数3 標準問題精講（演習）①.pages

バ
;
一般に，
したがって， 5 は θ=α で最大で，このとき，
部分列の収束はもとの数列の収束を意味しない
先
・
145
か らです
P阿QzE.=トsin α=
4
「膏主世
i出
「膏主世
i出阿zE ト
〈
例) an= ( _ l) n は振動するが ，lima2n= 1
ムO A B は
(ζ
2)
(1 )より， L A O B = ρ
6，
0 q であるから，
6-1
，，
a1=1
，，
anaTan Tna-1n Q-1=Q =a a(n(n
孟孟
2) 2)
ζ6-1) ) a aは正の数，
は正の数，
ρ，
qはともに正の整数とし
はともに正の整数とし
a1=1
医学部予備校
ACE
Academy
確認テスト
したが
って
，
4
O
A
=
O
B
l
辺の長さが
2e
の正三角形である.
y
を満たす正数列を
α
{α
..
〈方針 (i)による別解〉
を満たす正数列を
{n} n}とする
とする
limα
n=
α
ζ
二
三
limα3
n
=lim
白
川
=
l
i
m
a3n+2
=
α
O B nの中点を
M qとし，線分
A M標準問題精講（演習）①
，曲線 Cn ，x 軸
数3
(1)
ρ，
nn n-で表せ.
・
∞で表せ.
n - ∞、
n -α
∞
da 5，
L，，
(1)α
nをを
a，
ρ
q，
=
:
(2sin2θ
十
cos2θ
)
一一
8
2 ，lima を求めよ
，
4 5 ，= ( 長方形 O M A H )
が囲む図形の面積をふとすると，
(2)
> >q dqのとき
( 名古屋大)
n n を求めよ
に基づいて，すべての部分列が同じ極限値をもつことを示しておく方が確実
(2)ρρ
のとき
，lima
( 名古屋大)
7七
です.
e dy
5 1 = l 3e lO g X d X
sin ( 仙 s)
z
でもよい
r 6-2
zτ
5α5α
n +n 3+ 3
r
z
τ
L' -豆
三)
a[xna+1=
η
(..注注
1) 1)を満たす数列{
..
+1=
η
(，
を満たす数列{仇}
仇}がある
がある
-L
../. . / a1=4
- .a1=4
a-一一一一
'=--豆
-ニ=.三)
-.ニ
，
..= -1. ，
3-，
e-，
lnog
x一一一一
na+xn3+ 3 ，
一
一
一
一
一
一
一
一
ー
寸
l ! 朝出問調
{sin ( 加 s)0
・
→ 曲
le=手
、
、
=手
= l 3e
r
・
一
士
I 去)
f.''
bnb=!n!=:!.!旦二三とおいて
lim
向
を
求
め
よよ
( ( 慶慶
大大
)
，
. .まTた
に内接する円を
に内接する
bを求めよ
lim
向
を
求
め
，
。豆ヨ)
が 3，4 ，5bnである
T 1)
ま1た
n を求めよ
a n:a.+3旦二三とおいて
β<2θ
十
< π+ β よ り，
5'三角形
の符号は，
2 8 + β= π 一βCI ， C 1
+辺1β
n1
と相似な
T 2 ，よ
Tり
2 に内接する円を C 2 とし，以下同様にお ，C 3，T 4 ，C4 ，
ま
た
， 三角形を
L P O B = 30
PB=2e ω oo= ? ?
，
θ
=，
-a β
の前後で正から負に変化して
，S はここで最大とな
C C…
D Dすなわち
)
数列
α
1α
，
α2?α
，
3a，
…が
)
数列
1
2，
3，
…が
を つ くる . 三角 形 れ の 面 積 を Si として: L : S i を 求 め よ (工学院大)
となるので，台形 A M B P の面積を 52 とする
とl，
i=
ります.
(
G
I
=
c
(
円
2
，
3
，
.
.
.
)
(
G
I
=
c
(
円
2
，
3
，
.
.
.
)
15-2
(15-2)
辺が
の正三角形
AoBoCo をかく. 次に ，A O=Cl ，辺 A oB oの中点を
(2-a
肘
1 =11=M1 B
、、
n )肘
5 2 =1(2-a
( An1)Mα
+α附
P Q = sB1C
i n (1;を-β)
= cす
o sる正三角形
β=
辺と
を
BIによって定義されるとき
とし，線分
1，
A1B1C
Al，，
が正三角形
AoBoC
，
lima
= 1を証明せよ
を証明せよ
ただし
0<c c< 1< 1とする
とする
によって定義されるとき
lima
. .1ただし
0<
. .。
n =n 1
n
→∞
n →∞
の外にあるようにかく. 次に，
A 1= C2 ，辺 AIBl の中点を B 2 とし，線分 B 2 C 2
0
す
=
去
汀
( e+??)
