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非平衡流砂モデルの展開による河川流砂に関する研究(
Dissertation_全文 )
村上, 正吾
Kyoto University (京都大学)
1993-03-23
http://dx.doi.org/10.11501/3066327
Right
Type
Textversion
Thesis or Dissertation
author
Kyoto University
非平衡流砂モデルの展開による
河川流砂に関する研究
平成 4年 1
0
J
J
村上正吾
目 次
序
論
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
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・
・
・
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・
5
・
・
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・
・
・
・
・
・
・
・
・
・・
・・
・
・
・
・
・
・
・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・・
・
・
・・
・
・
・
・
・
・
・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
1
. 2 )
1
:手術柿流齢、モデルに聞する検討 ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
5
第 1章
婦涜砂の確率モデルとその非平衡涜砂過程への包展開
1. 1 級
品
1. 3 砂 純 の 運 動 方 程 式 に 凶 す る 検 討
9
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・・
・
・
・
・
・
・ 1
3
第 2章 砂 粒子の初期移動操帽に関する研究
2. 1 板
説
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
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・
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・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・・
・
・ 1
7
2. 2 砂 燥 の 初 期 移 動 織 備 に 凶 す る 研 究
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・・
・・
・
・
・
・
・
・
・
・・
・1
8
2
.
2
.1 p
l
c
ku
pr
a
t
e推 定 式 の カ 学 的 検 討
2
.2
.
2
砂粒
2
.
2
.
3
J
.
底
由i
せん断応ノJの 変 動 が
R
e
y
n
o
l
d
s教 が 砂 粒 の 初 期 移 動 機 摘 に 及 ぼ す 影 響
p
i
c
ku
pr
a
l
cに 及 ぼ す 影 響
2
.2
.4 河川ミ砂粒の配置に￨瑚する検討
2
.3
・
・
・
・
・
・
・・
・
・
・
・
・
・
・
・・
・
・
・
・
・・
・・
・
・
・
・
・ 2
8
砂撲の初期移動に閲する実験的検討
2
.
3
.1 限 界 M流 力 に 閲 す る 検 討
2
.
3
.
2 l
U砂 に 対 す る p
ic
ku
pr
a
t
e推 定 式 の 適 合 性
2
.
3
.
3
細砂に対する
p
i
c
ku
pr
a
t
e推定式の.itJ合性
2
.
3.
4 1底
. 面せん断応力が空間的変動する舗での p
i
c
ku
pr
al
cl
1
t}
E
.
:
t
tの 適 合 t
l
2
. 4 結
第 3章
論
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・ 3
4
砂粒子の涜送過程に関する研究
3. 1 槻
3. 2
説
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・ 3
9
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・ 3
9
0
~、投運動の確率的状態と s t
e
pl
e
n
g
t
hの 決 定 綴 織
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・ 41
3
.
2
.1 柿 流 砂 粒 の 運 動 状 態 の 確 率 的 表 示
3
.
2
.
2 m
j
c
r
os
t
e
p 聞でのゆらぎを無視した;嶋合の s
t
e
pJ
c
n
g
t
hの 決 定 機 織
3
.
2
.
3
柿流砂粒の運動特性に閲する実験
3. 3 1
f
t
動砂粒の運動特性に閲する検討
3
.
3
.1 衝 突 を 伴 わ な い 運 動 機 締
3
.
3
.
2
行効突起砂設の政務的性質
3
.
3
.
3
河床突起砂枚との衝突機 織
一
-1 -
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・ 47
3
.3
.4 r
作動モデルにもとづいた掃流過程の数値模媛
5
.
3
.
2 側作粒子の p
i
c
ku
pr
a
t
eの推定式
3
.
3
.
5 均白地における s
t
e
pl
e
n
g
t
h の確率特性
5
.
3
.
3 側山上の砂粒運動
3
." s
a
lt
a
t
i
o
n粒チの流送過程に閲する倹討
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・・
・
・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・ 5
9
5
. " 繊断方向勾 配の存在する場での掃流過程に関する実 験
3
.
4
.1 s
a
l
l
a
l
i
o
n純子の運動 }i程式
5
.
4
.1 側伴粒子の M流過程に関する実 験 方法
3
.
4
.
2 s
a
ll
a
t
i
o
n
利子の削除面での反発事象
5
.
4
.
2 櫛断勾配の初期移動に及ぼす影 響 に閲する実 験結果
イミ縦Jt
I
U
接続跳 躍運動の数値模緩
3
.
4
.
3
5
.
4
.
3 繊断ん向勾 配 が存在する湯での流送 過轄に関する文 験 結 *
3
.4
.
4 ~1t S
U
C
C
C
S
S
l
v
es
a
l
l
a
t
i
o
nモデルによる sl
e
pl
e
n
gl
h の決定綴 織
5
. 5 2次総の μ在する疏れ 場への拡張に関する実 験 的検川
，
論
5
.
5
.
2 蛇行流 絡 における粒子の連 動 方向に 関する実 験
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 7
9
5
.6 結
第 4章
説
論
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・
・
・
・
・
・1
3
0
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 8
3
河床波上のJ~平衡財涜過程に関する研究
". 1 槻
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・1
2
6
i
c
ku
pr
a
t
e に閲する実 験
5
.
5
.1 蛇行総 路 における p
3
.
4
.
5 '
y後i
h
IdIt砂地の推定式について
3
.5 結
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・1
2
0
・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 8
3
第 61
;
i 揃涜過程に及ぼす河床商を通しての流出入流速の最多響
・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
3
3
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・
・
・1
3
3
6
. 1
僚
4
.
2
.
1 MI
ふ波 1
f
l
剖での!正面せん 断応カ分布
6
.2
吹き IH し ・ 吸い込み 迷 度が表面流 ~ 分布に及ぼす影 智
4
.
2
.
2
c
ku
pr
a
l
eに及ぼす影 響 ・
・1
3
7
6
. 3 吹き出し ・吸い込み速度が河床砂粒の pi
". 2 M!
ふ波 Lのぬれモデルに関する 検討
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・
・
・
・
・
・
・
・ 8
5
蛾般紙l
i
l
.と形状低抗の評価
". 3 作JW波 iの )
1 午後1M
疏砂モデルに閲する倹討
4
.3
.1
~I;
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 8
8
'
ri
t
JM抗齢、モデルの t
脅威
6
."
泳
説
1
1入総速の砂粒の s
t
e
pl
e
n
g
t
h に与える能 響 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
4
1
6
. 5 抗出入抗迷がぬれと掃流砂に及ぼす影 響 に閲する実 験
4
.
3
.
2 M1
ふ波 iの p
l
c
ku
pr
a
l
eと s
t
e
pl
e
n
g
t
hの維定
4. " 河休被上の i
I
O
tれと掃流砂に関する実験
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 9
2
6
.
5
.1
尖験 }
j法
6
.5
.2
流れに 閲する実 験 結果
4
.
4
.1 尖 験 )i法
6
.
5
.
3 p
i
c
ku
pr
a
t
eに関する実 験結 果
4
.4
.2 1
1
'
(1
(
1
1せん断応 )
J分街に閲す る実験 結果
6
.
5
.
4 s
l
c
pl
c
n
g
t
h に 関する実 験結果
4
.
4
.
3 p
i
c
ku
pr
a
l
c に閲する実 験結 巣
6
.
5
.
5 柿疏砂 量 に凶する考 察
4
.
4
.
4 M洗砂分布に出する実 験 結果
"
. 5 、
Y徐1状態にある M床波の安定形状に 関する 検 討
4
.
5
.1
6
.6 結
J I 、y. 後1 M 流 過料 に文 配 さ れる 河床 波 の平 衡}~ 状
鮎
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・;
1
4
4
J
命 ・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
5
0
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
0
1
第 7章
婦涜から浮遊への遷移の出現機栴とその流砂過程に巣たす役押l ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・1
5
5
7
. 1
4
.5
.2 ド後
‘ 1河床 波形状に 閲する実 験結 果
"
.6
・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・1
3
4
J
命 ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
0
5
槻
必
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
5
5
7
. 2 B
c
dm
a
t
c
r
i
a
l
l
o
a
d流送 過程の記述
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
5
7
2を織 成するサブシステム
7
.
2.1 杭送 過 4
第 5章
倒j
手上の非平衡婦涜過程に関する研究
5
. 1
制
度
品
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
0
9
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
0
9
t
J掃滅モデルに 関する 検 討 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
1
0
5
. 2 側咋 iでの非'Ji-i
7
.3
遭 診を ~ ll. した bcd
m
a
t
c
r
i
a
ll
o
a
d流送 過料の定式化
M秘から浮遊への遷診に影 響 される浮遊砂 過符
7
." s
a
1t
a
t
i
o
n軌跡 の不安定
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
6
0
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
6
3
6
5
7
. 5 限界鉛山 偏情 量 に閲す る検 討 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
5
.
2
.1 側 Ji~ 1の J
I、
V衡 M洗過程
7
.
5
.1 乱れに対する粒子の応答特性
5
.
2
.
2 側J
j
!1の柑疏砂モデルの特 徴
5
.3
7
.
2
.
2
側 Jj~ .
lの純子の j
運動特性に関する 検 討
5
.
3
.1 側 J
j
!t
i
lr
の限界柑抗力
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
1
3
7
.
5
.
2 s
a
l
t
a
t
l
o
n上の限界 偏術 量 について
7
. 6 拙流から押遊への 運 穆確率密度に閲する検討
-11-
ー -111-
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
6
9
7
.O
.1
序
遷移硲)~~ ~+) J
立
. の評価について
J
命
7
.6
.2 )ま格商議 j
立の評価について
・
・
7. 7 結 論 ・ ・ ・
1
7
4
河川においては.iTJ瓜波の発牛・発注. J.kJ!里帰造物周辺での刷所洗錫.砂州の発生 ・発
達，これらの諸現象を合めた河川の何床変動と綴々なスケールの移動瓜現象が起こってい
第 8章
浮遊砂の確率モデルとその非平衡涜送への適用
8. 1 般
説
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
7
7
・
・
・
・
・
・
・
・
8
. 2 浮遊砂のi{ti1
綜モデルに倒する倹討
1ー
に関係しあって，
る.こうした移動床現象はそれぞれのスケール間有の特性を小す・方相 1
・
・1
7
7
河川のi!D水能力.洪水制御.河川借地物の安定性等の工学的訪問題と深く l
剣わっている.
1
7
8
これらの問題は原野的には水流の強度とそれに対する砂粒の力学的な応答がわかれば解け
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
8
.2
.1 11-遊砂浪!草分布の施本モデルによるJ;.ぷ
ることになる. 側々の砂粒に対する運動方符式がこの場合の此;容特性をムす. 実際には
8
.
2
.
2 桜率的数似慎綴の方法
L
a
g
r
a
n
g
c的な意味での倒々の運動を(I
t
'後を級うのではなく. それらの集合体として E
u
1
c
r
8
.
2
.
3 平衡浮逃砂 a度分布の散他棋緩
的な意味での疏砂母式が運動方程式に代わってJflt、られる.従って.こうした洗砂地式の
8
.
2
.
4 ヂ見河川~ 1
.
のJ
ド平衡作遊砂濃度分衡の数値模綴
縫立が移動床の水1I~~Ï'の絵本的なぷ組であり. Itまも基本となるてH
l
t状態における半周がHふ
82
.
5 t
字滋純子の e
x
c
u
r
s
i
o
nl
e
n
g
t
hについて
の平衡硫砂量式について，古くより多くの実験的.解析的な研究がある.ほとんどのモデ
8
.
2
.O 平衡 1
7滋砂砧について
ルによる流砂量は頬似した結果をうえ.個々のモデル自体が合む同有の問題を除けば，、
v
8. 3 B
c
dm
a
t
e
r
i
a
ll
o
a
dの洗送過程に閲する数値燦燦
8
.
3
.1
9
0
・
・1
衡流砂九t
の推定と
H
ったレベルでは.ほぽ問題がないものと，官、われる. しかし，前述した
ような河川における修動床現象の多くは流砂がJ
I、
「
後Jな状態にあることによ勺て引き起こ
俺率的な数 i~i 模擬の )i tÂ
8
.3
.2 J
ド手術洗砂モデルの微分形式によるぷ現
M床 波 kの J
I
・平衡浮滋過料に閲する研究
8
.
4
.
1 A弦 河 床 波 Lの流れと浮遊砂に関する実験的検討
8. 1
¥
されるため.平衡状態を惣定しての洗面少量式のjIJ)IJには問題のある場合がある
・
-194
現象に応
じた平衡状態のスケールが明磁であれば.それを ~cl することでこうしたぬ砂杭式の適川
範囲も明砿である.そのスケール
nu..非平衡なぬ砂現象の 1
1
1
'解 の 枠 組 み か ら 将 か れ る も
i
m砂 泌 程 の ふ み と な る 枝 子 ス
8
.
4
.
2 正弦河広被上の疏れのモデルと浮遊砂過稜の数{直技綴
のである.本研究では.鮪々のスケールで出現する非平衡な
8
.
4
.
3 三角形iIよかI床上の涜れと浮遊齢、に閲する実験的
ケールの J~ 平衡状況を砂粒子レベルの運動機楠から倹討し.その被摘にもとづいて指定さ
8
.4
.4 三角形状 M床上の浮遊砂 猿度分布に凶する数古賀慌嫌
れるパラメータによって.実際河川に生じる J
I
'王
子
役i
流砂過狩の記述を行おうとするもので
8. 5 結
論
・
・
・2
0
3
・
・
・
・
・
・
・
・
ある.
第 1-3なでは.砂舵チレベルから非平衡掃統過程を記述する kで，どの織なモデル化
0
7
-・
・
・2
結論・・・
の非平後j併 を 的 確 に 虫 現 し 仰 る モ デ ル
が適切であるかを論じ，砂粒の運動にともなう同イi
として小川ら.)が発展させた E
u
l
c
r的に理解された M流砂の s
l
o
c
h
a
s
l
i
cm
o
d
c
l (依ネモデ
jレ)を取りあげる.
そして，その織成要素である p
J
c
ku
pr
a
t
c
.s
t
e
p1
c
n
g
l
hをその松本
1
1できる級.
的な力学級備についての検討にもとづいて.実際何川の掩々の境界条例=に遁 1
モデルを発泌させる.
第
4-6章では，河床面での様々な境界条件によって主主起される非平後l
h
Jぬ 過 躍 が . 第
l
$
.
:で展開したモデルの枠組みで必述され，より
4
般的な境界条件への拡放がどのように
可能となるかの検討を試みる.すなわち，境界条例・の変化に
デルの 締 成 要 素 に 作
nう外 β 条 什 の 変 化 は 流 砂 モ
mするが，それが織成要事長の )J学的な耐と 6
8
i
}
終的な凶lにどのように彬
l
c
ku
pr
a
t
c
.s
t
e
pl
e
n
g
t
h
響を 及ぼすかを評価することで. 境界条件に対応した形での p
を推定する.
明
.
、
-
-1
第 7. 8~では.浮遊砂を合み.その緩和距般が水深スケールにも大きくなる ~I二 千衡疏
砂過料を倣うが，
抑止砂粒の p
lc
ku
pに相当する蕊味をもっ M流 砂 か ら 浮 遊 砂 へ の 遷 移 ，
sL
c
pl
c
n
g
t
hに相当する浮滋純子の修動距舵 (
e
x
c
u
rSl
o
nI
c
n
g
l
h)を 考 慮 す る と ， 知 1'
:
で桜凶したモ デル が .
f
i遊 砂 を 含 む 場 合 に も 基 本 的 な 枠 組 み を 変 化 さ せ る こ と な く 通 用 で
五本的な情成であり.d¥に各市の内容を簡単1
.~こ
きることに注 1している.以上が本論文の J
述 べ て . 本 論 文 の H体的 t
構成をボす.
したものであるが・実際の河川では，特に洪水時には 1
字通量砂としての i砂 輸 送 が '
;
i起して
くる・
t 砂の鮪送形悠で浮遊砂が地加しでも・その供給源としての帰 ðf~ i'Tが (
i
-uするわけ
砂と共 (
iしている状況
で . 筒 形 態 の 共 Hという観点が直要である・そこで以下では・掃討t
での浮遊砂の輸送に碕・事モデルの拡促を凶る.
.
.象 〉 と浮遊位
前 7取では，柿流運動から浮遊運動への修行事象 〈遺修 1
fの 運 動 特 併 を
fで述べたモデルの基本的な仲組みが・そのまま 浮
7 宇逃砂を合む
適切に，A現するとき，第 1c
まず第 i京では，洗砂の磁:本モデルが枝子の実際の挙動に忠尖なモデルであり，
しかも
i
I
O
t砂の J
F
'
r
・
衡t
tが そ の 修 動 特 性 に よ っ て も た ら さ れ る こ と を 考 え る と 最 も 合 理 的 な モ デ ル
.
t4>:的な摘成要ぷはある運動形態から別の巡動
であるこ とがれ・目される.すなわち.その l
形態への修行跡拶.と，各運動形態における粒子の移動に関わる舵窄特性である.前.n・ は"~
J
!
J
r
的な7}<J1j11ii.に応符;するのに対し，後-I'i'はある地点での履院を砂粒運動の確 1存分布に従 っ
た配分本で下流仰l
にもたらし緩和過程を呈する.この状況を的佐にみ現し得ることが非子
後I流砂過科の"l!，述の必要条件 である.こうした巡動形慰問の移行事象と各運動形態におけ
F
る運動特併をそれそれよl
学的にモデル化するべきであるとの考え方を展開する .
b
e
dmt
旬e
r
吋i
a
剖11
討を進める.またこのモデルの枠組みの中で士民な線機である遷移後摘については・その
定量評価の重要性から均学的合l'
g
性を保った:i!移現象のモデル化を行う・
穿~ 81;{では，浮遊粒子の運動特性にもとづいて ~I・ 平衡な漫瓜分命の形成lMl n についての
倹 dを行う・特に 1
字避勧が (i在する7}<1
理条件において見られるがJ
IU.波 j の ~I 'l'衡な符逝砂
ーを例にとりあげ退問摘蹴砂の非拘性と関係付けた適切な日時得る試みを
f
丁つ.
最後に，結J
命において本研究令体の総括を行う.
貫
¥2草では.掃流砂の健琳モデルの情成要素で河床勝止砂粒から M流 砂 へ の 移 行 を 特 徴
i
c
ku
pr
a
l
cを指定するため，庇面せん断応 )Jの変動や砂粒 R
c
y
n
o
l
d
s数 の 効 果 ，M
づける p
iふ砂純の配置状況などを~.
r
f.した h学的なモデル化を行う.
P
、の不規則な巡動特性を表す s
t
e
pl
e
n
g
t
hの縫率的な特性を. その確
第 3f，'iでは，締新H
参考文献
1
)可a
k
a
g
a
w
a
.H
.a
n
dT
s
u
j
i
m
o
l
o・T
. :S
a
n
db
e
dl
n
s
t
a
b
i
l
i
l
yd
u
et
ob
e
dJ
o
a
d
m
o
tlOn
.J
. I
l
y
d
r
a
ul
.D
i
v
.
.A
S
C
E
.V
oJ
.1
0
6
.I
I
Y
I
2
.p
p
.
2
0
2
92
0
5
1
.1
9
8
0
.
定命的な d
uを運動ん程式によって確率的な側面を河床紛止砂絞とのイ"規則な衝突現象を S
盗
事的 T 法によってぷ現し.両側面からのアプローチとその融合の重~性について述べる.
以 上 の . モ デ ル の 基 み 要 素 と そ の 力 学 的 ・確 率 的 な モ デ ル 化 の 方 向 に 法 づ い て ， 次 に 微
々な移動体現象への展開を図り，4>:モデルの 一 般 化 へ の 柔 軟 性 に つ い て の 倹 村 が 進 め ら れ
る.
第<1:iまでは，代ム的な非平衡掃流過程である何床波背面での流砂現象への拡張を行う.
作H
f
，被の波長や進行速度に関わる i
正さや時 n
uのスケールでその拶動現象をみると王子衡状!自
にあったとしても.それを保持している 後 摘は ~I' 平後!な流砂過 f1 である.ここではかI 床被
tのような底面せん断応力が場所的に変化する場に対して pick叩 ratcとSlcplcngthを
要素とする桜本モデルの有効性を述べる.
第 5章 で は . そ れ ま で の 倹 討 が 抗 下 ん 向 の み を 対 象 に し て い た の に 対 し ， 横 断 方 向 へ の
長聞を試みる.流れの方向
移動も考慮した縦断・横断方向 2次元的な舗での流量生、モデルの l
の偏怖，
r
f勾配の p
i
c
ku
pr
a
t
c
.s
l
c
pl
c
n
g
l
h
への彫 響 を ど の よ う に 取 り 込 む か が 工 夫
機世
される.
貫~
6t'iでは，沖積地河川ではあまり問題されないが，山地河川では顕:1，'となってくる河
床鳩成材料の送水性が訴ti'T現象に及ぼす彰軍事についての倹討を行う.
以上は.帰依過将を対象に.その非、ド衡札を ~f懲できるモデルの舵立とその適用を検討
-
.)ー
-3-
第 1t
;
t
.f
，
T
}流砂の確率.モデルとその非、ド衡流砂過科への展開
1
.1 概 滋
移動体 jet
¥
'
.
では.掛訴tiP通勤によって境界形状.境界面織成材料の純度特1'1;か変化し.
$l
(
(
) を小し.その
そ れ に よ っ て 疏 れ の 川 浩 も 変 化 す る と い っ た 強 い 相 互作用 性 〈凶ー1
.l
取り敏いは移封ではない. しかしながら.個々の相 互作 用 系 を 切 り 般 し て し ま う と 移 動 床
過程の却解は深まらない.
Characteri
s
t
i
c
so
f
s
e
di
mentmov
割引 e
nt
l
n
t
e
r
act
ion
悶1.1診動床の相互作別系
こうした相 I[ 作川系の小でな本的かつ支配的関係は.流れの特1'~
状という道筋である
表す禍流砂モデ ル
I
_
'
i
m砂辺動.~底抗l 而形
従ってまず.外力としての疏れの変化に対する洗砂の応答1'
1状を
1
(M流砂 f
d
:式) を明らかにする必要があり.その力?・的介J11
1
'
1を似つた
めには個々の砂純巡動の特徴を知る必要がある.河床に紗 1
I していた砂純は i
l
o
tれによって
かI
床 よ り 般 脱 〈初期移動 ) し，砂絵程度の凹凸のある場でしかも変動する抗体力 (帰抗運
，
'
fl
).
動のイミ脱則性 )によって洗送され，ある距離だけ動いて内び河川4に泳ち，nく (ぬ送lMJ
このように砂村はかtJL~を 4脅威する砂粒と交換を繰り返しながらト.?/otへ抗込されていく.こ
れが b
e
dm
a
l
c
r
i
a
Jl
o
a
dとしての特徴である. また. d
l
t
@
、巡目的にともな って境以 l
i
u形状が
変化したり. ðlt@、の JI~ 手術な状態(流砂量が柑流 )J に見合ったものより多かったり少なか
ったりする状態)を干する掛合もしばしば出現する.十後I状態は現象に L
ふじたスケールで
J
ド午後i
状態が緩和された状態であり，非平衡状態を肥泌するにはこの紐平1
1
;
品刊の記述が必
要とされる.十1l
r
鍋流砂モデルの枠組みそのものからは緩和lスケ ールに出する知比は得ら
>モデル
れず，従ってその適月jは限定怠れる.非平衡状態にも.i8Jf1することのできる MikO
として
u偽すべき条什は次のようなものとなる.
}l砂粒運動のイミ脱 U
I
I1
'
L 般散性を表現していること.
r
I
J
;
を満たしていること. )
@ 力?祉の似イ(U
}力学的合理 1
1
G質量保U.P
I
J
;
を満たしていること)
-5-
。)柑々の境界条件とそれのぬれへの影 響 を 取 り 込 み 易 い 情 成 となっていること.
移動砂粒と M W量生、村との衝突 ・反 発 に よ る せ ん 断 応 力 r.の拘!であること(巡動品保存則)
これまで柑々の、ドゐ .J
トヂ後1M
疏モデルが提案されているが，それらは次のような観点
に}
J学 的 合 理 t
lを求めるモデル展開も行われている.
からいくつかに分頬される.
(1) 仙 b!i~ 動を側々の純子の微観的な運動の集合体としてみるか.
f
i悦的に
ro = r，1 r.
こ こ に お い て rぃ
みるか.
a
lt
at
lOn
といった運動形態で流送されるが. ~際にはこれら
砂純は滑動.転勤. s
eと砂般の診動速度 U.とに分ける K
aI
i
n
s
k
c2)に始まるん法.
p
i
c
k
ら. u
.と νeの 僚 と し て 哀 し た (
K
a
l
i
n
s
k
e型 ) .
・
土記・川 1
1
1 3は . 巡 動 形 態 を s
a
l
t
a
t
i
o
nと特定してモデル化を凶り
t
c
pI
c
n
g
t
h 八とに分ける E
i
n
s
t
c
i
n
ω に始まる I
J
t
L
.の .
i
s
iりが代点的
u
pr
a
l
cP
.とs
fでぶ現し，
平方向の連動Iati
;
(1
.2
)
ーー一一 P
.八
A2
ここに. Az •
-
-
A3d
aJ
，，‘、
.ν
.
u
.
A，
d3
、
I
である.それぞれ半後jぬ砂地 Q8.は次のようにぶされる.
QH.
1位 出 積 当 り に 移 動 し て い る 砂 位 と 何 L
r.
を1
'
私自との f
，
fI
f
.
f:
J
J (ν eに比例 )
特定している
で評価している. ま た 移 動 速 度 u
.を滑動の平後I速度で代月jし.、V
衡柑ぬ砂Jt
tを式(1.1)か
個々の紗純~動をどのような情成要素に分けるか.
Q8.
h視的に摩機過程と見なして. 1:伝織係数が ・A!の7ft動で運動を
と尚 一 視 し . 式 (1
.3
)を通用することから. 平衡状態での νaを (ro r，)に比例した形
が拠イIしていて特定するのは重量しい.
移動砂村数¥'i':I
J
(
レ
u
.を精度よく .
Kf価するためには.運動形態を特定しなければならない.
芦田 ・道 1
・
u は衝突過程を
(ij)砂村運 動を どのような運 動形式で代表させるか.
(i
ii)
(1
.3
)
lつの群と
叩
r.を衝突前後の水
これを衝突によって河川ミから解脱する砂純についての p
l
c
k
r
at
cP
.の評価に結び付けた. さらにこの場合，継続 saIt
aいo
nの 十 均 移 動 ル 般 L
mが品
積もられると平衡制執砂1
置を P
.と い の 積 と し て 与 え ら れ る (Ei
n
st
ci
nl\~) . こ の モ デ リ ン
グでは.
11
J
l
o
半後I状 態 に お い て は p
i
c
ku
pr
a
t
eP
.も局所的な JJ
(J
.
1
1
止と
対
に対比、せず.
上疏側からの彫響を受けることになる.
^
sは 2次元.
i
:が ・何回 10
3次元の砂の形状係数. dは位符である.
.
.
.
.
.(II1
)の 鍛 点 の 組 み 合 せ か ら 以 下 の よ う に 従 米 の モ デ ル 化 を 般 観
巾.....@の条例及び(I)
•
は Jド平衡状態に対する式を流体・砂林系のj!動 Mi~{i l
I
.
J
Iより
M 凹 11
般 化 し ， こ れ に も と づ き 非 平 衡 禍 流 砂 慌 の 基 礎 式 (微 分 形 式 〉を従 来している.ただし.
する
4
秀導における仮定として，
1 粒子の運動特性
非平衡状態においても s
a
lt
a
t
l
o
n
運動する 1
'
(1) エネルギ盲似千iU
I
Jモデル
量白身は保イfされるとしている.
側々の量生、総 fの運動の微悦的な摘迭に立ち入ることなく， 巨倒 的 な 観 点 よ り 水 流 の な す
このタイプのモデリングにおいては，個々の砂粒町
子レベルのィ、 W
，
U
i
Jな 連 動 を !
と慮はする
Bagno I
d4J は掃
うえている.
も の の 段 終 的 に は そ れ を 平 均 化 す る こ と に よ っ て 総 定 値 と し て jj動 特 例 日 を J
H法に欠
e
dm
a
t
e
r
i
a
l load としての企換 m~ の特徴が岬没して
そのため砂舵巡動の不焼則性及びb
仕・J~ と M 洗砂運織とをエネルギーと仕事の関係に結び付けたものである
討E巡 動 を 情 動 と し て 倣 っ て い る . エ ネ ル ギ ー 効 率 に 関 わ る 係 数 を 合 即 的 に 決 め る
y州何 i
ふにおける;y.i
t
i掃流砂量 Qs.の特性 (Qsぃ α r• S Z
くが . '
I( σ / ρl)gd 3 • r. u
.2
ただし
Qs.. Q8.
{(Olρ[)g
d
)
. 0/ρ:砂絞の比 '
f
L d:砂給能.
u
. 摩擦速
しまう恐れがある.また，境界条件の変化にともなう流れの変化(仰の条例)に対して，
n
流れの変化の刷肢を受ける砂流数密度 ν
ε を容易に評価.できるかなどが I
l
:
J
題で. 汎Jn が
度. g: '
[
(
)
J)
J
1
l速度である〉を巡織にうえている点に意義がある.
限定されているように思われる.
(
2
) 運動段{栄作 W
Jモデル
(
3
)I
'
11
i
t
似イf
UI
J
モデル
.
v
ι必 -J
，
川
.P 1
1
10) は.側々の粒子の運動量の関係ではなく.揚 )
Jによって M流府内に
制 流i
誕動する砂純子の移動距般 (
s
t
c
pl
e
n
g
t
h
) が砿 3存分 1
，;を持っているとき，断刷 x
を
tvnにf'rJlJする錫圧 h (河床せん断応力に比例)と水，'， ;宿世との )J般方程式
保持されるをT
誌を表現することができる.その M7k砂監は次のよ
通過する粒子数から次のように偏流砂1
を導き. νgを『イf効な柿抗力 J r. (:ro-r.. ここに
I
r0 : Mぬ )J. r. 限界偏流力
うにみ脱される
1Z)
J
u
vg
a
'
'
JU
yら
、
、
、
y
'
fEg--aJ
∞L
、
，E
信A
、，
vg
、
a
•
a
.
d
2
An
，
，
p
o
、
目
四
田
r
t
i
-
∞
8
du
、BJ
-RW
VA
n
u司
'
;
1
1
.されてはいるものの.砂純運動の特徴は表現されていない.
，，‘、
から Mðk~ 位を求めているは allnske 型) . こ こ で は ， 洗 れ と 純 チ 群 と の 巡 動 置 の 保 存 は
a
n
i
iと凶iK:付けられ，式(1
.[
)
である〉に比例した形で評価した.砂粒の移動速度は平均読t
(1
.4)
-方. Bagnold・ 何 村 円 ら の 飛 砂 の 研 究 に も と づ き . て
手
話tfでぬ砂が子役I状態にある
ときの例外の令せん断 1
.
(
.
.
、
力 r0は.流 体によるせん断応 j
JrI (
血 r. 限 界帰流 )J) と.
-6-
ここに.人(( )
はs
t
c
pl
e
n
g
t
hの確率密度関数である.半後1
1
人態 (
x-・∞)であれば. E
i
n
s
-
-7-
Ao・a， b， cは実験定数である.
t
c
i
nの 半 衡 流 砂 盆 式 〈式 (1
.2
)
) に -致する. ところで平jfJiP!Wの よ う に stcp lengthが 術
平~ jfJかI 休のデータに限定して f~ られたもので，
数 分 め す る と き に は . mt~ の辿統式(官量保イf 則)にもとづいて椿・斉藤 1 り， 上 昆 . ~'i!1I
頻用され， また Einstcln の平衡柿新t~ 量式によく
15 ' が41.いた Jド午後1mi 砂~則と
Peter &
:W
uller2・〉が知られるが. そこでは A
o8
.O
. ab ~ 3 ， 2. c0
となっている. (
1)-
-致している.
なおこの~現は ( 2 ) で述べた河聞の ;1- 平副htw 旅館に関する微分形式と比べて水ぬと流砂の-kJ
可作刑引を除くと
の形式となっていること.
r
l
l
J
さらに中川ら
が非平衡状態でも p
ick
IB'
up ralc， slep Icnglh は そ れ ほ ど 変 質 し な い こ と を 実 験 的 に 依 認 し て い る こ と か ら .
i
t保 存 則 に も と づ く 式 (1
.4 ) の )J 学的な合j)~
水 疏 と 流 砂 の 相 可.
作川が無視できる範聞では官J
- 放 し た も の と し て ス イ ス 公 式 (¥
lc
ycr
(3)のアプローチから挺案された流量生、量式の多くも式(}.5)の形で;!Jけたり. 近 似 さ れ る .
たとえ i
ま
，
芦田 ・迫 上ェえでは A
o
'l
7
. a 32，bc 1
.0
， B
agnold式 で は ん 4
.
2
5，a 3"
2，
b=1
.0， c0である. B
agnoldのモデルからわかるように. a32
は ld
見的エネルギーの釣合
い か ら 合 均 的 な 偽'
である .
性. 通 J
T
Jt
l:は硲:似されている.
まt
:
.式 (1
.4)は
， p
lck u
pr
a
l
cの 樹 所 的 変 化 に 対 す る 掃 流 砂 川 の 応 答 に つ い て の impuJsc
1.2 非平衡掃流砂モデルに関する検討
J
7
1
0
t齢、の stcp Icngthの分イl
応答がh
t閑 散 と し て う え ら れ て い る こ と を 表 し て い る . す な わ
ち.
;
p平 衡 状 態 で は h
l
o
tでの M流 砂 運 動 の 状 態 が steplength に よ っ て 下 流 へ 持 ち 込 ま れ
ること.
i
二流域からの影響の割介が s
teplenglhの 分 街 に よ っ て い る こ と を 明 縫 に 示 し て
L、る. さらに.
この式は非平衡状態での流砂位変化が. 任意の J
J
c理 滋 の 変 化 (pjck up
Jは 河 床 砂 撲 の 流 送 過 作 が 短 い 移 動 時 間 (m
EinstcinS
o
¥
'
i
n
gpcrlOd) と. 長い休!l
時間
(resllng pcriod) の交互の繰り返しに特徴付けられることを比いだし， そ の 特 徴 を 叫 I
I
U
tと t
多
量)
1鈍a般 x上で同ー1.2(a)の実線のように点した. さらに， 凶 J
.2(b)に ぶ さ れ る 移 動 時
r
at
cの 変 化 ) に対し. それと stcp l
e
n
g
t
hの分布 l
刻数 (l
mpulse応 答 〉 の 住 み 込 み 積 分 と し
間T
.が 休 止 時 間 T，に 比 べ て 充 分 に 知 い と し て (T
.
.，T，、
<l
)•
.1(められることになっているのが特徴でありモデルの適用上における利点でもあ
て谷 Mに ;
線 の よ う に モ デ ル 化 し た . こ の と き 般 脱 時 間 間 隔 (r
e
stp
crlo
d)TR0<T ( T (J'
T
.
.'
T，
))
る.
となり. 時 間 輸 に お け る 般 脱 現 象 と 空 間 軸 に お け る 診 動 距 般 と い う 2つのィ、脱則事象がモ
P
.， 八を術成~ぷとする stochaslic i
Do
d
e
lでは. P
.， 八 は も と も と 先 験 的 に 与 え ら れ る
-1
生の研究によって種々の洗れ，
デルの情成要素となる.
境界形状
C 俳 司3HFFCO
F句
(1
)-(3)のモデルは. 掃流運動を現象論的にモデルイヒし，
M流過程を摘成する要素の，1't
価をそれに含まれる )
J学 的 側 面 あ る い は 確 率 的 な 側 面 か ら 汗 価 す る こ と . あ る い は 婦 ぬ 現
mco
F
戸市C 明司コ“
(
4
)次 J
C解 析 的 モ デ ル
市吋 帆 恒 司
その適用 性 に お い て 柔 軟 な モ デ ル と な っ て い る .
一 『ー-l
d
e
a
li
z
e
d¥
a
n
db
e
h
a
vi
o
u
r
噌
にもとづいて穐々の 1
;1
'
正
後1掃 流 砂 過 粧 の 特 性 が 説 明 で き る こ と な ど が 明 ら か に さ れ て お り .
一一--a
Cl
u
r
a
ls
a
n
db
e
h
a
Vl
o
u
r
h
v
u
caH
J
F
P司
の も と に お い て も . そ の 力 学機 滑 に 立 脚 し た 介 内 的 な 予 測 が 吋 能 で あ る こ と . そ し て こ れ
。uga
中)
1
1 ・辻本・らけ い 21 の
ものとされていたが.
俗、従の運動を凶 -1
.2(a)の 点
同一一一 T
R
一一ーで
ト川← Tーベ
r
:
r
・-
~
，
h:
S
l
e
pl
e
n
g
l
h
I
R
:
r
e
slp
er
i
o
d
I
r:
.
r
e
¥lIn
gp
e
n
o
d
l
:
m
o
v
l
n
g
p
e
r
i
o
d
m
l
l
m
!
!
t
1m
e
象についてのエネルギーと仕事の関係を巨視的にモデル化することで掃疏砂地式を得ょう
としたものである (それでも最終的に式に含まれる係数を実験的に決めざるを仰ない) .
こ れ ら に 対 し 実 験 水 路 や 野 外 水 路 で の 実 演l
データの回帰から次 j
i:;解析にもとづいて掃流砂
(
a
) Einstejnに よ る 婦 流 砂 モ デ ル
(b) s
tep lenglh，moving pcrlodの 定 義
監事モデル
同 1
.2 掃流齢、の S
量 式 を 求 め よ う と す る ほ み も 古 く か ら な さ れ て い る . 平.tfl河床では， 次;i;解，ffrの結果. 掛
統砂墳の熊次元置は， 熊次元掃7k)
Jr.と齢、粒 R
cynolds数 R
e
.の 関 数 と し て ム 現 さ れ る . と
我々が対象とする実際の河川では， 河道の境界的l形状の変化によってがtれ は 空 間 的 に 変
UI
'
定常洗) .
cynolds数 の 幼 果 は Shiclds曲 線 に 現 れ る よ う に 主 と し て 無 次 河 限 界 制 流 力 に 凶
くに砂利 R
化し〈イミ等流) ， さらに極々の要凶によって流鉱山体も絶えず変化している
係すると~えられている.
従って. 移 動 時 間 T
.と休止時間?との比も空間的に， 時 間 的 に 変 化 し て い る . * 理 鼠 の ?
こうしたことから. 多 く の 掃 旅 砂 低 に つ い て の 実 験 式 は 次 の よ
うな形式で占かれる.
l
rEgagaE
，
.
，
a
u'
••
、
目
aA
Q8..
間的， 時間的変化本が大きい場合， 両 者 の 比 の 変 化 継 が 無 説 し 微 な く な っ て . T
.
.もモデル
七
千l
(F
.
J
の t脅威~ポとなる可能性がある.
(1
.5)
凶寸 .
3は
， 後述する p
i
c
ku
pr
al
c推定式，
s
a
ltationの
平均移動速度， 平 均 sl
c
p lengthに つ い て の 推 定 式 ( 第 3市 審 問 〉 よ り 計 切 さ れ た に TMの
比である. 図 中 実 線 は st
e
pl
e
n
gt
h A (三 八 d， 八:平均 slcp length) を 熊 次 元 締 泳 )
J
-8-
-9-
の関数として計1):したもの，破線 lまえを一定として (À ~ IOO) 計算したものである.図に
moving
よると，個々の粒子の運動特性にもとづき掛流砂モデルを織成しようとするとき
f
e
n
g
t
hと砂粒速度 v，が従う確率密度関数 fx(f)と仁 (
v
.
)に よ っ て 次
X
T(f.τ) は step l
のように表される.
p
e
r
i
o
dT
は必ずしも無視し得ない場合があることが理解される. たとえ等流状態であっ
m
浮遊砂への選移の問題等を考える場合には移動量生、粒数密度 νgと い う 時 間 の 繊 念 を
ても，
1
1
U
︽
r
at
cとmovingp
e
r
i
o
dの積に
l
υ
n
合む量を評価しなければならない. p
i
c
k叩
TmTW
V
移動速度)の評価は必須である.モデルの枠
AZMC{ )/
o
v
i
n
gp
e
r
i
o
d が現れる
組みの中に隣な形でm
/レ
•
流れの
用いて， fXT(f，τ)を表すと次のようになる.
1 ff 1
fXT(f， ，) ~ f
l一一 ￨
v
T ( ，)一一 f
，
1
nU
1
2
1
0
-
図-1.3
epositr
a
t
eの推定
によって示され，砂粒の d
以上をまとめて，砂粒のm
ovingp
e
r
i
o
d， 移動速度分布をJt~撃した非平衡婦流砂過胞を
表 す 掃 流 砂 量Q
B(X， t
)， deposit r
a
t
eP
d
(
X， t
)， 河床 i
国Y
bの 時 間 変 化 率
l
1
0・2
必 要 で あ る . こ う し た 取 り 扱 い の 雛 型は辻本 Z5}
•
l
1
00
は次のように表される.
)
Q
B
(
X， t
1.4(a)，(b)に 示 す よ う な 流 砂 過 程 の 流 砂 の 原 点 x。からの距荷量 X，時刻 tに お け る 掃 流
・d
G
(
x
x
'， tt
'
)
dt
t
')
x
'
pg
J
﹄u
n
φaιw
，
、6L
vg
，，、
，
vanVA
山 川 )df
T'
38i
o
x
a
J
r
'
l
.，
、、，，，
φt
L
&
冒.
-
vA
vA
︽
U
!
d3
、
f
1
‘
位 置 xを 単 位 時 間 ， 単 位 縦 当 り に 通 過 す る 個 数 を 考 え て 次 の よ う に 書 く こ と が で き る .
p
s
(
X
=ifli
)は，距般 X
'，時刻 t
'時 間 内 に 飛 び 出 し た 砂 粧 が 時 刻I
砂最 Q
B
(
X，t
・に微小区間 d
x・から dt
J
t
に
t川
aYb(X， t)/at
T
m/
TRの 比
式が誘導されている.
X0 ， t
o 距般および時間の原点，
(1
.8)
τ1τJ
p
c
ri
o
d及 び 移 動 速 度 を 含 む モ デ ル の 定 式 化 も
ここに，
(1
.7
)
，}
四
1
/
わち，式(1
.4
)では考慮.されなかった m
o
v
i
n
g
fb(X
l
また，砂粒の m
ovingp
e
r
i
o
d {，}と砂粒速度 {
v
.}が従う確率密度関数 f
T(
τ〉
とf
v
(
v，)を
/ト"
/
1 7
捜したモデル化が必要である.すな
た点を身i
i
r・
は異なる.
/A=100
J
ド定常性に依存するものと予想され，こうし
qs(Xt)l
rf )
l
I
l
度
と
での平均的な速度と定義されるものであり，河床との接触による不規則な瞬間的な i
/
/
1
n
u
l
m/T
Rの空間的な変化率，
かどうかは T
f
f
x(f)一一 f
vト ー i
孟
ただし，ここで考えている砂粒速度は，移動を開始してから磁実に停止するまでの運動内
，
は比例するか
ovingp
e
r
i
o
d (あるいは
ら.運動機憎から m
凶
fXT(f.τ)
(1
)
.9
(
1
.1
0
)
(
[
.
6
)
1
)
(
1
.1
i
c
ku
p
P
.
(
x， t):位置 xに お け る 時 刻 tでの p
o
v
i
n
gp
t
e
pl
e
n
g
t
hが f (=x-x') で あ る 結 合 確
r
a
t
c， fX
e
r
i
o
dが rで s
T(f， τ):砂粒の m
率密度関数である.
。
)
Y
b
(
X， t
a
t
)
P
d
(
X， t
A，
d(
~
2
)
(
1
.1
)
}
P
.
(
x， t
)-(1
.1
2
)は 次 の よ う に 去 す こ と も で き る .
非平衡掃流砂過程の基礎式である式(1.9
y
-d
〆
-τ)G(f，
) 21flip(X f
Q
B
(
X， t
， t
，)d，
df
(
1
.1
3
)
内
t・
c
・
a
-
，
、
v ud
[
n
aa
a
-
'
一
一
一
一-(=x・vーーー..J
z
u
I
-J
〆
・
，〆
，
，
d
x
;
zLr
U
，、 ，
x
p
a- J.
aEr SEE
vanv-"
t
)
(
x，
↑
vn
，
)
，
t
(-
•
I
~ t _""
t
'
(a) 定義図 (x Y平面上)
(b) 定義図 (t X平 面 上 )
図1.4 同流砂モデル定義図
一10-
1
r
G(f， ，) =
山
τ)dt
-1]-
(
1
.14)
炉
C
Au
J
J
口
r
、
Tゐ
，
字国-
E
炉
g
、
，
，x
gi
?
ゐ
、、，，，
E
t
-
vh
E
VA
.
‘、
.6
AU
，
，n v o
eL6vL
Ft
a
・-E--・‘‘‘“，
EE
P EaaE‘
‘
VAVA
V︽
、
-zL
，
，
‘
a
u
'
V
向
、
r
•
A
s
d
)に "致する.
(1
.4
(
1
.1
8
)
A
:
(
1
.1
5
)
多くの峨合.移動床現象は砂粒の移動速度に比べて緩慢であるとして取り級われ. 式
.1
2
)の 時 I
I
U!
J
i
は無線される.
(
1
.9)-(1
一
一
一p
.
^
Qe.
1.3 砂粒の運動 H程式に関する 検討
この場合，中 )
1
1・辻 本 が 議 得 し た 4
1
二千後1婦 流 砂 式
さらに空間的にも平衡状態であれば，いわゆる E
i
n
s
l
e
i
nの 洗 砂 量 公 式
にー 激 す る . こ の こ と は 次 の よ う に 誘 導 さ れ る .
ヂ
AU
PE
snu
T-
v
r
、
t
d
u
3 はこうした也織では確率モデルを用いて級々な移動体現象を合開的に説明
)
・ 2・
らけ 3・27
す る こ と が 厳 し い こ と . ま た }J学的な背景がないといった批判に符える広岡本から.こうし
lを 指 摘 し
)
}綴 備 に も と づ い て 水 理 条 件 に 対 し て 1 吋によ『仙する必要 t
構成要点をそのi!J
たt
・える上でも砂校運動のイミ規則性を )
5
'
1
5
1
.することの.1¥'
l
:
ftI.を舟摘.力
誕jJ}機備を J
た.逆に j
鹿市モデルとを調和させることによって初めて合則的な杭砂モデルとなること
学モデルと 6
τ)]d(drdf
，
を強調している.
tl:rfidp
A
s
d
.
=一
一
一
ーP
A2
動特例:t
Jと し て の plck
本 研 究 に お い て は 側 々 の 砂 純 子 の 運 動 に も と づ い て ， 疏 砂 の 泊i
M
X
T
( 山小 r
∞
チの
賛成要素は経験的に与えられることが前提とされていたが.中川
立織では. も と も と そ の 4
、BJ
Yも
管n
，，‘、
，.
FもZEE-z J
.6
∞ fzs
P
，
‘
‘aBEE--
-LAHV
・
‘
，
﹁1111J
z
vanAHV
﹃
n
u
r
s-AH
AU
m∞
a品 川 -
- φL
l↓
-Eb
1J
vA
可
風"
n
u
、
r
∞
m
B
'
J
VA
、 ・冒-
可
n
n
u
，，‘、
引かげ
o
v
i
n
g
i
c
ku
pr
t
c
pI
c
n
g
t
h
.m
)
1
:
ギ衡描流量生、モデルの枠組みを示し. p
a
l
e
.s
脅威要素であることを述べた. ，駐車泊的アプロ
p
e
r
i
o
d
.砂純の移動速度がモデルの4
等 協4
人態における定常な J
ド平衡婦流砂量は t "'∞としてうえられる
tLJtpil i
1
.2では.
o
v
i
n
gp
c
r
i
o
d
. 移動速度て与を J
l
c
pl
c
n
g
t
h
.m
'
f価 し よ う と す る 《 場 を と っ て い
u
pr
a
t
c
. s
.
tを先ずれう.
jf'tl式の検，[
ることから.本研究において用いる水流中の砂徹子が従う運動 J
t
)
.
1-粒子の運動方程式は次のように返されるま・ )
*iIOt中を.if動する t
1[1 Fx(f)]df
(
1
.1
6
)
dV.
mー
ー
dt
.-
: st
e
p
t
e
pl
e
n
g
t
h
.m
o
v
i
n
gp
e
r
i
o
dの I
l
i
j時分布関数. F
F
. (f. r): s
.(f)
‘
1
1・辻 本 の 非 平 衡 婦 疏 砂
l
e
n
g
t
hの 周 辺 分 術 開 数 で あ る . 式(J.1
6
)は 等 流 状 態 に お け る 中 )
ただし.
9
)
(
1
.1
r
ここに. m 粒 子 の 質 量 .
F :作用外力.
V. 粒子速度. tp
位子に沿って ~n られる時間
である.作刈外}
JF は 次 の よ う に 分 解 さ れ る .
量式に・致している.
J
.
-}
ここに.
x
八
X→∞
ト
出
X
¥
1
i
mI
fx(f)df =-lim
f・
。
X→∞ J
P.D.Rは 次 の よ う に 点 示 さ れ る .
(
1
.1
7
)
h
c
b
y
s
h
c
vの 不 等 式 を 用 い て 上 式 の 第 一 項 が 零 に 収 点 す る こ と を 示 し て い
B
e
l
l
a
o
s2・2は C
7
)よ り 平 衡 状 態 (x -~ ∞〉における M 旅砂量 Q8. は step
る.よって式(1.1
6
)
. (1.1
m
o
v
l
n
gp
c
r
i
o
dの 結 合 確 率 分 布 に 無 関 係 に 次 式 で 去 さ れ る こ と が わ か る .
-)2-
(1
.
2
1)
r
a
dp
d3g
P -・ As
X
1-Fx(f))] + J
l
i
m(f'(
i
m 1(1-Fx(f)) df
oX→∞ 1
，
;
1
;i
1
駆動時の抗体の
流体力 . R :)
i
.
L1
粒 子 に 作 用 す る 花 力 に 起 因 す る 力 . D :i
P:
:
慣性による抵抗. G :
i
f
U
Jである.
1 Fx(f)] df
→∞
(1
0
)
.2
Dt
R+G
F Pt
0
gp
c
rI
e
pl
e
n
g
t
h八は次式でうえられる.
m
o
v1
O
dの 条 件 を 開 放 し た 平 均 st
l
e
n
g
t
h
.
D
)
:
d2 u V. Cu-v.
Co一
一 ρA
(1
2
)
.2
R
d
u v.
)
ρ
C
.
.
.
A
s
dS一
一
ー(
d
t
(1
3
)
.2
2
:1
ここに. p
FjJ.
:砂給停. Co:仏 }J係数. C
w :仮
次元の形状係数. d
A2. A
.3
s:砂の 2
-13-
惣 ~1
r
u
(係数，
J
総連ベクトルである. 通常流速 U は
， E
u
l
e
r的 に 記 述 さ れ て お り . 従 っ
て式(1
.2
3
)は次のように書き換えられる.
Jnu
S
fils-'L
F
AA
ρ
-しM
R
ただし.
参考文献
1
) 例 え ば . 中 川 博 次 ・辻 本 管 郎 : 移 動 t
釈
がt
れのJJ<l'P，新i+:系土木 1学 2
3， t
支報堂出版.
1
9
8
6
.
ぞp
l
.
1
2
:
)
(1
.2
4
)
.
A
. :I
1
0
v
e
m
e
n
to
fs
e
d
l
m
e
n
ta
sb
e
dl
o
a
di
nr
i
v
c
r
s， T
r
a
n
s
.
A
.
G
.し
..
2
)K
a
l
i
n
s
k
e， A
V
ol
.2
8， ¥
0
.
4， p
p
.
6
1
56
2
0， 1
9
4
7
.
a +v..grad
(1
.2
5
)
at.
と こ ろ で ， 粒 子 と 抗 体 の 相 1作 用 を J
Z織 してぬれ場を決定することは 灘 しいため，ここ
a
v
i
e
rS
t
o
k
c
s方程式を代用し，
では粒チのイ{.(Eしない場の ¥
u
v.
ot
U
を仮定す
1
.A
. :T
h
cb
e
dl
o
a
df
u
n
c
t
i
o
nf
o
rs
e
d
i
m
c
n
tt
r
a
n
s
p
o
r
t
a
t
i
o
ni
no
p
c
n
3
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i
n
s
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e
i
n， 1
e
c
h
.B
u
ll
.
， l
:
.S
.D
c
p
.A
g
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.，S
o
i
lC
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C
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v
I
C
C
.7
8
p，
c
h
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n
n
e
l f1
0曹 s，T
1
9
5
0.
.A
. :A
na
p
p
r
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a
c
ht
ot
h
cs
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d
l
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o
r
tp
r
o
b
l
e
mf
r
o
r
ng
e
n
e
r
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l
4
)B
a
g
n
o
l
d， R
.S
u
r
v
c
y， P
r
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.P
a
p
.，4
2
2 J，p
p
.
13
7， 1
9
6
6
.
p
h
Y
S
I
C
S
.U
.
S
.G
e
ol
ると，圧 )
J勾 配 g
r
a
dpは次のようになる.
5
) 佐 必 清 一 ・古 川 秀 人 ・ 芦 田 和 男 : 河 l
本砂礁の Mi
T
o
t
運 倣 に閲する研究(1
)，建設省 l，
*
1
D1
-grad p - I ν
ρ D t
1，
ここに，
~t<
マZ
uG
(1
.2
6
)
研 究 所 報 色 . 第 98B， p
.
1
8
.1
9
5
8
.
.A
. :T
h
cf
l
o柚 o
fc
o
h
c
s
i
o
n
l
e
s
sg
r
a
i
n
sI
nf
l
u
i
d
s， P
h
i1
.T
r
a
n
s
.
6
)B
a
g
n
o
l
d， R
I
R
o
y
.S
o
c
.L
o
n
d
o
n， V
ol
.2
4
9， 1
9
41
.
~.tI ，は 抗 体 に 沿 っ て の 実 質 微分をぷす.
D
7
) 河村 龍 馬 : f
1
t砂の研究，
1
.1
9
)-(1
.2
6
)より.次式が得られる.
dv.
ρ(0 IρIC
A8d3一
M)
一
一
dt
.
ρAsdiZl，
4
C
M
子IJ
5巻
， p
p
.
9
51
1
2， 1
9
51
.
8
) 戸 田 和 男 ..iti上正税:移動除旅れの妖抗と M流 砂 量 に 閲 す る 基 躍 的 研 究 .
冷文 報 告~.第 206~} ，
-ρν 山
4ρ(σ/ρ1)
A8d8G 十 D
)花 氏火学理 1・ ?研究所 報 告，賀~
2U
(
1
.
2
7
)
p
p
.
5
96
9
.1
9
7
2
.
a
J
t
a
tlOn
f
こ基づく旅砂量式について，土木学会関内支部均次
9
) j 民 義 人 ・ 州 困 惑 附 :S
1講 演 会概 要集， 1128， 1
9
7
3
.
・
?U
n
.
t
!義 人 ・何 回 忠 昭 :S
a
lt
a
t
l
o
nに基づく疏砂の J
[
;磁 J
i 式
，
1
0
) 1J
さらに， Ni 性項は修流項に比べて十分小さい (II ~PU
[Ii]じように 動 く ( u
v.1
ot
1u
u'
¥
7u)こと，
流体と純子は
，D
/
D
t1I D
/Dt1.)ことを仮定して僚理すると，
dv.
1
ρ(0 ρ C
M
)
A，
d
'一
一
ー =Coー ρAzd2
dt
2
1
二ノト学会句次学術 3
1
H.
I
i
会綴 要集. p
p.
302-303， 1
9
7
3
.
1
1) 何 川 必 昭 : 成 砂 .d1t砂における流送 機情 に関する基 礎 的研究 ，
，
;
u
:大??:似冶文.
拡
1
9
7
6
.
uv.(U V.)
1
2
)N
ak
a
g
awa， 1
.
1a
n
dT
s
u
j
i
m
o
t
o， T
. :S
an
db
e
di
n
s
t
a
b
i1i
t
yd
u
ct
o1
0
a
dm
o
t
i
o
n
.
du
J
.I
ly
d
r
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.D
i
v
.，A
S
C
E， V
ol
.1
0
6，I
I
Y
I
2，p
p
.
2
0
2
92
0
5
1
.1
9
8
0
.
t ρ(0 ρ・I
)
A，
d3Gtρ(1
φ
CIoI)
A，
d3_
d
t
+ρA，
d
'.u'
¥
7U
K
{慾 :流砂の J
ドヂ衡の論型とその応JlI. 穿}3
3
1
"
1
1
3
) 辻 本 哲 郎 ・説 明巨 ・問綿健 i・大本 I
(1
.2
8
)
ノ
t
.J
l
P講演 会 J
命文集. p
p
.
4
4
54
6
1， 1
9
8
9
.
a
n
d Wavcs の光化限界.九州大?・r:学集 械 ，第 40~.
1
4)特-* -郎 ・斎 藤 隆 : 流 れ に よ る S
が得られる.
.2
8
)は
，
す な わ ち ， 式 (1
土木?・会
(1) 流 れ 場 を 粒 子 を 合 ま な い 場 合 の そ れ で 代 川 で き る こ と .
(1) 粘 性 肢 は 移 ぬ !
!
iより 1分小さいこと. (凹〉粒子は流体と 1
，，1じ よ う に 動 く こ と を 仮
1
.
058
，
・ p
p
.
7
4
17
4
8， 1
9
6
7
.
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d)
"
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1
5
) Tsuchiya， Y
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2
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no
u
t
l
c
t，P
定して 将 かれた砂村の巡動庁科式である.
本研究では.次 f
;
i以 降 . そ れ ぞ れ 与 え ら れ た 水 建 条 件 ・境界条件に対して式(J.2
8
)で表
される砂純の運動 b 刊式を適川し.俗、彼運動の各 締 成 立~.Ri の 検 J-t を行う.
S
A， ~0 1. 3
.1
9
6
7
.
Colorado， L
I
I博次 ・辻 本 桁 郎 ・宮本 1
9I可: 1
6
m
m嫌影による 柑d
1
t6
少巡郵jの特性{
，
:
l1
f
li
r
rと流砂の
1
6
) 中J
午後j
状態について.ぷ大防災研年報.第2
1号 B
2
.p
p
.
4
0
74
2
1， 1
9
7
8
.
-J.l-
-15-
1
7
) 中川博次 ・辻 本 哲 郎 : 水 流 に よ る 砂 擦 の 移 動 機 織 に 閲 す る 基 礎 的 研 究 . 土 木 学 会 論
第 2主
砂純子の初期移動機織に関する研究
文報告集.部 2
4
4号. p
p
.
7
1
8
0
.1
9
7
5
.
;
!t
念明:混合量生、設床耐の租純化過程について. 京 大 防 災 研 年
1
8
) 中川惇次 ・斗 本 哲 郎 .b
0りB2
.p
p
.
3
5
53
7
0
.1
9
7
7
.
報.第2
2
.1 慨説
''
)
1
1博次 ・辻 本 哲 郎 ・ 村 上 正 吾 ・ 水 僑 雄 A郎:i'TJ床波l.の流砂祉分衡について.
1
9
)1
那2
8会水野必演会治文!t. p
p
.735-741， 1
9
8
4
11
野晋 :iU.合砂傑u.のねl
度と純作別移動限界，
2
0
) 小川防次 ・斗本哲郎・ '
第2
5
1111
水理
3
"
油会治文!t， p
p
.
6
7
7
2
.1
9
81
.
第3
2回 水 n
gJ持演会
p
.
5
6
1
5
6
6， 1
9
8
5
.
ぬ文集， p
に 対 す る 凶 心 が 持 た れ ， 占 典 的 な 限 界 Md
1
t)
J
.
理論は.版界掃ぬ )
J
;
が位 i
三R
c
y
n
o
l
d
s数 の 凶 数
知プらによって理命的な検討が必められ
.;
;
S
h
1
e
l
d
s関 数 の 水 野 学 的 意 義 が 砂 純 子 の 1
Jの釣
合式によって明確にされた.
o
I床 面 を 過 し て の 流 出 入 流 速 が M流 過 桂 に 与 え る
2
2
) 村 上 正 吾 ・斗 本 哲 郎 ・小 川 博 次 : f
1
11
4
.p
p
.
11
0
.1
9
9
0
.
a1t
aL
i
o
nの確率過 4
2
J
命的解析. 仁木学会 J
命文集，
2
3
) 斗 本 哲 郎 ・小川博 次 :M抗粒子の s
第3
4
5号
J
.
'
くより砂僚の移動限界
h
l
e
l
d
s
' によってまとめられている.その後. I
h
i
t
c .~b;t
であることを示したS
21)中川惇次・辻本哲郎 ・村 上正吾:側岸における非平後i
洗齢、過程，
員~ "土木?会;命文集.第 433 日
安定な水路の設計.ぬ送土砂続の評価といった工守的要請から
1
1-1
. p
p
.
8
3 90.1984.
近年においては.
J
I
.
:
ヂ衡状態に対しでも通用が可能で精度の，，':1~、流砂モデルが求められ
て お り ， こ う し た 流 砂 モ デ ル の サ ブ シ ス テ ム と し て の 砂 粒 の か1J
ふからの麟脱過位をみす流
砂特性祉として，
ι
、村，の河床からの単位自主 I
I
U当りの解脱率 p
i
c
ku
pr
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t
cの
，
i
'
t1
(
ぬが必波とさ
1
c
ku
pr
a
t
cの評価としては流体力(織力〉変動の隊本分。fを 考 慮 し て 求 め ら れ た
れる. p
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.
3
96
4， 1
t
l抗過程のii;1
事モデルとその移動体問題への応用.ゑ郡大学学位ぬ文，
2
5
) 辻 本 管 郎 :l
1
9
7
8
.
E
l
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s
t
e
l
n6) ・
}の研究，
河床 Ilti の問凸と砂純との相対的な位慣凶1X:を...15~捜して求められた
P
ai
n
t
a
17Jの 研 究 が 先 駅 的 な も の と J
5
7えられる. し か し な が ら . 平 衡 状 胞 で の 統 砂 M式と
して織成された後.闘世脱過特に関わる実験定数を含めて流砂世についての実験から実験定
数を決定した点，あるいは砂純の般脱・t~ 象の絶対施本を pick
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的な意味が唆昧であることなど J
t;本的な問題が残されていた. '
1
')
11
'
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g
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e
"の物苅1
斗・本 u ・引 は . こ う し た 峻妹さは. 従来の研究が砂純の運動繊滑に基づく巡郵j 特符 II~ それ
運動性状につい
2
7
) 小)1侍次・辻本哲郎・細川康虜:診動床における掃ぬ齢、れきの不嵐山l
て.京都大?防災研究所年報.費~22 号 B-2.
u
pr
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l
eに 変 燃 す る 際 の "
c
x
p
p
.
5
5
35
7
3
. 1
9
7
9
.
・
2
8
) 中 川 博 次 ・ 辻 本 哲 郎 ・細 川康虜・村上正吾:ギ.I!!河床上の砂れきの運動機情解明にお
命的取り級い.第 2
4回水理講演会論文集. p
p
.2
73
4， 1
9
8
0.
ける織率J
2
9)L
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n休 を 水 即 条 件 に 対 し て 推 定 す る の で は な く . 流 砂 !
.
tと し て モ ヂ ル 全 体 の 撚 合 t
tを似とう
l
c
ku
p ralcn体 も 合 即 的 に 総 記 さ れ る べ き と の
とした点にあると指摘している.そして p
、工場から，初期移動過粍を動的に捉え，砂純の運動 h限 式 に 基 づ い て p
1
c
ku
pr
a
t
c行f}
i
.
:J
.
¥
を誘導し. しかもそれを実験似との対応がTlMな も の に 調 墜 し て い る . そ の 指 定 式 は そ の
通用範閉が粗砂に限定されているものの頻JT1されている.最近になって. p
l
c
ku
pr
a
t
c評
1
nt
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b
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D
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l
j
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'
Olによっ て 粒 絡 を 広 範 聞 に 変 え
価の重要約 ;が認 識 さ れ る よ う に な り ， た と え ば v
1
9
5
7
.
た 系 統 的 な 実 験 が な さ れ . た と え ば 中 )1・辻 本 式 の 通 則 性 も 倹 討 さ れ ， さ ら に 独 白 の 経 験
式の提案に至っている. 一方. q~JII ・辻本式をペ
スとして.混合砂の約任別 p
i
c
ku
p
i
c
ku
pr
at
e推定式， 2】が誘導されたり.さらに t
a
l
t
t
l Lで 総 合 さ れ
r
a
t
e式 lけ . 側 浮 上 砂 の p
1
c
ku
pr
a
t
c鍛 定 式 へ の 修 正 '
s
. 河 床 か ら の 吹 き 出 し ・吸 い 込 み を 伴 う 場 合 の
た砂離の p
p
i
c
ku
pr
a
t
eの 変 化 予 測 B叫が試みられている. いずれも限界 M抗 力 に 削 わ る 項 を 修 1 し
i
c
ku
pr
a
t
e批定式の利川が多線化してきた現状で，
ようとしたものである.このように p
本意では中川・辻本・
引のモデルを整理. す な わ ち 転 勤 続 脱 モ デ ル を 滑 動 モ デ ル に 泣 き
換え現象に効く諸母の役割をわかりやすくして，線々な条件への~Jflを鉱叫し易くする.
-16-
一17ー
特にモデル情成の本質に凶わる.v.径 の 効 果 ， 抗 体 力 変 動 の 効 果 に つ い て
般化を関り，
f
X
.
2
正次元表ぷすると次式が仰られる.
験他との必合性をも調べる.
なお， t
則似・吉川
I6.
である.式 (
2
.
2
)- (
2
.
5
)を滑動般脱する紘子が従う運動方特式 (
2
.1
)に代人， ~.→ 理し.
は
， b
e
dm
a
l
c
r
i
a
ll
o
a
dのぬ迭といった制点から，tUJ跡;からの厳脱
d
¥
'
.
を転勤形式と浮上形式のものとに分け.河床量生、から抗接浮滋砂に移行するものをも考慮し.
l ~ kLμ.
何床抑止砂粒(
b
e
dm
a
l
C
r
l
a
l parllcJcS) の厳脱本の算定式を提案している. 本研究では.
問、
すワマ;二¥.7:.
r
.
.，)
d
i
C
o
A
z
.
: = ε。ーーーーーーー
2
A，
M溺ti'Tそ介して，齢、傑はr;.遊量生、に移行するとの、工 場をとることより.河床~~ I
L砂 離 の Mi
I
o
t
砂への診れを p
i
c
ku
pr
a
l
eによって特徴付けることとする.
(
2
.
7
)
。
/ρtanα
1
μ，
，
'
(
(
2
.
6
)
一一一一 ・ー ・
c
o
s
α ・(1 一一一一一一 ・一一一ー→
σρiμ.
l
+kLμ. 三
r•
2. 2 砂 磁の初期移動健構に関す る研究
(
2
.
8
)
ただし，速度.時間，底l
釦せん断応力は次のように熊次元化しである.
2
.
2
.
1 pick-up r
ale推定 式の力学 的検討
粒 子 の 熊 次 jI
;底面i
せん断応力7:.(τ .()f()，7:.:時間平均値，
t.
，
. 変動 分 ) の
i
i成 分 τ.
のみの作用による般脱率についての検討を先ず行い，
定 常 平 均1
の効束を付加するものとする.なお
v，
v，
それに変動成分
:
7.:
;
H・
fきーは時間平均を不す.
(
2
.9
)
nσ/pn
g
a
.1
にふすような何床(水すと
関 2
u
.z
(
2
.1
0
)
(σρ -I
)
g
d
ここで， u
. 燃機迷度である.
なす角 Hlα) ヒに世かれた粒径 d の
齢、粒が k，
d
t
多
量)
1するときこれを般脱と凡なす. 位径料 1
$
t移 動 す る こ と に よ っ て f
i
i
I.
1
ふの拘
砂擦に f
l
.Jr]する力は， O
J
i
力 1 浮)
Js，
そして 取 鍛 )
Jf，である.
抗 hO，儲)JL
ゑを解かれたとみなすと， k，イ程度にとるのが自然である.この行肢の運動内では守加速
J，かiJlぶよりの般脱形式を滑動
この B
J，時間 To内での平均能脱巡庇 v，は熊次 JじA i
J
"す る と 次 の よ う に
民運動を似定でき，この O
と見なすと.運動 J
jf
l
i
'式 は 次 式 で 与
なる.
えられる.
dv，
M・一一一
dt
、
4‘
!
T
o
iρI)gd
0
1官s
i
nα ，
f
(
2
.1
)
凶 2
.
1 かI
沫砂絵に作用する外力
副 = ρ(0I
ρ
D
2
(
2
.
2
)
v
.
)
Z
Azd2
ot
ε。
d
Z
A
z
dZ
CD一一 ρu
(
2
.
3
)
2
ここで
数
，
(
2
.
4
)
ogA3d3
8 ρ g A3dc
o
s
α
Ud . 砂 位 近 傍 の
1
1此係数，
I
，J所代ぷ流速，
(
2
.5
)
3
0 ， ρ :砂 傑 及 び 流 体 の 俗 U
l， Cw:1
J
I
I
1J
ε。:遮蔽係数， C
D
^，A3:砂継の 2，3次元の形状係数，
2
-18-
三(τ. τ •
cf)
(
2
.1
1)
To
T
k
にρ7
(
2
.1
2
)
I
)
g
・がi1.tれ内に強制的に m則 的 周 波 数 成 分 を 加
a3
えたとき，揺動の固有振動散で共振して般脱の生じ易いことを見いだしていることから，
般脱過穏における河床砂粒の般脱速度の十均化時削スケールは.実際には変動する流体力
の中から粒チ闘有の時間スケールのものが納出されるであろうと宅え，決れによらない特
fr-μ，
(官cosα.LB
)
L - kLO ; 官
2σ / ρIC~
・える. 箆ら
とおいた.ここで k
5
Tは一定と J
C
，
")
A，
d
'
ε。
Coーー ρ (Ud
1
t
kLμ.
f
こだし，
， 1
沙傑の隊脱速度， μ. :I
抑止熔 僚 係 数 で あ る . 式 (
2
.1
)
ここで， M:砂礁の仮想質量， v
の各項は次のようにムされる.
1
一一 kT
:
抗力係
g: i
sカ 加 速 肱
仇は1:.験的に定めることにする.
性時間を仮定した.七の f
.
5
'
1
1じ 場 所 で ， 次 の 般 脱 へ の 刊 ち 状 態 が 始 ま る と J
pr
.
)の逆数と
J
c
ku
a
t
cP
dv
.変動を考慮.しない7:.による p
I
U(k，
.，は般脱時 I
l例 の 砂 が 般 脱 終 了 す る と 引 き 続 い て
えれば
注 1)
して定義される.ただしこのような理想的な荷量脱をJjえるに当たっては.こうした幾何的
-1
9-
配置にある確率P
Iを.iSl
lす る 必 妥 が あ る . 滑 動 般 脱 を 仮 定 す る と純 子 の 存 症 す る 高 さ が 後
2.
0
何的配置の特性最に 当 たる.磁ヰ~ PIを
考慮、した紡.!.Jl:.
x
P
.I
P
.Iは 次 式 の よ う に 占 け る
，
PI・
ー
ー
一
一
上z
えを熊次元化して次式を得る.
I
P・
II
1
.0
d
'
P
I =r
・
(t'. t'..，)
.
/ (σ ρ I)g
(
2
.1
4)
ただし，
ド:一
一-PI
一一一一三
(
2
.1
5)
2k， 0/ρ C
，
"
である. 熊 次 元 p
lckup rate P
.
.
Iを特徴付ける F及 び r• cIが と も に 砂 村 Rcynoldsの出
数であることから，次節では量生、総 Reynolds数 の 初 則 移 動 機 織 に 及 ぼ す 影 響 の 倹 討 を 行 う .
1
1
.6孟 Re. < 1
7
.4
1
.62・
0.0138(Re.
-11.6)
1
.5
4・
0.0267(Re.1
1
.4)
‘<23.4
1
7
.4 " Re
4.
8
2
3
.4 ~ Re. < 3
1.
3
8・
0.0158(R
'
E
.
・
34.
8
)
.4
34.
8 S Re. < 46
1
.20・
0.0086(Re.
・
34.
8
)
4
6
.4 ~ Re. < 58.0
1
.10
・
0.0052(Re，
-46.4)
58.0孟 RP. < 69.6
1
.
0
4・
0.OO34(Re.-58.0)
1
.0
xの変化の近似点.IJL
xの 変 化
J
;
J所代去がt
虫
.
i u.を 与 え る 高 さ を y=
adとし.相当砂 t
l
L.
1
立を k.
=dとする と.A
.(
竺 u./u
.)は
1';:..のようになる .
一 ln(30.lax)
A
. ー一
散 が砂粒 の初 期移動慢摘に及ぼす彰 響
2.2.2 砂 粒Reynolds
(2
.1
7)
κ
粘t
t( ttH釜 〉 の効 ~ ( Rc. あるいは d. ) は局所流速 u . . 抗力係数 C o の変化として現れる.
本 研 究 で は 浮 遊 砂 を 合 め た bedmatcrlal load と し て の 洗 送 過 樫 を 対 象 と し て い る こ と か
I. ~O. O. ∞43 (
R
e.
-6.
'
l
6
)
1.60.D.OO86(Re.
-928)
京 2
.1 R
c
. の 変化に対する
2.2 i
P
、
役 Reynol
ds散に対する
凶-
k τ l+kLμ 『
1
.2
5φ
O.1070(Re.
-4.64)
9.28垣 Re c 11.6
69 6孟 Re‘
0.5
0
1
0
0.20φO.2267Re.
6.96 S Re. c9.28
脅
(2
.1
3)
k，
d
p
・
，IL
R
e.‘4
.
64
4.64 孟 R
e. < 6.96
1
.5
V
~
Re.
c
u‘
k/v
t
l
i性 J
i
f届のイr Uを考慮、しその J
亨さを δLとすると，この府内では A
.は次のように去される.
ら，こうした効果を取り入れる必~がある.絢砂から粗砂を制度として対象とすると，そ
A
.
れ に 応 じ て 流 れ は 滑 凶l
乱流から t
nn
n乱 旅 に 変 化 す る . 従 っ て ， 統 速 分 布 式 と し て は 次 式 で
u.d
a'一一
ν
。
く
y$
. δL
(2
.1
8)
表される Elnstelnの提案した対数民)
1型流速分布 s を用いる.
ただし. u
.
δ L ν 11
.6とした.
u(y)
1
30.lxY
一
一 ln-一一一一一
(
2
.1
6
)
u . κ k .
