線形代数入門レポートおよび試験の問題解答

線形代数入門・基礎線形代数 （２００４年度春学期レポート課題）
問１．


0 a b


A = a 0 c,
b c 0

0
0

B=
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1

1
0

,
1
0
とおく．このとき，A2 , B 3 , を計算しなさい．
問２．つぎの連立１次方程式を基本変形（ガウスの掃き出し法）により解きなさい．
(1)



 2x + 2y − z
−x − 2y − z


 −x + y + 2z
(3)
=1
(2)
=2
=3



 2x + y + z
x + y + 2z


 5x + 3y + 4z



 2x − y − z
−x + 2y − z


 −x − y + 2z
=0
=0
=0
問３．つぎの行列の逆行列を求めなさい．

(1)
(3)

1 2 1


2 1 1 
1 1 2

−4 1
 1 −4


1
1
1
1

(2)

1
1
1
1


−4 1 
1 −4

1 2 1


3 1 −2
2 3 1
=1
=1
=1
レポートの解答
問１．


 

0 a b
0 a b
a2 + b2
bc
ac


 

A2 =  a 0 c   a 0 c  =  bc
a 2 + c2
ab  ,
b c 0
b c 0
ac
ab
b 2 + c2

1
0

B2 = 
1
0
1
1
1
2
2
0
2
1

0
1

,
0
2

0
1

B3 = 
0
2
3
1
3
3

3
0

,
3
1
1
2
1
4
問２．

25


x = − 3
(1)
(3)
(2) 解はない（等式に矛盾が出る）．
y=6


z = − 17
3
係数の行列が次のように変形される．




2 1 1
1 0 −1




1 1 2  ↔ 0 1 3  .
5 3 4
0 0 0



x − z = 0
これは， y + 3z = 0


0 = 0



x = t
(t 任意) が解になる．
を意味するから， y = −3t


z = t
問３．
(1)
(2)
−1



1 2 1
−1 3 −1
1



2 1 1 =  3 −1 −1
4
1 1 2
−1 −1 3
変形の際に矛盾が出てくるので，逆行列はない．
−1

−4 1
1
1
2

 1 −4 1

1 1
1

 =− 

5 1
1
1 −4 1 
1
1
1 −4
1

(3)
1
2
1
1
1
1
2
1

1
1


1
2
線形代数入門（基礎線形代数）木曜２時限 ２００４年春学期定期試験
問１．つぎの連立方程式を行列の基本変形を用いて解きなさい．



 2x + 2y − z
(1)
−x − 2y − z


 −x + y + 2z



 100x + 101y + 102z
=1
(2)
=2
=3



 2x + y + z
(3)
x + y + 2z


 5x + 3y + 4z
103x + 104y + 105z


 106x + 107y + 108z
=0
=0
=0
問２．つぎの行列の逆行列を求めなさい．


1 2 1


2 1 1 
1 1 2
問３．
A, B, C はそれぞれ次のような３次元の横ベクトルとする．
A = (a1 a2 a3 ),
B = (b1 b2 b3 ),
A, B, C からなる３行３列の行列の行列式を
 
A
 
d = det  B 
C
とおいたとき，やはり３行３列の行列の行列式


2B + C


det  A + 3B 
4C
を d を用いて表しなさい．
C = (c1 c2 c3 )
=1
=1
=2
問４．

a+2
a
a


A= a
a+2
a 
a
a
a+2

とする．
(1) A の行列式を計算しなさい．
(2) A が逆行列をもたないときの a の値を求めなさい．
木曜２時限クラスの解答
問１．

25


x = − 3
(1)
y=6


z = − 17
3
(2)

.. 
−6 −6 −6
100 101 102 . 1



103 104 105 ... 1 ↔  −3 −3 −3



..
106 107 108 . 2
106 107 108



..
.. 
. −1
0
0
0
. 1



..
.


. − 1 ↔  −3 −3 −3 .. − 1

..
..
. 2
106 107 108 . 2
と変形できるが，ここで第１行に矛盾が出る．したがって，解はない．
(3) 係数の行列が次のように変形される．




2 1 1
1 0 −1




1 1 2  ↔ 0 1 3  .
5 3 4
0 0 0



x = t



x − z = 0
これは， y + 3z = 0


0 = 0
を意味するから， y = −3t


z = t
(t 任意) が解になる．
問２．

−1


1 2 1
−1 3 −1
1



2 1 1 =  3 −1 −1
4
1 1 2
−1 −1 3
問３．
 
 
 



