e jx = cos x + j sin x

信号理論基礎（後半）
担当： 岩橋政宏 （電気1棟510）
期末試験には
どんな問題が
出るのか？
配布資料をダウンロードしよう
http://tech.nagaokaut.ac.jp/wordpress/
4章 フーリエ積分及び連続スペクトル
5章 特殊関数のフーリエ変換
6章 線形システムへの応用
7章 通信理論への応用
問題をノートに写す
解答をノートに書く
(1)
単位，取れ
そうかな？
問題をノートに写す
解答をノートに書く
問題 4.10 (p.94)
(2)
 1, | t |  d / 2
f (t )  
 0, | t |  d / 2
F ( ) 
幅d
d / 2
0
d /2



f (t )e  j t dt
(2)'
t
結果を
t は変数 (a variable)
d は定数 (a given constant)
ポイントを
ノートに書いておこう
ヒント 1
sinc 関数とは？
sin x
sinc x 
x
f (t ) を
を描け
f (t )
高さ 1
問題 4.10 (p.94)
sinc
d
2
に代入せよ
で表せ
このあと，ヒントを２つをきいて，５分で解くこと
ヒント 2
三角関数と 複素数の 関係
y=sinc x
覚えておくこと！
0
2π
x
覚えておくこと！
e jx = cos x + j sin x
Eulerの公式
y=sin x
分子は
sin x
0
2π
x
y=x
分母は
x
sin x 
e jx  e  jx
2j
ノートに書いておこう
0
2π
x
教科書 p.14
式(1.50)～(1.52)
ヒント 2
自力で解いて
下さい・５分
導出法
Eulerの公式は？
差は？
ejx
2ｊ で割る
 1, | t |  d / 2
f (t )  
 0, | t |  d / 2
e+jx = cos x + j sin x
ｘ を -x にすると？
e-jx = cos x - j sin x
e-jx
-
=
F ( ) 
2j sin x
e jx  e  jx
2j

問題 4.10 (p.94)
sin x



のとき
f (t )e  j t dt
sinc
また、結果を
問題4.10 の解答
を計算せよ
d
で表せ
2
MATLAB
clear all; close all;
N =2^10; n =1:N; Wd=8;
f(t)
2
幅d
 1, | t |  d / 2
f (t )  
 0, | t |  d / 2
高さ 1
d / 2
0
t
d /2
1
2
高さ 1
0
-4
0
-2
0
2
4
ﾌｰﾘｪ変換
1
ω
d 
F ( )  d  sinc

 2 
0
答えは、あってましたか？
概略を図示できますか？
幅 4π/d
-4
高さ 1
2
4
x1=abs(t)<Ts/2; X1=fftshift( x1)
X1=fft(x1); X1=real(fftshift(X1))/N*Wd;
高さ d
1
0
幅0 d
-2
2
4
-4
-2
幅 4π/
d 2
0
4
frequency  [  rad/s]
time t [sec]
subplot(3,2,(i‐1)*2+1); plot(t,x1,'LineWidth',2);
axis([‐Wd/2,Wd/2,‐.5,2]); grid o
xlabel('¥it time t [sec]');
2
高さ 1
subplot(3,2,(i‐1)*2+2); plot(w,X1,'LineWidth',2);
axis([‐Wd/2,Wd/2,‐.5,2]); grid o
xlabel('¥it frequency ¥omega [¥
1
0
-4
0
2
2
1
for i=1:3; Ts=2^(i‐2);
-2
frequency  [  rad/s]
0
F(ω)
高さ d
-4
time t [sec]
2
ﾌｰﾘｪ変換
t=(n‐N/2‐1)/N*Wd;
w=(n‐N/2‐1)/Wd*2;
1
0
-2
0
time t [sec]
2
4
-4
-2
0
2
4
frequency  [  rad/s]
end;
参考
宿題 1/2
2
2
1
1
0
-4
0
2
4
-4
time t [sec]
2
1
1
0
0
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
frequency  [  rad/s]
4
をフーリエ変換せよ
-2
0
2
4
frequency  [  rad/s]
time t [sec]
2
2
1
1
0
-4
 1, | t |  d / 2
f (t )  
 0, | t |  d / 2
0
-2
2
-4
問題4.10（教科書p.94）を解け
0
-2
0
time t [sec]
2
4
-4
-2
0
2
frequency  [  rad/s]
4
1.
2.
3.
4.
問題を自力で解いてみる
教科書を見ながら添削する
次回の授業開始前に提出する
期末試験の範囲＝「宿題」
まとめ
問題4.10を解くためには
毎回、授業に参加し
・ 教科書 p.86～94 を読む
・ 問題
毎回、自宅で学習し
4.1～4.9 を解く
毎回、宿題を提出することで
単位を習得できます
教科書を読んで、自分で考え、
学習する必要があります。
周波数と 大きさを 調べる
波形
フーリエ変換
F ( ) 
f (t )
何のための
フーリエ変換か？
波形 f(t)
スペクトル |F(ω)|
違いを 調べたい → 分析 したい
波形 f(t)
スペクトル |F(ω)|
→t .
周期 1.43 msec
時刻
→t .