J係数の Reynolds教による変化を考慮.し.その式形を Rubcy17
と見なせるが.ここでは仏 )
ここで . u(
Y):Ml
ふより yの高さでの局所平均流速，
x
砂組度
対する
組砂を対象とすると，抗ノJ係数 Coは流れの RcynoJds数 R
c (三 u.d/ν) に よ ら ず ほ ほ ー定
κ:K
a
・1
， 4n定数 (=
0
.
4).k
.:相吋
にならって次のように仮定する.
河床の;J<J)Jl学的組滑にtt
する補正係数であり.iP純 Reynolds数 Re.の変化に
(
2
.1
9)
xの 変 化 が 凶 2.2に 示 さ れ る . 表 2
.1
はこれを近似化した式併である.
ここに. COO : 流 れ の Reynolds散 Reが 1
.
分大きいときの抗力係数. R
c
.(
ー u.d/ν) :砂粒
1
'
注1
) 砂 純 1伺で， め ら れ る よ う な
a
点のみに注日すると， 一 例 の 砂 粒 が 般 脱 し た 直 後 は
その点の粒子はより深い位置に存症するなど胤歴が残るが，移動床問題を考えるとき
の
a
動粘性係数. A
.云 u
./u
.
. U.
ν:i
Rcynolds数
，
すると，
. 包
及 び Fは次のように整理される.
f
点、
は多くの砂純が覆っている面積を代ムしている.そうした観点からすると般脱
を待つ級 会での配置状況は - [
0
]ごと独立でしかも同 ー な 総 本 状 態 と み な せ る と 考 え ら
れる.
-2
0
修機 ~JJ(である.バ (2.8). (2.19)を考慮
r.c f
μ.
I
=一一一一 ・
cosα ・
1
1
HkLμ.
l
日 守F
Mitt))1
・
7
﹂U
.
a
'
、
αι
守
，
z
-
•.
、‘，，
ti
r
•
α
?
ι
-
i
，
・
、
‘
，
•
v
a
στ
7
t
ト/
式
•
・
••
、、
、、、
、
(
2
.
2
4
)
t
1
/'
t
'(
R
e
.
l
.
F
/
FO
，
(rjJ:)dr
l
.
iI~
ii.面せん断応力..の平均俄であり ， σz はその原将 i
ここで. ..は熊次元 J
r
}を用いると τ.は次のように去される.
盗事変数 {
様僧正線分イおにしたがう 6
1
1
0トーー ト
1
0
，
み
ベ
z
j
〉
(rj;;
/C~rh イ
1
01
'
f(
R
e
.
l
ー
数がよf価されると決定される.
，
‘
(
2
.
2
2
)
.
.
.
1
0
.F及び'1-'(Rc.)は式 (2.8). (
2
.1
5
)中の実 験 定
(
2
.
2
3
)
t
τ
σ
f(r• Iα )
r
ε。CooA: (
2.
A3)・A
.
o
Z
. A.o:]n(30.la)1κである. 凶 2
.3に
'
1
'(
R
c
.
)の
量
生
、
村R
e
y
n
o
J
d
s散 に 対 す る 変 化 を 示 す
-
1
[
忠利子
FE
たたし， 三
。
F
'
'
K
d
r• "
(10
r
'
V(
R
c.
)
•
7に.次のような正規分ぬを倣定する.
脱分イドに従うとの実験結果を参 J
め.砂純 R
c
y
n
o
J
d
s数のみの効果をぷす指撚'V(
R
c.
)
を 次 の よ う に 定 義 する.
F。
•
a
m
n
il7)の 圧 力 変 動 及 び 水 泳 の 乱 れ 変 動 が 正
IS
E
i
n
s
l
c
l
nと E
れるf'. .. ーには幾つかの実 験 定 数 が 合 ま れ て お り . そ の 与 え 方 に よ る 遣 い を 俳 除 す る た
τ.• I
ae
-
式(
2
.
8
)
.(
2
.
1
5
)でムさ
o
. f'。と l~J く.
底 lflÎ せん断Lè.~ )Jの変動は
∞仏
t
a
r• (， r
の 他 を そ れ ぞ れ ..け
伯となり，この時の
F taE
、
、
‘
、
生
量 fjR
c
y
n
o
l
d
s数 R
c
.が ! 分 人 き い と き (・
ド付き添え字 O
でみす) . A
.
.C
Dは そ れ ぞ れ ・ 定
，
，
、
、
A.
Re.)
•
ヂ--
(
2
.
2
1)
α
l C
o
1
n
v
2
kl 0/ρ;
C
w
1
r
-
l
i
kLμ ， (24
，，‘、
k
t
α
τ
である.
。
，r•
τ
(
2
.
2
5
)
2
.
2
3
) に代入すると.次式が得られる.
(
2
.2
5
)を，式 (
〆
ー
∞
I
I
1
1
ψ
(
r
)
d
r
r+α ・r
)
1
1-_I
F
p
.
.
.
) :.
.
.
. ¥η(1
Pぃ (τ.I α
~ )I
‘-・
r
r'
L
'
r Iη(11α~.
ι
ノ
r，
1
.
rcfO
￨
c
￨
f
f￨
・
_
I
II
¥
ー
n
u
-
33
(
2
.
2
6
)
-寓
2
1
0
、
ρ
1
01
nun
nu
n
u
- AU
l
1
1
凶 2
.3 初 期 移 動 に 及 ぼ す R
e
.の影 響の 指 標 V
ηl
r
.
AV
、‘，，
FB
，，‘、
JU
，t
、FBBJ
AVe
，，‘、
r
‘l'J
rEE
∞
幻想する必要がある.
巧えたが.実慨には，さらに変動成分の効果をJ
nv
pr
p
i
c
ku
a
t
ep，・1を
(
2
.
2
7
)
τ.< 1
α
τ
i
c
kupr
2
.2
.
3 底而せん断応力の変動がp
a
t
eに及ぼす膨響
2
.1
4
)で は 庇 而 せ ん 断 応 )Jの王子均似成分のみによる
ところで.式 (
τ.
η
川
φ(
(
2
.
2
8
)
lcr)dr
底面lせん断足、力か変動している場合には，粒子か流れに応答する時間スケール内の、Y均
Jを超過している時間が流体力が作JfJ継続時間と考えられる. した
せ ん 断 応 力 が 限 界 M流 )
Z慮 し た 結 合 の 平 均 化 時 l
tUスケールは，考慮しない綿合の平均化時間スケ
がって，変動を J
oに移 動 凶 柏 の 絶 対 桜 本 p，(:
ール T
P
r
o
b
.L •
•
>
τ .
T
o
が乱れに応容す
c t ) を 乗 し た 倣 p，
る時間スケーノレとなる.
(r•
せん断応 )
Jの縫本 ¥
変 動 係 数 が α で う え ら れ る 熊 次 }(;)庄iIu
'
1
'
:f
J
L関数を f
r
るとき，抗体 )J;変動の効果を ~'ll した無次元 pick
(
I成 分
平均 {
u
pr
a
l
cp‘.と，
1τ
α 〉とす
4
)で去される
2
.1
式 (
i
c
ku
pr
τ.の み に よ る p
a
t
cP..Iと は . 次 の よ う な 期 待 値 傑 作 に よ っ て 結 び 付
φ(r)
(
2
.
2
9
)
-:-rzI
c
x
p
l
，一
一
一
す一
- l 2 )
2
.
[
1
¥するため. ~jJ を ~!l しな
p
l
c
ku
pr
a
t
eに 及 ぼ す 庇 蘭 せ ん 断 応 )J変動の効果のみを拍 1
p，.(rパ α
2
.
2
6
)
) との比 r
p (式 (
pパ
r )p・・，)を
いp
・
・ 1 (式 (2.14)) と~~捜した ，.
J;
次のように定義する.
rp ‘
(
2
.
3
0
)
けられる.
-22-
-23-
得られた kピ. m，k，
はt
i
<
)2
.6に示すように.次式で近似するのが適切である.
α が大きくなるほど限界掛抗 )
J
r p • の η に対する変化をィーしたものが図 - 2.4 であり.
r
付近で rp ‘は榊加. すなわち底的lせん断応力の変動の効果が大きく実質的な限界婦がt
ゾ
]
:
が
J
i
. 掃流 )Jが人きい場合には業動のえ/)巣より平均的な
減少していることをぶしている
M流力が，e
;越 し rp ，は速やかに
が
a
k2'
(
2
.
3
2
)
・
12
α
τ
定似に漸近する. ただし，原式の )
1線形性のため州統ノJ
m
1分人きい場合であってもら宅吋!とはならず. 1
庄1
耐せん断応 )Jの変動係数の大きいほど.
)
13
・
I
I-exp(・2α)}
(2.33)
r
;
α
その漸近舶は人きいことがわかる.
kr
2.26)は彼維な式形をしており.移動床モデルへの組み込みを考慮すると，簡{史な式
式(
0.8αrふO
.5
;
α
形にしておくのが守1 ましいと~えられ，中川・辻みにならって次のような近似式}~をうえ
t
<O
.625
(2.34)
ミ0
.
6
2
5
r
る.ただし. tItl1l1のため以ドでは， .を， .と点記する.
1
1
0
k
.OI.
Z・
k
F
ここに. kr • k
. mは α によって決まる定数である.
z'
r
式(
2
.
3
1)中のパラメーターし. k2'. mはつぎのように評価される
0
1
0
k，
は (η--r
)凶よ
p，
り1]:
;
:1
02における 1
.
.Oと な る 移 動 限 界 の 変 化 の 指 換 で
ぬより決定した . k
z・は乱れによる P
あり，街中論的には原式は容にならないため，その J
よ準としては実際 1
:ほ と ん ど 砂 位 は 修
動開始しないと
J
3えられる p..'
(F，.cr) l
x
l
O 勺こ対する
η よりし'を決定した.
，
-.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
..
a1
cu1
dted v
a1
ue1
1 lo c
1
0・ 1
さらに m
1
0
-2
は凶 2
.5のように p，
. (kr'Fo・η)を (1 kz'/1])に対して表示し.その、ド均的な傾きをぬむ
ことにより決定した.
I
n
O
1
0・1
Q
. m の αz に対する変化
凶 2
.6 k r • kz'
n
u
υ
nl
2.24)中の底而せん断応力の変動係数は控面近傍の/l)J変動，流体 J
Jの変動特性との
式(
P
.
.
S
類似科より推定されてきた. しかしながら，流れの境界条例.移動床山特例が変化した場
r
;
r
.
i
"
rp
S
合の ff カ変動，続~)Jの実測ø'J は数少なく.種々の移動休場に対して式 (2.25) を適用する
に当たって αr を錐定することは難しい.従って.本研究では α
r
の評価は 1
庄凶I
近傍(靴
子符の尚さ程度 y
留 d
) の洗述と底而せん断応力とを結び付けることによって l
rう.すなわ
1
0・l
ち
，
i
Cr
l
uせん断見、)J
成而近傍の流A!l!Ud ( UdtUd'. U.: 、ド均値成分 .Ud-:;変動成分)と I
'b (- 'b+τb・
. 'b 平 均 儀 成 分 ， b
・:変動成分)との聞には両.fiが従う鉱本分ィr
tが
向じと仮定すると.炊の聞係の成立が他測される.
rb(l+r・
α)αρu.2()lr・
αu)2
(
2
.35)
r
1
0・1
1
F
E
U
s
-
・
，
e
'
'
-
-n
ただし. r 正規化 8れた確率変数，
1
0・2
l
ム
.
0
1
0
速の乱れの変動係数である.上式より
n
臨 2
.4 初期移動尊重織に及ぼす
同 2
.
5 限界帰抗)J付近における
M流)J変 動 の 効 果 の 指 係 r
p・
変 動の効果 m
掃流ノ，]i
h
α
r
J
a近傍ぬ
:!底面せん断 J
，
c
.)Jの変動係数 .αu .
か
.
α
r
は
，
α と次のように関係付けられる.
-2 α α z
川 状 態 の 組 副 苫L
y
o
t0)~
(2.36)
J
i
r
mi
l
i
:m
の仇下 J
jr
!
ti!I!の鰍品川度 jU'
)d
AFM
-25-
2
'U.1
J
<
2
f
程
度
，
さ
らに .
ik速分布に対数日IJを過J1J (代表決速を与える;匂さを }' ~ d とする〉すると .αr
i
n
s
l
c
l
nと E
IS
a
m
n
lI
l
'
W
Cとなる.この航は. E
測 f的 α μ 0.5.
•
0<
O
.5
C
h
c
p
l
j
l
l)らの圧力変動の変動(R:散の実
中川ら z ・ ) (J) 球 J~ 純チに作用する抗 }J の笠通IJ 係数 αD ・ 0.4 にほぼ 一 政する.
ところで，通常の等'rk"
ド(
α
r
れる.ここで.代表洗速を与える 2
3さ(
y
:
.
a
d:
が 粘 性 庇 踊 内 に 役 し て い る と き に は r.
O
.ま
うに変化させた.
折t
;
.
t.
t
tは次の通りである.
α
τ
P
.
.
( O
.7r.. i3
0
.
0
3r.
1I 一一一一ー￨
r•
l
7
(
2
.
3
7
)
)
O
.5に対してはし.=0
.5
. m ~ 3. k，c
l
であり.式 (
2
.31
)は粗砂に
r
J
t
t
.して. r"'00.07. Fo=0.03と & 定 さ れ て い る こ と に な る . こ れ ら を 実 験 定 数 と し て 認
めると砂牧 R
c
y
n
o
l
d
s散 や 州 統 力 の 変 動 係 数 の 異 な る 場 合 に も 式 (
2
.
3
1
)
.(
2
.
2
2
)より p
i
c
ku
p
t
t
2
)
r
al
c何il
i
:式 が つ ぎ の よ う に リ え ら れ る
p，
.
k，
F
o
(
'
I
'
(
R
c
.
)
kzW(Re.)古川 i
m
L
(
2
.
3
8
)
J
r.
01r.
.
0.
k2
'r
.
o'
kz
'
)は
，
I
:
A '1'のし か 古川 1
r
。
叶
十J 寸十川
l
1
k2
' にで平泳状態の級砂に対するいわゆる
(
2
.
3
9
)
すなわち.砂 ~Reynolds 散の効果は!l!に流速分布.tiL力係数のみならず.掃流力の変動
係数の変化を通してp
i
c
ku
pr
at
c1
l
t定式を特徴づけるし.主 E・
. mにも影 響 を う え る こ と が
理解される.
2.
2
.4河床砂粒の配置に関する検討
実 験 的 に 推 定 さ れ た 偵 Fo
. r・けれ r
.
oのうち，
先の 2つ は ， 般 脱 の 力 学 モ デ ル か ら 紛
る請定数は，これまでの多くの議沿にもかかわらず，必ずしも硲;志しているわけではない
.
8
5， Co
0.4.μ.-1
.0
. C\( ~ 0.5.ε0 = 0.4 を用いる 2η.
が ， こ こ で は 絞 殺 的 な 値 kL 0
o=
L
来砂、村の近傍での代表流速をうえる尚さについては a0
.
8とすると
呆じたものである.
c
y
n
o
l
d
s数の幼虫，
砂粒R
ν
2
.
2
0
)
.(
2
.
2
1
)に お け る 必 係 数 の 評 価 に も と づ い て 決 め ら れ る . 両 式 中 に 合 ま れ
られる式 (
.
0
7/0
.
0
5
)を
限界掛流})r..0 と.，)的な移動限界の掃流力 (P Il ~ O に対応〉の比 rko " 1. 4( 0
ここで，
α
u
.
y
yハ 一 一
なお. B
の他は v
a
nD
r
i
e
s
l2'
)の d
a田p
i
n
gf
a
c
t
o
rに な ら っ て ト 2
7とした.
ここに. r. は い わ ゆ る 限 界 M抗力で.組砂の幼合おJ:Jl式が示すように O
.0
5限度である.
式(
2.32)-(2.34)より α
=r(
R
e
.)と袋わさ
r。
n
c
r
t
i
a
l sublayerに入ると'"( )
.0とし. いわゆる b
u
f
f
c
rl
a
y
e
rで は こ の 値 を 次 式 の よ
たi
=
0
.
5
)での組砂を対象とした中川・辻本の p
l
c
ku
pr
a
t
e
r
完全組If
o
での値に対する比は.砂位 R
c
y
n
o
l
d
s数の関数となり .α /α
流体力変動の効民は W
(Re.). kr(ατ). k%(αr)，
かI
r• ~ f0
・0
.
0
7
1となり.
先のが1
，*と・致している.ドの，r
f(，品式ではさらにし. kI (・1
) • PIを決めねばならない.
等疏に限っても砂純 R
c
y
n
o
l
d
s散の小さい嶋合. i
少1
(
1
1は粘
k
T
P，/
k， 0
.
0
1
3
4
) .ただし. "，川
中川 ・辻本・}はこれらをひっくるめて火 験 定数とした (
t
t1
(
(J
併に積われるので流体 }
J変 動 は 急 減 し ， こ の よ う な 状 般 に お け る 掃 流 力 の 変 動 係 数 の
らは PIについては考慮、せず，この実験定数は時間スケールに出わるものであるとしている
m(αr)に代よされる. ただし，
(kT 0
.
0
1
) .これは緩脱に干fな な 乱 れ を 非 常 に 高 周 波 な も の に 限 定 し た も の と な る . &
!
J
白
t
l
2
) 中J
I
I・ 辻 本 の 私 動 般 脱 の 力 学 モ デ ル に も と づ い て 鵠 却 さ れ た 原 式 は 次 の よ う で あ る .
えば倣筏0
.
1
5
c
mの自然砂であれば. 式 (
2
.1
2
)よ り 定 ま る 周 波 数 (
1/To) は約 1
0・(1
1抄)
枠 鹿Jに な り . 砂 粒 の 応 答 を 考 え る と 現 象 の イ メ ー ツ と か け 限 れ る こ と に な る .
P
.
.
)
i
.
fφ(r.) r..o~
For.p，
2
11α 一
一
一
一 -一一一￨
¥
r p，
r.)
r
骨動般脱に J
t，づいた平均化操作による P
..の式
p，
は)
J，";-モデルで考えたような般脱が少じる状態にある何ば砂村の {
t在確本と~えられ
(a)
る . こ こ で PIはかJ
床での粒筏オーダーの 配 i
賞状態に依存するもので，制流 )
Jの 強 さ に は ほ
(2.26) を 変 形 す る と 次 式 が
‘
.
m動 脈 脱 を 仮 定 し て い る こ と か ら . 砂 純 子 が 削 脱 I
I
J
.
t
た
かどうかは対象としている砂付子とその後 J
iに
f
!
Jられる.
p
とんど依イfしないとする.本市では
fφ(rε)
F
or.
p.
z
ll
Iα 一
一
一
一
¥
r
ir
e，
t
i
o
n
f
lO'I'/ d
隣接している佐子との相対的な高さによって決
(b)
まる.同
Pi
2
.7
に示すような状況を J
うえ.納接す
dVp
.rdgp
.
d
rdn!'
枇 子 の 平 均 河 床 面 か ら の ぬ さ を そ れ ぞ れ X1・
る2
中J
I
Iらは，
比較的変動係数 α
(a)そ舵案している.
τ
が小さい場合を.Jjえ .φ(rc)臼 φ(r
.) と し て ， 式
式 (a)と式 (b)はこうした条例ト〈 α
τ
O
.5控 度 ) で は 鎖 す
るが庇 l
印せん断氏、 }
Jの変動が激しい場合には. r・'∞としても両式は
うした条件下では式
(
2
.
2れ ま で 反 っ て 検 討 す る 必 必 が あ る .
2
1
3-
4
致せず.
XZ I 移 動 限 界 の 高 低 差 を Ym，
.とし
.m動向普脱 uJ
凶 2
.7 7
りは I
l
r
iI
U
Ir
l
lの 槻 念 肉
能な条件を次のように仮定する.
こ
(
2
.
4
0
)
X
IXZ>Ymi
n
:
:
:
>
O
-2
7ー
'
，k
照の河床枝子の f
手伝 l
l
iさ の 実 測 に よ る と 隣 簸 純 子 の 作 復 刊 さ に は 強 い 相 聞 が 認 め ら れ
相対的な高低五 {
y/σx}
の絶対的の係i
謀術度関数 f
，
(Iyl/ox)を 示 し た も の が 凶 2
.
9であ
1
悶1
j1には t
r
川らの実i
l
.
'
J
*
l
，'忠が例示されており.式 (
2
.
4
3
)でか1
床面l
河内の状況は慣ねぷ
な い 刊 の で . X.
，Xzは 独 立 と 仮 定 す る と . 平 均 河 床 而 よ り の 尚 さ が X，である純子の後方粒
る
v
(
y
. x)は.
子とのぬ低草 Y(=XI-XZ) の 路 市 密 度 関 数 f
現口J
能と考えられる.
fy(xl-Xz. XI)
・
(
2
.4
1)
fx(xl)・
fX(X2)
この ø ，~ . 式 (
2
.
4
1
)
.
，
れ に Iyl]/oxニ1
.1
1
..
f'
ar~ 1Y1=
/0 x
:
:1
.3
8.α ，-1
.2
4
7と な る . こ こ で O xで熊次:Jl:化
I
I
}と {
y
}の 平 均 値 . 保 冷 iMJFそち:
(
1
仇すると . ox/
d0.32.0.31が 得 ら れ . 砂 悦 ス ケ
された {
となる.いま，個々の砂純子のキ均河床面よりのぬさ {
X
}は.
ァ t
I
3)
脱分命に従うものと仮定す d
fx(x)
このとき. {
1y I/σぷ の 平 均 倣 . 係 地 偏 1
.
'
;
.変 動 係 数 は . そ れ ぞ
棋~ú.il.~ 0x
の正
平均値 O.
1
11
1
"
1の 枯 徴 偏 差 は oxd
'
"O
.3H
!J.立と批測される.
ールの 1
こ れ は 関 似 .'
G)
1
11
6) の 紡 * と も
ほぼ一主主する.
(
2
.
4
2
)
一一τ=CXp(・一一一)
σxf
.2 π 2 σ x2
píck ~ up ratc を定義する河床状況として.ここでは砂絵近傍抗~の尚さを )'.. .0 にとり.
ox
/
d0
.
3
0
.Y
.‘ d0.8とすると.こうした理想、的な般脱状況にある阪本 P
tは.凶 2
.
8よ
t'
(
2
.
4
2
)か ら 隣 接 段 チ の 相 対 的 な 高 低 基 {
y
}の 確 率 密 度 関 数 f
y(
y
)は 次 式
りP
I.
P
r
o
b
. [y
>
.
y，..孟r.10
.
0
1
2となる，
数 (
kTP
I/
kl0
.
0
1
3
4
)と
で迎される.
-VA
﹄
口
-v
a
n
-uy
-VA
、
f
ny
(
2
.
4
3
)
純 子 を 実 体 振 り チ と 似ー
定して計倫される問イi
J
M
N
JとkT
オーダーとなることから，柑チは凶有周期程度の乱れに応令官任脱し，粒符 f
'
i
，
J
5
rの 移
動 で 般 脱 完 fと み な し て い る こ と に な り ， 現 象 論 的 に 妥 河 と い え る .
1
‘
・
.2E
'EEE
∞叫
‘
内
2一2
h
i
v
nur
v
A
π
J
Y
P官﹄
uy
‘
、
、
，，‘、
・l-nd
は刷
致する
このときし包1. kI
信!とすると.中川らの実蛾定
AU
/
。足
∞
た だ し . X ~ X l ox. yry
/ox. OX Ox dと 変 数 変 換 し で あ る . 結 局 ， 粒 子 が 移 動 般 脱 可
能な配置状況にある i
i本 P
Iは.iXのようになる.
a
b
n
v
[y~y "， ln]
π
∞
P
I:
:P
r
o
b
.
r
(
ry
r
)
(
2
.
4
4)
Smin
司
，
.
y_.jd
1
.0
ここで.
Y
O，c = Ysln/Ox.
s
.，
o:九
: 10/，
[
す
s:
:y-[
す
(
2
.
4
5
)
2
.
8 飯脱可能配置砿?事¥ p，
の
同-
である
~fl直線表示
阿 2
.
8は Y
.
. n，dお よ び σx dをパラメータとして変化させたときの，
こ こ で は ， 中 川 ら zZ) が 計
O xの彼定を峠みる.
2.
3.1 限界婦涜力に関する検討
中 川 ら は 総 経 d0
.
5
0
(
c
m
)の ガ ラ ス ビ ー ズ で機 成 さ れ た 修 動 体 面 の 通 水 前 の 隣 接 す る 2粒
子の凹凸主 {
H
}を昔測定し，平均間内向さ ElHJ /d
-0
.
3
5
5
. その棋撃偏差。
H
d ~ 0.43 (変動係
1
1-1
.2
2
3
) と い う 結 果 を 得 て い る . 中 川 ら が 測 定 し た 問 凸 &{H}が 隣 接 粒 子 の 高 低 & の
数α
絶対 f~l であることを..I;'lì叡すると.
1' y とみなせる. こ の と き ， 式 (
2.
4
3
)に も と づ い て
い わ ゆ る 限 界 婦 流 力 r• cは流砂が千子代するとみなせる条例を判断するためのもので .
l
i
f
くより多くのデータが集められているが，限界の 1
彦教が唆....でデータのばらつきも大きい.
ある枠度の挽砂抵が存在する状況で定義される m
o
b
l
1b
c
dの ド 阪 と し て の 限 界 柑 旅 )Jr，
.
と 静 的 な 釣 合 よ り 決 ま る r，
. ，との比 r
. (-'
t.c 't4<')は.
factor として ~I' したものであり，
変数 x
が 分 布 し て い る こ と が 問 題 で.
2次 モ
メントまで持った分布形を仮定する
と，分布形の詳細(周辺本動)に関わらず現象が説明できることが多い.
-~8-
偏:事際度関数
2.3 砂磁の初期移動に関する実験的検討
Oxは十組河床のかJ
床砂粒の l
町凸差 {
H
}を計測すればよいが.
測したかJ
床面凹凸の結果を利用して間接的に
IyIの
般脱 n
J能 な 配 置 に
ある村~ [.の確率を等硲 ~~.P. /
J
、したものである.
r
l
3
)
同 2
.
9 河川J面 凹 凸
1
'
1くに Ih
J
l
eZ)が l
u
r
b
u
l
c
n
l
τ.什 を 与 え る 般 脱 の )
J'
'
'
jモ デ ル に 応 じ て 変 動 分 の 強
l
H
k)Jの 変 動 係 数 の 主 化
度 は M杭))変 動 の 標 準 偏 差 の (1-3) 倍 位 度 に と ら れ る . こ れ を l
2
.
3
9
)
) を考;I
lしてよ現すると次式が得られる.
(式 (
-2
9-
e
a
n
・
•
-
?‘
-
、.J
戸、
nwu
n
y
r
t
。
(
2
.
4
6)
2
.
2
.
3で 検 討 さ れ た p
i
c
k叩 r
a
l
c批 定 式 (
2
.
2
6'.
(
2
.
3
8)
の 適 合 性 の 倹 討 の た め . 宮内 *~ t...t 験を
-叫
I
j
r.，の S
h
l
f
td
o
w
nをJjえ， k3
α
r
0
.
5
生
、
校
1
1式 と 比 較 し た . 量
2
.1
0にいわゆる S
h
l
c
l
d
sダイアグラム形式でよな、し. 日1
Rcyno ld s 散の小さいところでは '1 1 に泳述分布.抗力係数が Re~n o lds 散の問教となるだけで
S
'
L
lすべきことが. 実験{仇とJ;!f! :~111J線との比較より卸， 解
なく， 柑杭)]の変動の減公効*.f)
される. なお
1
iT純 R
e
y
n
o
l
d
s教 が
5前後の領峨での変化特性の迎いはおIt速分布式で b
uff
cr
e
y
n
o
l
d
s散のきわめて小さいところで実験世代が
l
a
y
c
rを熊似した彬響であり. また， 砂粒 R
J;!f!:~より大きくなっているのは.微細純子では避けられない粘 1í t1:の効果と J管えられる
E
'-
-
'
、.
'
イ
式(
2
.
4
6)
において傑準加 ;
r，f'，'J
JJ.の乱れによる
と して， 肉
-eu-
?a
a
'
E
•
α・
0
L
W
nk
‘
、
，z
LR
、
‘
ャ
，
Hksα
4
e
l
ーーーーーーー園田- r• cI
r• c
、.
写
J;!f!論との比較を行う. 主 として従米の実
験1
'
(
1をJflいた倹討を l
fうが， これまでに{ぜられ
て い る デ ー タ が ，. 0
.
2緯度を i限にしている
偏せん断応力の人きい状
ことより. こ れ よ り 庇 l
視 で の 追 加 実 験 を 行 っ た . 摘抗力を人きくし，
砂傑の離脱が上万より符易に
1
6
m
mカメラで織影
できるように， 長さ 5
m
.幅 1
0
c田. 深さ
1
0
c
mの可
生勾配水路を用いた . 河床材料としては 0
.
3
9
5.
O
.2
7
6
c.
nの 2種 鎮 の ほ ぼ 均 一砂をJ1
H、た. 撮 影
9 '
I
a同 n
l
<
I
>C
a
s
e
y
er anan () Ti叩 n
.S.
¥
IE
.S
.
I
wa
q
.kI oU
，.
・
1
された移動床部の 1
'
似r
f
i
l積 当 り の 砂 動 開 始 偶 数
より.
p
i
c
kU
pr
a
t
cをよF価した. ただし.川床
二し. 何度，
*状が変化し始めた時点で通1.1<を紗 1
待JW
を較正し実験を行った.
同2
.1
2にその結
官.
I
羽 2
.
1
2 砂伐の p
i
c
kU
pr
a
t
c
の*
J
i~思を， 中川..ilみ:が 近 似 式 の 係 数 を 決 定 す
1
0・
2
向
択
M
R
2
.1
0
•
ε
凶
a
0
1
0
1
03
JG
限界掃 m
tカ， .，の 実 験 的 倹 証
費時次 :
IJ(，、た実験 1
1
(
tとともに示した. これらは
るのに )
い ず れ も 純 径 d0
.
2
7
6
c
m(
d
.5
8
3) 以 上 の デ ー タ で 砂 利 R
c
y
n
oId
s数 の 彬 響 は 受 け て い な い
ものばかりである.
n
:
a
曲線は，
J
l
担
Eね実験 f
f
tの 傾 向 を 説 明 し て い る も の とみられる .
2
.
3
.
3 細砂に対する p
l
c
k
u
pr
a
l
e
推定式の適合性
l
χ
I2
.1
3は，
s
o
v
刈 2
.1
1に
， 組砂に対し
.
5
) に お け る 組 砂 (" '
00.05) を対象に. l
等 流 状 態 (αr 0
て式 (
2
.
2
6
)でムされる P
..と， .の関係を. αr をパラメータにしてぶした.
般~式の~験的検自E
-
c
k
u
pr
a
l
e
推定式の適合性
2
.
3
.
2 粗砂に対する pi
0
1
0
靴i
子の変化 (
d
.をパラメ ー タに
している 〉 に伴う
p
l
c
ku
pr
a
t
cの変化を弘たも
10'
のであり. 式 (
2
.
3
9)
でぶされる M抗力の変動係
散の変化を考慮されている. 柑径の迎いによる
p
i
c
ku
pr
a
t
cの変化のみならず， 細粉体なもの
ほと砧抗力変動の通怯'i))虫の大きいことが認め
られる.
O)
a
nR
i
j
n'
1
'1I
1
1・辻本式が提案されて後に. v
i
l
1
子d0
.
0
1
3
0
.1
5
c
mの nらの
はt
p
l
c
ku
pr
a
t
e
にl
刻する実験怖とこれまでに提案された指定式
との比較を行い. それぞれの適用限界を消し.
繍砂から
式 を 従 来 し て い る (p‘のよ示を 日放 さ せ る た め
凶
i
c
ku
pr
a
t
c推定式
2
.1
1 砂牧の p
-:~o-
1
0・6
10・
z
m砂 ま で に 適 川 u
J能 な 実 験 式 と し て 次
ぷ 1の 式 の 変 形 を ね つ で あ る ) .
同
2
.
1
3 砂利の p
ic
ku
pr
al
cに
及ぼすきi!.i
干の効果
3
1
2
(
2
.
4
7
)
、
・
d
.1 '10
B
I一
一
一
一
一
3 2
G
r
a
a
a
E
Z
'
E
E
‘
.
p
・o
PU
r
-
•
r .c /
.
0
0
0
3
3， d
.
ここで. B
I0
=func.(d.)
線は s
h
i
f
tするが，
単なる平行移動ではなく， 続 径 の 小 さ い も の ほ ど 限 界 掃 抗 )
J付近での
p
i
c
ku
pr
a
t
eの 逓 減 の 大 き い こ と が 示 さ れ て い る .
(
2
.
4
8
)
~~ .
n
.σ ρ 行自す/νである.
.1
4は 組 砂 を 対 象 と し て の 式 (
2
.
3
8
)と
図 2
u
nu
l
樹合，
t
" ..
︽
a
nR
i
j
nの推定式の
(
2
.
4
7
)との比較である. v
2
h
i
e
J
d
s関数より評価されると
はS
協
P
S
'
2
.
3
2
)で表現される様な乱れの
しており， 式 (
1
0
効 *(k2'す な わ ち 厳 密 な 意 味 で の 移 動 限 界 )
は 号えられていない.
A
また，
/
/
ア
τ・'∞に対す
2
づ
ク
1
0
-
る挙動は， 式 (
2
.
3
8
)がP..αr.であるのに対
l
1
7
図 2
.1
6 (
a
)v
a
nR
i
j
nの 実 験 値 と の 比 較
d
‘
、U
l
し式 (
2
.
4
7
)では P
..ατJ 5 となり急 激な地
.
'
l
︽
i
v
F
10・
1
加を示すところが相違点である.
2
.1
5は GとF
のR
e
.に対する変化を
〉
の 方 が Gよりやや小さめに
みたものである. F
-UんWH a司
-3
なお， 図
{
"
'
=
.
P
<
.
.
5
・言
1
0・4
U
，、
句
2
.
3
8
)と式 (
2
.
4
7
)
評価されているものの， 式 (
1
0
-2
U
︽
U
1
0・l
R
e
.に対する FとGの 変 化 傾 向 な ら び に
︽
l
命
ると，
•
4
51
υ
n
nu
-
で去される P
.• の ぷ 現 が 異 な る こ と を 考 慮 す
T
*
1
01
2
.2
1
)の 妥 当 性 が
オーダーの類似性より. 式 (
a
nR
i
j
nのp
i
c
ku
pr
a
t
e
図2
.1
4 v
v
a
nR
i
j
nの デ ー タ に よ っ て 裏 付 け ら れ て い る
推定式との比較
1
0・2
PS
・
1
0・1
(
m
e
as
u
r
e
d.01ue)
と苫ってよい.
凶
2
.1
6
(b) 実 験 他 と 理 論 値 と の 比 較
ハ
U
l
ー
ー
、
よ
三
三P
Eレ 、
F，
G，
、
‘‘
、
.
‘-_
ト¥
ーー
、
、
、
2
.
3.
4 底面せん断応力が空間的変動する場での p
i
c
k
u
pr
a
l
e
推定式の適合性
一
-一
掃流カが大きい場合， 一 般に河床には様々なかI床形態が形成される， その上で M流 )
J及
び そ の 変 動 特 性 は 著 し く 変 化 す る . こうした場でも， p
i
c
kU
pr
a
l
e彼 定 式 は 原 則 的 に 有 効
'
フ
r
d
n
g
eo
fv
d
nR
i
j
n
'
se
x
p
e
r
i
m
e
n
t
R
e
d
v
関 -2
.1
5
内
ζ
ー
υ
n
U
︽
1
1
0
nu
‘
、l
内
l
J
a
-υ
n
，
nu‘
/ノ
である. す な わ ち p
i
c
kU
pr
a
t
e
'
ま局所流砂量のように非平衡性の影響を受けることはなく，
その場所の掃流力とその変動係数に支配されるはずである.
会
FとGの R
e
.に対する変化
i
c
ku
pr
a
t
eに閲する v
a
nR
i
j
nの 実 験 結 果 と 式 (
2
.
2
6)に
.
1
6
(
a
)は
， 比較的小粒種の p
凶 2
2
.1
6(
b
)か ら も 認 め ら れ る ように
よる推定曲線とを比較したものであり， 両者の対応は図 i
c
k
u
pr
a
t
cの曲
慨ね良好である. 砂粒径の変化にともなう限界掃流力の変化によって， p
例え』ま， 河床波の背面では流れの再付若点で底面せん断応力は零となり， こ の 点 か ら 下
u
n
c背 l
函の底面せん断応力分布は支配される.
流に向かつて発達する内部境界肘によって d
また d
u
n
eの crest
を過ぎる流れが剥雛することによって形成される渦により. 庇面近傍の
7}(疏の乱れも影響を受け流下方向に変化している. 従って， こうした流れの締造が大きく
lした式 (2.26)あるいは (2.38)の 適 用 が
変 化 す る 場 に 対 し て は 底 面 せ ん 断 応 hの変動を考U
必要となる.
‘JV
q
n
r
u
-33-
先h
力係数.流jj!分布形だけでなく掛旅力の変動特性を変化させる過引を終た
ここでは d
l
l
n
c
s を悦縦した ミ角形状
がJW波 〈波長 40cm. 抜 高 2cm )を必べ
(a)
mででも/11現
する.
'
.
た水路 (
Uさ9m. t
i
;
l33cm)での.流速.
(3) いわゆる限界柿抗力は.十，均的な 1前より標準備あの約 l 倍f't~ 1
良 i
二i
l
lっ て 移 動 限 界 を
pick up ratc を測定した尖験si'
J~ 3) に
起すという縦散とよく対応している.これにもとづいて.限界柑抗力の砂位 R
c
)
・
n
o
ldstiに
ついて述べる. '
J
.
!
験
に
J
lH、た三角形筏
対 す る 玄 化 を 求 め た . こ れ は 従 米 の 実 験 値 や 頻 用 さ れ る お N式とも良く
録作j吟;彼は.旅砂測定部を除いては閉
(b)
(4) 泊旅ブJの移動限界. plck up ratc評 価 の 力 学 モ デ ル に 合 ま れ る 日 係 敬 を 倹 討 し た .
0
1
0
.
定 W純l
l
l
l
iで. 測定吉1分では J
干さ 2cl
I
.
・
放する .
初 期 移 動 の 力 学 モ デ ル の 対 象 に な る 状 態 に あ る 地 チ の 0・
イ
f6ti<ねを.、1<. .Ii ~Mlぶでも (l(l: する
制5cmの移動床とした. J
I
l~、た量生、は総
ような砂純オーダーの何床間凸についての施率的検討からまY愉した . こ れ に よ 勺 て ， 何 l
ぶ
経 1.lmmの ほ ぼ 均 一 な砂である
からの厳脱現象を，純子の i
羽
子i
時間スケール(実体;振り子と凡なしたときの指動現象の附
流速
測定は II'f. H~3mm の小明プロペラ洗 迷 計
有周期と向オーダー〉でチ均化された初期の平均緩脱速度で純子 i
ぞれ¥
1
良の作動をも勺て麟
(c)
P
，
・
を川い . /
i
(
.I
f
I
i.i丘傍流速分命に対数則を
脱と判断される形のモデルとなっていることが明らかにされた.
(5) 本 命 文 の 従 楽 す る pJck up rate 式の適用性を等流状態において ~IL 砂 か ら 鮒 妙 に わ た
.
直
面
{
反応して求めた庇 I
l
iせん断此， )
J
.1
16mmフィル
J
L)
j係 散 を 泊
る広い条件のデータによって検，11"した.O!、総 Reynolds数の効米がぬ述分ん. l
ム解仇て:
i
!
1t
こ
，p
ick l
IP r
alcの 級 所 的 変
して LI~' 銭に.また柑ぬ )J の変動係数の変化を通して n日後的に IH .lJ1.し.それが本モデルで適
近傍 ik~虫の変動係数 α"
:
42
.17に示す. 庇 l
倒せん断応 J
)
化を f
の 変 動 係 数 α は式 (2.36)のように
r
2
.17中に不されるように.
・・l
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7 ~ 角形脱厳かJ 休校上のJ.lcJ.lJl酷
と結びつけられる
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“
.
.
1
0
(a) 庇耐せん断応プJのぬト )
J向変化
帰流
}
J及 び そ の 生 動 係 数 の 場 所 的 変 化 を 定
(b) 底由近傍dIi速の変動係数
式 化 し て pickup ratcの 場 所 的 変 化 を
(c) pick up ratcの 流 下 方 向 変 化
}付 .
?
'
/点付近を除
計野した.いわゆる， r
切に表現できていることがわかった.
l
ふ波の Iでの洗述分イp
. pick-up rale の実酬をりい.制杭 )j のヂ均 f~1 .変動
(6) 慎綴かJ
f
面されていると :
本モデルが泊 J
Hで き る こ と が iJ'唆 さ れ
特 性 が 変 化 す る 洗 れ に お い て も . .;.~ l
た.すなわち plck up ratc を 1.J 所水理条件と結びつけて h~J できる
参考文献
1
) ShicI
d
s
.A
. :An百cndurgdcr Ahnlichkeitsmechanik und dcr Turbulcnzforshung
r
f
仇と実 験 l
i
l¥の対応は良く，本主主で提案した pick-up ralc総 定 訟 が 渇 所 的 に 激 し
いて. ~I t
auf dlC Gcschicbcwcgung. Witlcilung der P
r
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s
s
. Versuchsanslal fur 官asscrbau
1
1
1点付近での，;1
'
l
Ht
tと尖 験 l
i
任のず
く 変 化 す る 流 れ に も 有 効 で あ る こ と が 示 唆 された.向付'
und Schlfau. Bcrll. I
I
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l2
6
. 1
9
3
6
.
れは， I
}十
J，
{ili. の件前が招 Sめすることによると~えられ.これを毛織することで実 験 値が説
.M. :Thc cQulibrium of grains on thc bcd of a strcam. P
r
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. Royal
2) 官hltc. C
. 1
7
4
A
. pp.322 344
. 1
9
4
0
.
Socicty of tondon. Yol
明できるものと J
7えられる.
3) 渠似道 徳 :限界 M 7Itt)) について.九州大学流 体 )J 学研究所 縦 taf. 賞~4~.
2.4 結 晶
m3り.
p
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.12
6
. 1
9
4
8
.
Jに閲する抗体力学的研究.
4
) お 恒 雄 同:限あtMぬ )
本研究で í!J られた紡~をまとめると.次のようである
(1
)鱗脱jI!Jf
'
.を削除に({イtする粒子の滑動として力学モデルで'k:.lJ1.し，小川 ・辻 本 が 転
勤 形 式 を 仮 定 し て 碍 い た も の と 同 篠 の pick'
up rate推 定 式 を 得 た . そ し て そ の 推 定 式 中 の
砂粒:Rc)・nolds 数によって変化する部分〈抗力係数及び洗~分市に関わる分)を明確にした.
(2) 州説t)Jの変動の効-*による plck up rate-掃読 )
J関 係 の 関 数 形 の 変 化 を 3つのパラ
メータで袋し.これらのパラメータと婦抗力の変動係数の関係を明らかにした.なお，掃
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.121
.
1
9
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.
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1
. :Formulas for t
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e lransporlalion of bcd l
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. Trans. ~SCf.
5) Elnstein. 1
Papcr ~o. 2140. pp.561・5
9
7
. 1
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2
.
6
) Einstcin. I
I
.
A
. :Thc bcd l
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d function for scdimcnl lransportalion i
n opcn
・
. Tcchnical B
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. ~o. 1
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. LSO~. S01
l Conscvalion Scn'icc.
channcl flo s
p
.7
8
. 1950.
疏)
Jの 変 動 係 数 が 砂 位 Rcynolds数が小さくなると減少するので.kP、総 Rcynolds数 の 効 果 は
も
:1-
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+
.'1・会情文集.第 41~;.
-:~5-
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~O.
4
. pp.527-554. 1
9
71
.
23) 中川時次・込み哲郎・村上正 'l~ .Jj( ~Ai並木郎:河床被上のMti'Þ、i.il:分市について.
;r~ 2
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JI}< 理歳出会冷文~と.
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iによるをむれきの移動機備に削する本躍的研究.上ノト?会冷
9
) 中川樽次・辻本朽郎 :
文報告~.第 244 り.
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11) 中川博次 ・辻 本 符 郎 .b
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i 稔明:混合砂れき休の組位化について，ぷ m
s大 学 肋 災 研 究
J9r 年報.賀\20~;ß2.
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J・江 u
見込治 ・J
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. 実 :U
l地流岐における侵食と流路変動に関する研究(1
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(ms 大?防災研究所年報.第 25~; B
1 ・辻本析郎・小川!導 次:河床 [
(
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を通しての流出人流速が掃洗過院にうえる
1
4)村上正 1
最5響.
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rノト学会冷文集. 第 433~;
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)箆 掠 亮 ・ 富 村 彰 蹟 : 強 制 振 動 を う え た 場 合 の 乱 ぬ 変 化 と 砂 般 の 初 期 移 動 . 第 3
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椀 会概要!.s.上水学会，日
学術H
1
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.
3
. 技報堂出版，
1
7
) たとえば中川博次・辻ふ管郎:移動床ぬれの71<理.新体系土ノト工学 2
1
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導次・辻本桁郎・細川泰広:床面に沿って転勤する佐子の運動と流体力について.
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) 小J
3回水理講演会冷文集. p
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(大路通雄択:乱流.
ぷ
;
波
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.1
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)
.
時次 ・辻 本 村 郎 ・符本惇司:揃流砂の運動特性量の推定に閲する実験的検討，
2
2
) 中)11
i木学会関西文部年次?・体1講泌会. 日 6
7
.1
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.
-3
6-
-:
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7-
第 3章砂村.子の流送過程に閃する研究
3. 1 概 説
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d，砂粒の移動迷 J
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lでは， p
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eの逆数である r
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dで ぷ 現 さ れ る 統 '
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・
に
提案した z
静けした状態から涜送され， f
可び紛 U
:
状態に入るといった繰り返しで現象が特徴付けられ
ている.こうした運動状態と静止状態という 2つの綴相が明慌に[メ別されていることが.
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を考える上で必要である.実際の砂の本動そ見ると，運動を開始した砂
l
.い 迎 い を 繰 り 返 し て ， や が て 例 外
は小さな跳雌を繰り返したり，転勤あるいは滑動でも l，
にや~I I.する.運動開始から.p;c 1
:
までの
な小さな s
t
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pをも，
1つの s
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pの中に合まれる s
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hのよう
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ととらえると，U;凶l での民発の確率をも修郵~610ド
として p
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eに含めなければならない.この時， m
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pへの移
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自体を峻すことになる.こうしたことから河床からの般脱から -1).完令に河休に伶 1
:
する
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c
pと巧・え，この移動距艇を s
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hとして定義しなければなら
までを iつ の 運 動 の s
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hとr
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dは交互に
ない.すなわち， s
:
1.gLして，各々がりj硲なものでなけ
れば s
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lの締成要ふとして無意味なものとなってしまう.
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hは
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o
n， m 動.転動といった樋々の~動形式
このように定義された s
と，河床，~~
1.
砂純との不規則l
な衝突・反発より 4
賛成される
:)r~に ih 点を、当てそれを検討すべきである.
従って.こうした側々の )
j.
;
:
:
しかしながら.例えば砂純運動が 5
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形式で{によし得るとして，その取ぬいを厳密にして s
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hを評価しても. Iつ
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pをいかに継続させるかあるいは停止させるかという
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制点がなければ卜分とは
Jえない.
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hが流砂起のみならず，
M流砂磯群の分散，砂 1
(
1
1小 玄 定 な ど を 引 き 起 こ す i
l
o
i
砂の )
1、
N勧銀肉であることを必議すれば.その特牲を把併することが洗砂機繊の解明の
1
-
で非常に民袋であることが照解される.
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nけ.なは，
トレーサ一実験より平均 s
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h 八そ純符の 1
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0倍 詑 j
立:
とした.
その後， )r停 止 確 率 p
。を考慮して修 1を行い，熊次7t午均 sl
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hA ( 八 d
. 八:
千均 s
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h，d:粒筏)を次式でムしている.
-39-
え
。
え
え
。
(
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)
1
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1P
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その後.篠 h;l ・ tfi.幻.高織り，矢野ら~ )
中川ら叫の実験によっても.
、
ド
均 stcp I
cngth
P.
， k
t
l
'Or'
(
1
組砂を対象にするとし 1
. m'
3
. k~ = 0.7 であるから. (3
.
4
)
. (3.5)を 式 (3.3) に 代 人 し て
slochaslicl
I
10
dclに お い て は stcp lengthと い っ た 指 過 作 を ぷ す 施 市 変 数 の 分 布 は 先 験
的に知られていることを仮定しており.こうした実験的検討が込められたものの.その力
学的な ft~. よりの~'t (
1
画 は 十 分 で は な か っ た . 中 川 ・辻本・ 3はこうした情.1&.
'，嘉誠こそ }
J学的
step lengthが 転 勤 過 F
Y
iに あ る 砂 が 砂 耐 の 純 符 オ
ーダーの l
引円1に衝突した際の衝突治設と突起の分布九といった砂 i
f
l
i特 併 で 決 ま る と
この宅えんはさらに小川ら
7)
・
2に よ っ て 発 展 さ れ .
J
5
‘えた.
こ う し た 力 学級 備 と 砂 l
加の凹凸性状
のぷ細i><i
l
f究 さ れ た が . slep lengthの 分 布 を 明 ら か に す る ま で に は ? ら な か っ た . 一方，
決定命的アプロ
チでは .
M1
k運 動 を saltation modclで 従 え た 形 で 込 み .
~L 以ら的・ 10)
により SUCCCSSIVC saltatlonの理冷が展開された.辻本・I-jlJ
111) は. s
a
1tation粒 子 の 向
山純子とのィ、~Jl U
l
Jな 反 発 事 象 の 重 要 性 を 指 嫡 し .
irregular succcssivc sa1tationの却.
J
命
'
11川 ら の 不 規 則 継 続 跳 躍 モ デ ル を 拡 張 し . よ り 厳 僚 な 砂 純 の salta-
if~I'， 式と 3 次元的な反発モデルを飼い
lionの巡動ブ'
とと r 回・・ ・・げ ま
F
o
.
¥，
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〈r.
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(
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て fて :)
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(
3
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(r.
kzr.
.
).
pickup ratc式 は 役 :
f
.の jJ学 に も と づ い て い る し ， 従 来 の 平 後i
杭砂舟式もより 1
~ 観的な
立 幼 で は あ る が)
J学的!):;俊(たとえば Bagnold式 1'.に お け る エ ネ ル ギ
の釣合〉を (
iして
い る こ と ， 山・行ともその:J，:験的裏付けが卜分であることを J
Z慮 す る と . こ う し た ゾi訟 は 災
4
;
(
j3
.1
は . 疏 砂 品 公 式 と し て . 実 線 は S冒 155公 式 (
Ko 8
. 5 p 3/2
.Q
用性に優れている. t
O
. r.. O
.047) ， 破 線 は Bagnold公 式 (
Ko.4.25. s 1
.5
.p1
. QO
. r+c
0.047) . -.
'
.
'
.
(
鎖線は戸Hl・i
l
l
J 公 式 (ko=1
7
. s 32
. p1
. Q 1.r+c 0.047) を)lJt、た鮎民である. 刈
"
中. EI
nsl
ci
nに よ る 式 (3.1).d，(
.
f
(σ ρ I)gd3，ν) を 200， ∞ と し た ぬ 合 の 附 似 ・
3
.2
)も 併 ぶ し で あ る . 凶 よ り 平 均 step lengthのオ ーダ 止が f
世間の数 1
'
;併 で あ る
古川の式(
を 阪 凶 し て . st
c
pI
cngt
hのヂ均{前，分布性状が決定されるイ i組 み を 調 べ て い る .
則似 12川ふ
古 川 .I
(3.5)
型車理すると.次式が 1
!
Jられる .
は 性 慌 の 50-250i
忠利 1
.!tであることが知られている.
に拡~されるべきとの也場にもとづき.
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竺
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c
n
gt
hの 総 定 式 と し て 次 式 を 提
こと.無次兄柑流 )
Jに 対 す る 変 化 は Aαr. I2 _ 3 .と. pjck ~ up r
at
cの 変 化 P
..αr•
に比べて鈍いことがわかる
JSlcp lenglhに及ぼす砂総径の効果に??及している.
案し.‘fi-.I!
え ニ α1
ι
l元
示引
ここで. r， 熊 次 l
L掛抗力.
実 験 定数であり，
(3.2)
7
7
0
. ("
0f
.(σJρ
1
'
l
)g
d
. 曹。:倣終此降 j
創立) .
α1. kc
αI 2
5
0
0
. kc=0.12としている.
ー方. '
11J
1ら 13>は 次 の よ う な 間 接 的 な step 1ength の .~f 価式の蛇楽を行っている.すな
わち. '
1I
川・辻みによる p
ick up ratc推 定 式 と 適 当 な 平衡 掃討t
i
少量式から次式による逆算
l
L
Jstcp IcnglhとM流 力 の 関 係 が 得 ら れ る .
によって、Y.
^
(
r，)
，
八
d
AZQ8・
(
3
.
3
)
A
3P
.
.
1
1
0
1
0
-2
1
0・1
T.
0
1
0
3
.1 平 均 step length推 定 式 の 比 較
附-
r一
r
無次凡」掛流砂 J
1式 は ・ 般 的 に 次 の よ う に 表 示 さ れ る .
ここで. K
o
. 5. P
. Qは 各 々 の 流 砂 量 式 の 実 験 定数である.
は次のように'j}_される.
(3.4)
一方.熊次Jepick Up r
ate式
3. 2 砂粒運動の確率的状態 とslep l
engthの決定鰻構
3
.
2
.1 婦涜砂粒の運動状態の確率的表示
水 路 実 験 に お け る 砂 徹 運 動 の 観 測 ( ぷ 細 は 後 述 ) に よ れ ば . 偏 流 砂 村 の A運動は阿 3
.2
.
こ
示されるように.柿杭砂僚のぬ退治胞は. l
ooseな 床 面 凹 凸 と の 衝 突 に よ る . 叫 に よ っ て
-.10-
-41-
は 停 止 に 令 る 大 き な 量 動 と . 主として流 体力の変 動 に 起 関 す る 緩 や か な 変 動 の 綾 合体とな
って b、ること
7】
ことが認められた
I
Jの 衝 突 の 聞 で の 速 度 分 布 の 常 度 関 数 r
i•
1抱
は次式で与えられる.
(v x)
これは Mi
J
f
t)
Jの 変 化 に 対 す る 砂 枝 運 動 の 形 態 の 変 化 に も 関 わ ら な い
.)
1・)
すなわち，
.
:1
(
.1
.
0.o(v
r
'
Y
I.
(
v x).
1つの s
t
e
pはいくつかのより小さな S
l
c
pの 継 続 し た も
3
.
3の よ う に 観 念
icros
l
e
pと呼ぶことにすると， 掛流過程は凶 のとな勺ており， これを m
X .V • )
g.1
(
3
.
7
)
I
(V 3)dV a
イヒできる.
3 ( V ) は 第 i 番 11 の衝突・反発 11'1 後の砂粒子.ilI!肢の確 2事情 J~I知数であり.
ここで， g
6
v
/
u*
〉、 s
!~の衝突・反発 u'f 前の砂純子速度のぬ;本館度関数である E
.
.
、
.~
J
2
U
(V )
とf
f
t移確率 h(V •
第 1番
U 〉
を
用いて次のように書ける.
・
〉
1
9，
~ 3
g
. (V ) =
C
l
J
F
g2
、
E1
・
，
(
3
.
8
)
V 1)
dV 1
(V )h(
・
F
ν
E
F
ここで，
て
コ
s
o
凶
gl (V ) =
例
3
.2 掃流運動の観測l
1
r
..
.
I)
f.O)fL(f)df
vo(v
(
3
.9)
V
g
ucm噌帆 UFOhHFUO 戸 山 ﹀
steadyvel
o
ri
t
y
g1 (V )
=
1
1
r
'I
"
.O(V
f
.v.
)g.
I
(V .)fL(f)
dV.df
(1)
。、
1
)
v 1
entc
h
a
n
g
e
ofvelocity
(
3
.1
0)
である.
4
方
， 第 n帯 1
1の 衝 突 ・ 反 発 後 も さ ら に 逆 動 を 継 続 す る 催 事 P.ucnが求めら れる と. 次 式
でs
t
e
pl
e
n
g
t
hの分布の空白浪関数人(f)が うえられる.
i
n
t
e
r
v
a
lo
f
protrυsion
rI
c
r
ostep
di
st
a
n
ι
ex
∞
J 1
.a
e1Z21fLa・(f)・(l'p..c)・I
l
ip
.u
e』
}
f
.(f) fL( f)・p
Sle
pl
e
n
g
l
h
凶
3
.3
(
3
.1
1)
J
掃流過院の腹念図
.u
r は衝突 u
'
l
l
l
i
jの 述 度 分 ゐ と 衝 突 過
l
二
十l
き添えr'
(γ は n"
J
l，・
)t
み込 み積分を表す. p
衝突を作わない m
icros
t
e
p 内の運動過程は，
初期条件 としての 速度 ベ ク ト ル V 0 (初
期移動の場合は零. それ以外は前例の衝突.[X売直後の速度 ベ ク ト ル V .)と. 乱れによ
H~ の力学 機織によって決まる巡動を継続するための似非航速度の1.限{怖と 下限 伯 V Ict
I
I
・
認
・
J
ma
ee
，
‘
、
，
、
、
，、 ， ， ‘ 、
旋回
‘
，
-
。
，
g (V)dVf (8)de
(
3
.1
2
)
J
n
u
-uv
FIt-EJ
‘
P
.U
C
I
又先過将の不規則さは衝突 ・以発 {
i
'
L置と衝突 ・反発時の述庇変化の不続日)
1
次に. 衝突 .1
J
la'4 tz
・
した砂日程迷度の舷市街 J
J(関数 r
...0(V ￨χ .V 0)で表される .
u
v
∞戸、，
る揺動作 l
置のイミ脱則 1
1を 考 慮 し て 衝 突 ・ 反 発 後 ( ま た は 初 期 修 動 後 ) の 仲 間 xの 条 件 を 付
eo
V1C，tIl .
1
'を府いて次のように，'
fける.
.
f
iは 砂 粒 辿 j
立が
1cros
t
c
pの 移 動 距 綾 {
L
}の S
宮本密度関数人(L
)で
， 後
性による. 前者は m
ここで，
V1から V8に変化する何1修縫冷 h(Va V 1)でみされる.
般的に掃討E砂 村 の j
単動状態は.任立の{合併 xにおける速度 U と し て 器 製 さ れ る . すな
わち
)冊目の衝突
1
:
:
r
t
!
.
の 2つの 織 t
絡を考慮する と. 第 (1・1
-1
2-
(
1
1の 1
1
J度
，
釘1
・
3
が変 数 @ は 沫 I
f
l
lの砂粒の配併特性(例外の 1
"
1
1111
・ 反発 1
ズレ動きに
師特性{約 {e}の 砿 与 税 J
J(関数である.
作う反発係数の変化)をぷし， fe(e)は. 床 I
l
の 時 は 初 期 修 動 ) と第 i~'
-1
3-
対 象 と す る 場 が 均 質 で あ る 場 合 に は . 中)
1
1・辻本 Eη が 提 案 し た 施 中 母 関 数 を 用 い る j
j
t
1を 適 用 す る と . step lenglh(f)の 高 次 モ
メントは m
icros
t
c
pの 移 動 距 般 (
L
)の モ ー メ
ントをJr)(，、て作 Mにぷめることができ，特に平均{，i， 変 動 係 数 を 小 す と 次 の よ う に な る .
E[LJ
E[fJ
α
r
P…I(I-p…)α L!
以上の定式化で却.解されるように砂粒運動の阪本的な状態は m
i
c
r
ostep長さ
{しりと.衝突・以発時の述 j
立変化をよす推移鮪収h
(V 3
micros
t
e
p問 の 巡 動 状 態 を 支 配 す る 町 市 微 分 方 程 式 は
(Vo パ
)の 聞 の 関 係 式 を う え る .
i
l
t動
I
s
a
1
t
a
t
i
o
nでは休 I
f
J
iで の 以 発 現 象 の }
J下 が こ の 聞 係 式
ψ(V ，
.
‘
・ e，)
Va ，
ここで，
(3
.1
5)
ψは 衝 突 あ る い は 反 発 に 関 わ る 運 動 h程 式 に よ 勺 て 決 定 論 的 に う え ら れ る 関 数 で
eの 施 率 的 な 出 現 の 仕 方 に よ っ て
V ，.Iに対して V 3が J
Iの l
f
代をとらなかったり.
あるいは次の m
lcro・s
t
c
pを 4
脅威できないような場合.第 i
揺f
jまでで s
l
c
p!
c
n
g
l
hが術成さ
・
I
c
r
o
S
l
e
p
聞でのゆ らぎを無視 した場合のS
l
e
pl
e
n
g
t
hの決定偲構
ところで
，
を与 え . 推 移 阪 市 の 式 (
3
.
8)に対比、する式として次式が1!}られる.
ある.
j
}
J.ìMJ躍が従う政命微分運動}j l'J~ 式によって記述される.
3
.
2
.
2
V ，Iと(第 i番 目 の 〉 衝 突 ・反 発 後 の 速 度 V 3
u官事変数
v，)及 び こ う し た 事 象 聞 で の 巡
m
i
c
r
oslep
のふ端述f
i
(
似する. 河 床 砂 粒 と の 衝 突 ・ 反 発 の 力 学 級 情 (連 動 方 制 式 ) は
待合には転勤による突起乗起し
のh
(
3
.1
3)
-
A
Ip‘U C
番1
1と他の mi
c
r
oslepは 別 の 母 集 H
Jに 泌 す る が . 以 降 の 滋 拾 の 簡 単 の た め 同 じ り 集 団 で 近
ふ1
)帯 Hの m
l
c
r
os
t
e
pがtt:.IJJ.する (
microsl
c
pが 継 続 す る 3
れ る こ と に な る . 逆 に な うと (i
般に強い非線形料そ
条例は@で規定することができ.その1.似・下限を e.
" et Zとすると.治i?昨日の衝突・
{jしこれを解くことは容易ではない.いま. m
l
c
r
os
l
e
p内の j
運動の 『ゆらぎ j は 抗 体 )
J変
反発時の m
i
c
r
oSl
e
pの 継 続 磁 猿 P.u C I は@の出現確本総出関数を f~(e) とするとき，
動に起因するほぽ均質で分市も伏く.こうした変動は衝突・反発現象によって引き起こさ
(
3
.1
2)
を占き i
丘して次のようにみされる.
l
l
f
l:の中に母役するものと考えられる . このときも.
r
:i
r
txに お け る 砂 蝶 述 肢 は
れる強い不燃 U
‘
.
.
鈴木餅度開放 f
vO(V
P
.u ，，
1f8.(8)de
によってみ.IJJ.される. 本節ではこうした仮定のもとで， 3
.2.1
のフレームワークに従って
mlcro.s
t
c
p内の運動は， ~l えば M 抗力の小さい 11日は摩僚係数を適切にうえた滑動の運動
方搾式で，柿抗力;が大きくなると s
a
1t
a
t
i
o
nの 運 動 万 程 式 で 記 述 が 可 能 と な る . i
伝情.i'T、
住 速 度 は 滑 動 で は 流 下 方 向 に l次 J己で
トルでぷ不される.
s
a
1t
a1
1
0
nで は 鉛 直 方 向 成 分 を 加 え た 2次 JLベク
句位式の解として，この治
砂 位 速 度 を 運 動 時 間 ま た は 距 般 の 閑 散 と し て 与 え る .φを 運 動 J
(
3
.1
6)
。
<
I
ここで， f (e)は 一 般的に V . Iに依イfす る . す な わ ち f
滑
1
怜?動の場合は 乍
t 子えられた L
い‘に怠対Iし
8
て衝究述度を， s
a
剖1
t
川
まる. 8，
.
，
o
nの 場 合 に l
は孟人射角を与え. こ れ と 砂 面 凹 凸 状 却 で fe
~ ~n が決
e
ε
zも v
.の 関 数 で ， 形 式 的 に 炊 の よ う に 裂 さ れ る .
。 •
1
I
t1の
い ず れ も 初 速 度 VO. I (以ド添え字 lは 河 床 を 隙 脱 し て か ら 第 i
mlcrostepあ る い は 衝 突 を 去 す 〉 が 各 々 の m
i
c
r
os
t
c
p
の初期条件である. 運 動 }
i刊 式 は
.
(
t
8.:
x.Vo)によってではなく. 適 当 な 運 動 方 円 式 の 確 定 論 的 な 解
l
e
pl
e
n
g
t
hを勾えることにする.
砂純の運動状態， s
o
，
'V(
v.
)
(
3
.1
7
)
i
c
r
os
t
e
p長 の 和 と し て s
t
e
p1
e
n
g
t
hが 求 め ら れ . その
microstepが 継 続 し な く な る と m
施*~密度関数は式 (3.
1
1)
で与えられる.
3
.
7
)に対応するみ現は，
合における式(
U‘
φ(x ， vo.，)
(
3
.1
4
)
で よ さ れ る . -J
i
.m
i
c
r
os
t
e
pの 末 端 速 度 V I .は. m
i
c
r
os
t
e
p長さをしとすると
VI
φ(L .V o .)である. 滑 動 の 幼 合 は 滑 動 面 の 陣 引 に な る 砂 面 の 突 起 の 間 隔 が Lとなり
3.
2
.
3 掃流砂粒の運動特性に関する実験
民さ 5
m，幅 1
0
c
m，深さ 1
0
c
mのアクリル裂IlJ
変勾配水路 (
A
)及 び 長 さ 1
2
m，制 3
3
c
m，深さ 3
0
1:
(i
t
事 変 数 ) ，s
al
l
at
1
0
nで は し は υ。 に 応 じ て 決 ま る が ， V O. i
J<
i
i
i
終変数であるためやは
I
り儀率変散となる.
c
mの ア ク リ ル 製 可 変 勾 配 水 路 (B)において. 前 章 の 定 式 化 の 妥 当 性 の 検 川 及 び モ デ ル に 合
まれるパラメータの :
f
f
Diのための実験を行った.
実験には，数千毛 d
が0
.
3
9
5
c
m，0
.
2
7
6
c
m， 0
.
2
1
6
c
m， 0
.
1
8
5及 び O
.1
7
7
c
m
のほぼ均・な砂をJfJ
いた. 水 路 (
A
)の 実 験 の 掛 合 に は 1
6
m
mカ メ ラ を 水 路 上 ん あ る い は 側 方 に 投 W
tして砂粒の i
製
距脅
撃し修動後.衝突・反発の )
J~{・機機によって次の mlcro - stcp に継続するかあるいは停
止するのか.継続するときには次のm
i
c
r
o・s
t
e
pの 初 迷 度 が 決 定 さ れ る . 初 速 度 は 第 l荏['J
のm
lcrostcpを 除 い て ， 先 行 す る m
l
C
r
Os
t
e
pに{伝子fす る の で 確 率 変 数 と な る . 第 l爵日の
micro s
t
e
pの初速度も鍛脱条例や書官脱待ち状態の小脱則性に基づく磁・ 3転 変 数 で あ る . 第 l
-4
4-
動を機影するとともに， st
e
p1
e
n
gt
hを 1
1悦によって.;c!u.した.位径 dか 0
.
3
9
5
c
m
.0
.
2
7
6
c
m
の 砂 瞭 に つ い て は . 保 砂 箱 に よ っ て 疏 砂 地 Qoを . フ ィ ル ム 解 析 に よ っ て p
i
c
k'
u
pr
a
t
eP
.
の ~t~1 を 実 施 し た . 水 路 (
8
)の ぬ 合 に は
件は.
.
b
.3
.1
に示す泊りであり，
t
.
hの み に カ メ ラ を 投
mし織影を行った.
実験条
>
>
.t!'には I
i視 に よ っ て l
i
'
，
接計測されたず均s
lcp I
c
n
g
l
h
一15-
八とその変動係数 α
八 の 結 果 も 記 さ れ て い る . た だ し . 後 述 す る 間 接 測 定 の 実験 ケースに
ついては空欄になっている.
こ こ で 用 い た よ う な 輔 の 狭 い 水 路 で は 側 壁 の 効 果 が 大 き い た め . ~緊僚速度 U. ま
，E
i
n
s
t
e
i
n
の 径 深 分 割 法 1) を 用 い て . 次 の よ う に 評 価 さ れ た .
u.
rg
疋て
(
3
.1
8
)
Rb
h
{
1+
[
剖 32}
(
3
.1
9
)
1
.
i
w -F
r2 (
i
wi
b)
(
3
.
2
0
)
表3
.1 実 験 条 件 表
Rund (cm)
e
h{cm) u.(cm/sec)
τ•
F
r
h/d
^ld
0.395 0.00992
0.00965
0.01008
0.01024
0.01080
0.01220
0.00990
0.01707
0.01776
0.01840
0.01856
0.01944
0.01917
0.01910
0.02033
0.04240
0.04240
0.04240
0.04240
5.48
6.49
7.40
7.22
6.76
6.66
5.42
3.47
4.31
4.50
5.33
5.86
6.19
6.49
6.25
4.11
5.29
5.84
6.04
5.92
6.18
6.59
6.70
6.91
7.54
5.73
7.49
7.98
8.44
8.97
9.
5
9
9.74
9.87
9.74
12.08
13.08
13.32
13.30
0.0548
0.0598
0.0679
0.0700
0.0747
0.0890
0.0515
0.0906
0.1041
0.1150
0.1300
0.1484
0.1530
0.1574
0.1532
0.2381
0.2792
0.2894
0.2848
0.921
0.891
0.
895
0.874
0.850
0.826
0.870
0.844
0.767
0.863
0.813
0.799
0.809
0.817
0.964
1.250
1.452
1
.572
1
.644
13.9
15.6
1
8
.
7
18.3
1
7
.
1
16.9
13.7
8.8
10.9
11
.4
13.5
14.8
1
5
.
7
16.4
15.8
1
0.
4
13.4
14.8
15.3
1
0
7
1
3
1
120
70
7
8
9
1
8
3
1
0
5
118
1
6
2
1
3
3
1
2
0
1
5
1
1
4
2
1
4
1
2
4
2S
2
6
2
7
28
2
9
3
0
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
36
3
7
38
3
9
40
4
1
4
2
43
0.276 0.00827
0.00857
0.01000
0.00870
0.01020
0.01050
0.01040
0.02058
0.02019
0.02029
0.02069
0.02507
0.04360
0.04360
0.04360
0.04360
0.04360
0.04360
0.04360
0.04360
0.
04360
0.04360
0.04360
0.04360
3.57
4
.55
5.38
4.79
6.62
7‘4
3
7.72
3.17
3.86
4.60
5.17
5.42
2.
30
2.40
2.82
3.27
3.52
3.70
3.95
4.10
4.46
4.70
5.29
5.83
4.87
5.27
5.99
5.56
6.
7
5
7
.
1
1
7
.
3
1
7.42
8.06
8.73
9.17
9.35
9.57
9.60
10.30
11.03
11.28
11.45
11
.7
4
1
1.
7
6
1
2.
1
7
12.19
12.54
13.14
0.0532
0.0623
0.0805
0.0694
0.1020
0.1131
0.1196
0.1305
0.1578
0.1806
0.1991
0.2072
0.2131
0.2152
0.2468
0.2840
0.2960
0.3114
0.3270
0.3283
0.3512
0.3522
0.3731
0.4094
0.677
0.807
0.890
0.735
0.802
0.806
0.
7
9
1
1
.1
7
8
0.909
0.895
0.953
0.933
0.732
1.048
1
.130
1
.1
1
4
1
.243
1
.319
1
.350
1
.617
1
.614
1
.7
3
7
1
.816
1
.7
4
1
12.9
16.5
19.5
1
7
.
4
24.0
2
6.
9
28.0
11
.5
14.0
16.7
1
8
.
7
19.6
8.3
8.7
10.2
11
.8
12.8
13.4
14.4
14.9
16.2
17.0
19.2
21
.1
5
9
7
5
1
0
9
1
1
2
168
138
168
166
216
1
9
6
209
182
4
4
4
5
46
4
7
48
4
9
5
0
5
1
5
2
5
3
0.216 0.00740
0.00833
0.00639
0.00916
0.01010
0.00892
0.00948
0.01102
0.01013
0.01095
2.
82
3.21
3.42
4.08
5.40
4.70
5.69
6.14
6.34
7.57
4.12
4.53
4.04
5.34
5.91
5.36
5.84
6.12
6.38
7.67
0.0486
0.0587
0.0468
0.0817
0.1072
0.0811
0.1045
0.1148
0.1165
0.1686
0.693
0.816
0.728
0.760
0.782
0.764
0.825
0.830
0.886
0.714
13.0
14.9
15.8
18.9
25.
0
21
.8
26.4
28.4
29.4
35.0
89
115
116
148
240
150
253
258
239
240
0.002S0
0.00250
0.00255
0.
00361
0.00415
0.00417
5.%
8.27
9.63
5.30
4.80
5.59
3.82
4.50
4.86
4.33
4.42
4.78
0.0488
0.0677
0.0790
0.0627
0.0653
0.0764
0.503
0.541
0.432
0.612
0.711
0.703
32.2
44.7
53.1
28.6
25.9
30.2
0.
1
7
7 0.00646
0.00744
0.00742
0.00971
0.01023
0.01078
0.01073
0.01052
0.01067
2.98
3.59
3.91
3.85
4.54
5.05
5.51
6.12
6.84
4.04
4.68
4.84
5.47
6.27
6.73
6.92
7.1
1
7.68
0.0620
0.
0832
0.0881
0.1133
0.1372
0.1581
0.1671
0.1767
0.2062
0.541
0.600
0.621
0.734
0.733
0.746
0.753
0.753
0.704
16.9
20.3
22.1
21.8
25.6
28.5
31
.5
34.6
38.6
2
3
4
5
6
y
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
20
2
1
?2
2J
5
4 0.185
5
5
56
5
7
r
，
s
59
60
6
1
62
oJ
64
6S
66
61
68
-46-
。
^
0.851
0.772
0.806
0.813
0.782
0.769
0.797
0.722
0.645
0.694
0.693
0.708
0.689
0.666
0.668
ここで. g 重力加速度. Rb :側壁の影響を補正した径深. 1
. エ ネ ル ギ ー 勾 配 . h: 手均
水深.
B
:水路幅. n
w
アクリルの粗度係数
(
n
w0
.
0
0
9
8
) .U
:平均流速，
i
.
