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不確実なパラメータ を含む意思
論 説 不確実なパラメータを含む意思決定問題 横 山 雅 夫 i．はじめに 本癖究では、数理誹癒法を篤いた意思決定開題に繋する定式化の考え方と詩 箋方法のあり方について議論し、そのうち、不確実な状溌下における意思決定 に繋する確率的謙遜モデルに焦、転を当てて検討を行貌そして・確率的誹蚕モ デルにおける各種の評儀尺度について比較綾討し、撰失を生じるとしたときの 擾失額の類待纏を鰯約条件に換えたモデルを提案する。また、開題の最適解を、 線形誹醸開題である緩秘開題を繰蓼返し解くことによって求める手纏を瞬発す る。さらに、籐単な数値倒を示して、本講究のモデルの意義を醗確にする。 2．企業における意思決定問題 …般に、企業において行なわれる業務は、部課や部闘でなくその内容そのも のによって覧ると、大きく2種類に分けることができるであろう。すなわち、 憂欝麟窪の部分と、それに基づいて行なわれる設誌製造、営業、経遷などの 業務のうちの訪露以外の軒実際の業務蛋とでも響ぶべき部分である。もちろん、 ある仕事が誹藤なのかそれともそれ以外の実課の業務なのかどちらに羅すると 考えてもいい場合も多いので、このような分類は、ある程度便宜的なものに遍 ぎない。 言うまでもなく、企業における業務の大部分は計颪以外の実際の業務であ甑 新製品を開発するとか、設備機械を設計するとか、製品を作るとか、藤客を増 一雌一 不確実なパラメータを含む意思決定開題（横乗 雑交／ す努力をするとかいう実燦の行動が企業活動を支えている・しかしなが転間 欠的に行なわれる計醤の種事が、属じ資本、講じ努力でできるだ酵よい成果を 得るために不可欠な業務であるといえる。このような金業紅お捗る計癒の種類 は、企業の種類や矯模によって大きく異なるし、またその企業が麟設難にある のか、定常的な活動を行なっている時顯にあるのかによっても、当然異なった ものとなる．しかし、主なものを掲げると、たとえば次のように分類できるで あろう。 繕 予算に関する計錘 ○ 資金調達の計匿 どこから、どれ．ほど資金を調達するか。 ○予算醗分の訪露 新製品覇発、原料購入、設備拡張などに嬉する予算の醗分をどう決め るか。 （聾 設｛灘こ対’する計画 ○ 工場や醗送センターの建設計懸 どこに、いつ建設するか どのような矯模のものを建設するか ○ 生産設備の計醸 機械や装置の種類を侮にするか。 機械や装置の大きさと台数をどうするか。 機械や装羅のレイアウトをどう決めるか。 麟 生産に聴する爵函 ○ 生．産・在庫の計露 鰐を作る（注文する〉か。 生産量（発注量）をいくらにするか． いっ生産（発渋〉するか。 ○ 生産方法の計露 45一一 行酸教会譲葉 第6巻 第3号 外淫か内製か。 どの機嫌でどのような趨工をいつ行なうか． （ジョブ・ショップ・スケジュー夢ングなど〉 生産ラインをどう編成するか． （ライン・バランシングなど〉 ○ 取引先の誹颪 どの地域からまたはどの企業から原料や部畠をいくら買うか。 どの地域にまたはだ蕊に製贔の販売を行なうか． 麟 人事に関する計懸 ○ 灌罵の計薦 だれにどの仕事をさせるか。 職場や廷事、地建をどう変更するか。 これらの群雨は、お互いに深く驚達しあっているので、本来騒々の欝懸想題 を連立させた全体的な開題を考えな1ナればならないのであるが、そのような計 画が完全な形で行なわれることは実際には少ない・すなわち、鶴分的な連立し た問題を考えるか、あるいは、ある計麟が行なわれた後、その快走に基づいて 溺の誹趣が行なわれるという方式をとることが多い．