確率論 小テスト 第1回

確率論 小テスト 第１回
番号 氏名 1. 5 つのリング上に 0 から 9 の数字の書かれた鍵があり，リングを回転させて
適当に５桁の数字を合わせると開けることができる．以下の問いに答えよ．
(a) いま，どの数字に合わせればよいかわからない状況であるとする．可能
な５桁の数字は何通りあるか．
105 = 100, 000 通り
(b) ある人から，
「この５桁の数字には同じ数が 2 回現れることはない」と
教えてもらった．可能な数字は何通りあるか．
10 P5
= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30, 240 通り
(c) 上の情報に加えて，
「５桁の数字のうち３個は偶数，２個は奇数である」
という情報が得られた．可能な数字は何通りあるか．
5 C3
×5 C2 × 5! = 10 × 10 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 12, 000 通り
2. 図１に示すような東西と南北の直線状の道によって区切られた町がある．
(a) この町の A 地点から B 地点へ行くための経路は何種類あるか．
（解）
9 C4 = 126 通り
(b) A 地点から B 地点へ行く経路のうち C 地点を通らないで行く経路は何
種類あるか．
（解）
126 −3 C2 ×6 C3 = 126 − 60 = 66 通り
(c) A 地点から B 地点へ行く経路のうち C 地点と D 地点を通らないで行く
経路は何種類あるか．
（解）C または D を通過する経路は包除原理より，
3 C2
×6 C3 +7 C3 ×2 C1 −3 C2 ×4 C2 ×2 C1 = 94 通り
であることから，126 − 94 = 32 通り の経路が C も D も通らない．
B
D
C
A
図 1: 直線状の道で区切られた町
ただし，移動は常に最短経路を利用するものとする．すなわち，進める方向
は北↑または東→のみである．
3. NISSEKI という 7 つの文字をすべて用いるとき，つぎの総数を求めよ．
(a) 異なる順列の総数
（解）S と I が 2 つずつ入っているので，求める順列の総数は，
7!
= 1, 260 通り
2! × 2!
(b) 2 つの I が互いに隣り合わず かつ2 つの S がとなり合わない順列の総数
（解）2 つの I が隣り合うか 2 つの S が隣り合う順列は包除原理より，
6! 6!
+ − 5! = 600 通り
2! 2!
なので，求める順列の総数は，1260 − 600 = 660 通り である．
4. ある玩具店ではカードゲーム，オセロゲーム，囲碁の 3 種類のゲームを売っ
ている．８人の子供に一人１つずつ全部で８個ゲームを買って帰りたい．こ
れら３つのゲームの組み合せは何通りか．
（解）3 種類のゲームを一列にゲームごとに並べたとき，それぞれのゲーム
のかたまりを仕切るのに２つの仕切りが必要であることから，求める組み合
せは，
8+2 C2 =10 C2 = 45 通り
5. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
確率論 小テスト 第１回（E クラス)
番号 氏名 1. 5 つのリング上に 0 から 9 の数字の書かれた鍵があり，リングを回転させて
適当に５桁の数字を合わせると開けることができる．以下の問いに答えよ．
(a) いま，どの数字に合わせればよいかわからない状況であるとする．可能
な５桁の数字は何通りあるか．
105 = 100, 000 通り
(b) ある人から，
「この５桁の数字には同じ数が 2 回現れることはない」と
教えてもらった．可能な数字は何通りあるか．
10 P5
= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30, 240 通り
(c) 上の情報に加えて，
「５桁の数字のうち３個は偶数，２個は奇数である」
という情報が得られた．可能な数字は何通りあるか．
5 C3
×5 C2 × 5! = 10 × 10 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 12, 000 通り
2. 図１に示すような東西と南北の直線状の道によって区切られた町がある．
(a) この町の A 地点から B 地点へ行くための経路は何種類あるか．
（解）
9 C4 = 126 通り
(b) A 地点から B 地点へ行く経路のうち C 地点を通らないで行く経路は何
種類あるか．
（解）
126 −5 C2 ×4 C3 = 126 − 40 = 86 通り
(c) A 地点から B 地点へ行く経路のうち C 地点と D 地点を通らないで行く
経路は何種類あるか．
（解）C と D を同時に通過する経路は存在しないので，包除原理より，
C または D を通過する経路は
5 C2
×4 C3 +5 C4 ×4 C1 = 60 通り
であることから，126 − 60 = 66 通り の経路が C も D も通らない．
B
C
D
A
図 1: 直線状の道で区切られた町
ただし，移動は常に最短経路を利用するものとする．すなわち，進める方向
は北↑または東→のみである．
3. NISSEKI という 7 つの文字をすべて用いるとき，つぎの総数を求めよ．
(a) 異なる順列の総数
（解）S と I が 2 つずつ入っているので，求める順列の総数は，
7!
= 1, 260 通り
2! × 2!
(b) 2 つの I が互いに隣り合わず かつ2 つの S がとなり合わない順列の総数
（解）2 つの I が隣り合うか 2 つの S が隣り合う順列は包除原理より，
6! 6!
+ − 5! = 600 通り
2! 2!
なので，求める順列の総数は，1260 − 600 = 660 通り である．
4. ある玩具店ではカードゲーム，オセロゲーム，囲碁の 3 種類のゲームを売っ
ている．８人の子供に一人１つずつ全部で８個ゲームを買って帰りたい．こ
れら３つのゲームの組み合せは何通りか．
（解）3 種類のゲームを一列にゲームごとに並べたとき，それぞれのゲーム
のかたまりを仕切るのに２つの仕切りが必要であることから，求める組み合
せは，
8+2 C2 =10 C2 = 45 通り
5. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
確率論 小テスト 第２回 [3 限]
番号 氏名 1. 1 から 1000 までの番号のついた札から 1 枚取り出すとき，札の番号は 4 また
は 9 の倍数になっている確率を求めよ．(20 点)
1000 ÷ 4 = 250, 1000 ÷ 9 = 111 . . . 1, 1000 ÷ 36 = 27 . . . 28 より 250 + 111 −
334
27 = 334 これより，求める確率は，
.
