数学の問題CM1

計算理工学特論
電気通信大学大学院
電気通信学研究科情報工学専攻
２０１０年度（後学期）
はじめに
「計算」の位置づけ（１）
実験・観測
事実の収集
事実 ⇨ 法則
理論
仮説、法則
計算
仮説、法則
⇨ 法則、事実
⇨ 法則、事実
帰納
演繹・予測
近似条件下の厳密解
演繹・予測
極限条件、複雑システム
「計算」の位置づけ（２）
!
自然科学
・観察、実験、測定
スケールのある世界
・帰納
・シミュレーション技法
計算
⇅
数学
スケールのない世界
・情報処理
・繰り込み
・数値計算法
・基礎的数学
! スケールがある世界と言い切れない課題もある。
「現実世界（Real World）」の理解と計算理工学
現実世界
の物と事
測定
観測データ
モデル化
比較
現実世界の物と事の
モデル
計算
現実世界
対応関係
人類の知識
予測データ モデル空間
（シミュレーション等）
モデル化
モデル
・現象（物と事）記述の道具
・考えの整合性を検証する道具
・現象（物と事）の理解
線形と非線形・階層構造とスケールフリー
・階層構造／人間中心の尺度
・尺度の違う階層間の干渉（Mode Coupling）
・臨界現象と安定性
・冪乗則とスケールフリー
・無限精度の計算、カオスと数値誤差
・力学系
予測
大規模直接シミュレーション
・平衡、安定性、相転移
・時間発展
・シミュレーションでなぜ予測できるか？
・シミュレーションでなぜ予測できないか？
力学系の挙動解析
・カオス、フラクタル
・非線形時系列予測
問題の整理とここから先の進めかた
・システム（系）とは何か？
・線形システムとは何か？
・非線形システムとは何か？
・複雑系とは何か？複雑さとは何か？
・物の探求と事の探求、エントロピーと情報
・現実の系からのカオスの抽出
＜モデルと自然現象＞
・予測について
・モデルとは何か？モデルの善し悪しとは何か？
・フラクタル、繰り込み、マルチスケール
・自然の階層構造とは何か？
＜階層構造のある系＞
・スケールフリーとは何か？
・階層間の干渉、カオスと臨界現象
10!25!
10!20!
15!
10!
10!10!
10!5!
10!0!
10!-5!
10!-10!
EFG!
EF!
=VWXY
Z#[\!
HIJ!
*+#ab!
K#LM!
=_`ab
Z#[\!
./!
NO1!
2"!
PQ8:!
R01!
S:!
cdefg
hfi!
1j#ab!
]R^XY
T:U!
10!-15! 89:!
Z#[\!
-20!
10!
!"#$%&'m!
10!25!
10!20!
15!
10!
10!10!
10!5!
10!0!
10!-5!
10!-10!
17!
3 x 10 year!
*+#,-!
./#,-!
01#,-!
20!
56#7!
34!
89:#;<!
=>?@ABCD!
10!-15!
-20!
10!
("#$%&')!
1 year = 3.1536 ! 107 sec
log N
log N
+68 無量大数 +24
+64 不可思議
+20 垓
-1 分 d: deci
+60 那由他
+16 京
-2 厘 c: centi
+56 阿僧
+15 千兆 P: Peta
-3 毛 m: milli
+52 恒河沙
+12 兆 T: Tera
-6 微 m: micro
+48 極
+9 十億 G: Giga
-9 塵 n: nano
+44 載
+8 億 -12 漠 p: pico
+40 正
+6 百万 M: Mega
-15 須臾 f: femto
+36 澗
+4 万 -18 刹那 a: atto
+32 溝
+3 千 k: kilo
-21 清浄 z: zepto
+28 穣
log N
（し）
0 壱
0 壱
-24 y: yocto
人間中心の階層構造
空間幅・時間幅
人間が直感的に認
識できる空間幅
10!3 m ~ 103 m
人間が直感的に認
10!1 sec ~
6 " 108 sec
(100 years)
識できる時間幅
人間が想像できる
空間幅
人間が想像できる
時間幅
10
!16
26
m ~ 10 m
対象物の例
（最小スケール） （最大スケール）
ミジンコ
5 " 1017 sec
(1.5 " 1010 years)
富士山
!3
~ 10 m
3.776 ! 103 m
映画の一コマ
人の一生
~ 10!1 sec
~ 6 ! 108 sec
陽子の換算
ハッブル半径
コンプトン波長
（観測可能な宇宙）
2.10 ! 10
10!15 sec ~
対象物の例
"16
m
~ 10 26 m
超単パルスレーザー
宇宙の年齢
~ 10!15 sec
~ 5 ! 1017 sec
1 year = 3.1536 ! 107 sec
物理法則 ⇨ 人間の空間
素粒子
⇩
たんぱく質
10!16 m
5 ! 10"10 m
物理の基本法則
10!9 m
⇩
ＤＮＡ
10!6 m
⇩
細胞（真核細胞）
10!5 m
⇩
高等生物
10!3 m
⇩
人間
100 m
人間のサイズが、1 m 位であることは、物理法則
から考えて不自然でない！？
階層構造と非線形性
階層構造のない世界：線形性
・線形解析
・縮小写像：フラクタル構造
階層構造のある世界：非線形性
・現実世界：非線形系、複雑系
⇨臨界平衡、自己組織化⇨スケールフリー
⇨階層構造のない世界
階層構造と相互作用（力）
Large Scale
銀河団
一般相対性理論
重
力
人間
電
古典理論
磁
力
Small Scale
原子分子
弱 強
素粒子
力 力
量子論
い い
応用分野と課題（１）
（スケールフリー）
パワー則：自己組織化臨界現象
地震予知
Gutenberg Richter Law
地震発生
破壊現象のトリガー
発生頻度
周辺環境条件
地殻内応力分布
破壊現象メカニズム
固体地球のダイナミックス
結晶・岩石の物性
原子・分子
初期条件・境界条件が不十分
原理的問題はないか
応用分野と課題（２）
気候予測
全地球気候
海洋流体運動
大気流体運動
周辺環境条件
太陽・宇宙
相転移現象
エネルギー輸送
大気・海洋構成物質の物性
流体運動方程式
原子・分子
モデル・計算法が未完成
初期条件・境界条件が不十分
応用分野と課題（３）
核融合炉：人工物システム開発の例
実験装置
核融合炉
境界条件の制御
エネルギー収支の制御
粒子群としてのプラズマ
プラズマ形状の制御
流体としてのプラズマ
イオン・原子・分子
全体構成
" 線形振動
１．線形と非線形
２．線形振動
３．パラメータ励振
# 非線形振動
４．単振子
５．自励振動
$ 複雑系基礎
６．２次微分系
７．カオス
８．フラクタルと次元
９．粗視化・繰り込み・マルチスケール
１０．複雑系と情報
１１．物理系とカオス、フラクタル
１２．数値計算とカオス、フラクタル
% 計算と自然の理解
１３．課題と試み
１４．階層連結
１５．データ同化、ニューラルネットワーク選点法
１６．時系列予測とカオス、フラクタル
I. 線形振動
１．線形と非線形
２．線形振動のまとめ
３．パラメータ励振
１．線形と非線形
１．１ 非線形性とは何か？
線形性：数学的に確立
重ね合わせの原理が成り立つ
非線形性：自然界のほとんどの現象
重ね合わせの原理が成り立たない
非線形性の度合いに応じた数多くの理論がある
&重ね合わせの原理
L(!f + "g) = !Lf + "Lg
for
#
!," $ R
!
