lim lim lim lim lim lim lim

７．数学における最も美しい公式といわれているオイラーの公式
①の公式で x に ix を代入する
eix  cos x  i sin x
②と③を代入すると
Pr .) x  a  b
e e
ix
i a b 
 e e   cos a  i sin a  cos b  i sin b 
ia ib
 cos a cos b  i cos a sin b  i sin a cos b  sin a sin b
  cos a cos b  sin a sin b   i  sin a cos b  cos a sin b 
 cos  a  b   i sin  a  b 
 cos x  i sin x
となる。この結果に x   を代入すると
ei  1
1  ex
を数列に展開してみよう。
lim
x
x 0
練習７
ex  1 
1
1
1
1
x  x 2  x3  x 4 
1!
2!
3!
4!
より
1
1
1
 1

1  1  x  x 2  x3  x 4   
1 e
1!
2!
3!
4!

 
x
x
1
1
1
 x  x 2  x3  x 4  
2!
3!
4!

x
1
1
1
 1  x  x 2  x 3  
2!
3!
4!
x
ロピタルの定理による別解
f  x
f ' x
 lim
より
lim
x 0 g  x 
x 0 g '  x 
よって極限値は
1  ex
 1
lim
x
x 0
1  ex  '

1  ex
e x


 1
lim
lim
lim
x
x'
1
x 0
x 0
x 0
- 金岡
利宏-