( 東京女大)
( 東京女大)
A1B1C 1の外にあるようにか
も1 3
く. 以下これをくり返し，正三角形
A 3B 3C 3，A 4B4C4，
・・
・をかいていく.
= ニ ー^-eb
一一一寸
(1 ) ICO C 3 1 を求めよ.
さらに，扇形 P A B の面積 53 は
， 4 こAPB=120
E(2)
ヨ
)limxyIC平面において，原点
O を通る互いに直交する
2 直線を引き，直線
め よ
(千葉大)
oC 3n Iを 求
を l 辺とする正三角形 A 2B 2 C 2 を，A 2 が正三角形
。
σ
う
→
0
であるから，
x = - l およ び直線 x = 3 f 3 との交点を，それぞれ P ，Q とする， O P + O Q
豆ヨう 面積 1 の正三角形
A lか ら始めて，図のように図形 A 2，A 3，……をつく
2
ー どんな方法でも，この扇形の
の最小値を求めよ.
ただし，交点 P ，Q は y > O の範囲にあるものとする
.
53
π
P
B
=
A n の外側
る. ここで A n+l は，A n の各辺の三等分点を頂点にもつ正三角形を
面積計算は避けられない
(青山学院大)
ゆえに，求める面積 S は
，
につけ加えてできる図形である.
このとき次の間いに答えよ.
35-2 5 =0<5 18+ <52;- 5とする
. xy 平面上において，軒、 P Ij: ，
2t， A(cosθ，sinθ
)を
3
. (5J
3
4π ¥
、
= 3 e +1
ームニー一 一一 l
始点として
6
9 J
曲線 x=cost，y=sint (θ孟 t壬2 π- 8 )
の上を点 B(cos (2π- 8) ，sin (2π
-8)) まで動き，次に， B におけるこの曲線
(1 ) 図形 A n の辺の数仇を求めよ.
の接線に沿って z 軸上の点 C まで直進し，さらに終点である原点まで直進する
(香川大)
2)出図形
limS
rIE(創
阿 章 A n の面積を Sn とするとき，
一一一一
一 n を求めよ.
ものとする
. このとき，点 P一が描く曲線の長さ
L (θ
) およびその最小値を求め
よ.
( 福井医大( 現・福井大) ) .
2 つの曲線 y = 21ogx と y = αd がある点で共通の接線をもっとする
平
今ヂや
?
乙
@ヨ)
(1 ) 定数 αの値，お よび接点、の座標を求めよ.
(2) この 2 つの樹線と
z 取uで 固 ま れ た 図 形 の 面 積 を 求 め よ ( 学 習 院 大 )
61-2
(61-2)
曲線 y = - log( αx) (a>O) と，原点を中心 とするある円とが z 座標が
l となる点で接している . このとき，次の間いに答え よ. ただ し，対数は自然
対数とする.
(1) αの値を求め よ.
(2) 曲線，円および z 軸の正の部分で固まれる部分の面積 S を求めよ .
( 日本大)
→
:J
平
弓 :J
53 2rcos
πP( B8 +=す
= [logf(t)
2rcos (=8[l+Og
す)) --S44は==，e 0-0X
ゆえに，求める面積
守二 寸
寸
ゆえに，求める面積 S は
，
5 =rcos(
5〈1解全体はただ
+ 582 - 53) = 2 1 つの解 αで表せる 〉
=log
5 =rcos(
5 1 + 582 - 53) = 2
.=(5J
4π
¥
cームニー一
o s33 +一一
i sin
(2) (1)と同様にして，
、
== 33 eeα
+1
. (5J
4π
(2) (1)と同様にして，
6
9 J¥ll
、
+1
ームニー一
一一
6
ぞ
?
9 J
ー 面積計算は避けられない
どんな方法でも，この扇形の
面積計算は避けられない
子
乙
?