L:
線形
例１：線形熱伝導方程式 例２：非線形熱伝導方程式
! 2T
!T
="
2
!x
!t
T1, T2 : 解
! 2T1
!T1 ! 2T2
!T
=
"
,
=" 2
2
2
!x
!t
!x
!t
#
AT1 + BT2 : 解
!"
!T %
!T
k(T) ' = C v
$
!x #
!x &
!t
e.g. k(T) = k 0T, ( )
2
! 2T * !T !T
+
=(
,
/
2
!x + !x .
!t
T1 (x,t), T2 (x,t) : 解
0
T1 + T2 : 一般に解ではない
T
１．２ 振動系
振動系の重要性
① 遍在すること
物理：構造体、流体
化学：酸化還元反応、燃焼
生物：生体リズム、代謝過程
その他：社会現象、他多数
② 解析方法が充実
フーリエ解析の可能性
その他
Cv
k0
２．線形振動のまとめ
２．１ 調和振動子(Harmonic Oscillator)
２．１．１ 運動方程式
ニュートン運動方程式 ＋ Hookの法則
!
d 2x !
=F
dt 2
!
2!
!
d x
m 2 = "#x
dt
!
!
F = !"x
m
" (> 0) :
x = Acos(!t + " 0 )
= Acos" 0 cos !t # Asin" 0 sin!t
= acos!t + bsin!t
a = Acos" 0 , b = #Asin" 0
%
: 角振動数
m
初期位相
"0 :
!
f$
: 振動数
2&
2&
T$
: 周期
!
!$
２．１．２ 解の求め方
&解法１：エネルギー積分法
d 2x
m 2 + !x = 0
dt
dx
を掛けて積分
dt
2
1 " dx % 1 2
m$ ' + !x = E ：積分定数（全エネルギー） 一定⇨保存系
E=
2 # dt & 2
運動エネルギー ポテンシャルエネルギー
! dx $ 2 2E ( 2
' x
# & =
" dt %
m m
dx
2E ( 2
( 2E
=±
' x =±
' x2
dt
m m
m (
dx
= ±) A2 ' x 2 ,
dt
$ "
x
"'
&! # # )
主値 をとる
% 2 A 2(
A*
2E
(
, )*
(
m
!
E = A2
2
"
dx
= # " dt
A2 ! x 2
t
$
% x(
sin!1' * = #t + +
& A)
$
x = Asin(#t + + )
x
&解法２：線形系の一般的解法
x = exp( !t)
d 2x
= !2 exp( !t)
2
dt
" m!2 x = #$x
$
$
% !2 = # = #& 2 , & 2 =
m
m
" ! = ±i&
% x = a1 exp(i&t) + a2 exp(#i&t)
dx
= v0 , at t = 0
dt
x0 = a1 + a2
初期条件： x = x0 ,
dx
= i!a1 exp(i!t) " i!a2 exp("i!t) # v0 = i! (a1 " a2 )
dt
1
v
1
v
$ a1 = (x0 + 0 ), a 2 = (x0 " 0 )
2
i!
2
i!
x0
v
(exp(i!t) + exp("i!t)) + 0 (exp(i!t) " exp("i!t))
2
2i!
v
= x0 cos!t + 0 sin!t
!
x=
２．１．３ ポテンシャルエネルギー
&ポテンシャルエネルギー
力が位置だけの関数である。時間、速度に依存しない。
! ! !
F = F( x)
d 2x
dx
= F(x)
!
dt 2
dt
d #1
dx
2&
"
% mv ( ) F(x) = 0
'
dt $ 2
dt
m
F(x)
+
dx dx d x
=
* F(x)dx
dt dt dx x 0
x
0.
d ,. 1
- mv 2 ) * F(x)dx1 = 0
.2
dt ./ 2
x0
保存力：位置だけに依存する力
保存系：保存力に従う系
1
T ! mv 2
2
：運動エネルギー
x
U ! " # F(x)dx ：ポテンシャルエネルギー
x0
E =T +U
：全エネルギー
&調和振動子のポテンシャルエネルギー
x
F(x) = !"x # U = ! $ F(x)dx
x0
%
&
F(x) = !
dU
dx
1
' U = "x 2
2
U
1
U = !x 2
2
E
x
x1
' 転回点 (
x2
&平均ポテンシャルエネルギーと平均運動エネルギー
＊平均ポテンシャルエネルギー
< U >=
1
T
!
T
1
1
T
1
" 2 !x dt = T " 2 !A
2
0
0
2
1
cos 2 (#t + $ 0 )dt = !A 2
4
cos(A + B) = cos AcosB ! sinAsinB
cos(2A) = cos2 A ! sin2 A = 2cos 2 A !1
T
1
# cos(2"t)dt = 2" sin(2"t)
T
0
=0
0
＊平均運動エネルギー
同様に
1
< T >= !A 2
4
! < U >=< T >
&一般的ポテンシャル中の運動
保存力：エネルギー保存則は調和ポテンシャル中でなくとも成り立つ
E = T + U = const.
U
E1
E2
エネルギー
E = E1
x1 ! x < "
E3
E = E2
x2 ! x ! x3 , x4 ! x < "
E = E3
x5 ! x < "
運動領域
小振幅周期的運動
x1 x2 x0
x3
x4 x5 x
x = x0 の近傍でポテンシャルエネルギーを展開する
1
U(x) = U(x0 ) + U'(x0 )(x ! x0 ) + U''(x0 )(x ! x0 ) 2 + !
2
1
U(x) " U''(x0 )(x ! x0 ) 2 ,
# $ U''(x0 ) > 0
2
! x = x0 + Acos("t + # 0 ),
"=
U''(x0 )
m
微小振動解
２．２ 減衰振動
２．２．１ 運動方程式
dx
dt
!"
速度に比例する摩擦（ ）の働くシステム
d 2x
dx
m 2 = !"x ! #
(# > 0)
dt
dt
dx
$v%
dt
)
d &1
1
' mv 2 + "x 2 * = !#v 2 , 0
+
dt ( 2
2
左辺の時間微分が負
全エネルギーが摩擦で失われていく
#
%
, $ 02 "
m
m
d 2x
dx
+ 2!
+ $ 02 x = 0
2
dt
dt
2! "
d
E = !" v 2
dt
非可逆過程
２．２．２ 特性方程式と解の分類
&特性方程式
解法２で解く
x = exp( !t)
!2 + 2"! + # 02 = 0
$ ! = %" ± " 2 % # 02 = !1,2
x = Aexp( !1t) + Bexp( !2t)
（１）弱い減衰： ! 0 > "
摩擦が弱い時：減衰振動
! " ! 02 # $ 2
%1 = #$ + i!
