『 『太 太陽 陽系 系概 概観 観』 』の の惑 惑星 星軌 軌道 道に につ

『
『太
太陽
陽系
系概
概観
観』
』の
の惑
惑星
星軌
軌道
道に
につ
つい
いて
て
惑星軌道
重⼒源となる中⼼星（太陽）を周回する天体（惑星・彗星）や人工衛星は、楕円軌道を描いて運⾏（公転運動）
する。この楕円軌道の楕円の程度を表す指標は、扁平率と離⼼率がある。
楕円の⻑い⽅の半径（⻑半径）を a、短い⽅の半径（短半径）を b とすると扁平率と離⼼率は次により定義
される。
扁平率（f）＝
a−b
b
= 1−
a
a
a2 − b2
b2
= 1− 2
a
a
離⼼率（e）＝
楕円の扁平率・離⼼率は、0＜（f，e）＜1 であり、
（f，e）＝0＝円である。
また、e＝1 は放物線、e＞1 は双曲線となる。
なお、点、円、楕円、放物線、双曲線、そして交差する直線などは、すべて円錐曲線である。
扁平率は惑星などの球体（極間と赤道間）のつぶれ具合、離⼼率は彗星などの軌道半径の偏り具合を表す場合
に使われることが多いが、相互の関係は次のようになる。
e2 = 2 f − f
2
小学生の頃に学ぶ楕円形の描き⽅は、平面上に任意の二点を選び、それを支点（焦点）として定⻑の紐（輪）
により描く⽅法であった。つまり、下図のようなやり⽅である。
C
a
b
A
Fa
ea
O
Fb
B
a
上図より次のことがわかる。
O は図形の中⼼点、Fa と Fb は焦点である。
OA（OB）を⻑半径（a）
、OC を短半径（b）という。
⻘線の三角形周⻑は⼀定であるため、FaA＝FbB であり、FaA＋FaB＝FbB＋FbA＝OA＋OB＝2a である。
また、FaC＋FbC＝FaB＋FbB＝2a であり、FaC（FbC）＝a である。
ゆえに、OFa（OFb）＝
a2 − b2
となる。
OFa（OFb）は中⼼点と焦点の距離であるが、上述の離⼼率の定義より、OFa（OFb）＝ｅａ である。
また、同様に、⻑半径、短半径も次式となる。
1/9
⻑半径（a）＝
b2
b
=
2
1− e
1 − e2
短半径（b）＝
a 2 1 − e2 = a 1 − e2
(
)
惑星の軌道要素
軌道の形を決める要素
離⼼率（e）
上述
⻑半径（a）
上述
短半径（b）
上述
近点距離（q）
重⼒源となる中⼼星（太陽）の重⼼と軌道が最も接近する位置（近点）との距離
q = a − ea
遠点距離（Q）
重⼒源となる中⼼星（太陽）の重⼼と軌道が最も遠離する位置（遠点）との距離
Q = a + ea = 2a − q
周期（P）
軌道を⼀周回する時間（秒）
a3
P = 2π
GM
P = a 3 ：太陽系
軌道上の位置を決める要素
元期（Epoch）
軌道要素を特定した時刻（ユリウス通日で指定する）
近点通過時刻（T）
天体（惑星・彗星）が近点を通過する時刻
平均近点離角（M0）
中⼼星（太陽）を周回する天体（惑星・彗星）が近点を通過後の経過時間に⽐例した値（角度）
M0 =
360
t
P
t＝近点を通過後の経過時間
軌道の平面を決める要素
軌道傾斜角（i）
⻩道面と軌道面がなす角度
昇交点⻩経（Ω）
軌道が⻩道面を南側から北側に横切る位置（昇交点）を春分点⽅向からはかった日⼼⻩経（角度）
軌道の⽅向を決める要素
近（日）点離角（ω）
2/9
昇交点と軌道の近点が中⼼星（太陽）の重⼼から⾒た時になす角度
近日点⻩経（ϖ ）
昇交点⻩経（Ω）＋近（日）点離角（ω）
惑星の軌道計算
① 天体（惑星・準惑星・彗星）の軌道要素を入手
入手先：理科年表、NASA サイト 他
項 目：惑星→離⼼率、⻑半径、周期、元期、平均近点離角、軌道傾斜角、昇交点⻩経、近日点⻩経
準惑星→離⼼率、⻑半径、元期、平均近点離角、軌道傾斜角、昇交点⻩経、近日点離角
彗星→離⼼率、近点距離、元期、近点通過時刻、軌道傾斜角、昇交点⻩経、近日点離角
② 近点距離（q）から⻑半径（a）を計算（彗星）
a = q + ea
③ ⻑半径（a）から周期（P）を計算（準惑星・彗星）
④ 近点通過時刻（T）から平均近点離角（M0）を計算（彗星）
3/9
M0 =
360
( Epoch − T )
P
⑤ 公転運動開始日の平均近点離角（M1）を計算
M1 = M 0 +
360
(開始日− Epoch)
P
⑥ 平均近点離角（M1）から離⼼近点離角（E1）を計算（ﾆｭｰﾄﾝ･ﾗﾌｿﾝ法による逐次解法）
Ei +1 = Ei +
M − Ei + e sin Ei
1 − e cos Ei
E＝E1, M=M1
⑦ 天体（惑星・準惑星・彗星）の二次元（平面）軌道上の位置を計算
x = a cos E1 − ea
y = b sin E1
上記ｙ（座標値）は次のように楕円の公式より導出できる。
x2 y2
+
= 1　：楕円の公式
a 2 b2
x2
a2
b　に代入
y = b 1−
x2
a2
e　に代入、a　を移項
y = a 1− e2 1−
 b2
y = 1 − 1 − 2
 a
b
y = a sin E1
a
y = b sin E1
 2
 a − x 2