乙
(rcos
- [3)2 = 2
，
Z k8-1)2+(rsin
=α
4 tを使うと
割出陪
'一
一
一たとなるので，ぷ
一一十 8
(rcos
8-1)2+(rsin
8 - [3)2= =1 2の解全
.. f2i狐の1"'1 を合成
r 22 -2r(cos θ+ [ 3 sin θ) + 4 = 2
体の集合は
76-1
.. f2i狐の1"'
1 を合成
-2r(cos
θ+ [ 3 sin θ
) + 4 = 2π
(76-1 ) r曲線
y=log(2sinx)
(O<X<
) の概形をかき，この曲線の
{α。
( = 1)， α， αz， α3， α4}
〆
-4rcos(
部
分
の 長 さ一
を
求
め よ (
rI
E
創
出
阿
章
rIEとなります.
創 出 阿〆
章-4rcos(
一一
一一
一一
一一
一一
一
U 孟O の
岡 山 大 )
@ヨ)
22 つの曲線
と
== αd
がある点で共通の接線をもっとする
..
@ヨ)
つの曲線
y〉
= 21
21
ogx
と1)y
yを
αd
がある点で共通の接線をもっとする
@ :(zn
三〉
y = 1 -y
x=
(0ogx
壬z 壬
C とする
. C を u 軸の
U
= 1曲線
への一般化
2
(図形的
な別よび接点、の座標を求めよ.
解 〉 C が通過する曲面を S とする . C
α
の値，お
((11まわりに
)) 定数
α
の値，お
定数
l(1)
回転したとき
な別よび接点、の座標を求めよ.
解〉
標問
9 6(図形的
が一般化できることは明らかです.
(2)
この
2
つの樹線と
z取
たら図，形回
のは
面
を 求 め よ/3
( 学習院
長さ
が通過する
の微小部分
d S積の面積は
(1) 司
の ds)
傾き
はuで
- 固
去ま
だSれか
4 =大
O )
nの微小部分(
を任意の自然数とするとき
(1) 司 の 傾 き は - 去 だ か ら ， 回 は
/3xx -- yy- 4 = O
2πxds であるとして，
61-2
2π ， . . S
2πの 面 積 を 計 算 せ よ ( 宇 都 宮 大 )
(61-2)α=曲線
- 1log(
α
x)
c o s -yη
一=
一十
Sl
l
l
一
一 (a>O) と，原点を中心 とするある円とが z 座標が
η
zz 軸の正方向と
を
な
，
軸の正方向と
を
なし
し
，
l
となる点で接している
.
このとき，次の間いに答え
よ. ただ し，対数は自然
とおくと ，z n = 1 の解全体の集合は
エ
エ x
対数とする.
ー このことは ，z n = l の解が関係
￨￨ 白
￨
=
4
5
i
n
f
=
2
です
{α
(=
1)
，
α
，
α
2
，…，
α
n-l}
白 ￨ = 4 5 i n f = 2 です
する問題を解くことを容易にす
(1)
αの値を求め
よ.
と表せます.
そして，これらを複素数平面上に
O
P
cos
どH O P = O H ヵ
、
ら
よ
っ
て
，
る
HOP=OH ヵ
、
ら
よって， O P coszzど軸の正の部分で固まれる部分の面積
(2) 曲線，円および
曲線，円および
軸の正の部分で固まれる部分の面積
を求めよ ..
(2)
SS を求めよ
図示すると，単位円に内接する
正 n 角形の頂点
-f
-f
。
cos
となります. rrこの事実は重要ですからしっかり
cos ((88 ++ ))== 22
覚えておきましょう .
ω)
qqhh の正方向と角?
ω) O
O AA は
は xx iill
の正方向と角? をなすので，
をなすので， ム
ムO
O AA PP
rIE 世に余弦定理を用いると
i宙開週一一
に余弦定理を用いると
日本大)
(( 日本大)
一一「
96-1
++ 22 22 -- 22.. 22.. rr ∞
([2)2=
;)
③
6-1 ) Z 4 = -8+8/
すirr 22を満たす複素数
z のうち，実数部分が最大であるもの
([2)2=
∞S(8S(8;)
吋ー
す
)+ド
rrll 医 大 )
を 求 め よ (
日 本
22
rr -- 44 rr
θ
OO
θ
③6-2) Z 6 + Z 3 + 1 = 0 を満たす複素数 z の偏角。をすべて求めよ . ただし， ヱ
ヱ
。に対して
。に対して rr は
は 22 つ決まります.
つ決まります.
。。孟8<360 とする
( 武蔵工大)
0
「佐 世i出阿週
出阿週
111
CTID
αを正の実数とする. 曲線 C aa を極方程式
r = 2α
cos(θ - a )
によって定める .
(1) C a は円になることを示し その中心と半径を求めよ.
(2 ) C a が y = - x に接するような αを す べ て 求 め よ ( 筑 波 大 )