（特）線形代数学 II - a 06. 線形写像の例と合成

線形写像の例
線形写像の合成
.
.
（特）線形代数学 II - a
06. 線形写像の例と合成
土屋和由
基礎・教養教育センター
2016 年 05 月 26 日
土屋和由
（特）線形代数学 II - a 06. 線形写像の例と合成
線形写像の例
線形写像の合成
. 線形写像の例と合成
部分空間の性質を調べるために，部分空間を動かしたり，複数の部
分空間を比較することが出来る道具を導入した．
⇒ 線形写像を導入
線形写像 f : Rn → Rm は和とスカラー倍を保存する写像である．
1. 任意の x, y ∈ Rn に対して，f (x + y) = f (x) + f (y).
2. 任意の実数 c, x ∈ Rn に対して，f (cx) = cf (x).
A = (f (e1 ) . . . f (en )) とおくと，f (x) = Ax が成立する．
⇒ 線形写像に対する幾何学的性質を，行列に対する代数的性質に
よって研究可能
土屋和由
（特）線形代数学 II - a 06. 線形写像の例と合成
線形写像の例
線形写像の合成
. 線形写像の例と合成
部分空間の性質を調べるために，部分空間を動かしたり，複数の部
分空間を比較することが出来る道具を導入した．
⇒ 線形写像を導入
線形写像 f : Rn → Rm は和とスカラー倍を保存する写像である．
1. 任意の x, y ∈ Rn に対して，f (x + y) = f (x) + f (y).
2. 任意の実数 c, x ∈ Rn に対して，f (cx) = cf (x).
A = (f (e1 ) . . . f (en )) とおくと，f (x) = Ax が成立する．
⇒ 線形写像に対する幾何学的性質を，行列に対する代数的性質に
よって研究可能
.
本日の目標
.
1. 線形写像の具体例を用いて，線形写像の扱い方を理解する．
. 2. 線形写像の合成について理解する．
土屋和由
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線形写像の例
線形写像の合成
. ベクトルのスカラー倍
例（ベクトルのスカラー倍）c を実数とする．
写像 f : Rn → Rn を f (x) = cx によって定義すると，f は線形変換．
土屋和由
（特）線形代数学 II - a 06. 線形写像の例と合成
線形写像の例
線形写像の合成
. ベクトルのスカラー倍
例（ベクトルのスカラー倍）c を実数とする．
写像 f : Rn → Rn を f (x) = cx によって定義すると，f は線形変換．
y
n = 2, c = −3
4
f (a2 )
2
.
−4
−2
O
a1
x
a22
4
−2
f (a1 )
−4
土屋和由
（特）線形代数学 II - a 06. 線形写像の例と合成
線形写像の例
線形写像の合成
. ベクトルのスカラー倍
例（ベクトルのスカラー倍）c を実数とする．
写像 f : Rn → Rn を f (x) = cx によって定義すると，f は線形変換．
y
n = 2, c = −3
4
f (a2 )
2
a1
.
−4
−2
O
x
a22
4
−2
f (a1 )
−4
n = 2 のとき，f
(( )) ( )
x
cx
=
.
y
cy
土屋和由
← x, y に関する一次式
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線形写像の例
線形写像の合成
. ベクトルのスカラー倍
例（ベクトルのスカラー倍）c を実数とする．
写像 f : Rn → Rn を f (x) = cx によって定義すると，f は線形変換．
y
n = 2, c = −3
4
f (a2 )
2
a1
.
−4
−2
O
x
a22
4
−2
f (a1 )
−4
n = 2 のとき，f
f (e1 ) =
(( )) ( )
x
cx
=
.
y
cy
← x, y に関する一次式
( )
( )
c
0
, f (e2 ) =
より
0
c
(( ))
( ) (
x
x
c
f
= (f (e1 ) f (e2 ))
=
y
y
0
土屋和由
0
c
)( )
x
= cE2 x.
y
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線形写像の例
線形写像の合成
. 原点を中心とする回転
例（原点を中心とする回転）θ を実数とする．
y
x
f (x)
θ
.
x
O
写像 f : R2 → R2 を原点を中心とする θ ラジアン回転とする．
⇒ 座標を用いた具体的な対応は？
土屋和由
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線形写像の例
線形写像の合成
. 原点を中心とする回転
例（原点を中心とする回転）θ を実数とする．
y
x
f (x)
θ
.
x
O
写像 f : R2 → R2 を原点を中心とする θ ラジアン回転とする．
⇒ 座標を用いた具体的な対応は？
.
問題
. )
(
(( ))
x′
x
=f
とおくとき，x ′ , y ′ を θ, x, y を用いて表せ．
′
y
y
.
土屋和由
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線形写像の例
線形写像の合成
. 回転写像の座標表現
y
( ) (
)
x
r cos α
=
y
r sin α
r
O
.
α
x
土屋和由
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線形写像の例
線形写像の合成
. 回転写像の座標表現
y
( ) (
)
x
r cos α
=
y
r sin α
y′
y
r
O
.
α
x
土屋和由
O
r
α
. θ
x′
x
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線形写像の例
線形写像の合成
. 回転写像の座標表現
y
( ) (
)
x
r cos α
=
y
r sin α
y′
y
r
.
O
加法定理より，
α
x ′ = r cos (θ + α)
′
y = r sin (θ + α)
x
O
r
α
. θ
x′
=
r (cos θ cos α − sin θ sin α)
=
(r cos α) cos θ − (r sin α) sin θ
=
x cos θ − y sin θ,
=
r (sin θ cos α − cos θ sin α)
=
(r cos α)sin θ − (r sin α) cos θ
=
x sin θ + y cos θ.
土屋和由
x
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線形写像の例
線形写像の合成
. 回転写像の座標表現
y
( ) (
)
x
r cos α
=
y
r sin α
y′
y
r
.
O
加法定理より，
α
x ′ = r cos (θ + α)
′
y = r sin (θ + α)
x
O
r
α
. θ
x′
=
r (cos θ cos α − sin θ sin α)
=
(r cos α) cos θ − (r sin α) sin θ
=
x cos θ − y sin θ,
=
r (sin θ cos α − cos θ sin α)
=
(r cos α)sin θ − (r sin α) cos θ
x
= x sin θ + y cos θ.
(( )) ( ′ ) (
)
x
x
x cos θ − y sin θ
したがって，f
=
=
となる．
′
y
y
x sin θ + y cos θ
土屋和由
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線形写像の例
線形写像の合成
. 回転写像の行列表現
f
(( )) (
)
x
x cos θ − y sin θ
=
.
y
x sin θ + y cos θ
)
(( )) (
)
(( )) (
1
cos θ
0
− sin θ
=
, f (e2 ) = f
=
より
f (e1 ) = f
0
sin θ
1
cos θ
(( ))
( ) (
)( )
x
x
cos θ − sin θ
x
f
= (f (e1 ) f (e2 ))
=
.
y
y
sin θ
cos θ
y
土屋和由
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線形写像の例
線形写像の合成
. 回転写像の行列表現
f
(( )) (
)
x
x cos θ − y sin θ
=
.
y
x sin θ + y cos θ
)
(( )) (
)
(( )) (
1
cos θ
0
− sin θ
=
, f (e2 ) = f
=
より
f (e1 ) = f
0
sin θ
1
cos θ
(( ))
( ) (
)( )
x
x
cos θ − sin θ
x
f
= (f (e1 ) f (e2 ))
=
.
y
y
sin θ
cos θ
y
R(θ) =
(
cos θ
sin θ
− sin θ
cos θ
)
と記す．R(θ) を回転行列と呼ぶ．
土屋和由
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線形写像の例
線形写像の合成
. xyz 空間から xy 平面への射影
例（xyz 空間から xy 平面への射影）
 