1000
2. 6 つの面で構成されているサイコロがある．このサイコロの 1 の目の出る確
率が 1/3 でそれ以外の 2 から 6 までの目の出る確率が 2/15 である．このサ
イコロを振ったとき，つぎの確率をもとめよ．
(a) 偶数の目の出る確率．(10 点)
2
2
P {2, 4, 6} =
×3=
15
5
(b) 3 以下の目の出る確率．(10 点)
P {1, 2, 3} = P {1} + P {2, 3} =
1
2
3
+
×2= .
3 15
5
3. ある工場で生産される製品は３つの機械で生産されている．それぞれの機械
での生産量は 5:6:7 である．また，それぞれの機械で生産すると，それぞれ
7%, 5%, 2%の不良品を発生する．いま，この工場で生産された製品から不
良品が見つかった．最初の機械で生産された事後確率を計算せよ．(15 点)
ベイズの定理より，求める確率は，
P =
5×7
35
= .
5×7+6×5+7×2
79
4. ある走高飛びの選手は 10 回の試技のうち 3 回は高さ 1.5m のバーを超えられ
るという．バーを超えられる確率を 3/10 として，この選手が 3 回以内でこ
のバーを超えられる確率を求めよ．ただし，それぞれの試技の結果は互いに
独立であるとする．(15 点)
最初の３回ともバーを超えられない確率を 1 から引けばよいので，
(
7
P =1−
10
が求める確率である．
)3
=
657
1000
5. トランプのスペードのカード（全部で 13 枚）からランダムに 2 枚のカード
を選んでもらった．このカードの数の和が 8 であるという事実がわかった．
この 2 枚カードのうちどちらかが 3 以下のカードである条件付き確率を求め
よ．(15 点)
和が 9 である場合の２つのカードの組み合せは (1, 7), (2, 6), (3, 5) である．す
べての組み合せについて，いずれかの値が 3 以下であるので，求める確率は，
p=
3
=1
3
6. ある野球チームの選手の年棒は 100 万円単位で 500 万円から 5000 万円だと
する．それぞれの選手の正確な年棒は本人しか知らないが，年棒に関するう
わさによる年棒の推定値が 200 万円多くなる確率は 10%, 100 万円多くなる
確率は 20%, ちょうど同じ額である確率は 40%であり，逆に 100 万円少なく
なる確率は 20%で 200 万円少なくなる確率は 10%であるとする．ある中堅選
手の今年の年棒はうわさでは 4000 万円であった．この事実から，この選手の
年棒が 4100 万円以上である確率をベイズの定理を用いて計算せよ．(15 点)
ベイズの定理より，求める確率は，年棒が 4100 万円または 4200 万円である
確率であるから，
3
10 + 20
=
p=
10 + 20 + 40 + 20 + 10
10
である．ただし，ここでは事前確率はすべて等しいものと仮定している．
7. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
確率論 小テスト 第２回 [4 限]
番号 氏名 1. 1 から 1000 までの番号のついた札から 1 枚取り出すとき，札の番号は 9 また
は 6 の倍数になっている確率を求めよ．(20 点)
1000 ÷ 9 = 111 . . . 1, 1000 ÷ 6 = 166 . . . 4, 1000 ÷ 18 = 55 . . . 10 より 222
111
111 + 166 − 55 = 222 これより，求める確率は，
=
.
1000
500
2. 6 つの面で構成されているサイコロがある．このサイコロの 1 の目の出る確
率が 2/3 でそれ以外の 2 から 6 までの目の出る確率が 1/15 である．このサ
イコロを振ったとき，つぎの確率をもとめよ．
(a) 偶数の目の出る確率．(10 点)
1
1
P {2, 4, 6} =
×3=
15
5
(b) 3 以下の目の出る確率．(10 点)
P {1, 2, 3} = P {1} + P {2, 3} =
2
1
4
+
×2= .
3 15
5
3. ある工場で生産される製品は３つの機械で生産されている．それぞれの機械
での生産量は 5:6:7 である．また，それぞれの機械で生産すると，それぞれ
2%, 3%, 2%の不良品を発生する．いま，この工場で生産された製品から不
良品が見つかった．最初の機械で生産された事後確率を計算せよ．(15 点)
ベイズの定理より，求める確率は，
P =
5×2
5
= .