%2 = #$ # i!
x = aexp(#$t)cos(!t + & ) ：減衰振動
減衰率
!:
"#
!" :
2$
:
%
(
"#$
"#%
"#&
"#'
"
!"#' (
!"#&
!"#%
!"#$
&
)
(" (* (% (+ '' ', '$ *( *& *)
周期
対数減衰率
（２）強い減衰：
! > "0
摩擦の強い時：過減衰
{
}
x = exp(!"t) Aexp( " 2 ! # 02 t) + Bexp(! " 2 ! # 02 t)
!"*
x(0) = 0
x(0) = 0 = A + B
!")
!"(
{
}
!"'
!"&
! x = Aexp("# t) exp( # 2 " $ 02 t) " exp(" # 2 " $ 02 t)
!"%
!"$
= A'exp("# t)sinh( # 2 " $ 02 t)
!"#
!
#
! =0
x(0)
{
}
x(t) = exp("# t) Aexp( # 2 " $ 02 t) + Bexp(" # 2 " $ 02 t)
{
}
! = "# x(t) + # 2 " $ 02 exp("# t) Aexp( # 2 " $ 02 t) " Bexp(" # 2 " $ 02 t)
x(t)
% A=
# + # "$
2
0
"# + # 2 " $ 02
) #! #% #( #+ $$ $' $* %# %& %) &! &% &( &+
&"
&!
%
! = 0 = A("# + # 2 " $ 02 ) + B("# " # 2 " $ 02 )
x(0)
2
&
$
#
B
"
!
&( # + # 2 " $ 2
*(
0
x(t) = B '
exp("# + # 2 " $ 02 ) + exp("# " # 2 " $ 02 ) +
2
2
() "# + # " $ 0
(,
（３）臨界減衰（臨界制動）：
! " #0
" 2 ! # 02 t << 1
f (t) $ exp( " 2 ! # 02 t)
1
f ''(0)t 2 + !
2
1
= 1+ " 2 ! # 02 t + (" 2 ! # 02 )t 2 + !
2
1
f (!t) = 1! " 2 ! # 02 t + (" 2 ! # 02 )t 2 !!
2
f (t) = f (0) + f '(0)t +
Af (t) + Bf (!t) = (A + B) + " 2 ! # 02 (A ! B)t + !
= a + bt + !
a = A+ B
b = " 2 ! # 02 (A ! B) % 0
x = exp(!"t)(a + bt)
(
)
*
&&
&'
&(
&)
&*
⇨一般解を表せない
x = Aexp(!"t + " 2 ! # 02 t) + Bexp(!"t ! " 2 ! # 02 t)
(
'
! ：重根
摩擦力∼復元力
= exp(!"t) Aexp( " 2 ! # 02 t) + Bexp(! " 2 ! # 02 t)
&
)
⇨極限操作
"&
２．３ 相平面、位相空間
２．３．１ 相平面、位相空間とは？
単振動について考える
単振動方程式
d 2x
+ ! 2x = 0
dt 2
一般解
x = Acos(!t + " 0 )
v = #!Asin(!t + " 0 )
$ 時間消去
x2
v2
+
=1
A2 ! 2 A2
位相平面、相平面(Phase Plane)：座標xと速度vで作られる平面（１次元位相空間）
位相空間、相空間(Phase Space)： 座標xと速度vで作られる空間
!数学の「位相空間（Topological Space）」とは別物であるので注意。
２．３．２ 位相空間軌道（相空間軌道）
（１）単振動の軌道
v
wA
A
x
（２）減衰振動の軌道
d 2x
dx
+ 2!
+ " 02 x = 0
2
dt
dt
!
" 0t # t,
#!
"0
d 2x
dx
+ 2!
+x=0
dt 2
dt
dx
v$
dt
dx
=v
dt
dv
= !2"v ! x
dt
相平面内の軌道の傾き
! dv $
# &
dv " dt %
x + 2(v
=
='
dx ! dx $
v
# &
" dt %
単振動（減衰＝０）
'直交
傾きが一定値mである点 (x,v)
x + 2"v
m=!
v
# x + 2"v + mv = 0
x + (2" + m)v = 0 ：原点を通る直線
減衰振動： ! 0
'軌道は円
過減衰： ! 0
> " (" /! 0 = 0.1)
"
< " (" /! 0 = 1.5)
"
%#&
!"#"%
%#'
%#(
"
"#&
"#(
"#)
"#*
'
!"#'
%#$
!"#'%
%
!"
!%#)
!%#$ %
%#)
"
"#)
!%#(
!"#&
!"#&%
!%#'
!%#&
!"#$
!"
!"#$%
!"#$
２．４ 強制振動
２．４．１ 摩擦のある振動子の強制振動
・摩擦のある振動子の運動方程式
d2x
dx
+ 2!
+ " 02 x = 0
2
dt
dt
・外力
F = mf 0 sin!t
d2x
dx
+ 2!
+ " 02 x = f0 sin #t
2
dt
dt
'#&
解：＝斉次方程式の一般解＋非斉次方程式の特解
(# 02 ! %2 )sin%t ! 2"%cos%t
x = aexp(!"t)cos(#t + $ ) + f 0
(# 02 ! %2 ) 2 + (2"%) 2
ただし、 ! " ! 02 # $ 2
右辺第２項を変形して、
x = aexp(!"t)cos(#t + $ ) +
ここで、
! = tan"1
f0
(# ! % ) + (2"%) 2
2
0
"2#$
"2F&
= tan"1
2
2
%0 " $
1" F 2
2 2
ここで、
sin(%t + & )
F!
"
%
, $!
#0
#0
F=
!
"0
解の第１項は時間が経つと減衰する。
振幅は、
A0
A=
(1! F ) + 4" F
2 2
2
2
, A0 #
f0
$ 02
'
!'#$
'
'#$
&
&#$
%
%#$
!&
!
!&#$
Gamma=0.01
Gamma=0.1
Gamma=0.2
Gamma=0.5
!%
!%#$
!"
!"#$
&"
&!
A
A0
Gamma=0.05
Gamma=0.1
Gamma=0.2
Gamma=0.5
%
$
#
"
F=
!
!
!'(
&
&'(
"
"'(
!
"0
２．４．２ 摩擦のない振動子の強制振動
＊摩擦のある振動子の強制振動（前節の場合）
x = aexp(!"t)cos(#t + $ ) +
f0
(# 02 ! %2 ) 2 + (2"%) 2
sin(%t + & )
（１）この式を使って摩擦がゼロの場合を求める (! = 0)
x = acos(!t + " ) +
f0
sin($t)
! # $2
2
0
（!）
! =0
" F < 1 " # 02 > $2
! = %&
" F > 1 " # 02 < $2
この式から共鳴状態に移行すると最初から振幅が無限大に
なってしまう。
（２）有限の摩擦がある状態から共鳴に移行する (! = " 0 )
f
x = aexp(!"t)cos(#t + $ ) + 0 sin(# 0t + % )
2"# 0
&
!0 = " # $ = %
2
f
' x = aexp(%(t)cos(!t + ) ) % 0 cos(! 0t)
2(! 0
この式は次のように変形することができる
acos(!t + " ) = acos(" )cos(!t) # asin(" )sin(!t)
f
= (a'cos(" ') + 0 )cos(!t) # a' sin(" ')sin(!t)
2$! 0
f
= a'cos(!t + " ') + 0 cos(!t)
2$! 0
ここで、
acos(! ) = a'cos(! ') +
asin(! ) = a' sin(! ')
したがって、
x = a'exp(!"t)cos(#t + $ ') +
f0
2"# 0
とおいた。
f0
[exp(!"t)cos(#t) ! cos(# 0t)]
2"# 0
x = a'exp(!"t)cos(#t + $ ') +
① 摩擦をゼロにする：
! "0
f0
[exp(!"t)cos(#t) ! cos(# 0t)]
2"# 0
(exp(#! t) " 1)
f0
&'exp(%# t)cos(! t) % cos(! 0t) ()