これ’は、全体を連立させ た開題を考えようとしても矯模が大きすぎて擾いにくいとか、そのための構報 魑遜システムができていない（またはデータの入手が璽難）とかいう選象によ ることもあるが、それよりもむしろ、計癒の中に次のように郵定性的計醤」と でも呼ぶべきものが含まれているためであると患われる。 すなわち、謙諏は、客観的な濛昧で数学的な最遍化簡題で表すことができる ような淀量的計醐と、客観的な意婆で数式で表醸することが現在のところ 羅難、あるいは妥当でないと思われるヂ定盤的計愈に分けられる．たとえば、 葭者には、線形計画法を驚いた生産量を決める計画とか資樗の輸送計蚕などが あり、後者には、現場での経験によるスケジュー夢ングとか、主観的な人事異 動の計麟などがある。また後者は、工夫すれば定量的言麺藪こすること瀞潮羅…な …46一 不確実なノぐうメータを含む慧、悪漢建議1題（積出 雅夫｝ ものと、人事異動の誕薩のように本質的に数式イヒし得ないか、または聾ましく ないと考えられるものがある。 しかしながら、定性的計露はできる陵辱定量的群雨に置き換える工夫をする ことが望ましいと考えられる．なぜならぱ、定量的計露それ膚体は、単に多く の代替案から董つの案を選ぶという機械的で葬麟造的な無業であるけれども、 灘ンピュータの使絹麟罵籠であるため、よ吟多くのデータを篤いるとか、より 多くの計蚕を連立させて解くということが可籠となり・結果としてよりよい計 響を龍率的に求めることができるからである． このような意味で、各計灘に絶する定量的讃獲の方法について工夫しておく ことが必要であり』また各爵露の方法がよいものであれ，ば全体としても良い誹 霞を遠く立てることができるようになる。 そこで、定量的謙函の開題を取瞬搬うときの織題のむつかしさについて考察 しよう。 （聾 定式化について 一般に、開題を検討して式をたてることは、答を計算する必要がない場合に はそう鵬難なことではない。たとえば．考え得るすべての変数を挙げ、かつ正 確に現実を記述する式をたてることは、特定の簡題に繁しては十分努力すれば 舞うことができるかもしれない．しかしながら、そのような方斜で定式化され た開題は、答を計算することが園難か不可能となることが多い。 したがって、定式化の酸購で多少の逓蝦を行なった吟、あま瞬重要でない変 数や式は省略して、答の計算し得る形になるように工夫しな謬ればならない。 しかし，式を不矯意に簸酪絶すると、得た答が実現に醗えないものとなること があり、適当な定式紀を行なわな轄ればならない。ここの漸にむつかしさが存 在する。 （21解法について 定式化すると問題は往々にして葬線形闘数や，整数変数（多くの場合O一工 変数〉を含む形に定式化される．線形計響問題とは異な眠この種の開題では 一47一 行政縫会論集 第6巻 第3弩 変数の数とともに計算塁が急激に増し、答が求められないことが多いので、解 法について工夫しておぐ必要がある． 聡題の解としては、 瞬 最適解 辱 近似の程漫の控握できた近鯵解 〔c｝返鯵の程度の擢握できない返鱗解 の1頻に望ましいものであるといえる。しかし．ICl、麟、創の瀬に計算量は増す ので状瀧に癒じて使い分けする必要がある。 麟 不確実姓の考鰹 欝懸の時点では、編えば生産計癬に必要なデータである将来の需要量などの 値は歪確には分からない場合が多い，このようなとき意思決定をどう行なうか は、緋、②とは別の慧駿で難しいことである．