5×2+6×3+2×7
21
4. ある走高飛びの選手は 10 回の試技のうち 3 回は高さ 1.5m のバーを超えられ
るという．バーを超えられる確率を 3/10 として，この選手が 3 回以内でこ
のバーを超えられる確率を求めよ．ただし，それぞれの試技の結果は互いに
独立であるとする．(15 点)
最初の３回ともバーを超えられない確率を 1 から引けばよいので，
(
7
P =1−
10
が求める確率である．
)3
=
657
1000
5. トランプのスペードのカード（全部で 13 枚）からランダムに 2 枚のカード
を選んでもらった．このカードの数の和が 9 であるという事実がわかった．
この 2 枚カードのうちどちらかが 3 以下のカードである条件付き確率を求め
よ．(15 点)
和が 9 である場合の２つのカードの組み合せは (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5) であ
る．このうち，最初の 3 つがいずれかの値が 3 以下であるので，求める確
率は，
3
p=
4
6. ある野球チームの選手の年棒は 100 万円単位で 500 万円から 5000 万円だと
する．それぞれの選手の正確な年棒は本人しか知らないが，年棒に関するう
わさによる年棒の推定値が 200 万円多くなる確率は 10%, 100 万円多くなる
確率は 20%, ちょうど同じ額である確率は 40%であり，逆に 100 万円少なく
なる確率は 20%で 200 万円少なくなる確率は 10%であるとする．ある中堅選
手の今年の年棒はうわさでは 4000 万円であった．この事実から，この選手の
年棒が 4100 万円以上である確率をベイズの定理を用いて計算せよ．(15 点)
ベイズの定理より，求める確率は，年棒が 4100 万円または 4200 万円である
確率であるから，
10 + 20
3
p=
=
10 + 20 + 40 + 20 + 10
10
である．ただし，ここでは事前確率はすべて等しいものと仮定している．
7. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
確率論 小テスト 第２回（再履修クラス） 番号 氏名 1. 1 から 1000 までの番号のついた札から 1 枚取り出すとき，札の番号は 4 また
は 6 の倍数になっている確率を求めよ．(20 点)
1000 ÷ 4 = 250, 1000 ÷ 6 = 166 . . . 4, 1000 ÷ 12 = 83 . . . 4 より 250 + 166 −
333
83 = 333 これより，求める確率は，
.
1000
2. 6 つの面で構成されているサイコロがある．このサイコロの 1 の目の出る確
率が 3/4 でそれ以外の 2 から 6 までの目の出る確率が 1/20 である．このサ
イコロを振ったとき，つぎの確率をもとめよ．
(a) 偶数の目の出る確率．(10 点)
1
3
P {2, 4, 6} =
×3=
20
20
(b) 3 以下の目の出る確率．(10 点)
P {1, 2, 3} = P {1} + P {2, 3} =
3
1
17
+
×2= .
4 20
20
3. ある工場で生産される製品は３つの機械で生産されている．それぞれの機械
での生産量は 5:6:7 である．また，それぞれの機械で生産すると，それぞれ
7%, 3%, 5%の不良品を発生する．いま，この工場で生産された製品から不
良品が見つかった．最初の機械で生産された事後確率を計算せよ．(15 点)
ベイズの定理より，求める確率は，
P =
5×7
35
= .
5×7+6×3+7×5
88
4. ある走高飛びの選手は 10 回の試技のうち 3 回は高さ 1.5m のバーを超えられ
るという．バーを超えられる確率を 3/10 として，この選手が 3 回以内でこ
のバーを超えられる確率を求めよ．ただし，それぞれの試技の結果は互いに
独立であるとする．(15 点)
最初の３回ともバーを超えられない確率を 1 から引けばよいので，
(
7
P =1−
10
が求める確率である．
)3
=
657
1000
5. トランプのスペードのカード（全部で 13 枚）からランダムに 2 枚のカードを
選んでもらった．このカードの数の和が 9 であるという事実がわかった．こ
の 2 枚カードのうちどちらかが 3(5 から訂正) 以下のカードである条件付き
確率を求めよ．(15 点)
和が 9 である場合の２つのカードの組み合せは (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5) であ
る．このうち，最初の 3 つがいずれかの値が 3 以下であるので，求める確
率は，
3
p=
4
6. ある野球チームの選手の年棒は 100 万円単位で 500 万円から 5000 万円だと
する．それぞれの選手の正確な年棒は本人しか知らないが，年棒に関するう
わさによる年棒の推定値が 200 万円多くなる確率は 10%, 100 万円多くなる
確率は 20%, ちょうど同じ額である確率は 40%であり，逆に 100 万円少なく
なる確率は 20%で 200 万円少なくなる確率は 10%であるとする．ある中堅選
手の今年の年棒はうわさでは 4000 万円であった．この事実から，この選手の
年棒が 4100 万円以上である確率をベイズの定理を用いて計算せよ．(15 点)
ベイズの定理より，求める確率は，年棒が 4100 万円または 4200 万円である
確率であるから，
10 + 20
3
p=
=
10 + 20 + 40 + 20 + 10
10
である．ただし，ここでは事前確率はすべて等しいものと仮定している．
7. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
確率論 小テスト 第３回（3 限） 番号 氏名 1. サイコロの６つの面にそれぞれ 1, 3, 3, 5, 9, 10 が印刷されているとする．こ
のサイコロの各面の出る確率はすべて等しいとして，以下の問いに答えよ．
(a) それぞれの面の数を値としてとる確率変数を X とする．この確率変数
の分布関数 F (x) のグラフを書け (15 点)．
F(x)
6/6
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
(b) 確率変数 X の平均 E(X) を計算せよ (15 点)．
E(X) = 1 ·
1
2
1
1
1
1
31
+ 3 · + 5 · + 9 · + 10 · = (1 + 6 + 5 + 9 + 10) = .
6
6
6
6
6
6
6
(c) 確率変数 X の分散 V (X) を計算せよ (15 点)．
1
2
1
1
1
1
75
E(X 2 ) = 12 · +32 · +52 · +92 · +102 · = (1+18+25+81+100) = .
6
6
6
6
6
6
2
より，
V (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 =
(
31
75
−
2
6
)2
=
389
.
36
2. 0 から 2 までの連続的な値をとる確率変数 X の確率密度関数 f (x) は
{
f (x) =
2x/3 (0 ≤ x ≤ 1)
2/3 (1 ≤ x ≤ 2)
となっているとする．以下の問いに答えよ．
(a) f (x) が確率密度関数であることを よって確かめよ (15 点)．
∫
1
0
[
∫∞
−∞
∫ 2
2
2
2 x2
xdx +
dx =
3
3 2
1 3
f (x)dx = 1 を計算することに
]1
+
0
2 2 1 2
[x] = + = 1
3 1 3 3
(b) 確率変数 X の平均 E(X) を計算せよ (10 点)．
∫
1
E(X) =
0
[
∫ 2
2
2
2 x3
x·xdx+
xdx =
3
3 3
1 3
]1
[
2 x2
+
3 2
0
]2
=
1
2 1 2 3
11
· + · = .