# $0 2#!
0
x = a'cos(! t + " ') + lim
= a'cos(! t + " ') +
% f0t cos(! t)
2! 0
② 共鳴状態：
x = a'cos(! t + " ') #
f0t cos(! 0t)
2! 0
３．パラメータ励振
３．１パラメータ励振とは？
線形振動であるが振動を決めるパラメータが周期的
に変化するシステム
３．１．１ パラメータ励振の例
"#$
"
%#$
ブランコ
振幅（振れ幅）
%
%
&
'
(
)
%
&
'
(
)
!%#$
t
!"
!"#$
"#$
"
%#$
重心の位置
t
%
!%#$
!"
!"#$
３．１．２ モデルブランコ
"#$
"
振幅
%#$
（振れ幅）
t
%
%
&
'
(
)
%
&
'
(
)
!%#$
!"
!"#$
"#$
"
%#$
重心の位置
%
t
!%#$
!"
!"#$
重力と遠心力に逆らう
⇨運動エネルギー増加
運動エネルギー減少
＊A,C点：重力に対して負の仕事をする
!0
⇨ 運動エネルギーの減少
!
!W = "!!mg cos # 0
!K = "!!mg cos # 0
m
!!
A
% 1 (
$ "!!mg'1" # 02 *
& 2 )
C
!! cos " 0
＊B点：重力に逆らって仕事をする
B
⇨ 運動エネルギーの増加
!W = !!mg
!K = !!mg
＊１回の腰の上げ下げで、重力に逆らってする仕事（運動エネルギーの増加）
1
!K " # 02 mg!!
2
＊遠心力に逆らってする仕事（B点のみ、A,C点では速度＝０なので仕事をしない）
!W = !K = "
!"!!
$ mr# dr % m!# !!
2
!
2
＊１回の腰の上げ下げでする全仕事（運動エネルギーの増加）
%1
(
!W = !K " ' mg# 02 + ml$ 2 *!!
&2
)
ブランコ１周期ではこの２倍のエネルギーがブランコに与えられる
⇨ 振幅はだんだん大きくなる
これをパラメータ励振と呼ぶ
３．２ パラメータ励振の方程式
３．２．１ 支点を上下させる場合
&運動方程式
! << 1
!
支点固定の場合
Y
d 2! g
+ ! =0
dt 2 !
m
x
支点の運動が運動する場合
! = ! (t) : 支点の運動
ヒモの張力
R:
力のバランスの式
x+"
+ mg
!
y
my˙˙ = !R
!
mx˙˙ = !R
(x + ! ) 2 + y 2 = ! 2
! << 1
x + ! " ! " (y " 0)
˙x˙ + !˙˙ " 0
x+! !
" =1
!
!
mx˙˙ = !R + mg
" ! m#˙˙ = !R + mg
" R = m(g + #˙˙)
したがって
振幅が小さければ
y = !sin! " !!
# !!˙˙ + (g + $˙˙)! = 0
y
my˙˙ = !m(g + "˙˙)
!
g + "˙˙
# y˙˙ +
y=0
!
これは、単振動の式で
g ! g + "˙˙
としたもの
&運動方程式の解
支点の動きを次のように仮定する
! (t) = "sin#t
)
g& "
$˙˙ + (1% # 2 sin#t+$ = 0
!' g
*
,
$˙˙ + # 2 (1% -sin#t)$ = 0
0
!"
g
#$ 2
, $ 02 "
g
!
ブランコの場合
! " 2! 0
g# 2
#
! " 4 ! 02
! g
!
! (t) = "sin#t
)
g& "
$˙˙ + (1% # 2 sin#t+$ = 0
!' g
*
,
$˙˙ + # 2 (1% -sin#t)$ = 0
0
-.4
"
!
& 4"
)
/ $˙˙ + # 02 (1%
sin#t+$ = 0
'
*
!
３．２．２ 振り子の長さが変化する場合
!有名な例：O.Batafumero (Santiago de Compostela 教会の鐘_Spain)
By Georges Jansoone
(Wikimedia Commons)
y
!
!(t)
m
R:
張力
x
mx˙˙ = !R + mg
!
y
my˙˙ = !R
!
（１）
（２）
y ! (1) " x ! (2)
x
d
m(xy˙ ! yx˙ ) = !mgy
dt
" x%
" x˙ %
! $ ' ! $ ' !
! !
r ! $ y ', v ! $ y˙ ', L ! m( r ( v)
$ '
$ ˙'
# z&
# z&
Lz = m(xy˙ ! yx˙ ), ! mgy :
モーメント
d
Lz = !mgy
dt
x˙ = ˙! cos! " !sin! # !˙
y˙ = ˙!sin! + ! cos ! # !˙
x = ! cos!
y = !sin!
xy˙ ! yx˙ = ! " ˙! cos#sin# + ! 2 cos 2 # " #˙ ! ! " ˙! cos#sin# + ! 2 sin2# " #˙
= ! 2#˙
d
!
(m! 2"˙ ) = #mgy
dt
y ! !"
!
d
(m! 2"˙ ) = #mg!"
dt
d 2˙
(! " ) = #g!"
dt
˙!
g
! 2! $ ˙!"˙ + ! 2"˙˙ = #g!" % "˙˙ + 2 "˙ + " = 0
!
!
!
p"
g
2˙!
, q" ,
!
!
#˙˙ + p#˙ + q# = 0
（１）
＊この方程式（１）を解く。
まず、次の変換（２）を考える。
#1
s = ! exp$
%2
#1
s˙ = !˙ exp$
%2
#1
˙s˙ = !˙˙ exp$
%2
&
" pdt'(
（２）
t
&
#1
&
" pdt'( + p! exp$% 2 " pdt'(
t
（３）
t
&
#1
&
1
#1
&
t
t
t
（４）
0=
1
#1
&
" pdt'( + p!˙ exp$% 2 " pdt'( + 2 p˙ ! exp$% 2 " pdt'( + 4 p ! exp$% 2 " pdt'(
式（４）は次のようになる。
=s
#1
&
#1
&
(!˙˙ + p!˙ + q! )exp$ " pdt ' ) q! exp$ " pdt '
%2 t (
%2 t (
#1
& 1
#1
&
1
+ p˙ ! exp$ " pdt ' + p 2! exp$ " pdt ' = ˙s˙
%2 t ( 4
%2 t (
2
! ˙s˙ + (q "
1 2 1
p " p˙ )s = 0
4
2
2
t
1 2
p =
4
2
1 ! 2˙! $ ˙! 2 1
1 d ! 2˙! $ ˙!˙! ' ˙! 2
p˙ =
# & = 2,
# &=
4" ! % !