( )
x
x
写像 f : R → R を f y  =
y
z
によって定義すると，
f は線形写像（線形変換ではない）．
3
2
土屋和由
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線形写像の例
線形写像の合成
. xyz 空間から xy 平面への射影
例（xyz 空間から xy 平面への射影）
 
( )
x
x
写像 f : R → R を f y  =
y
z
によって定義すると，
f は線形写像（線形変換ではない）．
3
2
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線形写像の例
線形写像の合成
. xyz 空間から xy 平面への射影
例（xyz 空間から xy 平面への射影）
 
( )
x
x
写像 f : R → R を f y  =
y
z
によって定義すると，
f は線形写像（線形変換ではない）．
3
f (e1 ) =
2
( )
( )
( )
1
0
0
, f (e2 ) =
, f (e3 ) =
より
0
1
0
 
 
(
x
x
1






y
f
= (f (e1 ) f (e2 ) f (e3 )) y =
0
z
z
土屋和由
0
1
 
) x
0  
y .
0
z
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線形写像の例
線形写像の合成
. 線形写像の合成
線形写像の合成
線形写像 f : Rn → Rm , g : Rm → Rt に対して，
Rn
x
g
f
→ Rm →
7
→
f (x) 7→
Rt
g (f (x))
を f と g の合成と呼び，g ◦ f と記す．
すなわち g ◦ f (x) = g (f (x)) である．
土屋和由
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線形写像の例
線形写像の合成
. 線形写像の合成
線形写像の合成
線形写像 f : Rn → Rm , g : Rm → Rt に対して，
Rn
x
g
f
→ Rm →
7
→
f (x) 7→
Rt
g (f (x))
を f と g の合成と呼び，g ◦ f と記す．
すなわち g ◦ f (x) = g (f (x)) である．
線形写像の合成と行列
f (x) = Ax, g (y) = By とすると，
g ◦ f (x) = g (f (x)) = B(Ax) = (BA)x
が成立する．したがって，線形写像の合成は行列の積と対応する．
土屋和由
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線形写像の例
線形写像の合成
. 線形写像の合成
線形写像の合成
線形写像 f : Rn → Rm , g : Rm → Rt に対して，
Rn
x
g
f
→ Rm →
7
→
f (x) 7→
Rt
g (f (x))
を f と g の合成と呼び，g ◦ f と記す．
すなわち g ◦ f (x) = g (f (x)) である．
線形写像の合成と行列
f (x) = Ax, g (y) = By とすると，
g ◦ f (x) = g (f (x)) = B(Ax) = (BA)x
が成立する．したがって，線形写像の合成は行列の積と対応する．
注
一般に g ◦ f と f ◦ g は一致するとは限らない．
土屋和由
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線形写像の例
線形写像の合成
. 線形写像の合成の例
例



0 −1 0
1
A = 1 0 0  , B = 0
0 0 1
0

0 0
0 1 とする．
−1 0
f : R3 → R3 , g : R3 → R3 をそれぞれ f (x) = Ax, g (y) = By とする．
このとき，g ◦ f と f ◦ g は相異なる．
土屋和由
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線形写像の例
線形写像の合成
. 線形写像の合成の例
例



0 −1 0
1
A = 1 0 0  , B = 0
0 0 1
0

0 0
0 1 とする．
−1 0
f : R3 → R3 , g : R3 → R3 をそれぞれ f (x) = Ax, g (y) = By とする．
このとき，g ◦ f と f ◦ g は相異なる．
g ◦f
f ◦g
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