幾何的確率(pdfファイル)

幾何 的確率
幾何的確率
目次
問題１
つぎの確率を考察せよ。
（１）長さａの線分ＡＢ上に２点Ｐ，Ｑを互いに独立にとるとき、
距離ＰＱが長さｂ（＜ａ）以下になる確率。
（ ２ ） ｘ １＋ ｘ ２＋ ｘ ３＝ ａ （ ｘ １＞ ０ ， ｘ ２＞ ０ ， ｘ ３＞ ０ ， ａ ＞ ０ ） の と き 、
長 さ ｘ １ ,ｘ ２ ,ｘ ３ で 三 角 形 を 構 成 す る 確 率 。
（３）無限の平面上に任意の３つの点をとる。この３つの点が
鈍角三角形の頂点となる確率。
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幾何 的確率
問題１
（１）の解
ａ
Ａ
Ｐ
Ｑ
Ｂ
ＡＰをｘ、ＡＱをｙとする。
点Ｐ，Ｑが自由に動き得る範囲は、
０≦ｘ≦ａ，０≦ｙ≦ａ
で、平面で考えると、その面積は、
ａ２
となる。しかし、距離ＰＱがｂ以下という条件があるので、
点Ｐ，Ｑが動き得る範囲は、
｜ｘ－ｙ｜≦ｂ
となり、平面で考えると、その面積は、
ａ ２－ （ ａ － ｂ ） ２＝ ｂ （ ２ ａ － ｂ ）
となる。したがって、求める確率は、
①
となる。
y
a
b
x
b
a
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幾何 的確率
（２）の解
三 角 形 の 構 成 条 件 ： ｘ １＋ ｘ ２＞ ｘ ３、 ｘ ２＋ ｘ ３＞ ｘ １、 ｘ ３＋ ｘ １＞ ｘ ２
より
ｘ ３＜ ａ ／ ２ ， ｘ １＜ ａ ／ ２ ， ｘ ２＜ ａ ／ ２
を得る。なぜなら、
ｘ １＋ ｘ ２＞ ｘ ３
ｘ １＋ ｘ ２＋ ｘ ３＞ ２ ｘ ３
ａ＞２ｘ３
ｘ ３＜ ａ ／ ２
他も同様。
この範囲は下図の赤い線で囲まれた正三角形の領域になる。したがって、求める
確率は、②
となる。
x3
a
x 1 +x 2 +x 3 =aの 平 面
x2
a
a
x1
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幾何 的確率
別解
高さがａの正三角形を考える。この正三角形の内部に点Ｐをとり、この点から
各辺に垂線をおろし交点をＡ，Ｂ，Ｃとすると、
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＝③
と な る 。 い ま 、 ｘ １と Ｐ Ａ 、 ｘ ２と Ｐ Ｂ 、 ｘ ３と Ｐ Ｃ を 対 応 さ せ る と 、
三 角 形 の 構 成 条 件 、 ｘ １＋ ｘ ２＞ ｘ ３は 、 Ｐ Ｃ ＜ ａ ／ ２ と な る 。
B
A
P
C
なぜなら、
ＰＡ＋ＰＢ＞ＰＣ、
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＞２ＰＣ、
ａ＞２ＰＣ
より、明らか。
同 様 に 、 ｘ ２＋ ｘ ３＞ ｘ １は 、 Ｐ Ａ ＜ ａ ／ ２ 、
ｘ ３＋ ｘ １＞ ｘ ２は 、 Ｐ Ｂ ＜ ａ ／ ２
となる。すなわち、高さａの正三角形の内部のうち、
ＰＡ＜ａ／２，ＰＢ＜ａ／２，ＰＣ＜ａ／２
の範囲が三角形を構成する条件に対応する。
この範囲は高さａの正三角形の面積の②
になる。
したがって、求める確率は、②
となる。
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幾何 的確率
（３）の解
３つの点が一直線上にある確率は、０と仮定する。
三角形の最大の辺をＡＢとする。辺ＡＢ上の三角形のある側に半円ＡＦＢを書く。
ま た 、 Ａ ,Ｂ を 中 心 、 Ａ Ｂ 、 Ｂ Ａ を 半 径 と し て 交 わ る 点 を Ｃ と し 、 弧 Ｂ Ｄ Ｃ 、 弧 Ａ
ＥＣを書く。
すると、三角形の頂点がＡＢＤＣＥの外側にはないことは明らか。
そして、頂点が半円ＡＦＢの中にあるときは、④
、半円の外にある
ときは、⑤
となる。
C
E
D
F
A
B
したがって、求める確率＝半円ＡＦＢの面積／ＡＢＤＣＥの面積
ＡＢ＝２ａとすると、
半 円 Ａ Ｆ Ｂ の 面 積 ＝ π ａ ２／ ２
ＡＢＤＣＥの面積＝⑥
３π
求 め る 確 率 ＝ -----------８π－６√３
＝０．６３９…
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となる。