すなわち、データに不確実性が 存産する場合には、それに対憩した意思決定のあり方と定式建の方法について 二￡失し、またそれに簸する解法を準備しなければならない．もちろん、定式麹 も解法も、データが確定的な値である場合よりも複雑なものとなることは避け られない。 本醗究では以下この種の問題に焦点をあてて議論する。 3．不確実なパラメータを有する問題 まず、以下のような通常の線形謙薩闇題費／を考えよう。 ［問題磐1 騒的関数（最大化〉： τ ∼鳳e潔 （董／ 凝約条件： 9︺ 、4κ≦ゴ 〕 κ≧唇 」 一48一 不確実なパラメータを含む意思決定開題（撥鏤 雅夫〉 本醗究では、典型的な問題として，この簡題Piに帰し、以下のような条件 が癩わった確率的詩嚢問題を考えるものとする。 （圭）右辺の纏（ベクトル）が確率変数でその離激的確率分布が賎知であり、 その分鵜が、 Pl」霞幕｛オ講＝／減、々竺＝王、 2、・申雫、ん で与えられているものとする。 ② 君の実現纏が編輯する前に変数κの…薬の要素のみの縫が決定され、 残鯵の要素の骸はβの実理鑓の報窮した後に淡定される． ここで、以下のような記号を改めて導入する。 論1確率変数βの実現値が甥明する前に決定しなければなならない変数 轟1確率変数βの第身番醤の実現値に対応する決定変数 緯1i、2、｛帝廟、κ） 騒的関数が類待纏である時には確率的計懸開題は以下のように定式化される． 瞬題P21 匿的関数（最大紀〉1 ε1Cf掴臼÷あバκ汁加ボ紛＋・一＋飯バ欺 ／31 講約条件： 簸＋編 @ ≦㌧ A｝論 樋漣 ≦め i ． 喜 事！ （4） 漁、澱｝ ＋護魂K≦識 4｝論≦轟 澱≧曇 κ＝（κ‘｝T、κげ、紛τ、一・、κKT／ぞ 1 さて、一般に確率分霧の与えられた不確実なパラメータを食む計露問題にお いては、蟻待縫を食めて、次のように種々の評鶴i尺度を繕いて総題を定式飽す 一一4§一 行政縫会論集 第6誉 第3号 ることが羅案されているli。 緯 元の確定的な問題の藻的縫数が葛灘の場合 ①・舞潤の期待値を最大化 ⑦科灘の期待纏と分散の重み盤き撫を最大髭 ② 元の確定的な懇題の暴的驚数が費絹の場合 ①費絹の期待纏を最小化 ②費電の鱗待籏に関する麟約のもと、費絹の分散を最小佐 ③費零Zと振定された総露盤t沁賢1費elγに対して、 PIZ≦γiを最大化訟s癖ダ蜜1（獲crl艶r飴麟 ④費鱗Zと振定され・た鬱憂αに対重して、至｝IZ≦δ1≧αとなるδを最ノ1塚ヒ （ずご簾ct玉璽e cr量ter量。雛》 121の②∼④は、費灘を麟潤に置き換えても霧様の考え方はできるものと思わ れる． 上記の考え方はいくつかの開題点を有する。まず、霧的幾数として蟻待魑の みを篤いるのは、計羅に蝿する失数の亀陰性をまったく考慮できないので不十 分であると思われる．また、分歎を購いるとしても、利潤の分数がどれほど小 さければよい計麟であるといえるのか窮確でないし、まして、簸待纏との一次 結合を作ればますます実諜的な意味が分からなくなる．また、③や④は、費驚 をある魑以下に押さえたいという考え方をうまく反鞍：するものといえるが、利 潤1こ置き換えて考えると、rやαをどう設定すれ、ばいいのか分からないし、ま た得られた解がどういう慧殊でよい計露といえるのか絹確でない。 そこで本醗究では、よ瞬適切な評懸尺度として、r撰失を生ずるとしたとき の損失額の期待短3の．