2
2 dt " ! %
!2
1
( ˙s˙ + (g ' ˙!˙ )s = 0
!
=s
ところで、pの定義から
p!
$1
2˙!
d
= 2 (ln!) " exp%
!
dt
&2
'
# pdt() = !
t
$1
" * exp%
&2
! s = "!
! << 1, y " !! # s " y
1
$ y˙˙ + (g % ˙!˙ )y = 0
!
パラメータ励振の標準形
! = ! 0 (1! "sin#t)
g
# 02 $
!0
g
g
1
(g ! ˙!˙ ) =
!
!0
1!
とすれば
として
"# 2 sin#t
'
g$
!
!0
= %1+ (" ! " 0 # 2 ) + "(
1! "sin#t
!0 &
g
)
$ *# 2 '
= # 02 %1! , 2 !1/"sin#t + "( = # 02 (1! 0sin#t) + "
& +#0 .
)
y˙˙ + ! 02 (1" #sin!t)y $ 0
⇨ 支点上下の場合と同じ形
&! 2 )
# % ( 2 "1+,
'!0 *
ブランコの場合：
! " 2! 0 # $ " 3%
'
# pdt() = *!
t
３．３ パラメータ励振の一般化
３．３．１ マシュー方程式とヒル方程式
倍周波パラメータ励振
y˙˙ + ! 02 [1" #sin(2! 0 + $)t ] y = 0
ブランコの運動
（一般化）
マシュー（Mathieu）方程式
y˙˙ + ! 02 [1" #sin!t] y = 0
不安定領域の利用：パラメトロン素子
（一般化）
（非線形マシュー方程式）
ヒル（Hill）方程式
y˙˙ + q(t)y = 0
q(t + T) = q(t)
安定領域の利用：強収束荷電粒子加速器
３．３．２ Floquet の定理
ヒルの方程式（Hill’s Equation, G.W. Hill）
d 2u
+ F(x)u = 0 ：ヒルの方程式
dx 2
F(x + 2! ) = F(x) ： は周期 の周期関数
F(x)
2!
Floquet の定理
ヒルの方程式の解は周期的とは限らないが、以下
u(x)
に示すような解 を持つ。
u(x) = e µ x! (x), ! (x + 2" ) = ! (x)
Blochの定理
Floquetの定理
Blochの定理
(G. Floquet, 1883)
(F. Bloch, 1928)
対象方程式
Hill の方程式
Schrödinger 方程式
対象現象
パラメータ励振
結晶中電子の挙動
次元
１次元
３次元
定理名称
方程式と解
d 2u
+ F(x)u = 0
dx 2
F(x + 2! ) = F(x)
u(x) = e µ x! (x)
! (x + 2" ) = ! (x)
# !
&
2
%$ ! 2m " + U(r)(' ) (r) = *) (r)
0
U(r + R) = U(r)
! nk (r) = exp(ik " r)unk (r)
unk (r + R) = unk (r)
３．３．３ 励振周波数が基本周波数の ほぼ２倍の場合の安定性
励振周波数
! = 2! 0 + "
運動方程式
˙˙ + ! 02 {1" #sin(2! 0 + $)t}x = 0
x
# << 1
（１）
解の形を仮定
#
#
"&
"&
x = a(t)sin%! 0 + (t + b(t)cos%! 0 + (t
（２）
$
$
2'
2'
2)
a(t), b(t) :
よりもゆっくりと変化する
!0
a˙, b˙ :
拘束条件
十分小さいと仮定する
#
#
"&
"&
a˙ (t)sin%! 0 + (t + b˙ (t)cos%! 0 + (t = 0
$
$
2'
2'
（３）
（３）の拘束条件を考慮に入れて、（２）から計算したｘの２階微分を（１）に代入する
#
#
"& #
"&
"& #
"&
a˙%! 0 + ( cos%! 0 + (t ) b˙%! 0 + ( sin%! 0 + (t
$
$
2' $
2'
2' $
2'
2
+#
.1
#
#
"&
"&
"& 4
= -%! 0 + ( ) ! 02 {1) *sin(2! 0 + ")t}02 asin%! 0 + (t + bcos%! 0 + (t 5
$
$
2'
2'
2' 6
,$
/3
（４）
（３）、（４）式を連立させて、 について解く
a˙, b˙
)1
2
.1
#
#
#
" & +#
"&
"&
"& 4 #
"&
a˙ = %! 0 + ( -%! 0 + ( ) ! 02 {1) *sin(2! 0 + ")t}02 asin%! 0 + (t + bcos%! 0 + (t 5 cos%! 0 + (t
$
$
$
2 ' ,$
2'
2'
2' 6 $
2'
/3
)1
2
.1
#
#
#
"& + #
"&
"&
"& 4 #
"&
b˙ = %! 0 + ( -)%! 0 + ( + ! 02 {1) *sin(2! 0 + ")t}02 asin%! 0 + (t + bcos%! 0 + (t 5 sin%! 0 + (t
$
$
$
2' , $
2'
2'
2' 6 $
2'
/3
以下、当分、 について考える。
a˙
2
2
.31
+ #
#
#
#
" & +#
"&
"&
"&
" & . 35
a˙%! 0 + ( = -%! 0 + ( ) ! 02 {1) *sin(2! 0 + ")t}02 asin%! 0 + (t cos%! 0 + (t + b-cos%! 0 + (t0 6
$
$
$
2 ' ,$
2'
2'
2'
2 ' / 37
, $
/34
次の関係が成り立つことに注意
#
#
"&
"& 1
sin%! 0 + (t cos%! 0 + (t = sin(2! 0 + ")t
$
$
2'
2' 2
2
) #
"& , 1
* sin%! 0 + (t - = {1/ cos(2! 0 + ")t}
2' . 2
+ $
) #
"& , 1
*cos%! 0 + (t - = {1+ cos(2! 0 + ")t}
2' . 2
+ $
2
2
-1
#
" & *#
"&
a˙%! 0 + ( = ,%! 0 + ( ) ! 02 / [ asin(2! 0 + ")t + b + bcos(2! 0 + ")t ]
$
2 ' +$
2'
.2
+ 0! 02
{
}
1
2
a[ sin(2! 0 + ")t ] + bsin(2! 0 + ")t + bsin(2! 0 + ")t cos(2! 0 + ")t
2
2
-1
#
" & *#
"&
˙a%! 0 + ( = ,%! 0 + ( ) ! 02 / [ asin(2! 0 + ")t + b + bcos(2! 0 + ")t ]
$
2 ' +$
2'
.2
1 1a
+ 0! 02 2 [1) cos2(2! 0 + ")t ] + bsin(2! 0 + ")t
2 32
4
b
時間積分をするとゼロになる項
+ sin2(2! 0 + ")t 5
6
2
したがって、
2
- 1
#
" & 1 *#
"&
1 #
1 & 1
1
1
˙a%! 0 + ( = b,%! 0 + ( ) ! 02 / + a0! 02 = b%"! 0 + " 2 ( + a0! 02 1 b"! 0 + a0! 02
$
2 ' 2 +$
2'
2 $
4 ' 4
2
4
. 4
ところで、
)1
#
"&
1
1
!
+
) 2 " +!