A
B
2B
2B
2B + C
 
 
 




det  A + 3B  = det  A + 3B  = det  A  = 8 det  A  = −8 det  B  .
C
C
4C
4C
4C

したがって，

2B + C


det  A + 3B  = −8d.
4C

問４．
(1)
¯
¯
¯
¯
¯a + 2
¯
¯ 3a + 2 3a + 2 3a + 2 ¯
a
a
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a+2
a ¯ = ¯ a
a+2
a ¯
¯ a
¯
¯
¯
¯
¯ a
¯ a
a
a + 2¯
a
a+2 ¯
¯
¯
¯1
1
1 ¯¯
¯
¯
¯
= (3a + 2) ¯ a a + 2
a ¯
¯
¯
¯a
a
a + 2¯
¯
¯
¯1 1 1¯
¯
¯
¯
¯
= (3a + 2) ¯ 0 2 0 ¯
¯
¯
¯0 0 2¯
= 4(3a + 2).
2
(2) det A = 0 より，a = − .
3
線形代数入門（基礎線形代数）金曜２時限 ２００４年春学期定期試験
問１．つぎの連立方程式を行列の基本変形を用いて解きなさい．




3x
+
12y
+
9z
=
3



 2x − y − z
(1)
2x + 5y + 4z


 −x + 3y + 2z
(2)
=4
=5



 x − y + 2z
(3)
x+y+z


 3x + y + 4z
−x + 2y − z


 −x − y + 2z
=0
=0
=0
問２．つぎの行列の逆行列を求めなさい．


1 2 1


2 1 1 
1 1 2
問３．つぎの行列式を因数分解された形で求めなさい．
¯
¯
¯a + b + c
−c
−b ¯¯
¯
¯
¯
a+b+c
−a ¯
¯ −c
¯
¯
¯ −b
−a
a + b + c¯
問４．


1 1 −a


A = a −1 a 
3 a −4
とする．
(1) A の行列式を計算しなさい．
(2) A が逆行列をもたないときの a の値を求めなさい．
=1
=1
=1
金曜２時限クラスの解答
問１．



x = −7
(1)
y = −22


z = 32
(2) 解はない．
(3)


.. 
1
1 −1 2 . 0



1 1 1 ... 0 ↔ 0



..
3 1 4 .0
0

1


↔ 0
0

.. 
−1 2 . 0
1 −1 2

.. 


2 −1 . 0 ↔ 0 1 − 12
.
4 −2 .. 0
0 4 −2

.
0 32 .. 0
. .
1 − 12 .. 0

..
0 0 .0

3


x = − 2 t
y = 12


z = t
したがって，
(t は任意).
問２．

−1


1 2 1
−1 3 −1
1



2 1 1 =  3 −1 −1
4
1 1 2
−1 −1 3
.. 
.0
.. 
. 0

..
.0
問３．
¯
¯
¯
¯
¯a + b + c
¯
¯a + b
¯
−c
−b
a
+
b
−(a
+
b)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a+b+c
−a ¯ = ¯ −c a + b + c
−a ¯
¯ −c
¯
¯
¯
¯
¯ −b
¯ −b
−a
a + b + c¯
−a
a + b + c¯
¯
¯
¯ 1
1
−1 ¯¯
¯
¯
¯
= (a + b) ¯ −c a + b + c
−a ¯
¯
¯
¯ −b
−a
a + b + c¯
¯
¯
¯
¯1
1
−1
¯
¯
¯
¯
= (a + b) ¯ 0 a + b + 2c −(a + c)¯
¯
¯
¯0
−a + b
a+c ¯
¯
¯
¯ a + b + 2c −(a + c)¯
¯
¯
= (a + b) ¯
¯
¯ −a + b
a+c ¯
¯
¯
¯ 2(b + c)
0 ¯¯
¯
= (a + b) ¯
¯
¯ −a + b a + c¯
= 2(a + b)(b + c)(c + a).
問４．
(1)
¯
¯ ¯
¯
¯1 1 −a¯ ¯1
¯
1
−a
¯
¯ ¯
¯
¯
¯ ¯
¯
det A = ¯a −1 a ¯ = ¯0 −(a + 1) a(a + 1)¯
¯
¯ ¯
¯
¯3 a −4¯ ¯0
a−3
3a − 4 ¯
¯
¯
¯1
¯
1
−a
¯
¯
¯
¯
= (a + 1) ¯0 −1
a ¯
¯
¯
¯0 a − 3 3a − 4¯
¯
¯
¯
¯1 1
−a
¯
¯
¯
¯
= (a + 1) ¯0 −1
a
¯ = −(a + 1)(a2 − 4).
¯
¯
¯0 0 3a − 4 + a(a − 3)¯
(2) det A = 0 より，a = −1, ±2.