と鰻を表す式鱗のような講約条稗を遼擁した以下のよう なモデルを提案する． ［講題P31 濤的縫数（最大化〉： Fcピ，丁謬ヂ垂＋あc1丁越÷か2バ凝÷些一＋蘇8｝τXK （5） 一5倉一 不確実なノくうメータを含む意思決定1雛1題（横霧 雑夫） 麟約条件： 擁簸｝ 十ん離 ≦威 ／ 1 砺 紬凝 ≦6判 i ㌦‘i1織 違κ、1 率A甑≦森 i 轟轟≦鱗茎 κ≧o i κ一（κ夢、κIT、κノ、．．．、κび 」 あ∫（む｛1丁論＋8置下給＋声2∫（ぺx奪＋e2丁凝／ ＋一・＋毎∫（c命τ為＋eノ濁K／≦β （7／ ただし、 〔一㌘ （γ＜（｝のとき〉 細㍉（セ。の猶 であるものとする。 4．計算手頗 麗数∫（碧は一次関数ではないので、瞬題2と異なって問題3はもはや線形 計嚢縫題ではないことに淀意しよう．このとき、これに関連する以下の定連が 戒む立つ． 健建il 関数 〔⊇（κ〉ニか王∫（c‘｝Tx、争＋εiT離〉ゆ2〆（ぺ為÷c2了κ2〉÷・一÷舞∫（ε尋丁κ｛汁 e∬κK／は凸縫数である。 蓬翻 一5董一 行政緩会隷集 第6巻 第3秀 9（め薫．f（バκ〉二戸書記湿，｝＋バ翫〉、ぎ盤バκとする． 任意のκ｝、濁2、O＜窪く歪なるαに対して、 α9（κ硅〉÷（董一α）ξ（ノ／一郎ακ｝＋（i一α）！1 罵α∫（ずκ主／＋（｝一α）、〆（♂ノ〉一バガ1αノ＋（1一α）κ2目 1α∫（バズ〉÷（i一α）∫（バκ2）一．君バガ＋（i一α）バ！1 盤α．〆（ず）＋（i一α）∫（ず）一君α〆率（i一α）ずi 関数．汽賛はyに鵜して凸閣数であるから、任童のノ、ノと§＜α＜iな るαに対して、 α∫（ノ）÷（玉一の∫（ず〉≧君αジ＋（i一α）｝摺 よって、関数2（x）2∫（バめは凸関数とな辱、撫縫数の趣である縫数 6（潔）は凸縫数である．（証明終嚇 凝約式繕の姦透雄凸幾数であるが、しかし、磯釣には表現しにくい区分線形 雛数であり、このままでは取り振い紅くい。 さて、 「一i（｝・＜〔｝のとき） ／∼（タ〉＝ 1 一 L 〔｝（ぎ≧（｝のとき〉 とするとき、以下の定理が歳誇立つ。 1定理21 任意の定数κ＊＝（惹き騨、覇軽、紛麟、… 、XK＊㍗㌃こ対して ￡声鼠飯。、｝丁κ＊、き＋c圭㌦＊誌〉（ぺ論＋ボκ監〉≦G（κ） 1護翻 （募 ノ∼（c、》τ』罵＊，｝＋島丁蓄ン㌦〉瓢一iのとき 跨（8、｝τκ寧、｝＋6丁κ＊鹸（＆，丁澱，き＋c1丁為／ 盤一（ごドκ｛垂＋6丁凝〉 ≦、ズ（ε，》τκ1｝＋e『醜） （2） ノ∼（ε、｝Tx＊｛、÷e董τκ率k〉＝〔｝のとき 52一 不確露なパラメータを食む意思決定開題（籏海 稚夫／ ノ鍾砺τ避‘、＋eヂ謁㍉頁eげ瓢｝＋e調xの 竺（｝≦∫（砺丁湿，、＋c調戯／ （護窮終鵜 以一1二の定蓬を篤いることにより、開題3の緩秘題題である線形計爾幾題P4 を以下のように搾ることができる．ただし、多2趨の定数を購いた場合の式を示 している。 臓題P41 馨的縫数（最大｛の二 ∼1ε｛｝㌦‘｝÷あご1τκ1＋声2ピκ2＋一・ゆKε㍑｛｛ （8〉 麟約条件： A｝論 七4濯玉 ≦鵡 1 遵脅κ脅 縁，κ2 ≦あ1 ヨ 順 苧 、 （観 護魯勘 も4濡K≦飯 擁。κ脅≦｛義 κ≧昏 κ＝（κ｛｝T、κモτ、κ2丁、一・、κの芋 ん Σ毎ノ∼（ご、圭τκ＊㍉｝＋ε着τノ㌧／（￠ド戯事＋cノみ／≦β をコエ 齢数槍｛｝丁泥＊2（謡÷むIT潔＊2装）（c産，丁￡，｝＋c藩〉≦β 春 々＝三 だ き Σ海霧（書〔きτx＊重㌔÷バκ＊魯k！（c｛き丁論＋c1丁轟）≦β 」 かコ 講約式の追擁された緩趣開題を次々に解いていくことを繰瞬返すことで問題 3の最適解を求める手頚を以下に示す．なお、本手頽の性質上、繰鞍返しは有 睡鞭軽で停止し、最適解に達する． 