" 水耐勾配，
h 水路床勾配. F
r
:F
r
o
u
d
e
数( U
/.
/g
h
) である.
こ こ で は 平 坦 河 床 の 条 件 に 限 定 し た 実験 を行った.すなわち掃流カの大きい場合には，
初期に平坦にならした河床に十分に注意深く通水し，河床波が形成されるまでに計測を終
わ り . 同 一 条 件 で の 実 験 を繰り返した.
1
.
2
2
4
1
.1
8
2
0.815
0.987
0.888
0.843
0.733
0.825
0.659
0.643
0.622
0.576
得られた結果は，次節以降で掃流運動の権 成要素の理論的検討とともに示すこととする.
3.3 滑動砂世の運動特性に関す る検討
3.
3.1 衝突 を伴わない運動過程
l
o
w
e
rr
e
g
i
m
eの 平 銀 河 床 に お け る 掃 流 砂 礁 の 運 動 は I
D
i
c
r
os
t
e
p内 に 限 れ ば 卓 越 す る 連 動
流)
J
形態に対応する単一の運動方程式で比較的よく表現できるはずである.ここでは .M
が小さい場合を想定して治動形式に対する表現を扱う.このときの運動方組ェえを熊次元ぷ
不すると次のようになる.
d
v
.
0.910
0.743
0.818
0.851
0.778
0.775
0.653
0.672
0.670
0.661
dt
.
=Q
.
(
Ud.-V.)2
となる.ここに，
V. v
/u.
COA
2
である
0.701
0.780
0.721
0.720
0.
685
0.622
0.708
0.833
0.586
(
3
.
2
2
)
t
. t
U
./
d
Ud. ~ Ud / U.
Q. 一一一・一一一一一
2A3σ/ρtCM
1
0
8
1
4
7
1
7
6
222
270
275
329
338
370
(
3
.
2
1)
R.μk
R
.
v 拍 疏 砂 粒 の 移 動 迷 度 . Ud 制疏砂村.中心の局所流速
力 係 数 :C
M :付加質量係数，
ρ : ))<の密度，
(
3
.
2
3
)
r• (a/ρtC
M)
σ:砂の密度，
μk
U. 路 線 述
H
t
.C
D :
抗
i
動熔僚係数である.
Lkは 床 面 砂 粒 と の 接 触 具 合 に よ っ て 決 ま る も の で . がlf速 度 の
動摩蝦係数 I
l
r
lJ
]
{
Jに nう
平均運動面の上昇によってその{仰が変化するものと考えられる.そこでまず 1
6
m
mフィルム
に 織 影 さ れ た 砂 純 子 の 述 度 記 録 よ り μkの 変 化 特 性 の 検 討 を 行 っ た . 式
.
17-
(
3
.
2
1) よ り 動 燃
ltrl
ノ
、‘，，
その結果は附 3
.
4に 不
Q.U c • 2 -R.
も
、
，
J所 抗 述 と し た ) ， ，
¥z- T
l/
4
. As- Tl '
6
. a!ρ =2
.
6
5とした.
のI
令.
0.5. し . = 7.62(U. を純白i 対数日1I で y /d ~ O. 7
のところ
aゆ .
CD ' 0
.
4
. C~
a
U
(ム瓦.=
0
.
5と し た ) .ム\'.はこの JW の~位変化阜である.な
2
Q
.
U
.・
日
ムx
.)
x
.は 距 般 の 刻l
み制
お. *~ n ， にあたって.
a
.
，
R
.
L
(
3
.
24)
• •
-V
ここに.ム
，
.
一
一
一
一l
a
3
?
‘
J
lI&
a， 2
k
.r.
l
J
.
・
a
. =k.r.
1
L民
ムv
.
-1Q
.(
U
..，¥.)2_¥
司
1(
、
‘
，
，
hU
ここで，
僚係数 J
l必
は制jjl1
Jさ れ た 砂 の 軌 跡 よ り 次 の 式 に よ っ て 逆 算 さ れ る .
(
3.
2
9)
である.
x
.O
. ¥'.=¥'.0の 初 期 条 例1の も と で . 1
1
恥
i
怜
C
¥
川
'i
s
i
d
白e
の展開定理を周いると j
万
li
科
f
V式 q
ぱ(、
¥
'
.) 0
がl
1
:
の微分J
j程 式 の 解 は 次 の よ う に 与 え ら れ
線を持たない局合，
1
作動の地合に式(
3
.1
4)
の
φが 滑 動 形 式 に 対 し て 特 定 さ れ る .
され.次のような文，験式が過当と判断された.
x
.
1
.0
J
l
民
k
.r.
v
.%
f1
.0
(
3
.
2
5
)
k 4
y
移動 l
創始時 (
v.-O
) には動員努機係数 μ瓜は，ほぽ紗止路線係数 (μ ，"
"1
.
0
)限 度 に な る
(
3
.
3
0
)
s(v.) S(v.o)
e[E c，
ln(v.α))
S(v.) - R
(
3
.
3
1)
ここで. α，
(i 1-4)は Q
(V.) 0
の 4彼 (・ 般 的 に は 複 点 数 ) で あ り ， R
e・はfUみ散の実
4
こと.またi1、新U
.
巡j
立の.tr
l
J
Iと と も に J
lkは 減 少 す る こ と が わ か る .
凶 3
.5に，
数部をよし，
jJ)~f綴係数を -:Æ (μ. O
.4
) とした場合と移動 i
創立の関数とした場合の比
4
移動i
創立 V
.と柑疏力の関係を不した.1'i4より限界 M洗 )
J
;
をやや上[
g
Jる 鍋 流
較のため，、1'
後I
Q(V.) : a・
， 1(v. αo
)=a ， v..
3
+a3 v •
(
3
.
3
2
)
2t a.v.+að
、
α
•
v
v
，，‘、
・
l'
m
α
v
v
'
a
--
ph
ル
リE
3:一
1:
岡田
﹄回﹄四
i
V- -
(
3
.
3
3
)
である.
田
i
四
図 3.6(a ) は第 l 番 11 の(初速度が 0 ) の 砂粒連動のアンサンプル、ドJ!J と lニ 述。〉滑動 Ji t~~
4
r
i
-n
u
-a 1j
a
-
c=
i
町
同
1 :
M
同
1
・
ヨ
・
ι
r
，
ヨ
@
nv-
U*
n
肉
H
内V
、
.
・
EE・
・
EE-E
E・
内H
。
岳、
e
AU
r
AU
a
L
bzn
'
HV
n
v
4
'
n
u
・
・-
hu
nu
νan
'a
・
・
h
v
v
FEEEEEEEE
)
Jの 鞄 i
射で同 町
:r.の却が断告であることがわかる.
十 a:v.
式の解を比較したらの，
t
.
:
43
.
6(
b
)は 第 l番目を除く田 i
c
r
os
t
c
pの 衝 突 後 の 初J
'
単
i
. 位:
の条約
付でのアンサンプル、Y.J!)とその子均初速度を初期条件とする滑動ん料式の解を比較したも
AU
l
nu
*
j
.
ベo!p-l)gd
0
1
0
v
図
滑 9り~j的問の動 R医 療係数と
3
.
5
m動砂純の、Y後ii進度
U*
5
A“ ， 勾 ︽
3
.4
v6
凶
凶
関数とした滑動の)!J
I
)))科式の妥当性が確認された.
HV
0
.
4
τ
ιυ*EJVAT q d
0
.
2
内〆L
n
u
l
。
のである.どちらも向-I'í'の一致が良好であり.式 (3.26) のような動朕僚係数を移動 ~I立の
d
砂 利i
単庇との関係
内
ι
J
つι
式(
3
.
2
1
)， (
3
.
2
5
)を J
J
Jい る と 運 動 方 程 式 は 次 の よ う に 書 き 副 さ れ る .
凶3
.
6 滑動の運動万程式の解乙の比較
.
1
9
-
ーの
アンサンプル・ド均
i:T、粒)!動のアンサンプル平均
牧
bFr
な
わ
-48-
(
3
.
2
8
)
を
含
(a) 初 期 移 動 後 蚊 初 の 衝 突 ま で の
弘田
・
Q(V.) -a.v. ia:v.3t
a
s
v
.Z・
a.v. a5
5
X.
突
(
3
.
2
7
)
1
0
hu
，
p(V.) =a v
.
:I
1
5
川
(
3
.
2
6
)
X古
p(v.)
叩砂
d
v
.
v
.ーーーーー =ー一一一一一ー
d
x
.
Q
(
v
.
)
凶
3
.7は第 一 帯日の mlcrostep の位置 x.( ~ x / d) での変動係数 αY l
l. ・
o 0 であり，流体
V
間隔の影響を受ける.
J
Jの変動と滑動中に砂而のイミ脱則さから与えられる均質な変動によるものの両者を含めた
(llは滑動から転勤へ
室内水路実験での観察によると，制流力の地加にともなって運動形 1
3
.
8に ぷ す よ う に 制 流 力 に 対 し て 減 少 傾 向 に あ り ， 次 式 で 近 似 さ
と，すなわち河床との接触が顕著な運動から跳躍形惣も混夜した状態へと移り変わってゆ
ものである.その他は闘
く.この遷移は平均的な運動面が上昇し河床と砂粒と河床面との接触が減少することとと
れる.
α. •
・
・0_00.128<.-1'
・
(
3
.
3
4
)
らえることもできる.柿疏運動の面からみると.これによって動摩鍛係数が減少し，また
、粧の移動を与
衝 突 時 の 静 止 砂 粒 の 相 対 的 な 高 さ の 減 少 が も た ら さ れ る . 本 節 で は ， 滑 重HT
える運動画と衝突事象に関わる砂粒(有効突起と以降呼ぶことにする)の高さ{ム)とその
0
1
0
o
X
} についての検討を進める.
間隔 {
コ
Cコ
"
〉
C
，uR一﹀
o
"
〉
関与 1
0
.1
1には. <. 0
.
0
8程度で通水して. 不安定な砂粒の配併を除外した砂曲i
にお
珂
い て 水 中 の 平 均 運 動 面 〈 平 均 河 床 面 か ら Yddの高さ)をいくつか仮定しそこから淑J
Iられた
au
〉
也
有効突起高さ{ム}とその再婦間隔 {
X
}の平均値及び変動係数の実説I
J
他をふしである.
1
0・1
。
5
で は さ ら に 閲 綴 ・吉川
τ
1
0
*
1
5
の砂面凹凸実証書l
にもとづいて側々の河床砂礎(突起〉のfi..(J.~:s
さの標準偏差を d
/3として. 2.
2
.
2で 示 し た よ う な 不 規 則 面 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 っ た 結
吉
凶 3
.7 初 期 移 動 後 段 初 の 衝 突 ま で の
13)
果も併示した.
関3
.8 第 l回目の micro-step内での
砂、総速度の変動係数
砂粒速度の変身j係 数 と 掃 流 力 の 関 係
0
.
6
x/d
ι
*0
こ う し た 変 動 の 減 少 は 掃 流 hの地加と
ともに平均運動画が上昇して床面との
F
緊機過 程 ( 先 述 の 二 つの変 動要閃のう
ちの後者)が軽減していることと関連
0
.
4
1
00
コ
c
コ
〉
C
.
.
.
.
0
.
2
-
x
。
0
.
0
0
.
0
〉
し て い る も の と 考 え ら れ る . 変 動係 数
の偵からみて.こうした変動は制流運
1010
5
1
0
1
5
(a) 平 均 再 帰 間 隔
図 3
.
9 衝 突後の砂粒速度の
ってよいと言える.
d
図
(b) 平均突起尚さ
3
.1
0 平坦河床の間凸性状の平.it;
J
特性
変動係 数 の 場 所 的 変 化
動 方 程 式 は 充 分 な 精度 で 決 定 論 的 に 扱
v
4 3.9は第
0
.
4
0
.
6
d
Y
R/
百
軽
動 そのものの不規則性からみると f
微 で一線な 』不 規 則 性 で . 前 述 し た 運
x
0
.
2
1
.2
番目を除く microst
e
pの砂校 速度 の 変 動係数 αV; .パ。で. 衝 突 直 後 に は
J
l
衝突によってもたらされた大きな不規則性が現れるが，滑動過程で小さくなってくること
a
x
1
.0
j
が示されている.急 激 な変動を含めてアンサンプル平均をとったのでは決定論的な運動 J
0
.
8
程式の適用は熊意味であること，すなわち条件付きサンプリングの級い万次第では現象の
0
.
6
み質を Q 失うことが示されている.
0
.
4
0
.
0 0
.
2 0
.
4 0
.
6
Y
R
/
d
3.
3.
2 有効突起砂粒の確率的性質
0
.
0 0
.
2 0
.
4 0
.
6
d
Y
R/
(a) 再 婦 間 隔 の 変 動 係 数
砂 純 運 動 がt
f
t動 形 式 で 代 表 さ れ る 場 合 . 砂 f
立の移動距艇は河床砂粒の凹凸の程度とその
-50-
図
(b) 突 起 日 さ の 変 動 係 数
3
.1
1 平均河床の川♂1性 状 の 変 動 係 数
-51-
、‘，，
PE
P--
A
，，‘、
-
v
、npt・
J
V
，
v
a
、
少
‘
、
(
3
.
4
0)
J
、
，
、
e
、
f(f.
)
-pa
pa-，
e
- F﹄
関 3
.1
0よ り 突 起 の I
'
i11~ I
I
U捌 {
x}
とその高さム }
の、ド均 f
p'tについて次のような近似式を得
f
こ.
(
3
.
3
5)
¥lkrl
J
ω
R-
1SEBa--J
uy - J
n
u
a
a
--
VAn
nド
p-
pd
，SEgEEEgEK
βhVE1
r﹁リ V
-rJlk
、
d
HHV
υ
屯
aq
︽
M
M
'
，
ヮb
.
，
， BEEEEEEEノ ハ
、
an
R
vymJHM
、
内‘リ W
n
u
o
.o
o
..0 -
rEEEEEEE
X
.
o"
"
ここに
f.ニX/ErX'. r(・)は gammaOO数. rは shape paramctcrて'あり
rは 実 験 よ り 仰 ら
u
れた衝突Jt 隔 の 変 動 係 数 αL (式 (
3
.
3
9)
) と次のように関係十jけられる.
r
(
3
.3
6
)
(
3
.4
1)
1αL2
さらにヂ均運動 I
函YR d の熊次 Ji; M~ ブ)
，.に
-}
i. 変 動 係 数 に つ い て は 尚 3
.
1
2か ら わ か る よ う に . シ ミ ュ レ ー シ ョ ン は 必 ず し も 実
対する変化は式 (
3
.
3
6)と式 (
3
.4
1)とを等置す
験 f~! を同現するには主 っ ておらず.来過程として Wdlï[U) 凸の 2~ モーメントまでしか与え
ると. f~ - 3.13 に不されるように次のように
えよい本シミュレーションの脱皮はたかだか l次モ ー メントまでと J
管えられる.そこで {
X}
•
推定できる.
0
1
0
YR
r
(o
.)
の変動係数は実験的にうえることとする.すなわち，突起高さ{ム}の変動係数はほぼ
YR
iつ で あ る こ と か ら l
X
.
A
.のような指数分街で去すこととする.
d
可
*
)七ベ七)
7*動形式で齢、粒が抗送される場合，衝突問問 (L)と1i効突起間隔 {
X}
の特性はほぼ1
，
)
， -悦
3
.
3
.
3 河床突起砂粒 との衝突慢帽
できるものと考えられる
柑流砂の 1st
e
p内での衝突 I
I
U隅 (
L)についてのフィルム解析結
突起間隔が与えられると.滑動の連動方
.
LJ.
米より，その期待似E
変動係数 αLを謝べると. それぞれ凶 3
.1
2に 不 す よ う に 次 の
f
i式 に し た が っ て 衝 突 i
頁前の速度 V，か決定
ように近似される.
E[L]
附3
.1
3 十均)1!動面の変化
(
3
.
4
2
)
(
3
.
3
7
)
ω
:
a
n
qul
a
r(
r
eQ
u
e
n
c
y
される.さらに乗り越すべき砂純の尚さ企
が う え ら れ る と 衝 突 後 の 砂 粒 の 速 度 V3は
，
1
4
.
0
..
'
/
$
(
3
.3
8
)
d
，
.
・
3
ハ
αL = O
.3
5
(
3
.
3
9)
凶
3
.1
4 にぶされるような中川らの J
ト蝉性
衝突モデ J
v1. に も と づ く と . 次 の よ う に 与
えられる.
図
3
.
1
4 J
I'
姉1
1
:
衝突モデルの槻念阿 川
従って衝突間隔 { L} の分衡を f考慮.し，有効突起間隔 { X } の分布!形として，平均似て~ )
f
.
懲.
化
さ れ た 係 怒 密 度 関 数 が 次 式 で 与 え ら れ る gamma分布に適合させることとした.
E[
LJ
._
0
1
0
e rI
E[日/d=14.
OT*1'
Vs
ただし，
j
0
a
L
10
(
3
.
4
3)
f
u
n
c
.(VI・o..)
V:
v
nσ/ρ
I
)gd
B.
(
3
.
4
4
)
一
一
一
一
一
一
(σρC
t4k.2)
N)(1
であり. k.d:砂 純 の 回 転 2次平徒である. 式 (
3
.
4
3
)が式 (
3
.1
5)
で去される衝突のブJ学モ
デルの関数
τ
τ
*
*
(a) 平均衝突間隔の
(b) 衝突Il
U隔 の 変 動 係 数 の
M総 力 に 対 す る 変 化
掃流力に対する変化
肉 ，
3
.1
2 衝突間隔 {L}の 停 車 特 性
ψを特定している.
衝突 U
'
I後 の 速 度 が 正 で あ る こ と が m
icro-stepの 継 続 条 件 と 勾 え る と . 突 起 高 さ そ の も の
<
8
f
i
l状態をぷす変数@で. m
icro・slcpが継続する Aの1.限 t
:
.，
がU-l
)は次のように衝
ε2
突1
1
¥d
i
J速度 V1の 関 数 と な り ( 下 限 8 ，1はゼロ) . micro-slcPが 総 統 す る か 奇 か の 判 定 に 川
いられる.
hy ︼
，﹁u
-53-
U
flJEt-
冊子:
仇
"
，
)
d
.，
，(VI.
(
3，4
5
)
Iが十分に人きく.
計算され. V
¥'./" 1~
<1とみなせる場合には解析的に説.FJLできる. その式
形と掃流力の変化に対する変化特性から，
{ "3
IV1}の平均{仇&び変動係散は次のようにぷ
すのが適当である.
D
.
1
H2(0
(
3
.
4
6
)
Er
'
¥
，lvl1 (
1c
x
p
(ー2
.
5
¥
'
.
)
).~
/ ρ~C \4)'i 12)}
衝突 u
'
id
i
Jの
.
i
!
I
!J
1
i
:は施中変敏であるから. 速 度 変 換 を ふ す 式 (3.43)は 衝 突 に よ る 述 度 の 推
(
3
.
4
8
)
(
3
.
5
0
)
ム
.
。
さらに. 折t移
6
i
'
t
i
市街脱出数h
(
v
3IVI)を 定 式 化 す る な ら I式 で 去 さ れ る 平 均 1
1
(
t
. 変動係
数によって特徴付けられる g
a
m
m
a分 布 で よ 現 す る の が 適 当 と J
5
7えられる.
I
} のヂ均
衝突1I'll
m車
i
.J
J
.
IvJの 条 約 付 き で の 衝 突 直 後 の 砂 粒 述 J
J
[{V3 V
内4
JV
司114
d
内︽
S
φ
【
内〆﹄
tjl の....，'線は突起の千均尚さを JlH 、てI:~己モデルを，，1'1').した tli~ ，
1
・
式(
3
.
3
6
)， (
3
.
3
7
)， (3.42) が JH~ 、られ， ま た 凶 中 の プ ロ ッ ト は 実 験 粘 民 で あ る . なお， 凶
0
1
0
v
・
l
突起尚さ(d
.)については
FEE-Pト L
なお計算に、当たって，
1
m
n
v
.IVI 及 び 変 動
-uv
刈 3
.1
5
(
a)
，(b)に示した
係 数 α.. け を l
ム.c
R
:
4
(
3
.
4
7
)
•••
・
I
会￨
f
仏 )
φ
h
(
v
.lvl )
司
る. h
(
v
. IV1)は{d
.}の係;本密度関数を用いて次のように去される
:ー
R
I
、
-
(
3
.
4
9
)
a
-
の
4
{v，I¥1}の特性の検討によって衝突モデルの妥計1'1:が検討され
R
I(
1R1(
)f
R
:
)
}
c
x
p
(R
:
O
.5
α，
目
、 I
'
¥1
ム
一仙
・
幽
，v
.)を悲し.
移釘i
i
市 h(v
1
、
戸
一
〉
'
J
!
:紙l
は突起の分(
t
jも'
;
1
'
-
〉
B
して川 l
'
)，
した*，1;*で. 後.fiが実験結果を良く説明していることが分かる. す な わ ち 衝 突 モ
述l
J
[V，が十分に人きいときの {v，
V1→∞}の変動係数にほぼです-しいことがわかる.
1
0・ 1
τ
*
ここで
(
a
){
v
.
も. 持t 過料を 2~ モーメントまでしか考慮しない取り吸いでは 2 次モーメントについての
結*の t
，
1
U
J:は必ずしむ
4
F d
2
-Jj， 変 動 係 数 に つ い て は 必 ず し も 遜 切 に は 生 誕 し 叫 ず . 衝 突 凶 前 の
、
ることが IJ~ された.
・1
uv
デルでは. 突起 rr~ さのイ，縦JlIJ 性(，進本分衡していること〉を.Jj慮、することが m~ な点であ
，
}のJ)Jf年偵
0
1
0
(b) {
¥
'
. I¥
'
， 川副}の定動 i
.
f
:
数
V
'
同 3
.
1
6 柿新t)Jの変化に対する{¥
'
. ~ VI}のモーメントの変化特例
1
:
分ではないことがわかる.
同 3
.
1
6
(
a
)， (b)は 制 流 力 の 変 化 に 伴 う {
V
.IV
I
}の 平 均 似 及 び (
V
.j V1-・∞} の 変 動 係 数
を示したもので. 制 r
m
.
)
Jの 変 化 に 伴 う 推 移 確 率 h(V.IVI)の 変 化 は そ れ ほ ど 人 き く な い も
のと判断される. また， {
V
3，V
I
}の モ ー メ ン 卜 は 式 (
3
.
3
7
)， (
3
.
4
5
)， (
3
.
4
7
)に も と づ い て
3
.
3.
4 t
骨動モ デ ル に も と づい た 対 流 過 程 の 数 値 模 巌
3.3.1-3.3.
3で 品 明 し た m
l
c
r
os
l
c
p内の
滑動モデルと衝突時の突起*~モデルを朋
一⋮
L
d
51JO
'a-v'a-
F'L
v
‘
、
，
，
•••
0
.
5
1
.
0
いると滑動砂村の i
k
;
且j
歯科のシミュレーシ
f能となる. な お シ ミ ュ レ ー シ ョ ン
ョンが u
i
c
r
os
t
c
p内の 巡庄のゆらぎをJ5
'
j
援する
はm
3
.
2
.
1 節のタイプ)とJ5~援しない
モデル (
卒
;
節
3.
2.
2 節)に分けられるが， :
タイプ (
1
.=
0
.081
では疏体 )
Jに 起 附 す る ゆ ら ぎ を 式 (
3
.
3
4
)で
I
.S ・ 2
.
0
V
1
3.
2
.
2の タ イ プ で シ ミ ュ レ ー シ ョ ン
.
'
"
J
;
t，
J<.
5
0
を行うことにする. シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 例
(a) {
V
.Iv.}の 期 待 偵
(b) {
¥
"
，
I¥'I}の 変 動 係 数
t
o
<
l・
3
.1
5 (
¥
'
. 1vI)のそーメントの実 験 的 検 討
を向
3
.1
7に不すが. これは凶 .3
.
2にふし
凶
3
.
1
7 t
史縦された量生、位 i
蛍動の &
J
たフィルム観測例の特徴を良く内現している.
悶3
.1
8
(
a
)， (b)は衝突凶断Jの 砂 粒 i
創立 h 及 び 直 後 の 速 度 V. (敗 際 述 瓜 U. で 熊 次 J
i
;イ
ヒ
し
-5
，
1-
ーココー
f
43
.
2
0は f
.
J 文験における I
I
U接的に評価
l
f
tと 変 動 係 数 の 実 験 結 果 と シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 粘 県 を 比 較 し た も の で . l
r
id
i
I
てある〉の平均 f
の巡瓜 V，が実験車j
J県 よ り や や 大 き い 点 を 除 け ば 両 者 の 対 応 は 良 好 で あ る .
t
c
pl
e
n
g
t
hの帰抗 )
Jに 対 す る 変 化 ( シ ミ ュ レ ー シ ョ
このシミュレーションによる‘V均 s
ン結*の内伸 1
1
1
1線 〉 を そ れ ぞ れ t
i
<
l3
.1
9
(
a
)
.(
b
)に々、した. (a) は lút~ 測定された結集と比
された、ι
￨J
!
o
)
s
t
c
p1
c
n
g
t
h と[
J慌による 1
1
;接的
2
~
1
0
司
1
であり.こうした
な実測結果とを比較した0'
，
ぺ
u
間接 f
f価 法 の 安 明 性 を 示 し て い る も の と 判 断
される. 凶 3
.1
9(
a
)と (
b)
とを比較すると.
の範聞で平均 s
t
c
p1
c
n
g
t
hは純径の 50-300倍 程 度 で あ り . ヂ 均 s
l
C
pl
c
n
g
t
hの r.に対する
f
!1-られた平均 s
t
c
p1
c
n
g
t
hのデータはやや小
変化は. p
i
c
ku
pr
a
l
cの そ れ に 比 べ て か な り 鈍 感 で あ る こ と が 実 験 的 に も 留 め ら れ た .
さめの傾向にあるが.オーダー的には同・で
c
n
g
t
hの直俊測定は.柿訴UJか 人 き く な る と ， 計 測 が
ところで. 11 説による砂~の stcp 1
ある.関 3
.1
9
(
a
)
.(
b
) よりわかるようにシ
.1
9
(
b
)に は 実 測 さ れ た 流 砂 量 qoとp
l
c
ku
pr
a
t
cP
. より式 (
3
.3
)に 基 づ
間態となる. 同 3
J
結果より小さく，
ミュレーション結果は災iJIl
間接的に :
.
t(
1
面された s
t
c
p1
e
n
g
t
hを 示 し た . 岡 中 に は . 篠 !
J
;
t・1
(
5
;3 .尚僑.、のデー
4
3
l
較したもので.中)11. 辻 本 " 矢野・土足 ・道 上 S らの結集も併示しである ..
1
よい描読 jJ
いて，
"
'
・
1
01
，
)
.
2
0 ，
'
1
( 接測定と I
同 3
I
Ut
f
H山
:
2f
これは本シミュレーションでは宅慮、されなか
の比較
った衝突現象における突起砂粒のずれ動きと，
タも例，)， (されている.
1
0
"
(
o
b
s
e
r
v
e
d
)
衝突時の抗体 )J の ~jめという 2 つの効果に削
VI
*
V
3
台
司 。
l
EJ
三
_
.
:
_
_
ー
ー
ー r¥
t
1
r'\ ~ 丸 ìmLlI Atpd
α
V
3
・l
T.
1
00
(a) 衝突出前 .[1'[後の砂絵速度の期待値
同
3
.1
8
I
r.に関する'Xl
J
l
J
l*
，
'
;!.Rとシミュレーション結
果を併不したものである. W~J された α八は
r
1
￨
同
αA
凶・
3
.
2
1は. s
t
c
pl
c
n
g
t
hの 変 動 係 数 α 八と
ー
国一
w
E
Ll
1
0
次節で検 dを進める.
α
V
一 ー
〆戸
1
00
係したものとJ5えられる.この点については
1
00
.信
1
0
-1
t.
(b) 衝突u'i前・[I
'
L後の齢、純 jiJ.曳の生動係数
0
.
1眼目Eまで. 0.8-1
.0
程度目
でほぼ
r.が そ れ 以 上 に 地 1
.
A
1
す
ると減少傾向にある
J
i
. シミュレーショ
・
八
c<
1
1
0
-
定
であるのに対して.
Jに関わりなく α
ン結呆は掛泳 )
実験結 果 と シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 果 と の 比 較
4
・l
10
図 3
.
2
1
O
.9托度
(l^
冒
食
1
・2
1
0
の実験納と
，
dn似の比較
で・定俄となっている.これはモデルで考慮されなかった河床砂村のずれ動きに伴う辺動
14
nU
J
今
14
、JnU
t
c
pI
c
n
g
t
hの停止に関わって，
量鍋失綴備がs
λ
齢、粒運動に伴うィ、脱日IJ1
1を緩和するためと
"
.;'えられる.
入
3.
3
.
5 均質場における s
t
e
pl
e
n
g
t
h
の確率特性の簡易表現法
内
t
nU
‘aa
内
l
t
nu
;
¥
'M
3
.
3
.
4で述べたシミュレーションに従えば原理的には不守新t
I
. )
:
.
t，'1
t-:t，のぬれ場にお
t
e
pl
e
n
g
t
h，m
o
v
i
n
gp
c
r
l
o
dの特例 Mが求められる.
J
t
.s
ける任立の件前における砂約迷 I
逆にこうした幼ではシミュレーションによってしか特件既は知り仰ない.ぬれ. 1
"
1休 条 件
が疏下方向に均質・ 一 線な織においても砂純の速度分布まで:i:~しようとすると 1: 記のシ
ζ
(
a
) (1'[接測定された、ド均 s
t
c
pl
c
n
g
t
h
nu
1
0・
l
0
1
0
l
n
u
1
l
τ*
e
n
g
t
hについては. ィー焼刑判:を-fflI紛争.1)した形
ミュレーションが避けられないが， s
t
e
pl
1
1
0
τ
*
0
10
(
b
)間 接 測 定 さ れ た 平 均 s
t
e
p1
e
n
g
t
h
!
o
凶'
3
.1
'
J
i
.J
c
p1
c
n
gt
9 .
st
hに 関 す る シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 集 と 実 測 他 と の 比 較
J
-56-
で簡便に求めることができる
t
c
pが 縦 続 す る か 百 か に
t
e
pl
e
n
g
t
h には回 i
c
r
os
こ れ ま で の ぷ Aより明らかなように. s
1"1:が凪も関与しており.これに比べると衝突
関わる突起日さの小規Jtl
J
できょう. したがってここでは柿流過程を次のように簡略化する
-57-
n
u附 は 十 均 飢 で 代 m
すなわち柿抗砂は般脱
後 あ る い は 衝 突 後 IU.
ちにヂ後1速度 V.に 注 し そ の 速 度 で 守;
1
1
1
1隔 に 配 i
l
tさ れ た 突 起 に 衝 突 す る .
そ の 間 隔 は 式(
3
.
3
8)
でうえられる
態にあるぬl:~p 。 を用い，式 ( 3.
柑疏カに対して地加0
0数 ) .
5さ は 式 (
3
.
3
6)
でうえられる、ド均偵を持つ指数分。iに し た が う . 突 起 に 衝 突 し た 時
究起訴.
のm
l
c
r
o・st
c
p(突起間隔と
A
1p‘uc
(
3
.
5
3)
P
o~
ここでは. trtJ~! のため p 。を初期移動8(1'本(絶対舵ネ)と l
，
1
i 悦する.
a
v
l，
(式 (
3
.
5
3
)) の 場 合 の 計 算 鮎 民 を .
凶
3
.2
2に n1
.2
n=
O(式 (
3
.
5
1
)
)及 び シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 果 と 比 較 し
て示した.
八 三 一一一一一一回
IP.
.c
闘3
.
2
4(
a).(
b
)は 直 接 測 定 . 1
1
1
1l
t紙 記 さ れ た 実 験 f
位と比較したもので.
し。
同より
nc2と
t
e
pJ
c
n
gt
hの 式 (
3
.5
3)
は実験値の傾向を良好に出しているもの と判
して修正された平均s
c
x
p(.ム..
/O.o)
断される.
(
3
.
5
1)
(
3
.
6
))と も 幼 似 し て い る . な お . 式 (
3
.5
3
)は小 J
I
Iら が 衝 突 に よ る i
逆境J
}
量抑止のみをJ5え，提案した式と l
，
i
J
mの 式 と な っ て い る . た だ し .
3
.2
2中 の 実 線 で I
J
'す よ う に シ ミ ュ
'
I
JJ
il
らは.移動 l
ふ*
l
J思
をs
L
e
pl
c
n
g
t
hを 抑 制 す る ん 向 の み に 作 用 す る と し て い る .
内J L
n
u
l
-f
tしている.
的J
E祭 よ り 誘 導 さ れ た B
a
g
n
o
l
d式 を 流 砂 量 と し て J
I
H、て
この傾向はエネルギ
逆 拐 さ れ た え (式
式(
3
.5
1)は式 (
3
.1
3
)と 1
，，)じ内科をよしてお
レー シ ョ ン 結 果 と 良 好 に
L。
一一一一 ・
一
一
ー
1
1
)じ長さ L。を持つ)の巡動線航路:
本 P，uc は 式 (
3
.J
6
)で，;1nされ .
*
，
t
;，}J
千均 s
L
c
pl
e
n
g
L
hは 次 式 で 愉 1
れに求められる.
り. 凶
5
1)を 炊 の よ う に 修 正 す る .
n
u
J
令
-
n
u
A
-
J
内
効 突 起 間 隔 の 2次 モ ー メ ン ト
また、ド均イI
までが既知であればその変動係敬は容易に
求められ.結集を次に
i
'
i記する.
λ
1
0・1
τ*
1
0U
U
門
1
八
崎
正
Jp，.，+(
Ip，，
. )αxz
α
λ
(
3
.
5
2
)
凶
凶
2
1
0
3
.2
2 平 均s
t
c
pl
c
n
g
t
hの 岬 仙
3
.
2
3 は 上 式 を JIJい て 計 怖 さ れ た 変 動
係散とシミュレーション鮎*とを比較した
I
t
;
_
(
)3
.2
3 均 質 場 で の α八
J
i
，
~ð 流 )J の人きい範聞では運動 llt の1J1~人の効呆が大きくなり.
s
t
c
p1
c
号えられる.こうした衝突時における突起砂粒及びその隣接砂舵
n
g
t
hは 抑 制 さ れ る も の と :
を合めて n側の砂純が動く幼虫を. 治 体 力 変 動 に よ っ て 決 ま る 移 動 確 率 と 関 係 づ け る こ と
に す る . す な わ ち 流 体 力 の 変 動 と 移 動 床 効 果 を 考 慮 し . 1f
械の砂勉が衝突によって n
J動 扶
-5
ぷ一
t
m弘法と実視11と の 比 較
3. 4 s
al
l
al
i
00
粒子の涜送過程 に関する 検討
u
i
j節まででは，平均運動出がm.く砂純(;t1
1
1
1断なくか1
'~，~~ 1・
4
少抑止
があげられる.帰流 )
Jの 小 さ い 範 開 で は ， 流 W)
Jの 変 動 と 突 起 高 さ の 減 少 に よ り s
l
c
pJ
c
・
(
b
) 間接測定された‘V均 s
t
c
pI
c
n
g
t
h
3
.4.
1 s
a
J
l
a
l
l
o
n粒子の運 動h程式
移動砂位の運動車損失を ~LI. しなかった点
l
却
し
n
g
t
hが.lf
n
u
1
00
l
I合
n
u
1
0
-1
3
.
2
4
*
凶
には .1見明しえず，その~凶としてこれは流
1
1
0-
‘
，
(
a
) [1'(接測定された子均 s
L
c
pI
c
n
g
l
h
りぬいでは、ド均 s
t
e
pJ
c
n
g
t
hの 傾 向 を 十 分
きに伴う支質的な伝効支起尚さの滅少及び
h
u
*
弓ンゃあるいはそれを簡略化した本節の取
現象そ組定し，衝突時のかH~ 砂純のずれ動
0
1
0
τ
今
t
EA
司
nu
、EA
nu
t
勺
3
.
3
.
4で 行 っ た シ ミ ュ レ ー シ
体)
Jの生動を無撹した同誌:体的な係性衝突
-nU-
1
ところで.
lnU-
。
A
も の で あ り . 良 好 な -I立を見せている.
徹
t
t触して.ii動している
fの i
盤
強J
Iに つ い て の 倹 dをねった.怖がt力 が 大 き く な る と 必 動 I
f
l
lが向くなりかJ
体的!との
関 わ り が 少 な く な り ， 衝 突 ・ 以 先 叫 に の み か'
1
aと の 関 わ り を 持 ち . ま た i
l
l動 組 成 も Ml
みか
u
ら総慌の数{たれ 曳 の 高 さ ま で j
ムがる.
こうした巡動は小銚蹴(
s
a
ltat lO n))~ A.で1v:1JJ.し.
;対抗砂の(/イE6
i
i
P
容の鉛直方 1
<
'
)分 命 と い っ た 概 念 を 用 い て 取 り 倣 う の が 適 切 と 思 わ れ る
-5
9-
ま
た
，
t
母流砂から坪逝砂への遷移といった機織を考える上でも，
~.~流砂.ì!動を sal
t
a
t
i
o
nで
代袈するのが ~l ましい.
V
saltation巡 動 す る 位 子 の I
D
J
c
r
o.
s
t
e
pの 特 徴 は 衝 突 前 後 の 移 動 巡 肢 を 初 期 条 例 ・ と し て .
n
V
掃洗濯動の不規制作はs
a
l
t
a
t
i
o
n純 子 と 河
衝突間備は運動 J
i 式より総定されることで，
床砂純との衝突・反発事象によってのみもたらされる.
x
x
8
dVp
I
d
t
2
ρ(σ /ρ !
CM)A3d
' -一一 ~ Co- ρ A2d2
U
Vp
(
3
.
5
9
)
d
f速度ベクトル， u
(u
流速ベクトル， G
(
3
.
6
1)
ν
である.式(
3
.
5
6
)， (
3
.
5
7
)を 辿 な さ せ る と 解 析 解 を 得 る こ と は で き ず ， 散 1
1
(
(骨1
1
1を わ う 必
1
I
L)
J係 数 の 形 を R
u
b
c
yの 式 形 を 用 い て 次 式 で 与 え る .
1のィ、胤日J
I
継続跳躍モデルでは， s
a
lt
aL
io
n蛇
辻本・'" J
要がある.
fの 流 ド ん l
i
'
J巡 瓜 は i
k
a
.
;守与すること.また粗砂を対象として CD CDO (一定〉を 仮 定 し て い る . こ う し
た取り彼いは解析解が符必に得られ.モデル締成の見通しが良いという利点かあるものの骨
d
(
3
.
5
5
)
ν
このとき， s
a
l
t
a
t
i
o
n巡動する砂位の熊次元イヒされた洗ド方向. 水 深 J
i怜j
の巡動 }
J程 式
は次のように与えられる(凶
fTOiρI)gd'
d
.
(
3
.
6
0
)
(
3
.
5
4
)
.
f
UJベ ク ト ル で あ り ， 他 の J
己けは
Vp
。ρlC
1
2
A
:
一一一 ・一一一一一一一一
A
3 0 'ρiCM d
.
M
速に l
丘ちに
u
b
V P)
これまでとおりである.
R
e
一一
ー一一一一
一一
2A， 0 I
ρ!
CM
c
+ρ (0 ρI)A3d3G
a
lt
ai
o
n村.子の代 A速 度 の う え 方 に よ っ て m
l
c
r
o・s
t
c
p-jえのは締りが人きく火な
流下方向の s
l逃 砂 へ の 遷 移 と い っ た 問 題 を 取 り 倣 う
るという問題が成る.さらに ，f
J
:
においては.柑
洗面品、の運動特例:に及ぼす粒絡の幼*を明らかにしておく必要があり.抗力係数を式 (
3
.
5
5
)
で与えるべきである.こうした点から本節においてはぷふ的には式(
3
.
5
6
)， (
3
.
5
7
)て'
s
a1
3
.
2
5参照) •
続下方向:
d
t
一
ConA.
1j(のように去される.
d
v
.
y
y~
d
l
i
:
?
古水制t
'
1
'を 巡 動 す る t
j
t -位 チ の L
a
g
r
a
n
g
e的 な 立 味 で の 運 動 方 特 式 は ベ ク ト ル 虫 不 し て
ここに . Vp 舵
(
3
.
5
8
)
fT(iiρ・I)gd
a.
j(
0V.)2・
vf ・
(
Ov
.
) b
'
(
O七〉
(
3
.
5
6
)
命
t
at
i
o
n役 イ・の 運 動 を 考 え る .
しかし micro ~ step 自体の不規則性が衝突・反発 ;Jf 象のそれに
比べて無彼できる場合には
I
D
i
c
r
o・s
t
c
pの 運 動 方 程 式 の 精 度 が f
処分治ちても.拙流i
必料全
体 の モ デ ル の 中 で は ぬ ドi
i
l
u
J・鉛u'
f
方 向 の 2式 を 独 立 に 級 い . 簡 11に s
aI
l
a1i
o
nモ デ ル の
1
'
1 'i
k
特徴をよ現することが中ましい結合もあるものと考え，こうした点の倹けのため鉛 1
水深方向:
下J
J向 の 2次 Jじの.i!動 J
Jf'~ 式の数値解と，鉛直 Jj 向のみの 1 ，次 Jじの解との比較ぞれう.
d
v
.
d
t
a'
'
/(
0 V.)2tVy 2 ・( れ ) i b・( 丸 )
c
(
3
.
5
7
)
s
a
l
t
a
t
i
o
nN
:f
.へ の 行 川 )Jが示 )Jと鉛 i
丘f
j向の抗力のみの幼イ干の s
al
l
at!
o
nの 運 動 J
Jf
'
，
'
式
は，式 (
3
.
5
7
)に も と づ く と 次 の よ う に よ さ れ る .
d丸
一一一 ニ aI
V
.I
y
d
t
(
v
.
) b
v
y
-
c
(
3
.
6
2
)
このとき.初期条例としての鉛U
'
i}
i向 初 速 度 v。に対する解 V(t)は 次 式 で 表 現 さ れ る .
上昇時:
(j) d.>d.
.の 崎 合
、‘，，
E
t
-、
-
(
3
.
6
3
)
E
BJ
•.
.
Z
，
，
‘
、
・
nH-'
、
g
、
置
mMnH
﹃
-Fb
-L-au
圃1
・
C
‘
a
u
乙v-'i
V. :
t
;
_
43
.2
5 saltation軌 跡 の 定 義 図
p
o
-60-
y 0を与える t0 (
saltation~ 始時刻〉でない方の t が saltaion pcriod T
.で，この間の
ここで.
b
c、
2c
Jτ
2
a
C
z
一
一
ー
ー
V
o iIτ
Iτ
V
o1
ぬ下方向移動制'艇が sallation ]
ength L
，
で
， saltalionモデルの場介の microstcp以とな
b
fτ
る
(3.64)
J τ 2 c
2
速度に依存していることはつうまでもない. 上記の解析解を用いれば. 最尚 I~ι~.l
l
.は V.・ 0として次のように求められる.
一 -tvo t一一
l
.
=
T，時の粒チ述 I
立が Vy(T
.
):Jx発 l
直前速度である.これらが偽:率変数としての初
また t
_
(
τ
。
2
v
一一一 l
a
n. (一一〉
f τ c .
(ii) d.<d..の場合
lC. ・e¥・
C
3・
Ic
..e
・
Vy
1
b+
R
4
一白
q
一 In(
_c.)
b/
Q
ア
t
.
(3.65)
C
s
d
.>d"
4avo
ここで，
隼
b(2avot
b
)
R
Q
'
q
t
.
tR
2
a
一方.最高点のぬさ H，は次のように y(T，)によって求められる.
2
avo1b _
(
γ
c
.
b
(3.66)
七(
1
+
+
示
。
弓ν
)台 (
ぞ
)
C
s
2
a
v
oIbtj
可
ア
2
a
I
n
(
1i
i
)d
. d"の総合
1
b
Vy
t+2/(avol
b
)
-ln
(3.67)
- _.
a
(
3
.7
1)
d
. d
.
‘'
C
3
d
.<d.
.
a
ただし， d
.2.は次式で与えられる.
C
(3.72)
去τ
)
河川乙に到述するまでの 0
.
1
1
1
Uは.次式を満たすし'としてうえられる.
~ln [~γfm~l 二子
(3.68)
下降時:
V
./Wo包
V
. =C
s'
C
a・
2~ア 1
(1
L
1
τ
7・τ
:
ァ
ァj
÷ln(÷
.
4:sphcrical particlc)
1
0
8 (d.. 1
6
.
4 (
Co
o0
2
.
Co
l
d
.
.
7
.
3
(
C
o
o 0:natural sand)
o
2
d.
an
(3.69)
(3.73)
1(
w0 :沈降速度)の場合には，式 (
3
.
7
3
)の解は次のように近似される.
ぃ 応lρ 京 宝
(3.74)
ここで.
また， micro slcpの 運 動 緋 紙 時 rmT" ^止終糸ド迷度 V，
( v3 y(
T
.
)
)は，次のように υえられ
b
C~
C
7
2a
C
a
!Q
る.
2a
(3.70)
b_
(
τ
T， t t
.
'
11C1'CXp{
bl
_
(
τ
(3.75)
p守
V.
パで}
[
c
p
r
;
}
csCe-lC
7・
CXp{
である.
-62-
ー
I
i
:
l
-
(3.76)
組 砂 (d
.→∞)を対象にすると，上記の解はさらに簡単になり次式で表される.
し
=
走
…
[
/
子
r
s
f
h
V ]
r
H
s
r
L
内
iu
1
1
0
ι
a
1
nIc
o
s
(
.
!
す示亡)I
n
u
，
内-
ー
‘
‘lU
S
1
1， =
d~
(3.77)
(b) 運動特性置の比
p
T
. =t
n {scc( [aë ・
-I
・で三:
.
Ja
c
ぃ
I~I
tp) f tan(~. tp)}
図 ー3
.
2
6
凶
Hlanh { 四 川 )}
1
.2
次元の運動方程式の解の特性
3
.
2
6
(
a
)は d.
-1
0.d.1
03として 3者の解を比較したもので，
細徹子の s
a
l
l
al
i
o
nを
扱う場合には枝径(粘性〉の効果を '
;
'
r
'すべきことがわかる.また肉
3
.
2
6(
a
)ベb
)は. s
al
l
al
i
o
n軌跡の特性 i
.
tである紋高点高さ H，.移動距縦 L..続 F1
'
f
J
3
.
2
6
(
b
)は 粒 1
をけん
r.O
.5
の場合の粒径の変化に対する連動特性 M
:の比(数 l
f
f
(
解
性〉の効思の検討のため.
l
直:0 (
arctan(v‘
Iv
，)
.v
，衝突直前の砂粒子のi
kドh向速度)について. 2抄{J己の方
.1
OH
'J
j(で両訴の比はほぼ・定で，
に対する靴径を考慮した解析解の比)を示したもので d
n.
c
tの 数 値 解 ( 式 (
3
.
5
6
)
.(
3
.
5
7
))と l次元の運動ん料式の解析解(粒径を '
;
1
1
.した解及
lのオーダーになっていることがわかる.すなわち. d.
が1
0科度以上の粒径の砂であれば.
びfIl砂に対する解〉とを比較したものである.たたし初期条件は鉛直方向速度 Vo 2./古川
s
a
1
t
a
t
l
o
n
純 子 の 流 下 方 向 の 平 均 診 動 速 度 を 適 切 に 選ぶこ とにより. tv:徒を考慮したお}O
'
j
発射角度。 o 2
0・とし. 1次 Jじモデルでは衝突 l
i
'
iU
i
J
の旅干方向の砂紋速度 V，をす均成 I
l
bで
i
c
r
os
t
e
pの運動特性最を表示して長し支えないものと考えられる.
1次元の }j程 式 の 解 で m
凶
の
d
T
G
.
i
選 V..で代用し，次式でうえられるとした.
。rr寸
m
程式の数制解と解析解を比較したものでほぼ傾向を去している.
円円)
(
3
.
7
8
)
1
n{3
0
.I
X
=
ここに . xは E
i
n
st
e
i
nによる流速分布補正係数である
1
0
Z
l
，
'
C
，
叫'C
"
1
01
，
・
C. 1
0
，
:
..
Y
.
'
.
'
司
.
.
.
ーノγ
a
‘
‘
以上の結果，
r
'
-
粒径の効果を.;. すれば
l次元の方碍式で允分 s
aI
l
al
io
n運 動 の 特 性 が 記
述できるものと思われる.
(
2
.
2
.
2参照〉
1
‘
1
0
，
d
l'
t
s
J
L
/
'
V
3
.
2
7は う え ら れ た 鉛 直 方 向 初 述 j
立に対する最高点 H，の実験結果と s
altaUonの.i!動 J
)
"
s
'd
r
'
3
.
4
.
2 s
a
l
t
a
t
i
o
n
粒子の河床面での反発事象
s
u
c
c
c
s
s
i
v
es
a
l
t
a
t
i
o
nの理論においては，衝突時における流下 fj向の運動誌の鉛 1
'
"J
)向
a
l
t
a
t
i
o
n継続ひいては sl
c
pを決定する 機情 となっている.飛@、 I8) あ る い は 機
への変化がs
1
1
0
F
、
H
n
，AfU
3
d
2
0
1
0
0
1
0
e}
t
I
e
udu
y酬
0R 凋
も
底 (日
S
n6
60
'16
s
a
S
0
・
。
.
.
o
。
。
・
1
01
2
v
o
(a) 粒 径 の 効 巣
凶
国
3
.
2
7 運動方程式の適合性
3
.
2
6 1
.2
次元の運 動 方躍式の解の特性
d
p
o
、
，
-64-
械工学の分野 2
・) •
:
!0)
においても総統s
a
ltationの 研 究 が 進 め ら れ て お り . こ の 運 動 l
i1の転
¥"3.
r‘
(
β 10.
):
=-
V，
.
燃機織に仮知的な反発而が導入されている. しかしながら，こうした分野においては s
a
l
t
ati
on長が J
I常 に 長 く 停 止 に ヤ る こ と が 少 な い た め . 統 れ に 対 し て す 均 的 に 傾 い た 以 発 I
[
n
を仮怨するとともに，その納も尖験的に与えることが多かった.
f
.
c
o
s
:
β
β
C.
Sln2
c.r
a
n
θ .
sin(2β)
一一一 ・t
2
，
(3.83)
垂11
'J
)向 :
中川ら'"はこうした暖
臥さを排除し.iP位後程度の r
r
l凸をイf
する齢、白へ衝突・反発する際の不規則性をそデル化
することが帰抗 i品開のモデルの合l'~
~
V..
r
.
(
β I0.) 己 ーー
，
'
¥.
1
1
.を保つ上で I
f
l要であることを術嫡した.
や
β
.
s
i
n2
COSZβ.f
cl
f
i一一一 ・一一一・ sIn(2β)
2 t
a
n6.
(3.84)
u
-
' "~ 11 砂純の位置，形状.周辺枝子による遮蔽などの~ふがあ
実際の M WにおいてはかJ
り.それらすべてをモデル化するわけにはいかない
s
a
ltalionの継続を考える1.では M
以 Lの 文 配 }j位 式 に 従 え ば . 仮 想 以 発 I
l
uの傾斜角 β ， 衝 突 時 の 動 熔 娘 係 数 J
l • また.ず
も，f(~な要訴は人身、I 条件に対してどの様に運動品が転換されるかであり.本節でも辻本 ・
れ動くかI
床砂粒の巡動掻Wvbが 評 価 さ れ る と 以 発 前 の 述 J
立ベクトル u (¥，..、， .)に対して
小川にならって仮惣反発面を想定し.通常の反発の )
J学が適用 z
可能になるようにする.
.
， ¥"s.)が与えられる. 反 猪 係 数 c
. 動同高娘係数 flkについて
反 発 後 の 速 度 ベ ク ト ル u.(Vs
この以発 :Jf 象に i則わる~五' は:，
はこれまで検討されているが，移動 i
ネを特徴づける衝突 ・反発に伴う巡蝦Il
J
l
の吸収分散の
tt純
IIU の回イi の jぇ発係数，衝突自主の ~l務係
tが不明である. したがって，ここでは fの値を-)どとし，
特t
数，衝突による Ml
ふ静止砂絞の移動・
締抗力の増加に伴い式 (
3.82)の第 2I
{
t
は 減 少 傾 向 を ぷ す が 那 3項 は 地 加 傾 向 に あ る も の と
1
.
ずれ動きである.こうした要泌を宅 1
身 え ら れ る の で fの 似 と し て は 大 き な 主 化 が な い も の と 仮 定 で き る .
cとともに実験定数とする.
運動 1
&
1似イ子則
(
Jに対して仮想反発的jの 傾 斜 角 が 縫 何 的 に 惟 定 さ れ
仮想反発面の特性については.人射1
を適用する.ただし，移動砂利との衝
民党モデルを JIH、る. 則被ら， 2) は 3次 Jじモデルを
るべきことより辻本・中川")の 2次 Jじl
し，凶
3
.28を幸則し，
1
T1
.砂 粒 ( そ の i
1i
，
l
をM
突によって ， ，
x
で代.>>.させる〉は v で流下 }
i
l
;
'
jにずれ
動くものとする.この時，
i
!
t楽し辻本らといl
ぬのシミュレーションを行って
いるが結果はほとんど愛わらないことから.ここ
由
一
ー
-M~b
t
で は 見 通 し の 良 い 2次応モデルを係J1Jした.この
ε-( '
fu
n
‘
での運動 h
削減(fU
I
Jは次のとうりである.
凶
3
.28 衝 突 ・ 反 発 現 象 の 定 義 国
3.29 の よ う に 粒 状 体 か ら 締 成 さ れ
モデルでは図 -
l
nに j二万斜めから総子が衝突するときの反発面
るr
傍線方向:
m
(f
' f) +出
・ Vb ・c
os
β
ー
μR
(3.79)
法線方向:
が想定されている.この r
f
nは入射 1
t
Jや衝突する床
&純 子 と の 相 対 悦 位 に よ っ て ラ ン ダ ム と な る .
面機 J
凶3.29 を 参 考 に し て 仮 想 反 発 而 の 傾 斜 角 βは次
m(η.η)
M.Vb・
sins
t
1斜!Ji向の j
ぇ先係数を eとすると.
R
(3.80)
η'と η とは次のように関係づけられる.
η e
・η
(
3
.
8
1)
式(
3
.
8
3
)
. (3.84)より法 線 五 I
I
J
jの抗力 Rを消去する と
，
流 下 }j向の述 J
J[変化の式が得られ
'Ifと定義すると，次式のように得ける.
る. f f
f
'
r
ト μ.(1
+
c)la
n
(0・β) 一一一 ・(
c
o
s
β μ‘
sinβ)
mf
同 3
.29 2次)1:.反発モデル
(1
'1J
1・辻本による)
のように汚ける.
…(当子)
入射角 O が確定されたとしても，
(3.85)
人射する純子の通過 f\~ i
斤により βは 分 化 す る こ と に な
1
(
Jの条約十l
きで
る.凶 3.29の TS聞にランダムに分命している.このん仏を川いると人身t
{&~lJJl..発而の傾斜 1'J の分布を得ることが /1\ 米る.
(3.82)
}
J， 入射 1~ 0 と仮想反発闘の角度 βが う え ら れ る と 式 (
3.56)， (3.57)よ り 以 発 前 後
.30(a)， (
b
)は3.2.
3の 実 験 条 件 主 2
.
1中の Run3
6に お け る 人
の』創立比が与えられる.凶 3
，
./Y
，
.
， Y.. ' Y ，.の、V 均 f~ の変化を 11' したものであり，
この時洗ド H
I
I
J
j，主[I
i
'方向の衝突出J後の述度の関係は次のとおりである.
射角 O に対する V
同小 (c. f)の組
i
kトJ
i
'
句:
合せを適 4に変え，
式(
3
.
8
3
)
. (3.84)にもとづき，砂利を T SIID に・線分化させて li~ n:し
-66-
-6i-
た結果を例示してある.凶 (
a
)， (
b
)より総合的に判断して e=
0
.
5， f0
.
8の 組 合 せ が 妥 当 と
8
01π)0r
である(なお，
ここで. β .=(1801π)β. θr.工，(1
d
e
g
r
e
c主主ぷである) .
.;えられた .
0.. β に本を{・lしたものは
β 川 . β . 什立入.q~角 0 ， ・の聞主主として. 肉
3
.
3
1
(
b
)の よ う に 必 さ
れる.
β.I
β2'
(
)
吋十}
J
(
3
.
8
7
)
3
0{1
"
1
κ
3
.
4
.
3 不規則継続跳盟運動の数値模援
正俊方程式として. s
a
)t
at
1
0
n
の通動 )
J位 式 ( 式 (
3
.
5
6
)，
動の確:終的性以を記述するための J
嗣
国
υ
n
3
.
5
7
)
) .衝突・反発の力学・モデル (式 (
3
.
8
3
)，式 (
3.
8
4)
) そして仮 f
t
t
&
.発 1
1モデ (式
式(
e
a
u司
U
︽
。
向
岨
阻
，
‘
、
HME
幽圃
・幽閉
20
a
z
-
!
幽
一吋一一m
a
E
-n
j
-e=
m
=
‘幽帽
4
0
幽-
V1
d
r
・n
u
-a
3
0
-e=1
2
0
:-o
1
0
n
u
︽
‘
1
o
一
円
一
一
・
=
・
ll U
n
H
V
・
.1
il
e
:
<
p
e
r
i
m
e
n
t
dIv
al
u
e1
3.3.3 と同級に，平均運動面がぬく砂村運動が saltation 巡動で代 Jにされる場介の Mm~ 巡
(a) 鉛 [
1
'
(J
j向 速 度 比
(
3
.
8
9
)
) が得ら れた. これらを組み合わせ， s
a
lt
at1
o
nモ デ ル で の 砂 倣 巡 動 の 敵 前 模 娠 を
(b) 流 ド J
j向 迷 度 比
行つ.
肉3
.
3
0 人射角の条件付きの反発前後の砂純速度比
第 1[
!
I
JIdの s
a
lt
a
t
i
o
nの 初 期 条 例 と し て は
3
.
2.
2
γ 示したモデルのフレームワークでは仮惣反発出の傾斜角 βがs
a
lt
at
i
o
nモデルを
JIIt 、た場合の例外 Ifli 特性パラメータ ( e) であり.その分布 t~ 状を知ることが必嵯である.
式(
3
.
8
5
)にもとづいて，
入 射 角 。 の 条 件 付 き で βの 分 布 を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で 調 べ た 結
eO
.5， f-O
.8) は 次 の よ う な 簡 巾 な 3角 形 分 布 で 近 似 さ れ る ( 凶 3.31(a)宰 J
R
D
果 (
2
.
(β.β.I)
(β.I壬 β.<β
(β.2・ β.l):
e
f (β.I r.)
@
次のように設定した.砂、純運動の観察による
ふの粒子と衝
と転勤，滑動していた純子が河 i
a
lt
a
t
l
o
nに移行する. ここではこう
突して s
した制点から議得された次式でみされる l~
ら 1。、の転勤から s
a
l
t
at1
0
nへ の 移 行 速 度 を 鉛
l
任方向初速度 v
。として
・
2)
v。
(
3
.
8
6
)
。
U.
(
o
t
h
e
n
f
ls
c
)
r
Ud・
mいた.
(1
1[2a)
(
3
.
8
8
)
ここで. Ud・ Ud
/u. ( 8
.
5;ydの尚さに t
t
l
l
f
l
I
)
E
-胃
aR
，
危
aRV
t
lSaw
対数則を適用) . U
d
81
6.2
j .5
3
0
z
d
工
である
0/~
o
.
0
6
.
!
-
。
' 1
2
C
1
1
・
2
0 ・
1
0
0
1
0 2
0
飛びl
i
lし角度は 0-π3
の一様 分 布
s
t
c
pl
c
n
g
t
hを評価する上で軍要な停止条
i
'
J
件として.辻本らは反射後の速度の垂直ん l
1
0
!I:
L
Y?
p
?
?￨1￨十 i
。
吋乙
・
二
〆
i
・JO
〆ぺう
成分 v か 衝 突 さ れ た 粧 fの高さム
1
0
3
08.(
・
}
(a) 仮 偲 反 発 I
舗の傾斜角の確率密度関数
r:実
を与えた.
. 川
L2
0
，~/ .
河川J
近傍疏i!l!.
験定数 ( 0
.
8
1
6
) .aCo。ん {
2
A
s
(a I ρ~ C
.
.
.
)}
合
・
0.08↓
:
2
0
~40( ・)
r
0
1
0
1
0・l
-100
T
を越すエ
ネルギーをもつかどうかという条件を課した.
r}!.J1
1
(
i
(
a
)、
胃
(b) 入射角に対する β.ぃ β.:の主化
関 3
.
3
1
t
i
純一
t
c
p
し か し 得 ら れ た M疏 jJの幼加に対する s
l
c
n
g
t
hの 増 加 傾 向 は 実 験 1
(
1より人きい結束と
-(
i
9
-
同 3
.
3
2 s
a
l
t
a
t
l
o
n
l
えさの特性
•
0
1
0
を 探 す こ と に し た .i
F
;
(
:
t
!
.
¥
&
.発耐への入射角度
e
r
a
L
、
，
G
(0 lβ〉 が 小 さ く な る と ， 摩 娘 効 果 及 び M
1
00
d
1
本砂粉の移動により以発角度が減少〈鉛直 J
f
:
01
I
"
J速度成分が減少〉し. s
a
lt
a
t
l
o
n
継続の上
で'
.f¥要な疏ト
，
e
なっており，ここでは改めて次のような条件
•
h[
"
Jへの恥
hl
I
1
J
の運動画t
の鉛ぜ1
"
換 が ￨・分ではなく なる.よって仮想反発砲i
へ
1
1
0
-
式(
3
.
5
6
)， (
3
.
5
7
)を
(a)
3
.
3
2 s
a
}t
at
i
o
n長 さ の 特 性
(b) 変動係数
粒子が止
1
00
6
まるまでの砂利の運を追跡し.結~として，
以発前後の純子i
感度 V，
(V.，
.
V，
，
)
，
V.(Vd，
V
.)
.
人
身
、
，t
1
(
J0 .飛び11¥し角().
， s
a1t
aI
I.
r
a
e
s
5
d
について， t 0
から出発させた後，
3
.
3
4 人射 1
(
Jの特性
1
1
0
H
n
、
，
1
0
0倒 の 枝 子
'
. I
O
C
平均 {~I
悶
AU
，I
R
u
n
g
cK
u
t
t
aG
i
l
l訟をJfJいて，
-
図
とした.
f
l
Ui少を対象として，
n
u
n
u
マ‘
0
1
0
(b) 変 動 係 数
利は停止するものと見なすこととした.本シ
=
(
(
).パβ.
). 1
7
.
5'
ミュレーションで は O..
τ*
-
1
0・l
の人射角肢がある限界似より小さい時には砂
0
1
0
。
向
・
1U
n
u
I
，
，.
m
o
v
i
n
gp
e
r
l
o
dT ・ 平 均 s
t
e
pl
e
n
g
t
h ^tJq~~
a
u
o
nム
a
.
.AH'bぷ?.iiさ 1
1
.
. {反忽反発 I
f
i
J角度 β ，
1
0-1
1
0・
1
ft
られ統計的処却を行った.
凶
(a) 平均 M
3
.3
2
(
a
)，(
b
)に s
a
l
l
at
i
o
n長 L
..凶 3
.
3
3
U
r
内
o.同
1
0
-1
l
に人射角
図3
.3
4
(
a
)， (
b
)
向3
.
3
5
l
-
1
.•
(
a
)
.(
b
)に紋高点高さ 1
3
.3
5
(
a
)
.(
b
)に飛び出しタ1
T合
0
1
0
(a) 平 均 値
O. の平均 i~l と変動係数の実験他との比較を
(b) 変動係数
&.M角の特例.
1
01
v
m
小した.ず均舶についてはほぼ満足すべき私
~をうえるものの，変動係数については十分
な鮎 *とはいえない. 同
3
.
3
6には平均移動
.
[V
'
"の平均仙の結果を示した. 阿
巡J
0
1
0
α
0
1
0
H
S
3
.
3
7に
は他の s
a1
t
at
i
o
nの 運 動 特 性 最 〈 衝 突 前 後 の
.
，v
..
，V
.
.
.V
.
s
.平 均 .
f
r
1
'
f
.高さ E}
'
迷l
.
[
v
.
m
o
v
i
n
gp
c
r
l
o
d
T
.
.. および仮想以発而の傾斜
1
0
-1
1
0
-1
角 βの そ れ ぞ れ の 平 均 似 と 変 動 係 散 を 示 し た .
i
.
l
:
本
ら 1" の シ ミ ュ レ
0
1
0
1
0
-1
1
0・2
(b) 変動 係 数
ションにくらべて砂
t
?~ j))の軌跡が低くなっていることが特徴で
τ*
図
3
.
3
3
最~':i点 ~b さの特性
凶
τ
"
3
.3
6 s
a
l
t
a
tlOn
純子の、v
均移動巡此
が特徴である.
-70-
-71
-
0
τ10
E[;I;
'
1
<
1.
i
3
1
0
3
1
0
a
[
[
:
;
1
)
V
1
y
。
V
E
[
:
;
3
)
3
x
[
[
C)
3
>
"3y
1
C l L _L，
:::::"__rr~
・
T、子J
¥下-
iよ 」
1
白2
'
.
忌ι
Z4V
w
1
02
-
︽
1HV
0
τ3
・ 10
1
01
2
1
0-
(a) 反発前後の速度
1
1
0
1
0・2
0
1
0
1
0・l
0
1
0
1
0・4
1
01
(b) I
I
U接測定された
(
a) 直擁測定された
且
i
'
l
平均 sl
c
p lengthとの比較
E[aJ
。
a
[
[
T
n
)
、
Y均 slep lengthとの比較
.3
8 平均 stcp lcngth の計算似と実験{~府との比較
凶 3
0
1
0
0
1
0
0
1
0
、
~
U
︽
lAHV
n
u
υ
Aー
1U
nu
︽
‘
，
︽
lH
•
l
*
‘
，
合
AHV
l
(b) 、
ド
J
t
J(
f
.f
f高さ
nU
a胃
を
nu
l
l
︽
υ
1
0・l
ペ
(c) 回ovi
n
gp
cr
iod
(d) 仮 偲 反 発 面 の 角 度
凶冒3.37 saJtati
on佐子の選動特性.f
i
l
子均値は合っているのに，
τ
engthの変動係数の J十
J
)
'
.
{~l と 実験値との比較
凶 3.39 step l
との比較を小したが，その平均は O
.9
5程度であ った.滑動砂殺のシ ミュレ ー ション と f
i
]
，~革
step length の ~ I J)'結果は実験 f
nにくらべてかなり 小 さい値にな って いる
.
1
1
0-
関 3.38に、ド均 st
e
p 1engt
h の実験値との比較を 1
1
'した.図 3
.3
9に は 変 動 係 数 の 実 験 怖
ml
c
ros
tcpの
c
p lcngthが合わないのは， m
lcr
ost
cpの
その集合体である st
ように， )~: ü の雌本変数を巧える.その平均舶は IL しく推定されている幼合，変動成分が
.Aの変動より小さく推定された とすると，その越iAil'
・
1
容は兵のそれに比べて大き くなる .
従って，凶 (b)に示すようにその逆数として 与え られ る 継 続 に か か わる項は，
わ ず か なw
r
mの Aによ って非常に大きな汗を庁むことになる.
p.
d.
f
I
p
s
uc
1
変動成分がうまく記述されていないことにも起附していると思われる.同 3
.40(a)にがす
•• • •
v
arlation coeff
i
ci
ent
"1>"2'03
error of
estl
m
atl0n
L.
_
• ~ prCbabi1
1ty
a Z 1」 戸 内 fexcess
•
"3
。
c
.
.
1 2 3
白
Psuc
凶 3
.41は似:tJ.!以発面への人射角の限界値の変化による step lcngthの 変 化 を 示 し た も の
cp 1
cngthの 平均 値 と変
で.オ ー ダー 的に大&はない.凶 3.42は粒径の変化にともなう st
t
i
c符の小さいもの の }jが 子均値 が 小さ く.変動係数も掛討t)
)
動係数の変化をはたもので .
(a) ，鹿市税 j
立関数について
凶
(b) 継続量について
3
.40 変動成分の評価による総統 J
.
tに及ぼす効呆
に対して減少傾向を示しているのが特徴である.
-，ヲー・
'
ー
-73-
-EEa
i
w
‘
、 nu
入
a
o
β e
f・
c
o
s2
.
s
i
n
z
β
bo
(
e
.f)sinβcosβ
C
o
β f
c.
c
o
sz
.
s
i
n
%
β
(
3
.
9
0
)
3
.
4
.
1で述べたように s
a1
t
at
i
o
nの運動特例!録は平均移動速度の適切な設定によって I分に
内
l
nu
ι
J
解析的に表現される.ここではがtド，鉛[I
t
'J
j向の巡動方程式を独立して級い. 3.4.1の式
(3.63)-(3.76)の 解 で 定 常 s
a
l
t
a
t
lo
nの連動特性量を縫定する. ー ん ， 疏 ト ん 向 の 速 H
lは
3
.
5
6
)において Yy0とした運動 J
j程式の解として次のように去される.
式(
l
b
O(
l
'
:
d-Va
.)
Ud
EA
句
ム胃
定常 s
a
)t
a
t
i
o
nは式 (
3
.
8
9
)
. (
3
.
9
0
)を泌たす V
I・
民
.
4
1 限界人射角の中均 st
e
p)
c
n
g
t
hに及ぼす影響
凶 3
(
3
.9
1)
a
O
(
U
dY
I
.
)
{
C
x
p
(
b
o
T，
)ー1
}
'
b
o
e
x
p
(
b
o
T
.
)
U
内
︽
U
‘
，
内
A
t
nu
・
'EE
︽
U
1
0
-1
V1.
V
l
y
. Y
s
.
. Y vの組介せとして r•
河
の関数として求められる.計算に判つては c0
.
5
. f0
.
8とした.また βの手均 f
l
i
lは先のシ
2
.
5 とした.
ミュレーション結果にもとづき β. 1
.
・
定常 s
a
)t
ati
o
n長さ L
..
はL
. 1・
Y
1
'
1)
jJ
I
Jの連動ん位式のみから仰ら
mでうえられる. 鉛 1
。
λ
れる成高は 2 次んの解より大きくなることを考慮し.平均移動速度を~(~~と，，'，接関係f.lけ
ず，、Y均移動ilJ!1
立Y
1.と Y
s
.の、F均として与えた.
m は次のように Y
1
00
YI.~VS.
Ym
(
3.
9
2)
2
結果は阿 3
.43(a)-(
C
)に不す j!Dりで図 3.32-3.34のシュミレ ーション結-*と比較して k
1
(
;
s
a
l
t
a
l
i
o
nの解の精度はそれほど忠・くはないものと判断される.
1
1
0
τ
.
lcro stcp を構成するか~かは，反発時に出現する ~~!Jぇ発血の係:
さて.反発時に次の m
*
τ
率的特件に支配される.すなわち.次の m
l
c
r
os
l
c
pを形成する限界の βを β電 い
(a) 平均台((
(b) 変動係数
ると
β<2とす
m
i
c
r
ostcpの継 弘 政 率 P
..<，ま.
凶 3
.
4
2 s
t
c
pl
e
n
g
t
hに及ぼす粒径の効果
β‘2
P
.c
3
.4.
4 定常 s
u
c
c
e
s
s
i
v
es
a
l
t
a
t
i
o
nモデルに よる s
t
e
pl
e
n
g
t
hの決定限婿
ところで単に s
t
c
pl
e
n
g
l
h推定にとどまるならば 3.
4
.
3でボしたように、ド均的な移動距献
a
lt
a
tlOn
の飛距艇で与える
と継続紘本がわかればよい. いま平均的な移動距艇を定常な s
と.継続 E
在来 P
.・c，ま定常な s
a
lt
a
t
l
o
nの入射角で決定されることなる.
a。 ・ V 1 •
(
3
.
9
3
)
で与えられる.ここで， β 什 . β c<，まシミュレーションと l
i
Jし条件で次のように去される.
β.Iθ • 0I
a
l
t
a
l
i
o
n条件は次のようにうえられる.
定;市;な s
Vs 認
If (β)dβ
1 e
β<I
(
3
.
9
4
)
β.2 β 2
結局 m
icros
l
c
pj
J
(L
。に定常 s
a
l
l
ati
o
n長 L
..を用いて，
bo
Y
I
Y
・
(
3
.
8
9
)
¥
"
3
y二 b
o.
¥
'
I
.'
C
o・
YI
y
を簡中に求めることができる. d. を変えて，j~ 算した結果を凶 3. 4
4にぷすが. d
.が大きい
場合には先のシミュレーションとよくー致している.
-7，1-
式(
3
.1
3
)によってギ，!t;
J
S
l
c
pI
c
n
g
l
h
-75-
1
02
1
01
LS
!11
H
・
￨ 11
d
1
d
f(f)
一
一
一
ー
l
‘(r)
(rf)
(
3
.
9
5
)
1.
CXp(・r
f)
I
s
ここで， ，富市常 I
J
r分作fは 1
正 飲 化 (f.
:0，/
E
:
i0，)) されており
s
h
a
p
ep
a
r
a
m
c
t
c
rであり. 同 3
.
3
4
(
b
)より r
(=l
lα りは 4 (
α
O
.5に 対 応 ) 刊 I
立である.
θr"- ， "0，
0
1
0
1
0・
r(・)は gamma(1ij散. rは
このとき.
ギ均入射角 0，
の 条 例 付 き の 反 発 面 の 傾 斜 角 βの 舷 市 街 j
皇l
約数は炊のように
修正されるべきである.
、
A
M
e
r
n
o
n
u
l
入
qt
n
u
A
n
u
l
今
正
'aA
n
u
qζ
2
1
0
EA
唱
1
0‘2
n
u
1
01
図 ・3
.4
4 簡易法による、ド均 st
c
p Jc
n
gt
hの 評 価
(a) u
'
f接 測 定 さ れ た
-E&
I
n
u
・
E
t
内
Ea
nU
、・
14
nU
-aA
司自み
命胃
nU
n
u
‘
，
A
3
・
・
n
u
----
今
t
，
‘ nU
EA
唱
n
u
‘EA
-A
司
n
u
n
u
*
‘
マ
EE
-EA
U
内
、・
L司
EA
句
ム
U
内
〆
BA
内
句
aU
T
1
00
念
(c) 人 射タj
τ
*
0
1
0
(b) 間 接 測 定 さ れ た
l
c
p]
c
n
g
l
hとの比較
ず均 s
ところで，
r.
