数学ⅠAハイレベルコース 第7回 確率

数学ⅠＡハイレベルコース 第７回
確率
１
あるゲームで A が B に勝つ確率は常に一定で 2 とする。 A 、B がゲームを
3
し、先に 3 ゲーム勝った方を優勝とする。このとき、 3 ゲーム目で優勝が決
まる確率は
ア
である。 4 ゲーム目までして A が優勝する確率は
イ
である。また、5 ゲーム目までして A が優勝する確率は
ウ
で
ある。ただし、ゲームでは必ず勝負がつくものとする。
２
5 個の答えの中から 1 個を選ぶ問題が 13 題ある。これを無作為すなわちデ
タラメに答えるとき、正解が n 個得られる確率を pn (0 ≦ n ≦13) とする。
このとき、 pn が最大となる n の値を求めよ。
３
かなりの段数のある石段があり、図のように
A は下から 2 段目、 B は最下段にいる。 A は毎
8
A
7
1
1
6
回確率 で1 段、確率 で 2 段登り、B は毎回確
B
5
2
2
4
3
2
率 1 で1 段、確率 2 で 2 段登る。2 人は同時に登
1
3
3
り始めた。
(１) A 、B それぞれが 4 回登ったとき、ともに 7 段目にいる確率を求めよ。
(２) 4 回登ったとき、 A が X 段目， B が Y 段目にいるとする。Y - X の
期待値を求めよ．
数学ⅠA ハイレベルコース チェックテスト 第７回
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【解答】
１
3 ゲーム目に優勝が決まるためには、A または B が続けて 3 回勝つことが
条件であるから，求める確率は
( 32 ) + ( 13 ) = 13
3
3
…(ア)
また、 4 ゲーム目に A が優勝するには、 3 ゲーム目までに A が 2 勝1 敗で
あり、 4 ゲーム目で A が勝つことが条件なので、求める確率は
2
2 1 ´2 = 8
…(イ)
3 C2
3 3 3 27
同様に、5 ゲーム目に A が優勝するには、上と同様に考えると、求める確
率は
2
2
2 1 ´ 2 = 16 …(ウ)
4 C2
3 3
3 81
( )( )
( )( )
２
各問につき正解が得られる確率は 1 であるから
5
n
13 - n
13 - n
13!
(0 ≦ n ≦13)
pn = 13 Cn 1 4
=
×4
5 5
n !(13 - n)! 513
\ pn +1
( )( )
= C (1 ) ( 4 )
5
5
n +1
13
n +1
12 - n
=
12 - n
13!
× 4 13 (0 ≦ n ≦12)
(n + 1)!(12 - n)! 5
よって、 0 ≦ n ≦12 のとき
pn +1
= 13 - n
pn
4(n + 1)
p
pn +1＞ pn Û n +1 ＞ 1 より 13 - n ＞1
\ n ＜1.8
pn
4(n + 1)
p
pn +1＜ pn Û n +1 ＜1 より 13 - n ＜1
\ n ＞1.8
pn
4(n + 1)
\ p1＜ p2＞ p3＞ p4＞  ＞ p13
ゆえに、 pn が最大になるのは n = 2 のとき
３
A 君が 1 段登る事象を A1 、 2 段登る事象を A2 とし、 B 君が 1 段登る事象
を B1 、 2 段登る事象を B2 とする。
(１) A 君が 4 回登って 7 段目にくるのは、 A1 が 3 回、 A2 が1 回起こるこ
とであるから、この確率は
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( )( )
3
C3 1 1 = 1
2 2
4
B 君が 4 回登って 7 段目にくるのは、 B1 が 1 回、 B2 が 3 回起こるこ
とであるから、この確率は
3
1 2 = 32
4 C1
3 3
81
よって、 A 、 B がともに 7 段目にいる確率は
1 ´ 32 = 8
4 81 81
X = 6 、7 、8 、9 、10 であり、 A1 、 A2 の回数は、表のようになる。
4
( )( )
(２)
X
6
7
8
9
A1
4
3
2
1
10
0
0
A2
0
1
2
3
4
したがって、それぞれの確率は次のようになる。
X
確
6
7
8
9 10
率 1 4 6 4 1
16 16 16 16 16
よって、 E ( X ) = 6 ´ 1 + 7 ´ 4 + 8 ´ 6 + 9 ´ 4 +10 ´ 1 = 8
16
16
16
16
16
同様にして、 Y = 4 、5 、6 、7 、8 の確率は
Y
確
4 5 6 7 8
8 24 32 16
率 1
81 81 81 81 81
よって、 E (Y ) = 4 ´ 1 + 5 ´ 8 + 6 ´ 24 +7 ´ 32 + 8 ´ 16 = 20
81
81
81
81
81 3
したがって、 E (Y - X ) = E (Y ) - E ( X ) = - 4
3
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