指数関数，対数関数（pp.17-19） 2007/10/9 1. 指数法則 正の数 a, b

指数関数，対数関数（pp.17-19）
2007/10/9
1. 指数法則
正の数 a, b，および実数 x に対して次の関係が成り立つ．
(1) ax · ay = ax+y
y
(2) (ax ) = axy
(3) (ab)x = ax bx
関連する公式
(4) a0 = 1
(5) a−1 = a1
√
1
(6) a n = n a （n は自然数）
2. 指数関数 y = ax (a > 0, a 6= 1)
例1
x
a=2
−3
−2
1
8
x
y=2
−1
1
4
1
2
0
1
2
3
1
2
4
8
(1) a > 1 のとき，
(i) 単調増加 (ii) x = 0 のとき y = 1
例2
a=
y=
(iii) lim y = +∞, lim y = 0
x→+∞
x
¡ 1 ¢x
2
−3
8
−2
4
−1
2
0
1
2
3
1
1
2
1
4
1
8
(2) 0 < a < 1 のとき，
(i) 単調減少 (ii) x = 0 のとき y = 1
(iii) lim y = 0, lim y = +∞
x→+∞
3. 対数
3.1 対数の定義
y = ax ⇔ x = loga y
例
a0 = 1 ⇔ loga 1 = 0
a1 = a ⇔ loga a = 1
対数 loga A において，a を底，A を真数という．
底の条件
a > 0, a 6= 1
真数条件 A > 0
問題
x→−∞
1
2
定義を用いて次の値を求めよ．
(1) log2 8
√
(2) log3 3 3
(3) 2log2 5
1
x→−∞
3.2 対数の公式
底の条件，真数条件がともに満たされるとき，
真数の積は対数の和
loga AB = loga A + loga B
(1)
A
= loga A − loga B
B
(2)
真数の商は対数の差
loga
真数の n 乗は対数の n 倍
loga An = n loga A
(3)
底の変換公式
loga A =
logb A
logb a
(4)
4. 対数関数 y = loga x
真数条件より，x > 0 である．
例
a=2
x
y = log2 x
0
1
8
1
4
1
2
1
2
4
8
−∞
−3
−2
−1
0
1
2
3
定義より対数関数 y = loga x は指数関数 y = ax の逆関数である．
(1) a > 1 のとき，
(i) 単調増加 (ii) x = 1 のとき y = 0
(2) 0 < a < 1 のとき，
(i) 単調減少 (2) x = 1 のとき y = 0
(iii) lim y = −∞, lim y = +∞
x→+0
x→+∞
(iii) lim y = +∞, lim y = −∞
x→+0
x→+∞
証明[(1), (2), (3), (4) の証明]
A = ap , B = aq とする．
対数の定義より，p = loga A, q = loga B である．
(1) 指数法則 ap+q = ap aq = AB より，定義を用いて，p + q = loga AB ．
したがって，loga AB = loga A + loga B ．
¡A¢
p
A
(2) 指数法則 ap−q = aaq = B
より，定義を用いて，p − q = loga B
．
¡A¢
したがって，loga B = loga A − loga B ．
(3) 指数法則 apn = (ap )n = An より，定義を用いて，pn = loga An ．
したがって，loga An = n loga A.
(4) A = ap の両辺に底を b とする対数をとる: logb A = logb ap = p logb a．
したがって，
logb A
logb a
講義資料は下記サイトの「Courses 2007」にあります．
http://www1.doshisha.ac.jp/˜kmiyazaw/
p = loga A =
2