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2.2 ナッシュ均衡
先週の復習 ラーメン屋を A 市でオープン 需要は D(p) = 500 − p/2(人/1 日),賃料が 120(万円/1ヶ月),コスト 400 円/1 杯 このとき逆需要関数は P (q) = となる. 利潤は Π =( − )× となる. Πp (p) = Πq (q) = 2.2 ナッシュ均衡 例題 2.3 ラーメン屋をオープンさせた A 市で,賃料が 40(万円/1ヶ月)に下がったので,ライ バル店の新規参入が起きた.各ラーメン屋はそれぞれ生産量 q1 , q2(人/1 日)をつくる.ラー メンの値段は,逆需要関数 P (q) = 1000 − 2(q1 + q2 ) で与えられるとする.ラーメン 1 杯の費 用はどちらの店も 400 円. (1) 店1の利潤 π1 を q1 , q2 の関数 Π1 (q1 , q2 ) として求めよ. (2) このゲームのナッシュ均衡 (q1∗ , q2∗ ) を求めよ. (3) 店1がラーメン 1 杯の費用を 400 円から 340 円に下げることに成功したとする.このと きそれぞれの店の利潤はどのように変化するか.またこの状態で,賃料が 50 万円に上がった 場合何が起こるか. (1) Π1 (q1 , q2 ) =(価格ーコスト) ×生産量 相手の生産量 q2 が与えられたとき,q1 = _____のとき自分の利潤最大化(_______) (2) 同様に考えれば(対称性より)q2 = _____のときライバルも最大化 →この 2 つの式が同時に成り立つ→連立方程式の解を_________ 価格=____円,利益 (店 1) =_____円,(店 2) =_____円 (3) 新たに店1の利潤を書き直す Π1 (q1 , q2 ) = 最適反応は? 価格=____円,利益 (店 1) =_____円,(店 2) =_____円 まとめ 寡占市場において. . . 企業は相手の行動に応じて自らの行動を最適に選ぶ 相手の行動がわからないときは,行動を予測して最適に対応する →____理論の確立 (1944 年) 解決法に対する研究・ ・ ・______ (1950 年) ¶ ³ ビューティフル・マインド (A Beautiful Mind) 2001 年 12 月 21 日全米初公開 第 54 回英国アカデミー賞主演男優賞(ラッセル・クロウ)受賞 助演女優賞(ジェニファー・コネリー)受賞 プリンストン大学の数学科に在籍している数学の天才ナッシュは、念願のマサチュー セッツ大の研究所で働くことに。ところが彼のもとに諜報員バーチャーがやってき て、雑誌に隠されたソ連の暗号解読を依頼する。彼は承諾するが、そのことがやが µ て、彼の精神を侵していくことに…。 ´ 手順をまとめると 1.市場に参加する企業の生産量を用いて,利潤を定式化する 2.利潤最大化の条件から,各企業の最適反応(の条件式)を求める 3.連立方程式を解いて,生産量・均衡価格を求める 練習 2.1 ある市場で n 社の企業が競争を行っているとする.すべての企業の生産技術は等しく, 1単位当たりのコストは 20 とする.各企業の生産量を q1 , q2 , ..., qn とし,市場全体の生産量を q = q1 + q2 + ... + qn とおいたとき,逆需要関数は P (q) = 100 − q となる. (1) このゲームのナッシュ均衡を求めよ. (2) 仮に固定費用が 0(参入コストがかからない)とすると,この市場では何が起こるか? (3) いま固定費用が 300 かかるとする.このとき企業の数が何社以下であれば,それぞれの 企業が正の利潤をあげられるか?