4/9
⑧ 三次元位置に変換
x' = y
y' = 0
z' = x
⑨ 近日点⻩経（ϖ ）から近日点離角（ω）を計算（惑星）
ω =ϖ − Ω
⑩ 天体（惑星・準惑星・彗星）の三次元軌道上の位置を計算（近日点離角（ω）y 軸回転）
※春分点の方向（x'=0, y'=0, z'=1）を基点とした回転
x' ' = z ' sin ω + x' cos ω
y' ' = y'
z ' ' = z ' cos ω − x' sin ω
⑪ 天体（惑星・準惑星・彗星）の三次元軌道上の位置を計算（軌道傾斜角（i）z 軸回転）
x' ' ' = x' ' cos i − y ' ' sin i
y ' ' ' = x' ' sin i + y ' ' cos i
z' ' ' = z' '
⑫ 天体（惑星・準惑星・彗星）の三次元軌道上の位置を計算（昇交点⻩経（Ω）y 軸回転）
x' ' ' ' = z ' ' ' sin Ω + x' ' ' cos Ω
y' ' ' ' = y' ' '
z ' ' ' ' = z ' ' ' cos Ω − x' ' ' sin Ω
⑬ 視点（⻩道傾斜角）の位置を計算（⻩道傾斜角（λ）x 軸回転）
x' ' ' ' ' = x' ' ' '
y ' ' ' ' ' = y ' ' ' ' cos λ − z ' ' ' ' sin λ
z ' ' ' ' ' = y ' ' ' ' sin λ + z ' ' ' ' cos λ
⑭ 公転運動開始日+1 日
以下 ⑤〜⑭の繰り返し
惑星（polygon）の法線角計算
① 公転角および軌道傾斜角（x, y, z=惑星の位置座標）
pl = [− x,− y,− z ]
ex =
−x
, ey =
pl
−y
pl
, ez =
−z
pl
e = [ex, ey, ez ]
② 自転角および赤道傾斜角（x, y, z=polygon の点位置座標）
po = [x, y, z ]
cos(ϕ ) cos(−ι ) cos(ϕ ) sin(−ι ) − sin(ϕ )
[R] =  − sin(−ι )
cos(−ι )
0 
 sin(ϕ ) cos(−ι ) sin(ϕ ) sin(−ι ) cos(ϕ ) 
po' = [x, y, z ][R ] = [x' , y ' , z ']
5/9
平面座標からベクトル生成
[
= [x '− x ' , y '− y ' , z '− z '] = [v
]
]
v a = [x1 '− x 2 ' , y1 '− y 2 ' , z1 '− z 2 '] = v ax , v ay , v az
vb
1
3
1
3
1
3
bx
, vby , vbz
外積をとる
[
vc = va × vb = v ay vbz − v az vby ,−(v ax vbz − v az vbx ), v ax vby − v ay vbx
[
= vcx , vcy , v cz
ex' =
vcx
, ey ' =
vc
]
vcy
, ez ' =
vc
vcz
vc
e' = [ex' , ey ' , ey ']
③ 法線角（α）
内積をとる
e ⋅ e' = e e' cos(α ) = exex'+ eyey '+ ezez ' ：　e = 1, e' = 1
cos(α ) =
exex'+ eyey '+ ezez '
= exex'+ eyey'+ezez '
e e'
α = cos −1 (exex'+eyey '+ezez ' )
6/9
]
任意地点から眺めた天体(太陽・惑星・準惑星・彗星)の様子
① 任意地点の法線ベクトル
任意地点ベクトルから法線ベクトル(ex, ey, ez)
② 任意地点・目標天体間の差分ベクトルと角度
任意地点と目標天体間の差分ベクトル(dx, dy, dz)
任意地点法線ベクトルと目標天体間差分ベクトルの内積計算から視野角(β)
0≦β≦90 → 目標天体は任意地点から可視
上記以外 → 目標天体は任意地点から否視
③ 任意地点法線ベクトルの -z 軸回転角(γ)
•
zx 軸間
x 軸法線ベクトル(ex)≧0 & z 軸法線ベクトル(ez)≧0