% 0
( =
$
2'
! 0 2! 0
したがって、
とする
a ! aˆ e"t , b ! bˆ e"t
a˙ = "a, b˙ = "b
&1
) 1
!
( "# 0 $ % +a + ,b = 0
'4
* 2
&1
)
1
,a + ( "# 0 + % +b = 0
'4
*
2
a
b
a˙ = ! 0" + #
4
2
同様に、
a
b
b˙ = ! " ! # 0$
2
4
a, b が解を持つために、行列式＝０
1
!" 0 # $
4
1
%
2
1
%
2
1
!" 0 + $
4
1 & " 2# 02 2 )
!2 = (
$% +
4' 4
*
=0
解の解釈
!=0
1
! = ± "# 0
4
$
%1
(
% 1
(
a = a0 exp' "# 0t *, b = b0 exp'+ "# 0t *
&4
)
& 4
)
cos
sin
!<0
! > 0 で、 が成長、 で、 が成長する
!"0
a0 , b0 で、成長はない（普通の共鳴と異なる）
=0
! : Re al " ! 2 # 0
1
1
$ % & '0 ( ) ( & '0
2
2
最大成長率： の時
!=0
!=
1
" #0
4
この時、振幅増大（不安定）
!
不安定
安定
安定
2! 0
2! 0 + "
３．３．４ マシュー方程式の安定領域
˙˙ + ! 02 (1" #sin!t)x = 0
x
の近傍でパラメータ励振が起こり、解は指数関数的
! = 2!
0
に増大することを示した
2!
n
不安定解は、一般に、 （ ：整数）で現れることが
!" 0 n
知られている
変数変換
d 2u
+ (a ! 2qcos 2z)u = 0 ：マシュー方程式
dz 2
z " ± iz
z = !t
! 02
d 2u
!2
! (a ! 2qcosh 2z)u = 0：変形マシュー方程式
dz 2
2
!
# = $% 02
!
2
d x
! 2 2 + ! 02 (1$ %sinz)x = 0
dz
d 2x
&
+ (" + #sinz)x = 0
dz 2
"=
! = 0 (" = 0)
での不安定領域：
1
4
9
4
$ ! '2 n2
!0 n
~
" # =& 0) ~
%! (
! 2
4
25
4
! ~ ,1, , 4, , 9,!
したがって、 で不安定になる
!
! = 0.1"
! =0
!
!2
３．３．５ パラメトロン
パラメトロンの発明：後藤英一（１９５４）
電気通信学会誌 ３８卷 １０（１９５５）
&電気回路の振動
VL + VR + VC = 0
i
Ｌ
VL
VL = L
Ｒ
d 2q
dq 1
+R + q=0
dt 2
dt C
2
d q R dq
1
+
+
q=0
2
dt
L dt LC
1
L
とすると
! 02 "
, Q " ! 02
LC
R
d 2 q ! 0 dq
+
+ ! 02 q = 0
dt 2 Q dt
!
# " !t, $ " 0 とすると
!
d 2 q $ dq
+
+ $2 q = 0
d# 2 Q d#
L
＋ｑ
Ｃ
VR
q
dq
di
, VR = Ri, VC = , i =
dt
i
dt
ーｑ
VC
損失項のある式
&パラメトロンの発振
（１）線形系の解法
$ " '
q = x exp & !
#
% 2Q )(
とする
$ " ' "
$ " '
dq
= x! exp & !
# !
x exp & !
#
% 2Q )( 2Q
% 2Q )(
d#
2
$ " ' "
$ " ' $ "'
$ " '
d 2q
= x!! exp & !
# ! x! exp & !
# +
x exp & !
#
% 2Q )( Q
% 2Q )( &% 2Q )(
% 2Q )(
d# 2
*
$
d2x
1 '
+ "2 & 1 !
x=0
2
%
d#
4Q 2 )(
この方程式は振動部分を含まない
ここで、あらためて、Ｌが時間変化するとする
L = L0 (1! " cos2#t)
$2 =
# 02
1
1
=
%
(1+ " cos2#t),
# 2 LC# 2 L0C# 2
( " << 1)
1
, !0 ~ 1 $ !0 = 1+ % (% << 1)
L0C# 2
'
1
1 *
<< 1 $ !2 )1&
- !2 = !20 (1+ . cos2#t)
2,
2Q
( 4Q +
= (1+ % )(1+ . cos2#t)
= 1+ % + . cos2#t
!0 "
/
d 2x
+ (1+ % + . cos20 )x = 0
d0 2
これは、マシュー方程式である
この方程式の近似解は次のように表される
x = exp(µ! )sin(! " # )
$
µ = sin2#
4
$
1
3
% = cos2#
! = 0 (" = " 0 ) # $ = % , & %
2
4
4
) '( ,
q = xexp+&
.
* 2Q )
1)/ 1 ,
%,
q1 = exp + & ."t 0 sin+"t & .
電荷挙動の式に戻す
*
2 * 2 Q4)
1)/ 1 ,
3% ,
q 2 = exp + & ."t 0 sin+"t +
.
*
2 * 2 Q4 -
則ち、パラメータ励振系で
!
1
>
は、 ならば、振動は
2 Q
指数関数的に増大する。その
!
際、位相が だけ異なる二
つのモードが成長する
（２）損失のある非線形マシュー方程式
実際のシステムでは、振動の振幅は無限に増大せずに一定値で止まる。
そこで、損失のある非線形マシュー方程式を考える。
d 2 q 1 dq
+
+ (1+ " + #q 2 + $ cos2! )q = 0
2
d!
Q d!
の形の解を探す
q = R(! )sin(! % & (! ))
（仮定）
2
2
2
˙˙ = d R ~ 0, "˙˙ = d " ~ 0, "˙ 2 = #% d" &( ~ 0, "˙R˙ = d" dR ~ 0
R
$ d! '
d! 2
d! 2
d! d!
q˙ = R˙ sin(! " # ) + Rcos(! " # ) $ (1" #˙ )
˙˙ sin(! " # ) + 2R˙ cos(! " # ) $ (1" #˙ ) " Rsin(! " # ) $ (1" #˙ ) 2 " Rcos(! " # ) $ #˙˙
q˙˙ = R
% 2R˙ cos(! " # ) " Rsin(! " # ) $ (1" 2#˙ )
! 2R˙ cos(" # $ ) # Rsin(" # $ ) % (1# 2$˙ ) +
[
1 ˙
Rsin(" # $ ) + Rcos(" # $ ) % (1# $˙ )
Q
+ (1+ & )Rsin(" # $ ) + 'R 3 sin3 (" # $ ) + (Rcos2"sin(" # $ ) = 0
]
ところで、次式が成り立つ
3
1
3
sin(! " # ) " sin3(! " # ) $ sin(! " # )
4
4
4
1
cos2!sin(! " # ) = (cos # % sin3! " cos# % sin! " sin# % cos 3! " sin# % cos ! )
2
1
1
$ " cos# % sin! " sin# % cos !
2
2
sin3 (! " # ) =
これらの式を前ページの式に代入して の係数を求めると（ とする）
cos ! , sin!
