
30.他
に も,ま
ず ヤ ギ を 渡 し,次
の 後 オ オ カ ミ に 渡 し,最
31.テ
い で キ ャ ベ ツ を 渡 し,そ
後 に 再 び ヤ ギ を 渡 す,と
キ ス トの 説 明 だ け で は 不 十 分 で あ る.し
の 帰 り に ヤ ギ を 連 れ 戻 し,そ
い う 方 法 が あ る.
か し解 答 か ら判 断 し て,問
題19と
同一 の
内 容 を 持 つ と 考 え ら れ る.
32.テ
ク ス トは 「200を 二 度 五 倍 せ よ 」.写 本Rの
33.底
辺 が そ れ ぞ れ100/3,高
読 み を 採 用.Folkerts,op.cit.,S.57.
さ が50,60,50の3つ
の 短 形 を,底
に 並 べ た 図 形 の 面 積 を 求 め る 問 題 と み な す と,こ
辺 を 一 列 に して 山 形
の 解 法 は 正 し い,し
の 平 行 台 形 を 合 わ せ た 図 形 の 問 題 で あ ろ う.す
方 の 台 形 が 底 辺 α,cか
つ 高 さd,他
か しお そ ら く
は 底 辺 を 共 通 に 持 つ2つ
a十b十c
a+b+2cで
把 で,と
・dと
し て い る .も
あ る.ま
方 が 底 辺b,cか
ち ろ ん こ の 場 合,正
つ 高 さdの
と き,面
し く はa+b+cで
た160/3=53,5300/12=441,441/12=37の
く に 第 二 番 目 は442の
な わ ち,一
積 を
は な く,3
計 算 は か な り大 雑
ほ う が ふ さ わ し い.
34滴
・の平 均 ・取 ・ て い る ・ つ ま り,d+3-…
れ ・ 除 け ば解 法1と 同 ・で あ ・ ・
35.一
辺がa,・,・,dの
と して 求 や て い ・・
36凋
を ・ ・す ・ ・,・ の 問 題 で は 面 積 ・
ま(C4)2と
短形 の 面積 ・,α 吉o・ 禦
い う・ ・ に な る ・ しか ・ ・ れ は も
との 図 形 が正 方 形 で あ る こ と を意 味 す る.円 と正 方 形 を 同一 視 す る とい うか な り雑
な 計算 法 で あ る.あ
・・ 周 …
えて 言 え ば πが4と
す ・ ・,・ の問題で・醐
が っ て こ こ で は π は3で
38.跳
躍 の 回 数 をxと
39.45を40に
い う こ とで あ る.
・号 ÷
・い ・…
な…
た
近 似 さ れ て い る こ と に な る.
す る と,7x+150=9x,よ
っ て,x=150/2=75.
し た 理 由 は あ き ら か で は な い が,三
解 な 問 題 か ら,5だ
・一霊
角 形 の土 地 に 四 角 形 を埋 め る と い う 難
け 余 裕 を 持 た せ た の か も し れ な い.
40.sesquialtera.
41.こ
れ は 問 題25の
解 法2を
用 い て い る.
42.長
さ15ウ
43.通
路 が 一 つ の 場 合 で あ る.
44.各
樽 の 間 に 通 路 が あ る 場 合 で あ る.
45.1ペ
46.幾
ン キ ア,幅8ウ
ー ス=12ウ
ン キ ア の 場 合 で あ る.
ン キ ア か ら,9/12を
つ か の 写 本 で は,こ
意 味 す る.以
下 同 様.
の 問題 とそ の解 答 だ け 数詞 が しば しば 特 殊 な略 字 体 で 記 され
て い る.Folkerts,op.cit.,S.66.960÷2=480.息
子 は480・3/4=360.娘
は
196
480・5/12=280.母
親 は480・1/4十480・7/12=320
.
47.少
年 の 年 齢 をxと
す る と,2(2x)・3+1=100.よ
48.あ
る 写 本 で は,こ
の 末 尾 に 次 の 一 文 が 付 け 加 え ら れ て い る .「 こ の 解 不 能 の 問 題 は
っ て,x=8年3ケ
刺 激 を 与 え る た め に 作 ら れ て い る 」.Folkerts,op.cit
49.奇
数 の 奇 数 倍 は 偶 数 に な る の で,こ
題23は
の 解 は 不 可 能.ユ
「奇 数 の 奇 数 個 の 和 は 奇 数 」 と い う.ア
月.
.,S.70,
ー ク リ ッ ド 『原 論 』 第10巻
ル ク イ ンが
命
『原 論 』 を 知 っ て い た か
ど う か は 不 明.
50.子
供 の 年 齢 をxと
51.写
本Mの
52.こ
す る と,(2x)・3+1=100.よ
読 み を 採 用.Folkerts,op.cit.,S
こ で は,episcopus,diaconusを
っ て,x=16才6ケ
月.
.72.
と も に 司 教,presbyterus
,clerus,clericus
を と も に 聖 職 者 と 訳 出 し た.
53.テ
ク ス
ト は,propositiodehominepatrefamiliasmonasteriiXII
monachorumで,patrefamilias(長)が
Folkerts,op.cit.,S.75.
複 数 形 と な り解 釈 が 困 難 で あ る .