が
J
笥
入
d
a
句A
nU
‘
、‘
aa
J
今
n
u
・
1E
nU
角
4d
入
同 3
.
4
3 s
a
l
t
a
i
o
nt[fの 運 動 の 特 性 量
(
3
.
9
6
)
O
.I
以上のデータをよく 1
.
見l
リ
jできるようになった.
凶 3
.
4
3 s
a
l
t
a
i
o
n純 子 の 運 動 の 特 性 i
止
8r
。〉 ・
f(0.
)
d0r
凶 3
.
4
5に 修 1
1"された βの磁・市街 I
.
s
.関数を月H 、た計弥結*とその文泊J
I{
I
"を 示 す が
(
b
)s
a
lt
a
l
i
o
nの段 I
I
I
J点尚さ
(
a
) sallatlonUさ
r--tltJ
0
1
0
fo
-EA
・
-EE
AU
崎
正
'EA
U
内
，
*
@
加
f (β)
-E4
U
内
内J'﹄
l
'
*
n
u
A
，
、
n
u
-
nU
1
0・1
0
1
0
平均 sl
c
pl
c
n
gl
hと の 比 較
凶 3
.
4
5 平均 s
t
e
pl
e
n
g
t
hの 実 験 的 好 価
s
a
l
t
a
l
i
o
nモ デ ル に お い て 無 線 し て い た m
i
c
r
os
l
e
p内 で の 流 体 力 の 変 動 効 呆
.
3
4
(
b
)に ぷ す よ う に 変 動
は人射角の変動という形で現れてくる.実際.実験によると凶 3
しており. W~命的に求められた変動係数より実験値がかなり人きく，この超過分が疏体力
図
3
.
4
6は f
f
t動 モ デ ル の 子 均 運 動 面 か ら 測lられた粒子中心のぬさと， 5
a
!t
a
t
i
o
nモデルよ
変動によって持ち込まれたもので.これまでのモデルに~慮されていなかった分と J える.
り 得 ら れ た 平 均 台 作 品 さ と 比 較 し た も の で r• -O
.I
で 両 者 が 交 Aしていることより.
この実験によって斗えられた変動係数を用いて入射角の分街を次のような g
a
m
m
a分 布 で 表
程度の n
l
d
t
t力 か ら 2つの巡動形態の4i起が遷移することがわかる. 凶 '
3
.
4
7は 式 (
3
.
5
3
)と
す.
式(
3
.
9
4
)でぶされる、子均 s
t
c
pI
c
n
g
t
hを比較したもので，
a
ltaUon純 .
f
-のわJ
If，-が多くなるものと考'えられる.
から s
m/
p
o
一77-
この
<.
'
0
.
2よ り や や 小 さ め の と こ ろ
1
03
I
I I
1
01
淵
目
1 I1
~ 1
I rluct~
λ
Hvl
ペ
ヨ
c
.
.
』
、
ldJti
L
I
Hレ白相
0
s
=1
0
q
s.
.
1
I
】
2
1
0
r
v
t
= "-0
uu
0
1
0
I I1
1ノ骨 !とet:"二d
1
0
・1
1
_
0
1
0
1
0
.1
τ*
0
1
0
1
1
0
、
a
u
内
l
z
，
AU
4
司
l
t
i
4・
3
.4
7 滑動モデルと s
a
l
t
a
l
i
o
nモデ ル
3
.4
6 運動形態による
-
内
t
•
s
'
e
u
A
A
，
‘nu
凶
τ*
1
01
1
0
"
t
e
pl
c
n
g
t
hの迎い
による平均 s
杭{.の仔{lぬさの変化
3
.
4
8 平均 stepl
e
n
g
t
hの近似式
図-
1
0・l
]0
0
凶 3
.
4
9 干後1
婦猟砂母式
の迎合性
3.
4.
5 平衡掃涜砂量の推定 式につ いて
柑抗俗、の縫:終モ デルの 情1&要 E
誌である p
i
c
ku
pr
a
t
eP
.が第 24iで. s
t
e
pl
e
n
g
t
hがみ市
1
ぷでの熊次元平後1偏流砂 i
及Qs・Jま，次式でうえられる .
で倹.Hされ.両.r，の桜として平到かJ
(
3
.
9
7
)
3.5 結 論
本市では.
J
P平衡 M抗過程のがE送特例を代表する slep !cngthの決定機嫡を 1
リ
lらかにす
ると J~ にその定地的評価を試みた.とくに.fu}訴t f
'
j(の運動綴備と作'
J
Wとの相 '
I作用の小
2
.
3
8
)にィ、すように純子特科.*理条件に対して簡単な式形でぶ
p
i
c
k'
u
pr
a
t
e式 は . 式 (
鹿則さの精度の特合性に注意しながら適切にモデル化することに重点をおき，また柑流速
現されている. 本節でも M流齢、モデルへの取り込み易さを 1
5
1
，撃して.平均 s
tcp I
c
n
g
l
hを
a
l
l
a
t
i
o
n形式の向んを統
動のモデルとして頻用される1ft動形式と s
炊のように紘子特性 (
d
.で代表させる)をパラメータとした関数形で近似する.
しかも両者の各々の適1f
1
範囲を小した.
( ，
>
<1
.
r
て1
I 一
一
一i
l
". J
(
3
.
9
8
)
4
0
0
{
l(
O.
3
4
d
.
)'
OSS}
(
3.
9
9)
1
)
. . 1
0
'8
1
0
'8
された仲斜l
みで t
泣い，
:
rで得られた結果をまとめると次の通りである.
本r
(J) st
e
pl
c
n
gt
hはいくつかのlDi
c
r
os
l
c
pでt
脅威され. 各々のlDi
c
r
o'
s
t
c
pはその初期l
条
件を除いては決定論的に鍛える.初期条件は河床の十周河 l永でもむのする砂れI~n/j(の 1 11 111\1
との衝突や s
a
l
l
a
t
i
o
n精子の河床での反発に依存し.強い司:、胤削性をともなうものである.
凶3
.
4
8は，上式と 3.
4.
3でのシミュレーション結*とを比較したものである.細枝分と
の適合!且はト分であり，約1
砂に閲しては抗体 )
Jの変動をJg1
1
.して修正された似，J
I
'
i に類似し
ている.
(
2
)s
a
lt
a
t
i
o
nが卓越するほどには対流));が大きくないときには
microstcpの
i
I
.
t
;
Xめ
;
隠はその摩擁係数が砂純 i
f度の開放となる滑動のん科式でよ現することが出米る
凶 3
.
4
9は
，
P
..を式 (
2.
3
8).えを式 (
3
.
9
8)
.(
3
.
9
9
)で与えて，計}).された Qo..
と r.と
の関係を小したものである. 凶より. ，.
が卜分大きい総合 Qo..α r.3 Zとなり従来の M
i
k、
V
i M式と 一 致するものの. 砂、総花の違いによる島県は r .・∞の状視でも成ることがわ
l式と 一致 す る が . I
ι
崎の式の場合.、'l'
か る . こ う し た 傾 向 は 尾 崎 ZI)の世楽した州統砂 h
~Js l
e
p
こうした理解から.掃討E過粍をム現する粋純1
みを提案した.
I
c
n
g
l
hを m
l
c
r
ostcp長と I
l
i
) -捜している点に問題が残っている.
一78-
}
j
s
l
e
pl
c
n
g
t
hは川床での砂純の I
U
1
1
"1
"
1の
による仰止によって確定する. こうした砂村の問 1
基準となる仮想連動偏向さとかOJlみの突起 IIU 隅.突起 t~ さの統，;1的 tHt を明らかにし.突起
I
I隔 が mlcro slcp 長と
III}
・捜できること，突起間隔より突起 flU さのイ，，tJl則 t~ が1.しいこと，
また M 疏))の!\~ 1
1
1に伴う似想運動 l
加の上}(特性を 1
1
ーした.
(3) 移動砂利のかI床締 I
L砂粒との衝突乗組しに小川らの )
J''';・モデルをうえ.llJ洗濯jJ)の
一79-
実
i
J
l
t
J
鮎民にJllJllした鮎*.衝突 U
I
r後 の 速 度 関 係 が 十 分 に 説 明 し 得 f
こ.とくに突起尚さのイミ
幸世 :1i' 1~.
規則性のモデルへの取り込みの軍要性が明らかとなった.
(
4
)t
作動の速動 J
i
n
.式 . 衝 突 ・ 突 起 采 起 の 力 学 式 ， 突 起 の 配 置 に つ い て の 統 計 的 モ デ ル
歯科のシミュレーションを行なった結果.掛i
I
a}Jの あ ま り 大 き く な い
を 組 み 合 わ せ て 柑 洗i
t
c
pl
c
n
g
t
hの分{f
J
t~. 状が説明された.
範開での s
さらに，突起尚さの小説削伎が現象に支
配的であることより.他のイミ妓則性は絡約してモデルの簡略化を附り.
平均 s
l
e
pJ
c
n
g
t
h
(
5
) 榊杭ゾJが 火 き く な り 小銚 蹴 が 目 立 っ て 米 る と s
a
lt
a
l
I
o
nの 巡 動 方 科 式 を 用 い て 側 々
のs
a
l
t
a
l
i
o
nが 記 泌 さ れ . こ れ が こ の 場 合 の m
i
c
r
os
t
c
pとなり. 拘H本 と の 以 売 に よ り 掛 流
i
誕動に不w.削 t
l'
が付加l
される.この反発事象の不規則併はl.Y..売の )
J"J~・そのものでなく.f，J
所的な反発条例の小島U1
J
Iさ に 依 存 す る も の で ， こ れ を 仮 想 以 先 I
t
lの 傾 斜 角 の 6
旗本分布で扱
った.砂 l
f
i
lへ の 人 射 角 の 条 件 付 で の こ の 分 布 を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ っ て 明 ら か に し た .
反発の力学式と仮想以発 1
(
1に つ い て の 統 J
十モデルを組み
合わせた掛ぬ過刊のシミュレーションを行ない，
r
そのアンサンプル、 l
!
.
Jに よ っ て 側 々 の
s
aI
l
ati
o
nの 特 性 批 . s
t
c
pl
c
n
g
t
hの 統 計 的 性 質 を 求 め た . 以 発 i
.
f
:
数
は 2次，Ll
x発 モ デ ル に
nさ れ る 以 発 前 後 の 速 度 比 が 実 験 偵 を 比 較 的 説 明 で き る よ う な 組 合 せ で 与 え
もとづいてす I
た.
この{位をJlH、
たs
a
l
t
a
tlOn
の運動特性量についてのシミュレーション結果は従米の実
(
7
)s
a
l
l
a
l
i
o
nにもとづくモデルにおいても，
デルも '
1
'した.
i
.
f
i244リ. p
p
.
7
18
0
.1
9
1
5
.
1 ) 中川憎次・辻本作郎・細川~}~ :移動床における掛流砂れきのイ〈縦Ul
I
i!動1'1:状につい
;
(ms 人?防災研究所 {I: 報.第 22~}B2. p
p
.
5
5
35
1
3
.1
9
1
9
.
て. j
8) 中川博次・辻本行郎・細川~1.寅・村上正吾:平抱 Ml本 l の砂燃の速動峨峨解明におけ
る磁1
;
私均的l&りぬい.第 2
4[
i
l
JJj
(
.JlIl講演会命文集. p
p
.
2
13
4
.1
9
8
0
.
災研究所i
l・f
t
A
. mI21~' B. p
p
.
4
1
54
9
0
.1
9
6
9
.
'
山俊樹.*iI.tによる砂僚の s
a
!t
a
l
l
o
nの 織 情 (
2
). ，
;
(
荷s人な防災研究I'Jf
1
0
) 土民義人・'j'j
if~ 鰍，節 13 り B.
p
p
.
1
9
12
1
6
.
1
9
1
0
.
1
1)辻本f1i'郎・'1'川同次:制流純子の s
a
l
l
at
i
o
nの 施 本 過 程 論 的 解 析 . 1 本?公論文~.
第3
4
5り/1
11
.p
p
.8
39
0
.1
9
8
4
.
1
2
) 削似 d人 .，
'
iJ
1秀 人 : 制 洗 砂 の 停 止 綴 締 に 関 す る 研 究 . 1水?会論文集. m399\~ 1
1
1
0
.p
p
.1
0
51
1
2
. 1
9
8
8
.
1
3
) 中 川 防 次 ・ 辻 本 朽 郎 ; 修 動 W&l!れの水理，新体系上木 I学 2
3
.技
f
f
，
i-:;:~ 1
1
1版. 3
1O
P
..
1
9
8
6
.
1
4
)B
a
g
n
o
J
d
.R
..~. :.~n a
p
p
r
o
a
c
ht
ot
h
cs
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d
l
m
e
n
tt
r
a
n
s
p
o
r
lp
r
o
b
l
c
mf
r
o
mg
c
n
c
r
a
I
.P
a
p
.L
.S
.G
e
oJ
.S
u
r
v
e
y・4
2
2J
.p
p
.13
1
.1
9
6
6
.
p
h
y
s
i
c
s
.P
r
of
験怖と良好な ・
放を;
手した.
t
c
pl
c
n
g
t
h決定の本質であることから，
がs
t:本学会清文
i位 介 . '
I
'
jI
I
J俊 樹 : 水 涜 に よ る 砂 僚 の s
a
l
t
a
t
l
o
nの 俊 情 (1). ;
j
:
1郷人 '
7~)j
9
) 上 民 義 人 ・ 波 J.
の ~HIIiという ilñ では充分な結果が得られた。
(
6
) sallallon の~動ん限式，
6
)r
l
'川 防 次 ・辻 本 村 郎 :Jj(.&l! による砂僚の診動織備に閲する J~ct 的 í/f 冗.
反発時の小説日J
I
性による砂粒辺動の停止
仮想反発邸以外の不脱則併を縮約した簡略モ
この総合.個々の s
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i
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nは 定 常 継 続 す る と 仮 定 し て 決 定 向 的 に 決 ま る
もので代J
I
Jしたが. o/..ltJf前特性についてはシミュレーションモデルに劣らない精度で step
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J
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nの 運 動 特 性 越 が 評 価 可 能 で あ る こ と 1
1
'した.
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hお よ び s
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l1
博次・辻本管郎:婦流力の増加に伴う砂れきのィ、総則巡動竹状. 1本
1
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)村 上 正 l
学会賞~36[IlJ 5
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1d¥摘がi
会.
1
1・2
1
1
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9
81
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1
1
) 中川!導次・斗み符郎:柿ぬ過日の織率モデルとその
般化. I，
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.
."'t 会冷文科i 作~.
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9
1
9
.
18) 土木?会)j(.J.1fl 委 n 会:ぬ砂町と河床形状に閲する研究，研究小変 H 会側 ~I ， (
蚕 H1
<:
参考文献
1
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2
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~6* ・ 郎:河床砂撲の移動後備に閲する ー 勾-篠，九州大学応用 j
)学 研 究 所
報. m
IO¥}. p
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.
8
59
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7
.
混
.
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dItの流動とダイナミクスと応用技術. p
p
.
1
92
3
.1
9
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.
ミレーション. p
p
.
2
34
6
.1
9
8
6
.
1"(:的研究. t
21)尾崎本見:水洗によるか1
外砂傑の移動と派路形態とに附する/j(.J.1
1
!'央大?・.
4
)市 僑 正 桁 : 何 休 砂 れ き の 淡 送 に 関 す る 実 験 的 研 究 .3
む・ 線，新砂防，買n8り.第 4巻.
pp.5 ~ 14.
1
9
) 里flIJ佳六・，(
1
1偽弘・ J
I
I品 俊 大 : I
リ管路内田液 二
一 相d!Lの t
官僚肘を1'
'
1う仇れの純子弟動.
-.
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i
I
aのモデリングと数前シュミレーション，保，f{1
dItのモデリンクとシュ
2
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)辻絡:間放 -
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) 篠 JJ;t時爾・
村み必雄) . 1
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1
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.
E•
5
)久 野 総 i
' j '. ft!，正 人・道上正規:砂れきの流送機憎の;t1f~過胞としての特性について，
，
;
tm
s人 ? 肋 災 研 究 所 年 報 . 第 1
1号 B
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.
6
11
3
.1
9
6
6
.
-80-
-81-
第4
1
立 河
w波上の非、ド衡対流過程に￨刻する研究
4. 1 概 説
移動 i
本水路では*.I!Il条件と何床材料特れに応じて州々のか'
1
l
ふ形態が形成されるが. 1
'1で
4
. 疏 水 妖 tAに 与 え る 影 響 が 顕 主 で あ る . こ う し た 点 か ら . duncsの 先 生
も. duncsは 疏 砂 1
機織とらえられたJ.kJ1l!.条件に支t
:
J
A
:
、
す る 平 衡 状 態 で の ス ケ ールと 妖抗.そ して 流 砂 J
.
t
の F測
に関する倹討が J
了くから進めらてきた.
河 床 波 が 形 成 さ れ る と 涜 砂 現 象 が そ の 形 状 に 強 く 縦 定 さ れ る こ と， 疏 れ が 河 床 J
t;状によ
j向に周知j的 に 変 化 す る こ と ， ま た 主 た る 関 心 が 移 動 体 の 抵 抗 で あ っ た こ とから.
って縦断 j
波j のスケールがとられることが多かった. J
.Jc流とか>JIふと
現 象 を 挺 え る 単 併 と し て f河川J
の境界前lの 変 形 を 最 初 に 扱 っ た ExnerI の 解 析 ， ま た Kenncdy に始まるィ、安定解析の手
法によってかI
床 形 態 の 形 成 ・ 先 遣 を 論 じ る ア プ ロ ー チ に お い て も ，J
f
.訴teð!t 砂との制 li~ 作
用系には 1
"綾 触 れ ず (~11_ に平衡流砂盆式にぬ砂とぬ述との遅れ動般を導入 ) .境 界 l
f
l
iと水
洗との作J
I
J系 が 考 え ら れ て き た
林ら 8・りは，
、
"・
衡柑流砂が式に 1
，J所勾配と sallallon
f
.l1Itと流砂との f
r
J
日系 と い った 品 味 で は
lcngthと￨刻.i1!付けた返れ距般を将人しているが ， J
必ずしも允分ではなかった. しかし，ともかく現象を挺える t
l
l似を 『純 子 』 スケ ー ル にた
ち帰る必要が認識された.中川・辻本 s
・
の研究は側々の砂利の巡動特t
l
:(総散1'
1，イ〈規
2
'を 合 めM
則性)にもとづいたアプローチによってのみ砂面の初期優乱の初1
備を説明することが
W波 の 発 '
1機
n
J能 で あ る こ と を 強 調 し た も の で あ る . も っともfoJl
ふ彼が形成された
めれの記述
段 階 で は 『波 』 スケ ー ル で 現 象 を 粗 視 化 す る こ と で ， こ の レ ベ ル の 非 、V彼1M流 i
が 可 能 と な る . た だ し . た と え ヂ 衡 状 態 の ス ケ ー ル ・ 形 状 と い え ど も 例 々 の かJ
床 彼 の ー波
長閥での )
1.
平衡な M洗 過 程 に k配されており.
t
i
l
.f レベルからのアプロ ー チか必裂と
I
なる.
こうした純子レベルからの流砂機締の検.Hに先立って.河川;波l.のぬれの検討が必~:で
ある.たとえば，iPJ床波の不安定理論の}長開においても波払路 l
ふ1.のぬれ特件の杷併とい
う 点 か ら ， ポ テ ン シ ャ ル 流 卸 命 (Kcnnedy1) ，林ら り ) ，イミて~ l
1
I
tl
!
!
1ぬ く RcynoI
ds7). Raud
l
l
l~命 ( Grado l' czyk ・ ) .訴t速 分 1
1
1を考慮.した 2次 元 せ ん 断 疏 モ デ ル (
kivi a.) ，不定説tl
Engelund川
町 ， Frcds戸
C 11} )の 研 究 と 進 め ら れ て き た .
を 用 い て ぬ れ の 再 現 も 試 み ら れ て い る け ・川)
また.M.近では， kε 乱 流 モ デ ル
'
)
}
， Raudkivil)は ripplcsを t
葉桜した川
床波状での淡迷分化.圧力分化及び底印せん断J
，
e
.
，
}
jを測定しているこうした実測の*，'，*.
n
1，
何 床 波 上 杭 れ の 局 所 的 性 状 が ・Hされることになった.戸旧・ 1
1
111
4) は M 床 波 状 の 流 れ
の特性が￨制定床段泳ち流れと矧似していることを文験によって航路.段
-8
3-
mち モ デ ル を 従 来
している.石川 1
'0 は 半 無 限 流 体 中 の 段 法 ち 流 れ の 後 洗 解 を 解 析 的 に 求 め て い る . さ ら に
中川ら
'6
，7) は段泌ち流れと凶 ~MW 被上の流れの両者をレ ー ザ -ðtt 述 ，
i
I'
により詳細に :
11
まとの聞係を冴、している.
掛流砂 1
p
J
c
ku
pr
a
t
eが I
i
(
;I
h
i近 傍 流 述 (柑 流 )Jと 相 似 と は な せ る 〉
とほぼ 一 対 ・
に 対 応 し て い る の に 対 し . Ml
T
.
i
i
'
T訟 は ほ I
t
l
i近 傍 流 速 と ・対 ーにはがJk
;
せず，
i
J
l
I
Iし.
i
T
J体 液 n
r
f
l)で流れが加速される (
f
L))勾 配 の 存 在 ) ことに原因する向.fiの違いを倹
J
J
:
平 衡 な 状 脱 が 不 唆 さ れ て い る . す な わ ち かJ
床被 kの同洗過程の記述には底rI
i
rせ ん 断 応 力
討している.格 . fj-正義 ' ・ 3 は I~ ， くに;.r床波 1 '， の iI.i れの収納・鉱人に注日し.d.tれの加述・
の精度よい見積りと非平衡併を表現できる柑流砂モデルが必要であり，
減速に 1
ドう!底部付近流述の欠損をモデル化している. t
春1・ はかJ
床波卜の流れと
制点から例外被上の掃流通勤を純子レベルから 検 ~-tを進める.
Mi
l
.
ti
少と
*~. ではこうした
の関係を倹討する糊f
T
. 鼠も，(
Il~ なのは再 Hlíl. から河 aょに沿って発注する境界制の特 tL
と 外 部 抗 と し て の 以 縮 ぬ で あ る と し た 示 唆 的 な 研 究 を 行 っ た . ~acLean &
:S
mi
t
hZ0)は 内 部
4.2 河床波上の涜れモデルに関す る検討
境 界j
付.後流峻と))<1(1)付近の 3 つに流れを鎖岐 IX 分し，さらに詳細な ぷ ~~を行っている.
，
凶.
イ
4
.1
はこれまでに{得!与}られたχ
.
よ験 にもとづいて作阿I
床波上の説疏Eれ の 領 h
峻
去 をμ
[
メ分した 4
む〉のてで
4
.
2
.1 河床波背面での底簡せん断応力分布
本節では. 1
"
11
ふ波上の訴t
れの特性
c
r
c
s
tを i
泌
i
瓜
自i
過必した洗れは測'般監峻を形成し. か何I 床波背由刷l では再付』む~''人点
l.，~!
ある
2
述主する
その上側にt
槌鉱合効 J
県
4
某
Lが 人 き い 領 域 が み ら れ る . こ れ が 境 界 踊 の f
竹l'状を規$匁制
I
1し.そ
の境 9抗以~ 刷
併
"
{
4の 特 f
性t
がf
背Y
I
(
日に沿う 1
<
<
:1
(
1)せん断応 J
).さ ら に こ れ が 洗 砂 特 性 を え 配 している.ノk
と抗砂の拳動との関連を4
革命 す る た め . 次 の よ う な
いま.凶
m
4
.
3に ぷ す よ う な . 三角形:tAの d
u
n
el
Do
d
c
J
~liH~"'j点からドぬに向かつて砂耐に沿って x
を考え.
* ~決，砂白から íf'î 1
直上方に Y
*
.療をとる.
a
t
・
-
︽
倫
}J-力勾配 (
aa
ρg・ h x ;ρ:水 の t
4
:J
.
!
r
.g
:韮))加速度. h
:1
)
<
u
内
Jd
iI
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v
，
，
.
v
'
凶
"
︽
P
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11
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、'
.a
u、
P
、
‘、
，
1‘
・
・
vd
u
t
'
v
J
h
)
lj1な境界 1
Mモ デ ル を 展 開 す る こ と に す る .
I
阪H
j
l
iに は 水 由 媛 乱 の 影 響 を 受 け る 領 域 の 存 。:が 認 め ら れ る が M流 砂 そ 対 象 に す る な ら ば
J
主要でないと判断される.
J
i
.I
f
lIせん断応力
，
深
b
1
及 び 速 度 勾 配 〈δ
u
δ
を 宅 噂 し た 境 界刷 に対する
6
a
x
ρ
ここで.
4
.
3
~己り説明同
v
o
nK
a
r
m
a
nの 連 動 量 積 分 式 は 次 式 で う え ら れ る .
a
rb
u
阿
ax;uδ:縫 界 肘 外 銀 総 述 〉
au~
8h
a
X
ー gδ 一一一
一一一ー 一
一(u~ 2δ2)! u~δ1 一一ーニ
0
同J
:
型:
J
v
v
a
X
(4
.1)
rb : }
底
，面せん断応ノ'
J
. δ，:J
!
ト除厚， δ2 .
1
箪
動J
.
I
:
1
事
， δ:境 界 J
r
:
1Jllである.
F
r
o
u
d
c数 が 人 き く な い 常 ぬ と し て 水 面 波 を 無 視 す る と .1)<深 勾 配 a
ha
xは 例 外 被 の 波
図 4
.I 河床波上の流れの 続 ~凶
形勾配() (ー1.
L ;H
:河床波の波，1'
5
. L:波 長 〉 と 総 び 付 け ら れ . 式 (
4
.1
)
は次のように
同 <4
.
2は こ う し た 流 れ に お け る 帰 流 砂 の 巡 動 特 性 ( 後 述 す る 実 験 結 果 ) を 示 し た も の で
ある.
(
a
)は 無 次 Jじ化された底 U
I
J近 傍 流 速 とp
i
c
ku
pr
a
t
eとの聞係.
熊次元表ぶされる.
(b)は j
庖而近傍流i
患と
τb
ρuδ2
.
ー
aδ2
a
x
21~二 . 2工立 & g
δ，
0
Ju
δ
uδz
(
4
.2
)
"
6'
1
00
縫 あq
両内 の 疏 述 分 布 を べ き 呆 数員 1
I
で去 し
，
Ps •
PS・
ue
s
t
u(y)
u
δ
七
(l
m
とすると.
凶
a
x
4
.
2 (
a
)底 血 流 速 と p
i
ck
u
pr
a
t
eの 関係
(
b
)底曲折t
速 と 流 砂 量 との 関係
-8一
，
1
一85-
(4
.3)
δ，
国
一一 δ
m~
δz
1
(
4
.4)
δ
(
m
+
I
)
(
m
f
2
)
る位置が c
rcstか ら 測 っ て 上 疏 側 L.として 一 銭流迷分布の仮定より定数んを決めると，
A
.=
となる.式 (
4
.2
)中の δJδ 与 は ， 泳 連 分 布 に 及 ぼ す 仔 力 勾 配 の 効 果 を 示 す 指 標 で あ り . 形
l而 の 妖 抗 則 と し て M
a
n
n
i
n
gStricklcr型 を J
1
Jい る と ， 境 界 j
例
状係数と呼ばれる.また， f
となる.ここに.
外*~ iIOt速とr;f機速 j
良 u.(ー.
/ r ~7 p )は次のように粘び付けられる.
2b
r
子=[
+
.
A
o
kL
三
(
4
.
5
)
h。
r
…
k
.
手)
δ
+(mlf2)
-J
。
J
nH- r
h
'
m山 - a ?
内，
eu-nH
-T 目 /、
J-
890
n H F m削
-
nL 町 内4
，
‘
、
，
、
、
・一帽
す
凸
，
，
‘
、
明
，
，
‘
、
aJaJ
l
‘
、 YLM一
、
、'・
- nソ'u
，
、
m山 - m山
内‘
u- r
gho
(
4
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3
)
A
.
2 U02
七]
[
士r
(n>:)
(
4
.1
4
)
が ~~J られる.
4.
2
.
2 摩損低抗と形状抵抗
かJ
床波をi
際線 紙 I
A
)と い っ た 療 念 で 級 わ
"そう流れの紙抗は従来.妖抗分;別〈形状妖抗と F
J
auy
，，‘、
，
、nxu
121trtilt-ノ
、
k.2/n
o
otz(
ρU02
り
4
P﹄
(
m
i
l
)
(
m
t
2
)
(
n
.
2
)
霊
(
4
.1
2
)
である.式 (
4
.
5
)， (
4
.
9
)， (
4
.
1
2
)を 用 い て 熊 次 元 さ れ た 庇 r
(
r
iせ ん 断 応 力 を 求 め る と .
r~
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λJl し
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が仰られる.ここで.
f
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(
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ただし，
(
4
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f• (x)
L
H
(六七
δ(x)
4
(
2
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と
七
子
L
u
a=一
一
一
:
¥
:
(
4
.
7
)の解は次のようになる.
である.このとき ，)
代人， 事
監理すると.
dx
••
k
R
一一『
床 波 を 織 成 す る 砂 の 村 後 dを J
I
Iい
， A
o8.94，n6で あ る . こ れ ら を 式 (4.2)に
k
.としてはかJ
d
δ
(
4
.1
0
)
1k
L(J kR (} '
0
.
5・a
)
(l-akLO)・
[
L的に‘'
れてきた.特に砂山lの僚機紙抗は{史 '
J
l
効 州 協力と車J
t砂母式を用いる峨合のイi
i
l衡 Mi
び 付 け ら れ る こ と が 多 い . 逆 に 有 効 M流 J
1
(
面か命
Jの 評 価 の た め に 熔 鍛 紙 I
I
.
I， 形状!l(M
:のよt
;
I
;平後I
(
a
)， (b)で示した流砂の J
.2
じられた. し か し な が ら ， 凶 4
を考慮すると，
f
lの作イ1
m
n
A
o
Z
こうした有効械部t}Jの観念 I
I体の.Q:味はかえって薄れてきたように思われるが，移動体流
であり，
c
.は 般 分 定 数 で あ る ( 初 期 条 件 x0で δ Oを用いると c
. 0である) .
れの妖抗の I:IJ 題としてはなおかつ，これらの検討は必'~とされる.
境 界 層 外紙 流迷は後流モデルの変形などにより別途段泌ち流モデルなどで解析されよう
が ， こ こ で は 従 米 の 実 験 や，1j{節に不す実験結果にもとづいて次のように簡単な関 数 形 で
近似して 解 析を進めることとする.
波公の長さで除したものが平均 欧 鍛せん断応 )
J， す な わ ち 次 式 で ム 8れる 峨 線 以 l
/
t
.r .が
得られる.
'LAU
O 心
一
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2
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E HU
一ρ
，
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師
向
ORh
kr
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c
o
s0
仰
向付 l
f
点 よ り 測 ら れ た 距 縦 である . M床 波 の
・
・
x
r
'
.
ρU02
r
s
(
4.9
)
、︽
・
[
七
十
A
.
ここに， Uo :平均ぬ迷， h0 :平均水深，
向付持点から c
rcst
までの I
直面せん断ル )
Jの分命がうえられると.これを積分して，
クレスト付近では.加速読tの 効 呆 に よ り 疏 迷 分 布 が一 様化している.話E述 分 布 が ・ 緩 化 す
-86-
87-
BEEBEESEJ
、
目
一
、
flEE
﹄2 2
L L
，
〆
AU
L民
R
-
、
r
4
-内
uh
-nH
n-nd
9ω- +
(
4
.1
5
)
ルの組立てが必波:となる. pick up ratcは 柑 流 力 と ほ ぼ '対 ー に 対 応 す る か ら . 移 動 開 始
位置の抗れの特例;
が わ か れ ば 総 定 で き ， あ 1J
"
;
(
.でi1iべた般 s
t式の適 J
I
Jが
u
J能である. ーJ
i
.
step1cngth は修動開始杭 i~t と洗れの空間的変化の 2 つのパラメータによって去.fJLされ.政
ただし.
密には首l31
主にボしたような側々の鈴枝子を追跡する Lagrangc的な数{内懐娠が必要である
h
.
(k
.1
.
2
'
A
o・2
n (n∞
トー￨
K
.(
Fr・0，一 一 ) =A
k
.
lh
oJ
である
rI
-
ρUo2
が . こ う し た ん 訟 は stochastic modcl を柿々の移動体現象に~JIjし.その特徴を明らかに
するといった点においては必ずしも有利でない.
ただし， Fr=1
]0I .
;
g
t
i
。である.
-J
i， 形状抵抗
体ら
(
4
.1
6
)
集 合 体 と し て 特 徴 付 け ら れ る . こうした側々の microstcpに 及 ぼ す 流 れ の ヤ I
I
U的 変 化 (
du/
dxで代表される)の効来は，
r Iは次式で与えら れる.
(
4
.1
7
)
2
る.すなわち， micro・stcpを規定する初則条件の彬 響 (慣れ.の効県)は mlcro slcp長引 j
止
の 移 動 に よ っ て 久 わ れ る も の と 考 え る . こ の 距 続 ス ケ ー ル を Xnとすると，凶 1
..
1に示すよ
・は抗力係数 Coの .
'
11
(
面式として次の実験式を従来している.
うにある地点 (x， Xo)で動き出した砂は
C
.
1
6
1e
t
l
0
7
.60
o ニ 0
(
4
.1
8
)
また， f
;川 ・お J
1ら 21) はかI
床 波に作用する圧力分イt
を考慮し運動量ん 4
2式より次式を品
布 に え 配 さ れ る . こ の と き . 砂 が 運 動 を 開 始 し て Xラ以ヒの距併を動くべく，予約された 1
4
少の運動は，
地 点 xに お け る 流 れ の 特 性 に 総 定 さ れ る よ う に 変 化 し て し ま っ た と は な せ る
C
o
(
2
(
1 r0) η 1
~
(2η)2t(2，
(
1 2rOη)} l2l(l 2rO)11
~ Cp o ~
J
(
4
.
1
9
)
I/ho，Cp 。は実験定数で c
.1
3程度にとられる.
PO O
さて，このようにして熔娘抵抗 r .と形状妖抗 r Iとが求められ ると. 全抵抗， 0は両.fi
b
ed1
s1
o
j
q
.
o
J
.
!
.かけの p
l
c
ku
pr
a
t
c槻 念 I
>
<
J
をの
ω け
ョ
れ、
カ
p 日比
u を
はの
わ合
引も
るた
ゆめ
4
ト
AFeu
いを
るの
作歪
にた
用つ
にさ
のに
れる
洗れ
枠組
α
3
p，(
x
)
河床波の背面では滅れの 1
号付必点で流量少量が零であるため J
I、手衡な状態となっており，
の特徴は. いわゆる s
t
e
p1
e
n
g
t
hによって持ち込まれる遅れのため底出せん断氏、 jJと流砂
にj
村氏、しないことで， pi
c
ku
pr
at
cとs
t
e
p1
e
n
g
t
hから織成される E
u
1
c
r的に卸
p ， (x)~p，(山 ) .I
ここで，
f
x
{f I x
)は場所 x
の M抗 }
Jによって規定される s
t
c
pl
e
n
g
t
hの舷市御 j
立l
剣数であ
o
ρ
) を出発したもののうち地 l
る. いま， iを守幣鞍客聖.数として地点 (
ω
xi
は
X
.
1
う
.
'
a
以
“(
l
o
c
h
a
st
i
c羽o
d
c
lが有効であることは既に述べた.均質湯を対象としたモデルと
解された s
p
l
c
ku
叩pr
悶a
t
民
ep
，に寄 与
t 妥する割合d.，
p
仏 (-P
.x
)f
.
パ
〈
付x
)
η
)をJ
宅
.
s
千えると，
は呉なり，河ll-波の背diJでは掃流砂の運動特性量の守 1
m的な分布を取り込んだ M流 砂 モ デ
f
x (f) fx{f Ixi
Xo
)として炊のようにぶされる.
-88-
(
4
.2
1)
f
x
(
f xXo)df
X。
床波の進行や変形が支配されている.流量生、の J
t
・
平衡 状 態
この非千後Iな柑疏逃控によってがI
a
・
}.
u
.t
on
y
o
r
o
o
y
n
.
"
.
ε
I.・ ~C t t(
p
i
c
ku
pr
a
t
ep
，と定義すると，次式が得られる.
4
.
3
.
1 非平衡掃 涜 砂モ デルの構 成
貨が 一 対
純
nh
河 床波 上 の 非 平衡 掃 涜 砂モ デル に関す る検討
同
スw ん
﹄
(
4
.
2
0
)
ん﹂こ
ρghoh = r. .1 r，
=func. (Q，ho，L， 0)
，
A
凶 4
.
4
成れ
・りこ
かで
r。
~.，，，， ・ to
内
L，波高 1
1
) が与えられると，次式より平均水深 h。の予測が可能となる.
l
r
d
n
s
p
o
r
l鈴d
首同
て の 水 即 条 件 (I~t 位幅洗量 Q ，河床材料の位後 d ，河a.勾配 h) と河床波のスケ ール〈波長
1
-X.'・
1
;
"(
0.( t
ob
.
.fu
r
t
h
.
r
1 "
u
x
'
A
T
-
4
.
1
5
)，(
4
.
1
7
)より明らかなように，原理的には外苦<<条件とし
の和として与えられる.式 (
I
x
((
)
ι
(
1r
O
)
(
2
1η)
4
え
らはし問かぬのそ
vtJ4 か 砂 出 併 な に も て
と凶置るびちし粋たき
の・位せ踊う下純して
もばのなりの絞り出れ
るれ
x 比よ砂によぴ抗
なえにと)る，
x 飛ら
と換うた
h せ心とでか
服いよし
x な'の期総
.
状
h
H す 出 ( 見
も約上
る・ぷび点と
r たの
きるに成地た(つれ
〈隊脱した〉砂と向 ー棋 で
4. 3
xまでは地点 (xXo)で脱定される stcp lcngthの分
ので.河床から動きだした
保している .
η
出発点の迎いによる効果 γ 比べて小さいことが匁lられて
いるぷ リ . 従 っ て . 倒 々 の microstcpをそデルを情成する f
j
1i\~. とするのが過刈と巧‘えられ
1
Co-O
2 2
ただし，
ところで. step 1cngthは microstcpの
-H9-
p
仏
.， P
.(
xt
XD，
)
(
4
.
2
9
)
1
.4
(
4
.
3
0
)
1
+2αb
(
4
.
3
1)
k
. :1
+3{
I cxp(-2
α ，
)}
fx(f Ix iXo)df
K.
(
i~ 1
)
ここで，
(
4
.
2
3
)
K。
(
10
)
nd
を次のように定義する.
ここで. K.
J
o
o
k2
aq
，，‘、
0
.
6
2
5
αb詮 0
.
6
2
5
αbく
kr
h
u
'
(
4
.
2
2)
r•
、、，，，
v
'
M
I
'
-td
山)
(P(X ih)!;(E lx i
し(αb)'V(Rc.)rq
kr(αb)'
V(Rc.)For.
'AV
p，
.
Ir
J
X
o
α
、
r
けは )dft..... ip
" Ifx，
(f)df
p，
.Ifx;
(f)dftP.c・
，
LR
u p，
式で近似される.
、
∞
∞
αb 底 面 せ ん 断 応 j
Jの変動係数. R
e
.:砂純 Rcyno1
ds数である.
pick up ralcと底面せん断応 J
Jとは 一 対 一に対比、することから. 作tJlふ被上の j
広耐せん断
応力分市とその変動特性が既知であれば1.式で pick up ratcは般定される.
(
x
)を合め， 次 の よ う に ム
このとき. 見かけの plck-up ratcは地点 xでの pick-up ratc p，
-h.step lcngthについては第 3章で泌べたように疏れ場の特性. かJ床静 1'
砂粒の問，1
1，
J学にもとづいてよf価することが司能である.
状況が既知であれば粒子運動の J
小される.
底 山 せ ん 断，
e
J
.)Jの変化に対して step 1cngth{f)の変動係散の変化は小さく. 平均 {
I
i
iの
1
1
(
J
L
K
i
5
.(x)
P川
(
4
.
2
4
)
0
)}
変化か大きいことが第 3 ;立の数 {~l 慌擬より d められているので，
相似で指数分1
1
iに従い，
一
fl︿lk
﹄
(
4
.
2
5)
VA
d
x
'
n
lkr
1ノ
、
s
目
炉
g
VA
、‘，，，
X
vg
嗣
--L
EJ
a
VA-
、
、
r
わ一
(
4
.
3
2
)
平均 step lcngth 八 (x)については. 午後i
予知河川;では従米から何られている杭砂川式
とpick 叩
ralc指 定 式 と か ら 逆 切 に よ っ て 求 め ら れ る も の が 巡 動 機 備 に も と づ く シ ミ ュ レ
ーション結果ともよく対氏、している. しかし， 再 H1f点付近ではこうした J
j仏 で 求 め ら れ
(
4.
2
6
)
A，
d {Pd(X) P.(x)}
る平均 step lcngthは τ.く古川では容となるにもかか わらず， 強い乱れ， 特に剥般抗紙l
の
河床への衝突によって pJck-upされた砂が 1
可付着点 l
況下続部への新ti
'
TI.tに人きな彫型車を与
VAVan
‘
・
F EE--EEE
Pd(X)
Fl
子1 {i5， (
x
'
)
1
，，‘、
Q
B(
X
)
n
v
fx(f lx
)
した式と [
'
I
J形式で次のように書くことができる.
¥
f均 stcp lenglh 八が場所の凶数であるとして次式を仮定する.
i一
山
、y
.衡流砂過程の基位式は. 第 l章で 1
1
'
(x)を用いると. 非
すなわち. 上式でうえられる p，
ここでは各点で分布 J
f
3
は
')
d
x
'
，
5
i(x・)fx(x x' Ix
(
4
.
2
7
)
えていることがこれまでの実験・観察によって認められている. こうした効*を J
Z慮して，
nu
vA
J
ここでは平均 slcp lenglhを次のようにム:
1
1
'することとした.
ただし，
.
f
:数. Pd(X)はP.(x)と同様に定義された dcposit ratcであ
A，
.Az・ん は 砂 の 形 状 i
え
。
八
る.
;
iで平衡、ド j
f
i河床での推定式が得られており. それは次
pick up ralcについては. 第 2r
-90-
1
0
0
(
4
.
3
3
)
1
0
0
A0
く
1
0
0
ここで. え。は ，
:
.
j
1 式でうえられる.
(X)とs
tcp
前節のモデルを用いて和J
1
末波 Lの M流過刊を記述するには， pick up rate p，
lcnglhの 分 衡 を 各 点 の M抗 }Jなどの流れ特れに関係づけて好循しなければならない.
〉
え
d
4
.
3
.
2 pic包-up rate と step lengthの評価
A0
え
。
八
。
d
P
s
KoAz kslp，1
----r.
FoA3
古川 )PZ ( 0
て
.
、
rr
て )P3
(r kzr. )
k
a
《
(
4
.
3
4
)
-91-
l
(Ko 8.
式
流 砂 量 公 式 と し て 実 線 は Swiss公
3nu
凶 4
.5は
，
P1-P2 3'2
. P3 O
.7
:.. 0.047)
破 線 は Bagnold式 (Ko 4.25. P
1 1
.5
. P2・
1
.
P3
O
. 7:.. 0.047) を 用 い た 結 果 で あ る . 点
(a) pick up ratc測定期
1
O
?
線 は Einsteinに よ っ て 提 案 さ れ た 式 で あ る .
(b) 制流砂{.1:illIJ定朋
凶 4.6 実 験 装 置 同
本 節 で は 7 :.く 7
:..の 領 域 に つ い て の 平 均
step lcnglh の 実 測 仰 と の 対 応 が 比 較 的 良 い
nV
I
-E
1
0
.1
n
u
を評
-
S官 iss公 式 (Mcyer Peter & Muller式〉
性 を さ ら に 詳 し く 検 討 す る た め ， 純 径d
価することとする.
図 4.5
〉は 河 床 被 上の 流 砂 特
実 験 Run 9-122・
、
し主
イ
1
¥
0.082cmの 移 動 床 ( 区 間 長 6m) に Run 1
0
A -τ.関 係
の 条 件 で 通 水 し て . 10分 後 に 得 ら れ た 河
1
床 (肉 ー4.7Ca)) をニスで固め，
4
. 4 河床波上の涜れと掃流砂に関する実験
その後
表 4
.1の Run 9-12の 条 件 で 再 び 通 水 し .
底 面 付 近 で の 平 均 流 述 を 3mm のプロペラ
4.4.1 実験 }
f
法
何床波上の流れと婦流砂の特性の把握するため，表 4
.1
に 示 す よ う な 3種 類 の 実 験 を 行
流速計で測定したものである.さらに，
3)は長さ 9m. 幅 33cmの 鋪製 可 変 勾 配 水 路 に . 木 製 の 三 角 形 状 河 床 波
った. 実 験 Run 1_82
各水理条件に対応する平衡流砂f
誌を上疏
.082cmの 砂 で ニ ス 付 け し た 粗 面 仕 上 げ と し て あ る ) を 15波 並
槙型(河床抜去師は粒径 dO
より供給し，図 4
.7
(
b
)
. (c)に示すよう
4
.6
に
な局所的な移動床と採砂箱の組合せによ
べ ， そ の 上 に ほ ぼ 等 流 状 態 で 通 水 して， 一 波 長 内 の 流 れ の 計 測 を 行 っ た も の と . 関
示 す よ う な 装 置 で の pick-up rateと 掃 流 砂 量 の 測 定 か ら な っ て い る .
MI
A
ミ波形状
(a)
¥JA
抗
予k
って，河床波背 I
函の各点における流砂母
Qeとpick up rate P.を計測した.
(b) pick up ratc
各水
理 量 に 対 し て 中 川 ・辻 本 25) の モ デ ル で
4
.1 実験 条 件 表
表-
予測される平衡河床波のスケールの計算
R
U
N d
{
c
m
)
'
b
Uo{
c
m
/
s
)h
O
{
c
m
)
Fr
L
{
c
m
) H
{
c
m
)I
.2に示され. Run 9
. 1
1は 平
結 果 が 表 -4
衡河床波に対する流量より小さい流量で，
(c) 婦流砂量測定!日
Run-12は 大 き い 流 量 で 通 水 していること
凶 4
.7 実 験 装悦凶
2
3
4
5
6
7
8
0.082
0.082
0
.
0
8
2
0
.
0
8
2
0.082
0
.
0
8
2
0.082
0.
0
8
2
1
/
5
0
0
1
/
5
0
0
1
/
5
0
0
1
/
5
0
0
1
/
3
0
0
1/300
/30
0
1
1
/
3
0
0
2
2.
2
3
6
.
8
.1
41
43.
9
2
6.
3
3
6
.
2
42.7
4
8
.
5
4
.
7
7.
8
11
.6
1
3
.
3
4
.
4
6
.
3
8.4
1
2.
1
0.33
0.42
0.39
0.
3
8
0.40
0.46
0.47
0.45
40.0
40.
0
40.0
40.0
40.0
4
0.
0
40.0
40.
0
2.0
2
.
0
2.0
2.0
2.0
2.
0
2.0
2.0
9
1
0
1
1
1
2
0.082
0.
082
0
.
0
8
2
0
.
0
8
2
1/500
1
/
5
0
0
1
/30
0
1
/30
0
45.04
5
0
.
3
0
5
5.
23
6
2.
00
6
.
2
7
.
9
5
.
1
6
.
4
0.57
0.
5
7
0.78
0.77
40.7
40.7
4
0
.
7
40.
7
1
.1
1
.1
1
.1
1
.1
R
l
m
1
3
1
4
1
5
1
6
0.079
0.079
0
.
0
7
9
0
.
0
7
9
1
/
1
5
0
1
/
2
5
0
1/300
1
/
5
0
0
63.62
40.90
38.88
39.25
3
.
5 1
.0
8
6
.
5 0
.
5
1
6
.
6 0.
48
8.
0 0.
44
40.
8
40.3
2
8
.
9
43
.
9
1
.2
1
.2
1
.1
1
.3
9
1
0
I
I
1
2
-92-
が表よりわかる.
表 4.2 河 床 波 の 平 衡 ス ケ ー ル
h
e
(~)
‘'
(
c
"
，
)
6
.
2
6 6
.
2
6
7
.
9
1 79
6
1
.
1
0 5.11
.
4
6
6
.
'
1 6
目
l
. it
1 I(C~)
(
0
'
1
.
"
{円}
IH
I(伺}
.
，
e
.
0
1
2
3
附
1112 0
.
3
3
1
.2
9 I'
0
.
7 0
.
0
2
3
9
3
9
.
1
7 I4
0
.
1 附 2
1 :1
・
1
2 0
0
2
7
2
2 目.
.
6
9
4
6 I1.1
2
1‘
9I4
01 0
7
1
.の3
3
2ZI I'
07 1
.21G3 I1
.1
2 O
-93-
•
0
.
0
3
3
7
1
0
.
0
3
3
7
1
0
.
0
3
3
1
1
0
.
0
3
3
7ち
九
l Fr
"
3ー
s
S
t
2
z
q
e
z
o
，
1
.
.
:
e
.
.
I
O
，
・ j 13
7
.
1
0
・
2
0
.
5
1
6 :0
・
1
7
>
f
，，1
0
.
;
0
.
.
1
0 :0
.
1
7
0 L)OJl l0.~ :b2
I
O
・
4l b・
.
.
1
0
・
4
0
.
1
8
1 )0
.
7
8
1 2
.
2
e，
0
.
1
8
1 I0
.
1
7
9 5.11，
I
C
" :亀 山 1
0
"
実験 R
u
n 13-16 は実際の河よみ波1t llñ での掛流砂の性状を知るため，出J 述の水路のJt ~J;を
1
1
.5
c
mの 狭 い 水 路 を 作 り . 平 均 村 符 dO
.0
7
9
c
mの ほ ぼ 一線 な 砂 で 中 央 部 に 3
.5
m
仕切って.
4
.
0
の修動~(.メ IIU を設け.ム 4.1 にぷすJJ<理条件で.i!rlJJ<したもので.形成された河床波の . 1 : 必
にビデオカメラを投i
T
l
.
して.移動体 Lの流砂
p
i
c
kup r
a
t
e P.
•
u
4
(
c
m
)
d
(
c
明/
s
1
.ι
r
u
人を般影した.この画像解析より各断面の
1似 時 I
dcposit r
a
t
c Pd及 び 1
'
I
U"jりある断 I
T
lIを 通 過 す る 砂 粒 の 例 数 νe
を求めた.
0.
2
関
4.4.2 底 面 せ ん 断 応 力 分 布 に 関 す る 実 験 結 巣
4
.1
0
縫界厨厚の流下}
i向変化
4
.
3
.Iで述べたモ デル中の定数をニ角形状かH本被上の流れ計測IJの結果にもとづき検.Hし
4
.1
1
境界厨外*~
m
tilI!の流ドん向変化
0
.
8
を測定した結果で，
0.
6
L
.
-
図
1
.0
y/6
.
8は
， f
P
JW波 l
函付近に r
t射 器 で 染 料 を t
t入して再付清点をさがすことによってし.
た. t~ 4
KR
4
X(
<
:
f
1
¥)
4
0
0
.
4
(
4
.
3
5)
一
一 =5
1
1
0.2
。
が ほ ぼ 留 め ら れ る . こ の 結 果 は 従 来 の 実 験 に も と づ く 指 摘 と も 良 く 一致 し て い る . 凶 4
.
9
は"
1符 3
m
mの小相プロペラ流迷，1を月lいて訓J
Iられた流速分命のかJ
床背面に沿っての変化を
示したものである
"
1等 を 考 慮 し て 縫 界 届 J
fj.をぷ;み取った{ぬと
この結果より疏述分命の変 1
0.0 0.2 0.
4
曹
.
6_
.
.
.
J 1.0
4
.9
)を凶 4
.
1
0に併示した. またそれにもとづいて境界制外縁流ilI!u
δ
実線でみされる式(
u
/
u
.
1h が必めら
凶 4
.1
2 t
J
l界肘内部E辿分。i
の 掛1
9
r的 変 化 を 小 し た も の が 凶 4
.1
1で図中の I
l
t
l線 は 式 (
4
.
9
)であり， uδα
れる.さらに図 4
.
1
2には.境界制内の流速分化の実測(9tJが 1)'されており.式 (
4
.3
)のよう
肉4
.1
3 は!広耐近傍話t
速に予法則を冶川して得られた欧燦速度 u
.を 熊 次 元 化 し た j
斑l
剖せ
な抗ilI!分布則を仮定するならば1D ~ 8 程度が適内であることがわかる.
(
σ
ん 断 応 力 !.(亡 u.Z/{
ρ 1
)gd})と境界栂モデルによるJt1
'
H
.
'
，思とを比較したもので，
uは crcst
より L4LMt (し:波
両占の対応は良 Hである. なお流速分合』が 一線 化 す る 仲 町 L
aq
件、
d
-nU
，
，aL
thH
内
長〉とした
6C
u
(cm/~:
^:
c
m
)
p~ ~ r
司
t
i
<
l4
.1
4に位前 L での涜非肘外縁流速とこの{立置での断山手均旅辿との関係
. (式 (4.10)) に附する仮定はほぼ妥当であったことがわかる.
をがし. A
3
0
.
S
26 . ~
1
.6
22.~
1
8
.~
14.~
1
，
(.
5
6
.。
1
0
-1
0
.
8
lmH
d
r
lx
‘
内
2
0
nu
nu
-91-
刊ノゐ
n
u
l
AU守
nu
nu
hH
H
n
，
，
nU
qt
凶 4
.
9 疏速分布のぬド方向変化
凶4
.
8 剥鍛j
えさと河床波尚との関係
1
0
同 4
.J3 }
A
:I
印せん断 f
i
.
.
)
)分布(実測他と計算値)
-9
5
-
凶4
.1
4 一 級流速分.(jjの 位 置
がt砂 駅 動 l
ま庇 I
f
l
iせ ん 断 J
.
e
.
:
j
Jの 平 均 値 の み な ら ず そ の 変 動 成 分 と も i
4
:
t
t
，
に関係している.
，
{
(olρ .I)gd}
. Ub : J~rfIï 近傍流~ )
凶 4
.1
5に 示 さ れ る よ う に r.
と Ub<(ー
Ub 2
とは線形
関 係 に あ る こ と か ら . その 1~ 面せん断応力の変動係数 α . は 1i( [fli 近傍ìt.t~の主動係数 α ー と
いる. 三 角 形 状 例 外J
械における j
克耐近傍流速と外縁流速の幼所的な変化傾向が矧似してい
ることから. 移動 iふで n~おに形成された河床波においても式 ( 4. 9
)
の仮定が近似的に成立
しているものと劣えられる .
次z
えによって結び付けられる.
(4
.
3
6)
αb
o
c2
α.
4αuE
凶 4
.16 は小 N~ プロペフポt 迷計によって記録された抗述変動記録を O. 2秒 間 隔 で 般 散 化 し
'
11
て求めた流 ~の主動係数 ( 相対乱れ強度 〉 をふしている. 肉
α回りは各断而小品立大の変
u
b
(
c
m
/
s
)
u
b
(cm/~)
・
I
・
;
t
i点 で 縄 大
.
3
c
mの 位 置 で の 値 を ぷ す . これによると， 流れの1'i1
動係を1
. αuは 何 は か ら 0
f
1
L
1を と っ て お り . とくにそれより下流での減反状況は各ケースで相似}~を 11' している.
最IJ
m
p
i
w
凶
αω。
. α日 はそれぞれクレスト， 再付'11点での αuの他であり， XLは 乱 れ の 逓 減 に
^(
c
m
)
λ
(
4
.
3
7
)
I
。叶七)
1
01
n
u
0
1
0
l
のi
l
t
t.
i
皇
家S
り
J
係 数 αuを 次 の よ う な 実 験 式 で 表 現 す る .
α.0I(
α ur α
1
01
記凶i
近傍で
fiJltのみを対象として， j
自在域では文目的な砂の動きはないので. 再 付 者 点 か ら
αu
1
1
u
C
4
.1
7 底面流速の読下方向変化
附 す る 民 さ ス ケ ー ル で あ る . 実験結果より，
移 動 床 の 全 妖 抗 が 際 線 紙 抗 と 形 状 妖 抗 に 分 割jされると{t;i定する と ， 式 (
4
.
2
0)
をJIlいて妖
.1
α"。 O
fL
XL
L
L
.
α ，
"
0
.
4
t
!
44
.1
8は R
u
n 13-16の 河 床 波 〈ニスて字で聞記されていな L、) に 対 し
抗 の 予 測 が 出 来・
る.
也
(
4
.
3
8)
0
.
2
0
て 実 測 さ れ た 今 紙 抗 r. (-hoib/{(0 Iρ I
)
d}
) と 式 (4
.1
5)， (
4
.
1
9)， (
4
.
2
0)
をJ
I
Jいて剖
算 さ れ た 全 妖 抗 と を 比 較 し た も の で ¥ こ う し た 方 法 の 妥 句 作 が ぬ;
かめられた.
4
.
3
6
)， (
4
.
3
7
)を 用 い れ ば 底 面 せ ん 断 応 力 の 変 動 係 教 が 批 定 で き る .
とした. 式 (
.1
7は. 三 角形河床波とニスで閉められた河川;波
なお， 凶 4
J
:
の!底面近傍挽速 Ubの 流 下
i般 x
の 12
采に比例して納加して
方向変化をふしたもので， 両 者 と も ほ ぼ 再 付 着 点 か ら の u
O
.
lら
{
u
r
OL
~
(
)，
唱
コ
u
、
.
司
J
f
-Lsl
1
0
-1
0
.
4
。
u
1
.
‘
}
髭
i…
f
o
1
s
ki
nf
r
i
ct
ion
0.
1
0
0，2
今
︽
U
t
l
1
h
u
，
‘
，
0
1
0
a HU
1
0-1
0
.
1
0
10
流速と底面せん断応力との関係
凶4
.15 底的i
-9
6-
0.
20
，
1.
.(
I
l
!
(
>
i
)s
ue
d
)
速の変動係数
.1
6 !正面貌t
関 4
問4
.1
8 流 れ の 全 抵 抗 ( 計 算 他 と 実 測1
1
'
0
-9
7-
4.4.3 pick-up raleに関する実験結果
P
を式(
4.36)で 与 え て pick
庇l
f
i
iせ ん 断 応 )
J
:
分イI
Iの十均{怖を境界崩モデルで. その変動特例.
1
0
-3
nuF
s，.
ickup ralc折t
.
3
i
:式 を 通 用 し . そ の 妥 当 性 を 艇 認 し て い る が . そ こ で は 千 均 納 . 変
対して p
d
l
屯
-n
u
up ralc を ~I ' 抑した0'1 を闘 ・ 4. 1
9に不す. 2.3.4に お い て も 掛 流 )Jが 主 i
倒的に変動する場に
‘
2
l動成分とも ~J.! 験的にうえるにとどまっていた.境界肘モデルと式 (4.36) と組み合わせるこ
1
04
内
υ
‘3
p ・﹄
x
20
10
i
m
-
n
u
A嶋一
1
9(b)) とも I
l
iH ;fi点付近を除けば実験{也と計1'): (1耐との対応は ~H と凡なせる.
(同 4 1
-nu
-肉
削 -4.19(a)) . ~ ffJm 状関擬河床波
I
It
Lが 1
1:がったものと考えられる. 移動防~ (
とで. 通 J
内
?
O
10
U
おのずれの /
J
i
;凶 は 向 付 お 点 の 変 動 お よ び crestでi*tJ厳 し た 流 れ が 河 ば に 衝 突 し た こ と に よ
0
x(
c
開
}3
4.19(b) 三 角 形 河 床 波 上 の pickup rale (
計
f
)
， (p¥と文，
測 M)
凶-
って抗動. 移 動 開 始 し た 砂 純 が 仔 夜 す る こ と に よ る と 身 え ら れ る . 後/iの強瓜特性を定批
I
}十J'羽点の変動に伴い
的に比航ることは雛しくまず前老の効果についての必要長を進める. I
I
tI{n せん断応力の原点の変動を ~1恕すると，
この点より先述する I
中川ら Ie
. 17 ) は I
党総ち U
'
Iド
説t
. 回 定 三角 形 状 河 床 上 の 洗 れ の 乱 総 計 測 か ら . ￨
刈
pick up ralc は 次 の よ
4
.20に
1
'す よ う な 一 定，i!測自主 H
日 中 で 庇 刷 流 速 が 逆 流 と な る 時 間 期l
合をィ、す逆杭ホ[r
のコンタをW
.
うな、V均 1
f
tと し て 定 義 さ れ る も の と 考 え ら れ る .
1
の時I
I
Uが 均 し く な る 1
r0
.
5の 位 置 が 再 付 1
1点にほぼ't.しいことをは L、だしてい
!版流・逆説E
p，
.(
x)
1
P. ~
(4.39)
>(
xr
)・
φ(r)dr
rb(x-r) α1
る.砂粒.i!動に k映される強度の逆流:容を 1
rO
.5と仮定すると. その II}H;
r
;.
.
、の変動減は
平均的な似 lr，~よりプラスマイナス段 m ち高さ程度であることがわかる.
こ の 変 仇 {r
}を 次
(J()
のように iE~処分命に従うものと仮定する.
p，[rb(x)1αb(x)l
は{立置が特定されたとき. そ れ に よ っ て 決 ま る 十 均 底 面 せ ん
ぷ)Jと そ の 変 動 係 数 で 決 ま る pick-up rateをよしている.
断1
φ(r)は I
I
j付 1
i点 の 位 置 の 変
(4.40)
で既定されているため. 再
動 rの 般 市 街 j
立l
則散で. 'ir;耐せん断応力が再付着点からのぬ骨量 x
.
'点 f
:
ti
r
tが変動すれば，
付1
lck-up ralcは 式 (
4
.39)の よ う な 中 均 操
閤 定 座 標 の 位 置 xでの p
4
t
ここで. a ，• 変位 { r
lの 原 敬 偏 kである. 図 .4
.20か ら 拘 H
1.
点は子均的な位置を小心に
2
Hの 範 閉 内 で 変 動 す る も の と 宅 え . 標 犠 偏 差 は σ
作:
で得られるものに対泌するはずである.
z
(4.40) を用いて ~I・ f)された pick - up
唆されるものの，
ratcであり， こうした幼虫を ~' Lf. する必 ~tl : が強く小
i
1
i十h
r
f点 の ご く 近 傍 で は そ れ 以 上 に 剥 般 ぬ れ の 衝 突 幼 米 を 加 味 す る こ と
J
7え ら れ る .
，
s
ミ
n
v
が必要と
H=I.
3とした. i
司 4
.
2
1は. メ:
(
4
.
3
9
)
.
A
'
l
s
.
I~
l
r
08
S.
.
h
E
nU
1
0
0
3
0 ピ(
c
m
)4
2
@
0.8
)
0，1
・
ー
，
9:
. し
9 : ・ /じ/・勺
e
自
φ~9 :
9
→ 九0
:C
D・
f
O
@
a
ZF
ー
υ
n
。
O
.
ι
1
v
n
u
n
u
，
‘
、-
2
0
1
.0
I
r
白白
8
0
.
1
1
0
j
-9"
p
1
'
.
門 '
e
2
・
1
0
。。g
し
ー
賞
話@人
L
ぺ二J
・
。 !@iej
_
_
_
.
ー
.
。 一一.-
。
。
凋句
AU
)
m
v
a
n
，
{r
2
0
︽HV
d
1
0
・
υ
れ
a
u守
‘
、
4
句 d
ー
υ
n
h
u
F-切
lmw
x
，
2
0
(
1
0
d'
り
U
︽
‘
、
l
(
]
'J
4
R.1 7
ち
反1
0
B
q
b
1
0
闘 4
.20 j
克l
厨訴t
速 の 逆 波 率 の 泳 ド 1向 変 化 17)
-f~l と実測依〉
9
(
a
) 移 動 す る 河 床 波 上 の pick・up ralc (計 n
鴎 4
.1
-98-
6
E
0
9a 1
H
日
-99-
pt
;
!J
v
P~ *
。
(ーバどプ:
1
0
ヰ詞到
'
(
1
三
乙
)
(
;
'
1~
‘
Q
[
l
ー_1
1
0・2
J'
nu
‘
、
バ
)
m
p
w
(
内 〆﹄
nu
nu
内
U
a
-
凋崎
1
0
.
/ '-一
I
J1
，1.1
聞
n
u
l
}
尻
{
、
，
.
2
3 I
羽定
凶 4
嫡流砂分布に関する実蹟結果
ι
4
.
4
.
4
I
G
吟，
0
関 4
.
2
1 剥般峻の生動を考慮した場合の p
i
c
ku
pr
a
t
eの 空 間 変 化
υ
n
1
0I
角形状 M W
被筏明 1
i
'面 1
:の f
.
Jl
J
i
i
流砂量分。，
4
.
2
.
1でl'.!lべた M流 砂 モ デ ル n体 の 検 証 の た め . ML
本波 n
而での p
i
c
ku
pr
a
t
eの分衡を
文験納を近似した 110 線でうえで.モデルに基づく掃銑砂量分布の，11 算 1~l と実験制との比較
ぞ行うこととした. 図 4
.
2
2は. J
I、
Y1
t
JM流 砂 モ デ ル ( 式 (
4
.
2
5
)
) と子役I
流 砂 地 式 (Q8.
(
A3 A2)
p，
八d
) による .
;
I
n結民を実験データと比較したものであり，話t
i
少の J
I・、子衡併を考
慮する必要t1:の人きいこ とがI'JI解される. また，図には;Y..I!.
j
s
t
c
pl
e
n
g
l
hを M流プJの 関 数
4
.
3
3
)
) として与えた場合と 一 定(). 1
0
0
) とした場合を比較した結果もポしてあり.
(式 (
1
1
J
ト平衡がt
砂 モ デ ル を 使 う 渇 合 向 者 に kはない. ヂ均 st
e
pl
c
n
g
t
hを 一 定 と し て ぬ う と 河 床
波の 1
i
't
l
l
I
でI
l
i付おの、から充分鱗れると平衡疏砂母に漸近するようになるが. s
t
c
pI
c
n
g
t
h
を柿抗 }
Jの削教とみなすと再付着点から般れでも非平衡があbく.
さらに凶 4
.
2
3は
角形
.2
4はニスで閉められた実僚のかHふ波 l
'
の婦iIotiP畳分布の l
!
:
.験{のと 2
1
状河瓜波上の. 凶 4
n値とを比較したもので，これらについても非十衡抽出E砂 モ デ ル の 妥 当 件 が w必きれた.
なお，
J
In:に刈たって砂純の慣性を規定する距厳スケ ーノレ Xoは情 動村 F及 び s
a
l
l
at
i
o
n
純子の、V均田 I
c
r
os
t
e
pl
えを参J;;にして Xo
，d
-I
Oとした.
同 4
.2
4 固定されたかJ
泳被上の J
.
J所ぬ砂祉分イ'ti
4.5 平衡状態にある河床波の安定形技に関する検討
1
0・2
- . 一書 官 n・ e刷。 hÞd~
・
・
1
00
a
・
f
(
..
)
"1
∞
4
.
5
.1 :I~平衡婦涜過程に支配される河床放の平衡形技
由ーー lequけ Ibrj師
内
d
U
︽
p
v
n
l・、
内HV
令
，
‘
内
υ
1
0
l分に発達した側々のかJ床波は形状，スケールともイ之総則でまた時 1
1
0的，-も変化してい
d.U
‘
﹃)
m
(
) I
t>" Ðfrl~~nul
4
l
‘
‘u
•
_.... 1.~uilI Þ 叶 咽
l
.
2
2 ~キモデルにもとづく同所疏砂 LÌ 分布の計算納と実験値
凶 4
-1
0
0-
るものの.すべての波が IríJ スケールであると似定すると.、I'-JtJ状態の M は波は}~ 4
え，スー
ケルを変化させることなく
定速度で単行するものと想定できる.この 8.~ ・ M 休校の 4 行
z
速度で移動する座標系においてd
u
n
c
l
'
i
t
釦
のJ
.
JI
'
T
r的な河床?，'6Ybについては次式が成、 する
-101-
(
4
.4
1)
c
o
n
st
.
JG
PE
守，
ηp，m
.
0
.
4
日.
6
O.
1
l
1
.
0
(，
てI
xc
(a) 流 れ の 強 1
J
i
.を 変 化 さ せ た 場 介
rcを パ ラ メ ー タ と し
Ul:に対し
て変化させたが，これらは).Kl!
uz
の
でほぼ・底的に決まるものと~えられる
円
から. 同 4
.
2
6は、y
.衡かH
f
.
:波 の 形 状 . ス
内
I
Uの 1
;
'
:本 的 な 関 係 を 示 し
ケールと分市の I
理解すべきである.凶 4
.
2
6
(
a
)
たものと 1
。
。
は 流 れ の 強 度 の 形 状 に 対 す る 影 響か大き
l
いことをボしたもので，
所的変化をここでは次式で近似する.
ηpが 大 き く な
''1の形状になることがわ
るにつれて上に 1
(
4
.
4
4
)
l
"c
ここで，
，
、pg
。
。
n
形状の関係を， 拐した.この*，，，果を示し
2
十貨では
-ーーーーl一
一一
(
4
.
4
3
)
刀 .fm
nup
定(
たものが凶 4
.2
6(
a
)， (
b
)， (C)である.
Xc
印せん断 j
ぶ
ブJの分布*がかJ
床波形状を決定する大きな安閑であり，庇 1
1iiせん断応 )
Jの 場
庇I
一
一
一
一
一
vA
4
吋'句 ・ーー・田E司副圃-~・
H
c
:I
l
i付 指 点 を 1
1
;稚 と し た 時 の 河 床 波 の 波 高 . Qs¥ η : ク レ ス ト で の 流 砂 抗 で あ る .
η(f)
r
ピ
‘
・
Qe.op
r
:
(f)
.a
， ，，‘、
、
ると.式 (
4
.
4
5
)， (
4
.
4
6
)に よ っ て 何 床 被
h
u・、
P
ー.U
-svp
H
QB(X)
E
回・・・・
・l
hw
uy-
、‘，，
VA，，、 -PLW
ここに.
H
凶 4
.
2
5 :記り同
1
.き 撚 え ら れ る
ように 1
4
.
4
4
)で与え
!底陶せん断 f
，
I
:
.
.
}
J分 布 を 式 (
α. O
.5
) と し た 場 合 に つ い て MdftfJと
(
1I1
-
n
i
v
この時.式 (
4
.
4
2
)は次の
l
e
n
g
t
hて'あり. K
r
.K
:
.K
.は各地点における州旅)J変
動の関数となる
象として M
ikj)変 動 が d
f
t下ん向に
r
!
にえ 配 されていることをJ
5
-慮、し，
J.fする境界 I
雌掠系を:受注する
八:子均 step
の形状が J~ 拐される.ここでは組砂を対
M!
ふ波 /
YI
t
l Iの ほ (
1
1
1せ ん 断 U
.
.
)
Jは こ こ か ら 発
i
kド)il
:
'
jに x軸 . こ れ に 来 u
'
i
J
:方に y軸 とする
krt
/
t
.
r
1
i十JJ，
'点においては， M流砂量が容であり，
1
I点を原点、とし.
R
J
.
J所 柿 疏 砂 量 分 布 Q8(X)が 式 (
4
.
4
2
)を 満 た す よ う な J
i
{
;
的l
せん断応)
Jに対して.
I
I
}付
'区
ここに ， "'- ~ X. / ^ ，
(
4
.
4
2
)
Qo(X)αY.
凶 4
.2
5仁小すような，
(
4
.
4
6
)
このとき.疏砂の
辿続式と式(
4
.4
1) よ り . 定 常 進 行 す る 河 床 放 の 条 件 と し て 次 z
えが得られる.
かH.t:形状は、'
!
.
i
t
i
になることがわかる.
、
.
，
，
幽
、
、
.
，
'
J
r
・t
J変 化 も 一 波 長 内 で 完 結 し て い る と 見 な せ る
を宅えると.杭砂のij.}I
1
(
.(
四円吋
1 f)η(f){1
ヰ(f
)，
.
f
イt:せず.砂純子がすべて柑統砂として愉送されているような状況
経 す よ う な 汗 滋 粒 子 が(
(
4
.
4
5
)
e瓦p(，
.
.ε)
'
1
'(1
)
ド・民 国
・つのがI
床泌を飛び
e
x
p
(，
.
.c f)
p
g一
、
一
主
、
r
2-、
r
H
.
(f)
'l~
v
c
I
I
c
ところで. f
o
lJ
.
.
t
:
波 i
二の旅れの変化は一波長内で閉じている .
すなわち
}
'
b(f)
f(f)
﹄
、
a
y、
at
(b) J~ 曲せん ItJr J
.
e
.
、)J分化の
かる.凶 4
.
2
6
(
b
)は. 1
<
<
'
1
(
1
1せ ん 断 応 hの
分。1形 を 変 化 さ せ た 場 合
分イ)i状況を〆j、す mを パ ラ メ ー タ に し た も
fニ XI
xr. Xc : pj付 l
f
点から c
r
e
s
tま で の 距 椴 ， l" c 限界制洗)J， η.' m }
，
正
面
n
;山 せ ん I
t
J
f
J
，
e
.
.
)
)
の
急 激 なJ
f
/
}
!
I (m
ので ， J
せん断比)
Jの 分 め を う え る 定 数 で あ る . η pは流れの特1'
t
. mはか'11-1
，
形状と強い羽 1
測がある
が大きいもの〉に対して，何
ものと吃えられる.
ーし.
形に近い形状を γ
J
彪耐せん r
t
f
r.
J
e
.
:
)
Jの 分 市 が う え ら れ る と ， 適 当 な がE砂 モ デ ル と 式 (
4
.4
4
)を 川 い て 熊 次 Jじ化
Yt
>
1
f~ やかな幼加 (m
が小さいもの〉に対しては，
o
A-
'
.
I
，)きに凸
された、ド後Ji
U
Jt
本械の形状が求められる.F
r
e
d
s
o
e%6lは 柿 流 砂 批 式 と し て S
J
.
s
s式 を 用 い て い
で丸町みを帯びた形状を~ ~ll することがわか
.
2
3で 明 ら か な よ う に 川 床 波 背 面 の 流 砂 が 強 い 三 " 平 衡 状 態 に あ る こ と を J
Zえる
るが. 凶 4
る. 凶 4
.
2
6
(
c
)は. ，
.
.< (波長 Lと、ド均
そ こ で ， こ こ で は 4.
2
.1
で世案した
s
t
e
pI
c
n
g
t
hの 比 に 相 、 し . 締流齢、の緩
と宇治'Ìik 砂川式の~JIlはィ、 i 分と 13 わざるを得ない.
