・振動の基礎理論

◆ ピストンAの面積が14 cm2，ピストンBの面積224 cm2のパスカルの原理を利用
した油圧ジャッキがある．ここでテコを応用してピストンAに200 Nを加えると，
ピストンBに発生する力はいくらか．
・振動の基礎理論
ピストンB
例題の正答集
FB  FA
 200 
◆ 下図の天秤で測っている直径90mmの球形の物質の質量Mはいくらか．
ピストンA
SB
SA
224
 3,200 N
14
◆ SIの基本単位を組み立ててばね定数を表したものはどれか．
1. kg m3 / s2
2. kg
m2
/
s2
3. kg m /s2
221 mm
30 mm
( kg m/s2)×m2 = N･m2
×
( kg m/s2)×m = N･m
力のモーメント，トルク
kg×m/s2 = N
力 (ニュートン)
4. kg / s2
( kg
5. kg /(ms2)
( kg m/s2) / m2 = N / m2
m/s2)
/m=N/m
ばね定数
圧力 (パスカル)
1 kg
M kg  
金
V 
221mm
 1kg   7.367 kg
30 mm
4 3 4
r    4.53  381 .7 cm 3
3
3
SI（ International System of Units）基本単位
長さ ： m ，
質量 ： kg ，
時間 ： s
電流 ： A ，
温度 ： K ，
光度 ： cd ， 物質量 ： mol
7367  g 
 19 .3 g / cm 3
381 .7 cm 3
 
1
◆ 図の振動波形の振動数はいくらか
◆ 図の波形を式で示せ．
1.5
1.5
1
0.5
a 0
1
振動速度 (mm/s)
8(cycle )
 1.6( Hz )
5( s )
0.5
0
-0.5
-1
-0.5
-1.5
0
1
2
時間 (s)
3
4
5
-1
-1.5
◆ 図の振動波形の周期はいくらか．
200ms
at   1.2  sin(20t  0.5 )
at   1.2  cos(20t )
T
◆ 図の振動波形の周期はいくらか．
◆ x = Acosωt + Bsinωt で表される振動の片振幅はいくらか．
振動速度
A    cos
B    sin 
x    cos   cos t    sin   sin t    cos t   
  cos 2    sin  2
 A2  B 2
T
180(ms )  70(ms )
2.5(cycle)
 44( ms)
◆ x = Acosωt + Bsinωt で表される振動の実効値はいくらか．
 rms 
A2  B 2

2
1.5
1
0.5
(mm/s)
 0 p 
1
1

 0.625( s )
f 1.6( Hz )
0
-0.5
-1
A2  B 2
2
-1.5
50
100
150
200
時間 (ms)
◆ x = Acosωt + Bsinωt で表される振動の両振幅はいくらか．
◆ 前問の振動波形の周波数はいくらか．
 p  p  2 A2  B 2
f 
1 1000( ms )

 22.7( Hz )
T
44(ms )
f 
2.5(cycle)
 22.7( Hz )
0.18( s )  0.07( s)
2
◆ この二つの正弦振動の振幅はそれぞれいくらか．
◆ 正弦振動において振動数f，周期Tの関係を示す以下の式について答えよ．
1．(a)の式が間違い
( a ). T  f  1
2．(b)の式が間違い
(b ).
3．(c)の式が間違い
(c). (T  f ) 2  1
1
( d ).
1
Tf
4．(d)の式が間違い
5．すべての式が正しい
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
T  f 1
0
100
時間 (ms)
20Ｈｚ成分は 4μm， 160Hz成分は 1μm
◆ 図は二つの正弦振動が重なり合ったうねりの変位波形を示している．
◆ この波形の振動速度のスペクトル図はどれか．
二つの振動数はおおよそいくらか．
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
5
1
4
3
2
1
1.2
2
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
fL
3
0.2
0
0
1.2
1
fL
fH
fH
0
fL
fH
frequency (Hz)
frequency (Hz)
frequency (Hz)
5
4
1.2
5
.
1
4
0.8
3
0.6
2
0
100
時間 (ms)
0.4
1
0.2
0
fL
frequency (Hz)
fH
0
fL
fH
frequency (Hz)
20Hz， 160Hz
3
◆ 側帯波（サイドバンド）に関する次の記述で適切でないものはどれか．
1．側帯波はスペクトル線図においてある基本周波数の両側に現れる周波数成
◆ 振動速度が8.9 mm/s である．振動数を50 Hzとすると，振動加速度はいくらか．
A  2f  V
分である．
2．ある正弦波形において，その振幅を周期的に変化させると側帯波が現れる．
3．うなりの波形を周波数分析すると側帯波が観測される．
A
2  3.14  50  8.9
 2.8 m/s2
1000
4．軸受けの内輪にスポット傷が発生すると内輪傷パス周波数の両側に側帯波
が現れる．
5．歯車において軸に偏心がある場合にはかみ合い周波数の両側に側帯波が
現れる．
◆ 振動加速度が6.28 m/s2である．振動数を1.0 kHzとすると，振動速度はいくらか．
V 
A
2f
V 
6.28  1000
 1.0 mm/s
2  3.14  1000
◆ 振動加速度が1.11 m/s2(rms)で、振動速度が3.33 mm/s(rms)の振動がある．
◆ この二つの振動の振動数はいくらか．
この振動を正弦振動とすると振動数はいくらか．
A  2f  V
f 
A
2V
f 
1.11  1000
 53.1 Hz
2  3.14  3.33
◆ 前問の振動の変位波形におけるp-p値はいくらか．
ms
fH 
1s
1000