一53一 行敬社会強集 第6巻 第3号 1緩秘法を篤いた誹真手緩1 ＜ステップ1＞ノ1iとする． ＜ステップ2＞賜題P3から式！7／を除いた問題を解き、最適解を求め、これを κ＊∫とする．κ＊3が式鱒を満たせばκ＊まを問題3の最適解とし て終了。 ＜ステップ3＞κ麟を驚いた追簾舗約式を換えて問題4を作り、その最適解を 求める． ＜ステップ4＞プ業ノ÷玉とする． ＜ステップ5＞問題P4の最適解をκ幻とする、潔＊」が式／7！を満たせばκ栢を 問題3の最適解として終了． ＜ステップ6＞κ癒を驚いた遽簾舞約式を醗在の翼題4に簾えて新しい瞬題4 を作鯵ステップ4へ行く。 ところで、緩隷問題至〉4嚢体は、線形計悪闘題とはいうものの離散約分薦の 事象数κが大きけれ・ぱ、一般の問題P麟こ箆べてはるかに大綬摸な鶏題とな甑 改訂シンプレクス法に基づく流濡アルゴ琴ズムジ2』蛭では取り搬いにくくなるこ とがある。幸い問題4は麟約行翼に特徴のある構造を有するので、これを科漏 した羅t艶rの分麟手続撮などを篤いたアルゴ夢ズムを篤いることができる． 5．数値倒 数鐙鱗として、3つの生産地と2つの溝費地からなる生産・輸送計蚕糞題を 考えよう。以下に1隠題の前握等を示す。 ①生産品羅はi品種で、溝費地の需要量が表董のような確率分布に従う独立な 確率変数として予灘されているものとする． ⑫生産費鯖は5万円／t、販売懸路は欝万勝／tとし、輸送費罵は表2で与え られるものとする。 ③簸単のため生産地の生謹縫方に上限はないものとする． 一54一一 不確実なパラメータを含む慈1懲決定震題（穫鐵 羅夫〉 ＠生産は需要量が綱霧する薦に鴛われ、需要量が判明してから輸送・販売する。 ⑤需要量を越えて生産した製品は破棄されるものとする， 表玉 確率発奮 i需要量［tl 魏 2輪 蹴 魏 蹴 確率飯 〔》．2 〔妻．2 （｝．3 〔肇．2 〔｝．玉『 表2 輸送費濡紹／t／ 生産地i 生産地2 生産鍵3 溝費縫i 2§○§倉 22§書套 欝暮紛 港費地2 3暮暮鯨 2鱒倉奪 2§書癖舞 この問題の0（κ）の■嘱授のないときの牽ll潤の蟻待籠の最適魑1ま琵董§万韓、 関数G（めの籏は、44万溺となり、このとき生産地iと2と3でそれぞれ欝O t、欝頓、鎗毒tの生産が行なわれる．一方、ε（x／の上陸をβ罵蜷万需と 設定するときは、最適鰹は9器万再とな諺．生産地｝と3でそれぞれ欝§t、 王9｛鷺の生産が行なわれるという結果となる。 6．おわ毒ナに 緯 数理欝藤法を購いた意思決定襲題のモデル化と計算方法のあ鯵方につい て議論し、そのうち、不確実な状浸下における意思決定に麟する確率的 計麟モデルに焦点を当てて験討を行った、 轡 確率的計蚕モデルにおける評懸尺度について髭較綾詳し，撰失を生じる としたときの撰失額の期待纏を凝約条件に燃えるモデルを提案した、 （3／瞬題の最適解を、線形計爵問題である緩融聡題を繰り返し解くことによ って求める手懸を雛発した．また、簸単な数麺溺を示して本醗究のモデ ㎜ 3〔） ㎜一 行政社会論集 第6巻 第3箸 ルの意義を瞬確にした、， 参考文献 ［董］ 横海雅夫著ゴプラントの建設計露に離する議案」、博士譲文（東京工業大 学〉、（欝86｝ 121 横癖雅夫著：「線形計醸法∫、敏速大学教育振興会、（欝93｝ 131 今野浩著：「線形計麟法歪、軽科鼓連、（稔87〉 14］ 志水濤孝著：「システム最適免躍義3、コロナ縫，（難7韓 ［5］ L．s．Las齢ピて｝麺｝識認ゴ魏響磁拶廊r猛讐8卵漉ヂ縮s坤．蟻acM溝a盤，（董§簿 一56一