1
.
(
J
w波 は : 角
0.
6
_1
.0
t
o
x/xc
(
c
) M床 波 の ス ケ ー ル と s
t
c
pI
c
n
g
t
hの
J
I:
;~ι 後i i
l
o
t砂 J
i
t
式を式(
4
.
4
3
)に通則する. このとき.無次)(;化されたかj休 波 形 状 関 数 f(f)
和i
e艇と波長との凶{，f:をぷすパラメータ)
は次のように求められる.
の 効 果 を 小 す も の で あ る . 同 訴t
i
少の ;
)
1
=、
y
.
-102-
0
.
8
.
1
03-
比を変化させた治合
国 -4
.
2
6 .
_
ド後j何 床 波 形 状
i
t
i
t
tが緩和lさ れ な い よ う な 短 波 長 の も の は ， 下 に 凸 な ク レ ス 卜 が 尖 っ た 形 状 を .
7する
-
4. 6 結 論
H
.緩 和 l
メ
I
l
U.uに対して波長が大きくなるにつれて. .
1
'
.に dで肌昔日付近で千.ttlになる傾向
-*=予言: では.か1 外J 波 1~ l
f
l
iに お け る 非 平 衡 掛 読 過 程 を 淡 れ と 拙 旅 砂 の モ デ ル I
I
Uの伶.介fI:.に御
にあることがわかる.
意しながら解析するとともに.実験的検討も行った.掃討t 砂の連動 1.~' fl ， を胤 1: する l応出 せ
4
.5
.
2 平衡河床波形扶に関する実験結果
t
44
.
2
7は. Run 1
0
の水理条件で形成されたか1
床波形状と J
;
J所 柑 洗 砂 鼠 分 布 を 比 較 し て
0印は crestでの鍋流砂 J
J
tで 規 絡 化 さ れ た 局 所 掃
式(
4
.
4
3)
のI
則i
.f:を検討したものである.
i
/
.
i砂 l
i
tで.災隙の7TJ外;波形状に比べて掃流砂量の分イ怖は I
I
jH1
.
<.'.'.~の ü'，下流付近でドに凸の
ん断応プJを 境 界 桝 モ デ ル て'
・ M抗 過 詑 を p
l
c
k.
u
pr
a
t
c とs
t叩
I
c
n
g
l
hよ り 摘 成 さ れ る s
t
o
t
Eの 結 果 は 次 の よ う に ま と め ら れ る .
c
h
a
s
ti
cmodclでぬうものとし.み;
(1 ) 河床波 1Hfü の底的j せん断応力は再 H~' 点より発注する内初境界肘 と その 上 の加述怖
に よ っ て 規 定 さ れ て い る こ と に 注 目 し .1
EJ
J勾配を.;-L
f
.した必動 1
1
¥
縦分式を t
先導し . 1
必r
l
u
，
4
5
)に も と づ い て 計 算 さ れ た
せん断応))に影響を及 l
ますパラメータを明らかにした.モデルに合まれる定数はぷ路実験
'しであり. )ド平衡掛流砂量式を用いた .
.
11'):結県のほうが、ド i
t
i柿話t
i
少量式
河川よ波形状も併 11
によって決定し.これを則いて ~' I p : された倣は壁法UlJ より計価された欧隙 ~I立と良好な ・
の場合よりド I
I
I
)i
きに 1
出となる傾向が強く，掃討t砂ial:比の実 験 結 * を 氏 く品 l
リ
iしている.
致を小し，モデルの玄、河1''1:が側t
~泌された.
傾向をぶしている.凶中には .M 流力の変化を ~LI. して ;式 (4.
(2 ) 境界 Jr-I モデルより 1!J られる砂 l白勝娘妖抗と従米より汎川されている }f~ 状拭 ~A の ;~\t， 悩
式を純i
み 介 せ . M!
本被の形状・スケールが与えられた場合の流れの全紙抗を川 f
d
hした.そ
0L
1・
1u
n
- 1
uu
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唱目
r
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-
ーリ
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一、 0
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約い
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、
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-‘.
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u
F- n
Hr
J
.J
の車ii 宋;は実験 (11'iと lHf な - 致をみせ.移動床疏れの妖 M.~ij える卜でも{ì川 で あるこ と が
認められた.
o5
(
3)作rw波 1
i
'，
r
l
Iにおいては. s
l
c
pl
c
n
g
t
hが初期移動開始位i7
1の み な ら ず 杭 れ の 変 化 過
l
e
pI
c
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g
l
hを 4
結成する mJ
cr
os
l
c
p民刊 I
支
純の影響を受けているのを巧.1'した. すなわち s
RIJ~'
V︽
1
.0
ι
皐
va
n
，
，
、
，
，
O
.ち
1
0
を初期条件が支配する
その慣件が効く )距艇として定義することにより. i
.
l
i
送 過4
1
!のil.t
れの履歴を p
i
c
ku
pr
a
l
cの 中 に 合 め る こ と で
図4
.
2
7 掃流砂量比と平衡河床波形状との関係
E
u
l
c
r的にD{I解された sl
o
ch
a
s1IcmodcI
の
適用を広げた .
(
4)N 付ね点付近の ~J.~ れのかIt本への衝突.乱れの幼*を
凶
4
.
2
8は
，
移動している河床波背面上の同所移動砂純倒数
u• を crcst での他 U ドで規
~Lf. し.何 jぶl1Ii
1
_
での‘!
乙必j
s
t
c
pl
c
n
g
t
hの l
底的1せん断応ブJに *
1する変化を定式化した.
絡化したものを々、したものである.実験値と河床波の形状の相似性がほぼ dめられる.ま
(
5
)境 界 l
C
!
iモ デ ル と 何 ば 波 1
:
のほ雨lせ ん 断 応 力 の 変 動 の 場 所 的 変 化 を 去 す 実 験 パ と を 組
た. 闘中には庇，f
lせ ん 断 応 力 を 境 界 周 モ デ ル で . そ の 変 動 係 数 を αb O
.5
. 式(
4
.
4
5
)にも
合せて雪 l
'
切された p
i
c
ku
pr
a
l
cと実 験，(t
iは 川 付 右 点 近 傍 を 除 く と 允 分 な ・
3
疫が認められた
n
-された河床桜形状も併示されており， 阪 ね 実際のかH本被の 形 状 を 表 現 し て い
とづいて君 I
'
滑l
J
，で の ず れ の ! な J
J
;
t闘はまJ
'
般流れが砂町に i
自接衝突することにより移動か取り込め
再十J
るものと判断される.
てることと思われが.モデル化は今後の課題とした.
1
.0
(
6
) 実験 に よ っ て 何 ら れ た p
i
c
ku
pr
a
t
cの 分 布 と 提 案 さ れ た )
p千徐r
M
o
l
tモ デ ル と を 組 合
RUN 1
5
o
1L
示波 1
h
r
l
iでの M疏妙 ，
塩 分めを計算した結集は突放J
'
舶の傾向を充分にムし.かIWl
波
せ. f
0.8
.
.
.
.
.
:
.
s
_
_
1
:
での非平後J
M
d
l
tモデルの適JIl件.
が泌められた.
g
c 0.6
U
1
l
.
4
:放の形状の決定に*たす背面での )
1，千衡な柿抗砂 f
tV-.:の役;':1Jに
(7)平衡状態にあるか'
0
.
4
印せん断 1
ぶ1Jの分布形や強度. s
t
e
pl
c
n
g
t
hと M外:被長の !
tによる J
f
H
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:
ついて倹討し. 成 l
0.
2
。
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￨コ
l
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x
叩p
e
肘r11
町
r
問
0
0.2
0
.
4
0.6
変化を特徴を明らかにした.
0.8
1
.
0
.
r
=
x
/
Xc
閉4
.
2
8 移動量生、総数密度の比と平後JMW波 形 状 と の 関 係
-104-
一10;)-
1
7)中 川 憎 次 ・ 禰 作 家 久 ・ 絵 本 利 典 ・金 沢 文 彦 : 開 水 路 M W波 1
:
の乱杭情j1iと組織渦に!則
参考文献
1
).
f
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21)占川秀人・ィf川 忠 附 砂 漣 ・ 砂 唯 上 の 流 れ の 紙 抗 に つ い て . . 1 本学会均文縦 ~~;' 1J:: .ぁ
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)村 L
J
1{
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'1川惚次・ )
1
1UJi博:ぬ砂の運動特科11:に閲する検別. 1
:
本学会i.n4
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1
n 143. 1989.
23) 中川|導次・辻本 ~' n~ .村 .
LI
El~ ・*僑雄太郎:削除波}のぬ砂 j，t 分。f について.第 28
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水1
草川前会冶文!t. p
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t\~ 次 ・ 村上正対・後藤仁志:河床波上の流れの情造と汗遊純子の拡散過日につい
て . J.
KL"r: 治文集.第 34~. pp.523 5
2
8
.1
9
9
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.
13) 杉以休日j ・ ~l~ [JI草稔・松水信惇・小松利光: i
波状 J
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nl' の凶水路乱杭の数 f~Ln t): . 土
木学会第4
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j次学術講演会，
日ー3
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j1給 ・ 朗 : 砂 漣 に 閲 す る 実 験 的 研 究 (3).
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第
穿~40 岳.首\8 り. p
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Y次 ・ 辻 本 析 郎 : 砂 礁 の 運 動 に 伴 う 移 動 床 砂 山 の 媛 乱 発 '
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私L L本 学 会 論 文 報
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陪:旅れによるS
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sの 先 生 限 界 ， 九 州 人
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進:粒径の影響を ~Ll. した 2 次 JG がJLふ友定解析.穿~25 匝
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P;絡協会ぬ文 !
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. pp.85 9
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~t;， ~，め 291 1 ;.
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* -郎 ・ 汚 必
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する研究.第3
J~msÀ"(' 防災研究所年報.
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1~也町:断面急変に伴う剥総領域の下疏部の洗れと j必 l師せん断 }J について.
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j二本学
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f処 . 第 2
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湖水路段泌ち流れの乱読t
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6)樋 作 家 久 ・ 小 川 博 次 ・ G
t脅迫に l処する実験及び数値計算.第 33[1吋水J!t 治ち~会~文!t.
一106-
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一1
0
7-
第 5章
側岸 1
-の非千衡掃流過程に!刻する研究
5. 1 概 説
河川 Jj
(衝 部 で の 洗 掘 や 河 川 蛇 h流路の宇 l
f
i
i• føJ球形状の Ill}~ は.
i
l
I
J
J
i
'.側 j
P侵 食 が そ の
ぷ過科である.従って櫛断勾配がイj在 す る 条 件 で の J
I'
f
後JYot砂織情.Jl体的には械断ぶ I
I
J
B長砂位分布を明らかにする必要がある.側 JÎ~
1
:
の泳砂過程は.たとえその織目前ん向の M抗
J
< - 様であったとしても，水際線の {r イ宝のため ~I; o
/
1
t
i
な現象となる.
力分作Ji
，
分布を求めるための砂粒.レベルからのアプロ
横断 白
ん・
向 流 砂 jt
チは. 平野 りに よ り 本 俗
的に始った. 斜 I
而上での無次.n;州流カに相当するものとして. T
.(;
-r• /
(r"cos(
)):
r. 熊 次 元 Mi
J
l
t
力
r.
包:熊次 Jじ限界 Md
I
t
力 . 0:
斜面似斜角 ) を:.t議し .
v
t
*の、￨乙後i
流砂位式に代入し斜面 J
'
の柿訴ti'T枇式を議導した.以後の研究は.この千野ょにの検 d やjJJ
m 範聞の拡級といった点に焦点が i7tかれていた.長谷川 Z ) は.側伴における枕砂現象の JI ~
半後J1
'
tに注目.戸田・i!ll
'
S) に な ら っ て 側 j
i
t
上のせん断 r
，
(
_
;
)
J~分担l
し.各取を )J 7・ 4ドJ
1
:
'
":
l
'
f
f
面することで. J
I.
平衡dIt砂量式を品導，、V後I流 砂 式 と の 比 較 か ら ， 側 J
i.
rの m
t
u
少の J
I十徳j
1
1を冷じている.
側l
;
'に沿う
Mi/.t力分命が知られると，州統モデルと流砂の辿続式を斜 l
あわせることでM
“
J
手形状の時間変化が追跡できる. 任
i
r，立註の断 I
刷
r
l
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i
J
形
E状 に 沿 う 掃 b
流
l
t
J
刈
Jを決，記ぷすす今ることは灘しいが.
λ
L
川
1
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刊e
r
川t
i
比
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叫1d
恥c
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山
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" .(
i
i
) 底面に l
l
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旺に測った深さに比例する" n
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" .(
i
i
i
) 底 面 に 李 院 な 2II~ 線上に閉まれた面積に対比、する" a
(
iv
) J.庇耐に透 u
'
(な 線 上 に お い て 抗 述 分 命 が 対 数 .
I
l
i
Jに 従 う と し て 求 め る "
~び
1
0
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o
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h
o
d
" の 4つ の ん 訟 で 求 め 比 較 倹 Jを加えた. 結 * と し て は こ れ ら 4つ
の推定訟の聞に大差はないことを示している.海)1"
.・芦田 6)
制岡・ 1
1
1~反 7 はてt，
i
ki
.
盗
品l
i
t
?
-
壁面からの等鈍1 般線で近似することによってその LI"~ 線を吹 l伽に立てた仏線でムす断 110 分
割l
訟を挺楽し断 I
r
n形 状 の 効 果 の 海 人 を 試 み て い る . し か し . こ れ は 比 較 的 大 き な 縦 断 勾 配 ，
I
働率を持つ場合である.本研究では J
r
e面せん断力の!r't
f
l
面は. i
k
i
f分 ん が z汁
i
I
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I
J(されている実
験の場合においては" 1
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" を，その他の場合には" n
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d
" を適川して行うことにする.
1
側J
i
iQ食過柑.斜面}の掃読過刊に関してもいくつかの研究が行われているが. '
xf
U
J
川
1の有無.is!透流の {
fイ
E
. MJ
i
}・側 J
i・の必j~五なt-' i
51
援すべ
へのjtJ川を考えると. 1.の粘着1'
き要闘は多い.み;立では.仰l
岸 ， 縦 断 勾 配 か 存 在 す る 織 で の Md
.
t
d
!
J
科
のJ
よみ的な特性を明
らかするため. J
I
:粘着1"
1の組砂を対象とし，ちt
透挽やJ
>
>
I訟の幼*は111{説する.
-1
0
9-
5. 2 側岸上の非平衡対流モデルに閲する 検討
本研究で展開している s
t
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cm
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lは. ここではこの
r
"1
ニで宅耐えられ，
s
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c
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g
t
hもこの軌跡 (S輸 と す る ) に 沿 っ て 定 義 す る の が n然である. このとき"，， 1の r
j
，
n
(
x
"・p，，)での x方 向 及 び pHr
の流砂肢は.ぬ齢、ベクトルの方向を宅;援して次のように符け
]
5
.Z
.I 倒岸上の井平衡婦涜過程
側 lî~ 上のfu}d.t~動は水際線において繍断 Ji [Î，] の掛討t~ lJが容となるため縦断万 [i.] あるい
は~;j，n )
j向に J
I十衡な掃抗状況が必然的に
る.
1
'み出される.また，実際のかJ
川では雄J
i'守が
p
"
A
.
df
ぬされ流砂の峻 9
止条件が変化しiJ!t下方向にも J
ド平衡なぬ砂状況か出現する.すなわち.側
r
流 下 ・械断 方向の)1:平衡掃討i.
i
品
作
j
i
t上 の 姉 旅 砂 j
必4
1
1は
，
Qe.(
X
"・P
A
) =1 7￨p
.
(
x
e， POLI
S
(
P
Alω ]
C
0
5{
<
{
， ，，(
p，
1P
o
)
)d
s
として特徴付けられる.こう
P
.
.，n
8の 流 札 機 断 方 向 の 成 分 Qs.(
X，p
)，Q
8
P
(
X，P
)は次の
した 2次元締でのぬ砂:IlIベクトル Q
(
5
.
5
)
ように表される.
p"
Q
o
.
(
X， p
) Q
e
(
X， p
)・C
O
S
φ
(
5
.I
)
):
.Q
o
(
x， p
)・s
i
n
φ
Q
"
p
(
X， p
(
5
.2
)
Q8 p(
X
"，p
，，
)
τ
2
-1
A
3
df
p，(
X
o・P
o
)
G‘の"1p
o
);
s
i
n
{<
1
'"
(
p
，， IP
o
)
}
d
s
Pm n
(
5
.
6
)
ここで .φ は流砂の万向角である. Q
8
(
X，p
}の大きさをえ配する p
l
c
ku
pr
a
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e，s
l
c
pl
c
i[
I
.
]ψのいづれも砂純の運動方科式より J
平f
lされる.凶 5
.I
のように杭ドノf向
n
g
t
h，その J
で与えられる.ここに， Az，A
.は齢、の形状
i向に p
輸をとり，総長生、 j
J
Iを考える l
.
(を (
X
"，p，，)とする. (
X
.
.
.・p，
，
)
にx軸.潤辺に治った )
係数，
をjWる純子の ~Il 発点を述ねた 1111 線を r ，
"
(
X
o・P
o
)をIfl
先した絃 j
この軌 跡を
r。とすると，
M'
内
F﹄
f
'
"
c
.
X
o
たように P
n
は軌 跡
r".
1
ニで
Xo-o (x軸の
似点は移動広の始点〉となる p の依.また
それらはそれぞれ次のようにのける.
X
dは砂の位径であり.凶 5
.
2にぷし
X
o
'
"o
(
pP
o
)
(
5
.3
)
X
"
'
"A
(
P
，， P
O
)
(
5
.4)
式(
5
.3
)では (
X
o，P
o
)は初期条件で.関数
"
'0
はこれによって確定される
はp
"
p
< (限界柿訴UJになっている位此〉で
.
(
x
o，P
o
)の X
oは
， (
X
"・P
.
.
.)がわか
ある. P
っていると p。と結びつけることができる.
-}j• 式 (5.4 )
s
は(
X
O，Pけを出発し
(
X
"・p，，)に辻する
では I
I
I発点 (
X
o，P
o
)が流砂 r
lを定義する点 (
X
"，p，，)に対する変数となり， '
"A
は点 (
X
"・P
.
，)
までのぞ立子の.i!動距離，
を初則条件として特定される出数となり，よって
s
l
c
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e
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g
l
hがs以上である超過確率である.
'
"
0
と'
"
A
とは一般的には異なる.ただし
)
1
.定常性〈綾子がヂ後j速度に.ifするまでの時間〉が無視でき，
X方 向 に ・ 犠 な 場 て は "'0と
修動距隣 sは
山
No Sediment l
n
f
l
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(
t町 ectd
ら7JxA'PA)
p
図 5
.1 模 式 阿
p，)
l
"
^
f
[
有
d
p。
5
.2 序 相 系 模 式 凶
(
5
.7
)
をJfIいると次のようにうえられる.
G 山
p
^
)， Ifs(f)df
(
5
.
8
)
t
e
p!
c
n
g
l
hの分めが与えられると， (
X
^，P
^
)点での d
e
p
o
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lr
at
cが次
p
i
c
k
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pr
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l
cとs
式でうえられる.
一110-
同
超過隊本 G，(
s
)は 粒 チ の 軌 跡 kで定義されるの S
l
C
pI
c
n
g
l
h {f}の /
i
{
(本常瓜!則数人(f)
r~小忘と
p
s
(
x
^，P
^
)
]は
x
、
B
e
d
G~
r...上で次のように評価される.
n
1じ閑散となる.
"
'^
はI
父、、
ぜ
〉
FI
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(
P
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_p
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.
)
I p，(XO. P
o)fS
(
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，，)
)
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s
(
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)
ヂ 創 作I
床上では，平均s
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c
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g
t
h
^は位径 dの 80-2501古f
'
.
'
.
I
.lt'である.
pニP
oから 1
1
1発
， p=
p
"までの粒子の移動距艇は.次式で与えられる.
P miQ
点(
x
"
. p，，)での pick u
pr
a
t
cとd
c
p
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cが知られると，流量生、の述続式よりこの点で
s
(
p
o・p
，
，
)
か
J
'W~'b yの時間的変化は，
(
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v
、盲目E
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，
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子- 叶合計
(
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度
迷
食
位
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，u
の
向
点
れ
。
寺わ
で
ぷ
(
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.1
1
)
，
、
p，，)は，次式でうえられる.
n
v
，， (x.~.
ρ 。を宅隙本とすると.iIot砂の述続式は，
(
5
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で与えられる.
ん，総 量生、 ilt は次のように ~I 切 される.
と;
!
fけ ， こ れ に 式 (
5
.
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)を 代 入 す る こ と は 式 (
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)と!日]値である.
5
.
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.1で 定 式 化 し た モ デ ル の 特 徴 を 明 確 に ぷ す た め . ス ケ ー ル の 大 き な 洗 路 の 側 j
Pの q
J
~と総でしかも洗下方向にー織な泌を与える.このとき p ， (x ，
r(x. p
)
:
:
c
o
n
sし で あ る .
p
).
c
o
n
s
t
.， O(X.
~t立運動の非定常牲を無似すると.
'
"
01
p) ~ cons l.，
，'
1
'
，
， こ相当するものと
して，
a
u
w
n
v
、‘，，，
V
nH
v
.
.
.
.， ，
，，‘、
a-p
e
Mv -vv
A
H
W
VA
VA
••
•
一 -P.八cosφ
l
Q
8
p 二一
一
一p，八 sinφ
i
Q6.
5.2.
2 掃流砂モデルの特徴
が符ける
(
5
.1
5
)
5
.1
5
)を式 (
5
.1
4
)に 代 入 . 式 (
5
.
9
)を用いると. d
c
p
o
s
i
tr
a
l
eは.
式(
φA(PO. P
A
)ー a
r
c
l
a
nI
I
l(dWAd
p
o
)
ν .p )
なお，
s
i
nゆ
ここで. t
a
n
φ=
V，P. V，..である.
でうえられる.ここに. ，
¥
. :~ . r- の l 次元の形状係散である.
流量生、の )
Jr古]φ
P
A -P
O
(
5
.1
3
)
は砂村.の平衡 速度の
p.
.
xp方向成分である.
:
Az
A
:
一)
^
s
in
φ }
…)
^
s
in
φ }
(
5
.1
8
)
(
5
.1
9
)
式 (1 1 • 八 cosφ か流下方向，八 slnφ が潤辺方向の緩和距般のスケ ー ルをぷす指原となる
5
. 3 倒岸上の粒子の運動特性に闘する検討
5
.
3
.1 側片!
粒子の限界掃涜力
と こ ろ で . 第 4f;tで不したように掃涜カの局所変化に対する st
e
pl
c
n
gt
hは 比 較 的 小 さ
閑 5
.
3に示すように，繊断ん￨句}こ Oだけ傾いた側 j
草での )
1
:
私将 1
1
1:
純子に作用する )
Jは水
く. ま た はep l
c
n
g
t
hは砂耐との銭触(巨視的なぷ現をすると摩娘過程)に縦Jtされている
UiU. 抗 力 O
. 揚力 L
そして際機 }
J
f
， である.水路縦断ん"r
i
'
Jに x舗 を と り . 流 れ の h
l
i
'
Jの
中:
.
f
であろうから，
こうした 軌跡 Lで定 義 される st
e
pI
c
n
gt
hの特性も平銅河u;のそれとほと
t
c
p1
c
n
g
t
h は指 数 分 布 し ， そ の 阪 市 密 度
んど変わらないものと期待できる.すなわち. s
削数 は次式て'表される.
X輸からの 切
りを 7 とする.作
を β とする.このとき. I l
'軸にl
i
't交する jJの釣り合いより次式が伴られる.
O.
s
inδ
)
=
÷叶十)
(
5
.1
4
)
-112-
mブJの 合 )JFの方向を I1・-とし，その潤辺方向からの偏向
w・
s
in0・
s
i
n
β
(
5
.
2
0
)
ただし .δ(π /
2
) (βιr)である. l
i
U
J
O
. 水中 長品 Wは炊のように裂される.
ー1
1
3-
ρtσρl)gA3d3
みされる.
，.の l
剣1K:を三。と
Oをパラメ
タにして小した.
(
cosr・
t
a
n0
1
arcsin ~ ー一一ーー
一一一
}
tμ ，
(kdanD sinr)2tCOSO )
…
+
(
5
.
2
7
)
[kLt::;7sinoJ
I分 大
凶5
.4
に砂殺の抜け出しj
'
J
β と熊次 Jし1
正面せん断L
e
.カ
RH
一
句
'
ca
Oノ
-4
、
一
c
e
三。は・般的に砂柑 Rcynolds数 R
c
. (==u.dν ， ν:動 粘 性 係 数 〉 の 関 数 で あ る が .
s
2
A
3
きい R
c
.に対しては・;副長となる.
められる.
(
5
.
2
3
)
2
ε。一一一-A.
0
ω.26)
。
=
方.その抜け出し )
j向 β
ε (0)は移動限界時における式 (
5
.
2
0
)の 関 係 よ り 次 の よ う に 求
βパθ)
COA
2
与
βμ
三
。S
Inr・
τ.
s
in0+
一
、
(
5
.
2
2
)
nH
三
。
二
。・
COSr，
・.
-pb
l
a
n
β=
‘
，
4
-
ん断応))，. (・U.Z/{(olρI)gd}) の 開 放 と し て 次 の よ う に 与 え ら れ る .
υ
n
・2 a - n H
，
一
eu
--
=
L
LR
. ..(0)
.3
次 点 の 形 状 係 数 . g. 心力加速 j
止である.従って，合 )
Jの 方 向 βは 熊 次 Jじ
!
庄I
I
I
Iせ
純の2
--4
AU
-
3 :砂
U
J
L
. Az • A
O. ρ:砂 採 及 び 流 体 の 怜
ω一μ
底
四
ε。:逮 厳 係 数 . C
!
t)J係数.
o:t
b
:鋭 J
Jと 抗 力 の 比 で あ る . F0は い わ ゆ る 移
動 限 界 に 対 応 し . 似j
作での熊次 J
i
;限界柑旅ブ')r..(O)は傾斜角 Oの 関 数 と し て 次 の よ う に
C
I
制せん断応 J
J
.
A
.u.) :砂純近傍の局所代ム流迷. u. ( J'blp) :)玖械~度，
J
l 1:砂の I'~ I
l摩機係数. kL(・し1
0
)
μ一
Ub (
となる
目
'
ここで.
(
5
.2
1)
平縄河瓜;の粒子の熊次元限界柑流力 r • c;0は 式 (
5
.
2
6
)に お い て
O.
O
.
β .(0)1[/2さらに
r 0と し て ， 次 の よ う に な る .
.、、，，，
AW
・ 1
・tEF
.
，
t-L
一
一
怜
μ
司
聞/、
(
5
.2
8
)
よ っ て . い わ ゆ る slopc faclor K(D)は次式で定義される.
7
0
K
(0)
60
r..(O)
I
fkLμtμfCOS0 Sjn0cosβe
Pd
AG
80
内
d
給チの水中安息角とした場合であり，池 1
1
1・ の 式
。J'
，
︽
Aυ'
、
，a
V-v
gp
・
-
内
nuAU U
・
・
・
・
内
，
‘ .E
g
H-aHVAU
M
.
はr O
l
nu
nu
*
‘
，
nu
----
I
0
1
0・2
側 J~~ 1:粒子の般脱方向 1
'
J
t
j
(
15
.
4
c9
o
u
-
(
5
.2
9
)に お い て r O
. kL O.μl'tanφh φw.
Lane
h
v
B.
9
0
タにして示した
z
'
'
'
nunU
、
，
、
‘U
1
0
p p)
付egr
の式は:d:
7をパラメ
8
)
(
5
.
2
9
)
s
i
n
(
β，
Ir)IktJl
t
μf
τ.c0
同 5
.5には βeと O. 凶 ，5
_6には Kと 0の 関 係 を kL.
2
0
凶 5
.
3 側j
J
:斜
，
(
l
jJ
二の粒子に作用する j
J
・
i
内U
も
c
8
80
‘
./
--H-
-・
•
γ
(
d
e
g
r
e
e
)
9
0
μI tanφ. として掛))を身 1
1.した掛合
6
0
A
えして
50
k 井 Oで あ る が そ の 般 脱 方 向 に つ い て は
Ii
40
いない.
1
.0
3
0
0
.
8
K
1
・紬方向の合)JPの大きさを求め.砂純の水中.}¥枇'で無l;¥，己化すると.
2
0
0
.
6
0
.
4
F
30(dP.~品ee)SO
凶 5
.5 仰)
1J
ぞ利子の修動限界
自
同
5
.6
50
n
u
d
1
0 2
0
.~ L
I
斜面上松.
fの 限 界 制 抗 )Jの slopc factor
-115-
状態での般脱角
a
v
-
μ1
0
0
(
5
.
2
5
)
20 30
p
o)
0
r
一111-
0
0
.
2
三。
(1
1kLμ1) )
μICOS0 Sln0COSβ(，.) I
lkL
μ r
SJn{β(r.) r}+kLμf
(
5
.
2
4
)
AU
L
•Q ~
l
，
..
.
I
(
'
，.
)
Q(
11 ・~
μ1
、
'
ニ
。 {Sln(β1r)-k Lμ
I
酬
ap-
同
-圃
t
，
Lune
z
i
-
ヤ'目
e﹃
，.
1
!
kLμg
tkL
sin{β(r.)
+r}
μ t
UH
一g
σ 'ρ l
(
s
i
n
(
β ir)kL
μ
。
/ρ1C
r
l・
f
(r.
e)
。
r.
- Q(r.IO)r..
(5.37)
μg
(5.30)
となる . 1
.
'
式にもとづいて J
I脅 さ れ た P，
.
.-"r.関係を附 ・5.7にぷした. :1-1')では I
l(< 1
.O
.
(
5
.
3
1)
7心とし.
M
f(r.IO)
(
5
.36)
i
t理 c
ose・sin0cosβ(r.)
Q (r .)
-
三
。
E
免 V，は次式のように求められる.
る加速 j
・一μ
r
.
Oの と き . 河 床 や 側 j
i
tに あ る 砂 純 子 は 加 速 さ れ て 般 脱 す る . こ の 時 の 純 子 の 得
‘
、
一
帽
，
，
，
L
・
T'
-- L民
，
，
‘
、
﹄ ・・
4
a
μ I'
{-
に日﹃
G.(r.) =
nH-
さて，
・
1
5.3.2 倒岸粒子の pick-upraleの推定式
kLと ε。を r・。 O
.05 ( 組長生、に対する fM となる ~l み合せにおいていくつか変化
ε
させた.
第 2731 で述べたように，移動 nJ 能な配抗状況〈織率 PI) にある砂粒の般脱に関わる ~Ht
時I
I
Uスケ
ルTo(.
.kT f
.Ca;ρl)gd) 内 で の 子 均 速 度 で 純 子 が 純 筏 分 f
l
l直
.
l (k1d) だけ
1
0
.2
JCk-Up rateが 求 め ら れ る と す る と ， 次 式 を 仰 る .
移動するのに要する時間の逆教として. p
I
P..
d
f
. (a/ρl)g
s
(5.32)
(r. Q r..o)
r
-
11
kL /
.
.
lr
ここで，
kT
1
d
'.
1
1
i
kL μ f
F0 =一-P.
三。
2
k
. a/ρ iCw
(5.33)
・
，
1
(
(
t.
coO~
'
・
ε
・
00
ε "0696
笹，
0.
S21
C
'
1f
a
i
:
係数である .
M :付 加 1
に 酎 き 換 え る だ け で は す ま な い こ と に 注 意 す べ き で あ る . 見 か け 上 限 界 柿 総 力 が {Q (r .)
/K(0)1の 率 で r .により変化する.
•
のU
の 関数 となることから. p
ick-up rateを 2
7え る 場 合 に は 平 燈 河 床 の r..。を r• • (0)
て r.
図 5
.7 側岸 斜 而
I
(
f
6
0
v
・
2
l
O 1
0
曹
日
“1
平#!iTJU: (
(
) 0， β=π/2
. r=0
) の場合， Q=1
で あ る が ， 0ず O
の 場 合 に は Qは β，よっ
.
.
1
E
e
(
5
.
3
4
)
.
、
.
1)
.
1
1
、
QU
，
、
，
、
，
TE也
-
J-
、
，
、--、
r一O
，
‘
，
、
，
，
‘
、
，
‘
•
K
Q一
?'
h
ov
e
r
Q
-
r
、，
n
u
，
，
‘
r
，、
p'A
‘
，
•
f
C
I
(
3
I
(
j6
ところで，式 f
(r• .θ) は slope factor Kを用いる と 次 の よ う に 冷 ける.
Iの 純 チ の plck up ratc般 )t式
5.3.3 側岸上の砂粒運動
凶
5
.
8に ぷ さ れ る よ う な 側 J
?斜 面 上 を 滑 動 す る
ねl~ の運動を JK 配する巡動ん特式は熊次 Jじぷぷで
次 の よ う に ム される.
ぬV
-6
石HV
、、，，
P
4
6
、
a
φ
-
AV
戸﹂
AU
し
Pv
J
-Hupo
n
u
rE
JAU
400
.
‘
・
a
，
、
aV0
・
nし
‘
、HV
‘，
a
u
.
-HUR
r
s
、
(5.35)
a
o
。
k3Q(r.)r.
.1
〉
.
a
(
P‘
.(r.IO) =F。
・
G.(r.)・
r• ~ 1
喧
d
t
F守
ーでー
，
、
‘
dvp
度であると仮定すると.同様の傑作で次のような近似式が得られる川.
a
a
H'e
局. J.庄1
mせ ん 断 応 力 の 変 動 特 性 が ギ 姐 河 床 の そ れ と 閉 じ ， す な わ ち そ の 変 動 係 数 が O
.5
料
。‘ u
nu
z- ゐL
2:'f.主で小したように変動成分に閲する、F均 化 操 作 で 取 り 入 れ る こ と が で き る . 結
a 引V
力の釦峡で顕者であり，またこの効果は側停の傾きとは独なして扱える.こうした生動の
s
o
、
目
と こ ろ で 一 般 に抗 体 力 は 変動 し.この変 動 の効 果 は 限 界 柿 抗 力 と そ れ を や や 上 回 る M抗
効民は第
・
I 0
'
.
l
v・ 向
p
1
0
・
)
1
ー
P
. I
sin(β;7 HkLμg
であり.
u
r1
‘
t・
0
P
..
v・
0
‘
(
5
.
3
8
)
=A
o.
/(
U
d.九)
2 f (ιp・V
t)Z
・
(UdP v (sJnO COcosOsJnφ 〉
p)
(
5
.
3
9
)
同 帽5
.
8側 J
;'斜面上運動するを
J
粒イに作用する )
-116-
-1
1
7-
Tayler展開される.
ここて
V
!…
v/f
了
。 ρ・I)gd
i
X 1
8dl
p ι pd
x
/
d
A。 CDoAz (2~.(0
φ
ようにぷされる.
ことから，
v
，
Udp Vp
t
a
n
φ
t
a
n
ω'
"
!-ーー一一一
t
a
nr-ー
一
一
Ud.
ー
Q8p
V"
t
a
n
φ =一一一
V
.
Ud. - V•
。
c
o
sy μ
k
s
i
n
φ
r
r
.
一
一
一
一
。
C
O
S
φ
A
に対応するものではない. しかしながら純子巡動
@
‘
た式は.村子速度 V，( .
/v
.・
:.Vp ・
Z， V
.
.
.
(
5
.
3
9
)の )
1)
t常 項 ( 左 辺 ) を 等 と し
'
y
-後j速度の流下ん l
i
J
JJ
&
:
分
，
Vp •
T
.
(
5
.
4
7
)
2
A
3
。
(
5
.
4
8
)
f
τヲア
ん
， 縦断匂配がなく (0 0
)，流れのん向が流下ん I
<
'
Jから倒的している 4
1合 (y I 0)には.
式(
5
.
4
2
)， (
5
.
4
3
)より.
が符られる.
φ
si
n0t
a
n0C
O
S2φ./ tanZBtμ42二2#‘tanBsinゆ
C
D
A
:
-ー-
2
A
3
A.
:r. t
a
n20(COS 2φ
~COS2
r)~μ.2sin2(φr )
2cosrtanZOcos(φ r)
c
o
s
φ
.
/ (σJρI)gd
A
.
(
5
.
4
2
)
c
o
srsi
n(
J μ
kCOS0si
n
(
φ
r
r
τ
.
sinθcosφ
(
5
.
4
3
)
次のようにして簡単なムポが I
J能である.斜 I
f
u Lの粒子の運動ん I
，
)
φ は.流れのん I
;
'
Jy と.
0.0
5
.
4
2
)にまで j
えって，運動のん 1
;
'
]
場合には式 (
。
•
20
l
刈5
.9 斜面 1
:の 併 動 砂 村 の
)
t
'
，
:
常運動ん I
;
'
Jj
'
J
φ
唱
1
1
9-
e
斜が安息角に近く.こうした場を対象とする
0.2
20
かる.ただし.尖隙のかJ
'
1
1
1の水際付近では傾
30
i
~動ん向を推定するのにイf 効であることがわ
Fhurt
-nu
nu
0.2
ap
向傾斜角 θが 2
0
・H
¥.
1
直』までの側 j手1.の純 fの
を求める必要がある.
-118
0.4
伶j
'
JJ
互にもよるが.こうした線形解は繊断方
n
eが大きくないとき，上式は次のように
0.6
ι
・
r.
o
.
8~-
a
マ
“
t
a
n0である
l
kれの偏
.=0.)
HU
(
5
.
4
4
)
e)
刻係を流れのん I
)
，j
{
Jrをパラメータにして
のi
.
9である.図より
示したものが国 5
官
l
e
1
.0
tan~
nu
縦断かH~ 匂配 O によって ..tJl)t され.形式上次のように書ける， 0
ここに. l
' -t
a
nr.
(
5
.
5
0
)
式(
5
.
4
2
)にもとづく定常運動ん向 j
l
Jφの非
め，斜 I
耐勾配 t
a
n0と砂制運動の }
j1
;
'
)t
a
n
φと
y)
i
tの 傾 斜 角 と 流 れ の 悩 向 万 向 が 小 さ い 場 介 に は
よって純子の巡動方向が決定されるが.側 j
tanφf(r.
が{ぜられる.式 (
5
.
4
8
)と(
5
.
4
9
)を式 (
5
.4
5
)に代入してね I
，
J
次式が符られる.
線形解と線形化された式 (
5
.
5
0
)との比較のた
ただし. Il. 砂の動摩鍛係数. A.ζUo/U.. Ud 掛 流 粒 チ 近 偵 の 杭 述 で あ る . 式 (
5
.
4
2
)に
~
(
5
.
4
9
)
Jμ.T.
一方.中'
i
t
i迷 I
Jiは次のように袋わされる.
V，
「
t
a
n0
tanφ(O
. r)=一二---ご tt
a
nr
2J
l.sin(φr)
t
a
n0{
c
o
sr c
o
s
(
φ -r)cosφ}
。
φ
、V 後r .ìÆ J立の澗
辺}
i
l
;
'
J成 分 ) と 定 常 i
重
量J
f}
j
・I
;
'
Jj
'
J
φ との述立ん 4
2式となり. V，を消ょすると φに 附 い て 次 式
C OA2
Z
一一一-A.
r•
1
μkZ
>(θ μ k① )2
であるから，。と@の関係は次式で近似される.
がは比較的知時間に平衡状態に辻すると仮定できる場合には尚喜は[，，] -視できる.
砂位運動が定常に速した~態.すなわち式 (5.38).
(
5
.
4
6
)
が得られる.上式を式 (
5
.
4
3
)に代人格別!すると次式が{ぜられる.
Qo.
i
，
疏砂のん r
]
ψ は個々の純子の逆動 )
i向 φにもとづいて検討されなければならないが. ~ド
対
(
5
.
4
5
)
A
.
φ4{μ.21(e μ ‘φ)‘
)
4
・0
I
e0
ae
Ir 0
(
5
.
4
1)
定常 I
(
lのイf
i
lのため， ψと φとは
o
.e
)I
f(
一一一一一一一一 1
5
.
4
3
)において，。 、
<1
とすると. si
n0!>< O. C
O
S(
)!>< 1
となる
r~ O の場合.式 (5.42). (
u
流れの))I
:
'
Jf
i
Jr.抗力の H
I
I
'
Jタjω ，粒チの運動方向角 φ. がtiPの 1n
]
φ はそれぞれ次の
UdP
ar
(
5
.
4
0
)
C。 μμ (0/ρf
C
鳩
〉
/ ρC w ) }
。
af( J、
. 0 )I
5. 4 積 断 hll
I
J
勾配の存在する 場での掃涜過程に閲する実験
実験条件表 5
.1
(
a
)p
i
c
ku
pr
a
t
e実 験
5
.4.
1
贋片~粒子の 械涜過程に 関す る 実験方法
凶5
.1
0に 示 す よ う に . 実 験 水 路
R
U'
i
長さ 9
m
.
2
3
4
6
l
y
に示されるような間部を設けて砂を充たした
8
9
1
0
I
1
1
:
<
'
uと し . 他 の 部 分 は 向 ← 犯 度 の 固 定
:
げた.移動i
ふI
メ1
m長 は ， 初 期 移 動
床 純 血ー
イ
l
'1
0.079 4.50
0.019 8.00
0.019 4.20
0.079 7.80
0.217 4.10
0.217 7.10
0.217 4.30
0.217 7.50
0.298 4.40
0.298 7.80
0.217 3.90
0.217 7.00
，
1
/
5
0
0
s 1/300
側 仰 を 作 っ て 実 験 を 行 った. 装 置 の 一 部 は 図
移動休似
;
1
26'
26.
5
7
26.51
26.57
26.57
26.57
26.51
26.57
26.57
26.57
33.69
33.69
1/300
脳3
3
c
m)の }
I仰 l
のみに 一定の 繊断勾配をもっ
d(cm) hO(cm) Uo(cm/~)
ー(
degree)
I
b
1
/
5
0
0
1
/
3
0
0
21.43
45.00
20.46
39.97
23.35
38.61
25.70
38.86
25.88
38.17
.36
31
48.15
Fr
0.413
0.508
0.319
0.451
0.368
0.445
0.396
0.453
0.394
0.
4
31
0.501
0.581
実験の場合では 1
0
c
m，i
ぬ 送 過 程 の 実験 の 場 合
mと し た . こ の f
!
iJ
或からの砂粒の般脱，
には 1
(b) 掃 流 砂 量 実 験
(
a
)p
i
c
kU
p ratc~1IJ定JfI
流i
孟過刊を ￨ん か ら ビ デ オ 般 彫 し . 画 像 解 析
RUN
シ ス サ ム に よ り 特 性 鉱 の 1ft測 を 行 っ た . 同 時
e
(degree)
d(cm)
hO(cm) Uo(cm/s)
1/300
:
<
'
6
.
5
7
0.146
0.146
0.146
0.280
0.280
0.146
0.146
0.280
0.280
5
.
1
7
7
.
1
1
8.95
8.43
1
0
.
1
1
7
.
6
7
8
.
7
1
7.36
9.03
2
3
4
5
6
J
に. u
'
1
1
モ3mmの小守Jプ ロ ペ ラ 流 速 計 を 用 い て .
耐内初ti.!l!分イ析を詳細に測
凶定休部において断 l
a11UV'有 1part
定した.縦断 J
i
r
I
，]i北砂品測定の実 験 で は こ の
'
b
33.69
s
9
f
l
i下端より潤辺 jj向 3
c
m上 方 の
移動ば昔sに 斜 i
34.52
46.33
5
1
.
4
1
47.44
50.
4
6
38.15
7
.1
9
37.88
4
2.
9
9
‘
F
r
0.485
0.555
0.549
0.522
0.507
0.440
0.474
0.446
0.457
所に.流ドプJ
I
I
'
j長さ 4
c
m，斜面に沿う 幅 3
c
m，
鉛ぜi
方
[
<
，
)i
京さ 3
c
mの 独 立 し た 採 取 箱 2
5倒 を 続
下方向に並べた.側仰の傾斜角は (J ~26.570
，
It~~・5
TLoi
3
3
.6
9。 の 2荷額とした. ま た ， 純 子 は 初
期 移 動 拠 験 では d0
.
0
7
9， 0
.
2
1
7， 0
.
2
8
9
c
mの
υ
(b) d
f
t砂 量 測 定 用
3楠 . 流 送 過 料 実 験 では d0
.
1
4
6
c
m， 0
.
2
8
0
c
m
の
ぷ
2柑のほぼ・織砂をJlH、た.実 験 条 件 表 は
(
C
"
'
/
$
)
凶
・
4
0
R
.
A
/
P
C
Q 2
A
'
"
0
(
8
.
h
)
O t/
u
(
o
n
/
s
)
2
0
5
.1
0 尖 験 u<i
7
t
線 型凶
1P・8'~Oc~~"cr.
3
0(
c
m
/
s
)
5
.1
にぶされる.
立u
.の01'1'-舗は.壁面の法線 に 沿 う 流 迷 分 布 に 次 式 の 粗 凶i
.
X
'
'
f
数
J
l
I
J;を適用することに
欧嫌 .
i
.
fl
1
0
より行われた.
u(z)
u.
ここで.
I
C
十n
l{
仏r
m
j
n定 数
3
0
.1:~tzo)
2
0
。
}
(
5
.
5
1)
1
0
k
. 等価齢、組度， Z
o 対教員J
Iの t
h
e
o
r
c
t
i
c
a
l刊 1
1の 高 さ で あ る .
-120-
FLW
(
5
.
5
2
b
)
5
.1
1
v 包，
bCOS0
r0=
ρ ghi
国
~\
.
.
.
.
・
'
_ 、、官
j
(
5
.
5
2
a
)
，.
，
‘g
t
I
r0ρgR(h/ho)hCOSθ
ー
.
_
・
，
・
.
、
~-
m
-
1 l
'
A
I 1
'
A
?
1
0
'
O
'
0
5
.1
2に 疏 路 断 面 内 等 疏 速 線 と 側 斥 に 沿 っ た 帰 洗 力 分 衡 の O iJ
;
を示した.凶中には，
..
，
-nーu--
適用に出たっては， k
.=
d，Z
o=
0
.
2
dと し た . 図 5
.1
1に }
l対数ぷ示された旅述分衡のOiJ.関
側J
?斜的i1
:での
凶
流.ì.f分 .(11 測定 ~J
、.，.
- t
'
j 1
5
'同~/C"'J
5
.1
2 側j
P斜 而 i
二での
掛抗}
J分 布 測 定 例
-121-
で う え ら れ る 簡 便 式 に よ る M抗 }
Jの 推 定 値 も {
1
t
-'
I
'した.ここに，
Jに か か わ る ヂ 均 的 な 後 深 で .
出掛ぬ )
R-A
.
P(
A:i
kl
.
l
<断面積，
Rは 次 の よ う に 決 め た 何
P
:潤辺)である.1J.別I
J
i
主
上 式 よ り ム tを 消 去 す る と ， 解 脱 角 度 β とふ t問 で の 平 均 的 な 巡 動 角 度 β との l
則係は次式て
与えられる.
役分布からの推定{仇と上心の簡~法による推定 11府の対 J，ê;、はおおむね良好である.
β
5
.
4
.
2 積断勾配の初期移動に及ぼす彬響に関する実験結巣
n
plck up rateは 織 彫 さ れ た ヒ デ オ テ ー プ か ら l.位時 I
I
J， '11 位耐 ~7 からの般脱例数を数え
ることにより求め，先に:ょ:測された底 t
f
i
lせ ん 断 l
ふ
プ'
Jr .との山係を調べた . こ れ が 凶
tanβ
ただし，
5
.1
3
にボされ.式(
5
.3
5
)て:，.t
坊されるJ!t!i
l
命曲 線と比較しである.実験{位と理命 曲 線 の n
uに は ほ
D
lす べ き 合 致 か み ら れ る .
ぼ渦， h
β
+
1 Dcotβ I
sin0 1
arcsin
l一
一一一一一一一一 ￨
lf cotZβt1 )
(
5
.
5
4)
.
r
ムx sP
であり. t
J
t)
JD
. 勝 娘 力 fJi次 式 で 与 え る .
寸ρAZdZ{[
U
d '
~:
f
i
[引)
(
5
.
5
5)
(
5
.
5
6
)
。
J
曹
J
u
︽z
p
E
・
‘
‘
‘
司2
a
o
内JE-
l
可
•
。
-nu
。
phuw
f
e3
‘
L
‘
，
内aO
内
l
ζ
nu
こ の よ う に し て 何 ら れ た 般 脱 角 度 β と無次 JL
底l
l
l
iせ ん 断 応 )
Jと の 関 係 を 式 (
5
.2
2
)とともに
r
nD
両行は良好な合致を主し
内
5
.1
5に小した.
凶-
υ
u
m
ツ a
o
d
l
-
1
0
-3
。
。
P
S*
‘
‘nv
PS食
--
内
ている.
7
r
P
ー
a
u司
υ
n
1
0・4
。
50
。
5
.
4.
3 横断方向勾配が存在する場での涜送
60
過程に関する実験結巣
d
l
-
、
， AU
1
0
-5
}
LE
AU
-
t
‘
-‘
-
't
τ
0
1
0
*
凶5
.1
5 仰IJJ;~ 斜面 J' の抜け 111 し flJ
(
5
.3
9
)を Runge Kutta仏をJlIいて数倣計算.
し
ただし，凶 5
.1
4に示すよう
1
0
-1
5
.1
6には. R
し
、 l
の各制域より緩脱した砂村ー
5
.
3
8
)，
の軌跡が〆わされている.運動 )
J程 式 (
次に砂の荷量税方 I
;
'
J
β についてもビデオ解析に
•
0
.
0
1
9
0
.
0
1
9
0
.
7
1
1
O
.
Z
l
l
1。
9
.
‘
，
、
，
a
v
63
F
up--s
仰IJJï~ 斜面 l の料 f の plck - up rate に l却する実験伯と理~~ 1~，の比較
よって検討した.
。
。
。
arr
I
(
j
同一-
均イヒしたものを各領域の'11
をアンサンプル、Y
剛一-
2
0
1 1
6
.
5
1
3 1
65
1
晶
1
6
.
5
1
1
2 3
36
9
c
ot
o
・
・
・
'
e
。
tv:の軌跡を 5
0例 品 み 取 り . そ れ ら の 運 動 軌 跡
よから隣脱した砂利!の軌跡とみなした.凶
心f
*
・
RUN (de9.) d(c
l
I
I
)
nu
5
.1
3
3
r
:
P
l
t~
1
0
-1 τ
ビデオ向像である測定領h
まから麟脱する砂
4
内
*
4(
1
。
h--
t
U
︽
・
1
，
何
nu
phuw
l
AHW
l
e
。
T
0
1
0
(
a
)粒子の涜送過程に関する実験結果
Llprn同 nutOH.
に閲する尖験 1~i とJlll 愉 1lil の比較
た 巡 動 軌 跡 (r ・ 0) と，連動ん 42 式の ~F 定常項
:
:
'
x
除ー一一一一-tI
C， ~.)JRII'l 後
nへ の 変 位 (ox， .
op) を .
.
1
に般脱後続初の{!7.i
を創刊見した近似解(式 (
5
.
4
2
)， (
5
.
4
3
)
)から伴られた迎動軌跡 とを比較する
i
f
l
I
J
すると.これはほぼビデオの i
コマの時間ム t
においては ，J
I定常事l'慣 性 刷 ) が 無 悦 で き な い が ， 述 や か に A
L常 状 態 に な る こ と が わ か
l
J1
S
tβ を J測 し た こ と に な り .
の干均的な巡動の f
命じる
る.従って.平均的な運動ん I
:
'
Jを J
Qの 貯 脱 角 度 β を 挺 え た こ と に は な ら ず ， 繍
が必混となる.
1
1
:
側j
手斜前1に 沿 う 流 れ の 偏 伶 角 度 を r
ム 1時 間 内 で の X，p
!
j
I
I
'
Jの j
準動
M一
一一一一二。 fSlnβ
(
ム t)2
1
0
碍J
JI.にとると..il動Jif'.'A の 解 は ほ ぼ 実 験 {
I
i
!
を 必 明 し て い る が ， 側)
;
1斜 面 の 隅 角 却 に お い て は や や ず れ が ば め ら れ る
ん限式は次のように般散化される.
2ムx
iで は ， そ の )
1)
I
i常 性 は ほ と ん ど 熊 悦 で き る .
同
2~p
5
.1
4 粒子の抜け:Bし角
M
一一一一一-f，
COSβ W
sin0
(
ム t)2
おいては
次流の影響があるにもかかわらず，
~I' n，においては 繊断ん I;'J に
これは問1
令部に
~依としたこ
}， A
とによるものと.Jjえられる. ，;1算では C
.
.
.0.5.μ ‘.O
.4
.C
，. 0.4，u.A
.
.
/ghibCOS(
.
(
5.
5
3)
7
，6
2とした.
.1
7は . 繊 断 方 向 帰 流 砂 の i
kト方向変化の実験他と 5
.
2で足1!べた M抗 砂 モ デ ル に も と
凶 5
一122-
-123-
づく計算*，1，*とを比較したものである.ただし.計抑ん法は 5
.
2
.
1に 基 づ く 目 銭 的 な 積 分
(
b
)横 断 hl
句掃涜砂-'t分布の数値模援 の h法
t
lに 辻 す る ま で の
で は な く . 次 に 述 べ る よ う な 数 値 悦 録 的 な 方 法 を 係 っ た . 実 測 鮎 * の 平i
5
.
2
.1では，
般が平，U!伊tJl末の場合に比べて短いこと.平後1
M流 砂 川 の も や や 小 さ い こ と よ り
鈍i
I
~t・ p に
J~ 、... ，
t
{h
t
li
k砂
ため，解析解を
zff，バこついて述べたが.砂絵の連動力ー限式が J
I
:紙!J¥I!である
般的に得ることは難しいこと，凶 5
.1
の (XA，PA)点 に 対 し . そ こ に 入 っ
吋f
こってはヂ.tL
J
St
ep lengthと し て は ^ 50dとした. 向 者 の 対 応 は 良 好 で 提 案 さ れ た モ デ
て く る 砂 純 の 出 発 点 (Xo， Po)， ~動軌跡長及びよ駆動 Ji 向角を求めることはさらに凶 !艇であ
ル の 適 用 t~: は検証されたものと判断される
る
。
。
p/d
比較的短時間で運動は、J~ 衡になるとしても，
響 を お よ ぼ す こ と か ら ， こ こ で は . 離 脱 位，
1
7
;
X
p/d
(Xo，PO)か ら 計貨 を 込 め る 形 式 の シ ミ ュ レ ー
5
シ ョ ン を 行 う . す な わ ち . あ る 点 (XA，PA)に
5
:
1免 時 の 慣 性 の 効 呆 は そ の 後 の 通 動 に 彫
おける流砂祉は縦脱 1\~_ În ごとのiW過 iìl の寄与
1
0
1
0
ヂ
ザ
-ノ
を無視することなく散似シミュレーションに
。
1
5
2
0
x
/
d
分の総和l で与えられると解釈して.非級将~IJl
1
0
2
0
x/d
。
:a分布を求める.
よって疏砂 l
陪5
.1
8の よ う に X， P輸 ん 向 に そ れ ぞ れ ム X，
p
/
d
ムpの 釦 岐 に 分 割 す る .
5
この餅散化した仙域
I
(び
内のある lつ の 鎖 減 の 弔 心 (X，・P )より J
c
1
I
Iす 砂 純 の 偶 数 に 際 脱 す る 砂 純 子 の 個 数 は 1
'
1
0
な時間吋り.
1
1
0
)
(
I
d
闘
~(X i ・ P I)
20
5
.1
8
数 flt. 快挺の概~
ムX-d
.P
一
一
一
一
一P.(X" PI)
2
(5.57)
Azd
凶5
.1
6 斜面上純子の運動軌跡の測定例
で与えられる.
-
AU
l
領域の代主点(
X ，P)から解脱した砂純子の軌 跡 は . 運 動 方 限 式 (
5
.
3
8
)， (
5
.
3
9
)を 数 例
1
0
-1
可
内
Mu
*
n
v
n
u
m，nを 聾 数 と し て 絡 子 線 m-t
.x，(m・0・
t
.X， n-企 p， (n 1
)-
計算することで求められる
q
s
p
*
l
l
‘
，
今n
u
‘
，
内n
u
opで開まれた領域の，T
i心 を (X"'，P.)と し . こ の 制 減 の 代 ぷ 点 と す る .
絡子線 m-t
.x， n-d
.pを 超 え た 時 点 で の 移 動 鈍E般を
S.
，
純子がこの傾峻の
で去す. step Icngthが、Y
，
UI
M1
ふ
IJ
kと 閉 鎖 に 指 数 分 ぬ に 従 う と す る と ， 物 f線 を 飛 び 越 す 確 本 仏 は . 式 (
5
.1
4)
より次式とな
る.
A
目
VC
、BEEs--J
nuF
rEZEEEEEK
VA
戸、
-一八日
∞一仏
c
o
ρU
帽
AU﹃
n
u
-
AU守
n
u
l
(
5
.
5
8
)
よって，点 (
X
'
"‘ Pn)で の 派 妙 僚 の う ち ， 点 (Xi，P )を出発したものの寄与分は.次のょ
，目匂
m
)
v
n
っに与えられる.
図 5
.1
7 機 断 五l
o
J疏砂量分市の実測値と計算{仇との比較
ー 124-
ペ
ご
こ
十
)
i
j :(X ，P )を出発して (XOI ' Pn)を 超 し た 利 子 を 返 す .
内
u
，
‘
2D
J
AU'1
ζ
P
、
n
u
n
u
“
a
d
U
︽
‘
nU
‘
、
﹄
置
，
内
n
u
U
︽
l
U
4
︽
l
U
内
F
)
、
，
‘
，
‘ m
AU a
rb vA
d
AU
AU
守
nU
、
，
d
U
︽
nU
‘，﹄
U
︽
l
nu
‘
、
d
ー
υ
n
、
，
、
，
ここで.添字削
r一A
1
0・
3
-125-
A3d
OQ8(Xm， Pn1X" P.
)=一
一
一P
.(
x" PI
)
GS
(S
o
a
n
l
l
.
)
(
5
.
5
9)
A
z
0
1
，
仰
5 1 5 0 i --
こ の 寄 与 分 の 方 向 は . こ こ で の 砂 微 の 運 動 ん 向 φr
nnI jに 一 致する.
1
1¥発点に附する条例を開放すると最終的に点 (
X
'
"，Pn
) で の 機 断 }j向 流 砂 J
.
[
Q8
p
(X
" P
n
)
Flow
は次式のようになる.
111111
11
ノ
11tri
J
n
m
'A
n
・
s
川
BF
p
o
B
，
、
‘
，
e
，
p
u
、
、
IAW
、
﹄
a
f
n
服、
n
H
AV
n
pbm
-
1
・
、J
，
‘
n
v
，
V A n v，
.
ae
nvx
白
，，.、
-m
n
M
F
VAri--k
，、
‘
， nZl
h
a--
2
li
可
，
・
{mzi
t
nzJr
J1
E-anu
m 、41
3-2
・A - A A
、，
a
，
、
n
v
a
v
a
n
n
u可
、
p
‘
，.
，
(a) 水 路 倹 断 面 図
・
(b) 水路、ド I
商凶
凶5
.1
9 実験装世凶
(
5.60)
ik~ の }iIÎ'Jφ(X m
[
r
r
m
)
~ f
l
a
tb
e
d
表
5
.
2
実験条例ぷ
P n ) は次のようになる.
!
D
n
1
: ~ム Q 8
(
X
.
.・Pn1X" P )・sinφm
t
fIJ ]
i=
1j=1
I
ψ
(
X
"
'， Pn)
(
5
.
6
1)
mn
1
: ~
oQo
(x
.， P.
r 1X
ぃ P)
・
C
O
S
φ&
f
tI
1j ]
i 1J・ 1
(
:
l
'
1
l
i
.
'
¥
】
{
ι
mf巳}
5.5 2<X涜の存企する 涜れ場への拡抜に関する実験的検討
5
.
5
.t 蛇行涜路におけるp
i
c
k
u
pr
a
t
eに関する実験
5
.
3で 提 案 し た p
i
c
ku
pr
a
t
e総 定 式 は 主 流 の 偏 怖 を )
51
1して導かれており. 原 理 的 に は
1
，流路など縦断的l内に
向
，1
2次流が存在する場においてもイf効であり.本節では.その)JJJI]
t
Lの検討を行う.
l
n
eg
c
n
c
r
a
t
e
dc
u
r
v
cに 良 く 迎 合 す る こ と が
実河川の蛇行流路Ill，級は，次式で示される S
L
a
n
g
b
e
i
n&L
c
o
p
o
l
dI
I によって指摘されている.
2πs
(
5
.
6
2)
α
) =W
oSlnー
ー
ー
一
ー
L
ここで， ω:蛇 行 水 路 中 心 軸 か ら の 偏 角 .ω
。.
蛇行ぷ路中心敏からの紋大悩角
I
に沿った距餅， L
:蛇'fr流 路 た で あ る . 実 験 は . 凶 5
.1
9に 示 す 斜 I
f
n傾 斜 角 が
。40
の形断面をイf
する ω
0
s 蛇行
o33.69
の
， L2
mの 2波 j
止の蛇行水路で行った.起小型プロペラ流泌 .
.
1
・
で
l
c
ku
pr
a
l
eは ビ デ オ 両
繊断面内のお!t速を，タフト法によって底山での流向を測定した. p
η
J
f
'e
lClll
.1
9(
b)
に
ノJ
'さ れ る 通 り で . * 理 条 件 は 実 験 条 件
像解析によって測定した.計測Iffr耐は凶 5
(
a
)R
u
n1
'
A5
.
2に 1
'
-されている.
(
b)R
u
n2
同 52
0 蛇行総路の描 i
k
)
J分布測定o'J
ー1
2
6-
国
5
.
2
0には.
組
2(欠iIOtが{"i-<Eする訴t
れにおいては. 式 (
5
.
4
3
)からわかるように 2次 洗 に よ っ て 悩 倫 さ せ
r
f
ol
t数削を適用して
られた:1:
流 の 抗 向 を 求 め る 必.
，
!
l
'1がある. ここでは地 (
I
JI:
)が続'導した
1!! られた底蘭せん断応力分市と等部t~ 線
のi
I
O
iド方向変化をィーした. 問中の破線は
n川
炉
C
vp
z
l
に依るものと推測される.
‘
〆SEE，
a
'EEK
Ed
r^(f) =
rat
c
の実験値と計算 i
l
r
lの 比 較
5
.
5
.
2 蛇行涜路における粒子の運動方向に関する実厳
R，・R，:運動軌跡の rlll)~ 半径)は他の項
運動方程
(
5
.
6
4
)
ゐ
-f:
2
(
5
.
6
5
)
である. f( ・ )は主流 U. の 償断}j r~'J 分衡を 示し， 移動床湾 1
1:
¥
'
i
lの羽合. 匁1
い遷移 (X聞 の 後 .
強制尚型になるので次のように虫す.
(αd Zv ， Z) に比べ，
。
f(
R
/
Ro) - R
/
R
R，が J
J
<路 の 曲 家 半 径 と ほ ぼ !
u
] ーオーダーと考えると， d/R， i であるから熊視できる. 従
(
r
i傾斜角の
j限式としては式 (
5
.
3
8
)
.(
5
.
3
9
)で ￨分で， 流 れ の 偏 偽 と 斜 I
って. 純 子 の 運 動 f
- fZ t
2
fZI
nf
F
'e(f)
蛇 h ・湾幽流路における~チには境界面の曲がりに伴う迫心力が作用するが，
2
vLiw
1
1:
"
1'
1
'
:
.
1
長
，
1.した pick up
5
.
2
1 主流の偏奇を考 1
a
l
h
iせん断/，e， )
Jの評価
ては， その原因は J
(
5
.
6
3
)
•• :次訴Eの 速 度 . 1
E z'
h
. z:河広からの日さ. κ : Karman)
l
It
i
.
.
'0 :斯 l
師、"
.
均流 i
主. u
. 際線速度， h:1
;
JJ
9
i水深， R:流れの l
防相 .
'
1
'
:
.i
子. R
o:断 rl日平均流述のも~. i吋での
l
凶
-のばらつきの 人きい 曲
折l
f
i
lに闘し
の. 向!i
銭湾 I
U
I水路んおけ
11piJ
，
.
、炉かも
，，‘、
P
.
.
s
(
o
b
s
e
r
v
e
d
)
傾向を説明しているものと思われるもの
3
n
r
1
0
-5
を不したものである. IW~"M' ，:ま実験値の
﹃
a
u
-
nu
-
J
t
1
H1怖と尖測他との対応
式'1'の~心 h の項〈 αv ，2 d
{
r
(
↓}
J士
士 {FA(f)
p
-
AU
1
:
10
L一
山
l
J.
pick'
up ralcを測定
4
、
る 2次 i
k
M
L
i
車(縦断 J
ぢ向成分) U
.を次のようにうえている.
した位置における般定された欧娘速度と
i
/
.
i
r
仰にもとづく
1
1
1の 1
1:
"
1'1'.慌がト分大きい掛合についての
また水路相に比べ流れの湾 (
，
炉
、
5
.
2
1は
，
n
v
日 IJ にもとづく方訟で抑~， ~可能である様で
凶
l
{司hwM2EUF-3}
断I
t
l
i内での偏怖がぬ端でない限り， 対数
a
u司
e
ある
ぷす式を川いた評価を試み， ヨ:腕怖と比較する. 池 (
I
Jは水深に比べ 11<路幅か￨・
分に人さく.
PS'
r。ρgh1bCOS を 1
i
.す. 紋人税E述点;の
玖=
i
kの 辿 l
!
r
分
。fを
(
5
.
6
6
)
"
}
i
. 主流iIOt速の分布形は歪まされないものとし.
Wf.価が流量生、の運動を J
まえる上では重要である.
'
4
00 • L=
6
.
7
8
' の台形断面を有する ω0.
2
2に小される斜面傾斜角が O 2
実験は. 図 5
U
.
R
u
.
R。
一一 =f( ー )
(
5
.
6
7
)
2mの 3波長の slne-gcncralcd curve状 蛇 行 水 路 で 行 わ れ た . 超 小 型 プ ロ ペ ラ 流 速 計 で 縦 断
タフト払によって底面での流向を測定した. ま た ビ デ オ 解 析 に よ っ て 側 岸
で与える. l
(
f
凶i
流向 7を粒径何度のぬさ z"
dで与えると. 式 (
5
.
6
3
)
.(
5
.
6
7
)より
JE
a
(
5
.
6
8
)
.J
/三宅、
Au--AU
f
i
x
e
d
c
h
a
l
l
n
e
l
l
a
nr
HU-HU
，
の Run 3
である.
Lの粒子の運動方向を測IJ)i:した. 通水 条件は./A 5.2r!
、
、
，
、，，r
‘
、
幽
，
，、
-
山l内の流速を，
が得られる.
Fi~ed
t
h
a
n
n
e
l
同
コ
く Flow
5
.
2
3
1
こ. 式 (
5
.
6
7
)によるけ初{仇と災被j他との比較を小した. 間 1
1郎中央での抗 1
"
)の
偏{奇がほぼ計算で捻定できることがわかる. また， 問中には， 式 (
5
.
5
0
)にもとづいて日￨わ
20
Jζ
l
げ
﹁﹂吋
N
'
，
t
聞圃
自-
¥ 一 一0
J
nv--
V
dU
ー
e--J1
︽
-;-
F;
:
・
COHO-D
'・
tr ;
された花子の運動方向角 φと実測併との比較が示されており. こうした万法で φの折t
l
i
:が
可能と思われる. なお， 図中には t
l
LI
制対数則より評価された j
底的lせん断応よlも併小してあ
A
l
l
u
v
i
a
lp
a
r
t
-.
.
.
.
.
、
ご
，
・
・
・
句
、
01
1
、
.
.
.
.
.
.一.
. 、 ‘ ' バ .
.，，-..._ - _....... ~
'，;~
"・;/ I
明 0 +←~九ζ:_ ~. :
.
.
.
.
.
て
..・ァーで.ゾ.~ずy
o‘
J・
4-+-.
ー
ー
+
ー
..
.
:
:
:
:
.
，一
ー
ー
ー
→
.
;
.
.
-
。 ト
I
1
I
o←
←20.0寸 -20.0叶・ 20.0→-20U寸
凶5
.
2
2 蛇行淡路の実験笹世凶
る. J
ト1)'に-4たっては r。ρghibCOS0とし f
こ.
J
*
以上の鮎*. 齢、粒の運動に対する~心力の直接効果は無悦でき. 流 路 の 湾 仰 の '
l
J は
!広
而・ぬ向として野価. 掃流量生、の巡動 )
u
Jr
のi
w備を考慮すればよい. すなわち. こうした下町i
)
(unit:ω}
一 12H-
一129-
で白線対t
路の側j
手上で織成したモデルが湾t
l
h却においても通JlI可能となる.
(2)斜 面 上 の pick up rate推 定 式 を 純 子 の 通 勤 1
if
'
，'式の解に掛抗力の乱れの幼果を付加
す る こ と に よ っ て 誘 導 し . 平如何外;のそれとの l
:果 を l
リ!らかにした. こ の 結 果 . い わ ゆ る
ι
r
o
s
sS
E
'C
t
lOn [
slope factorに よ る 限 界 柑 流 )
Jの 補 1
1.のみではイミト分であることを術嫡した. 従 来 さ れ た
モ デ ル に よ る 般 脱 角 度 . plck U
p ralc般)I!式は水路'k験によってその妥川 11:が検証された .
。
(
3)step ]cnglh ~び純子の運動プi 向を評価する
d
d
伺
U
M
w
' ︽H
-
，、
，
・20、
Fh
﹄
F
o
10
(
d
y
n
e/
c
m1
)
t0
(
d
y
n
e/
cm1)
5
-
軌 跡 と 良 く 一 致し， 斜 l
如 i
ニに お い て も i
ふr
f
i
iの 凹 凸 に 起 附 す る 湾 機 特 性 は 変 化 し な い こ と が
確認された.
(
4)移動を開始した純子は速やかにi.i!常運動の状態にある
こうした状況での旅れの偏
{
今
. 倹 断 勾 配 の 項 を 合 ん だ 速 度 . 運 動 方 向 に 閲 す る 式 を 必 持 し た . さらに. 級 縦 断 勾 配 に
﹄
F
，左門
対する線形解を求め.
'
b
恥
切白 EO'Hu---酎
口
tU1HOιH色恥wa'甲山両
・0 -・む FHUmw
﹄'口。
cr
0
5
Ss
e
c
ti
o
n[
[
う
2
0.程度の繍Itfr勾配までは厳¥4':1((とのえが小さいことを I
Jーした.
(
5
) 提 案 し た Mikモ デ ル の 検 証 の た め . 1羽定~から移動 lふに接続する側 Ji~$ における流
。
f.縦 断 }j向 の J
f
.
、
ド
後rM
流過程の文験をf
rい. 被 断 Hr
句d
o
t、
1
iI
O分衡を実証mした.
(
d
y
n
e
/
c
mZ)
5
(
c
r
o
s
ss
e
c
t
i
o
n1
[
1
、 にここ:5/:
。
・
自
BHC脚引'q申 帥
t
O C O MU白Lh
w口
﹄
。
5
0。
【
品以斗ポひ4
(
6) 蛇 行 ・湾 I
U
J水路においても， その 1111 本半径が人きく砂村への必心))の幼~が無悦さ
。
本市で提案されたモデノレが有効であるこ去を，
。
(
d
y
n
E
'/
c
m1)
.. (
c
m
)
，
(
d
y
n
e/
c
m1)
.
τ
'
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必
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r
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0
1
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) k谷川和義:非、v-1t
r性 を 考 慮 し た 側 jii位食品に￨則する研究，
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1
6号.
3)/'i旧和男
洗モデルの池川が合l!P.的である. 本立て~1げられた結果は以下の泊りである.
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:
、 後1J的利に適用するに‘句たっては. ~砂1.(を JZ え
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r
:l
.
.を 述 ね た 線 _
1.で情成すべきことをぷし，非、V
.
後rM
対tモ デ
I}
J程式'1')
1
，定 常 項 が
/レを蛇来した . 提 案 さ れ た モ デ ル を 用 い て . 修 動 開 始 時 の 絵 子 の 必 受J
stcp Icngthに よ っ て J
P半後it
もが持ち込まれること
e
pl
c
n
gl
hと 純 子 の 運 動 方 I
:
'
Jf
l
Jに よ っ て 決 ま る こ と を
その緩和スケールは、ド均 st
1
犠 で の 部t
砂.tt..況は繊断・決ド )
J向 の 非 平 衡 脳 流 i
飴胞として特徴付けられ， 従 っ て J
I'
半後i
締
1
:
i
E縦 : 移 動 床 ぬ れ の 鉱 抗 と 婦 がE砂 i
i
tに￨則する基礎的研究. l木 学 会 冷
p
.5
96
9
.1
J
:
.
f
i
2
0
6
1
;
.p
9
7
2
.
・迫
4) Lundgren，
:
本1
3
:
では泳路変動のふ過刊である側作上の柿流巡動についての倹.
:
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shallo曹 channc1
s， J
ydrauJ
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¥
'
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SCE， I
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l
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I
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8り'
B
.p
1
9
7
5
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6
)i
"
(J
t
-健 二 ・戸川手n
9
J :粘，ff1
I
J
.iI.t路の似食と償断 J
f3状に l
測 す る 研 究 . j~，，('会冷文鰍(』「
民
， 第2
p
.
7
38
6
.1
6
6号. p
9
7
7
.
7) 福 間 後 て ・t1J.
J
t
;
('
.
.
'1
&:な め ら か な 縦 断 面 形 拡 を も っ l
i
't線流路のせん断 1
ぶ}]分命'と 拡 悩
過 将 の 解 析 . I~ 学会ぬ文綴 ~I，' ~. 第 3
5
1号 ID
8
)L
a
n
c
.
1
3
0
-
9
8
4
.
2
.P
P
.
8
79
6， 1
E
.官 : Dcsign of stablc channcls. Trans. ASCE. V
o1
p
.1
2
3
41
.1
2
0
.p
2
6
0
.
1
9
5
5
.
指摘した.
上ノレ~~.会 =a 文械 ~!f ~.
p
p
.
3
75
0
.1
0
8
1
.
文械告集，
5.6 誌 論
無彼できるような条併ドにおいても.
nう流路変動について，
1
9
7
3
.
庄1
m硫向及びiIOt砂のん向の分ゐ
5
.
