円柱・円錐と球

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円柱・円錐と球
小学校からおなじみの円柱・円錐と球。この３つの立体図形に秘められた関係があるのをご存知です
か？
次の図のように，半径 r，高さ 2 r の３種類の立体図形を考えてみましょう。
そしてそれぞれの図形の体積を考えてみます。
図形
円錐
球
円柱
１
２
３
体積
比
３種類の図形の体積の比は見事に １：２：３ となっていますね。見方を変えれば円錐と球を合わ
せれば，円柱の体積になるともいえます。
今度は表面積を考えてみましょう。球の表面積はおな
じみですが，円錐と円柱の面積は少し面倒です。
まずは円柱の表面積を求めてみましょう。円柱は側面
積と上下の２つに円の面積を足せばよいので，
Ｓ＝2r×2π r＋2×π r 2
＝4π r 2＋2π r 2
＝6π r 2
次に円錐の表面積を考えます。円錐の母線の長さは，三平方の
r ですから，
定理より
2
r×2πr＋πr
Ｓ＝1/2×
2
＝（
＋1）πr
図形
表面積
（
円錐
2
＋1）πr
比
結局３種類の表面積の比は
はなりませんでした。しかし，この
：２：３
球
4πr 2
円柱
6π r 2
２
３
となり，残念ながら体積のときのようなきれいな値に
という値，どこかでお目にかかっていませんか？
黄金比の値なのです。こんなところにも黄金比の値が顔をのぞかせていたのですね。
そうです，