!˙ " R˙ ~ 0
cos ! の係数は
2R˙ cos " + R(1# 2"˙ )sin" #
1 ˙
R
3
1
Rsin" + (1# "˙ )cos " # (1+ $ )Rsin" # %R 3 sin" # &Rsin" = 0
Q
Q
4
2
（１）
1 ˙
R
3
1
R cos" + (1# "˙ )sin" + (1+ $ )Rcos " + %R 3 cos " # &Rcos" = 0
Q
Q
4
2
（２）
sin! の係数は
2R˙ sin" # R(1# 2"˙ )cos " +
これより
#
&
#
& 1
1
1
R˙ % 2cos! " sin! ( " R!˙ % 2sin! + cos ! ( + Rcos ! " )Rsin!
Q
Q
$
'
$
' Q
3 3
1
" *R sin! " +Rsin! = 0
4
2
#
&
#
& 1
1
1
R˙ % 2sin! + cos ! ( + R!˙ %2cos ! " sin! ( + Rsin! + )Rcos!
Q
Q
$
'
$
' Q
（３）
（４）
3
1
+ *R 3 cos ! " +Rcos! = 0
4
2
$
'
$
'
1
1
(3) ! &2cos " # sin" ) + (4) ! & 2sin" + cos " )
Q
Q
%
(
%
(
$
'
$
'
2
2R *R
3
,R
1
R˙ & 4 + 2 ) +
+
+
+R 3 # & 2sin2" + cos2" ) = 0
Q ( Q
Q 4Q
2 %
Q
%
(
$
'
$
'
1
1
(3) ! &2sin" + cos" ) # (4) ! &2cos " # sin" )
Q
Q
%
(
%
(
$
'
$
'
1
R
3
,R
1
# R"˙ & 4 + 2 ) + 2 # 2*R # +R 3 + &2cos2" # cos2" ) = 0
Q ( Q
2
2 %
Q
%
(
1
!
"
#
~ 0,
~ 0,
~ 0,
~0
Q2
Q
Q
Q
として
1
"
R˙ = !
R + Rsin2#
2Q
4
$ 3
"
#˙ = ! ! %R 2 + Rcos2#
2 8
4
（７）
（８）
（５）
（６）
概念図
"#'
"#$
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"
!"#&
"
"#(
&
&#(
!"#%
!"#$
R0 = 0.2, ! 0 = 0.5
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"#%
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"#&
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"
"
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"
"#(
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!'
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!"#'
!"#&
!"#%
!"#%
!"#%
!"#$
!"#$
!"#$
!'#(
!'
!"#(
R0 = 0.2, ! 0 = 4.0
R0 = 0.2, ! 0 = 3.5
R0 = 0.2, ! 0 = 2.5
R0 = 0.2, ! 0 = 1.5
"#%
"#%
"#'
"#&
"#&
"#$
"#'
"#'
"#%
"
"
!"#'
"
!'#(
!'
!"#(
"
!"#'
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"
"#(
"
!"#&
!"#&
!"#&
!"#%
!"#%
!"#%
!"#$
!"#$
!"#$
R0 = 0.2, ! 0 = 5.0
"
"#(
&
R0 = 0.2, ! 0 = 6.0
補足：パラメトロン計算機
1954年に東京大学理学部物理学科高橋秀俊教授のもとで大学院生だった後藤英一
によってパラメトロンの原理が発明された。高橋研究室ではパラメトロンを使っ
た計算機PC-1が製作された。PC-1は1958年3月26日に運転が開始されて1964年5月に運
転を終了した。運転期間中は高橋研究室内外の研究者によって研究に使用された
他、物理学科の学生実験にも使用された。PC-1の運転終了の頃から、世界は本格
的に大型計算機の時代に入る。例えば、IBM 360シリーズの登場である。PC-1は初期
の我が国の計算機技術の発展にに大きな役割を果たしたとされている。
（参考文献）
１．高橋秀俊：電子計算機の誕生（中公新書273、1972.1.25）
２．和田英一：パラメトロン計算機PC!１ー回路設計と方式設計（1996年夏のプロ
グラミングシンポジウム・コンピューティングの歴史、箱根静雲荘、1996.7.23）
&#(
パラメトロン
多数決演算
[x, y, z] = (y ! z) " (z ! x) " (x ! y)
x ! y = [x, y,0]
x " y = [x, y,1]
３拍励振、クロック周波数
PC-1
パラメトロン数 ：4200
励振周波数
共振周波数
：2.3 MHz
：1.15 MHz
クロック周波数 ：15 kHz (t=67 microsec)
記憶装置
演算装置
演算速度
：18 bits, 512 Words
：36 bits register x 3
：加減算：4t、乗算：26t(short)、 44t(long)
：除算：161t、書き込み：8t
：無条件jump：4t、条件付きjump：8t
稼働開始
稼働終了
：1958.03.26
：1964.05
PC-1
高橋秀俊先生
後藤英一先生
学生実験に使われていたPC-1
算術平均、幾何平均、算術幾何平均の計算（Python）
def average(x,y):
L=range(len(x))
for ll in L:
xx=x[ll]
yy=y[ll]
while (xx-yy)**2>0.000000001:
xxx=(xx+yy)/2.0
yyy=(xx*yy)**0.5
xx=xxx
yy=yyy
print 'x=',x[ll],"y=",y[ll],'a=',(x[ll]+y[ll])/2.0,'g=',(x[ll]*y[ll])**0.5,'m=',xx
return
>>> x=[0.034209,0.032,0.07,0.023,0.00765404,0.056108,0.0019,0.001902,0.08,0.0004301]
>>> y=[0.00875,0.0009876,0.00564,0.0543,0.0087,0.000765,0.0084498,0.00087023,0.067,0.009]
>>> av.average(x,y)
x= 0.034209 y= 0.00875 a= 0.0214795 g= 0.0173011199059 m= 0.0193338712424
x= 0.032 y= 0.0009876 a= 0.0164938 g= 0.00562167234904 m= 0.0103435004562
x= 0.07 y= 0.00564 a= 0.03782 g= 0.0198695747312 m= 0.0281288457797
x= 0.023 y= 0.0543 a= 0.03865 g= 0.0353397792862 m= 0.0369763684199
x= 0.00765404 y= 0.0087 a= 0.00817702 g= 0.00816027867171 m= 0.00817702
x= 0.056108 y= 0.000765 a= 0.0284365 g= 0.00655153569783 m= 0.0155120885608
x= 0.0019 y= 0.0084498 a= 0.0051749 g= 0.00400682168308 m= 0.00457221002845
x= 0.001902 y= 0.00087023 a= 0.001386115 g= 0.00128653700297 m= 0.00133632600148
x= 0.08 y= 0.067 a= 0.0735 g= 0.0732120208709 m= 0.0733560104354
x= 0.0004301 y= 0.009 a= 0.00471505 g= 0.00196746029185 m= 0.00319350918762
算術平均、幾何平均、算術幾何平均の計算（PC-1のmnemonic code）
３．３．６ ベータトロン振動と強収束原理
&荷電粒子ビーム加速
＊静電加速器
Cockcroft Walton
加速粒子：電子、イオン、原子核、素粒子
目的：基礎物理研究、医療、物性研究、非
破壊検査、その他
Van de Graaf
＊線形高周波加速器：Linear Accelerator(Linac)
＊円形加速器：Cyclic Accelerator
サイクロトロン(Cyclotron)
ベータトロン(Betatron)
シンクロ・サイクロトロン (Synchro-Cyclotron)
シンクロトロン(Synchrotron)
磁場中の軌道安定性
Van de Graaf
Linac
http://wlap.physics.lsa.umich.edu/cern/lectures/
academ/2000/wilson/01/real/f007.htm
http://library.thinkquest.org/28383/nowe_teksty/htmla/1_39a.html
Betatron
Cyclotron
http://library.thinkquest.org/28383/nowe_teksty/htmla/1_39a.html
Synchrotron
http://www.issp.u-tokyo.ac.jp/labs/sor/project/Accelerator/synchrotron/syn.pdf
&ローレンツ力と磁場中の荷電粒子軌道
＊ローレンツ力
＊一様磁場中の軌道⇨円軌道
M
! ! !