3 3 3 2
9
(c) 確率変数 X の分散 V (X) を計算せよ (10 点)．
∫
1
2
E(X ) =
0
[
∫ 2
2 x4
2 2
2 2
x·x dx+
x dx =
3
3 4
1 3
]1
[
2 x3
+
3 3
0
]2
1
2 1 2 7
31
= · + · =
3 4 3 3
18
より，分散は，
(
11
31
V (X) = E(X ) − (E(X)) =
−
18
9
2
2
)2
=
37
162
3. 確率密度が以下の f (x) によって定義される確率分布の平均と分散を求めよ
(平均：10 点，分散：10 点)：
f (x) =


0


 3


8


(x < 0)
(2 − x)2 (0 ≤ x ≤ 2)
0
(x > 2)
まず，平均については，2 − x = t と置いて，
∫
3
3∫ 0 2
3∫ 2 2
2
E(X) =
(2 − x) xdx =
t (2 − t)(−dt) =
(2t − t3 )dt
8 2
8 0
0 8
[
]
(
)
4 2
3 2
1
3 2 3 t
t −
=
·8−4 = .
=
8 3
4 0 8 3
2
2
また，分散については，まず，二乗の平均を求める．x − 1 = t とおいて以下
のように計算する：
3∫ 1
3∫ 1
3
(2 − x)2 x2 dx =
(1 − t)2 (1 + t)2 dt =
(1 − t2 )2 dt
8 −1
8 −1
0 8
[
]1
3
2 3 t5
2
=
t− t +
=
8
3
5 −1 5
∫
E(X 2 ) =
2
( )2
この結果より，V (X) =
2
1
−
5
2
=
3
である．
20
4. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
確率論 小テスト 第３回（4 限） 番号 氏名 1. サイコロの６つの面にそれぞれ 1, 2, 3, 3, 7, 10 が印刷されているとする．こ
のサイコロの各面の出る確率はすべて等しいとして，以下の問いに答えよ．
(a) それぞれの面の数を値としてとる確率変数を X とする．この確率変数
の分布関数 F (x) のグラフを書け (15 点)．
F(x)
6/6
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
(b) 確率変数 X の平均 E(X) を計算せよ (15 点)．
1
1
2
1
1
1
26
13
E(X) = 1· +2· +3· +7· +10· = (1+2+6+7+10) =
= .
6
6
6
6
6
6
6
3
(c) 確率変数 X の分散 V (X) を計算せよ (15 点)．
1
1
2
1
1
1
172
E(X 2 ) = 12 · +22 · +32 · +72 · +102 · = (1+4+18+49+100) =
.
6
6
6
6
6
6
6
より，
(
172
13
V (X) = E(X ) − (E(X)) =
−
6
3
2
2
)2
=
89
.
9
2. 0 から 2 までの連続的な値をとる確率変数 X の確率密度関数 f (x) は
{
f (x) =
2/3
(0 ≤ x ≤ 1)
4/3 − 2x/3 (1 ≤ x ≤ 2)
となっているとする．以下の問いに答えよ．
(a) f (x) が確率密度関数であることを よって確かめよ (15 点)
∫
1
0
(
∫∞
−∞
f (x)dx = 1 を計算することに
[
)
∫ 2
2
4 2
2
4
2 x2
dx +
− x dx = [x]10 + x −
3
3 3
3
3
3 2
1
]2
=
1
2 4
+ −1=1
3 3
(b) 確率変数 X の平均 E(X) を計算せよ (10 点)．
∫
(
[
)
∫ 2
2
4 2
2 x2
E(X) =
xdx +
− x xdx =
3 3
3 2
0 3
1
1 2
2
7
= + ·3− ·7= .
3 3
9
9
1
]1
[
4 x2 2 x3
+
−
3 2
3 3
0
]2
1
(c) 確率変数 X の分散 V (X) を計算せよ (10 点)．
∫
(
[
)
∫ 2
2 2
4 2
2 x3
2
E(X ) =
· x dx +
− x x2 dx =
3 3
3 3
0 3
1
2 4
5
5
= + ·7− =
9 9
2
6
より，分散は，
1
V (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 =
( )2
7
5
−
6
9
=
]1
[
4 x3 2 x4
+
−
3 3
3 4
0
37
162
3. 確率密度が以下の f (x) によって定義される確率分布の平均と分散を求めよ
(平均：10 点，分散：10 点)：


0



(x < 0)
3 2
x (0 ≤ x ≤ 2)
 8


0
(x > 2)
f (x) = 
まず，平均については
∫
2
E(X) =
0
[
3 2
3 x4
x xdx =
8
8 4
]2
=
0
3
2
となる．これより，分散を求めるために二乗の平均を求めれば，
∫
2
2
E(X ) =
0
[
3 x5
3 2 2
x x dx =
8
8 5
]2
=
0
12
5
となるので，これより，
( )2
12
3
−
V (X) =
5
2
=
3
20
4. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
]2
1
確率論 小テスト 第３回（再履修クラス） 番号 氏名 1. サイコロの６つの面にそれぞれ 1, 2, 3, 3, 10, 10 が印刷されているとする．
このサイコロの各面の出る確率はすべて等しいとして，以下の問いに答えよ．
(a) それぞれの面の数を値としてとる確率変数を X とする．この確率変数
の分布関数 F (x) のグラフを書け (15 点)．
F(x)
6/6
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
(b) 確率変数 X の平均 E(X) を計算せよ (15 点)．
E(X) = 1 ·
1
1
2
2
1
29
+ 2 · + 3 · + 10 · + = (1 + 2 + 6 + 20) = .