2
3 蛇行抗絡の婦疏カ， l
る位計に人ってくる段
実験~内の蛇 fi 水路にお
いて pickup ralc~ び純子の運動方向を証mJÈ することによって昨認した .
fの i
墓 動 ん 向 及 び 底 的i
流向
凶
n
従来した
モデルにもとづくJl' 舶 は 実 測 他 を 十 分 に 説 明 し . その安吋ft.が施 d さ れ た .
れる掛合には，
anυnu
Rdr
、
・Eo--" ，
﹄
F
-COHdo
h o z o FいU@L'白
'
J
(
)
i
(a) 位
をぷし.
i で !T(;裂な砂伐の運動 H f'l 式を滑動的
式で岩波した. 平
足!か1
'I
末で得られている動蛾僚係数をJIlいて f
十切された軌跡は実測された
。
"
一
戸 口広口
FHU副官も邸白
h
F
phU VO
由一Fcbbト唱曲凶
山﹄ P白
﹄D E O H M U
5
-131
ー
第 6章
9) Ikcda. S
. : Incipicnl motion of sand partic1es on sidc sJopes. J
.I
lydraul
.
的流過程に及ぼす河床面を i
u
lしての流出入流述の影響
Div.. ASCE. VoJ
.1
0
8
. I
I
Y1
. pp.95 1
1
4
. 1
9
8
2
.
10) Non CQulJlbrium bcd 10ad transport a10ng side slopc of an alluvia1 slrcam.
. Symp
. on River Scdilcntatlon. Mississippi. L.S.A..
Proc. of 3rd I
nt
6_ 1 概 説
pp.883 8
9
3
. 1
9
8
6
.
1
1
) Langbcin
.
官.B
. and Lcopo1d. L
.B
.
:Rivcr mcandcrsThcory of minimum variance.
m駿 介 : 修 動 体 作J川 の 問 l
l
b官官における
1
:
砂や土石洗.1:11i
j
1物 が か
なりfILな構造で河川、を形成しており . ML
ふの
U.S.G.S. Prof
. Papcr. 422 H
. 1966.
1
2
)池
I
J
J地 河 道 で は 幼i
地
次流と動的縦断、V
後 iM
床について. '
1.木学
会 論 文 線 作 集 . 第 229り. pp.55 6
5
. 1
9
7
4
.
)
(
f
iが 高 い 場 合 が あ る . 関 6
.1
に小すよう
透/
に.特に堆積肘上泳部では河床面を泊して1l.
¥ (
[
mぬ へ の 流 量 洗 出 が . 下 説 部 で は 討t'
I
i
1
i)
l
流入が活発で，その
l砂 輸 送 へ の 影 管 は 相 吋
訴しいものと縫測される.また，尚い透水性
jす る 透 水 制 上 の 洗 れ で は .
をf
1
:
記のような
e
，
(μ
d
g
eflo~1
系統的な疏量出入かない場合でも岩I
l
l
iぬ と 浸
&
1..i!動;止の交換が t
再発で.
透流の間での質 1
瞬 間 的 . 局 所 的 な がt1
1¥人は，表的J
m
tの み な ら
ず，抗砂過程にも刷、句な彫響を与えるものと
凶6
.1 波休止U
:
般}f'
jへの疏J.I.の旅人i/.tt
l
l
思われる.
さ ら に ， 洪 水 時 の 急 激 な 水 位 変 化 は 堤 体 内 と の 水 の 収 支 に 遅 れ が ' !'じ る た め に . 側 J
Pに
ゆ流砂過程，及びそれに伴う侵食過刊は.代守面を過しての;)(の流出人の彬型車を受けるもの
とJ
3えられる.ふ研究では.以上の現象に共通する)1.4
>
.
的
・J
f象として.か'
1
1
ふからの微小か
っ定常な流出入総速によるほとんどて宇治状態を保つ
2次 JLi
A
tれ に よ る Mi
I
O
ij
必刊 の変化をJlIl
i
A的.実験的に検討した.本主主で現象のサブシステムに泊JlIする考えん→
や物JlIlモデルは.
条例のより複雑な. 1
二述 の 様 々 の 現 象 へ の 適 用 性 を な お 郎 似 で き る よ う 配 慮 し た .
ところで，水J!
I柵 造 物 周 辺 ， あ る い は duneが存存しているかJ床 で は .
m
tドん向にJf.)J勾
配 が 必 然 的 に 生 じ ， そ れ に よ っ て 必 起 さ れ る 浸 透 流 が 総 砂i
駆動に影響を
υえ る と の 観 点 .
あるいは洪水の誠;)(1)
J
におけるか'
JJ i-~ 堤防材料の抜け 111 しとの閲述などから.
1960年 代 前 '
1
'
-
か ら 流 出 入 洗 速 の 砂 純 の 運 動 へ の 影 響 が 術 怖 さ れ て き た . こ う し た かJ
休"
1
1守JlD過 す る ほ 透
J (seepage f0rcc)の限界掃討t)
Jへの能響を， I
l
arrI
50nけ ，Martin2J ら は 物 理 的 な モ
流)
デルを Jl]いて解析を行い，流出入 m
t述 に よ る 底 面 せ ん 断 ，
.
:
i
J )Jの 変 化 お よ び そ の U紅 が 粒 子
d
l
t
J
J;が主化することを
そ の も の に 与 え る が1接 的 な 抗 力 と の 相 対 的 な 関 係 に よ っ て ， 限 界 M
見:
1し . そ の 後 の 研 究 の 雛 形 と な っ た .
こ れ ら の 研 究 で は . い わ ゆ る sccpagc forceによ
る砂純への筒接的作J
l
1力は.時1に動;)(勾配と透水 i
.f:数との杭としてみされるにとどまって
おり
-132-
0ldenziclS)はかJ床 材 料 ， 透 水 係 数 . sccpagc vc10cityの 関 係 を 文 験 的 に 検 J し.
ー133-
これを限界帰抗 )
Jへの s
c
c
p
a
g
ef
o
r
c
cの影響の評価に結び付けた. - H
. fatlers &Rao・2
ここに
はs
ccpagcv
c
l
o
c
it
yによる )Jをより正磁に計価するため. s
c
c
p
a
g
e vclocityの (
f
.伐による
u
.
;
カ
， U(1
'
) :ぷ I
f
t
i流 ()流)の主任逃分布である. R
c
y
n
oI
dsLi:..))に対して混合鈍 I~ 理論を適
MI
.
k1
1
1
1~・J .ilIの利子に作Jflする抗 )J
用し. 1
。二κ 。
1
'(
κ 。
: KむZ
1
4
r
I定数)とすると.次のような洗述分{t
・
U(y)に 閲 す る 変 敬 分 限 j
巳
・ 揚力を測定し， s
c
c
p
a
g
ev
c
l
o
c
i
t
yを 川 い た R
c
y
n
o
l
d
s数
と抗))・儲 jJ係 散 と の 関 係 を . 吹 き 出 し ・吸い込みそれぞれに対して剖べた.話i
H
I入流速
のイfイI・ する場て'の im 砂主t といった極Jl l~ からの研究は，
r0
(
;
'ρu.%):~正面せん断応力
u.
欧州R 速度 .ρ
水の常 I
虻
ρお :R
e
y
n
oI
d
s
の微分 }i程式が得られる.
S
)
U
i
j述の O
l
d
e
n
z
i
c
l によっても実験
d
(1 -1\'0 ・ r~ =
d1
"
1
0
'
v
o
.
的な検 Jが行われており. '
f
.衡訴t
i
品
、
危t
に 与 え る 吸 い 込 み ・吹き出しの影響を.前./'].は抑制.
n弓o'U'
(
6
.5)
T
rlfif 砂量については.官 ilJetts~ が吹き :11 しのイf イf する場
後おは促進と結論している.同 r
で実験反び理論的検討を行っているが.話t.
i
l
l
!
分
イb
ーのうえ方及び同所説tfP杭の変化事の{FJI.)t
ここで.各量は次のように無次元化されている.
に問:&が倍されて，明峨な結論には至っていない .
h
i
:常性・ ー
・ 様性が泌足されない湯合.
1
0. c u
.
l
o/ν
y・ ，
-
必然的*，li~ として !t じるMt i少の JI 、Y 衡を配慮し，そうした状況への適川が可能な掛疏砂モ
U
'a U
/
u
.
v
o
φ
デルとして，
'
11J
1・辻み・が発泌させた p
l
c
ku
pr
a
t
cとs
t
e
pl
e
n
g
t
hか ら 成 る モ デ ル を 採
St
c
p1
c
n
gt
hの特性 <
:
1:
として，その確市街 l
主 側 数 人 (f)で代表され
の洗迷分布が得られる
n
a
たたし，
吋
ω P
.(X1
D
r
k‘
κ
。
I
n-
であり. k
.:苛 価 砂 粗 J
立 である
(6.3)
(
6
.9)
。
y
L式は
』庭先~t 数JlIJ と呼ばれ，
Dorrancc&D
o
r
c7) によっ
二の i
f
o
tれについて初めてw.かれ.小川・編 t
l
'・ に よ っ て も 検 dされている
て滑山 l
¥
'0'
0
とすると.通常の対数別に 司致する. 同 6
.
2に，式 (
6
.8
)をがしたが，吹き 1
1
1し(
V
o>
O
)で
"
'
00
)で
.
1
1
(
/JJlの傾向か~められる.
みかけ Uarmaoi.E数が減少.吸い込み (
‘
6. 2 吹 き 出 し ・般 い 込 み 速 度 が 表 面 涜 連 分 布 に 及 ぼ す 彰 響
5
0
U/U
合
J
c性 河 床 1
:
の表面ぬと肘内浸透旅との.f'f
ll
J
:
作
J
l
)
は 一般に. s
l
i
p速度. U
"
.と " 流 出 入 u
i
t
透J
j
車. V
oで 代 表 さ れ る . 本 市!
では ， Ml
ぷ境界 L
l
iを通過する流 1
1
1人 流 量 に
J
.0
，"
'
0c
o
n
sしとし.
ら
， l
nnしていることか
さらに h は土ぬ流速に比べ寸分小さく、写疏近似が日I
能であ
4
0
3
0
2
1
¥
ると仮定した.
掃討t
過料を対象にするので，J
j
c
l
'
V学的 *
U"
L
f
I
iを仮定した.さらにいわゆる墜法UlJの成、7す
1
0
l
・で仮定されるように近似的に水 1
(
0まで治 J
I
Jす る ) そ 対 象 と す る と ， 粘
る領減(必常;Jc!'lJ.'
1
01
t
lIJlを熊観して.次の))のつりあい式が h父宮する.
r。
n
u
r
i
K
n
u
{
川
一
A，
d
l 2
at
2
(
6
.1
)
(
6
.2
)
Pd(X)
a
1
'(x)
(
6
.
7
)
〆
allit
VA
AU
JU
ES
u
v
o
、、，，，
vg
保
、
-a'
r
s
E
x
d
taVA
J
A
M
-
x。
。
、
∞
4
κ
raEaEEEEE
v。
HU
A
a
l
'a
tは次式でうえられる.
EE
p EEEEB・
、
，
‘
、vv
Qu(X)
¥
'
o/
u
.
竺
ただし. ν:/Jcの動将l
t
l係 数 で あ る . 式 (
6
.5
)を
， l
''
10で U0と す る 境 界 条 例 で 解 く と . 次
る)がィ、変である条件では， p
l
c
ku
pr
a
t
cが幼所的に変化するとき， I
，
J所 婦 流 砂 品 Q8(λ)，
d
c
p
o
S
l
lr
a
t
c Pd(X)，かJ
1
ふの時 1
1
1
1変化率
(
6
.6)
h
J
J
Jした.すなわち，
u
.1
'/ν
ρ日
ρVo
:
t
(
6
.4
)
1
0
2
国 6
.2 流~分布に及ぼす洗 111 人洗述の影響
(対数:乗 U
I
J~') i
f
o
t迷分命)
-131-
y/kS
-I
:
{!
'
i-
1
0
3
一日 一
2
一h
Ft
111112J
l
、
n
u
rzlBIt-BZ
、
‘
rJE
E
EEEEEBE
ノ
、
‘
内
H
SEE'EEZ
-一ん
，
-aa守
h一κ
l
J
.・
，
、h一L
式(
6
.
8)
のy
=
yo-hにわたる積分により，平均読述公式 (妖抗日。 ) として次式が得られる.
6. 3 吹き
t~
mし・ 般 い込み速度が河床砂粒の pick-upraleに及ぼザ膨響
6
.
4に '
1
とされるように. Ml
ふ砂位の p
i
c
k
u
p*象において吹き:1¥し・吸い込みの効果
1[
1+
:
'
OJ
D
r κ。
(
6
.1
0)
(
o抗のおt.i度分街形の変化による純子に
は.主 r
する抗}
Jの変化.抗:1¥入総速による派体
作月l
ここに.添え '
(
:
mは断刷、ド均偵をボす.いわゆる妖抗係数は. f-8 ( u .l U "，) ~で定義される.
ノト.抗 1
1
¥人 流 速 の 有 無 に よ る 妖 抗 の 相 違 を Q '三一 fIfn (添えネ nは Vo，;Oの と き の 航 ) で表す
ことにすると.
r0
であり . Q と A1
r0n
(
士
r
n
s
h
L
n
[
f
Q
力の直接作H
Jの 2つの幼虫として
w現する.
か
I
瓜J
砂純に作用する }
J
. すなわち.主流に
l
l
t1
1
¥人nIt.cl!による抗力 D，， 持力
よる抗力 D，i
Umn
(
6
.1
1
)
U
m
Vo/U.n vo.'
; Q) の凶係は f
nをパラメ ー タ に し て 次 の 式 で 与 え ら れ
る.
LklD，砂靴の .
f
¥l
，
¥
:W
，r
7J
J Bの合 J
Jの流下
JI
I
J)成分によって砂村~r- が摩燦力 f.
方向 (x)
(静 lU
堅持民係数を μ fとする) に逆らって動
凶
6
.4 .
r
e¥
;.~ I
リ
j似￨
1
¥す と す れ ば ， そ の x
ん1
;
'
)の作 J
nJJFは次の
き:
ように裂される
κ。
2
κ。
~ fi[QI
‘
，
4 l fn
Q-IZlnQ
pr-
n2Q
いl
Q1
2
一
一
一 InQ
2
κ。
(
6
.1
2)
ところで.式(
6
.
8)
より.不浸透性河床での抵抗係数 fnは次のようになる (K
culcgan式に '
庁
一
ハ
数 ).
1
。
κ
'
l
/dz 1
0
0
0
0;
ここに . 0
3
0¥¥:
¥¥
¥
.
k
. dを倣i.Eして式 (
6
.1
3
)より
凶より吹き
I
Bし
(
6
.1
5)
砂舵の統
J
J
r
.U
d :
D
‘
何i
ぷ砂段近傍
ε。
，CD' ρ V oIvoAzdz
2
(
ya
d，a0
.
7
) の仇巡 . to
.
ε
(
6
.1
6
)
。:いわゆ
る遮厳係数， Co • Co・:抗 )
J係数であり，
2
IO ~
火、
、
，
，
，
不祉活科削除の妖l
i
.
:係数 fnを与えた.
8ρgAsd3c
o
s
α
D ε o Co ρ Ud ZAzd2
2
にして . ~l と ÆI の関係をぷしたもので
ある. -;';(1凶 ~*Il I，立は 一 線粒径に等しい
(
6
.
1
4)
日
3
凶 63
は . 相 対 水 深 hdをパラメータ
sinα}
D，D
，は次のように表されるものとする.
(
6
.1
3
)
k
.
千
]
ここで.官， B
は
とみされ，また，
1
1
.0
hn
l
n一
一
一
一
~.μ
]t
}
+μ
{t
卜
0
5
α
ここに. α は河 u
・と水、T耐のなす 1
ちである.ト O
カ旬、わゆる限界仰がt}Jの状態に相、汚する.
'ζ ogAsd'
=一一
として.
{I [
k
lI
Co
0
.
4
(A1，0) で 妖 抗 減 ， 吸
2
4
R
c
.Ud •
C
D'
O
.4
2
4
t
IVo
R
c
.
(
6
.1
7
)
い 込 み (A 1(0) で 妖 抗 地 と な る こ と が
と仮定した.ただし. R
c.コu
.
d/νである.いわゆる s
c
c
p
a
g
cd
r
a
gに関わる .
t
ir.rに・i-つけ
わかる.また. Q - A 1関係は.相対水
た.
賞~ 2 r:rに不したん仏ー
といj織に，
深川 dが 人 き い ほ ど . す な わ ち 不 浸 透 性
MWの fnの 怖 が 小 さ い ほ ど ， A1に対し
0，2 _
n
l 0
0
.1 0.
AI
勾
凶6
.
3 抗日i
人総』きが流れの抵抗
て Q は去しい減少閑散となる.
に及ぼす影響
-1
3
6-
砂純子の運動方程式を mいて Fが 作 J
I
Jしたときの砂舵?を
ス ケ ー ル だ け 移 動 ( 般 脱 )する時聞を求め.これに抗体力変動の幼*を侃i
~ t~ 的手訟で宅附
することにより.
l
I
1.枕時 I
I
U吋りの純子の離脱確率密度として定義される pick'
u
pr
a
t
cを
求めることができる.対象としている純チが組砂であることを考慮して.その*，t
i-*を近似
-137-
表現として吸い込み・吹き出しの効果による修正をすると， pick up ratc推定式は次のよ
Vと v。
‘
(，v
o/u
.
)の l
lO係を示したもので，こうした第想を行うと去 r
l
t
ii
I
.
iの変化は v
ι・の中
うに 1
作ける.
ニパラメータとして現
に取り込まれた形になっているため.不辺活性河床の抵抗は凡鉛け l
れてこない.ところで.同 6
.
3及び凶 6
.5に示されているように.杭 l
h人VIt辿の効果は車
P
.•
aWE
T
a
-
EEEEEEE
ノ
e-
帽
司 -
?t--
-'a
-圃
民
L"
パ
一 Q
，
、
iは吹き
両洗の変化を介してのものと.流出入疏速そのものの効呆とから成っており.前 f
•
(
6
.1
8
)
に;
1
としたように流れの妖抗
出しで抑制幼虫.後者は吹き出しで助&効果を示すが. t~ - 6. 3
1:慌にいうと.
(粗皮 〉 が 大 き い ほ ど . 後 者の能型車 は大きい.砂では.ほとんどの地介. 1
IA I <0
.1
.h
/
d'
3
0では吹き m
しで初期移動が抑制され. 吸 い 込 み で は そ の 幼 虫 が 促 進
される.
r• <
'
V
Hklμf
τ
ー屯
U
d
令
φ。
U
dn
ゐ
n
φ02{(+(kl+φ1)μf}
，
ε。
φl
ε。
1Q
C
'
D
C
D
1Vo・1VO'
2
U
d・
(，
2
(
6
.
2
0
)
h
/
d
=10
μf
(cosαsinα)
r•
'
f/
u
(
6
.1
9
)
三
(
6
.2
1)
n
(1
tk
lμf)三n
ぺ 万
3
0
100'//ン
'
1
0
0
0'
""
1
0
0
0
0'
A
C
D
A
:
ー
-n
ε。ー
一
一
一
2
A
s
(
6
.
2
2
)
u..
'
:
M
-
-nU
，
J
J・抗 }J比 kLは
(b) '
l
'
¥
，・
。
同 市 ，5 i
I
O
i:
h人旅速がかI床純子の初期移動に及ぼす彬管
数の l知数と勾えられるものの，十分大きいそれに対してはほぼ 一定 i~1 と巧吋えてよく，従来
ε 。に比べて '
1分な知見が得られていないことより.
ては .
。
ふ
(a) Q/W -A I
J
5
-ぇ.静止彦被係数 μ1-1とした.また.遮蔽係数は.Reynolds
より限界柿ぬブJや plck.
up rateの後定に用いられている愉 ε。 O
.4
を JIH、た.
0
.
2 ・0
.
1
n
u
には彫響をうえないものと
入l
0
.
1
。ζ
at n : に~'1たって各定数は次のように定めた.、の {f 作 iま，砂純の抜けl1lし時の母娘過終
C
n
u
0
.
1
l
であり.また. r. u
.2/
{
(o!ρ-I)gd}である.
εo につい
l
I
bmのため ε。-ε0・とした.錫
比較的小さな Reynolds数に対しては Raoら
‘ 3によって 検 Jされているが.
i分 人 き い Rcynolds数に対しての倹討がないため，ここではィ、沿透 ttM休1.の場{fと InH義
・
.
同6
.
6
(
a
)は
P
..
.
.
.
.
_r• 'l関係を
A 1とhd
を
ノ fラメータとして.
ん(b
)は P
l
'..
.
.
_'r .聞係
をhφ を パ ラ メ ー タ に し て 示 し た も の で . A 1. VO ・と不 i-1 通何 w の~~ l
i
L係 数 が う え ら れ た
とき
r川あるいは r.に対し P
..が抑定される. 同 6，6
(
a
)による止. hId 1
0では吹き:1¥
kl O
.8
5 1
0
)とした. 式 (
6
.1
8
)中の定数 F
o
.k
:，m は小川らのおft: l\人 ific~ のない場合の
しに対して初期務動が1;(.ill..吸い込みに対して初期移動が抑制 . hl
d1
0
0
0の i
必
ずT
. 吹き :
1
1
i
l
.
h0
.
0
3
.
しに対して初期移動が抑制，吸い込みに対して初Jtl
J
移 動 が 促 進 さ れ て い る こ と が dめられ
0
.
7
. 3を肱川した.
6
.
1
8
)， (
6
.
1
9
)がボすように流出入流速の初期務動に及ぼす彫響は，{ラメータ '
VIQ
式(
あるいは V で代ムされ. '
l
-I Q. If'が大きいほど.初期移動は抑制される.
抗:H人 ilot~ の幼米を)Ë1at的に倹，，-tするため，
n例をぶした.
凶より， h
/
d<
3
0
(
f
.>
0
.
0
3
8
)では AIの!w加と共
に.吹き/1¥し(A I・
0) に よ る 初 期 移 動 の 抑 制 . 吸 い 込 み ()
.1
.
.
0) に よ る 助 長 の 効 果 が 認
J
i
.h
/
d>
3
0(
f
肉 、O
.038)では逆の傾向が1H.IJ.l.することがわかる. 凶 -6.5(b)は
められる . -
一l
部一
x
¥
'
o/u
.nをパラメータとし. 凶
6
.
5
(
a
)に可 ，~2 とえ I (
I
.J -のぷ面洗流量.エネルギー勾配の杭れに対する比較をぷぬの対
象としている〉の関係の計
.
:l
t
r
li
I
O
t
の
比(ただし. J
がUI¥人迷瓜 ¥'0がない幼介の取陳述JJtu・aに
対してがt/1\入vIt.i裂がどの f'I'.IJtの大きさかを示す指~ A 1
，
lck up ralcに対する d
l
tlH人総速の効果を明示するため.ぬ 1
1
1人 1
m
.
.
症の無い場合との
る. p
i
m!Il及ひエネルギー勾配が r
u
J ・の樹介を対象 〉をとると.
p.
，
.
P・
・a
となる.ただし .11
;(f
引- ~
r./r・
C
.
1
'
:
"
1
/
‘
[ηa;::;~r
(
6.
2
3)
r..!r..nである
nしたもので.
同 6
，7
は式 (
6
.
2
3
)を刀.' fnをパラメータとして. X - A .
t
刻i
.
f
:i
-i
t
l
の AI の効*を見る
ζ
L.
i
d
!
とができる.限界柑 u
i
tjJ付近でのぬ :
1
1人
d
.
t
.
i
!
!
(
の
勿J米が大きいことが
昆られる.
-.139-
U
門
内
正
1
nU
1
1
-
6. 4 涜出入涜速の砂粒の Slep lengthに与える最多響
-
ε
，
、
n
u
o
A宵
&安
e
s
nur
買
¥3f
f
oで述べたように step lengt
h は初期移動(流体:
)
Jによる河 I
よからの麟脱〉から次
nU
のかI
床への確実な伴 1
'
までの 距阪として定設され. 1s
tcp Icngth は ~[llí との確率的な衝
3
内
1
4
今
nu
-
•
mi
c
r
o・s
t
e
p
) の繰り返しの和となっている. このこ
突・反発と水洗による荷定的な運動 (
f
均 step I
とから. '
c
n
g
t
h A は次のように表不し得る.
八
“
a
ハ
U
l
nu
内4JU
l
•
(6.24)
:micro stcpの繰り返し [
(
1
)数. u
. micro stcp内の平均移動 j
j
!J
S
t
:
.T
~.
国
.u
.• T
.
~.
i
c
r
o st
e
pの 継 続 時 間 (例えば個々の saltationの平均総統時間 〉であ る.
・
phd
nU
l
AU可
l
-nv
l式を炊のよ
うに無次元化する.
八
.1
vA(r.)・φt(r.)
え
(
6
.
2
5
)
d
ただし.
︽
nu
1
u
l
、
0
1
0
l*n
今
4
1
0・1
1
0・6
l
内
〆ι
l
-nu
1
O
:
l
•
τ会
0
1
0
N
.
u
.
T
.
'
l
'A(r.)
u，
φ1
)
(r .)
d
(b)p..
-r.
(a) P..-τ.n
l
つの
(6.26)
u
.
である.
up r
a
t
e
凶6.6 流出人抗.i.!I!が存在するぬれ織での敏子の plck-
さて. 1m
icro.
stcp 内の運動を包情的に滑動形式として動隊機係数 μ‘をJlH、て去すと.
砂f
立の運動方程式を解くことによって， φpは次でムされる、ド後i
砂
位
.
i
.
!
l
!J
St:で近似できる.
︽
nH
U
-
n
H
1
g
z
a
Ud
)=
れ (r.
ー
u
.
凶6
.8には.
FE
1(0/ρ
l
)gd
(6.27)
u
.
φJ
こ与える流出入疏速の影響を. それの無い渇合との比 φp
/φ刊で示した.
-
a
'
，
a
6
.7 流 出 入 流 速 が pick up rateに 及 ぼ す 影 響
-140-
phd
1
0
-1
3
.
2 ・0
.
1
関
nu
nH
t
''
弓ど
_.
2
1
0
-1
--
﹁uF
n
内UF
員円
•
内
t
~1
q
，
，AW
例V
nur
Aψ
2
mnn
，f
•
ph
J
V
ハ
U
nH
n川
2
1g
nH
，
nuv
Auv
J
V
，
，An
V
﹂
o
tp
べ
¥
、
、
とどミI~/ h
スジ
‘
1
1
0
X
刊日
¥
J
¥
・
、
、
、
・
.
ぃ ト t・
11¥
﹄ il---l¥
l
‘
‘
••
BItt-'s'Bh
れ
U
l
q
'
ι
︽
U
•
H
n
1け
ζ
今
•• •
x
.
.
、
¥
Illi--li
t-
n
=
O.
8
T
)
、
‘'j
X
、
J
J.
l
0
.
2 ・0
.
1
凶
。
C.
l 0
.
2
)
.
1
0
.
2 0
.
1
・
6
.8 流出入ぬ巡が粒子の移動必 U
ます彰響
!
.に及 l
-1.1]-
。
0
.
1 0
.
2
ゆ"に対しては辿常吹き出しが促進効果を持つものの，
吹き出しが強い場合には. 庄
.
1I
f
l
iせ
として与えられ，これに及ぼす吸い込み・吹き出しの彬 響 β.
ん断 1.1:.，、 )J の減少が j必 l耐近傍流速の榊加の効~を1. 1t!]り，
φv は急速に容になる.
えられる.
・
ん .147Aについては. 3'J宮で示したような数値 t
葉桜的な方法が有効であろうが，
u
.1
'
. dを式によって表現していない.そこで.
指することとする.
ここで
¥
j
.
"
八
をぬ:Il入の無いときの
~..
x'r
β.
I
Q~. Qs・Jま抄くのようにう
(
6
.
3
4
)
An
/φ川より頬
An
は抗出入の骨量いときの、V衡流砂滋式と p
i
c
ku
pr
a
l
cJ
.
¥
か
らの必切で求める.すなわち.純l~、を対象にすると.
ηn，h，dを，{ラメータとして β.を A Iの l
刻数としてよ岡ぷしたものである.
凶 6
.
1
2は
，
t
q6
;
.7，6
.1
2の縦軸が対数ムボであることに注立し. f
q6.7.6.11.612を比較すると，
;
J
J
.
01
古は β.に 及 ぼ す xの彫響.すなわち p
i
c
ku
pr
a
l
cの変化の彰響がおしく. 吸い込みに
】
p，
.闘
(
6
.28)
A
o1:".' ( r.，- r.，.)・
Qs.・
.
k2 1
: .εn
For.n(1
し
よって促進.吹き出しによって抑制されるが，条例によっては逆になる.
(
6
.2
9
)
A
nH
ω
z
"
4
“
，
，?i
Jι
角
g
内
Fhd
2
2
nu
-
z
n
l
y
•
u
n
n
A
'
hd
n
•
U
︽
l
・
1
?
z
sagnold式 な ら ん 4
.
2
5
. p0
.
5
. s1
.0
)•
n
内リ
であるから (
A
o
.P
. Sは実験定数で(9IJえば M
c
y
c
rP
e
t
c
r&Muller式ならん =
8
. p=o
. s1
.5
.
-a
A
“
e
z
T
，
，
n
“
w
z
，"
v
-aH
，
，
，•
(
6
.
3
0
)
であり. K
o;AoAdA3f。とおいて，
K
o
一
一
一
一
一
一
¥
1
.
" .(r.)ー
φ，
(r.)
ハ
r • P・2
(r.-r.<.)'
(
6
.3
1)
(r.
.k2 r+<n)m
入l
・0
.
20
.
1
0 u.I 0
.
2
・0
.
2・0
.
1
o 0.1 0
.2
となる. '
I
V^について疏出入総.iAのある場合と無い場合との比 7をとると次のようになる.
(11
¥1.'，(，.)
一
_
1
.
¥
一
一
一
( r川 )
1
t
"
0
Q'・
I
八n
6
.
9に
¥
1
.
' .1¥
1
.
'
凶A
吹き
八F
11・f
η
'
k
:Q
入l
0
.2 0I
ー
。
O.I
A
J
1
'
"
I一
一
一
一 I I一
一
一
一
一l
l η Q ) l η kz )
の A Iに対する変化を凶示した.これより
(
6
.
3
2
)
¥
f
.
¥
j
.
"
' 八 八
図 6
.9 流 出 入 流 泌 が m
J
c
r
os
t
c
P1!:に及ぼす路管
の股い込み・
n
3
.
n
1
1
1しによる変化は.掃討t)Jか大きい場合には流体力の *
l
J県が衝突を 1[
u
]り.それほど
大きくないものと Jうえられる.ただし，限界柑硫力付近では.流体 )J による流送のが~*よ
入
入
り.ず均的なが'1lふ J
I
Iiより突きIl¥している砂純との衝突の幼虫の方が人きく.吸い込みの時
に V Aを大きく dせる働きがある.
.1
0に A Iと ¥0 をノぞラメータとして A-r・n関係を凶析し.さらに、ド均 stcp I
c
n
g
l
h
凶 6
に及ぼす流出人i
.
l
t.i巡の効果を l
り
I
1
肢に示すため，
とr
A /A n
(
φ
η:
. r.n /
r.~n をノ f ラメータとして
À
1
02
I
φ )・{
φ Iφ )との関係を図 6
.1
1にがした.凶よりわかるように.
八八
n
p p
n
よほど限界純流 )
Jに近い条件でない限り .
i
i
B?
止は吹き出し (
V
o>
0
) によって平均 s
l
c
pI
c
内
uv
nu
v
l
n
•
τ
u
v
l
n
u
内
d
•
1
ー
A
:
^
nd
Q8.
A，
d
ー
一
一
一P
.
ll
n
g
l
hは わ ず か な が ら 榊 加 す る 傾 向 を 示 す . と こ ろ で ， 式 (
6
.1
)より，午後iMi
?
f
t
砂i
i
tQs.は，
0
"n 1
0
(
6
.
3
3
)
同 6
.1
0 旅:
1人流速がイluする流れ助での平均 stcp Icngth
-1
4
2-
-143-
~滑に縦断方向に
-
n
u
n
H
脱 砂 粒 と 杭 送 砂 粒 の 怖 をt
の織彬のため
8
.
!験 用 砂 と
m
mビ デ オ カ メ ラ を & 世 し た . fJ
、
して.
¥、
¥司
¥
よ
、、
』"
、、
守
・
.
ー
p
j
c
ku
pr
a
t
c測 定 に は O
.1
3
8
.
一
同
マ
"
"
t
c
pl
c
n
g
l
h測 定 に は O
.1
9
9
c
m
0
.
1
6
4
c
m， s
1
‘-二ご τ
r
1
水路 上却に は綴
イプを敷設し制御した
FD
n川
-
n
u
2
日
1
n
H
n
2
2
4
Y
弓
-
=
1
.
0
5
n
5
c
m
1
l
H
こ火をあけたパ
J
)tはそれ
の 均 一 砂 を 用 い . ぬ述分布のiJJI
ぞれの J
j
(J!l!条件に対し. 移動体Jド流部で
p
i
c
ku
pr
a
l
e 測定時には î((l~3 mm のプロ
.
2
0
.
10
0
.
20
.
1 。
.
.
.:
¥
1
凶
6
.1
1
。0.1 0.2
十
0
.
2 ・0
.
1
・
0
.
2・0
.
1
。0.1 0.2
抗日i
人旅速が不均s
t
e
p!
c
n
g
t
hに及ぼす最長 響
I
lc
'
e
1
01
λl
1
u2
，"
， -1
.
2
門
事
n
肉
6
.1
3 実戦 Jj(路肉
トー管によって行った. 水 即 条 件 中 重 袋
.より 5
干価した.
るエネルギー勾配 I
n
SS• O
ただし.
I
、
S
l
l
Pv
c
l
o
c
i
t
yは 千 均 流 述 に 比 べ て . 1・分 J
さいとして無線している.
2
voU
)
F
r2 -一一一一
g
h
"，
-U
1
. = iw - (
・
:
Iw -
lb
内
1
ul
s
t
e
pI
c
n
g
t
h測 定 時 に は ビ
な パ ラ メ ー タ で あ る 取 機 速 瓜 u.( rg
官1.)は水面勾内! J .. の測定 f~i を m いて次式で 'JI・ 怖 され
e
e
2
l
C
2
.
0
定彫.
ペラ抗i
(
6
.
3
5
)
ドr:F
r
o
u
d
c数 (=U，
JIg
h)
， 1. 路床勾配. 仏 : 平 均 流 速 . h:ヂ均水深である.
デ
-¥
九1
¥ ¥0
.
'
:
、
川
AHV
(
a
)p
i
c
ku
pr
a
t
e測 定 実 験
日U
f
l
6
.
5
.1 実融 H法
疏 れ の 特 性 と 柑 疏 過 托 の 及 ぼ す 河 床 か ら の 洗 出 入 総 速 の 効 果 に つ い て の 苅1
2
命的考察の妥
J変 勾 配 * 路 の
tを 硲 認 す る た め . 水 路 実 験 を行った. 実 験 は長さ 8.0m，制 33cmの 鋼 製 u
河
、t
6
.
1
3に 小 す よ う に かHふからの定常ほほ-tJ;な抗出入泳連を伴うことの出水る修
一官官を凶 ・
みの河床材料をニス十jけし
動球部L
aと し て 用 い た . こ れ に 接 続 す る 上 ド 洗 固 定 休 部 は 拶 動 l
l
c
pl
e
n
g
l
hと 修 動 砂 村 側 数 の 測 定 時 に
p
i
c
k'
u
pr
a
t
ei
!
lJ定 時 に は L
a3
0
c
m
.s
はL
a
1
5
0
c
mとし f
こ.
.I 実 験 条 例 ム
よ 6
流 出 入 総 速 が 掃d
t
t砂 地 に 及 ぼ す 影 響
:
u入 流 速が 涜 れ と婦 涜 砂 に 及 ぼす 膨 響 に 関す る 実 験
た粗面とした.
それゆえぬtIl人旅途の熊次元置 として h ーをJ1Jl、ることとした.
の
〆
﹄
1
6.5 粒
6
.1
2
:
3
.3-7.8
cm， F
r0.41-0.69の 範 聞 で 行 わ れ . 実 験 条 件 は 実 験
1/300-1500， h
-
凶
RH
ー
内
u
l
1
:
J
・2
1
0
-1
1b士
条件ぷ 4
.1
に 示 さ れ る 通 り で あ る . また. 実験舶の幣.I!~はし.iÆのようにして仰られた u. を
'
'
V
¥
ー
•
~
文験は
0
.
2
0
.
2 0.1
M下 部
三のパ ルプて'・ 後 者 の 幼 合 は 砂 1
部
t
I
l
l
入 統 選 は . 前 者 の 頃 合 は 34
-1，
1
1
-
l
b
h
UI
fr
(cm) (cm/s)
1
2
3
4
5
6
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
，
1
/i
!00
1/~00
1
/
5
0
0
1
/
5
0
0
!
OO
1
/i
/300
1
1/300
1/300
1/300
1/300
1/~00
1/500
1
/
5
0
0
1
/
5
0
0
1/500
1/3UO
/300
1
/300
1
1
0
0
1
0
0
1
.76 36.2 0.414
1
1
.
1 0.502
6.85 .
.8 0.514
6.75 41
7
.
5
3 3
7
.
4 0.43~
7.28 38.
7 0.458
5.22 38.3 0.535
ー.
0
1 39.9 0.569
!3
5
.
1
1 39.9 0.5i
5.
35 37.3 0.515
6
.
1 0.490
5.53 J
5.22 3ち.
6 0.498
5.07 38.3 0.544
4.52 39.4 0.591
5
.
3
7 )6.4 0.502
4.65 47.2 0.625
6 0.548
4.06 J4.
4.06 33.8 0.536
3.40 34.9 0.564
3
.
6
3 34.6 0.568
3.78 34.9 0.57J
Rp
Vo
") (cm/s)
(
xl0
2.82 0.0
2.82 -0.250
2.82 0
.
4
9
7
2.82 0.384
2.82 0.552
2.00 0.0
2.00 -0.337
2.00 -0.34&
2.00 0.364
.
!
>
5
?
2.00 0
1
.86 0.0
1.
94 -0.737
1
.78 0
.
1
0
1
1
.
9
5 0.126
1
.
9
6 0.792
1
.40 0.0
1
.3
7 -0.111
1
.36 -0.306
1
.33 0.336
.
3
1
1
1.
33 0
一1
.
1
5
-
u合
(cm/s)
2.99
3.
50
4.37
2.65
2
.
6
1
3.22
3.70
3.70
2.85
2.79
3.23
4.99
5
.
9
7
2.69
2.19
3.
20
3.50
3
.
9
5
2.12
2
.
3
1
Vo
0.0
-0.011
-O.IH
0.145
0.220
0.0
-0.093
-0.0ヲ4
0.135
0.198
0.0
-0.148
-0.169
0.047
0.133
0.0
-0.033
0
.
0
1
7
0.160
0.135
‘
、-?
Re.
(xlO J
9
.
{
/
3
.
3
1 4
4.62 57.4
1
.1
1
.
2
1 7
2.65 43.5
2.5& 42.8
3.90 43.8
5.
1
1 50.3
5.16 50.3
3.56 38.8
7
.
9
2
.'
JJ 3
4
.
/
5 43.9
11.30 67.9
16.00 81
.2
3
.
2
9 36.6
".
1
8 29.6
4.66 43.5
5
.
5
1 4/.6
7
.
1
1 53.7
2.04 28.8
2.43 31
.4
ぷ る.
1 実験条ft.;ぷ
6.5.2
涜れに閲する実殴品巣
肉 6.15は pick Up ratcMJ定 時 に 計 測 さ れ た 洗 述 分 街 で ほ ぼ : 染 対 数 日)
1の 成 立 . あ る い
(b) step 1cngth 測 定 実 験
は，見かけ上の K
arman定 数 の 減 少 (Vo')Oの 治 合 ) . 榊 }
J
I
] (Vo‘ぇ Oの1&合 〉 が 認 め ら れ る .
1
('
)
'
1
2
3
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5
6
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."
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7
1の 実 線 と 破 線 は
凶'
1
.x
.
t
数
I
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c合
可*
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5
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.
0
0 9
4
.
6
1
.
0
3 9
J
良川 に お い て 相 当 砂 粗 j
立しを dあ る い は 2dとして i
:
l
-P
.したも
ので k. をこの程度にとるのが妥当と迎、われる.また.凶 ~ 6. 16は M
iII入流速の幼!棋を示す
術保 Q の
¥
'
0。に対する変化を').!泌I
J
i
，
iと 環 論 曲 線 と で 比 較 し た も の で あ り . 式 (
6
.13)によ勺
て流出入o
l
t.i!の奴抗に与える能 響 は
1
-分 表 せ る も の と 汗 え る .
(c) 移 動 砂 粒 数 密 度 測 定 文 験
RW4
Fr
h
(cm/s)
o
︽HU
•
e
v
nu
•
2
凶 -6
.15 対 数 二 乗 則 の 実 験 的検:，1:
•
-
1
02
nu
Y/d
-
0.0
0.012
0.089
U
ー
︽
5.10
5.
88
4.
73
-
4.05
4.35
3.
90
u
内
0.746 0.
0
0.
742 -0.052
0.746 0.035
+
V
τ*
U*
(cm/s) (x10・2)
-
52.3
52.
1
52.3
O
nu
1/
300 5.01
1/300 5.03
01
1/300 5.
V
M
U
m
(cm) (cm/s)
z
1
2
3
lb
図 6.16 流 111 人総速による洗れの ~l( l必
r
変化に l
則する実 験 的倹品
と こ ろ で . 流 出 入 総 速 の 作 千Eし な い 固 定 床 か ら . そ れ の 存 在 す る 移 動 床 に ぬ 入 す る 硫 れ
においては.その縫w.から新たに内総境界肘が発注するが，本実 験 では~験開始時の開定
plck up ratcは ビ デ オ フ ィ ル ム 解 折 弘 前 を
W ，移動床の王子均例外;
I
qは l
i
i
]ー に な る
ようにならされており.また，流出入
流 速の存在による 境 界j
凶 〈特に.'f均
n量1にヤる蹴'.
I
f
l
t
は
，
ぬ特性)の、
境界回
読L ま た 防 水 路 ぬ に お い て も か な り 短
いことが報告されており・) ..人本実
判断できる. 同 6
.14は . 式 (
6
.)
2
)よ
り得られる U.をJfJいて式 (6.34)に基づ
日
~I
0
~
0
l
:
。ー。一一。一一円山
。
Ruo-3
。。 。
円
4J
.
一一-0ー。一一。一一。ー。一一."':R川-~
5r
「一一一一
t
x
l 6.7に ぶ し た よ う な
(p../p.・n
) - A .関係 を.
Vo・
を JI
H、
て
(
P
.• IP
.・n) -Vo"とし
て，実 験 鮎 民 を 理 論 曲 線 と と も に 示 し た も の が 図 6
.17で
， I
剖 6
.18に示す聞論他.実話1
1
1M.
の比較からもわかるように，
441主で i!~ た吸い込み ・ 吹きtIIし述 j庄の pick up ratcにうえる
彫響 の N価 は 妥 % と い え る
ところで. MartJnt>は骨路ぬで砂純(比 J
f
"
:
2.63. 鈍 筏 O
.0585
cm) 及 び ニ ッ ケ ル 位 チ 〈 比 '
T
i
.8.75. 位任 O.0570cm) を IIH、て. i
/
.
tI
I
I人 説 速 の 限 界 仙 i
f
，
i
J
Jに
刻する実 験 を行い.吸い込みに対して.砂利.の限界制i/itJ
Jは 地 人 し . ニ ッ ケ
及ぼす彬 響 にl
R
"
r
5
ff路 流 で し か も 旅 れ が選 移 倣 峻 (Rc. 10-20)
ル 性 チ の そ れ は 減 少 す る と 報 告している .
であるため，本軍の結 果 がそのまま ~JIl し 難 い曲i もあるが. J
，
よ
本的な特件は人きく主化し
いて ~I 悦 された移 動外 部における 水 l扇
vfJHJ;cml
r
u
形(実 線 )を文語~J i
I
(
!(v ) と 比 較 し
ないものと.JSえると.次のように解釈〈される.砂位の 4
晶子?移動 限界条例， (
L
"，<
a
l
l
u
v
i
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lp
a
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f
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dp
a
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'
.
'
式に 1
よづく U.の
たもので. J.k由形んif
!
'
t1
(
画が妥内であったものと思われる.
mい て ， 何 ば IrlIの 1
た め ら れ た 領 域 (2cmλ2cm)
か ら ， 約 60sccllUに 綾 脱 す る 砂 微 例 散 の 数 [
n
Jにわたる 測 定のヂ.l!
J{
r
/
Iか ら 求 め た .
1(
t
r
.
l
)
CT
験 でも十分平衡状態がi!Jられていると
6.5.3 pick-up raleに関する実取結集
関
6
.14 旅 t
i
l入 旅 速 が J.
ki
I
i
t形 に 及 ぼ す 影 響
一146-
1
8
.7
c
m
rs)
において，ll(抗係 数 か f n -O.OI77 であるのに対し，ニッケル位チ (U..< ~ 62.9cm/s) の場合 f.
O
.00425と 主 が あ り . 凶 -6.5(a)で ぷ さ れ る よ う に . ニ ッ ケ ル 純 子 で は '
l
'
/Qが 砂 の 場 合 よ
)
，17-
W測 さ れ た s
t
e
pl
c
n
g
t
hの 分 衡 を 超 過 確 率 ぷ 示 て'
t
f
46
.
2
1に. 平 均 値 で J
，t tfI~ 化された
s
t
c
pI
c
n
g
t
hの舷;事密度ム不を t
J
46
.
2
2に示した. 向 凶 に 併 示 し た 指 敬 分 布 曲 線 と 懐 ね 主
なお .
り小さくなるゆえ動き幼くなっていると推測される .
，
、
，
る.
して t、
aR
n
u
F
!
O
nd
4
吋
l
-
(司即日U 四百
Ea)
l
C
d
-
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、
，
内
1
l
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1
0・b
M
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(
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lrect1
Y me~wred)
i
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.
1
7 流出入杭速のp
凶
1
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A守
nυnU
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.
2 J
.
I
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.
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.
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凶
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2
i
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kU
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a
t
cに 附 す る
6
.1
8 p
1
f
tの 比 較
実験値と型冷 {
影響に閲する文齢的倹証
t
;
<
J6
.
2
1s
l
e
p length のお過侃l~t~ ;uぷ
6
.
2
2 1
同よt
y
l
化されたs
t
c
pI
c
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g
t
hの
阪市街J
J[凶数
t
e
pl
e
n
g
t
hに関する実験結果
6
.
5
.
4 s
.
I
{
発1
1イ ン ク で 着 色 し た 粒 子 を ト レ ー サ ー と し た 実 験 で 1
I悦 に よ っ て
s
t
c
pI
c
n
g
t
hは. f
測定した. す な わ ち ト レ ー サ 一 位 子 の 初 期 拶 動 か ら 次 の 停 止 ま で を 追 跡 し て ， そ の 脱 税 を
測定，
いて.
1
5
0個以上の標本から、ド均値及び分布形を訓べた.
図
6
.
1
9に 平 均 st
c
pI
c
n
gt
hにつ
.
)
/
.
)
.
v。関係として実視 偵を理冷曲線とともに々、した. 同
J
I
実測{貨の比較から. 本 清 で 示 し た 吸 い 込 み ・ 吹 き
:
f価は 適切で，
6
.2
0に ij'す
l
1
l
l泊伯.
:
1し速度の s
t
e
pl
e
n
g
t
hに 及 ぼ す 効 果 の
6
.
5
.
5 対流砂量に関する考察
中
一
後r
Mdk量生、世については. 今 [
1
1
1の 実 験 で は 直 接 . d
k砂 Mの訓J
Ii
i
:
を1
1わなか勺たが. 1
1
.
さ
1m. 恥~50cm の吸い込み・吹き 111 し設 írt をイi する水路において'1 1 )1・編 t
l
t•
突がl
デ ー タ が あ り . こ れ に つ い て 検 Jする. 図 6.23 のように (qß. / qß. .) ~).
べると. 尖 測
f
nと理諭曲線鮮は良く対Li:、しており.
起できるものと
妥喝なものであったと吉える.
JHiIZ)
のl
剣係を摘
1
6
.
2
4に;{，すように泌
両者の~合は t;4
dえる.
-R
台、
"h
*
nw
h
n
nw
。
向
a
、
，
，
可-
nu
-
B
.
、
による
~ 1
0・1
J
司
・
三qB*
QJ
L
且
-
n
H
A
、A
，，，
、
SA
J
、)
1
¥
J
〉
、
，
時
L
0.
h--mwUFLH@LOS￡
5104
'
‘
‘
g
.
.
c
nU
1s
nu
0
1
0
d)
，
U
内 E
主
v
-
d
a
t
m
'lAU
-
偶
149-
会開
6
.
2
4 柑流i1;_Uiに閲する:t験 1
f
{
tと
J
.
l
1
I
.
:
Qi~前ー の比較
影響に閲する実験的後!
.
f
.
'
s
nU g
n可 ρ、
φ
PL
v
J
1
‘
白向、
w
凶
‘
続 出 入 流 速 の M流 砂 地 へ の
qr
6
.2
3
i
l，
，
au
(
-148-
阿
JV
(平均 s
t
e
pl
c
n
g
t
h
)
への影響に閲する実験的倹証
AHu-
l
f
lと の 比 較
凶6
.
2
0 実験値と理論f
-
t
e
pl
e
n
g
t
h
凶6
.1
9 抗出入洗速の平均s
0
.
0
4
.
0
.
0
2 0 0.
020.04
-
‘
、
-
内
ノ
ι
nU
nu
AUT
nu
nu
。
I
C-3
10 1
2
入
10
(
d
i
r
e
c
t
l
y門e
a
s
u
r
e
d
)
!
J
Iを総合化して記述される stochaslic modelの 適 用 竹 は 同 定 派 組
-)
i
， 砂粧の運動終判:
l耐と修動 t本 rrIi を持続部に:1\現する I~ 純かつ段も典烈的な ~t: 半後i 流砂状記についての実験に
u
Jのようなぬ i
二からのビデオ解析では全掛流砂起が把握できないため.
よって検討した. 今 [
進出移動砂~数 1ぞ度 νg の抗ド HIÎ'J への変化過程によって，
stochastic mode1の間接的な
(6.36)
レ
， A，d'u，
Qo
.y，}合にはその傾向が退転する. 通常の抗砂については，
1
1
<路 文 験 に よ り 提 本 式 の 検 u
:それ
ことにお目し. これが流出入抗速によってどう影 響 されるかを考慮することによって slcp
-
せ. また slcp 1engthは指数分命に従う
"
'
コ
'
"
、
、
6
.1
) でぶされる非
とみてよいから， 式 (
{
手術州旅砂モデルより柑械をL
、量の沈下ん
}
1engthに及ぼす流出入流速の効米を評価する式を線いた. 実験によると， 従来した式の~-
"
U
用性は良好と判断され. また. 抗出入u.t巡の stcp 1engthへの影 響は pJck up rateほ とに
一
は顕1;
:
ではなく. その分イbは流:1¥人流速の有無にかかわらず術数分んで近似される
)
.
3
面
}
O・1
1
;
1
]変化は次のようにムされる.
VA
ρ
L
V
、
rillk
n
v
/1
2tEt
可
a
n
u
-n
に不した方法で流出入流速の効果が評価できることが，
従・
*のデータを JIH、て硲認され
た.
( 5 ) 検出入 iIOi 速がイf.{1 する場での同所掛説砂凶についての II'i 接 ~1 ' i~J は行わなかったが.
4
内
n
u
n
u
l
•
3
0
ν
ε/νドとのおl
似性をi&
上方よりのビデオ織影によって列、Y 後I な状~での砂動砂約数 1キ~ J
立を，i
h
U
I
)する'とから. I
I
U
i
i
aした.
援ながら非、F
‘
後dw
洗齢、モデルとしての妥巧 f
lをぬ
定して. () レ，(x)I ν，.} の洗ト方向変
6
.25である.
つの組合せであるが後lu
.
t砂 M式についても. 本町
(4) pick up rateと stcp lcnglhの
お}
J
(6.37)
化を訓べたものが悶
pickup rateの 般 定 式 を 力 学 的 な J
よ磁のもとに導いた. これによると相対水 1
裂が小さい場
求められる千均 slep lcngth が )J 学的に説付け ð れた数前検縦による結~をぬく近似する
速やかて'pick'
up ratcはほぼ 一 定とみな
Qo QB.と
1
:
記 で1
1
)
)らかにされたかHf
，;近傍の杭れ嶋のもとでの 1
T
JL
ふ役後の初期移動をモデル化.
(3) step lengthについては. pickup rate従定式と従米の半後:
i'
i
7
l
i
i
少量式より i
控扮して
動防d~ 続部における内総境界肘の先遣は
いま.
(2)
L、
. その適用 t
tは良好であった .
i
.イ
lする制定外;・拶
定常な部UB入 総 述 が (
Qo(x)
って良く表現されることが説明され. まf
こ
， 実験によってf((かめられた.
.
され. 吸い込みにより抑制される . 相対 I
合. 吹き出しにより初期移動は促足i
}
<i
宋が大きい
I
Uには炊のような凶係が成立する.
すなわち. νeとQoとの I
;
j
'
f
t
耐を行った
向〉分
f
1
iを も 琵 ま せ る 幼 黒 を 持 つ . このときの洗濯分布は. かJ 床 tfri 近くで 2~ 対数削によ
(
6
)本J
1.では. pick-up ralむ
と step Jcngthより摘成される J
ド
、y
.
後1流 砂 過 刊 に つ い て の
t
:
J
立
の
岡 崎 .25 移動砂総数 1!
ただ
フレームワークを採則しているので，
J向変化
流下 )
{'
u
:tx-20cm での νeの似を νドと
し. 史
ての流出入流~の効呆の評価は.
は
， 流出人流.iA
した. 凶中の破線と点紙l
価へと 1
1
'
1結するものと
がない (Vo ~ O) 溺合の子均 stcp lcngthと v。の実験偵に対応する V
より討す)された 1
1
1
1線
A
I
f
(との対応は良好であり. I
I
Ut
妥的ではあるが透水性河休織での J
P平衡柿流砂
であり. 実験 {
そのまま移動床現象肉体;に及ぼす桃山人抗 j
j
jの*l
J~のf..t
J
7えられる.
参考 文献
1)I
larrison. S
.S
. and Clayton.
'b
1
.
1式(A:(6.1)) の妥吋 1
1
1が検 J されたものと思われる.
.
f
>
， i
江で得られた pick up ralc. step Icnglhにつ い
: Effect of ground .ater sccpage of f1uvia1
processcs. Gcol. Soc. Amcr. Bu11
.. No.811
.p
p
.1217 1
2
2
5
. 1
9
6
8
.
6• 6 結
白
』
2)l
¥arlln. C
.S
.
f
〉
'
では， 境界而を過しての流出入iJIt速が水洗のみならず， 流 砂 現 象 に も 少 な か ら ず 彬
み;
を果たすものととえられることから.
，を与えており. 条例によってはこれか弔大な役知l
その J
止本的ょJ
'
象 に つ い て 珂 論 的 か つ 実 験 的に検 d したものである. 本研究はあくまで)~6!t
的研究で. 今後， これらが実際に作用することが多い非 一般 な 場 へ の 適 用 を 巧 え て ゆ か ね
ばならないことは 言 うまでもない.本研究で得られた結晶を要約すると次のようである.
準c.七
_
fイ
f;(J体に )
1
l1えて， A 凶流の抗 i
(1
)川床 lfii を~しておlt:11 入は， 統出入.iAJ立の干
1
:
0
-1
i
mJi
Bffect of a porou品 sand bed on Inclpicnl woLlon . laler
p
.1162 1
1
7
4
. 1
Resources. Res.• V
o1
.8
.、
・
0.4. p
9
7
0
.
.
3) 0ldenzicl. D
.M
. and Blin
k
. 官.E
cntralnmcnt of sand bed.
4
) Walcrs. G
.Z
. and Rao.
1nflucncc of suclion and b10曹 ing on
I
lydraul
.D
i
y
.. Proc. ASCE. pp.935 ~ 948. 1974.
M
.V
. :I
lydrodynamic cffecls of sccpage on bcd
.I
lydraul
.D
partic)c弓. J
o
. H
iV.. Proc. ~SCF. Vo1
.9
7
. S
Y
3
. pp.421 438.
.~;.
5
) Wl1lctts. B
.B
. and Dorossons， M
infjItrallon.
I
lydraul
.
。
1V
.•
:Local crosion causcd by rapid forccd
l
'r
o
c
. ASCt. 1
Y
l2
. pp.1477-1488.
-1
:
>1-
6
) 小川￨導次 ・辻 本 智 郎 : 砂 僚 の 運 動 に 伴 う 移 動 体 砂 面 の 媛 乱 発 生 過 粍 ， 土 木 学 会 論 文 銀
~';~.窃~281 号.
補足説明
~ .;tでは.i'T、村 c
{の 配 置 を 凶 (a)のように.;えている.このように i
垂水 1
1縫 界 1
mとその
p
p
.
5
36
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1
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.
l
l
l入比辿 D
.とは 独 犯 に ぬ うこと ができる.
.
1:
にある稔子を.J:;えると.主疏による抗力 Dとがt
DとD.が 独 立 し て ぬ え な い 状 況 (尚 (b)
) では.選重b
}jH~ A:は次のよ うになる .
1
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1¥入を伴う凶水路泣透床上の乱流精 i
告に関する研究， 土
8
) 中 川 防 次 ・ 繍 禅 家 久 : IJ，
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.
4
55
8， 1
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9
.
ノト?・会冷文報告集， 第 2
)
J
.
DとD
.を独、，
'
f
.に倣う本意の立場では.次のようになる.
9
) 中川￨導次・辻本省郎: /
.
Ku.tによる砂れきの修動機備に出する)J;i!t的研究. LÆ-.学会 :~
f
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1
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. -O - J~ ，(曹 D
.L)~ (I
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文鰍 :
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集. 第 2
4
4号. p
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.
1号
， p
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.卜 21
.
1
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):
;
;
'
1
u雄 一 :限界掃流ゴJに 閲 す る 流 体 力 学 的 研 究 ， 土 木 学 会 清 文 集 ， 第 4
(a ()
(
a2)
それぞれの立場での抗下方向の抗体ノJ の合力が問i(jであるから，品Hí の比を とっ てその l.~
を比較する.
1
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l川￨時次・樋津家久 .)
11
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1
'
1雄 : 流 砂 量 に 及 ぼ す 壁 画 泣 透 流 の 影 響 に つ い て . !
t
i2
3制
1.木学会凶内支部 1r 次?体1 講演会概要~，
D.βO.
μr
β
1
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Lμ
(a 3)
t
ここで.
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I4
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D.ε 。
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o:Ud
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2
(a 5)
である.このとき両おの比は次のようになる.
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，J
，
、M--'hν
、
，
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寸
一
⋮
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(V
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. Co' Co 1
.
β 〆 iであるから，
)
2<
<1
U，， 2
両者の比はほぼ r血!となり，向者の取り敏い
に~はないことがわかる.
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I
o
似I(a)
一152-
何
凶 (b)
一153-
第 7主
7. 1 概
掃流から浮遊への遷移の i
l
i現機備とその流砂過程に果たす役割j
説
流砂は bcd matcrial l
o
a
d と wash load に分数され.前 :fi' は J~ 流の MðkJJ と対応づけ
られるため，運動形態によって柑疏砂と浮遊砂とに分頒してその織備に J
J.，づいてぬ砂 i
誌を
推定しようとする試みが古くよりなされており，各々について独立に比較的合理的なモデ
ルがいくつか提案されているけ
れ
. M流砂のみ，あるいは 1
"
1地砂のみが作在しているよ
n
J時に存
うな場合にはこうした取級いが適当であろうが.実際には Mぬ 形 式 と 浮 逝 形 式 が r
在ーする場合があり，こうした場合にもそれぞれのモデルをそのまま適別している. E
inst
5
・え方によると描洗砂濃度が浮遊砂濃度の庇面近傍{怖を規定するなど向おは共存
einS) の J
し，実際常時両者の交換が行われていると考えるのは自然であるし，実験準での制君主によ
ってもそれが支持されている.こうした 'J~ 実より .M 流から汗逝への選修をモデル化し，
これに対して何らかの定量的 N価を与えることは，話t
砂過程における MMtと浮遊の本質的
相違を明 t
f
l
'にするだけでなく，全流砂川とそれに対する掃洗・汗遊の
評価することに役
I
{
.つものと思われる.
n献 j立合を合1'1的に
1
従米は.選移といった槻念よりも . i
字逝妙 '
J
I式
の適用版界としての浮遊限界がぶ論されることは多く.限界を必えれば制対tiPも合めて令
て浮遊砂として取り扱いがちであるが，辻本・中 )
1
1・〉によって M流 か ら 汗 逝 へ の 選 移 現 象
を明確にして bcd material )oad を取り倣おうとする試みが始められた.
浮遊限界を論じる場合，現象冷的にどういう状態をもって"浮遊"とみなすかをまず明
慌にすべきである •
，~1t 止状態から運動開始といった lりl 権な運動の線相の逝移を不すれIfðk 砂
の限界 M流 力 を 定 義 す る 場 合 に お い て も ， ど の 符 J
j
!の移動開始 Mを も っ て 限 界 と 見 な す か
が問題となった.制抗運動から浮遊運動への運動相の遷移の場合，それがi1!続的であるか
f
iんI
I
'
J，
f
;
し
れ
らその定義，限界を明確に示すことはさらに難しいため，使'(，.的に，水洗の鉛 i
v'
が砂純の沈降速度官。の k1~ (v・2
きk
.
wo
)の時浮遊すると言うム現がとられることが多い.
'出
租面乱流では底而近傍でv
U.程度である
Bagnold5) は浮逝砂が有志.にイfイ
Eするような
状 態 の 場 合 ， 次 式 で I}ミすように ka
.
:l
科j
主としている.
U. ~
(
7
.1
)
官。
また. Laursen6人 Summcr7). van Rijn 8 )
らは側々の掃流村~
{-の運動特れに基づいて定
義を試み. k 0.25-0.4 程度を浮遊砂が先生し始める限界とし. O
1
J
えば van Rijn は実験
より次式を与えている.
155-
、
fIJ lk
U
.
ε
15d.S31
.6
aA
唱
のHv
官。
4d
.z〆S
(
7
.2)
d.~3 1. 6
砂運動はゆらぎ成分が g与越した*象であると~える.こうした立場から ーすると.掛抜から
ここで， d.'.
[てす ρr庁日す ν， d: 砂粒筏 .σ / ρ: 砂牧の比， r~ ， g: m)JJ
J
I
I迷度. レ:
渦動粘性係童文である . 向
7
.I
はB
a
g
n
o
l
d， v
a
nR
i
j
nの i
1造 限 界 を 熊 次 元 締 抗 )J (r.二 u
.:!
浮遊への現象は.ぬ:定論的な平均値から係j
;
終 治 的 な ゆ ら ぎ へ の 移 行 (.
i
霊
移 )と 定義される.
辻本・
t
j
l川 4)は. ビデオ I
l
b
j{'象解析を川いた似努さから掛流速動の代 A例である s
a
l
l
a
l
i
o
n
sは 浮 遊 砂 に つ い て の 酷 で あ る こ と を
運動が乱れによって.その "l~:命的軌跡から"異常?な~脱"を任じると押送へ選惨 ーするこ
2r;.の式 (
2
.
4
6
)で表される M流 砂 の 移 動 限 界 を 併
とにお円し，この"央常な逸脱"を現象論的な遷移限界とした.このような"民~:;~.な逸脱
/(0 /ρI
)
g
d)の 形 式 で よ し た も の で あ り . 添 え 字
1に は ， 比 較 の た め れ .
'
h
l式 と 第
裂す.凶 1
- 浮遊砂の相違を lリH監にする.すなわち.柿流砂巡動は平均 f~( 成分が!;i.ol~した巡動 ， i
'
?
日
遊
"の限界他はビデオ l
曲j{象解析訟を用いた砂位巡動の計測jか ら 尖 験 的 に 決 め ら れ た が 4
¥本
示した.
浮 遊 砂 の 庇 面濃度を決定するモデルの後っか
s .r
;
.Iけ .戸田 ・阿 部 ・藤田
12_
(
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c&K
a
l
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c・
¥ 芦I
J
J・道上 10) ， .
f
b
t
)では 遷 移という 阪 念 を そ れ ほ ど 明 確 に 論 じ て い る わ け
ではないものの.こうした考え J
jの ひ な 烈 が あ っ た と い う こ と は で き る . こ う し た こ れ ま
M疏 か ら 浮 遊 へ の 限 界 を 明 ら か に す る た め に は 次 の よ う な r
t
t
nの
での研究手椴観すると，
倹 dが必虫‘となる. (1H~ 流砂と押送砂の定義，
(
2
)現象命的な立味での限界の定義，
掛抗運動の特定， (
4
)不
.
t
J
l
I
l
J
I
外)
Jの強度と継続時間スケール， (
5
)遷移高さ，
(
3
)
(
6
)遷 移 時 の
軍では.こうした"闘{直"
(
l
hr
e
s
h
o
l
d)は . 性 子 連 動 の jJ"
{
:
的1
1=動から f
ためられるべき
ものとのな場から，純子軌跡の"不安定"という慨念を持ち込んで説明子拭みると
その"刷 l
f
J
i. を S
E
3
i
:す る こ と を
l
j的 と し た . ま た . そ れ に も と づ い て MoItから浮遊への遷
移確事情肢の評価も試みる.
遷 移 機 備 のモデル化に先なって，
選移~・ 7終密度の評価が bcd m
a
l
c
r
i
a
lJ
o
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d lran~porl
の記泌に吋たって市める位置を明確にするため.それが腸に合まれるかたちでのb
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tの 記 述 に つ い て 説 明 を い
述!立である.
I
l
i
JII，~に，
逓 移 現 象 が 柿 ぬ .fi
遊巡動の各々に及
ぼす効果について~寸 察する.
十寸叶什
' t~
7. 2 8
e
dm
atenal l
o
a
d涜送過程の必述
l
i
n
u
7
.
2
.
1
涜送過程を摘成する サブシステム
r
肉 ー7
.2
(
a
)， (
b
)に 小 す よ う に b
c
dm
a
l
c
r
l
a
ll
o
a
dt
i
I
. の 運 動 を 追 跡 する
何床からの砂粒子の隣脱，
(2)nJ流運動，
(3)掃討tか ら 浮 逝 へ の .
.
:
!
t
多.
C
， それは，
(1)
(4)浮 遊 i
l
l動 の 4
つのサブシステムからなっている.すなわち河床から厳脱した砂は最初仙?I.
t砂 と し て 不 動
し(最初の M 流鈍!~ぞゼロとすることでか'J~ 砂が 11'1 接浮遊状 1聞にはいることも Z己主ë "
1f
l
tで
)
必
明
，
(
lu
1
•
J
<iI.i.の乱れと砂の比降
ある) ， 遷 移 が 生 起 す れ ば 浮 遊 払 態 で 速 ば れ る . 汗 逝 運 動 は I
-S
2
1
0
AU
1
00
υ
A
10・2
EW
0.01
0.05
0.1
0.2
J
t
.して f
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'
終変置である e
x
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g
t
hだ け 移 動 し た 後 何 床 に I
J
'按触し. M~1ot巡到'J ~または
0.4
waters
u
r
f
a
c
e
同7
.I 惇 進 限 界 と 柿 流 限 界 の 砂 純 径 に よ る 変 化
c
:
>
d
f
t砂 は ， 転 勤 ， 滑 動 . 小 跳 躍
一 般 にM
(
s
a
l
t
a
t
i
o
n
)
によって何床と間断ない接触を i~
Q
p
d
l
o
a
d作 t1 n
t
a
t司内内
ちながら輸送されるもので，カr
l遊 砂 は ぬ れ の 内 部 に 取 り 込 ま れ て ほ と ん ど 河 床 と は 接
触 し な い で巡 織 される.こうしたことから空間的に分割することが比較的符訪で，逆にそ
れ で す ま せ て き た た め 遷 修の 観 念 が 明 確 に 持 ち 込 ま れ る こ と が な か っ た と も 日 え る . 柿 対t
t
i
I
.f
-も 1
乎逝純子もJ1，本的には I
r
i
J .の運動ん HI式 に よ っ て d己述されているとの 観 点に立てば，
e.cυrs;~"
l
e
n
Q
t
n
(a) 徹 子 巡 動 の 観 念
[>4
F
立f
運 動 は ヂ 均 値 成 分 と ゆ ら ぎ 成 分 に 分 け る こ と が で き る が . 本 節 で は こ れ を も と に M流
図
-1
56-
nに依
7
.
2 b
e
dm
a
t
c
r
l
a
ll
o
a
dの 流 送 過 刊
-1
5
7
停止の状態にもとる(得。遊砂の件質とし
て河休への il}~ 触までムJJ/.するので.
退から
F R(ρ は . 拙 抗 か ら 浮 遊 へ の 遷 移 鉱 $1
ぞJ
J
tが u
o
tドんi1
旬に変化しない場合は次のように裂
9
~.
される.
S
u
s
p
e
n
s
l
0
n
MMtへの遷移は別制のサブシステ
ム と し て 名 え な く て よ L、
) .それぞれの
R
(
X
)
1)
サブシステムを代表する錘としては. (
:
叶十)
(
7
.
6
)
I
t
i'!1のため回定u;に鋒続する ，
y
・
1
f
!
修I
J
J
Wを 考 え . そ の i
・の 流 れ を $ 杭 と し た 幼 合 . J
r、l
'
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cP
.
. (
2
)
s
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c
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g
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hの 確
衡掛ぬ砂量は，柿d
l
ii
'
P
、
のs
t
e
p]
c
n
g
t
hが 平 均 航 八 の 指 数 分 化 に 従 う と し て ，
率俊民 l則数 fx lI (x). 婦洗砂の修 9り~~度 u.
〈確様変数であるが平均 1
ぬとして倣う) .
描洗砂浪 IJl: C ø •
(
3
)掃 滅 状 態 の 砂 位 子 が
(
7
.
7
)
(b) 運動の様 ~l と各相聞の遷拶事象
浮遊状態に選移する態依時間吋りの確率
1
に遷移硲本 1
T(以ト 1
'
4
:
1
.
立と呼ぶ) .
密度 P
(4) i
乎逝村
f
s
(
Y
)
同 7
.
2 b
e
dm
a
l
c
r
i
a
ll
o
a
dの 流 送 泌4
2
と l~f ける.ここに，
fの 鉛 1
夜方向の (
rイ
i阪 本 密 度
u•
八
(濃 j良分めにほぼ相似と~えられる) . c
x
c
ur
si
o
n1
e
n
gth の舷 E緊密度削教 fx~(x) で
B
Pr八，
^
(
7
.8
)
R
u
.
ある. (
1
)に つ い て は 河 床 純 fの 初 期 移 動 機 備 と し て 第 2J
主で. (
2
)に つ い て は M 流 機 織 と
)の機 備 に 焦 点 を し ぼ り . (
4
)に つ い て は 浮 遊 牧 fの 巡 動
して第 3r;;で論じた....f>:ままでは(3
t
で あ る . 充 分 下 総 で の 半 後1
状態では.
A
3d
特 併 と し て 釦 8な で倹 討する.
Q8.
7
.
2
.
2 遷移 を考慮した涜送過程の定式化
一一一ー (P. Pd.)
A
:
Pd
M訴tと r
t進 の 両 }jの 形 態 を と り な が ら 流 送 さ れ る bedmaterial loadに つ い て . "
'
)
1
1
'
日
P
τ
ーーー一・ー一一 o
.・
Aad u，
(
7
.1
0
)
，
U，
辻 本 1引 が M洗 砂 に つ い て の 非 平 衡 過 躍 を 記 述 し た モ デ ル を 拡 張 し た 形 で の 定 式 化 を 与 え
p
Qs. ;一一一八 sQB.
る.
財務H
'
P
、
J
.
.Q8(X). 浮遊齢、故 Qs(X)は 次 の よ う に う え ら れ る .
(7.
9)
A
z
(
7
.1
1)
、‘，，
司
の
︽U
t
，，‘、
vps
JU
n
、
'
'
z
vg
，
‘
、
・
。
τ
n
v且
-
Y﹄
﹄u
n
J
l
c
n
g
t
hの分布を'f..
l
!
J他八 s
の指数分市と近似した.このとき，
Q8.
﹂
u
pg
E
Yも
s
n
u
-
E屯d
E
包
、
、
，
，
，
F 32
‘
、、，，
，
‘
，，、
a--
fj
，
、yも
ZEREd
EEE
∞L
、
，
‘
，
j∞人
x
VAVP
J‘
4
-
、
，
d
n
v
?z
Jnv
-
H
内 -HU
U可
・
11r
tノ
E
缶、 、
，
、
‘
，
，
.
、
‘a'
hNE-E
p zlZEE-J
︽河内
0
〆
、
E
﹃
︿E
Au-z
3 - A n X A、
u
，
E J'
aAH-n
‘
E
E
Z B‘
‘
・
、‘，，、、 J
VAV-n
r
、、，，‘、
、
n-x
nvv
a
r
‘
、
.
，
，
.
、
xnu"-e
である.ただし，添字 e
は平後i
状1
mを 告 す も の と し . ま た 簡 '
1
'の た め 汗 滋 砂 の c
x
c
u
r
s
i
o
n
(
7
.4
)
fidphs(ue:
:八
J
A3d
-一一一 P
.八
Az
であるから.提楽されたモデルは次のような性質をもつことが理解される.
(I
)平均 s
t
e
pl
c
n
g
t
h
. 平均 c
x
c
u
r
s
i
o
nI
c
n
g
t
hが 訂 版 純 で あ る こ と が
ただし
A:. A3 :砂の形状係数. Pd. :f
t
1.1立時間、5り浮遊粒子がかJ
床に再接触して柑流砂
僧 h主要ぷとすること.
般車. u.: M抗 粒 子 の 速 度 で あ る . Pd.(X)は 次 の よ う に 書 け る .
こと.
剖;(;:三~ } PT(X
b
c
dm
a
t
c
r
i
a
l
"1
のI
I
Uの 生 起 隊 中 1
4
:
U
tと偏;事変数である移動距般るを
l
o
a
d の 条 件 で あ る こ と . (2) 各連防~ ，
に も ど る 例 数 . PTR(x):M?Iot砂がかI
床 か ら の 隊 脱 後 汗 遊 砂 に 選 移 せ ず 距 鍛 x以1.砂動する
Pd.(X)
(
7
.1
2
)
(3))~~lfiJ 濃肢の 11'1 接的なれ仙なしに.浮遊砂祉が llL i
i
!I
I
I能 で あ る
(
4
)平後ω
Ii
!