f (t )e  j t dt
大きさ
スペクトル |F(ω)|
大きさ
波形 f(t)
周期 1.43 msec
周波数 697 Hz
→t .
時刻
時刻

ﾌｰﾘｪ変換
身近な応用は
何だろうか？
周期 0.82 msec

←低い
周波数
→ω .
高い→
混ざっていても 分析 できる
1.43 msec
time
0.82 msec
time
697 Hz
freq.
1209 Hz
freq.
周波数 1209 Hz
周波数
→ω .
波形 f(t)
ｽﾍﾟｸﾄﾙ |F(ω)|
混ざっているが...
time
周波数 697 Hz
周波数
ﾌｰﾘｪ変換で
分離できる
→ω .
時刻
→t .
freq.
周波数
→ω .
【参考】
'phone' command in MATLAB
音の組み合わせ （プッシュホン）
f (t) 波形
高群 (Hz)
1336
1477
1633
697
1
2
3
A
770
4
5
6
B
852
7
8
9
C
941
*
0
#
D
フーリエ変換
低
群
(Hz)
1209
http://ja.wikipedia.org/wiki/
DTMF
‘1番’ = 697 Hz + 1209 Hz
（Dual‐Tone Multi‐Frequency）
‘2番’ = 697 Hz + 1336 Hz F (ω) スペクトル
‘5番’ = 770 Hz + 1336 Hz
波形 f(t)
波形
f (t )  cos 0t
→t .
時刻
計算して
確かめよう
ﾌｰﾘｪ変換
0
ω0
ω
スペクトル |F(ω)|
-ω0
ﾌｰﾘｪ変換
周波数
ω0
こうなることを
数式で確かめたい
問題をノートに写す
解答をノートに書く
ヒント (1)
式（5.51)
p.14
問題 5.8 (p.128)
(1)
f (t )  cos 0t
(2)
f (t) と F(ω) を、それぞれ図示せよ
f(t)
0
cos x
をフーリエ変換せよ
ヒント (2)
問題5.7
p.128
F(ω)
t
このあと，ヒントを３つをきいて，５分で解くこと
0
ω

e jx  e  jx
2
e j0t
2
→
フーリエ変換
ヒントをノートに写し
解答を考えよう
  (  0 )
ヒント (3)
自力で
解く
デルタ関数とは？
 ( )
 (  0 )
 (  0 )
問題 5.8 を解く
f (t )  cos 0t 
e  j0t
2

e  j0t
2 Fourier 変換
問題5.7(p.128)
幅は0
-ω 0 0 ω
F ( ) 
面積が１
|←-→|
高さは
無限大
→| |←
ω
0
0 ω0
2   (  0 ) 2   (  0 )

