ッにら32tAlitS415

67
弾道演算から推定したテニスボールの
回転数と軌跡
笹 原 英 夫
1
. 緒
音量
E司
近年，テニスにおける k
i
n
e
t
i
c
s，k
i
n
e
m
a
t
i
c
sに関する研究には種々のも
のがあり，熟練者と未熟者との動作の差異，インパクトのメカニクスの解
析などがなされている。
すなわち， A
nderson，M
i
y
a
s
h
i
t
ae
ta
l は筋電図法および 16mm 映
画撮影法によりサービスの動作とオーバーハンドスロー動作との比較を行
atze を始めとしてインパクトにおける振動，反発，ラケ
った。また， H
3
2
t
A
l
i
t
S
4
1
5
単告も種々ある。一方，ボールの回転に関する研究
ッにら
l
l
i
o
t
t， L
i
u らが報告しているが，ボールの軌跡については述べて
では E
いない。他方，三浦ら，高木，デイシュはボールの弾道に関して記述して
いるが，その方程式は公表していない。
2
. 研究目的
本研究では以下の項目を目的とした。
2
.1
. フォアハンド・トッフ。スピン・グランドストロークとトッフ。スピ
ン・ロブとの打法の差異を検討すること。
2
.
2
. 種々の I
n
i
t
i
a
lC
o
n
d
i
t
i
o
n からボールの回転数を推定し，その弾
道をシミュレートすること。
6
8
第 8巻
第 2号(人文・自然・社会科学編)
3
. 研究方法
被検者;経験豊かなテニスコーチ (δ;25y
r
s
)。
状況設定;テニスコーチがストロークしたボールをコート上に設置した
F
i
g
.1
)。
目標めがけてストロークした (
t
a
r
g
e
t
¥
。
b
a
l
ls
u
p
p
l
i
e
r
25.3m
O ← 16mmC
i
n
eCamera
. S
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t
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n
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ft
h
ee
x
p
e
r
i
m
e
n
t
F
i
g
.1
試行;被検者はフォアハンド・トップスピンおよび，
トップスピンロブ
を各々 5回行った。
測定;被検者の右側方(但し，被検者は右きき) 2
5
.
3m に 16mm シ
ネカメラ (
B
o
l
e
x
;H16SBH) を設置し， 64f
/
s
e
c でストローク動作を撮影
すると共にボールの落下点を実測した。
G
r
a
p
h
t
e
c
;DT1000)上に投影し，
処理;得られたフィルムをデジタイザ (
RS-232C 回線を通じて電算処理 (NEC;PC-9801) した。
弾道演算から推定したテニスボールの回転数と軌跡
的
4
. ポールの弾道演算
空気中を飛行するテニスボールの時刻 tにおける速度 ;V
，水平面に対
t
)
t
，ボールの回転数 ;ωh ボールの質量 ;m，とすると，ボール
する角度 ;f
には空気抵抗 ;F
，揚力 ;L
，重力加速度 ;gがかかる (
F
i
g
.2
)。
t
t
v
t
ω
t
。
t
日
。n
zon
一一一一一一
F
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mg I
L
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rt
e
n
n
i
sb
a
l
l
4
.
1 抗力
粘性流休中の球に対する抗力は Reynolds数 R が 1より大きいときは
速度 V の 2乗に比例し ，Rが 1より小さいときは V に比例する。空気中
のテニスボールの R は
R=pV
2
r
/
μ
t・
ここで
.
.
.
・・
"
(
1)
H
Vt
時刻 t における速さ(本条件下では 18~24 m/sec)
r
ボールの半径 (=3.35X10-Zm)
p
空気密度(=1.2
1kg/m3)
μ
;粘性率 (=1.81x10-Z)
したがって，本実験の条件下では R>l となる。
また，空気抵抗
Ft は
7
0
第 8巻
第 2号(人文・自然、・社会科学編)
.
.
.
.
.
(
2
)
R=tcAPW
ここで，CD
A
抵抗係数(当 0
.83;R に依存する)
ボールの断面積 (
=3.5X10-3m2
)
4
.
2 揚力
揚力係数 CL はボールの回転の速さとボールの速さの比となるため，以
下の式で与えられる。
)
(qd
•••••
CL=2r
ω
， /V
t
•••
Lt=tCLAPV1
後
)
(a
したがって，揚力 L
tは
4
.
3 回転数 ω の減衰
テニスボールは球殻で、あるため，慣性モーメン卜 Iは
・・
••
••
••
••
••
.•
.•
， 1
2
π1
]r
zωoexp(一一面一一 t
)
また，
))
UFb
(R (
三
2
1= mr
ここで， 1]，粘性係数(1.8
1x1
O
-5N.
s
e
c
/
m
2
)， tが 2秒の時 ω の減衰は
(
6)より一 7
.88xlO-4(
r
/
s
e
c
) となるため本研究では ω を一定とした。
4
.
4 電算機を用いた微分方程式の解法
ん
)
二
2
・
・
・
・
・
・
・
・(
7
)
(
7
)の微分方程式の数値解法については
・
・
・
・
・
・
・
・(
8
)
y
(ら+1)=y(
t
n
)十，
oy
が考えられる。ここでのん +1ーらを時分割時間企 tとすると，時刻
におけるボールの座標は次の式で与えられる。
1 F
t
2
X(
t十 i
同 =Vt'cosOt.，
ot τ ・
ゴ
.cosOt'
，
ot
1 L
， • ~…
2十 X
+τ-三.sInOt'，
ot
(
t
)
ー…
t+M
・
・
・
・
・
・
・
・(
8
)
1 F
t
Y(
t
+
o
，の
=Vt'sInOt'，
ot
ーす・てう '
s
I
n
O
t
'
，
ot
2
2
1 L
t
2
2
.
c
o
時 企t
+印)- g'O
，
t
2
瓦
.