 + 90
2
2 
 ex + ez 
ex
γ = cos −1 
x 軸法線ベクトル(ex)≧0 & z 軸法線ベクトル(ez)＜0



2
2 
 ex + ez 
ez
γ = cos −1 
x 軸法線ベクトル(ex)＜0 & z 軸法線ベクトル(ez)≧0



 + 90
2
2 

 ex + ez 

γ = − cos −1 

ex
x 軸法線ベクトル(ex)＜0 & z 軸法線ベクトル(ez)＜0



2
2 
 ex + ez 

γ = − cos −1 

•
ez
zy 軸間
ex' = ez sin γ + ex cos γ
ey ' = ey
ez ' = ez cos γ − ex sin γ
y 軸法線ベクトル(ey')≧0 & z 軸法線ベクトル(ez')≧0



 + 90
 ey ' 2 + ez ' 2 





γ ' = − cos −1 


ey '
y 軸法線ベクトル(ey')≧0 & z 軸法線ベクトル(ez')＜0
7/9



 ey ' 2 +ez ' 2 



ez '
γ ' = − cos −1 


y 軸法線ベクトル(ey')＜0 & z 軸法線ベクトル(ez')≧0


 + 90
 ey ' 2 + ez ' 2 


γ ' = cos −1 
ey '
y 軸法線ベクトル(ey')＜0 & z 軸法線ベクトル(ez')＜0



 ey ' 2 +ez ' 2 


γ ' = cos −1 
ez '
④ 任意地点・目標天体間差分ベクトル(dx, dy, dz)の -z 軸正規化(y 軸→x 軸回転)
dx' = dz sin γ + dx cos γ
dy ' = dy
dz ' = dz cos γ − dx sin γ
dx" = dx'
dy" = dy ' cos γ '− dz ' sin γ '
dz" = dy ' sin γ '+ dz ' cos γ '
⑤ 目標天体の⽅位角(δ)
任意地点・目標天体間差分ベクトル(dy")＜0



 dx"2 + dy"2 


δ = 360 − cos −1 
dx"
任意地点・目標天体間差分ベクトル(dy")≧0



 dx"2 + dy"2 


δ = cos −1 
dx"
⑥ 目標天体の位置座標
R = r sin β ：　r = 座標半径
x = O + R cos δ　：　O = 座標中心点
y = O + R sin δ
8/9
以上
9/9