2
2
ω
F(ω)
教科書 2.4 (p.46～49)
を復習しておこう
-ω0
波形
→t .
時刻
ﾌｰﾘｪ変換
-ω0
0
ω0
スペクトル |F(ω)|
   (  0 )     (  0 )
ω
問題 5.7 と 5.8 を解け
（教科書p.128）
ﾌｰﾘｪ変換
F ( ) 
ω0
宿題 2/2
波形 f(t)
f (t )  cos 0t
0
忘れそうなので
自宅でもう一度
周波数
ω
1.
2.
3.
4.
ω0
問題を自力で解いてみる
教科書を見ながら添削する
次回の授業開始前に提出する
期末試験の範囲＝「宿題」
こうなることが
数式で確認できた
問題をノートに写す
解答をノートに書く
問題１
(1) 以下の f(t) をフーリエ変換せよ
今日、習ったことを、
復習してみよう
 A, | t |  T / 2
f (t )  
 0, | t |  T / 2
但し、フーリエ変換は以下で定義される
F ( ) 



f (t )e  j t dt
問題をノートに写す
解答をノートに書く
問題をノートに写す
解答をノートに書く
問題１ （続き）
(2) 得られた F(ω) を sinc
T
(1) sinc x の概形を描け。-3π≦ｘ≦3π の範囲で
で表せ。
2
問題２
(3) F(ω) の概形を図示せよ。
sinc
(2) sinc x =0 となるときの x の値を
図に記入せよ。
T 
sin

 2  のことです
は
T
2
T
2
問題をノートに写す
解答をノートに書く
問題３
(1) オイラーの公式を使い
復習問題
の
解説
e jx = cos x + j sin x
三角関数を、複素指数関数で表せ
e jx  e  jx
sin x 
2j
e jx  e  jx
cos x 
2
解答をノートに写す
問題１
問題１（解答）
f(t)
 A, | t |  T / 2
f (t )  
 0, | t |  T / 2
T / 2
t
0
T /2
F ( ) 



f (t ) e
 j t
高さ A
dt
sinc x 
 A, | t |  T / 2
f (t )  
 0, | t |  T / 2
t
T / 2
0
T /2
Fourier
transform
結果を sinc 関数で表せ
幅T
高さ A
幅T
フーリエ変換
sin x
x
高さ AT
Fourier
transform
F(ω)
ω
0
幅 4π/T
T 
F ( )  AT  sinc

 2 
答えは、あってましたか？
概略を図示できますか？
問題１ （解説 1/2）
F ( ) 





f (t )  e  j t dt
T / 2
T / 2

 A 

 A
問題１ （解説 2/2）
2 A e  j T / 2  e j T / 2


2j
T
2A

 sin

2
T
sin
2
 AT 
T
2
T
 AT  sinc
2
F ( ) 
A  e  j t dt
e  j t
 j
T / 2


 T / 2
e  j T / 2  e j T / 2
 j
問題２
(1) sinc x の概形を描け。-3π≦ｘ≦3π の範囲で
問題２（解答）
（ロピタルの定理より）
←1
sinc x
零となる点は？
(2) sinc x =0 となるときの x の値を
図に記入せよ。
参考
-3π -2π -π 0 π 2π 3π
sin x
ロピタルの定理
問題３（解説）
Eulerの公式は？
lim
t 0
f (t )
g (t )
d
f (t )
dt
 lim
t 0 d
g (t )
dt
ｘ を -x にすると？
和は？
sin t
(sin t )'
cos t
 lim
 lim
 cos 1  1
t 0 t
t 0 (t )'
t 0 1
sinc(0)  lim
ロピタルの定理より
x=0 のとき sinc関数は 1 となる
→x
（変数）
差は？
e+jx = cos x + j sin x
e-jx = cos x - j sin x
ejx + e-jx = 2 cos x
ejx - e-jx =
2j sin x