6
6
6
6
6
6
(c) 確率変数 X の分散 V (X) を計算せよ (15 点)．
E(X 2 ) = 12 ·
1
1
2
2
1
223
+ 22 · + 32 · + 102 · + = (1 + 4 + 18 + 200) =
.
6
6
6
6
6
6
より，
V (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 =
(
223
29
−
6
6
)2
=
497
.
36
2. 0 から 2 までの連続的な値をとる確率変数 X の確率密度関数 f (x) は
{
f (x) =
2/3
(0 ≤ x ≤ 1)
4/3 − 2x/3 (1 ≤ x ≤ 2)
となっているとする．以下の問いに答えよ．
(a) f (x) が確率密度関数であることを よって確かめよ (15 点)．
∫
1
0
∫∞
−∞
[
∫ 2
2
2 x2
2
xdx +
dx =
3
3 2
1 3
f (x)dx = 1 を計算することに
]1
+
0
2 2 1 2
[x] = + = 1
3 1 3 3
(b) 確率変数 X の平均 E(X) を計算せよ (10 点)．
∫
(
[
)
∫ 2
2
4 2
2 x2
E(X) =
xdx +
− x xdx =
3 3
3 2
0 3
1
2
7
1 2
= + ·3− ·7= .
3 3
9
9
1
]1
[
4 x2 2 x3
+
−
3 2
3 3
0
]2
1
(c) 確率変数 X の分散 V (X) を計算せよ (10 点)．
[
)
(
∫ 2
4 2
2 x3
2 2
E(X ) =
· x dx +
− x x2 dx =
3 3
3 3
1
0 3
2 4
5
5
= + ·7− =
9 9
2
6
より，分散は，
∫
2
1
( )2
5
7
V (X) = E(X ) − (E(X)) = −
6
9
2
2
=
]1
[
4 x3 2 x4
+
−
3 3
3 4
0
37
162
3. 確率密度が以下の f (x) によって定義される確率分布の平均と分散を求めよ
(平均：10 点，分散：10 点)：


0



(x < 1)
3
f (x) =  (x − 1)2 (1 ≤ x ≤ 3)

8


0
(x > 3)
まず，平均については x − 1 = t とおいて，
∫
E(X) =
1
3
[
∫ 2
3
3 2
3 t4 t3
(x − 1)2 xdx =
t (t + 1)dt =
+
8
8 4
3
0 8
]2
=
0
5
2
となる．これより，分散を求めるために二乗の平均を求めれば，平均と同
様に，
∫
3
2
E(X ) =
1
[
∫ 2
3 t5
t4 t3
3 2
3
2 2
(x − 1) x dx =
t (t + 1)2 dx =
+2 +
8
8 5
4
3
0 8
]2
=
0
32
5
となるので，これより，
( )2
32
5
−
V (X) =
5
2
=
3
20
4. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
]2
1
確率論 小テスト 第４回【3 限】
番号 氏名 1. Y 先生は毎朝，時間があれば駅で電車が来るまでの間，読書をすることにし
た．電車は 15 分おきに来るとし，Y 先生は駅にランダムな時間に到着すると
する．電車が来るまでの時間が 10 分以上ある場合に限り読書をはじめ，10
分未満のときは，読書はしないこととする．読書をする場合，いつも読書時
間は 8 分間であるとする．以下の問い答えよ．
(a) 30 日間毎日通うと仮定したとき，読書の総時間数の平均値はいくらか．
(20 点)
読書ができる確率はそれぞれの日について 1/3 である．読書の出来る
日数の確率変数を X とおけば，X は 2 項分布に従うので，求める平均
値は，
1
E(8 · X) = 8E(X) = 8 · 30 · = 80 分
(1)
3
(b) このとき，読書の総時間数の標準偏差はいくらか．(10 点)
求める標準偏差は，
√
√
√
√
1 2
16 15
σ = V (8 · X) = 8 V (X) = 8 · 30 · · =
= 20.7 分 (2)
3 3
3
(c) ここに，読破するための総時間数が 60 分の本がある．この本を 30 日以
内に読み終えることのできる確率を求めよ．ただし，2 項分布は正規分
布で近似することができるとする．必要に応じて教科書 p. 213 の正規
分布の数表を用いよ． (10 点)
読書の総時間が 60 分未満だと読み終えることができない．従って，標
準正規分布で考えると，
60 − 80
= −0.966
20.7
(3)
よりも小さくなると，読了できない．従って，正規分布の表より，その
確率は，0.1685 であり，読了できる確率は，
1 − 0.1685 = 0.8315
である．
(4)
2. ある交差点では平均 3 日に 1 度事故が起こる．5 日連続で事故が起こらない
確率を計算せよ． ただし，1 日に起こる事故件数はポアッソン分布に従うも
のとし，e−1/3 = 0.717 とする．(20 点)
1 日に起こる事故件数を X とおけば，この確率変数はポアッソン分布に従う
ことから，
λk
p(k) = e−λ
(5)
k!