.
ti
少
.
I
&
t
は.
tf遊量生、への i
量移がない幼介も.途中で1
1逝 砂 に 遭 移 し た り t
?
逝砂から逆戻りした州説砂がある場合も不変で.f
字逝俗、に独、主に決まり.またそれゆえ.
fH..(f)df
(
7
.5
)
~流砂砧は， ti かに怖がií少量と fi.・遊砂 J.i の狗!として表されることである
r
とにかく，非平衡状態の b
c
dm
a
t
c
r
i
a
ll
o
a
d流 送 の 記 述 に お い て ， ま た ‘ 伶1状 態 で も と
くに i
¥
?進 砂 量 の 決 定 に 汚 た っ て 柑 流 か ら r
l逝 へ の 遷 移 現 象 を 去 す パ ラ メ
一158-
-1
5
9-
タP
Tの 評 価 の 五
なお
ト
ナ
民牲が指摘される.
ただし，
上述のモデルでは. 浮遊齢、が水深方向にわたって分市しているにもかかわらず旅
手滋砂では J
I:
平衡状態において浪度分作"ちもず衡状態
4
少量だけを l次 元 的 に 級 か っ た が . F
2次 兄 的 な モ デ ル が 必 要 と な る こ と は
のそれから変質するため
Jうまでもなく.
C(
0)=C1
，
、
円吋
﹂
目
a
a
'
E
E
E
E
J
，
H
1
，
‘
、n
内
0.
5
_
l.o'~--~.ー
e
，
(
)
，
、
・
・
市
ノ
，
れ-
u
内
t
s
a
er
、
20r
u--L
叫
H
-LP
、
e
a
r
-nuv
1n
AV
nkp，
--
0
¥ -R
ノ
¥
一
g
。
AssυmedProf
11
e
01'.(n)
吋
で与えられるが. このとき底 (
(
0程 度 は
h
{
n
jn
.
1
:
を 考 慮 し な い 場 合 . 濃 度 分 布 形 は φ1
tt
1
.0
7
.4参照) . 1
1移
φ，を月H、ながら遜移機嫌にもとづい
a
:ers
u
r
fa
c
e
企
nu
度分街形状へのぬ献割合がパラメータ
7 で 決 め ら れ る (図
008 勺
-BE-a
v F
h
u
v'
nU
u
n
u
，
.
、
-wz
2
a
，
e
o
‘
a
・
・
u nu
-'
e a-v
，u，
，、
，
，
φ2 との濃
w
(遷移の〉効果が合まれる
FJ
胸
rk
向次拡散 J
ら程式の解であり. J
t
;
閥次の
¥4
、
、
、
、 AZJ
、
、、、・‘
t
マ
ー
AV
φパ
ま
I--ト 1 1ト引 ヨE
J
n
H
!
への遷移によって決っている.
ることになり， 従 来 試 み ら れ た よ う な
1
w-
Ju
.
0 su ~ pen sl0n
(
7
.1
7
)
であり. また 7 C1 (
C1J
CZ) ; T
/h; ε.. ε./
J y
(u
.
h);¥
j
.
'~( Tl) S
‘(y) S (
0)・ u
.:W
線速度である. 式 (
7
.1
5
)ががすように， 浮 遊 砂 の j
庄 函 縫j
止は. その -部 分 が Mi
I
o
t
か
ら1
乎逝
遷 移 と 無 関 係 の 積 分 定 数 C1で 決 定 さ れ
l
o
a
dl
t
o
t1o
nl
，
，
，
，
、
、nq
，、
‘
，
AHHW
仏ー
によって掃討t砂 か ら 浮 遊 砂 へ の 遷 移 が 浮 遊 砂 の 流 送 過 程 に 及 ぼ す 彫 響 を 倹 討 し た .
、
F
r
a
a
E
B
E
E
E
分布式を用いた場合の浮遊砂の拡散係数の見かけ上の変化が検討された. ここではこの
円吋
によって.i1.(11
誌の I
n
J次 拡 散 式 に よ る 濃 度
e
a
15)
、，
，
，
‘nリ
、
r・
倣方狩式はW
urphyの冷文'川にみられるし. 辻本
このような非同次鉱
﹄
y > O で~JfJする k 式においては浮遊砂の消滅項を~lf.しなくてよい.
M Wを除く
v
浮 遊 か ら 州 総 へ の 遷 移 は かJ
床への再篠触で定義しているから.
、
r
Ilt 位体般の *1~1 で帰前t から汗遊へ遷移する砂の ß
‘lIB--EJ
EBB-a
a
J
、
戸
，
，
、 ，
，
、
、nリ
‘
‘
:厳 i，~ ø~ 閥、り.
ε..浮逝砂の拡散係数， y: M床から
-aau
p
a
a
-d
J
.J
(7
.1
3)
砂 の 沈 降 迷 瓜 . Cs :浮遊砂讃度分化，
h
:水深， S
'I1体績である
J
口
の向さ.
ミ
'
1
10
dy
、
‘
、
、
V'
，，‘、
fla--BJ
FM
LhnH
る
、H y
dCs
Cs f ε.一ーーーー
-
7
.
3参政O.
曹。
(
7
.1
6)
AV
n
H
t
φ2(η)
.
，
.
，
，
AU
，
、
、
(凶
，
﹄
、
、
f
v
・
，a・
ll-EK
Etn
リ
﹁1
lt -J
摘疏から 1
1遊への遅移が浮遊量生、量源であるとすれば. 平 衡 状 態 の 浮 遊 砂 の 濃 度 分 布 を 決
!
iを 加 味 し な け れ ば な ら な い
J
Lする J
よ従式には. 次 式 の よ う に 遷 移 に よ る 汗 遊 砂 の 生 成 !
(
7
.1
5
)
c
x
p
(
;
2
5
)
φ1(η)
7. 3 婦涜から浮遊への遷移に膨響される浮遊砂過程
C1
C
ー
そ れ に 附 し て は 第 8 市で検川することにする.
て底 l
函濃度を決定しようとすることは
諭JlI!的でない.
C
:は 明 ら か に 遷 移 と l
知
係しており， 選移確率¥4'
.
C度 PTが 知 ら れ
凶
れば. 次 の よ う に 決 定 さ れ る .
遷移事象の浮遊砂
濃度分布への影智
、
e
、
‘
，
nO
v
d
JU
、
j
y
，
7
.
3 部式図
LHAU
rEa--'J
図
7
.
4
浮遊砂の拡散係数の水潔 !
i向 の 変 化 を 無 視 し た 場 合 ( 例 え ば 水 深 に わ た っ て の ヂ 均 f
l
i
lを
7
.1
3
)の 解 は 次 の よ う に 去 さ れ る .
JTlいる) . 式 (
'
1.
φ
1
(η) +(1
φ:(η)
'
1)
・
-1
6
0-
PTQS
Cz
官。
(
7
.1
4
)
r
i進砂濃度分布に流.il!分布
u
.
画。
(
7
.1
8
)
(i
正確には浮遊怜チの i
/
.
i下 ん 向 迷 l
立の水深ん刊]分市 ) を采じ.
水深にわたって積分することから， 次の式を得る.
-161-
~ -C
L
ILIC
z
lz
u
.
h
(
7
.1
9
)
7. 4 saltation軌跡の不安定
・
ただし.
辻 本 .r
f
')
ll2
に よ り . 枇 子 連 動 の 掛 疏 か ら 浮 遊 へ の 遷 移 は 比 較 的 保I
i.i!論的な 5
a
lt
a
t
i
o
n
;
φ
.午 )
1
;
;
φ
(1
)
中
d
(
η
軌跡が水洗の乱れによってある限界量以上に逸脱したときに生じることがビデオ嗣像解術
η
(7.
2
0
)
・
r
.
(
cと . 乱 れ に よ る 軌 跡
に も と づ い て 指 怖 さ れ た . 辻本・ 2 2は こ う し た 限 界 他 〈 刷 他 〉 の (
の偏伶がこの限界より大きいか小さいかで.その後の純子の巡動がきわめて拠なることの
説明を，乱れによる 5
a
)t
ati
o
n軌 跡 の 媛 乱 の 不 安 定 '
J
q
良としてとらえた.み・
節では.こう
であり， u
はJ
，
Jj~r 杭泌を去す.よって， CL
は式 (
7
.1
5
)を J
I
H、て次のようにぶされる.
C
t
した考え )jを 発 1
必 そ の:
手訟をより吟味し，より広い条件での解析鮎民を J
I
Iい て . 制 疏 か
f
f
(
(
÷
)
山
(7.
21)
2
1
}
らfi.遊への遷移 .'jf 象のí.i!1i\的 ~t 1
(
品を行うことを目的とする.
s
a
lt
a
t
i
o
n 純子は磁l
I
:，.g論的に決定される軌跡上を水洗から常に像々な強 U
tの 変 動 を 受 け
C1の 決 山 に は t
"
i逝 砂 の excursionJ
e
n
g
l
hに つ い て の 情 械 も 必 安 な こ と を ぶ し て お
される
ながら修動している.柿UttI'P、としての不規則性は M床 で の 衝 突 ・ 以 発 の 隙 に も た ら E
り
， J:;えてみればもっともなことであるにもかかわらず従米のほ 1
(
'
1濃 位 決 定 モ デ リ ン グ で
allalionの ス ケ ー ル の 不 規 則 れ に Mi
'
lされる. い ま 初 h， マクナス
もので，形式的には s
:
;
"
l
!されることがなかった.
はJ
効果を無視し.またがEドん I
I
'
Jに は 疏 れ の 迷 度 に ほ と ん ど I
t
'ち に な じ む と 似 l
i
:する .
これは
，
なおパラメータ 7は P
rの 評 価 を 待 た ず し て 次 の よ う に 決 め ら れ る こ と が 式 (
7
.
1
8
)， (
7
.
2
1)からわかる
7
斗:
4
正
・
.
1
n
utを拍子筏とその沈降述JJtに関わるスケールで熊次)t_;化したれ(;
_y/d
) .v•
速度 v， 8
(- v/
./(o/ρ・l
)
g
d
) ，t. (レ t
.
/(0，
ρ 1)
g，d
) を 則 い て 巡 動 方4
1
1式 を の く と 次 の よ
t叫 .
{
(
十(
J
士JI
.
}I
{(
十(
J
引.
1
}
1
•
うになる.
(7.
2
2)
dvp .
dt
.
1
1
IJ~ Iη による目'
l
rr.の結果， 7は1fo'
u
.の榊加開放で， "o
/u
.の O
.1
から1.0
の範聞で
0
.
2から O
.7科 j立 に 変 化 す る ( 悶 7.5多 照 ) .要するに
t
10 u
.か 小 さ い ( 汗 進 砂 で あ る 割
合が人き L、)ほど 7が小さく，そのようなとき濃度分命・の形払は J
I
:[
1
;
)次 ん 将 式 〈 遷 移 現 象 )
1
1
'0
(
7
.
2
3
)
dl
.
s
a
!t
a
t
i
o
n純 子 は 上 式 で 乱 れ の 幼 虫 を J
:
;l
lしない， v
'
dvP0・
=Aolvpo・I(.
v
.0・) 1B
o
C vp.
)
dt
.
Co I
J
届1
(
1濃 度 は む し ろ c
x
c
ur
sjo
n
。
d
v
'•
(
7
.
2
4)
dt
.
ここで.
l
c
n
g
t
hにえ配される.
l
HU
HU
1
00
A
o
l
y
1・ Y
C。
であり，
1
=
0
.
0
0
2
5
d
=
0.
0
2
c
m
COO
A
2
2
A
s
。'ρC
M
σ/ρ f
CM
ρ : 抗 体 の 僚 度 ，0
1
2
Az
B。 一
・
A
3 σ/ρICM d•
.{(;ρl)gd3
d
.
l
nu
nu
HU
*
nu
w
，
同 7
.
5 rと鴨。 /u
.との関係
-162-
(
7
.
2
6
)
• 砂の後度; CM :付加賀批係数;Co :抗力係数である
n
上式は非紙l~~ L
a
n
g
c
v
i
n}j 式
WO/U*
0
1
0
v
'は
t飾 品 微 分
J
cl
'
P
"
'
{
:， 化 学 工 学 等 の 分 野 で 検 討 が な さ れ て い る
方程式)との I
理解に)A.づいて， ;
1
0
-1
1
0
-1
(7.
2
5
)
ν
J
cぬの乱れであるから，
時 ・空 間 的 に 変 動 す る I
1
0・1
1
0
-1
.と;
二
とした炊の J
j将式にほぼ従う.
u. が大きくて M Ütt~のかl 合が人きいときには.浮進砂濃
度分命の)~状は 1，，)次 hf~ 式の解で充分近似されるものの，
A
oIv
.
'vp・I(
¥
'
.
'¥
'
p.
) ，B0(v
.
' vp.
) -C0
J
i
， 第 3:f，t;で指摘したように，
の効*に5i..配される(f，~次の解からずれる)が，そのときの雌 1(0 濃 I立t は遷移f1f ;t~ I~創立と容
易に l
刻係づけられる.逆に，
1
えさ}・
. ド付
は.乱れを宅"していないことを示す.
き添え下O
凶 7
.
6に 示 す よ う な 式 (
7
.
2
4
)に 従 う 徹 子 が 位 置 lに お い で あ る 乱 れ を 受 け て . ふ ホi
なら
{j:.(fすべき位置日から鉛 U
'
l}
J向に
f (初期偏情)だけ綴れた似 i
7
lfI・に米たものとする.
-1
6
3-
J
J
主
?
ν
ミν
:
与
シ
ン
ン
V
メ
:
了r
1
;
z
机
2
:
3
;
2
;
口
;
1
!
E3 C
f
什l
i司
ー L:
"ー
ニぜ
'
f
' I
ム
TTIE-tEE 1SIlt--
…
千
マ
十
7
子い
1 い円.♂〆ん
t;1 ;<~Jr
<~Jr咋寸
ら~川
rT汁
1
け
什
r
ト
ト
二
合
主
云
ご
ご
t
l
0
n
dete 巾 lnls~ic
.
.
.
.
.
"
，
d
'
t
a
t
i
o
ntrωectofJ
-.
.
~
、
、
¥
¥
﹁十1 E
C
沿
以
以
山
一
T一
-一寸十
「
一一
-「
寸十
一
一
(
化することが知られており.その凶 1
1
1f<は次のように与えられる.
p
e
"
si
o
n
σ/
b + jb2 4
a
c
E
ε
p
a
l
h
(
7
.
3
3
)
2
c
すなわち，図 7.7に不すようにf，
>f<であ
ればえの軌道との相対距荷量は大きく官官れる傾
向を 3
1する
l
1m
e
4
f.< f<であれば判!対距荷量
方
，
1
}t
，
u
傾
は小さくなり，粒子は元の軌道上への 1
(b) 記り凶
(a) 遷 移 現 象
E
:す る ， パ 、 換 え れ ば . 的 行 の 状 i
兄か掃
向を B
青
!
tf
抜 か ら 浮 遊 へ の 遷 移 に 対 応 す る . 相 対 副i
し.初期値がそれを越えるか超えないかで全
on村:{
の安定性(逆に"うと.浮遊砂へ遷移するかどうかの J
t
;H
j
l) を 考 え る こ と が で
l
ati
く 迫 っ た 挙 動 を ム す . こうした必ぬは.あく
7
.
2
4
)で み さ れ る 軌 迫 へ の IJ}M牲 は ) 乙 の 軌 跡
きる・すなわち. 偏{奇した後の位チが式 (
との.f{
1
対副!of(
.
:
.y-Y0)によって測られる
Vの 乱 れ の 継 続 時 I
I
U阿 佐 内 を 対 象 に す る と 式
2
3)の解は v
p
=
f
p
(
Y
)，ーヅi・ 式 (
7
.
2
4
)の解は V刊
(
7.
f
.
o
(
Y
o
)と そ れ ぞ れ 場 の 関 数 と し て 符
M
n・から mの 位 置 へ の II}帰 傾 向 に よ っ て sal
.
、
r‘
)
w式 (7.29)には削 1
1
f
tが {
i
{
f
をえ配する微分ノ
次 の 時 点 で の Jじの純子の i
，
'
fi
討を凹とすると.
B
r
、
同 7
.
6 慌A:同
同7
.
7 E
q
.(
7
.2
9
)の 解 特 性
までも悩情後の粒子の定性的傾向をぶしたに
とどまるものの.元の軌跡からある限度以上の逸脱がある幼合に遷移が起こるというピデ
オl
由j{象解析・〉の鮎*と ・ 致している.
ける.このとき向状態聞の~1I対速度 v ， c- VpVpo df/
d
l
)も場の l
則数になるものと似定
すると.相対除隊
可竃
三
Eとの￨凶には次の関係がhX屯する.
df
ー
ー
ー
ー
dt
7. 5 棋界鉛直偏侍単に関する 検討
(
7.27)
f(f)
f
(f)を初J
'J
{
jj
相対距般
7，5
.
1 乱れに対する 粒子の応答
濯移 'JJ 象が水洗の乱れによって '1; ずることから，乱れに対する粒子の I，~、令:111 についての
E まわりに Taylor桜閲すると，
(f-fi)2
f(Ea)1(r-f)f'(E.
〉4
2 f
・
.(f・
)
検 川 が 必 要 と な る . しかしながら式 (
7
.23) で去現される Langcvínjj ~~' 式を解くことは非常
(
7
.
2
8
)
に捌難であるため
t
JJD1t は強度が-~な乱れ，あるいは所与の周波数と阪似をもっ胤則被
を入 )
J条 件 と し て . 純 子 の 応 答 が 検 討 さ れ る . 本 節 で は ， ま ず 乱 れ を i
E必 j
伎で近似し.そ
の作用下での粒
が 得 ら れ ， そ の 2次 以 上 の J
f
tを ま で を と る と 次 式 が 得 ら れ る .
Iの 川 波 数 応 答 特 性 の J
よみ的な性質をもとに.ある量生、 t
v子の i
彊移・h象に￨則
わるイf効 周 波 数 に つ い て の 検 討 を ね い . 次 節 で の -)L強 I
.Qの乱れに必J
tる倹 h
.
tと併せて.
(
7.
2
9)
a+bf '
lcf2
a-v，
I
f
士
(
7
.
3
0
)
(V
pV
p
o
)
¥f
ル化する.
(
7.
3
4)
V
' ーa
'
s
i
n
α
)t
1 d
v，I
b
選修に関わる乱れの時1
1
0スケールの狩{耐を行う.乱れによるVIt述変動を次式のようにモデ
(7.
3
1)
一
一・
一
一
一
ー!
v， d
l lf.
ここで.
=
τ
(
:
:
(
f
;
;
:士
会)
1E，
乱 れ の 偏 M.ω:21Z" f
.f
:周波数である. 以下において川波数 f は熊次)~ >
>
.
ボしてf. ~ fJd{(σ J ρ
(
7
.
3
2
)
式(
7
.
2
9
)の解は， c が d の と き . 初 期 値 f.によって 解 特 性 は 凶 7
.
7の よ う に 大 き く 変
1
1
)
.
1
-
a
l
)
g
}と主主す.
式(7.
3
4
)で表される乱れに対する純子の運動は，式(7.
2
3
)によって虫JJ.l.される
は . 抗 れ の 強 度 を r.
0
0
5と し て 与 え ， 初 期 条 件 t .O
.
同 7
.8
V
.
.2のドで. Rungc Kulla法を J
I
Jい
て 乱 れ の あ る 場 合 と . 無 い 場 合 に つ い て sallaUon
i
f
l
Li
l
lを .
1
-1
'
).した結*で，新1{-の特 1111~
一165-
d
. および熊次元刷波紋f.がパラメ ータとなっている.
t
なお.計})に、~ こ
，って，
恒輔{ま
乱れの作
m時 間 ス ケ ー ル を iE弦波tA:，J;tれ の 半 周 期 間 1.
0
:と J
7ぇ.
a !2・ v
'rm.ぃ v
'-ーー: Jj
(
.i
f
.
t
の
鉛u
'
[Jj 向乱れの除却i 偏足であり.桶湾 a ・ 2 の実験車.'i~ に J[; づ
らム}'.・./d・O
.5~0. 6
柑度となり.
き無次 y
己乱れ強度を ν.
.
"・ O
.
8r;てとした.
ほぼてかしくなることから. 遷 移 に l
剣わる時間スケールとしては
ただし.
v
' rr ・:
-v
・
.
.
，'
) (0/ρI)gd，
1
0
熊次元底的[せん断応 )J である.抗力係数は Rubcy の式形 C o C
ooみ 2
4R
cで 与 え ， 球 形 役
r•
日τ 1
.0とすると同
7
.
9か
lJ守1.0
として後述の 7
.
5.
2で 得 ら れ る 限 界 制 対 悩 伶 と
nT・1
.0W肢 が 適 吋 と 判 断
される.
fを対象に Co
.
4とし，また. R
c .v
'v
p
・
d
，νである.
o0
1
10
一
-- hv
・・
M
'4M
h
u
・
‘
，
‘-
v
•
ns -
6
1G1
l
l
y
Y.
max
ーすー
l
l
Y
maA
'-d-
2
0
10
b
1
1
6
1.
6
0
10
10
6
Y
.
Y.
‘
10-1
10・1
10-1
f
*
6
10
同
100
10・1
f
*
0
10
7
.
9 M:大相対偏術最と周波数の￨則係
同7
.
8 乱 れ を 受 け た 時 の sa1t
ati
o
n軌 道
7
.
5.
2 sallalion上 の限 界 偏 侍 単 に つ い て
7
.
8よ り 明 ら か な よ う に ， 純 子 は 高 周 波 乱 れ に 対 す る 応 答 特 性 は 鈍 く そ の h
立大相対距
同7
.
6に 不 す よ う に 上 向 き の 乱 れ を 受 け て 上 向 き に 旬 術 し た 場 合 に は . [J'から"への
般 (振 幅 ) は 小 さ い →J
i
. 低周波乱れに対しては敏感でその位大相対ぬ艇は人きい.たた
j
l
j耐 に つ い て は 下 向 き の 乱 れ を 受 け る 必 要 が あ る . 従 っ て . I~日(日" ) -1Tlの j
めf
Yの
し，こうした相対怯般の大小と前節で述べた初期相対除隊此とは直ちに対此、するものでは
乱れを 1)川朋の乱れとして倣うことにする.
凶
ない.所うの乱れ強 j立に対して.ある相対除隊とそれを産む乱れの周波数との ~IL み合わせ
i
則合した純子と，偏伶しない場介の s
a
!tation上 の 仲 併 で の 述 l
.
!
tl
.
i
vr (添え字 l は 初 期
I
f，で あ る 状 態 を み す ) が j
l
j州 i
品目の初期条件となるため主張であり. 乱 れ を m
に
偏伶が
3J
i
tは . 式 (
7
.
3
3
).式 (
7
.
2
3
)を 満 た す よ う に 決 ま る も の と 考 え ら れ る .
強度 〈振 幅 ) か
一
⋮
は縫つも考えられる.すなわち初期相対偏俗の限界似.乱れ強度.乱れの行，JIj緋続時間の
7
.
9は 初 速 度 を ¥'
P • 0，
0.¥
'
T' ' 2 として，半周期内における最大無次元相対鈍 !~~}'ma. / d
凶と周波数 f
.との関係をボしたもので.こうしたみ小をすると初迷度、 P'。の修 習
Eは 比 較 的 小
・
自1
i
:冷 な 連 動 方 程 式 に 従 う
さいことがわかる. 6
n
Jif.t純子の乱れに対する応答が濯移‘H~ で
4
つの波としてよ現するだけでは;r
t(
6
1
f
l* な い . 従 っ て . こ ζ では.
偏{命す
i
fの i
虫I
立Vpo(t .
1t
)にム t&
1
1
1
Uだけ乱れ¥'I
J
<作用した時のヂ.I!.)f~( として与えられると仮
るd
定すると，次のようにl!tける.
-
∞
‘d
﹁1-11
∞
a
w
aIi
、
，
、，，，
，
，uv
d
T
n
u
-166-
4
6
tれの伶:
J
Uを dt時聞を受けて. sallaいon軌道から俗的した粒.子の迷 I
立V
p(t)は.
あるから.その D
.
)
:I
I
Uスケ ー ル は 純 子 の 慣性を J号i
慢して炊のような形式を{反応する.
(
7
.
3
5
)
定の
{VpO(l d l
)
十
ー
1
1
:
)
7
￨talal)φ(V')
d
v
(7.
3
6)
ここで .φ(v'):鉛 l
在J
J
I
句乱れ v
・の確率密度関数である.与えられた熊次凡仙抗 )
Jr.
に
対して. 第 3i):での s
i
m
u
l
a
t
i
o
n結 黒 か ら . 初 速 度 が 次 式 で 与 え ら れ る 平 均 的 な s
a
lt
ati
o
n
s
a1
t
a
ti
o
n軌 道 上 の 各 時 間 〈 各 似 置 〉 で
f• (t)が 決 ま る が ， 実 際 の 問 却 と し て は 各
時 刻 で の 限 界 偏 術 品 よ り 1s
a
l
t
a
t
i
o
n
J
:で
を想定することにする
r
r
ア
(
7.
3
7
)
E
[
v
o
.1~ 4
S
E
1
お変数であるから s
a
ltationn体も附々
の大きさのものから情成されており.この
n寸 .0と し た と き の . 乱 れ の
分めを1$1
意した形で.水野地に対する‘ド均
総 統 時 間 後 の粒子の.n1
対泌度(¥'.・心。)の計算結果であり.乱れが作用するがjの も と も と の
的な限界 i
則合量を評価する必要があるがニ
軌 道 位 上 で の 速 度 Vt 。と凶辿づけて表すのが適ろと考え.肉中の実線のような式でよした.
こでは.、'
l
i
.均 初 速 度 に 対 す る s
a
lt
a
t
i
o
n軌
.
8
u
.を J
f
)いた. 凶 7
.1
0は . 乱 れ の 継 続 時 1日を
あるが"'" 0
。
Vp.
ー
v'
'
'
'
・・
T
川汁)
(
7
.
3
8
)
o
vj(olρI)gdと熊次 JL化 さ れ て い る . 図 よ り 砂 柏 村 利 d
.，乱
ここに純子速度 v は v. ~
一
一
-d‘-20
ー
-d‘・
1
)
0
0
t
‘
E
の千均的な備が必要とされる.争~J .i1! ，
立
.v
。が
ん v・が従う E
鹿市 1，
4
1J.!l: 凶数~J!胤分布とし，その tl~ 偏見 v ・''''‘としては閤r 1
1'
Y均 i
l
f
tで
V
.
.
2.0
:式でぶ現される.
れ強度 v
'rm.いに関わらず初期相対.i!!度差は平均的にほぼ L
i
ニ式によって，式(7.
3
0
)の初J
'
.
l
I
1
相対速度差 V，Iが与えられる. f
'(f.
)
， f
・・(f，
)は式
:の f，(けを各時刻の占有事を考慮して
道 1
時 間 十 均 化 し た 結 果 f.をもって
0.
0
0.
4
~.2
0
.
6 0.
8 1
.
0
t /l ~
r.
に
t
o
<
I
'
7
.
1
1 s
a
l
t
a
l
i
o
n
l
.での f.
.
;
{
j'1'には次式で表される)lj:似 1
1
1
1線を併
た. t
の泣化 (
d.20.500)
ぷしである.
.
・:(f.
C
0 "
'
0
.
51r.)
'、s
0
1
0
(
0
.
5/r.
)
'"
''
"
p
O
っ
ー
0.0
対する版界悩術泣とし， I
刈 7
.
1
2(
a
)に示し
E
(
7
.
2
3
)， (
7
.
2
4
)の 運 動 五 梓 式 を 解 くことにより剖'賀される .
1
.0
(
7
.
3
9
)
f
.
.
o
JI
.5
t
l
I
0/
d.
vr
しc
r
寸r
τ
(
7
.
4
0
)
1
01
一
一
『r
F
m
E
E
g
-
￨叶
-・ 6.~><
凶7
.1
2
(
a
)にィーされる結巣 f."ま.辻本:ら・ 3
。
‘
ロ
のポリスチレン粒子(
d
.2
5
)を J
1
H、た実験
(r.
=1-3)の 結 果 (fε / d ~ O. 2
)と良く 一致
1
0-2
している.
3
7.6 婦涜から浮遊への遷移確率帝度
4
0
1
0
1
0
-1
(a)
f.，の
1
*
1
01
r .による変化
に関する検討
凶
7
.1
0
0
1
0
乱れ強度で無次冗化された相対速度
7
.
6
.1 遷移確率密度の評価について
s
a
l
t
a
t
i
o
nが特定され.初.lIH
t
l対速度 v，が与えられると.凶 7
.
7の 11'ぺ 1
Iの I
l
}帰 傾 向
7
.
5 では.遷移事象の限界仙のJ'
f(
面
，を行っ
は式(7.29)-(7.
3
8
)に 従 っ て 各 点 ( 各 時 刻 〉 で の 限 界 選 移 罰 fC に よ っ て 測 ら れ る . 前 述
たが， 7
.
2で展開した洗砂モデルでは !
I
t位時
'rt
n
'・ 0
.
8
乱れ強度を v
t限 界 制 的 ほ と し て い
4>-節では遁移をある鉛ii'
r
r
:として. r.とd.を変えて式 (7.33)によって Eε を汁扮.した.
その鮎果*~型地に対する十・均的な sal t
a
ti
o
n軌 道 Lでの E・，( fc
/
d
)の s
al
l
atl
o
nの継
るものの.その偏俗世 E の分。』形がりI~・でな
.内 で の 変 化 を 凶 7
.1
1に示した.
続時間 T
いため.まず， P
oP
r
o
b lV' ぺ :1
で定 義 さ れ
-16~ -
-169-
1
0
-1
1
01
t
噂
間巧りの遷移擁液型密度を情hX:'!!:ふとしていた.
n
u
，
今-
rr
て で う え で 問s
a
l
t
a
t
i
o
nを 組 定 し ， 熊 次 元
a
l
t
atjo
nの初i!l!J
J
(
を E
[Vo1
:4
したように s
(b)
凶
f
.
.
oとd.の関係
7
.1
2
限界術情Ji¥:
d.
1
03
る遷移の状態確 7ドをJ)える.ところで図 7
.6(b)中の点 1(時刻 t 込 t) の状態で乱れの f~;
r
一
一
一
一 (rf)
g
(f)
r(r)
川を縦続時間ム tたけ受けて移動した位置 1
1
'と.受けない総合の移動位低 1
1との相対鈴1
t
t
，
n
司
.
A
u
v-φL
引
J日 M
、
‘、
rE1a1llll
.E.nyhω"
も
、‘，，，
a
p
E
、
r
、
uv
/tE︿tt
1
2
4
1J
ム
。
1
\'。の、I~ J
!
.
J{，仇は式 (
7
.
3
7
)で.変動係数
ふt
α[VO O
.1
7r. 1
(7.
4
7
)
•
j
]， 第 3 0:で行ったシミュレーションで与えられる紛流純子のお}11'(}ì 向 ({{E 肱 ~~1 ~I僻 JJl:
分ぬは次式で近似される(これは古川・ I
1
J悶 zo)が令く別の J
i訟で尊いたものと l
i
lJ
t
;
).
f
. (f) .K(f) / K
o
2
f
(7.
4
6)
E['
¥0 '
は次A:で与えられる.
が eは次式をみたす.
A
o1v
'< V
.
O
I1(v'c V
.
O
I)f A
o1¥
'
.
0
11V
.
O
I
B¥
'c
(
7
.
4
2
)
(
7
.
4
8
)
K
o ./2n{φ (1/0.)
2
ここで， V
.01 は l の 4人 1l&での~J.立 V.o(t dt
)をムす1.式より， s
a1
t
at
l
o
n純子の
1
:
界
，
4
l
Wd
任純 .
f
二( 1iI崎あたり)の単位時間当りの 1
1地 へ の 遷 移 縫 率 密 度 Prは sa1t
at
J
O
n
φ(
x
)
軌跡を泌脱する粒子が限w.悩伶Jitf
ε を移動する時間の逆数の期待値として定義できるか
φ(・1
/0.) }
(
7
.
4
9
)
叶云ヂ)叶王子)
./~nI ベチ]
K(f)
ド降のん向，選拶のん IÎJ) に対してそれぞれ限界乱れ ~JJ(が計算できる.
周ん.
E
(
7
.
4
1)
従って. 鉛 l
丘迷度 V
.
oの s81t
at
io
n純子を限界u.i伶J&tfr だ け 移 動 さ せ る に 必 必 な 乱 れ 述 肢
(d.t)
c
x
p
( rf);
I
はs
h
a
p
ep
a
r
a
m
c
t
e
rで r1
i α~ : v
0)であり，
r
f.は次式で近似できる・
E
r
dt
(7.50)
(
7
.
5
1)
ら.次のように舟ける.
一
一
Pr(Y1V
O
) -I
φ.(v')dv'
jv ，EC
i
j
y
(
yl
山
ここで， f
. (f) は規準化された常 JJ
[I
刻敬で，
(
v
')dv
(
7
.
4
3
)
_ A_
. 守‘・
Pro(Y1vo)
v
. P02ム t
一一一一一ーは。{ 1 v
'V
.
II(
v
'-¥'.1)
E
色
Y/E [y)， a.:悩洗面少純の {{(E尚さ
r.による変化はシミュレーションによると凶 3
.3
7の
ように求められ，次式のように近似されている.
ここで.
0 7
，
σ.
O
.5
(
7
.
5
2
)
同7
.1
3は. 式 (7.42)-(7.
5
2
)を川いて計算された選移舵市御庄の位任による変化を '
1ー
し
2
f‘
v
'，v
.
.I(
v・
r V
.
I
)
}"
B
o
(
v
'v
.
I
)] (7.44)
である
E=y] ， σvの
の変動係散であり，
f~
たもので，1j(のように無次元化しである.たたし，以ドでは.簡
'
I
tのため Pr・を p，
.と )
i
_記
する.
v
.は粒子のヂ均速度である.
i:
式(7.
4
4
)で与えられる針。 (y.vo)は特定の v。に対する I
l
t位時間当りの選移f(
r
終，:4
:
1
主であ
るが，実際には種々の s
a
l
l
a
t
i
o
n の集合体であることから初速度の分布を J
S
l
f
.し，また M
P
T・
(7.
5
3
)
泳砂の鉛庇方向作イf
i
夜中を川いて鉛 l
立方向に平均化することにより，平均的な.i!移li(
f~t~ i
4
:
性1
モの変化が遷 4
多様 7
千
qr，度に&.ぽす効*は.それが p
l
c
ku
pr
a
l
c
l
こ 及 ぼ す 効 * (凶
J
.
aPrが次のようにぷめられる.
に矧似している
1
1
1
J
(
Y
な式形の次のような近似式に適合させたものである.
(
7
.
4
5
)
a
・
ι
7
・
・
肝P
P
Tが 7
.
2節 の モ デ ル に 合 ま れ た 選 修 確 準 密 度 で あ る . 初 速 度 の 分 布 は 次 の よ う な g
a
m
m
a分布
-
V
O，はうえられた yに対して政局点高さ 1
1
.が yとなるような初速度 V
Oである.この
v
nuF
ここで
・
…
V)g(
図中の実線は移動床モデルへの組み込みを考え，式 (
2
.
3
1)
と[
1
1
]J~ の mJ I
!
j
•
r
i
l
、
P
T
(
7
.
5
4
)
ここで， m 8
として， f
.と r・
<.
をt
t
t
立特性 d.と次のように聞係づけた(凶 7
.(
4
).
を適合させて用いる.
-li
O-
2
.(
2
)
-Iil-
︽
HV
nHV
n
u
J
V
(7.
5
5)
d
.~ 9
.5
63
1
1{
'
f s( O )
QB
(7.58)
r•
柚 o . φ • .r
、
、
，
，
，
、
‘
，
，
-F
し
J.c
巴
UJ-AHu
fs
(
Y
)
・Pr・
1
戸
し
(7.
5
6)
d
.く 9.5
O
.1
0
C
.
r、
、
自
﹁
‘
、
﹁Jtk
F
. 0.006 t (0.65・
d
.).
I 16
(
0
.1
5・
d.) 0
r •‘
<
(
7.59)
r・
<.は遷移限界に相当するもので. 凶中に破線で示した B
a
g
n
o
l
dの限界主毒殺(11'0 u
.
)よ
ここで. f
s
(
Y
)
:浮遊砂の相対濃度分布， φ.:Md!t純子の熊次冗速度( u
./u
.) である.
りやや大きいことがわかる.
である. fベけ は従来の
い ま ， 選 移 の 効 果 が 河 床 蘭 付 近 で 顕 著 で あ る と 仮 定 す る と ' {"
"0
nu
l
ハ
u
拡 散 モ デ ル よ り 得 ら れ る 解 で 近 似 さ れ . Rousc分布を用いると f
s
(
Y
)は次式でよされる.
P
T
.
.
ω(
午士)
0
1
0
F
s
.
τ
*
c
s
10-1
1
0
-1
C
.
︽
A
q
e
AU
7
.
1
3 P
r
.
と
*
凶
l
*
(_:(hl;)~-r--;;;;;
(7.
6
1)
関7
.15 に上式に従って基当直面濃度を計算した結果を示す.戸 BJ ・道 iyo\ 似合・ J~~ 11) ，
d
u
l
nu
nu
τ
J
AU
ι
今，
l
U
︽
令︽j
v
l
10-1
nu
‘
、l
l
JU
屯
、V
•
1
1
0
(
7
.
6
0
)
κu.
砂靴径を考慮し Y
"
"d2
. 基 喰 面 の 高 さ を aO
.05h とすると C. は次のように ~f ける.
内
〆L
AU
l
︽
U
今
4
I
•
0
z "
V
a
n
o
n
i21)の 実 験 デ ー タ が 併 示 し で あ る が . ，
H
"
算結果はばらついたデータの平均的な傾向
7
.5
9
)で 表 さ れ る 遷 移 確 率 密 度 が 間 接 的 に 検 証 さ れ た も の と 判 断 さ れ る .
を示しており，式 (
1
10
掃流粒チの移動速度は，式 (
7
.5
2
)で 与 え ら れ る 平 均 存 在 高 さ で の 流 迷 で う え る こ と に す る .
図 ~ 7.14
r .の関係
7， 5
2
)と対数則て>.r~価される φ.
と こ ろ で ， 浮 遊 砂 を 考 え る 綴 な τ.の 大 き い 領 域 で は ， 式 (
F
.
. r ・c.と d
.
の関係
は1
2程 度 で 大 き く 変 化 し な い か ら ， こ こ で は
(
d
.:F~ ラメータ〉
φ. 1
2とした. また M流砂 i
l
(は Swiss公式の
限界柑流力 τ日の項を岩垣式で補正した次式を用いた.
・
Q
8
.8(τ. r
7
.
6
.
2 基準面温度の評価について
(
7，6
2
)
c)3.2
前 節 で は 単 位 時 間 当 り の 遷 移 確 率 密 度 PTの定式化を行ったが. PTに 閲 す る 実 験 僚 が 収 集
されていないため，
.2
節で述べた PTを 用 い て 浮 遊 砂 の 基 機 面 濃 度 を 推 定 し ， そ
本節では 7
れ を 従 来 の 実 験 値 と 比 較 す る こ と に よ っ て ， 間 媛 的 に PT評 価 の そ の 妥 当 性 を 検 討 す る .
Ca
4
内
}
υ
n
浮遊砂の底面猿度C
s
(
O
)の一 部分は掃流から浮遊への遷移によって決っている.この時，
1
0・l
7
.1
5
)より'{ C
1/
Cs(0)
遷 移 と は 無 関 係 に 決 ま る 底 面 濃 度 の 割 合 を 示 す パ ラ メ ータ 7は式 (
と定義される. 式 C1='
{
・C
s
(
O
)と式 (
7
.1
8
)を式(7.1
5
)に 代 入 し て 整 理 す る と ， 浮 遊 砂 の 底
nU
1
1
PTQ8
(7.
5
7
)
Cs
(O
)・
一
一
一
一
一
・
一
一
一
一
1
{
' w
o
u
.
これらの実験デ
.を 用 い て 占 き 換 え る と . 熊 次 元 表 示 し て 次 式 が 得 ら れ る .
の比較のため，上式をC
-172-
タと
ζ
内
基司書面濃度としては高さ aO
.0
5
hの 濃 度 デ ータが収集されており，
1
υ
n
Q8 婦流砂品. U，掃流粒子の移動速度，官。:段チの沈降速度である.従来より
A句
n
u
l
ここで
‘
3
面濃度は次のように表される.
1
0・1
0
1
0
W
o/l九
図7
.1
5 C.~ lI' o / u. 関係
-]73-
1
01
7.7 結 論
4) 辻本哲郎・中)1博 次 : 掃 流 か ら 浮 遊 へ の 遷 移 綴 機 に 関 す る 基 礎 的 研 究 . 土 木 学 会 諭 文
集 ， 第 369号 日 5， pp.43・5
0
. 1
9
8
6
.
本立では . M
流 か ら 浮 遊 へ の 遷 移 現 象 が bcd material load流 送 過 程 に お い て 重 要 な 役
割を~たすことにお日して，その機摘を明らかにし，遷診限界.'t!位時間当りの選移篠獄
後j
立の定が的な評価を得ることを日的とした.
4
>
:r;tで得られた結果は次のとおりである.
(1) bed matcnal load の 疏 送 逃 肢 を 静 止 状 態 . 対 流 状 態 ， 浮 遊 状 態 各 相 聞 の 移 行 破 事
とそれぞれの状態でその移動距般の確率的な分市特性によって記述した.そこでは柑抗か
5) Bagnold， R
.A
. : An approach t
o thc scdlment lransport problcm for gcneral
. Washington.D
.C
_
. 1
9
6
6
.
phYSICS. Geologica] Survery ProfcsslOnal Papcr 422 1
6) Laursen. E
.M
. :The total sedimcnt ]oad of stream. J
. Bydrau1
. Div.. ASCE.
.8
4
. I
I
YI
. 1958.
Vo1
7) Sumer. B
.M
. :E
x
p
e
r
i
l
l
l
e
n
t
a
l investigation of motJons of suspcndcd heavy
i
.浮
ら浮遊への遷移現象を代表する遷移権主義密度の評価の華要性そ明らかにされた. -J
particles and the bursting process. part 3
. Life forccs actlng on a moving
遊から柑流への逆遷移はかJ
床 と の 再 接 触 で 定 義 さ れ る の で . 浮 遊 数 子 の 移 動 距 離 (excur
lows and thc IJmiting
parliclc near smooth and rough boundaries l
n lurbJent f
sion lcnglh) で表現される.
stage of suspenSlOn
. lnst
.I
lydrodynamics and I
lydraulic Engnc(.'flng・
(
2
) 浮遊齢、の濃度分布 ・底面i
濃度に対する掃流から浮遊への選診が象の彫響について論
じた.浮遊砂として速ばれる割合の大きい場合，濃度分布形は遷移の影響による非同次の
拡散克服式に支配され.従来用いられている同次拡散方眼式の解としての濃度分布形状と
l濃度は従米_;-えられているように遷移現象に規定される . - }
i
， 浮遊砂の
異なるが.底 m
;liJl 合が少なければ，濃度分布形状は向次方程式の解に近くなるが.底 1m 濃度は選移・J~ 象の
みでは決定されない.
8) van RI
jn
. L
.C
. :Sediment transport. part 1
I :Suspended load lransporl
.
J
. Bydraul
. Eng.. ASCE. Vol
.1
1
0
. ~o. 11
. pp.1613 1641
. 1984.
9) Lane. E
.
r
. and Kalinske. A
.
A
. : Engjnecring calcuJallOns of suspcndcd
scdiment
. Trans. A
.G
.U
.
. V
o
]
.2
2
. pp.307 6
0
3
. 1
9
4
1
.
1
0
) 芦田和男・道上正規:浮遊砂に関する研究(1)
(3) 柑流から 1
字遊への遷移は，水流の乱れによる確定論的な saltation軌 跡 の ゆ ら ぎ の
不安定として出現する.すなわち軌跡が不安定となるためのゆらぎの閣官官が存イEする.こ
のことを. sallalion軌 跡 か ら の 粒 子 の 偏 傍 証 に つ い て の 非 線 形 な 微 分 方 程 式 を 導 き . そ
の数学的性質にもとづいて説明した.さらにその闘備としての遷移基徴となる限界偏情景
を解析的に求める方法を示した.
河川ミ付近の濃度
.J
;
tA'IS大?・防災研
究 所 年 報 ， 第 13号s
. pp.233 242. 1970.
11
) 1takura. T
. and Kishi
.T
. :Opcn channel flow with suspcndcd scdimcnls.
J
. t
l
y
d
r
a
ul
. Div.. ASCE. Vol
.1
0
6
. I
I
Y
8
. pp.1325 1
3
4
5
. 1
9
8
0
.
;
(初 λ
;?
・
1
2
) 芦 田 和 男 ・岡 部 俄 土 ・ 藤 田 正 治 : 粒 子 の 浮 遊 限 界 と 浮 遊 砂 蛇 に 則 す る 研 究 . J
防 災 研 究 所 年 報 ， 第 25号B 2
. pp.401 4
1
6
. 1
9
8
2
.
(
4
) 初 期 偏 術 品 と そ れ を 産 む 乱 れ の 継 続 時 間 ス ケ ールとは密接な関係にあることを調べ，
その関係を水流の乱れに対する粒子の応答性状にもとづいて解析した.
(5) 本研究で展開されたモデルにもとづいて.掃流から浮遊への選修篠率密度を計算し，
砂純特性をパラメ
Tcchnical Univ.of Denmark. Sef1es Papcr. ~o. 2
3
. pp.77 1
01
. 1979.
タとして M流力との関係を明らかにした.
(
6
) 遷移磁準密度から J
I
'算 さ れ る 基 準 而 濃 度 の 推 定 式 と そ れ に 閲 す る 従 米 の 実 験 似 と の
比較より.提案された遍診確率僚度の評価法の妥当性が間接的に倹証された.
. and TsuJ
imoto. T
. :Sand bed instabilily due to bcd load
1
3
) Nakagawa， H
. Bydrau1
. Div.. ASCE. VoJ
.1
0
6
. BYI2. pp.2029 2051
. 1980.
motion. J
1
4
) Murphy. P
.J
. : EquilibrJum boundary condition for suspcnsJOn. J
. l
l
y
d
r
a
u
l
.
.l
l
l
. No.l. pp.108 1
1
7
. 1
9
8
5
.
Eng.. ASCE. Vol
1
5) 辻 本 背 郎 : 乱 ぬ に よ る 仁 砂 織 送
浮遊砂の拡散係数に関する検討
会論文集. pp.637 642， 1
9
8
6
.
16) 中 川 防 次 ・ 辻 本 哲 郎 ・ 村 上 正 吾 ・ 後 藤 「 志
参考文献
.第 3
0
l
u
J水 均 点 泌
:M流 か ら 浮 遊 へ の 選 修 の I
I
I現 機 締 と そ の
l 1
3
. pp.149 1
5
6
. 1
9
9
0
.
流 砂 過 程 に お け る 役 割 . t 本学会論文集，第 417~} J
1)古川秀夫編:流砂の*J!l学，丸普， 543p.・ 1985.
2) 中 川 博 次 ・ 辻 本 哲 郎 : 移 動 床 流 れ の 水 理 ， 新 体 系 土 木 工 学 23. 技報堂出版. p
p
.310.
1
9
8
6
.
1
7
) Tsujimoto. T
. and Yamamoto. T
. :Sediment sllspcnsion affcctcd by lransillon
. I
lydroSClcncc &I
lydrauli
c Eng..
from bed load motion lnto susp己nsion. J
JSCE. Vol
.6
. N
o
.1
. pp.35 45. 1988.
3) Elnslein. B
.A
. :The bed load function for sediment transportation in open
1
8
) Tsujimoto. T
. :Sediment suspcnsion and lransltion from saltalion t
o
channcl flows. Tcchnical Bulletin. No.1026. USDA. Soil Conservation Scrvice.
suspension. Proc. El
JROMECl
.
1215. Mcchanics of Scdlmcnl Transport in Fluvia1
p
p
.7
8
. 1
9
5
0
.
and Marinc Environmcnls. St
.Marghcrita. Jtaly. pp.18 21
. 1987.
F
、
ヮ
，
IH
一174-
1
9) 祢 津 家 久 : 開 水 路 乱 流 の 乱 れ 強 度 に 関 す る 研 究 . 七 本 学 会 論 文 報 告 集 ， 第 26P
ラ
，
第 8章
浮遊砂の確率モデルとその非平衡流送への適則
p
p
.
6
77
6
.1
9
7
7
.
2
0
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1
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l Symposiumon
8. 1 概 説
Stochastic f
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o
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11
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.
6
71
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2
.1
9
4
6
.
第 7fJ.では b
e
dm
a
t
e
r
i
a
ll
o
a
dの非平衡流送のモデルと掃討Eか ら 浮 遊 へ の 遷 移 に つ い て
e
dm
a
t
c
r
i
a
ll
o
a
dの 流 砂 世 に つ い て は 記 述 ・予測できることとなった.
研究し，その結果 b
しかし. b
e
dm
a
t
e
r
i
a
ll
o
a
d に市める樗遊砂についてはその運動領峻が水深今体に仕って
;
:の成
お り ， そ こ で の 濃 度 分 布 を も 把 保 す る 必 要 が あ る 場 合 が 多 い に も か か わ ら ず ， 第 71
果だけではそれが
m米 な い . そ こ で ， 第 71芦に示した枠組みの中で，さらに浮 i睦砂の~重J)
を非平衡状態で適切に記述予測する J
ii
去が必要となり，この部分をみ;なで倣う.
浮遊齢、濃度分衡を解析する手段としては拡散モデルと降車モデルがある.、!と徐1状 態 に お
いてはそれぞれ. R
o
u
s
e1) . L
a
n
eK
a
li
n
s
k
c2
)
の研究. Y
a
Ji
nK
r
i
s
h
n
a
p
p
a
n11 .イ 1)
1
1
ら
‘ 3の
研究があげられ，また両者の関辿についても研究されている~ )
非 平 衡 状 態 に つ い て は ， 前 者 の ア プ ロ ー チ で は 移 流 拡 散 }j将 式 を 解 く こ と に よ っ て そ の
o
b
b
i
n
s6) ，f
l
j
e
l
m
f
c
ltL
c
n
a
u7) らは側叩な条件のもと
特性を記述することが可能であり， D
で解析解を得ょうとした. S
a
r
i
k
a
y
a8
•
B
e
c
h
t
c
l
c
rS
c
h
r
i
m
p
f
Q)らは対数 U
I
J
~~のぬ述分命の
もとでの数値解を得ている.さらに近年では流れを尚次の乱流モデルでうえで数航 ，n~ . す
る方向も提案されている
10)
・11)
しかしながら庇面境界条件を非子役I状 態 で 適 切 に う え
る に は 単 に 底 面 濃 度 を ど う 評 価 す る か だ け で な く ， 第 77Fで 扱 っ た 掃 流 か ら 浮 遊 へ の 遷 移
を合理的に取り込む必要があり(たとえば ~ urphyI2 ) の拡散源を考えた )iW.) . この点に
Zえると磁・
行き詰まりがある.こうした拡散期のアプローチでの困鍛さを必服することを J
e
c
h
t
e
l
c
rF
a
b
e
rl3
率 モ デ ル に よ る ア プ ロ ー チ が 有 力 で あ る . このアプローチからは既に s
の研究があるが，そこでは底面条件の取り扱いに適切さを欠いている. 本研究では，第 7
f，tの知見を踏まえて，境界条件の取り込みに工夫が n
J能な確率モデルの J
ト十1i
i
状態への展
開を検討する.
8.2 で は ま ず 浮 遊 砂 の 般 本 モ デ ル に も と づ く 数 値 槙 擬 に お い て 検 討 す べ き 問 題 を 取 り 1
，
.
げそれぞれに対して適切な方法を選び，平.lQ河床での浮遊砂 濃度 分 布 の 発 述 過 刊 の 実 験 記
tする.さらに 8.
3で非‘ド後i
b
c
dm
a
t
e
r
l
a
l load~!.t.ì基過
果と比較することでその妥当性を検 J
程の重要ノマラメータとなる e
x
c
u
r
s
i
o
nl
e
n
g
t
hの分布について検討する.
次に，典型的な非平衡状態の出現する河床波のある場合の流砂過料についてその的織な
4で検J.tする. 濃度分布の変化も合めた河床彼 Lの J
ド
、
[
i
.
i
t
li
'
mft'tについて
記 述 ・ 予 測 法 を 8.
)
Jの ゆ る や か な 場 所 的 変 化 と 刻
の 研 究 は こ れ ま で 充 分 で な く ， 本 研 究 で は . 河 床 せ ん 断 此:
般 域 の 存 在 を そ れ ぞ れ 取 り 扱 う E夫をし，これを 1
1
1
.
函i
境界条件として数値慌擬によって J
I
・
-176-
-1
7
7-
半後i
抗
i
1
l
.
i
め
N~ i
1
i.fJLすることを試みる.
8.1)-(8.3)を 解 く に は 洗 れ ， 底 面 ・J
j
(表前i
の境界条件がかなり附
式(
mな条例・の幼合を
8
.
3
)の1I'fは的なをlf~í 解訟ではなく.
除き.数値解訟に依らなければならない.次節では式 (
8.2 浮遊砂の確率モデルに関す る検討
非 線 形 な んi
H
l式 の 解 法 に 対 し で も H効と思われる硲;較的なシミュレーション怯 ( W
o
n
t
c
8
.
3
)に も と づ い て 浮 遊 砂 の 相 対 浪度分術の倹肘を行う.
C
a
lr
o怯 〉 に よ っ て 式 (
8
.
2
.t 浮遊砂濃度分布の確率モデルによ る表示
昨迫HJ
;
、
は)
，
1
(i
J
.
i
の
.
J
;
tれに取り込まれてランダムな必動を主体・として輸送されており，側々
~t~ jめ f'~ として取り級うのか現象論的にみて n 然である.
の拍子の運動を“1
M杭 紗 か ら n
逝砂への遭移を考慮した場合の浮遊砂浪J
J
C分。j C ~ (x. Y)は . 次 式 で 表 わ さ
れる.
8
.
2
.
2 確率的数値僕艇の }j法
8
y剖 t. •
(- t. dt) における純子の存イ王位置の (xo- ，
. Y.-.)と乱れによる作動 1
.
1
の変動分 f
.η
時刻 tnに お い て 純 チ か 位 置 (Xn. Yn)に 存 在 す る 確 率 密 凪'
fo(Xn. Y.・ t
.)は
のi'ru本常 J
Jt閲敢によってぷ.fJLされる.すなわち.粒f-似置 (Xn・ Yn)と (x. .
. Y. .
)の I
I
Uに
ι
-AU
・
・
(
8
.1
)
肉
n
﹄u
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HHV
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停
El-t
l
u
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、、，，
円
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n
、
r
VAAHV
は次の織な凶係がある.
ー一一一ー
Cs(
X
.y
.lIx
'，Yo)
u.(x.y)
C8(
x
'，Y
8)PT(X
，
・ YB)fD(X，Y，tIx
'，Ys，to)
(
8
.2
)
・
"Yn ，).t
.l
f
Xn
xn ， Iu(x.
Y.
Y
. ，Iy(x. ，
.Y
n.，
).t
.t -Wo・t
.t η
j
(
8
.5
)
(
8
.6
)
u.f
:
:
，
.t
， y.f
:
:
，
.t
はチ均iI.tによる輸送であり.浮遊粒子は)，1(m
tの 乱 れ に * っ て f
t動 す る も の と
j
(i
mの乱れといl
篠に移動量(確率定数)f. η も 11
:t
J
l分作iに 従 う も の
する定 義 に従うと . J
mムt吋りの移動脈聞iの 変 動 分
と仮定される. すなわち，i'?進砂村.子の単位時 1
f
. '1/の則
待 倣 E.f]，E[ηl
が.
ここで， PT(X， y): あ る 位 置 (
X
. y)に存在する掃討t
粒子の惇逝砂への 1
'.
似時間あたりの選
E[f]
・ 0
'
J
t
， u• (X， Y):{
.
仮
置(
X
. けでの浮遊技チの述 J
J
t
. Co(x， y):枕 甘
t い， y
)における
作般市常J
J
l
:(体 般 常 j
立). fo(x，y
.t): 時刻 tにおいて位置い. y)に {
f
.のする阪市街度.
柑 旅 砂 温J
go(f， η. r): i
1遊 通 勤 に よ っ て 時 間 rの I
Ulに流下 }j向に
f
. 鉛!I'[Hr;，
]
に η移 動 す る 際
g
.(ξ)
南
g.(η)
y
:
次式で去される
、tkr
o
VA
E
﹄
ノ
nu-
F﹃ 畠 田
AW
w
也
ah}
、Y38
VA
uy
f
一
。、
D
i与l
j
、
u
z
、、，，，
司
。
q
O
，，‘、
-vAPEAUy
ε
a
、
-VA
flJ l k
、
・'
一qo
nu-
rI-uyv
lk
ε
/E﹄屯
a
8 一わ
VA
RU 一 ﹁
O
川
﹀
t
、
v
，
，u
nu-
py a -
3u-q
o
VJ
、‘，，，
E
VA
、
at
υ
H
f
D
，
，
。
(8.7)
される.
F
o
k
k
c
rP
l
a
n
k
)
;f'，I式(拡散 h程式〉の 解 としてもうえられ.拡散モデルとOIli
'
終モデルの等
価t
lを小す.
曹。・ムt
で単位時 I
I
Ut
.t I
I
Uの移動制限の保持l偏 ;
Z
3
3
b
t
o
E ・。η であるような 11:縦分市に従うものと
J
tで あ る . な お ， 式 (8.1)-(8.3)で掃流砂の向さは yに添えネ Bを付して￨メ別しである.
市街 J
fo(x. Y
. t
)は拡散モデルの解として与えられる相対濃度分市と羽 l
似て'・
E[1
/]
F
)
C
X
P
[-'
2
汁
(
8
.8
)
(
8
.9
)
。η は 次 の よ う に 水流のおl
L干¥鉛 I
'
l
.
i)i 向の乱れ d創立万奇，~と*，1，びつけられる.
σf "k
o・f
了
二F・/
:
:
，
.t ;
。
η
、
k
o・
h
'
マ.
f
:
:
，
.l
(
8
.1
0
)
(
8
.4
)
k
oは.粒子が)，I(i
J
kに 完 今 に 追 随 す る の な ら ば Iで あ り . 全 く 追 随 し な い の は ら ぱ 容 で あ り .
ここで. u(x. )
.
):流下方向疏速. ¥
'
(X
. y):鉛 i
(
(方向抗述. ε.(x. y): iI.t下方向質1i~. 拡
o
-1
.0
と似注して 議簡を進める .Jj(疏 の 疏 下 . 鉛 0
・
iブ
'
j
I
I
，)の札れ成分 u・
とv
'の I
I
Uに
ここでは k
散係数. ε.(x， y): :船!I~( }i向 質 量 拡 散 係 数 で あ る . 隊 車 モ デ ル で は 式 (
8
.
3
)中 の 純 子 の 拡
c
y
n
o
l
d
s応 力 と な り . 次 の よ う な
は相聞関係が仔千Fし.両有の j七分 散が R
.'
1
/
，
散 状 況 を ぷ す go(f
従うものと仮定される
~)のパラメータが乱杭拡散の効思を不す ε パ x.
Y
)
. ε.(x，y)
と結び十lけられる. 式 (
8
.
2
)の Co(x， Y8)・PT(x. Ye)が柑流齢、の拡散撤としての強度を表
わしていることになる.
-178-
-1
7
9-
2次 兄 I
E脱分市に
ケールに相当するものと考えられる.確率過程の理 J
命にもとづくとランダムウオークモデ
) n nhexp(時長)ffi~
8
.
6
)
) と拡散方腹式との等{耐性から，拡散係数 ε .移動品の分散 E η :1
. .i誕動の
ル(式 (
宗f
}
2
(
l
J
)
r
y
.
，
(y' r
x
p{
u
'
単位時間ム tの 3:，立は次の関係で鮎ばれる.
(
8
.1
1
)
Eη21
し
u
'y
'
7
=
(
8
.1
2
)
J
で守./y'2
一
一
一
一
一
(
8
.1
6
)
2b
.t
辻本 5)
は
， Erη]=-'
1
10
d
.t
， (J
k00
可d.t
を用いて E ド を ，r
f価し，次式を f
ぜている
1
]
i式 (
8
.
1
1
)，(
8.
1
2)
が移 動 以 に 凶 す る 確 率 密 度 を 与 え る . な お ， 上 記 の よ う に 分 布 の 2次
一
一 βb
.t
ε.
2
モーメントまでを合わせると.分布形の選び方の浮遊砂濃度分布についての結果へ与える
S
(
‘
彬響は小さいことが知られている山.
β =11一
一一
φv
8
.
2
.
3 平衡浮遊砂濃度分布の数値模巌
て， ðftF 方向の乱れを熊似し u ・ 0 とする •
を
mい，
εM・
εM
(
8
.1
9
)
それぞれに対して次式で表される.
x
J
i前jに子役Iに述した状況を対象にしているこ
ns
ー
純子の拡散状況の数M
:槙娠を行う. ところで， fo(Y)は 相 対 濃 度 分 布 と 相 似 と 見 な せ る か
O
i
J
えば拡散モデルの・つである温度についての L
a
n
eK
a
li
n
s
k
e による炊の解と・致
C，
(
y
)
c
.
κ
β一
一
一
一
3φV2
φ. -( l n
O
.8
2
)
することが期待される.
φv 0
.
8， εM.
=κ 6とすると
6Z_Y_~_a_)
(
_
c
x
p
l
-6
Z-h
w。
βκu.
β
ε.
=一
一
一
(
8
.1
4
)
'
6
φvについてはその水深万向分布と断面平均他の 2つの与え方を考えると， I5は
とより. 粒 子 位 置 の 凶 係 式 と し て は 式 (
8
.
7
)で y 0とした Yn Yn→-'110・b
.Uη にもとづいて
(
8
.1
7
)
(
f
u
n
c
l
i
o
no
fy
/
h
)
(
8
.1
8
a
)
(
d
e
p
t
h
a
y
e
r
a
g
c
dv
a
1
u
c
)
(
8
.1
8
b
)
ns0.2(βlのとき)となる.
時間スケ
O
.1
，0
.
2，O
.3
の 3通りを与えて数値悦娠を行った結果は凶 8
.1
のようで
ルとして，
1
n，を水 深ん ;
1
リ
に変化(式 (
8
.1
8
a
)によって φv が変化し.それにもとづいて 1sも変 化する〉させたがtJ
A
(
8
.1
5
)
εM
f
o
(
Y
):相対濃度分布， C
s
(
Y
)
:平衡状態での浪度分布， C
. 基幣由設度， a 基
'
f0
h
2βεM・
一
一
一
一z
φ v
HU
係 J.
K路の
"
t
f流 を 対 象 に し v 0
， また鉛 U
<
lJ
i向存在確率分布は主として v・の変動で規定されると考え
機面高さ.
u
.b
.t
一一一一一
-
4
五節では上式にもとづいて t
1遊牧子の数値模縦を行う.計算に当たっては.
ここで
(
8
.1
8
)
U.
εw については水面とが}床でその怖が零とならない利点に羽L-Iして断面平均値 ε ". ~ /C
"
0
=
;
;
巧
(
8
.1
3
)
f
o
(
Y
) .¥f
o
(
Y-η)go(η)dfd
η
z
u
.
n
LH
ns ~
~h
fo
(y
)
l
φ、
ム tについて整理，熊次元化すると次式が得られる.
式(
8
.3
)より定常等 d
l
tで、「後I状態にある浮遊粒子のがイE依穆密度 f
o
(
Y
)は次式でぶされる.
ら.
r
一
一
(
8
.1
7
)
純 子 の 沈 降速度 .ε" 水流の運動九t
拡散係数. ε..浮遊砂の質品拡散係
は凶 8
.
2に 示 し た . 何 床 面 と 水 1
m~後件については， ;J([向以 lに純了が診動する均合.ここ
f
-の 数 は 少 な く . 令 休 の 捜
で の 以 射 条 件 の 与 え 方 が 難 し い こ と 及 び 実 際 に は こ う し た 砂 村:
度分ィ'Iiへの寄与は少ないであろうと判断し粒子を水耐に吸治(吸収〉させた.戸JW
以ドに
いく幼合には，
その粒子の追跡を 1
1.め.新たに O
.0
5
hの ね さ か ら 純 子 を 出 発 さ せ . 実 悦 的
数である.数値慎娠の結果と拡散モデルとの解との比較から.確率モデルの主要なパラメ
な反射峨として扱った. 闘には L
a
n
cK
a
linske 型の濃度分布 J~ (式 (
8
.
1
4
)
) を併示した.
ータ.境界条件についての検討を進め数値槙擬を行う際の適切なパラメータの選択を行う.
.0
+
('
10/
u
.
)2 φ.2 (φ. 0
.
8
) とした場合の浪瓜分イfJ
実線が粒子の沈降性を考慮して β 1
(
1) 浮 遊 粒 子 の 通 勤 時 I
l
Uスケール
式
，
モンテ ・カルロ訟が側々の純子を L
a
g
r
a
n
g
e的に追跡するという離散的な }j法 で あ る た め
純子運動の時間スケ
を評価する必要がある.ム t
は水疏の乱れの L
a
g
r
a
n
g
c的時間ス
ルb.t
-180-
，
破 線 が β !とした場合の式による計'算結果である'4'0
v
. nsの与え hーにより大きく 異なり，
の結*が φ
'
u
.が 小 さ い と き に は 濃 I
J
l
.分イI
1
fI宅を人;きく弘航った }
iが汗逝砂の
1}
J
へ拡散した結果となる .
φ v ， fIを水深方向に変化させた凶 8
.
2の J
ちが従米の濃 j
立式(た
-181-
t
o/u
.が 大 き い (
0
.
5以 七 ) 場 合 は φ
.
.
だし
'
l
n雪を-定とし，
βの "
o
/
u
.に 対 す る 変 化 を
Jl
e
三
¥
1
WJ/~"O
:
巧 するモデルでも :
允 分 再 現 性 が 認 め ら れ る ) と の ー 量生が良い.
(2) 靴チの ~H 発尚さによる猿度分布形の変化
15 0
.
2
.J
J
<
.i
(
'
1を " 吸 収 慢 " . 河 床 を " 反 射 壁 " と し て ， 純 子 の 出 発 高 さ Y
8/
h
をO
.0
.
0
5
.
0
.
5
"J/".~0.5
"
0/
，
，
;.
10
y/h
O~
o5
".. ~、
O
.1と 定 え て そ れ が 猿 度 分 衡 に 及 ぼ す 影 響 を 関 8
.
3
1
こ示した. (1
)での検肘より .
.
o
/
u
.の 小
ancKa1inskc式 と の
さいときは L
4
致は良くない(ただし . )
t
.撒If
o浪 l
貨のとり方を考慮す
.
:
J0
。
.
0
J能 〉 が そ の 他 の 条 件 を 見 る と ， 日 さ ・ )
.
I
iと仮定する:1:発点 が 高 い
ると・放させることが n
ー
、コ
ベ
0
.
0
oc
C
/
c
a・
:
J~
E
a
"
I
¥
.
.
d
l
I
ニん に 鉱 散 す る 傾 向 が あ る が 0
-0.1程 度 で は あ ま り 庄 が な く . 強 い て 行 え ば Y
B/
h
ほど.
l
刻 8
.2 乱れ強度.時間スケールの水深万向変化を ~'r' した樹合
0.05n肢 を と れ ば よ い こ と が わ か る .
(3) 2 次んの JJ<. mt の乱れ速度，及びその水深方向分布を ~'L' した掛合
(
1
)
.(
2
)では.水洗の鉛(1'，ん向への乱れ強度を水深ん I
I
'
Jに 一 定 と し て .
t
'
l
息した.ここで
はその流トん I
:
'
Jの 乱 れ u
'の 彬 響 を 考 慮 す る
u
'と が と は 白 の 相 闘 を 持 っ て お り . ，
.局者の共
分散がレイノルズ比，;))に句:しい.よって相互相関係数 7は
2
(
ρu v ρ u . 1
"
'
O
/
u
.
'
O
.
1
1
.0
y/h
@G
訓・
叶+
J
o~
・ 。。
0
0
.
5，
、
，
、
.I
(
8
.
2
0
)
2
ns
0
.
0
8
.3
0
.
(
.
0
.
0
v
.
5C
、
，a l
0
.
5
C
/
E
a1
.
0
11¥発点高さが濃度分布形状に及ぼす影響
n
u
u
If'l
y
l
'
。。
.
d
h
o
.
c
-
a
，
L
。
っ
0
.
0
ν
n
l
，
，p-w
0
.
0
A
00
U
ルの水深方向分
︽
放 さ せ て い る . すなわち1I'0
/
u.が 小 さ い 領 域 で は 乱 れ 強 度 と 時 間 ス ケ
J
分.
(
h;
を
宅l
複することが11'0 u
.が 小 さ い と き の 数 値 槙 擬 結 果 を Lanc K
a
1i
n
s
k
cの 解 析 結 果 と 一
。ο
。
AU
を ~Il.して u ・の分命を J5・えても.数値膜擬結呆はあまり変わらない.鮎 I， J 乱れの水深 }j 向
、、、、
︿
000
hu岬
﹁l l E E L
uJ
v
'の み を 考 慮 し た 場 合 ( 凶 8
.
2
) と比較して.乱れの相関
AU's
f
(
y/
h
) (式 (
8
.1
8
a
)
) とし.河床と水面の条件については水 l
f
t
i吸収. ML
4
-l
m反 射 と し た .
‘nu
，
，
，
ルは
阿
・
'
式(
8
.1
1
)
.(
8
.1
2
)に 適 合 す る 二 次 兄 乱 数 に 従 っ て 純 子 を 鉱 散 さ せ た . 時 I
I
Uスケ
l
(
lt
見擬結県を肉 8
.4
に示す
数f
o~院~
，
0.0
でうえられる. →力. u
・の線機偏差は次式で与えられる.
u
.
y/h
@ -e
z
(
8
.1
9
)
c
.
o
月干す
・
1
.0
W
O
/
U.
y/h
ot
0
.
5
十
)
.
5
.
.
o
/
u
.・0
9]
・
9③
J.
t
仰を~慮する必要があるものと判断される.
凶
*
z
y
/I
'
y/h
平衡槙度分合』を数 1
'
(
tt
克擬する際には袋}!行方向のみの拡散を考えれば卜分であったが.硫
下;方向への拡散 A
歯科は次式で尖現される.
nリ
一Hs-
J
口
-182-
vC
同8
.1 時間スケールが濃度分。f形 状 に 及 ぼ す 影 響
J
u
，
.
、
nリ
-
p
c
nko
，，.、
。
nリ
、‘，，
v
d
vg
，，‘、
。
a
v
a
n
tnHAHV
内
u
・
，
r
it--J
E
‘
・
1
、‘，，，
uy
-
¥.1_0
v
a
n
V.;>
、
0
.
0
n
s
，
.a
E
a
a
z J'
X
(..v
D
，
，
fa
盤
e
•
u
内
1
FEM
pL
U
•
ha
O
.:
J
0
.
0
，
，
w
-
e
B
FL
・
•
，
，pL
nu
コ
，
0
.
0
疏ドん内乱れの濃度分ィJ
i形 状 に 及 ぼ す 彬 瞥
8.2.4 平賀1
河 床上の非平衡浮遊砂濃度分布の数値模擬
0
0む
0
.
0
8
.4
nu
l
AU
υ
1
.0
，
，W
•
F2
g
•
A
u
内
いW
υ
0
.
5
・
・
・
。・
・
・
9
.0
9¥ 0
1
¥0
9¥ 0
1
.0
MM
y/h
a
'
'
。
ト
、__wo/u..O.l
9¥0 •
(
8
.
2
1)
前節での検討より流ド }
i
l白jの乱れは J
Z慮 し な く て も 十 分 な 精 度 が 得 ら れ る も の と 縫 測 さ れ
(
2
) 固定床 一移 動 沫 接 続 部 に お け る 浮 趣 砂 濃 度 分 ぬ の 形 成
る の で . ぬ ド h向には十均流i!u
(
y
)に 乗 っ て 移 動 す る も の と し . 鉛 I
l
'
iJ
i向 の 乱 れ に よ っ て
.6
に示すような流れは守流で，間定床に接続する移動u. (ここではその上流からの
図 8
F方 向 に 浪 度 分 布 が 形 成 さ れ る も の と 考 え る . あ る 地 点 X よ り ・ 定 の 個 数 を . 浮 遊 純 チ
給砂はないものとする)に発述する浮遊砂濃度分命の実験結果と数値悦般による，;
r
}
)
.結 果
ぬ
.05より出発させる.この点 (
x.
Y
s
)を 拡 散 源 と す る 粒 子 に よ っ て 疏 ド j
j
として高さ Ys/h 0
向の任意断((!i x に 形 成 さ れ る 猿 度 分 布 を C(
y
.
x x面)と すると.結局
xに お け る 相 対 濃
との比較を行う.
m， 幅 1
2
c
mの 側 壁 ア ク リ ル 製 の 可 変 可 配 水 路 の 上 流 端 か ら 3mの地点より放さ 1
3
5
cm
長さ 9
s
(
x，y-X0.ya)pc
s
(
x
.
a x
a，ye)(a:基徴的i
の高さ)で与えられることにな
度 分 布 は EC
の移動 l
ふの区聞を設けた. 他の区聞は砂動床に刀H 、
る ABS
粒 子 (粒径 d 0
.128(cm)， 比竜
a
g
r
a
n
g
c的な数値校嫌の適用性の検討を行う.
る.こうした L
σ/ρ
(1) 問定 i
生続視線による 濃度分ゐ
拡散状況をビデオ織影.水深を 1
0等 分 し て 各 層 中 の 的 手 数 を 数 え る こ と で 浮 遊 砂 濃 j
立分布
I
吊定された l点から粒子が述統的に放出される場合. CS(X.YIx，
.YS)で ぶ さ れ る 濃 度 分
1
.0
3
) とI
r
i
Jじ粒子で粗皮付けした附定床とした. 通/1<後.移動 l
ふ:mでの ABS村
.I(ただし. 1
. エ ネ ル ギ ー勾 円
t
，
!
， U:
を求めた.実験条件(数備検綴の計算条件)を.& 8
h
:水深. F，:Froudc数)をぷす.
めが下疏側に形成される.こうした回定辿続初級による猿度分布の形成についての実験が
平均流~.
J
o
b
s
o
nとS
a
y
r
c1
.， に よ っ て 行 わ れ て い る. 彼 ら は 水 路 上 読 の
は良好なー致を不した.
4
つの地点から.水面にお
図
を行っている.実験条件は，平均水深 h
=
4
0
.