.
.
.
.
.
.
(
9
)
ここでの速さ竹内，竹内は (8)， (9) の一次微分より
)
l
(
•• •••
・
九時=叱(
t
a
t
)
2州 企tt吋 ふ t-g.M
• •••••
AU
A寸叫 M
)
l
(
竹内二 Vx(
t-M)-~'c叫
弾道演算から推定したテニスボールの回転数と軌跡
7
1
したがって， (
10
)， (
1
1
) より
Vt=(向。十時ρ
1
・
・ ・・
.
(
1
2
)
H
H
また，水平面に対する角度 8t は
←tan- 散 ) 同
1(
以上より，画像から得られたデータ，すなわち，ボールの初速，打角，
打点の位置，およびボールの落下点から ω の推定を行った。
その際，6
.tは 1/10s
e
c より演算を開始し ，M =1
/
1
0
0
0
(
s
e
c
)で ω を
1/
10
(
r
/
s
e
c
) まで推定した。
5
. 結果ならびに考察
F
i
g
. 3 にフォアハンド・トップスピン・グランドストローク(以下，
TG)および，
トップスピンロブ(以下， TL)のスティック・ピクチュア
(
t
y
p
i
c
a
l
;64f
/s
e
c
) を示す。 TLは TGに比べてスイングの方向が上向きで
あることが認められる。 Table1にインパクトにおける種々のパラメータ
および，推定されたボールの回転数を示す。 TG，TLの両者について，イ
¥
f
r
い
おo
、 O O
I大 10~o 。
ノベ l~
¥¥¥¥L
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O
第 8巻
72
第 2号(人文・自然・社会科学編)
ンパクト時におけるラケット面の水平面に対する角度には有意差は認めら
れなかった。
Table 1
. l
n
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i
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lC
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s
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8
4
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4
ι
孟i
1
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pSPIn
l
坐
また，インパクト時におけるラケット面のスイング方向 (
pく .
0
5
)，打角
(p<.Ol)，および，推定されたボールの回転数 (p<.
0
0
1
) には有意差が認
められた。以上から，両者における初期ベクトルの違いはインパクト時に
おけるラケット面の傾きではなく，スイングの方向に依存するものである
と考えられる。
1
0
0
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s
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一
一
司
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)
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4
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b
弾道演算から推定したテニスボールの回転数と軌跡
7
3
さらに，このことはテニス指導の場においてしばしばなされる「インパ
クトの瞬間にはラケット面を垂直にしなさい。」という指示に対する理論
的な裏づけになるものと考えられる。
Fig.4に TGおよび TLのシミュレートされた軌跡を示す。 TLはネッ
ト上約 4メートルの高さを通過するため，対戦相手のネットプレーに対し
て有効であることが示唆される。
6
. 総 括
本研究では以下の事項を目的とした。
6
.1
.1
. フォアバンド・トップスピン・グランドストローク(以下，
TG)とトップスピン・ロブ(以下， TL)との打法の差異を検討すること。
6
.1
.2
. 種々の I
n
i
t
i
a
lC
o
n
d
i
t
i
o
n からボールの回転数を推定し，その
弾道をシミュレートすること。
被検者は経験豊かな男子テニスコーチであり，コート上に設定した目標
めがけて， TG と TL を各々 5回行った。その際，被検者の右側方より
64
f
/s
e
c で 16mm撮影を行うと共にボールの落下点を測定した。得られ
たフィルムをデジタイザ、上に投影し，座標データを電算処理した。また，
弾道方程式をたて，画像データよりボールの回転数を推定した。
得られた結果は以下の通りである。
6
.
2
.1
. TG
，TL両打法の主な相違点はインパクト時におけるスイング
の方向であることが明らかになヮた。
6
.
2
.
2
. ボールの回転数は TG では 1
5
.
2
6
+
0
.
8
8
(
r/
s
e
c
) であり， TL
では 4
4.
4
士O
.
7
4
(
r
/
s
e
c
) であった。
6
.
2
.
3
. TL の弾道はコートの中央上約 4m を通過し対戦相手のネッ
トプレーに対して有効であることが示唆された。
7
4
第 8巻
第 2号(人文・自然'社会科学編)
謝 辞
本研究の遂行に当たっては，広島大学学校教育学部保健休育研究室，総
合科学部保健休育講座，工学部第二類人間工学科のスタッフの諸氏に多大
なる協力を得た。ここに記して深謝します。
引用文献
(
1
) Anderson，M.B
.
:Comparisono
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. 1979，5
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.Phys.1979，47(6):482-487
(
6
) デイシュ，
C.B.， 岡 村
浩訳:ボールゲームの物理学
みすず書房
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.
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弾道演算から推定したテニスボールの回転数と軌跡
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) 三浦公亮，蝶間林利男:テニスの科学
光文社
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) M
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. 1980，2
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(
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) 大道
等，宮下充正:動作の再現性を記述する。休育の科学
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(
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) 笹原
英夫，三浦朗，磨井祥夫，柳原英児:テニス・グランドストロークに
おける動作の再現性と強さ。日本休育学会
(
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) 高木隆司:スポーツの力学
(
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) 友末亮三，瀬戸
講談社
第3
4回大会
1
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宰，宮下充正:テニスにおけるラケットの動きとボールの速
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) Watanabe，T
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