である．ある 1 日に事故が 1 回も起こらない確率は，
p(0) = e−1/3 = 0.717
(6)
である．これより，5 日間連続で事故が起こらない確率は，0.7175 = 0.189
である．
3. ある高等学校の 3 学年の生徒数は 300 名である．身長を測ったところ，平均
170cm, 標準偏差 8cm であった．
(a) 身長が 185cm を超える生徒の人数の上限をチェビシェフの不等式を用
いて見積もれ．(20 点)
チェビシェフの不等式より，
(
8
15
P (X ≥ 185) ≤ P (|X−170| ≥ 15) = P (|X−170| ≥ ·σ) ≤
8
15
)2
= 0.284
(7)
これより，上限は 0.284 × 300 = 85.3 人である．
(b) 生徒の身長の分布が正規分布に従うと仮定したとき，185cm を超える
生徒は大体何人くらいか．教科書 p. 213 の正規分布の表を用いて答え
よ．(20 点)
まず，標準正規分布に置き換えると，
185 − 170
= 1.875
8
(8)
以上になる確率を求めれば良い．これは表より，0.0307 であり，これよ
り，185cm を超える生徒の人数は大体 0.0307 × 300 = 9.21 名である．
4. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
確率論 小テスト 第４回【4 限】
番号 氏名 1. Y 先生は毎朝，時間があれば駅で電車が来るまでの間，読書をすることにし
た．電車は 15 分おきに来るとし，Y 先生は駅にランダムな時間に到着すると
する．電車が来るまでの時間が 10 分以上ある場合に限り読書をはじめ，10
分未満のときは，読書はしないこととする．読書をする場合，いつも読書時
間は 7 分間であるとする．以下の問い答えよ．
(a) 30 日間毎日通うと仮定したとき，読書の総時間数の平均値はいくらか．
(20 点)
読書ができる確率はそれぞれの日について 1/3 である．読書の出来る
日数の確率変数を X とおけば，X は 2 項分布に従うので，求める平均
値は，
1
E(7 · X) = 7E(X) = 7 · 30 · = 70 分
(1)
3
(b) このとき，読書の総時間数の標準偏差はいくらか．(10 点)
求める標準偏差は，
√
√
√
√
1 2
7 · 2 15
σ = V (7 · X) = 7 V (X) = 7· 30 · · =
= 18.07 分 (2)
3 3
3
(c) ここに，読破するための総時間数が 60 分の本がある．この本を 30 日以
内に読み終えることのできる確率を求めよ．ただし，2 項分布は正規分
布で近似することができるとする．必要に応じて教科書 p. 213 の正規
分布の数表を用いよ． (10 点)
読書の総時間が 60 分未満だと読み終えることができない．従って，標
準正規分布で考えると，
60 − 70
= −0.53
18.07
(3)
よりも小さくなると，読了できない．従って，正規分布の表より，その
確率は，0.2912 であり，読了できる確率は，
1 − 0.2912 = 0.7087
である．
(4)
2. ある交差点では平均 3 日に 1 度事故が起こる．連続する 2 日間にちょうど 1
回事故が起こる確率を計算せよ． ただし，1 日に起こる事故件数はポアッソ
ン分布に従うものとし，e−1/3 = 0.717 とする．(20 点)
1 日に起こる事故件数を X とおけば，この確率変数はポアッソン分布に従う
ことから，
λk
p(k) = e−λ
(5)
k!
である．ある 1 日に事故が 1 回も起こらない確率は，
p(0) = e−1/3 = 0.717
(6)
であり，ちょうど 1 回事故が起こる確率は，
p(1) =
(1/3)1 −1/3
e
= 0.717/3
1!
(7)
これより，2 日間にちょうど 1 回事故がる確率は，2 × 0.7172 /3 = 0.343 で
ある．
3. ある高等学校の 3 学年の生徒数は 300 名である．身長を測ったところ，平均
170cm, 標準偏差 8cm であった．
(a) 身長が 180cm を超える生徒の人数の上限をチェビシェフの不等式を用
いて見積もれ．(20 点)
チェビシェフの不等式より，
(
10
8
P (X ≥ 180) ≤ P (|X−170| ≥ 10) = P (|X−170| ≥ ·σ) ≤
8
10
)2
= 0.64
(8)
これより，上限は 0.64 × 300 = 192 人である．
(b) 生徒の身長の分布が正規分布に従うと仮定したとき，180cm を超える
生徒は大体何人くらいか．教科書 p. 213 の正規分布の表を用いて答え
よ．(20 点)
まず，標準正規分布に置き換えると，
180 − 170
= 1.25
8
(9)
以上になる確率を求めれば良い．これは表より，0.1056 であり，これよ
り，180cm を超える生徒の人数は大体 0.1056 × 300 = 31.68 名である．
4. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
確率論 小テスト 第４回（再履修クラス） 番号 氏名 1. Y 先生は毎朝，時間があれば駅で電車が来るまでの間，読書をすることにし
た．電車は 10 分おきに来るとし，Y 先生は駅にランダムな時間に到着する
とする．電車が来るまでの時間が 6 分以上ある場合に限り読書をはじめ，6
分未満のときは，読書はしないこととする．読書をする場合，いつも読書時
間は 5 分間であるとする．以下の問い答えよ．
(a) 30 日間毎日通うと仮定したとき，読書の総時間数の平均値はいくらか．
(15 点)
問題より，読書できる確率は p = 4/10 = 2/5 である．読書できる日数
の確率変数を X として，
E(X) = np = 30p = 30 · 2/5 = 12 日
(1)
したがって，読書の総時間数の期待値は E(5X) = 5E(X) = 5 · 12 = 60
分．
(b) このとき，読書の総時間数の標準偏差はいくらか．(15 点)
V (X) = npq より総時間数の標準偏差は， √
√
σ =
V (5X) = 5 V (X)
√
√
= 5 30 · 2/5 · 3/5 = 6 5 = 13.416 分 (2)
(3)
(c) ここに，読破するための総時間数が 100 分の本がある．この本を 60 日
以内に読み終えることのできる確率を求めよ．ただし，2 項分布は正規
分布で近似することができるとする．必要に応じて教科書 p. 213 の正
規分布の数表を用いよ．(10 点)
√
この場合，E(5X) = 5 · 60 · 2/5 = 120 時間であり，σ = V (5X) =
√
√
5 V (X) = 6 10 = 18.96 時間である．これより，
100 − 120
= −1.05
18.96
(4)
であるので，読書時間の総和が 100 時間未満になる確率は 0.1469 であ
る．従って，読了できる確率は 1 − 0.1469 = 0.8531 である．
2. ある交差点では平均 3 日に 1 度事故が起こる．5 日連続で事故が起こらない
確率を計算せよ． ただし，1 日に起こる事故件数はポアッソン分布に従うも
のとし，e−1/3 = 0.717 とする．(20 点)
ポアッソン分布に従うことから，ある 1 日に事故が起こらない確率は， f (0) =
λ0 −1/3
e
= 0.717 0!
