塾技68

難
塾技 68
内接円
問題
次の問に答えよ。
〈図 1〉
（1）右の図 1 のように，直角三角形に 1 つの円
〈図 2〉
24cm
24cm
10cm
10cm
が内接しているとき，円の半径を求めよ。
（2）右の図 2 のように，半径の等しい 2 つの円
〈図 3〉
が互いに接し，直角三角形の各辺と接して
24cm
いるとき，円の半径を求めよ。
10cm
……
（3）右の図 3 のように，半径の等しい n 個の円が互いに接し，
直角三角形の各辺と接しているとき，円の半径 r を n を用いた式で表せ。
（立教新座高）
解
（1）図 1 で，三角形の 2 辺の比が 5：12 より，5：12：13 の直角三角形となることがわかる。
よって，斜辺は 26cm と求まる。求める円の半径を r とすると，「塾技 68（4）」より，
r (24  10  26)  24  10  1
これを解いて，r = 4cm
答
2
2
（2）直角三角形を△ABC とし，求める円の半径を r とする。
右の図のように，2 つの円の中心線を斜辺とする直角三角形
をつくると，できた三角形は△ABC と相似なので，3 辺の比
は 5：12：13 となる。斜辺の長さは 2r より，他の 2 辺は， B
12  2r  24 r 5  2r  10 r
13
13
13
13
「塾技 68（2）」より，辺 BC に着目して方程式を立て，
(24  24 r  r )  2r  (10  10 r  r )  26
13
13
 34 r  8　よって，r  52 cm
13
17
（3）（2）と同様に考え，中心線を斜辺とする直角
24－
三角形の 3 辺をそれぞれ r を用いて表し，
24
24－ r－r
13
r
2r
2r



r
5
13 ×2r
10－
10
r－r
13
C
答
辺 BC に着目して方程式を立てればよい。

r
26
24
r(n－1)－r
13
12
13 ×2r(n－1)
右の図より，
B
24  24 r ( n  1)  r  2r ( n  1)  10  10 r ( n  1)  r  26
13
13
24
24
10
24 
nr 
r  r  2nr  2r  10  nr  10 r  r  26
13
13
13
13
34
34
 nr  2nr 
r  4r  8
13
13
34nr  26nr  34r  52r  104
8nr  18r  104
r (8n  18)  104
r  52
4n + 9
r A
12
13 ×2r
2r(n－1)
26
r Ar
5
13 ×2r(n－1)
10
10－ r(n－1)－r
13
C
答
高校入試 数学研究所