! ! !
F = Fe + Fm = e(E + v ! B)
!
d 2r ! !
= Fc ! Fm = 0
dt 2
! Mv 2 !r
遠心力
Fc =
R r
!
!
r
ローレンツ力（磁場）
Fm = evB
r
Mv 2
v eB
= evB ! " # =
R
R M
角速度一定
&荷電粒子の収束
平衡軌道に垂直な面内にx-y座標系をとる（磁場は軌道面に垂直方向！）
x
^r
^r, ^
z ：半径方向、上下方向の単位ベクトル
R
R：平衡軌道半径
B 0：平衡軌道上の磁場
平衡軌道
! "
!B % ! B
B = $B0 + z x'zˆ + r zrˆ
#
!r &
!z
r =R+ x
!B
Bz (r) = B0 + z x
!r
!B
Br (z) = r z
!z
＊ｒ方向の運動
M
#
#
d 2r
Mv 2
"B & Mv 2 # x &
"B &
= Fc ! Fm,r =
! ev% B0 + z x( )
%1! ( ! ev%B0 + z x(
2
$
$
dt
r
"r '
R $ R'
"r '
Mv 2
= evB0
であるので
R
) x " x %" R (B %,
d 2r
z
M 2 + evB0 + + $! '$ !
'. = 0
dt
* R # R &# B0 (r &-
n!"
R #Bz
B0 #r
ｎ値の定義
d 2r
1" n
+ evB0
x=0
dt 2
R
d 2r d 2x
$ 1
= 2 , vdt = d!,
=
2
dt
dt
v R
d 2 x 1" n
+ 2 x=0
d! 2
R
M
として
＊ｚ方向の運動
全く同様にして
d 2z n
+
x=0
d! 2 R 2
この方程式に従う粒子の運動を
ベータトロン振動と言う。
x, z
&弱収束 d 2x
+ AH x = 0
d! 2
d 2z
+ AV z = 0
d! 2
A小
!
A大
Aが大きいほど振動数が大きい、振動数が大きいほど収束性が良い
A<0で発散。したがって、
1! n
n
> 0,
>0
2
R
R2
" 0 < n <1
電磁石の磁極間隔、磁極幅を小さくしたい。
⇩
粒子ビームの広がりを狭くする。
⇩
ベータトロン振動数を大きくする。
収束性に上限がある・・・弱収束
⇩
弱収束では(0<n<1)の制限のためにベータトロン
振動の周波数は粒子の回転周波数より小さい。 ⇨ 強収束
&強収束
A = A(!)
そこで、 として
Focusing
Magnet
Defocusing
Magnet
1! nF
(> 1), nF < 0
R2
n
AVF = F2 (< 0)
R
1! nD
AHD =
(< 0), nD > 1
R2
n
AVD = D2 (> 0)
R
AHF =
r方向収束
z方向発散
r方向発散
z方向収束
上のようにFocusing MagnetとDefocusing Magnetを用意して交互に並べるこ
nF , nD
とで、 を１より大きくして強い収束を実現した粒子加速器
を強収束粒子加速器と言う。
この加速器における粒子の挙動はヒル方程式で表される。加速器
の設計・解析に当たってはこの方程式を数値的に解く。
★E.D. Courant, M.S. Livingston, H.S. Snyder, Phys. Rev. 88 (1952) 1190. 強収束の原理
&強収束加速器におけるベータトロン振動の数値解析
＊セクター構成（電磁石の並べかた）
一つのセクター内ではn値が一定で
運動方程式は次のように表される。
n
＋ー＋ー＋ー＋ー＋
d 2 x 1! n
+ 2 x=0
d! 2
R
d 2z n
+
z=0
d! 2 R 2
R #Bz
n"!
= const
B0 #r
!
実際には、磁石と磁石の間に自由空間（何もない空間：０）を入れる。
例えば、
n
n
０ー＋０＋ー０ー＋
!
＊垂直振動について考える
Ｄセクター内（n>0)の解：振動解
z = z0 cos
n
R
n
!+
z'0 sin
!
R
R
n
n
n
n
z0 sin
! + z'0 cos
!
R
R
R
z0 = z(0), z'0 = z'(0)
"
n
R
n %
sin
!'
" z % $ cos R !
R '" z0 %
n
$ '=$
$ '
n
n '# z' 0 &
# z'& $ R
sin
!
cos
! '
$!
# n
R
R
&
z'= !
Ｆセクター内（n<0)の解：発散解
z = z0 cosh
n
R
!+
R
n
z' 0 sinh
n
R
!
n
n
n
z0 sinh
! + z'0 cosh
!
R
R
R
"
n
n
R
$ cosh
!
sinh
R
R
" z% $
n
$ '=$
# z'& $ R
n
n
!
sinh
!
cosh
!
$
R
R
n
#
z'= !
自由空間内（n=0)の解
! z $ ! 1 !$! z 0 $
# &=#
&# &
" z'% " 0 1%" z'0 %
%
!'
'" z 0 %
'$ '
'# z'0 &
'
&
０ー＋＋ー０ー＋＋ー
!
!i ：i番目のセクターの行列
)#
+%
+%
+%
+%$ "
+
+
+#
+
!i = *%
+%
+%
+%%"
+$
+
+
#
+%1
,+$0
R
n &
sin
si (
R (
n
n
(
cos
si (
'
R
n
si
R
n
n
sin
si
R
R
cos
cosh
n
n
R
sinh
R
&
si (
R (
n
(
n
cosh
si ((
'
R
R
si
n
R
Ｄセクター
si
sinh
n
!&
(
1'
Ｆセクター
自由空間
一周はＫ個のセクターから構成されているとする
! zK $
! z0 $
# & = M# &
" z'K %
" z'0 %
!M
M12 $
M ' (K (K )1 !(2(1 = # 11
&
" M 21 M 22 %
行列Ｍの固有関数Ｚと固有値 を求める
!
! Z(!) $
! Z(!) $
M#
& = '#
&
" Z'(!)%
" Z'(!)%
M11 ( '
M12
=0
M 21
M 22 ( '
'2 ( '(M11 + M 22 ) + 1 = 0
M + M 22
cos) * 11
2
' = cos) ± cos 2 ) (1 = cos) ± isin) = e ±i)
固有値、固有関数は、
!1 = ei"
!2 = e
#i"
Z1 (!)
Z2 (!)
振動解の条件
! ：実数
# $1 <
"
cos ! < 1
M11 + M 22
<1
2