125
TH
16
 128 Hz
fL 
1s
1000

125
TL
1 .5
 12 Hz
116Hz or 140Hz
D
V
2f
D
3.33  1000
 10.0 μm(rms)
2  3.14  53.1
D  10 .0  2 2  28 .3 μm(p-p)
4
◆ 2160rpmで回転しているモータが振動している．このモータの振動加速度を
測定したら1.39m/s2であった．回転数を1830rpmに下げたら振動加速度はい
◆ 正弦振動において変位D，振動速度V，振動加速度A，振動数f の関係を示す
以下の式について答えよ．
くらになるか．ただし，回転数によって振動変位は変わらないものとする．
2160
 36 Hz
60
A
1.39  1000
D

 0.0272 mm
2f 2 2  3.14  36 2
f 
V
2f
A
(b) V 
2f
(a) D 
f 
1．(a)の式が間違い
2．(b)の式が間違い
3．(c)の式が間違い
V2
D
1
(d ) f 
2
4．(d)の式が間違い
(c ) A 
5．すべての式が正しい
1830
 30 .5 Hz
60
2
A  2f   D  2  3.14  30.5  
2
0.0272
 1.0 m/s2
1000
◆ 図に示す比較校正装置で振動計の感度の校正を行うことにする．正弦波発信器
から159.15Hzの正弦波を発信させ，基準振動計が振動加速度で1.0m/s2を示すよ
うに電力増幅器の出力を調整した．
次に，基準センサの上に感度校正をする被検振動計のセンサをのせて被検振動
計の振動加速度の表示が1.0m/s2になるように調整することで感度校正作業が終
わる．
ここで，被検振動計が振動速度しか測れない振動計の場合，振動計の表示がい
くつを表示するように調整すれば良いか次の中から選べ．
V  2f  D
V
2f 
D
A  2f V
A
V2
D
◆ 正弦振動において変位D，振動速度V，振動加速度A，振動数f の関係を示す
以下の式について答えよ．
V
2f
A
(b) V 
2f
(a) D 
1．(a)の式が間違い
2．(b)の式が間違い
1．0.1 mm/s
被検センサ
2．0.2 mm/s
基準センサ
加振器
3．0.5 mm/s
3．(c)の式が間違い
被験振動計
？mm/s
基準振動計
m/s2
4．1.0 mm/s
電力増幅器
5．2.0 mm/s
正弦波発信器

a mm / s 2
103
vmm / s  

 1.0mm / s 
2f
2  159.15
(c ) A 
5．すべての式が正しい
V  2f  D
159.15 Hz

V2
D
1
(d ) f 
2
4．(d)の式が間違い
1.0
A
D
A  2f V
A  2f  D
2
2f 
A
D
A
D
5
◆ 振動加速度が10.0 (m/s2)rmsで，振動の変位が28.3 (μm)p-pである．この振動を
◆ 質量200gのおもりをつるすと19.6μm伸びるコ
イルばねがある．このばね・質量系の固有振
動数と周期を求めよ．
正弦波振動とすると振動数はいくらか．
d rms 
1
f 
2
d p  p 28.3

 10m
2 2 2 2
A
1

D 2


k  10 5 kg  m / s 2 / m
fn 
10
 159.2 Hz
10 106
1
2
k
1

m 2


10 5 kg  m / s 2 / m
0.2kg
 112.5 Hz
Tn 
◆ 質量200gのおもりをつるすと19.6μm伸びるコ
イルばねがある．このばね・質量系の固有振
動数と周期を求めよ．
◆ 質量が不明なおもりをつるすと19.6μm伸びる
コイルばねがある．このばね・質量系の固有
振動数を求めよ．
ばね定数 k は，
mg  k D
0.2kg  9.8m / s 2  k 19.6  10 6 m


k  10 5 kg  m / s 2 / m
19 .6 m
mg
1
1

 8.9ms
f n 112 .5
mg

fn 
1
2
k
m
fn 
1
2
m g 1
1

 m 2
fn 
1
2
9.8 m / s 2
 112.5 Hz
19.6  10 6 m 
k

g


19 .6 m
mg
6
振子の振動
◆ 図に示すように，片持ちはりの先端に質量mが1kgを置いたときに，
δ＝10μm撓んだ．ばね定数kはいくらか．
この振動系の固有振動数fnはいくらか．
◆ 紐の長さ l が1.0mの場合， 周期Tnは
いくらか．
Tn  2
m  kx
fn 
1( kg )  9.8(m / s 2 )  k 10 106 (m)
1
2
1
fn 
2
k  10 ( N / m)  1000(kN / m)
6