7
(
c
m
)
. 平均疏迷 U 57.5(cm s
)
. ，I!緊娘速度 u
.
実験結
・0.2が 与 え ら れ た . 彼 ら の 記 載 に も
U
8
.7に 示 し た 数 値 模 綴 の 結 巣 と 実 験 結 果
阿
8
.
8は van RijnI0) による開定床に僚続する移動床での t
1遊 砂 滋 度 分 布 の 形 成 過 収 の
いて球状ガラスピースを流れに投入し.流ド }
j向 の 各 地 点 に お い て 水 深 方 向 に 粒 子 の 採 取
8.66(cm/
s
)とされており，粧{-の条件としては'f0
r
の
mと 数 値 慎 縦 結 果 と の 比 較 を 示 し た も の で あ り ， こ の 例 に つ い て も 数 値 燦 燦 鮎 果 は
.
0
2
3
(
c
m
)
. 沈降速度11'0・2.20(cms
)の純 fを用
実測値をよく説明している.実験は粒筏d0
arman定数 κ=
0
.
3
9
2の対 数 則 と し た . シ ミ ュ レ ーショ ンでは/1<
と づ き 疏 述 分 命ーについては K
2
5
(
c
m
).平均 d
f
t.
i
皐 u6
7
(
c
ms
)
. 摩娘 i
主J
J
tu・4
.77(cm s
)
.
いて行われ. JJ<l!Il条件は平均水深 h=
1
1
0で の 境 界 条 件 に つ い て 水 面 以 上 の 拶 動 量 は 折 り 返 す 形 式 の 反 射 と し た . -}).河床山lに
'01u
.
;
/
1
J
が反射するという条件が検討されていたが，ここでは水面と
ついては 衝 突 純 子 の 21
M般
の以射条件を月l
いた.熊次元時 f
l
Uパラメータは口 s=0.2とし，乱れ強度 φv O
.8で 計 算 を 行
0.47であった. なお，波高1.5
(c
m
)
. 波長 I
O
(
c
m
)程 度 の 河 床 波 か 形 成 さ れ て い た こ
a
d
a
pt
at
i
o
n1e
n
g
t
h
ト+一一 (ld9d
1
s
t
a
n
c
e
i
'--一一吋
，
J
<深 方 向 の 分 割 数は 1
0
. 旅下方向の区間梢はム x h( n uu.)-1
.3
3とした.
った.また J
倒
ー=
8
.5 は数 i~l 槙擬の結果と実験例とを比較したもので，良好な 一 致を見せているものと判
断される.
1
.0
1
.0
1
.0
民=
5h
y
/
h
。
omeasuredI
。
。
。
10
。
0
.
5
0
.
5
0
.
0L
1
2
C
(
y
I
/
C
(
0
.
6
)
2
0
0.0
0
2
1
.0
1
.
0
実験条件表 8
.I 浮遊砂の発達過位
x.12h
0
.
5
0
.
5
0
.
0
0.0
0
図8.6 数値模緩慎式図
2
凶8.5 聞 定 速 続 前 棋 に よ る 猿 j
支分布の発達過稗(実験億と数偵模綴結果との比較〉
ーl
制ー
一18:;.-
とが械化されている. いずれも ~I' n-に当たっては'I O / u. が 0.4-0. n
'
.
H
立t と大 き い の で t
mlt_
のため，
8.
2
.
5 浮遊粒子の excursion lenglhについて
8
.
2
.
4で は 浮 滋 砂 の 相 対 猿 度 分 布 の 形 成 過 柊 に つ い て の 検 dより. I
川i.i:U-に篠続する移
φv二0
.
8
.f
l.
-0
.
2とした.沈下方向の移動速度は粒子枕{慌の平均流速で与え，そ
晶躍が1I
1
-!J.l.し.その‘ド衡にいたる緩和距般は州流 i
必4
1
1の そ れ よ り も
動床では非平衡なげ滋i
の分のíJ~ は対数U1J 型であたえた.
y
l
i
えいことが認められた. こうした汗滋砂の非平後~It主は次式 ( 7.2 ，rt 式(7.4)
) で的 舷 に ぶ
1、O
Iu
R
;
)o
;.
1
y/h
o8
o8
.iA.ffiは浮遊純子の移動~!能 ( cxcursion length) の 隊 部 的 な 特 性 に 文
され.特にその緩和I
measured
配される.
o4
o4 ~
f
x qs(x f
)
q.(x) "1
， ~，
Pr(X f)・
G
.
.(f)df
jO u.Cx-f)
o2
0.0
一色
A
U
E
‘
、‘，，，
，
、
pg
BB
EE--E
J
、‘，，，
a
VA
、
r
-
pu
o0 0.2
O_O 0.2 0.4 0.6 0 肉 1
‘
.
.
1¥
"
.d
t
a
∞f x
、
，
o0l
(
8
.
2
2)
(
8
.
2
3
)
1
.0
y/
l
，
o
o
{む
mCdsured
ここに. q， 坪 進 砂 1
.
t
. q8 : -M疏砂川. u.:M流粒子の移動速度. Pr 柑 i
1
I
iから i
手滋への
medSured
し￨-slmuldlion
ー
ー
ー
ー
-~‘ m~ 1a ~lon
，
S
O
O
d
瓦・
1
1
1枇 時 間 当 た り 遷 移 鈴 本 密 度 . f
..CX):excursion Jcngthの確本?創立 i
則散である.
7
0
0
d
.i歯科を文配する
押遊齢、の緩和l
L式'1'の f.‘(f)の 特例 を検討するため村係 d.
O
.
0
1
5
(
c
m
)
.
E4 k
(
.
'R
0.2
0.2
比百 a/ρ2.65の 自 然 砂 を 想 定 し ， 移 動 i
ぷ部での i
'
7地砂Ittが平衡状態にヤるまでの過f'，tの
0.0
0.0 0.2 0.
4 0.6 0，8 I
C/_3
数 11{' 模娠を行った
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0，8 1 L
C Cd
，
1
.0
I
x
/
h
=
4
y/h
y/h
0.8
x
/
h
=
l
O
ま た ， 変 動 係 数 αを
8
.
9は .1s1h
(excurSlon length) と定 義し.
s
致させた gamma分衡を i
J
t
;;J~ したが，凶より iア進純子の cxcur
si
on J
cngthは 次 式 で ぶ さ れ る gamma分命に.itI合させるのが.itI巧と判断された.
0.6
f
.‘(f)
0
.4
0.2
0.2ト
・
r(r)
1
.0
w
O
/
u.
c
O.
1
c
Y
/
h
O
.
0
5
O
E
[
x
J
/
h1
5
.
0
。
，，<
7.
1
0
(
t
)
fs
胃
y/h
0.8
0.8
o6
0，6
0.4
0.4
.
司
0.2
0.0
1
E
x
20
。
討υ
/.
0
.
5
、
。
o0
1
I
00
0.0
3
.
0 40 5
.
0 00 10 "
.
0 3
.
0 4.0 5.0 0.0 1
.0 1
.0 3.0 4.0 50
t，
/
[
(
x
)
E 只I
[
[
x
]
tx
/
E
[
x
)
0.00.20.40.60.81.
0
C/Ca
l
刈 8
.
8 濃度分命の先述過程の例
←
(van R
i
jnによる尖験自(('0) )
186-
wO/u <
10
Y
O
/
h=
0.
0
5
f[
"
]
/
h
=
2.o~.
，
，'
0
.1
1
;
合
Y
O
/
h
.
0
.
0
5
E
[
x)
/
ha3
.
1
0
'
1
=
].
15
富
1n1 I
?0
0.0
0.00.20.40.60.8 1
.0
C/Ca
(
8
.
24)
E~ x ]
nU
日
x
/
n
=
2
0
r
2
a
口
A FL
1
U
A
UF-w
，
・
，
，
z
o
AUマ
︽
内〆﹄
•
ハU
C/Ca
一
一
一
一Crf) ・
cxp( rf);
ここで. rは shape paramcterで r;
:l
/α1(α:excurslon lcngthの変動係数)である.
AU
0.00.20.4 0.60.81，0
ハU
-
AUnu
nu
0.
0
0
.
:
'
凶
1
0
0倒 の デ ー タ を 伴 て 統 計 処 理 と ヒ ス ト グ ラ ム ぷ 小 し た も の で . その中均 f~' て' 縦絡化しで
ある.
0
.
4
y/h
0
I
u
.0
.
1
.0
.
5
.1
.0
とした .
1
I
'
0.8
0.6
1
.0
~d.算に苛たっては.
O
.0
5を 出 発 し て 例 外・に 到 着 す る ま で を 汗 遊 純 チ の 移 動 距 隣
.7 濃 度 分 布 の 先 述 過 程 の 例
凶 8
1
.0
，
l
l
刈 8
.
9excursion lcngthの ヒ ス ト グ ラ ム 表 ぷ
- 18i
凶8
.1
0と肉 8
.1
1は出発紅高さ h を 変 え て 計 1
1
.したときの平均 cxcursion lengthとその
との比に対応しており.
/u.
の泣いによる浮遊砂の緩和 i
E般 の 変 化 が 示 さ れ る . 陣 中 に
官。
変動係数のy;.
/u
.に 対 す る 変 化 を ぶ し た も の で . c
x
c
u
r
s
i
o
nl
e
n
g
t
hの 分 布 は Y
lo
/u
.
.Y
8/h
lこ
は柿流砂の非、子信'
I
t
Lを 無 視 し . 式 (
8
.
2
2 -(
8
.
2
4)
にもとづいて計
支配されていることがわかる.
し，シミュレーション結果と比較した.向者はよく
nされる鰻和 1
1線 を 併 ボ
飲 し て お り . 坪 地 砂 の 緩 和l.i泊料をも
xcutSJon 1
c
n
g
t
hの 分 命 形 と し て は 式 (
8
.
2
4
)をltJ川することが妥吋と
たらす e
1
む2
E
(
x
J
/
h
J
tえられる.
1
.0
a
0
1
0
pw
l
t
e
，
n
u
，
I
，
、
，
}
民
(
s
O
.
1
01
均s
tcp l
e
n
g
t
h八"とその平ー均移動迷 l
.
l
I
:u
..遷移
磁l
市 密 度 PT. 汗滋砂の、ド均 e
x
c
u
r
s
i
o
n1
c
n
g
t
hA •
必要となる.こうした点を ~'lf. して A. の計J)結果を次式のように近似した曲線が肉 8.10
を用いて，次のように表わされる.
中の実線である.
ここで.
A
$
d
Q..
I
{叶 子
)
}
廿
(
8
.
2
5
)
1
0
-J
i
.，
y均 cxcursion lengthの 変 動 は 相 対 水 深 の 影 響 を ほ と ん ど 受 け ず . 同 8
.1
1の 実 線
3
10
d*"
p‘
A8
A2
U.
各締成要素は，これまでの検討により純子特
1
10
1
0
υ
例 (
d
.で代ぷ). J
.
ks
l
l条 件 (r" ~休勾配 l b
で代ぷ〉と結び付けられる.式(
2
.
3
8
)でι
.式
を示す次式で近似することとした.
胃
=ー
一
一
一
・
一
一
一
一-PT八.
(
8
.
2
8
)
U
の効果は紙抗削としてこの項の中に合まれる.
子 均 流 速 で あ り . 相 対 水 深 hd
m
1
<
;
'
*p
【
2
4
l
:lb=l
/
4
0
0
1
0
MMtM
けJ
V
床面に到i
tす る ま で の 平 均 修 動
，
/Wf
tで 与 え ら れ る . 実 際 に は . 床 面 の 縫 界 条 件 ， せ ん 断 乱 流 の 効 果 に よ る 修 正 が
h
﹄
施 本 モ デ ル の 仲 街1
みの中では平煙か1
1u:での平
距艇はし y
八.
UA内
8
.
2
.
6 平衡浮遊砂量について
後j浮 遊 砂 世 Q..
はp
i
cku
pr
a
t
eP
.
. ~J~ 砂の平
一線疏i
車じのがtれ に お け る 尚'
さy，から出発した純子が，
-
のYlo'
u
.に 対 す る 変 化
"
0'
u
.に 対 す る 主 化
VA1
n
u
-
Au
nu
uw
w
，
，
n
u
-
l
u
内
l
n
v
肉8
.
1
1 excursion 1
c
n
g
t
hの変動{，.f:数
3
.
0
凶 8
.1
2 浮遊砂の緩和1
j
歯科
w
O
/
u
.
同8
.1
0 '
f均 cxcursion 1
c
n
g
t
h
の
0
.
2 0
.
4 0
.
6 0
.
8 1
.0
F'L
P'
2
.
0
1
.0
1
0・1
o
，
，
3
1O -1 1 ~
(
3
.9
8
)で八 8. u
.を、ド均存在高さ ELYJ
/d4τ.07
α
α
川け
1 (
ω
川+
αh
町…
r
パ
山
一
…
一
…
…
υ
α
川
恥
寸
。
叫
)
l
引
…
t
川
刊
川
川
凶
t
)
川
a
加
…
川
川
n
山
川川州
h
(
8
.
2
7
)
8
.1
2では. 各 断 面 の 位 チ 側 散 を 平 後I状態に i
tし た と 判 断 さ れ た 断 面 の 純 子 例 散 で 焼
格化してがした.流れは$ぬと
と M流 力 τ.の 関 係 を 凶 8
.
1
3に小した
r.が
.• .αr.
5 2となり.
人 き い 領 域 でq
1
!iI.i砂毘 τ
q・
に山める浮遊砂の訓介を考えると
QT.αr.
52
という従米の結果と
x
.
mしない
1
1
1
3
1
0
-2
10-1
I~ l
J
5え て い る の で ， こ れ は 各 断 曲 の i
1遊砂母と子役I
n進 砂 最
ー1
88-
2
I
)
g
(
P
'
)
9
I
.
r
l遊 住 子 の excursion 1engthの 路 市 特 性 が 表 示 で き る .
n σ Iρ
凶 8
.1
3 十後di
'地 砂 I
J
[
-189-
l
nU
1
3
f
t7
えて .J十~されたふ.. ( Q../
hu
関
r
子
2
.
8
(
式(
3
.
8
6
)で PT. 式 (
8
.
2
5)
で A.で与
l
式(
8
.
2
4)-(8
.
2
7
)を用いると
αI
での流速，
BU
α。 O
.4
(
8
.
2
6
)
・
数 (込x
/A2d )に p
i
c
kニ u
pr
a
t
e p. を果じることによ っ て求めた
Z
8. 3 B
e
d al
e
ri
a1l
o
a
d の涜送過程に闘する数値模巌
fft~ し.
8.2で は 阪 市 モ デ ル に よ っ て 1
字
通t
砂の相対混!立分的』形が表現できることを示した. さら
I.分合"浮遊砂祉といった批的なもののぷ翁には，式 (
8
.1)を 解 く 必 裂 が あ る .
に 絶 対 猿H
み;節では A¥
8
.
1)， (8
.
2)
を[1"拡解くのではなく ， これらの式の窓味を'Aしている凶寸 .
1に
~BS柑子 ( d O
.128cm.σ /ρ1.03)
に対しては比jf(a/ρの 幼 思 を l
l
Di
lす る こ と に
cO
'oo
.
0
1
1
.
より. F
r..血 0
.
0
5とした.
(2) 柑流砂よ駆動
婦 涜 運 動 をs
altalion
運動で代去させることとし.
葉桜によって J
ドヂ後I抗齢、
，ょした利子運動.そのサブソステムに忠実な形での舷率的な数似t
ルによってs
a
l1
al
l
o
n連 動 を 模 縦 し た
過位の検討をおこなう.さらに，式(
7
.
3
)， (7.
4
)の 解 を 求 め る た め に . こ れ ら の 式 を 微 分
3
.
6
2
))の 解 析 解 を J
I
Jい
，
兄の巡動方特式(式 (
I
t
砂
，
形 式 に 合 き 換 え ， こ れ に も と づ い て Md
n滋 砂 川 を 求 め る .
P. は第~ 2:
箭の式 (
23
1)
で
窃I31
;tで行ったイ〈縦削縦続跳蹴モ デ
ただし ~f' n e~ I
I
Uの 短 縮 の た め s
aI
l
ati
o
n粒;.の ー次
ま た 遺 絡 の 時 間 ス ケ ール 1T' 1
.0ご と の 純
fの 位 撹 お よ び 述 肢 を 求 め た .
(
3
)遷 惨 事 象
8
.
3
.
1 確率的な数値模貫通の h法
s
a
lt
a
tlOnj
j
{j
/
)の 迫 跡 に お い て e
Y
I
I
U~J みを遷移の時 flU スケールと ・ 主主させたので. s
aI
l
f
.
{f
前俊民t
の フ ロ ー チ ャ ー トを小した凶 -8
.1
4と凶 ・7
.Iよ り 流 砂 運 動 を 次 の よ う に 追 跡 す
る. (1 ) 例外~ "
11
:
村
Fが抗体力によって移動を開始し， C2HJ流 砂 と し て ， 乱 れ の 路 復 を 受
aI
l
ali
o
n運動を継紙， (
3
)干 均 値 周 り の 抗 ら
けf{，;定論的なJ)J!動軌跡まわりを指らぎながら s
よホ他
ぎがある J
fc以上なるとげ滋砂に遷移， (4)
その後再びかJWに到i
r
iす る ま で 湾 地 砂 と
して i
望動 . (
5)
M Wに搭下した浮遊量生、は再び財務E砂 と し て 追 跡 す る . 以
tの よ う に 側 々 の
純子の修動凶 hft から停 11.までの必動を追跡し.ある断而を通過した B.~ の j重動形態，
.
i
i
l
l
.
i
oI:~
さ.通過伽i
数 よ り ， そ の 間r
I
J
Iでの M流砂量. 7手逝~、阻及び浮遊砂濃度分布を，:.Jとめた.
数値校桜は， 8
.2.4 (
2
)で 述 べ た 実 験 に 使
mされた ABS粒 子 の 特 例 を 勘 案 し て 行 っ た . 数
値筏厳のサブシステム (
1)-(5)に つ い て 略 述 す る .
(1
)河休からの般脱
般脱をJ5える(><間長
a
ti
o
n粒 子 の 押 遊 へ の 遷 移 は P
r
o
b
.:f>f< あ る い は P
r
o
b
.v
'"
v< 1な る 絶 対 町 本 に よ って
r
泌
)
1ら れ る . 第 7J~~ での遷移限界ú.i伶 jsi の検.Hより d.
f
.
.は O
.15f~ 度であること及び辻本 3 川 の ABSt\t:
例における
忠にもとづいて，
r
を1
日いた選作に l
測する:k験豊J
i
f.< O
.2、・ :.t他 ) とした . また.i!移の熊次Jt時r:Uスケ ー ルfIT 1
.0
は
-1
/1
5秒に将 I
~うする
込t
偏 伶 の 限 界 他 f' C と s
a
l
a1
i
o
n軌 迅 J
:
での迷 j
臭:
v
"o
が与えられる と
式(
7
.
4
2
)を 則 い て 限 界 乱 れ 迷 j
立v
' が:
'
f価され.
を比較することから，選移の
乱数で数1
(
'
_t
葉桜された 1
)
(i
kの 乱 れ と そ れ
n熊 を 判 定 す る .
(4) 浮 遊 砂 i
重動
f"i-滋量生、のランダム辺動は， 8
.
2
.
4 で 述 べ た 式 (8.
6).(
8
.
7
)に も と づ く 恨 縦 J
i法 に よ っ て
u'i切に~~たっては鉛 1~1 J
irÎ'J の乱れ強度は成派Ji rûj に - ~11前 φ ャ 0.8 として .n
迫跡する.
t
:
.x
は企 xdIO(d::
倣任)とした.各区 I
I
Uからの餅脱個数は訴:1¥例
r
2
5
f
'
n
[の A
B
S
t
v
: の r• 0.9-1.5の条
逝 砂 の 時 間 ス ケ ー ルはIls O
.2， β-1
.O
H1I'o/u.)2/φノとし. 水 I
r
uは吸収』げとしてみなし
た.
(
5)掛疏砂への!リl
帰
ラ ン ダ ム 運 動 中 河 床 に 落 下 し た 粒 子 は そ の 後 再 び M疏 砂 と し て s
a
l
t
a
t
i
o
n.i誕動方科式に
よって追跡を行った.
以18
.1
5は 実 験 条 件 ぷ 8
.1
のR
u
n1
の汗遊砂濃度分化の先述状況を数1
，(，ぬ縦したま1
'
1
'
)，
*
.
'
;
*
の例であるが，
1
:
十
湖J
I
.!!!差に加えて saltatlon 運動，遷移*~良のモデル化に l則わる.l!!Xi てt"が
然破してくるので，同 8
.7に比べると実験値との対氏、は允分ではないが.被維な b
e
dm
a
l
c
r
i
a
l load の数 f~' t.見縦の場合.この限度の誤差は針作範聞と
υ えよう
l
勾 8
.1
6は 浮 滋 砂
川.同 8
.1
7は)A-ザ 1
M濃度 C.(yO.05h) に 閲 す る 実 験 仙 と 数 1
向艇擬の紀*である.r;逝砂
'
I
tに 閲 し て は ほ ぼ 満 足 な 結 巣 が 符 ら れ た も の の ，
)
A
.
徽I
r
li
震度に凶しては必ずしも￨分な ・
殺とは言えない.尖験技術の問題等をJ5えるとオーダ
的 に こ の 紅 鹿iの ー
・銭 で 満 足 し な け
ればならず，柿抗砂.浮遊量生、そして還移 m 象を JSll して Jよ撒 1M 濃度の~.I.t的変化が肝備で
きる点に意義がある. 図 8
.18 は平衡状態にいたる ~Hli 砂と汗遊砂の漸近状況を比較した
凶 8
.1
4 数値慎阪のフローチャート
-1
90-
もので
t
/u
.の 似 か な 違 い に よ り 浮 遊 砂 の 緩 和 鉛 i慨 が か な り 迫 う こ と が 腿 め ら れ る .
¥
¥
1
0
-l!
JI
ー
同
8
.
1
9は 実 験 に 使 用 し た ABS利 子 を 対 象 に 浮 滋 砂 量 Q.• ，相対iQ度分布形 cC.. ぷ 桃 山・
和距離が必ずしも
(
>
10
-3:
(
xdh) を..0 u・に対して示したもので. 最と分布 J~ との緩
.の そ れ ぞ れ の 緩 和 除 隊
猿度 C
1
.5
f
致 し な い こ と が わ か る . なお，緩和距離は>y
.
~J {
1
t
の9
0
九に述した距阪
4
。
ee
2.0
Cd
で定義した.
10
4u
u
内
nu
y/h
1
.0
-
•
駕
1
ー
nR
uu
・
，.
nu
-
•
RW;-l x:300d
y/h
20
1
5
hH
10
0.4
4
[
J
。
C
I
.
2
図8
.1
7 ~撤回獲度のぬド方 r:.J 変化
-
AU
・ 20
E
FEh'
-PE--
。
。
，
，
nu
'hv
-
m怜
nu
U
︽
内
‘
，
令
υ
nu
AHV
•
0
-P
n
u
w
-
nu
︽
u
E
r
・、
。。，
r
し
F0
n
v
-
a崎
nu
nu
ζ
勾
-
υ
nAU
U
︽
-
nU
nu
•
0
.
2
中安
n
H
a
M
e
'
*
内 U1
・
u
，
、
内
1
.
0
1
.0
nu
o6
J
一
一
一
・ Slmulation
j
x
o6
0.5
F3
o medsured
2
0.8
o"
y/h
y/h
o8
o8
I6
6
0.4
o4
0
.
1
0.2
0.0
0
凶
同 8
.1
5 温度分布の先述過程の例
o061 0 I
1 RUN-I
吋
q
s.
5
1
0
1
5
2
0
25
2
・
内
υ
'
・
E
向
。
，
，-FLL
-
'
h
u
v
nu
nU
A"
z
・
の
υ
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nu
，
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nu
AU
nu
AU
a
A
u
w
U
︽
。
。
，
，-PPLL
e
。
，nu
nHW
Aq
U
︽
nu
‘
，
今
nu
内
υ
nu
•
•
8
.1
8
式 で 去 現 さ れ て お り . 補擁齢、のみの峨合〈式 (1
.4))
0.02
には.
25
30
x/h
4G
35
柿疏砂と tf. 遊砂の緩和距般の比較 ( 数値模厳結 ~D
7.2 で 提 案 し た )
1.
'
V衡 涜 砂 モ デ ル は {
'
eみ 込 み 積 分 形
l
グI
~1
x
/
h
8
.
3
.
2 非平衡涜砂モデルの微分形式に よる表現
0.04
白日
30
st
e
pl
e
n
gt
hの 趨 過 確 率 の 汗 悩 が :
H来 れ ば M流
4
0
xR/h
30
砂分衡が求められる. しかしながら，式 (
7
.
3
)， (7.
4
)
は辿立積分方程式の形になっており. 1
・
1接両式を解く
2
0
のは容易ではない.従って.前節ではi
t率 的 な 数 値 慎
RUN-2
1
0
燦訟ーによってこれを解いた.
d
l
tれ が 等 流 の 場 合 に は p
i
c
ku
pr
a
l
c
. M流tIiチの移
-
4
令
広
・
nu
*
h
持 さ れ る も の と 与 え ら れ る . 凶 ・7
.2(
b)
の 絡止，掛説t.
凶8
.1
9 汗造過刊に関わる
浮遊と各状態問の遷診関係を微小i
メI
U
JL
lx 内 で 考 え る
緩和距般
FH向 変 化 の 例
-19:!-
勾Jt
浮遊砂量の流
•
HUHU
8
.1
6
30
./h
s
t
c
pl
e
n
g
t
h
.c
x
c
u
r
s
i
o
nl
e
n
g
t
hのS
宮市的性質は似
，
，
，
凶
25
•
d
2
0
s
υ
た
、
r
C0
1
動~度.遷移 E在期空宇nJL は流下 h'nJ に・定と見なせ，ま
-193
分市の実測を仔った. 文験は長さ 1
2
m
.幅1
7
c
m
. i.京さ 30cmの[JJ~ 勾配水路に. J
f弦 波 状 の
と次のような辿続式が得られる.
dQB(X)
河 床 慌 穆 (Yb a.SJnKX.κ2宵 I
L
. L:波長( 40cm). a:振幅ぐ I
c
m
)
) を投貯した . t
'
l造
τ
P
Asd
'一
一
一 .(p‘叩れ (X) P.(X)} 一-Qo(X)
(8.29)
ー
u
.
A
z
d
x
d
Q
.(
X
)
肢としてニス付けされた. み 8.2に I
J
ミす水理条件(i
b
的
]
Asd
P
T
Ph(X
) !一
一 Qe(x)
u
.
A
z
d
x
dp..(x)
A~
ア 町 一 -
d
x
八ち
砂実験に用いる A
sS付 子 (
d 0.128cm) よりやや小さいか O
.096cm のt'I然砂がそのぷ出に t
l
L
(8.30)
(
8
.3
1)
Pd.
(
X
) 4 一一一 ・ 一一 ・ 一一一 Q~(X)
八s
Asd u
.
0 :
ー波長平均水深)でJiD水を行い. ï~i 径 3mmのプロペラ疏迷宮'" で l 波長内の杭泌を測定し.
I
:
d
k端の底面付近より投入. 濃度分のfが ほ ぼ 定 常 と な 勺 た と 判 断 さ れ た
その後.4， B
S位イ二を
P
T
w勾配. Q: _
l
l
t似幅洗 I
l
i
:
.h
時点で. 6波 klJの MW
波の粒
rの状況仰jんーよりビデオ 微彬し.倣チ数の敬えるこ とで判 i
J
t
t
濃度分布を将価した.
tcp l
e
n
g
t
hの分市を指数分ゐと仮定すると Qe
(
X
)とP
d(
X
)の 問 に は 次 の l
則係
が得られる. s
が成立する.
Pd
(X
)
Az Q
s(x)
A3d
(8.32)
RUN
八，
したがって，式 (
8.29)は次のように占き換えられる.
dQo(x)
d
x
J
E弦波状かJ
'W_
l:
流れと 1
字選砂
実験条件去 8
.2
A.d
-一
一
一
一 P.
Az
Qs
(X
)
(
f
f+
士)
Qe(X)
(8.33)
八s
I
b
q(an弘} hO(
a
n
) 伝日{吋)
Fr
oαXJ7
7
5
.
5
4
4
.
9
2
1
.8
4
0
.
2
2
2
O
.
C
以)5
5
8
.
7
5
5
.
71
1
.
6
7
3
0
.
0
α)3
8
7
_
6
1
∞
14
0.
6
.
1
.
3
3
019
。
』
I~
n
)の
8
.
3
3
)の辿立微分})科式を数{的[，iI ・によって解いた q x
8
.
3
0
)
.(
凶 8
.1
6'1'の敏線が式 (
(x
)の計算結*を実験偵及び数私自慌綴結果と比較すると，
結果であり. Qs
ベ
:
，
f
'
l
!
0
.
8
両者の対応はほ
o6
.は 前 出 の 数 値 挽 縦
lcku
pr
a
t
cp
ぼ 満 起 の い く も の と 判 断 さ れ る . 計算に当たっては. p
0
07
での流 .ia!で与えた.
。
。o
‘
o6
‘
。
‘
。
‘
，
。
ol
附した流れによって
rcstで法J
I
さらにかIlふ波を伴う流れにおいては c
4
付近での疏砂)f;動
I
削減のかイEが流れの情遣を複雑にしている.本節では庇凶i
形成される止J
を取り込み幼い fi-逝砂の施中モデル肉体の~ JlJ tt の検討を優先させるため.先ず ;.IJ~ 械が
i
.
tを進める
{
{:(f.せず，流れが周期的に変化する不等洗の場での相対程度分めの倹 .
日了
弦波状i
ふ1.の流れの情 i
i
:
iについては従米より実験的，解析的な検Jtが進められてい
T
JL
同 市8
.20 正弦波状1"11
1
1の
ふ Lでの i
k述 分 (
例 は 少 な い た め ， 正 弘 液 状 M床 を 作 成 . そ こ で の 流 れ と 浮 遊 砂 濃 度
るが.混成!
分1
I
1
1の，;1訓J
-194-
ー195
波公内変化
8m
o
w
、u
亡=>
AW
‘
一一」••.
g.N
61
・
u
f ./U
-
aW
1
a
v
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Mw
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t
，
州沖
~
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内
••
.
o6
O
E RM-
i;L~
刷、
0.
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d'，
n
u
-
am
n
u
w
‘叫
o，
H
a
w
内
U
i
i
J状 況 と な っ て い る .
AU
化し，ヂ均怖の 1M 期変化に fれ、柑抗運動は非、子役j~人況を呈し.これを拡散源とする浮遊砂
、
i
tの 面 で も 強 い J
Pド
m砂 :
I:
半後1性 と あ い ま っ て 必 然 的 に 設 度 分 布 の み な ら ず ?
はそれ n
wの J
AW
イlす る 流 れ の 条 例 で は 通 常 河 床 波 が 形 成 さ れ ， 抗 れ の 境 界 形 状 が 周 期 的 に 変
浮遊砂か{
i
z
a
AU
。
QZ
1
可
Gt
、・
，
.
y
l
0.8
8.
4
.I 正弦波状河床上の流れと浮遊砂に関する実験
IQ
Ull)IU
8
.
2
5
)で与えた.
c
n
g
l
h 八$は式 (
3
.
9
8
)
. (3.99)で，、V均 excursion I
I
c
n
g
l
hは式 (
8. 4 河床波上の非平衡浮遊過程に関する研究
・‘・
0010 0 0
c
p
チ ~JS t
、ρ?η
一
H、た .
BS純子に対して補}ドされた式を.遷移硲 T都宮度は式(7.54)-(7.56)をJl
と同級に A
/d_
4r.
屯さ Ey)
多動述 H
i
砂位の 4
r
u
.は嫡流砂の、Y均イバE
・
oz
。
。
100
同
:
4
0'
m
m
u ・O
8
.
2
0は AlfU流
.
i
!
J
!U
I
O
iれの
sで 熊 次 足 化 さ れ た 洗 述 分 布 の 1波 長 内 定 化 を 示 し た 例 で . i
加速峻で
0
2
1
こ
食，
，
>
"，
，
.
.
.
竺
二
舎
二
607::8 ;
;
ig ite t
・
.
1
一
e0
凶
.刊
Qe
h
(
r
.
.
.
'
凶
4
緑化するのに対し，減速域で1
底面近傍での速度欠拙が大きくなることがわかる.
8
.
2
1
(
a
)は底的i
近傍旅泌に暗法則を適用し評価された政娘述1
1
:u.であり.かHt 1f~状に
対して 0
π
1
4
何度. 1
:
流 側に似将l
が進んでいた. 凶 8
.
2
1
(
b
)は 水 深 の ー波 長 内 で の 主 化
で河床とは逆位拘l
で あ っ た . t~ - 8. 22 には得られた u. の J 波長内の十 ~J~u. と川所水深 h を
0
.
0
s
b
s
e.
rt
8
(
1
)
s
r
c
t1
0
n
tI6) に よ る 乱 れ
用いて熊次Ji;主主ぷきれた流下 J
i
'
I
句の乱れ強度分布がぶされ. 凶 中 に は 樋 i
l
A
Ji
主峻でやや膨らみ.減速域でやや雄せる傾向が見られる.
の普遍関数式がiJt::;J~ され . J
(a) 水 深 変 化
同8
.
2
1 水深. 摩 娘 速 度 の
a
波長内変化
I
u(y)
!
t
c
.)
‘
。
oz
。
。
。
。
。
。
l.O
1
.0
r~寸"“
y'h0 8 ・.
¥ _
[
主
・
7
'
i ~~
0
09
•@
‘
。
。
。
。
Z0
ここで.
10
︽
0
の他(3
κ
図
mdの ・ 波 k内 変 化 を
0
.
5， r'
0
.
6と し た 式 (
8
.
3
2
)
を図中に併示した.
0
2
1.0
J
;
'
l
，古
Z.O
ぷ"
o
i
:
.
凶
凶 8
.2
0中の実 線
r.8
。
.
6
~.4
:
)
.
2
8
.
3
4
)と (
8.
3
6
)を 組 み 合 わ せ て 流
は式(
8
l
l
J
~.ctl 。、
凶
でほぼその変化特例を l~1己主E しているも
8
.
2
4
ムの 一 波11:内変化
のと判断される
凶 - 8.25 に y ~: O.
-196-
.克.ltl~
1
.0
速分布をみ説したもので.陥切な式形
凶8
.
2
2 乱れ強度の 一波長内変化
8
.
2
3
r o : 6の 保 制， φb
6
8
.
2
4
に凶 8
.1
9よ り 料 価 さ れ た 庇 I
師
示し. 60
I0 u/Us
トー_A(.)ーーベ
・
(
u.
/
Us). U、 車 両 流 速
近傍での速度欠
・
oZ
10
。
o
e
:M 床に対するムの {印 刷/"!~である.
。
o~
o2
20
nv"
UJ
、a ‘n υ
，
，
e
o
s
c
e
v
'
a
o
h"nu
f
y
ar
、
e
c
5
・
o0
r'
sln(κx-φ1
I
)
}
6 0 :平均水.J! r
i
tに対する d
の ー波長、Y均
，
0
4ヲ
'
o
i
:
.
10
(
8.
3
6
)
U.
o6
lO
ような I
n
:Ihiでの速度欠担iを ぷ す . 簡 単 な 様 式 で
ム(X) - ~o (1
1
u7
1
，
u
.
o6
10
yjh
0.2
I0
(
8
.
3
5
)
κ u.
B
o6
・
3 u
.
一
一・
一
一
一
ここで. U~: 誕凶iim 迷.ム (X) は凶 -8.23 にぷす
o6
ぷ
'
1
/
に
•
(
8
.
3
4)
2
ことにする.
o6
・
3
0
7
0.0
サ
6(
X
)の ・ 波 長 内 定 化 を よ す た め 次 式 を 用 い る
1 0 .8
02
ぷ
'
[
，
に
00
1.0
$
e
c
.
5
1.0
~
00
0
o 1
.
0.0
Z0
I
:
?
I
ζ
‘
州 o81 •
oz
I
6(X)
oZ
ぷちに
I O.
ゐ(
X
)
[
I
o6
o4
o2
こ こ で は 渦 動 粘 悦 モ デ ル に 基 づ く 俳 ・斉 藤 17)の ぷ ぷ に な ら っ て 次 の
S
o6
τ
HHV
8
o8
'
1な J¥で 裂 し て お
ように袈ポする.
‘
句
・
・
$ec.Zy/h
o8
o0
くのが{史利であり，
10
1C
y/h
0
I逝 純 子 の 数 値 t
葉桜に吋たって流速分布の流下 J
j向 変 化 を 附
後述する r
(b) 欧 僚 速 度 の 変 化
0
5
hの 出 さ の 濃 度:で基 ;
教化した相対濃度の
-]97-
・
波民内変化を示した.
t
r
o
u日h
iへ拡散. cresl十f
近では水 U
l
l付 近 で の 演 1
.
[の 幼 加 が 特 徴 的 で
から crcstに か け て 粒 子 が 上 J
ここで. PTO 十.
.
l
!
.
J
流 に 対 す る 還 移硲:年惚 1
1
. PrOr.a: PTの 似 制 である. す な わ ち 符 断 面
ある
での発生側数は
:
.I
y! 内
S
e
c?
J...~言 k S
8
.
3
4
)で う え る . 鉛 1・
iJ
i向 の 乱 れ 強 度 は 実 績 結 果
数{血検艇にうたっては.流.ilI!分布fは.st(
1
"8
にもとづいて， 熔 熊 速 度 の ー波 長 平 均 u
.と 同 所 水 深 を 用 い て f 7 マl
u.1
.27'cxp( 川 h) で
0.
6
.
e
:
}
'
Jは吸法日I
1よ り 得 ら れ た 1
ぬ を 尖 測 他 と み な し て mい
写 え ら れ る も の と し た . /，底面せん断 l
0'
0'
Ia
u
su
p
n
u
-
a
H
w
-d
角川"
0
.
6 0~ •
C
/
C
.
AU
のV
0
a
‘
oQ ~?
C
/
C
.
~，~唖
W
o0 O.Z 04 0b 0S 10
C.
l
o
。
，-
O?
u
.~...
T
例して与えればよい.
，
I
sin{κ(Xδ Br"
)・φr )
l
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ln(Kx-，
φ
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:1 f foa'
"J• (
，
. tr
.，
r.
.
.
. • .."
.
，
.r )
た . 凶 ・8
.
2
5の史料l
が数値投擬の結果であり
-.桜ム内の、l'必j的 な 濃 J
!
I
:分内1の 変 化 j
泊料は
再現されている.
• C
，
'
t
1f
8
.4
.
3 吏角形状河床上での流れと浮遊砂に関する実殿
08
¥
IV _
oE
E
。
‘
ヘ
O
_
_
_
J。
『九「人
~OO~O'06(
。
河t.t波のクレストをすきるぬれは剥隠し.次のか>J1ふ波の 1
:流 側 斜 面 で
k側 の 胤 歴 を 持 ち 込 む と い う 被 維 な 状 況 に な 勺 て い る . 流 I '
J
、本動
に 剥 勝 城 を 起 す 流 れ は とi
.
.
おHま刻限i
域に取り込まれるものの.
rcstを 超 え る M旅 砂 ・ 浮 遊 砂 の
の面からみると. c
8
.
2
5
I
i付 お す る . I
I
H
t
消点からは内部境界脳が先述するとともに .p
iHぷ付。近では強い乱れが鵠起される.さら
~ <
~，~
同
，
その他はト流に流送される.また取り込まれた柑流齢、 ・ 浮進砂の一部か求'I "，t 減から~1lIさ
相対濃度分布の一波ム内変化
れる.こうした状況を適切に記述できる数倣模阪へと改良するため炊のような丈験そiJつ
f
こ.
8
.4
.2 正弘波技河床上の流れのモデルと浮遊砂過程の数値模麗
、
'
1
，
.
l
i
[
i
n
J
L
ι における J
I'
1徐d学進砂 損 J
立分イ布の数 f
l
'
(
t.真娠に吋たっては，流砂の境界条件が主
化する{川町から沈下ん|旬のいずれの ålJ み 幅 ilx からも同 ・ 例数の村 f を尚さ~
O
.0
5
hから11¥
売させ.各断I
fIIのあるぬさでの純 f数 を 教 え る こ と で 相 対 i
農度 分 命 が 得 ら れ た .
ikれ が 流
;
J
Iに 変 化 す る 場 合 も そ の 変 化 が 既 知 で あ れ ば 同 線 の ん 仏 で 数 1
'
!
l
l
悦縦 が 1
1
1能である-:，.
;
ドん I
ぬのI
劫 合 と 央 な る 点 は . Md
圧
をL
、から浮遊砂に 遷 移する靴(-偶数か・彼長内て変化する点で
ある.
相 対 濃度 分 街 形 の 変 化 を ぷ拾 す る た け で あ る な ら ， 各 地 点 の M流 砂 f
l
¥Q"(x)と i
量移
u
1変 勾 配 水 路 に . 総 後 d0.128cmの A
B
sr
立子で t
l
lJ
J
i1
・
l
けさ
長さ 1
2
m
. 幅 50cmの ア ク リ ル 型
れ た 彼 伝 L4
0
c
m
. 波 尚 a・2cmの :次 九 三角 形 状 の 何 l
本波筏 F砲を 1
0被 設 世 し た .
流 か ら 8波 1
1の crcslから 9波 1の crcstに か け て 4
c
m
l
l
U隔で，
断i
f
u内 で
i
d
似l
は. 1
:
引1
1断 i
l
J
iに つ い て 水 路 中 央 縦
X型然脱流.ilI!形を川いて疏よ産相I
I
J
}eを行った. 実験 条 例 は . ム 8
.3に '
T
、すJillりで
ある.
さらに.
主
8
.31
[1の R
u
n、
4の 条 fl:
で. t
l
L1.笠付けに使用したものと 1
1しI¥B
S純子(村.符 d
J
!
:PT(x)の 般 に 比 例 し た 形 で 各 断 面 で の 先 生 偶 数 を 決 め れ ば よ い . 線}f3近似をJIjい
町市街I
O
.1
2
8
c
m
. 比 重 alρ1.0
3
)を l
二流より J
{
i1
1¥.側 J
iよ り ビ デ オ 繊 彬し. ，
.
必I
f
l
lより 1
c
m
1
1
jの 肘
J
:
分
.
(
tr(x)に 対 し て M
lk砂 量 分 命 は 次 の よ う に な る .
ると，与えられた掃流 )
内の付子散の数え.~下肘での温度で除して相対濃 j立分布を J 偏した.従u って Jp干llflÎ の向
(
8
.
3
7
)
r(x) '
- ro{ltr '
si
n(κx φ )}
v
e
-
-Ed
AV
，
、‘，，
ここに. Qo0 、ド均読tに対する掃討t
砂l
l
{
. r~aQ80
i1>との位 '
"
1'
:
E•
r
n
n
V
A
H
nO
δ"
ロr
i
r
，，‘、
nH
κ
、
r
l
にu
p
r!
t(κ ^ 8
)z
ー
•
8
・
v
a
+
l
値
目V
rzL
向 U可
r
B/r
r
。
Q
I
I(x)
r
(
8
.
3
8
)
arctan(κ 八 6)
'
1仲 時 間 当 り の 遷 移 6
宮本
街地は柑疏 )
Jに 対 し 遅 れ を 持 た な い と 見 な せ る か ら ， 式 (
7
.
5
4
)を線 J
f3近似して次のように
うえられる.
r
198-
f
e
U伽官、)
句(
a
n
)
必可E
{
町内}
F
r
1
1
8
2
0
1
7
.
1
6
.
7
0
之回
0
.
2
1
2
/
3
70
1
'
Z
7
.
5
8
.舶
4.
回
0
.
2
9
3
1
/
1例。
1
/
1α)()
1
9
.
5
5
.
3
0
2
.2
3
0
.
'
Z
7
1
之1
6.
5
0
2
.
5
2
0
.
1
5
4
r
p
a'sln(κx φ )1
8
.3 ミ角 形 状 何 l
ふ1.のおkれと i
1遊 砂
(
8.39)
RUN
噌方.
a
/
h'
0.07-0.09であった.
実 験 条件;挺
QBの 振 幅 . δ Br
:I
底而せん断力と掛i
/
.
i
八 1 柑ぬ砂の、ド均 st
ep ]
cngt
hである.
Pr(X) - Pl O (l
さは訓II ~ I析 l面で県なるが.
(
8.
4
0
)
ー
1
9
9-
同
8
.
2
6はかI
床波 1
V凶iLの測定断面の旅速分:(j;を彫僚 i
創立 U.
を用いて対数表ポした{91)で
3
0
XR :ぬ i
虫分布の変化に関わる k さスケ ールである.
ムバ 0
.
2，
O
.9， X
(
L
L
，
)
:
:
0
.
4
7
，
RI
L:波長， L.:crcsl から I
l
i十J，，"
'
j.
'.'.(までの長さ 〈
包8
cm
)と し
1
1
f
こ. 凶 8
.
2
91の 実 線 は 式 (
8
.
3
4)
と式 (
8
.
4
1) による.， n : tl，~である.
J
i
，
ー
2
0
2
0
10
10
n
U
0
1
0
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1
1
1
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1
1
0
y/d
と凡なせる.
A
nu
EH-
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3
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内
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tion
色
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，
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~tr言ffw 。 A手
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寸之 .
.
.
.
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、
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10
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1.
。
。
硫速分布の i
/
.
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J
I句変化
o~
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a
"
.
o4
0.2
(
.
.
.
.
，
.
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3
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o8
0.2 0
.4 0.6
o0
1.
0
0.0 0
.2
u(
y)/U
図
1
0
2
0
毘
8
.2
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C.~
也
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‘
0
.
2
cI
刷
JM
しa﹃仲 .-
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bo-
、
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L
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4
.•
u
.曹帽
-2
00-
創立欠
その i
t n'es
・
・
p・
t
向
" -
8
.
2
9に は 必 み 取 ら れ た 庇 l勉での速度欠損が示され，
-仇
8
.2
8は 再 付 着 点 以 降 の ぬ 述 分 衡 を 主 面 流 速 L とJ.
K深 hを }
I
)t、て
0
内
い
a
v
M
c
WC
H
羽
無次パム A 小した例で. f
8.
4.
2と '
l
i
J織 に簡Ijlな実験
r
式の~てはめを考える. 凶
そのため，
e
t
t
疏下ん￨古]変化を述統的にムしておくと使利である.
••
ae
i
及び乱れ強度の
'
(
1悦嫌を f
Tう i
二で. 流速分.ff
ところで. 浮 遊 砂 の 拡 散 過 刊 の 織 率 的 な 数 1
1
0
凶 8
.2
9 企の f
o
Jt末機 1
f山での変化
-2
01
。
Q
-
r
ðIt~分イti の M 床波 1f 刷での変化 iめ rt
3
0
.
1
回}
低下方向変化
関.
8
.2
7 摩綴速度の 8
包t
c
1
.0
S
‘e
v
x
/
L
HU
0.
2
0.
6
HU
'
.
J~
0.
4
1
02
y/d
関8
.
2
6
oe I.C
0
.2 O.l 0.6
l
o0
，
，l，，
伽
・
"
1
10
oe 仁
oz
。
O
.5
院佐でほぼ I
Eと
凡なせることがわかる.
，
•
トー L
s -ー←←一一ー-L-Ls一
ー
ー
由
自
ーー
一i
。
8
.
3
0にぷす . yh<(0
.
2-
また. 鉛 l~f ， 流トツI
j
(
I
1
Jの 乱 れ 強 度 の 比 は 万 九 / 守 マ
llh
10
0
1
0
8
.
4
.Z での ~!~l Ji 訟にならって II}H~"'i 点以降
I0
句
-‘、
Hu--
2
0
乱 れ 強 度 ju
'z，f
アマlこl
則しては，
0
.
3)
で 見 ら れ る 乱 れ 強 度 の 減 少 を 除 い で ほ ぼ 禰津による河辺 I
lO数ぷぷが成、Iしているもの
，ι
内
内〆﹄
0
10
今 II~II の実験に対しては，
のJ
蛾 織 速 度 の 手 均 値 と M所J.Jca;を川いて殺理し. そのど\'~を t4
。
n
u
-
。
、
1
..
3
0
ここで， ム.0・ム バ :c
r
c
st&び I
'
}十l
お点でのム (
x
)の 1
1
'
(， λ : II}H ，，"'j 点から波J) られた鈍 i ~i ，
u• R
R
U
N2
u
R
UNI
U.
raEEEEEEE
4
0
u
(
8
.
4
1)
良
実験 fl(1 の?表理にあたってはこの折f~ 似を欧綴速度としてJIlいた.
4
0
• •
(ム.k
n
v
Hな
.j
設を見せている.
今 .0 .
;
戸、
¥
1市
J の運動 '
I
t積分式の解と1l.t'_WUIJに よ り 推 定 さ れ た 他 と を 比 較 し た も の が 凶 -8
.
2
7で.
(x)
B
今
i
.
.
の欧鰍速度は底面近傍の訴t
i
tに Z正法自 1
)
;
を適用して求めた. 第
傾向が留められる. なお各 l
、
町
、
u
t化する
ヘ-
初tド万向の願1I
:}
J勾 配 (加速読 )の 存 在 で c
r
c
s
tに I
I
I
)か つ て 波 速 分 布 が
ある
仰 を ぷ す パ ラメータム (け を次式で近似する.
c
.
G
I
ょ述のような流砂の境界条例と流れの変化過程によって怠瓜分衡が形成されるとの制点か
ら. 8.4.2 と向僚の数値僕娠を (j 勺た.その結!.Rを実験結~と比較したのが凶 8.32 である.
:
:
i
'
，
f
)にちたって.疏 i
皐分作i(ま式 (
8
.
3
4
)
.(
8， 4
1
)で.乱 れ 強 1
9
:は ・機長内の 摩 娘 巡 I
.
[
u
. とh
で熊次元化したものが~jW分布式に従うものとした. "必 II'Î せん断 Lê.~)J は Ká r
m
a
nの連動fi1積
分式にもとづいて評価した.また.何 w 波背面 1'，での f立{.の ~Jt 例数は第 ~1 .
'
.
.
::
で
どhべた 附
iI.t砂J.1分市式と選移体準 ¥
t
(
，
J
吐 と の 般 に 比 例 す る 形 で 与 え た .実 験 f
l
f
!
"との比較のため. ，
J
_
JH
/
l
山 濃 度 を 決 め る 高 さ は a/
h0
.
0
7
5とした. 得 ら れ た 鮎 県 は ， 相 対 t
農度分 {hの 変 化 過 nをあ
i
砂のJ
F手 術 性 と 剥 瞬 域 の
る 何 度 説 明 し 得 る も の で . 拡 散 倣 と し て の 掃 討t
8
.
3
0
同
乱れ強度分衡の相 l
似性
un
:
という嶋抗l
条
件の設定が妥%であったものと判控訴される.
8
.4.
5 =角形技河床上 の浮遊砂浪度分布に関する 数値棋質量
角 形 例 外 上 の 流 砂 本 動 が . お.
4.
2の 正 弦 波 Mlみ し の そ れ と 大 き く 災 な る の は 剥 開t
!
或の
{{イl で •
)/h
0・
i
I
o
HTの 境 界 条 例 と し て は c
r
c
st
を 辿 過 し た 汗 進 粒 子 の ・ 部 と M流 砂 が 剥 餅 岐 に 取
り込まれるということである.こうした疏れと Mc 砂の境界条件を ~ji撃し.川休波 1: でのMt
o2
n
w
I
FL
AM-
•
e
・
'
RUM
ED
muv
‘
e
休〈まIJ 鍛域に相当)と彬動防~ (1
1
i
H若点から c
r
c
s
t までに相吋)が交可に.i1i続したものと
-
のu
w
・
n
L
す な わ ち . 述 続 し た がJWi
伎を. I
胡定
白"
8
.
3
1のように簡!Itな秋況に置き換える.
0
o2
u
砂挙動を凶
‘
。
O.
u
見る . 移動体・上で柑討E砂]Jlは培から次第に増 J
.xl.さらにぬれはそこで流下}il
u
Jに 変 化 す る .
.
J
i
. I川定外~ 1
:では p
i
c
ku
pr
a
t
cp‘O
.遷移防水浴 j
立:
P
T・0
であり.同定l
ふに士I
J
j
fした純
.
、.
10
y
'
.
v
，
"
吸収されるという"吸収同定明"の性質を持つ. なお.この上でのぬ速は修動体端
子は 1
oe
o6
(crcsl) での流~が保持されるものと仮定する.
o4ト¥、'‘
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00 01 0 0608:0
00020 06081.
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c
，
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.
.
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/
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C
/
t
.
‘
‘
Q
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図8
.
3
2
M W彼 背 面 l
二の浮遊砂濃度分衡の発述過将
l
f
iと数値槙擬結*との比較〉
(実 験 f
I ~epar. t
l
o
n IO
ev
e1
Op
l
1
'ρ
n
t0
1
l
o
n
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Ilnnerboυnddry I
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一
一
_
"
主デ
I
I..agi~ðril y
ー
一
一
一
一
ー
-
・
8. 5 結 論
I
I
s
p
a
l
i
a
l v.r‘
.
t
i内
向
.
.
.
.
; fl"
.
s
v
本町では.拡散源としての柑流砂とそれが浮遊砂に遷修する 'J ~ 象に情意しながら. .
)
1:
、
/
後i&ぴ半後i
な状態における汗逝砂猿度分衡の確本治的な検討を.d1.め.それに J
;
tづ く 散 倣 悦
・
a1u
v
i Ib.d .bScrbi
0
9
olld borroer
P oP 0
，
・
， ・
，
凶
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) PS(κ)
Q
s
lメ1Vl(足}
。
bSO!bl"9¥0
‘・d
，ピ
，
bH'
T
8
.
3
1 M W被 上 の 浮 遊 砂 の 反 抗l条 例 の う え }j
-202
利な点は.その
鎚'}j法の.itJJfJ牲 を 実 験 的 に 倹 :Ifした.こうし た 隊 本 的 な モ デ ル 化 の 特 に イi
ぬ砂に閲する境界条件の取り込み幼さである.本市て， i
!
Tられた結論は次の.iJ.Oりである.
(1)ω ぬから浮遊への~移・J ~~ の*たす役割l を与えることで .
t
7逝砂濃度分作』の形成に
おける拡散棋としての M Mt;め 41 の忠義を I~J 艇にした“・中モデルの従来をむった.こうした
モデル化は.拡散モデルにおいてはJ
よ椴UfI濃度としてうえられるべき符遊砂農山分市の境
-203-
w-条件を別注 :
考 慮 す る 必 躍 が な く . 無 理 な く 掃 討t
齢、と 1
字造砂の 1
七
千f状 況 を 記 述 す る こ と が
2) Lanc. f
.
.
首
. and ~allnskc. :
¥
.
A
. : EnginccrIng calculalions of sLJspcndcd
. Trans. AGU. "01
.2
2
. pp.307 6
0
3
. 1941
.
scdimcnl
出米る.
(2 ) 、y. iti 状態の n 迫H少の~!対濃度分布形を，従来された倣pドモデルにもとづく阪本的な
3) ¥
'
a
l
i
n
. WS
. and ~rishnappan. B
.
G
. :A probabilistic mclhod f
(
}
r dClrcmining
数 悩 倹 縦 訟 に よ っ て 脅I
'
f)し.モデルに含まれるパラメータの彰響を検討して.その段通値
. Svm.
thc distrlbution of suspcndcd solids in opcn channcls. Proc. I
nl
1
，)定した. I
;
;
I}Lした般は lo
/u
.>'
"O
.2以 上 で あ れ ば .o
/u
. に 関 わ ら ず ・i
tであった.
を;
a
n
d
. ¥
'
01
.1
. pp.603 614. 1973.
Ri cr Mcch.. Bankok. Thail
日
!j彼 桜 J
i
1
去を手1
;
平衡な浮遊位チの鉱散過程に対して適H
Iし た 結 果 は 実 験 i
l
lと の 対 応 も 良 好
で そ の 妥 巧 性 が 悌!
認されたーなお.モデルのパラメータの備は J
P午後i
な汗通量生、相対挽度分
4
)古川秀人・行川忠明 : 放砂連動のモデル化とそれに
"
J
づく抗砂勉のZ
I2について.
i ノト学会ぬ文桜子;~.第 269 号. pp.53 6
4
. 1
9
7
8
.
5) 辻 本 朽 郎 : d
iiI.tによる上砂愉送 ー浮 送 砂 の 鉱 散 係 数 の 検 討
衡の計-p，
においても変化させる必要はなかった.
(3) f
宇滋住子の運動約 t
tを 締 約 し た パ ラ メ ー タ で あ る cxcursion Icngthに 1
測する数{仰筏
縦を行い.
、
その分作i を gamma 分イti に適合させるともに.そのギ均 í~i と変動係数を*坪吐と
聞係づけた . ζ れを川いると 1
字
通HT
、の緩和距艇が容易に指定できる.
. 筑3
0
1
1
1
11.
1
<1
1
f
'，:It摘会均
文
!
.
.
l
.p
p
.637-642. 1
9
8
6
.
6) Dobbins. 官
.E
. :E
ffcct of turbulcnce on sedlmcnlation. Tran民. ASCE.
Vo1
.1
0
9
. No.2218. pp.629・6
5
6
. 1
9
4
4
.
(
4
) MW ，'~JI: 状態. Umt過 料 ， 浮 遊 過 院 と そ の 各 運 動 i
めN
I
I
日の遷移*殺を.i1!統的に取り
倣った }f~ で. bcd maI
cri
a1 loadの非半後i
流送過日の，'{t:端的な数iIIt悦阪をおこなった，
1
>
-
J
Ji
1
.では "i
a
kJ的 な I
f
r
iで の 計 価 が n
J能 で あ り ， 実 験 他 と の 比 較 に お い て も 安 % と は な せ る
主主が比られた.また坪進砂の相対温度分布形の形状 . J
よ
'
X
/
t
.l
(
r
ii
農J
立. i
'
7進 砂 j
a
iの 緩 和 i
f
!般
7) Hjclmfclt
.A
.T
. and Lcnau. C
.
l
f
. :¥
I
oncquilibrium lransporlof suspcndcd
scdimcnt
.J
.I
lydraul
. Dlv.. ASCE. Vol
.9
6
. I
I
Y7
. pp.1567 1
5
8
6
. 1
9
7
0
.
.
、.
.
12
. :Sumcrlcal model for discrcte sCllling・J. I
lydraul
.D
i
8) Sarikaya. 1
ASCE. ¥01
.103. I
I
Y8
. pp.865 8
7
6
. 1
9
7
7
.
9) Bcchtcler. W
. and Schrlmp(.
が 必 ず し も 副主主しないことを舷認した.
(5) -¥'/:み込み縦分形式で :
表現された遷移を考慮した J
ドギ後j
流砂モデルを微分形式に将き
.
，:Impro¥'cd numcrica1 modcl for scdimcnlalion.
J
.1
frdraul
. Eng.. ASCE. ¥
'
01
.1
1
0
. HY 3
. pp.234 2
4
6
. 1
9
8
2
.
燃え. 1剖定外;・干客動~接続郊に起こる Jド平衡流砂過程に適J1J.損 1St分作j}巳まで識泊する必
n
10) ¥
'
a
n Rijn. L
.
C
. :Mathcmatical modcls for scdimcnl conccntratlOn profilcs i
裂がない場合には.こうした微分形式で柑疏砂畳.浮逝砂川の :
1
:I
I
U変化が符劫に計t):され
stcsdy flo官. Proc. Euromcch 192 :Transport of suspcndcd solid日 i
nopcn
る.
channcls. pp.49 6
8
. 1
9
8
5
.
(
6
) 流 ドJ
i
'
:
'
]に流れが変化する.t:，}での浮遊砂挙動の例として.法)
1般 岐 の な い I
F弦 波 状 河
U
-Lの 汗 逝 砂 に 閲 す る 数 i
(
(慎 擬 を 行 っ た . 数 f
A摸損益に当たっては . i
"
l進 砂 に 移 行 す る 嫡 流
直が峻界条件を形成していると考え，それを非lfLi
t
i柿流砂とi!移 S
配布:宇n
立の磁とし
砂の強1
'
nした.その結果は実験によって得られた相対猿股分布の変化傾向を l
斗現して
て与えて君 I
1
1
)悩嶋佑介・倒 1
1
1組 問 : 乱 杭 モ デ ル に よ る 非 半 後j浮 遊 砂 抗 の 解 析 . 都 3
2
1
1
1
1
1
.
1
<J1I1:~ ちtr 会
冷
文
!
.
.
l
.p
p
.413・4
1
8
. 1
9
8
8
.
12) Murphy. P
.J
. : Equllibrlum boundary condition for suspcnsion. J
. I
lydraul
.
Eng.. ASCE. Yo1
.110..時0
.1
. pp.108 1
1
7
. 1
9
8
5
.
13) Bcchtclcr. l
f
. and Farbcr. K
. :Stochastic modcl of suspcndcd sollds
いる.
(
7
) 実隙の作I
U
-桜 へ の amthの検討のため. ー三角形状河川、しの数 {
I
I
[悦 縦 を u った. ，
*
1
1
般
峻のイfイI:を考慮した形で流砂の境界条件を設定した.すなわち.剥鍛域では plck up rate
P
.O
. ;量移ぬL続税 j
立Pr O
. ~遊粒子に対して吸収墜としてfI・ }!l すると似定した
向付 1
:点
以降での拡散訴の強度をJ
ト平衡 M疏 最 と 遷 移 権 準 密 度 の 僚 と し て う え た . 流 れ は 簡 単 な 実
1槙昔話結果によって
験式で与えたが.もた験によって得られた相対温度分布の変化過枠は敏1
1
dispcrsion. J
.I
lydraul
. Eng.. ASCE. Vol
.l
ll
.N
o
.1
. pp.64 7
8
. 1
9
8
5
.
1
.E
. and Sayrc. W
.'
1
. : Prcdicting conccntratlOn I
n opcn channcls.
14) Jobson. 1
J
. I
lydraul. Div.. ASCE. Vo1
.96. t
l
Y
I
O
. pp.1983 1
9
9
6
. 1
9
7
0
.
15) 例えば小川防次・辻本析郎:移動床疏れのJ.l<1
1l.新体系 l
二
本
r
.
2
3
.l
.
k
:W1
;
:1
1
:版.
1986.
16) 祢滞家久:凶水路乱杭の乱れ強度に閲する研究，土木学会論文鍬 ~I;. ，~.徐 261 :
;.
うまく実現された.
pp.6776. 1
9
7
7
.
1
7
) u，.*~ 郎.~段階:旅れによる Sand la刊の発生限界.九州大?・に?:出鰍.ヨ'
1
4
0岳.
参考文献
1
) Rousc. 1
1
. :I
1
0dcrn conccptions of mechanics of turbulcncc. Trans. ASCE.
第 5~;.
1
9
6
7
.
¥
'
01
.102. pp.463・543. 1937.
-2
0
4-
-205-
結論
移動床流れにおいては.個々の齢、松 fの運動の集合体としての抗砂逆境}
Iに よ 勺 て 桜 々 な
現象が引き起こされる.側々の砂粒子の不綬則な通勤を・つの桜:.iAれ!とみなし.そこに合
E
.
2
i
:泊的な的i
とぬi
~t~ 論的な樹とを.両者の果たす役1;11 の屯暖1>'1:に 11;:むを払いながら
まれる S
涜砂運動の位 .
f
二レベルでの内苦s
機 備 を 抽 出 し . こ れ ら を 丙 び 抗 砂 モ デ ル の 情 b!
e
:
謀
説、
の必要
とされるレベルまで錨み上げることでJ
I
:
半後jな 洗 砂 現 象 の 珂 解 が 深 め ら れ る と の 制 点 か ら
.
.
.
.
.
.
.
.
3訟では千.If!河床における崎新t過 刊 を 対 象 に ， 側 々 の 純 子 の
本研究は進められた.第 1
'
*
l
運動に内 (
Eする悌!定論的な機備と係i 論的な織備とを終i
み合わせることによってのみ.州
統治梓の織成，~~.が:1'f (，面できることを述べた.第 4--6f，'i'では尖際何川が f
iす る 尚 々 の 境
界条件のうちの銭っかを取り J
:
げて，そこでの不規則な l
l
Ji
1
t
t
.
i
l
臣
賞)
I
の 解 析 を め I-3 ;~で泌
聞した }j訟をJIjいてねい，
J
I
'
、v
後jな M流 過 程 の 適 切 な よ 現 に つ い て 倹 川 し た . 第 7
. 8院
では総本 J
命的な 1
1
1
1か よ り 強 調 さ れ る 浮 遊 砂 を 合 む bed matcrial load に 対 し て 粒 子 迎 動 に
もとづく数学モデルの鉱般を凶った.
み;制では，
まず，
1
十:r;cにおける研究成果を要約し.本論文の結論とする.
F
r;論において本研究の H的 及 び 研 究 方 針 を 述 べ . 本 論 文 の 情 J
J!e:を心した .
第 lF
.
t
.
で
は
，
M流砂の;11'手衡疏送過程を確率モデルによ勺て kfJLし. そ の 情 h
主要艇が
pick up ratc， stcp lcngth， 砂 伐 の 移 動 速 度 〈 あ る い は movingpcriod) で あ る こ と を 示
した.
終 モ デ ル に お け る 初 期 移 動 特 牲 を 正 す パ ラ メ ー タ で あ る pick up
第 2 Yでは.疏量生、の侃::
(
I
I境 保 条 件 へ の j
d
J
I
Iが
rate総 定 式 の 話 碍 を 行 っ た . モ デ ル 化 に お い て は . 様 々 な がtれ . J:.~ I
容易に11:*るように.砂村~ i
をの効*. u.t体力変動の効呆をりI~i にした#1: ~式の ・ 般化を削
った.ここでは， sa:li: 論的な運動 h'f'l 式の解に淡体力変動の幼虫をその ~1 ， ~1 分布をJ) l援し
た 平 均 納 傑 作 を 行 な っ て pick up ratcを 誘 導 し て い る . と く に ， 砂 純 材 料:
と抗体 }
Jの 変 動
阜
特性をパラメータにした鮒ßI!な近似式を提案した.得られた結果は.ノ'.k~実験の車，.，' *f"良
旬の配列状況の総本論的なJ)狭から. ~)J J
t
J
I
彬動機怖の
好な・致を々、している.さらにか'flぷ 1
脱状祝の現象命的イメージをこれまでのものより現実的なものにした.
モデルにおける断i
第
3r;iでは.
水路実験での砂利i!I!動の観察から，
M疏 i
泊料がか>
f
l
ふとの衝突 ?
f
l
'わ は い
I
D
J
C
r
o stcpと.かI
休との衝突・反発が象との複合体であることを指摘した. M
i
r
l
t.I必刊を代
;
.
tか 不
表する stcp lcngth を 貯 仙 の た め に は ， こ れ ら の サ ブ プ ロ セ ス の 純 子 レ ベ ル で の 倹 :
可欠であり，が，j
;
百は侃・ 3
i
:論 的 運 動 方 程 式 で . 後 者 は 衝 突 の )J:
"
j
:と純子のイ-.:~ll J
I
J配州によっ
てモデル化された.仰がt ブJ の大小による運動形態の変化を J~.-1~し.小さいときは滑動形式
で ， 大 き い と き は saltatJon形 式 で 代 よ さ せ 運 動 過 程 を 取 り 倣 っ た .
の 継 続 に よ っ て stcp Icngthが形成されている.
こうした microslcp
この状況を街1
;私的な散 f
的彼阪によって I
'
J
nj
nり
現した.その結*求められたm
i
c
r
os
l
e
pに関わる運動特性h_
1は 実 験 結 果 と 良 好 な 一 致 を 見
に あ る と の 観 点 か ら 検 討 が 進 め ら れ た . 非 平 衡 説t送の代ぷ例として炉JW被 を 作 う 流 れ に よ
ただし. 総 和 と し て の s
t
c
pl
c
n
g
t
hの 平 均 特 性 を 説 明 す る た め に は ， 純 子 の 停 止 機
る 流 砂 が あ げ ら れ る . Mぬ )
Jが場所的に変化する湯では. 1
1遊砂の鉱散 i
1
S
!の:&iJLとして同
a
lt
a
t
i
o
n粒 チ の 水 流 の 乱 れ が 入 射 角 変 動 に 及 ぼ す 効 果
構に凶わるか'1t.+:砂純のずれ動き. s
流齢、と遷移紘:y.
1~.争u.n: の般を宅えることによって非平衡流送が説明できる.さらに剥舵減の
を肱:終的に )
jl
l
.する必躍が必められ.その推定式を得るにと当たってこれらを 1
5
1
援
， する工夫
存 在 は 硫 れt
脅迫を n
L維にするが.流砂の境界条件としては倫中に吸収￨川克明として倣うこ
を行った.こうして符られた s
t
e
pl
e
n
g
t
hの推定法は水路実験によって.
とでうまく説明できることがわかった.
た.
その妥当性が認
以上本研究では.命文の前半では種々の境界条件を布する喝での“おf
t砂による J
I
:、
1
'
:衡流
められた.
賞~
4.
{，'iでは，第 1-3取に不した基本的枠組みをもっモデルが. J
，
底
的l
せ ん 断 応 jJか変動
m
量生、過躍について. 後、1
'
:は 浮 遊 砂 を 含 め た b
e
dm
a
t
e
r
i
a
lJ
o
a
dの J
I
;1
'
え
後I
'i
I
r
i送 モ デ ル に つ い て
過f
l
lに対しでも.il1 できるよ
特例.も合めて場所的に変化する河床波背面上での非平衡掃討t
準動が {
.
iする縫定鴻的な面と確率 J
命的な i
f
l
iの両 I
t
l
Iの県たす役;やIJ;を実
の検討を進めた.粒子j
うにモデルの鉱放を凶った.かI 床波上の底面せん断応力はfr.}J勾配を ~.l'. した Karman の運
際現象に照らし介わせ，その均衡を考えながらモデル化することの市立話料:
を強測して研究
動量償分式〈境界!同モデル〉を解くことで評価した.これによって川所的な p
i
c
ku
pr
a
t
e
を進めた.現象の彼雑さのためぷ細な記述と言う耐で不充分な 110 もあるが.本論文でト ~k
が指定される
s
l
c
pl
c
n
g
t
hは流れの空間変化に対する粒子運動の応答の縦断の総手uとし
i
c
r
os
t
e
p
て与えられる. し か し ぬ れ の 字 問 変 化 に 粒 子 運 動 が 応 答 で き る 長 さ ス ケ ー ル は m
峰山瓜と
J
3
7えられ. m
l
c
r
os
t
e
p程度移動した後は，
する流砂.l
JU
良に￨刈イIの J
I
・半後j件 ， 変 動 性 を 本 質 的 な も の と す る
1
5えんは.本研究でイk充分
f
l
Jをさらに拙う1:でもその基本となると忠われる.
であった I
その地点で新たに p
i
c
ku
pされた純子
とI
l
i
J .の運動特科を-i
Iすると A管えられ，このような J
5
・え万をもとに J
I
'十衡 M流 モ デ ル を 修
J県 予 測 さ れ た 局 所 流 砂 量 分 布 は 実 験 結 果 と 良 好 な
正した.その車I
4
致を凡せた.
m Sr;fでは何 l
ふの縦縦断勾配の影響が無視しえない場で生起する疏ド・縦断}jl
o
Jの 非 平
最後に，本研究の全 j必紅にわたり終始 一 貫して温かな御術却と御鞭踏を附勺た J;~ 綿入:"r:
工学部中川防次教段には深甚なる感謝の意を表する次第であります.また， t
谷川人?・工学
部辻本有郎助教控には.立"f{jが研究の絡に就いたその日から今日に十るまで研究今般にわ
後11M 流状況への M 洗面少の艇事モデルの拡張を図った.横断克向勾配の能響を ~Lf した pick
ら大'{:
たって終始御術却をいただきました.心より感謝する次第であります.さらに.群 1
u
pr
a
t
eと』運動軌跡に沿って定義された s
t
e
pl
e
n
g
t
hを f
l
H、ると. 第 1zy，で従来された非
.
.には抗れと洗面少の問題全般にわたって熱心に御討筑いただきました.
工学部消水義彦助 i
i
i}抗モデルの枠組みを用いて現象が記述，予測l
出来る.
予後'd
t
IしI・げます.紋後に， 一人 一人 の 御 名 前 は 挙 げ ら れ ま せ ん が ， 従 験 . デ ー タ 解
厚く御礼 r
床t
構成材料の
第 6帝では，従米の挑む、モデルではほとんど考慮.されることのなかったか1
透水性の影響を.定?
2
・ 様続出入涜速が婦流運動に与える影響として促えて，検討を行っ
a
Jしていたたきました京都大学工学部土木工学教本/}<!
'
I
I学 研 究 主 の 年 11/tの
析に熱心に協J
方々に厚く感必致します.
た . 抗 出 入 疏 泌 が 訂 作 す る 場 合 の 租 面 乱 流 の 流 速 分 布 は 対 数 .采員1で 卜 分 に ぷ 現 出 米 る こ
i
c
ku
pとs
t
e
pl
c
n
g
t
hの ， J
ド活水性何床の初会からの
とを示し，これを外ノJとしたときの p
変化をそれぞれについての力学モデルから評価した.解析結果は実験によって検証され.
aの 変 化 も 従 来 の 笑
評価の妥当性が磁泌された.なお.これらの績として表される制流砂 f
験結*と良Afな ・致をみせた.
第 7J
'
;
i
. 81
詑では，浮遊砂を含めた b
e
dm
a
t
e
r
i
a
ll
o
a
dの J
ド手術疏砂泊料が倣われた.
第 7j誌では. b
c
dm
at
e
r
i
a
ll
o
a
dの流送過程をモデル化するヒで市立さな鍵となるものが
掛ぬから作逝への選修明象であること明確にした.この遷移・J~ 象を粒子の運動軌跡の sal
t
a
t
i
o
n粒 f軌 跡 か ら の ず れ 〈 偏 侍 ) の 不 安 定 性 に も と づ き モ デ ル 化 し た . 不 安 定 が 生 じ る
軌跡からの偏向の限界li1:とそれを誘起する水涜の乱れ強度を評価するとともに，単位時間
当りの遷移硲皐j
立を 2
売却した.さらにその結果を簡単な近似式にまとめ，これによって遷
移を合むがE
砂現象の取り倣いの便宜を図った.
ド平後i
流送過程を確率的な数値模様万訟を
第 8市 で は 浮 進 砂 の J
mい て 検 討 し た . 本 意 で
は散{前 t
翼線において.濃度分布の再現に重要な要因は，境界条件をいかに適切に与えるか
-208-
-209-