(5)
である．これより，5 日連続で事故が起こらない確率は，0.7175 = 0.189 で
ある．
3. ある高等学校の 3 学年の生徒数は 300 名である．身長を測ったところ，平均
170cm, 標準偏差 6cm であった．
(a) 身長が 185cm を超える生徒の人数の上限をチェビシェフの不等式を用
いて見積もれ．(20 点)
まず，
185 − 170
= 2.5
(6)
m=
6
とおけば，チェビシェフの不等式より，
P {|X − 170| ≥ mσ} ≤
1
.
m2
(7)
よって，求める人数の上限は，
300 × m2 = 300/2.52 = 48 人.
(8)
(b) 生徒の身長の分布が正規分布に従うと仮定したとき，185cm を超える
生徒は大体何人くらいか．教科書 p. 213 の正規分布の表を用いて答え
よ．(20 点)
m = 2.5 より，正規分分布の表から，Φ(2.5) = 0.00621．したがって，求
める人数は，
300 × 0.00621 = 1.863
(9)
となり，大体 2 名程度存在することになる．
4. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
確率論 小テスト 第 5 回【3 限】
番号 氏名 1. ３枚のコイン A, B, C があり，それぞれを振る．A については，表が出たら
0, 裏が出たら 1 とし, B については表が出たら 1, 裏 が出たら 0 とする．C に
ついては表が出たら 2 とし，裏が出たら 1 とする．それぞれのコインの状態
から得られるこれらの数値を足し合わせたときの値を確率変数 X とおく．そ
れぞれのコインについて表の出る確率は 1/3，裏の出る確率が 2/3 とし，そ
れぞれのコインの出方は独立であるとする．以下の問いに答えよ．
(a) 確率変数 X の確率分布を表の形にまとめよ．(30 点)
X
1
2
3
4
p
4
27
12
27
9
27
2
27
(b) 確率変数 X の平均値 E(X) を計算せよ．(20 点)
A, B, C をそれぞれのコインに対応する確率変数であるとする．
E(A + B + C) = E(A) + E(B) + E(C) =
2 1
1
7
+ +1+ =
3 3
3
3
(c) 確率変数 X の分散 V (X) を計算せよ．(10 点)
A, B, C は独立なので，
V (A + B + C) = V (A) + V (B) + V (C) =
12 12 12
2
2
+
+
= 3× =
33 33 33
9
3
(d) 今，A と B に関する数値のみを足した確率変数を Y とおく．X と Y の
共分散 C(X, Y ) を計算せよ．(10 点)
C(A + B + C, A + B) = C(A + B, A + B) + C(A + B, C)
4
= V (A + B) = V (A) + V (B) =
9
2. 0 から 1 まで区間の数をランダムに値としてとる互いに独立な５つの確率変
数 X1 , X2 , . . . , X5 がある．このとき，確率変数 Z = X1 + X2 + · · · + X5 が
4 を超える確率を求めよ．中心極限定理によって，確率変数 Z は正規分布に
従うとしてよい．必要に応じて教科書の正規分布表を用いること．(10 点)
それぞれの確率変数 Xi は一様分布に従うことから，平均は，
∫
E(Xi ) =
であり，分散は
1
1
2
x2 dx =
1
3
0
∫
E(Xi2 )
xdx =
1
=
0
なので，
( )2
V (Xi ) =
1
1
−
3
2
=
1
12
5
5
であり，V (Z) =
である．これより，4
2
12
を超えるには，標準正規分布の値が
これより，Z の平均は，E(Z) =
4 − 5/2
√
=
5/12
3√
15 = 2.355
5
を超えればよい．標準偏差の表から，求める確率は，0.939 % である．
3. まともなサイコロ（各 6 面が確率 1/6 ずつ出るサイコロ）を 1000 回投げた
とき，1 の目が 150 回 以下しかでない確率を求めよ．2 項分布を正規分布で
近似せよ．ただし，正規分布については教科書の正規分布表を用いること．
(20 点)
平均と分散は確率変数を X とおいて，
E(X) =
1000
5000
, V (X) =
6
36
なので，150 回以下というのは，標準正規分布に置き換えれば，
150 − 1000/6
√
5000/36
=
√
2 = −1.4142
以下になることと同値であるので，求める確率は 7.93% となる．
4. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
確率論 小テスト 第 5 回【4 限】
番号 氏名 1. ３枚のコイン A, B, C があり，それぞれを振る．A については，表が出たら
0, 裏が出たら 1 とし, B については表が出たら 1, 裏 が出たら 0 とする．C に
ついては表が出たら 2 とし，裏が出たら 1 とする．それぞれのコインの状態
から得られるこれらの数値を足し合わせたときの値を確率変数 X とおく．そ
れぞれのコインについて表の出る確率は 3/4，裏の出る確率が 1/4 とし，そ
れぞれのコインの出方は独立であるとする．以下の問いに答えよ．
(a) 確率変数 X の確率分布を表の形にまとめよ．(30 点)
X
1
2
3
4
p
3
64
19
64
33
64
9
64
(b) 確率変数 X の平均値 E(X) を計算せよ．(20 点)
A, B, C をそれぞれのコインに対応する確率変数であるとする．
E(A + B + C) = E(A) + E(B) + E(C) =
1 3
3
11
+ +1+ =
4 4
4
4
(c) 確率変数 X の分散 V (X) を計算せよ．(10 点)