 2
k
m
106 ( N / m)
1(kg )
l
g
1m
9.8m / s 2
 2.0 s
103  1 
   160( Hz )
2  s 
◆ ばね定数の分らないばねと，質量が分らないマスがある．マスをばねに付け
◆ 振動系に外力(励振)が加わり，それによって系が振動する現象(励振と同 じ振
て鉛直にぶらさげ，自由振動させたところ，20回上下するのに10秒かかった．
ﾚ
動数をもつ)を（□自由，□強制，□自励）振動という．
このマスに100gの付加質量を付けて，再度自由振動させたところ，今度は
非振動的なエネルギーがその系の内部で，振動的な励振に変換されて発生す
20回上下するのに12秒かかった．ばねのばね定数kおよび質量mはいくらか．
ﾚ
る振動現象を（□自由，□強制，□自励）振動という．
ﾚ
静止中の機械をインパルスして得られた振動波形を（□自由，□強制，□自励）
fn 
1
2
k
m
周期:T
Tn  2
T2
m
0.5
0.25
m+0.1
0.6
0.36
k  4 2
0.227
 35.9( N / m)
0.25
k  4 2
m
k
m
0.25
Tn2  4 2
m
k
m  0.1
0.36
2 m
2 m  0.1
4
 4
0.25
0.36
k  4 2
振動という．
ﾚ
実機における振動トラブルの多くが（□自由，□強制，□自励）振動および
ﾚ
（□自由，□強制，□自励）振動によって発生する．
括弧の中のどちらかの□にﾚ点を記せ．
0.36m  0.25m  0.025
0.11m  0.025
m  0.227( kg )
7
◆ 共振発生時における外力に対する振動変位と位相角の関係で適切なもの
にﾚ点を記せ．
◆ 図のように片方の端を固定した板の固有振動数fnに関して適切でないも
にﾚ点を記せ．
ﾚ 90度遅れている
□
□ 長さに依存する
□ ほぼ45度遅れている
□ 幅に依存する
□ ほぼ90度進んでいる
□ 厚さに依存する
□ ほぼ逆位相である
fn
□ 素材の密度に依存する
□ ほぼ同位相である
□ 重力加速度に依存する
棒（外力）の振動波形
共振板の振動波形
2
l2
* 
カンチレバーの固有振動数は，
◆ 共振発生時における外力に対する振動速度と位相角の関係で適切なもの
EI
A
E：ヤング率，
にﾚ点を記せ．
l
I：断面2次モーメント
□ 90度遅れている
□ ほぼ45度遅れている
外力
変位
A：断面積
t
厚さt，幅wの矩形断面の2次モーメントは
□ ほぼ90度進んでいる
□ ほぼ逆位相である
ﾚ ほぼ同位相である
□
I
速度
変位
断面積は
fn
wt 3
12
A  wt
w
これらを固有振動数の式に入れると，
2
  2
l
*
EI  2

A l 2
wt 3
2
E
12  

2
 wt
l
E t2

 12
固有振動数は，長さl，厚さt，密度ρに依存するが，幅wには依存しない．
8
◆ 図のように片方の端を固定した板の固有振動数fnに関して適切でないも
にﾚ点を記せ．
l
□ 長さに依存する
ﾚ 幅に依存する
□
t
□ 厚さに依存する
fn
□ 素材の密度に依存する
ﾚ 重力加速度に依存する
□
w
* 
2
l2
E t2

 12
◆ 強制振動に関する次の文章で適切でないものはどれか．
1．強制振動の振動数は，外力の振動数と同じである．
2．強制振動の位相は，外力の位相と異なることがある．
3．強制振動の振幅は，外力の振幅に対する倍率が変化することがある．
4．不つり合い振動は強制振動である．
5．オイルホイップは強制振動である．
◆ 自励振動に関する次の文章で適切でないものはどれか．
1．外力が振動していなくても自励振動が発生することがある．
2．自励振動の振動数は系がもつ固有振動数のことが多い．
3．不つり合い振動は自励振動である．
4．スティックスリップ現象は自励振動である．
5．オイルホイップは自励振動である．
9