A, B, C は独立なので，
V (A + B + C) = V (A) + V (B) + V (C) =
13 13 13
3
9
+
+
= 3×
=
44 44 44
16
16
(d) 今，A と B に関する数値のみを足した確率変数を Y とおく．X と Y の
共分散 C(X, Y ) を計算せよ．(10 点)
C(A + B + C, A + B) = C(A + B, A + B) + C(A + B, C)
3
= V (A + B) = V (A) + V (B) =
8
2. 0 から 1 まで区間の数をランダムに値としてとる互いに独立な５つの確率変
数 X1 , X2 , . . . , X5 がある．このとき，確率変数 Z = X1 + X2 + · · · + X5 が
4 を超える確率を求めよ．中心極限定理によって，確率変数 Z は正規分布に
従うとしてよい．必要に応じて教科書の正規分布表を用いること．(10 点)
それぞれの確率変数 Xi は一様分布に従うことから，平均は，
∫
E(Xi ) =
であり，分散は
1
1
2
x2 dx =
1
3
0
∫
E(Xi2 )
xdx =
1
=
0
なので，
( )2
V (Xi ) =
1
1
−
3
2
=
1
12
5
5
であり，V (Z) =
である．これより，4
2
12
を超えるには，標準正規分布の値が
これより，Z の平均は，E(Z) =
4 − 5/2
√
=
5/12
3√
15 = 2.355
5
を超えればよい．標準偏差の表から，求める確率は，0.939 % である．
3. まともなサイコロ（各 6 面が確率 1/6 ずつ出るサイコロ）を 1200 回投げた
とき，1 の目が 220 回以上でる確率を求めよ．2 項分布を正規分布で近似せ
よ．ただし，正規分布については教科書の正規分布表を用いること．(20 点)
平均と分散は確率変数を X とおいて，
E(X) = 200, V (X) =
1000
6
なので，220 回以上というのは，標準正規分布に置き換えれば，
220 − 200
√
1000/6
=
2√
15 = 1.55
5
以上になることと同値であるので，求める確率は 6.06% となる．
4. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．
確率論 小テスト 第 5 回【再履修】
番号 氏名 1. ３枚のコイン A, B, C があり，それぞれを振る．A については，表が出たら
0, 裏が出たら 1 とし, B については表が出たら 1, 裏 が出たら 0 とする．C に
ついては表が出たら 2 とし，裏が出たら 1 とする．それぞれのコインの状態
から得られるこれらの数値を足し合わせたときの値を確率変数 X とおく．そ
れぞれのコインについて表の出る確率は 3/4，裏の出る確率が 1/4 とし，そ
れぞれのコインの出方は独立であるとする．以下の問いに答えよ．
(a) 確率変数 X の確率分布を表の形にまとめよ．(30 点)
X
1
2
3
4
p
3
64
19
64
33
64
9
64
(b) 確率変数 X の平均値 E(X) を計算せよ．(20 点)
A, B, C をそれぞれのコインに対応する確率変数であるとする．
E(A + B + C) = E(A) + E(B) + E(C) =
1 3
3
11
+ +1+ =
4 4
4
4
(c) 確率変数 X の分散 V (X) を計算せよ．(10 点)
A, B, C は独立なので，
V (A + B + C) = V (A) + V (B) + V (C) =
13 13 13
3
9
+
+
= 3×
=
44 44 44
16
16
(d) 今，A と B に関する数値のみを足した確率変数を Y とおく．X と Y の
共分散 C(X, Y ) を計算せよ．(10 点)
C(A + B + C, A + B) = C(A + B, A + B) + C(A + B, C)
3
= V (A + B) = V (A) + V (B) =
8
2. 0 から 1 まで区間の数をランダムに値としてとる互いに独立な５つの確率変
数 X1 , X2 , . . . , X5 がある．このとき，確率変数 Z = X1 + X2 + · · · + X5 が
4 を超える確率を求めよ．中心極限定理によって，確率変数 Z は正規分布に
従うとしてよい．必要に応じて教科書の正規分布表を用いること．(10 点)
それぞれの確率変数 Xi は一様分布に従うことから，平均は，
∫
E(Xi ) =
であり，分散は
1
1
2
x2 dx =
1
3
0
∫
E(Xi2 )
xdx =
1
=
0
なので，
( )2
V (Xi ) =
1
1
−
3
2
=
1
12
5
5
であり，V (Z) =
である．これより，4
2
12
を超えるには，標準正規分布の値が
これより，Z の平均は，E(Z) =
4 − 5/2
√
=
5/12
3√
15 = 2.355
5
を超えればよい．標準偏差の表から，求める確率は，0.939 % である．
3. まともなサイコロ（各 6 面が確率 1/6 ずつ出るサイコロ）を 1200 回投げた
とき，1 の目が 220 回以上でる確率を求めよ．2 項分布を正規分布で近似せ
よ．ただし，正規分布については教科書の正規分布表を用いること．(20 点)
平均と分散は確率変数を X とおいて，
E(X) = 200, V (X) =
1000
6
なので，220 回以上というのは，標準正規分布に置き換えれば，
220 − 200
√
1000/6
=
2√
15 = 1.55
5
以上になることと同値であるので，求める確率は 6.06% となる．
4. 授業について何か気がついたことがあったら，自由に書いてください．内容
でも授業の形式でもなんでも結構です（これは点数外です）．