基本的な微分の公式(pdfファイル:4ページ)

基本的な微分の公式
定理 f (x), g(x) を点 x = a で微分可能な関数とする．
(1)（線型性）c1 , c2 を定数とすると、c1 f (x) + c2 g(x) も点 x = a で微分可能で、
(c1 f + c2 g)0 (a) = c1 f 0 (a) + c2 g 0 (a)
(2)（積の微分）f (x)g(x) も点 x = a で微分可能で、
(f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a)
(3)（商の微分）g(a) 6= 0 ならば
µ
f
g
f (x)
も点 x = a で微分可能で、
g(x)
¶0
(a) =
f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a)
g(a)2
証明
lim
h→0
c1 f (a + h) + c2 g(a + h) − c1 f (a) − c2 g(a)
h
c1 (f (a + h) − f (a)) + c2 (g(a + h) − g(a))
= lim
h→0
h
c1 (f (a + h) − f (a))
c2 (g(a + h) − g(a))
= lim
+ lim
h→0
h→0
h
h
0
0
= c1 f (a) + c2 g (a)
より、(1) が成り立つ．また、
lim
h→0
f (a + h)g(a + h) − f (a)g(a)
h
³ f (a + h) − f (a)
g(a + h) − g(a) ´
= lim
g(a + h) + f (a)
h→0
h
h
f (a + h) − f (a)
g(a + h) − g(a)
= lim
lim g(a + h) + f (a) lim
h→0
h→0
h→0
h
h
0
0
= f (a)g(a) + f (a)g (a)
より、(2) が得られる．さらに、
f (a + h)
f (a)
−
g(a + h)
g(a)
lim
h→0
h
f (a + h) − f (a)
g(a + h) − g(a)
g(a) − f (a)
h
h
= lim
h→0
g(a + h)g(a)
0
0
f (a)g(a) − f (a)g (a)
=
g(a)2
1
より、(3) が得られる．
系 f (x), g(x) を区間 I で微分可能な関数とする．
(1)（線型性）c1 , c2 を定数とすると、c1 f (x) + c2 g(x) も区間 I で微分可能で、
¡
¢0
c1 f (x) + c2 g(x) = c1 f 0 (x) + c2 g 0 (x)
(2)（積の微分）f (x)g(x) も区間 I で微分可能で、
¡
¢0
f (x)g(x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
f (x)
も区間 I で微分可能で、
g(x)
µ
¶0
f (x)
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
=
g(x)
g(x)2
(3)（商の微分）g(x) 6= 0 ならば
定理 f (x) が点 x = a で微分可能で、g(y) が点 y = b = f (a) で微分可能ならば、合成
関数 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) は点 x = a で微分可能で、
(g ◦ f )0 (a) = g 0 (b)f 0 (a)
証明 微分の定義のいいかえにより、点 a で連続な関数 α(x) で、
f (x) − f (a) = α(x)(x − a) かつ α(a) = f 0 (a)
となるものが存在する．同様に、点 b で連続な関数 β(y) で、
g(y) − g(b) = β(y)(y − b) かつ β(b) = g 0 (b)
となるものが存在する．y = f (x) および b = f (a) を代入すると、
g(f (x)) − g(f (a)) = β(f (x))(f (x) − f (a))
= β(f (x))α(x)(x − a)
すなわち、
(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a) = β(f (x))α(x)(x − a)
ここで、f (x) は点 a で連続であり、また β(y) は点 b = f (a) で連続なので、合成関数の
性質により β(f (x)) は点 a で連続な関数である．したがって、β(f (x))α(x) も点 a で連
続な関数である．よって、(g ◦ f )(x) は点 x = a で微分可能で、微分係数は
(g ◦ f )0 (a) = β(f (a))α(a) = g 0 (b)f 0 (a)
である．
2
系 f (x) が区間 I で微分可能で、g(y) が区間 J で微分可能 (ただし、f (I) ⊂ J) なら
ば、合成関数 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) は区間 I で微分可能で、導関数について
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x)
が成り立つ．y = f (x), z = g(y) とおくと、これは
dz
dz dy
=
dx
dy dx
と表すこともできる．
注意 合成関数の微分において、k = f (a + h) − f (a) とおくと、f (a) = b により
f (a + h) = b + k なので、(g ◦ f )(a + h) = g(b + k) となる．また、(g ◦ f )(a) = g(b) であ
る．さらに、h → 0 のとき k → 0 である．しかし、
(g ◦ f )(a + h) − (g ◦ f )(a)
g(b + k) − g(b) f (a + h) − f (a)
=
h
k
h
より、この両辺の h → 0 の極限を考えて (g ◦ f )0 (a) = g 0 (b)f 0 (a) とすることは、厳密に
は誤りである．h 6= 0 であっても、k = f (a + h) − f (a) は 0 の可能性があり、上記の等
式は一般には成り立たない．この問題を避けるために、微分の定義のいいかえを用いて、
合成関数の微分を証明した．
定理 y = f (x) が連続な狭義の単調増加あるいは減少関数で、さらに点 x = a で微分可
能で f 0 (a) 6= 0 ならば、逆関数 x = f −1 (y) は点 y = b = f (a) で微分可能で、微分係数は
(f −1 )0 (b) =
1
f 0 (a)
証明 微分の定義のいいかえにより、点 a で連続な関数 α(x) で、
f (x) − f (a) = α(x)(x − a) かつ α(a) = f 0 (a)
となるものが存在する．x = f −1 (y) と a = f −1 (b) を代入すると、
f (f −1 (y)) − f (f −1 (b)) = α(f −1 (y))(f −1 (y) − f −1 (b))
となる．f (f −1 (y)) = y, f (f −1 (b)) = b なので、これは
y − b = α(f −1 (y))(f −1 (y) − f −1 (b))
と書くことができる．α(f −1 (y)) は点 y = b で連続で、α(f −1 (b)) = α(a) = f 0 (a) 6= 0 で
ある．特に、点 y = b の近くでは常に α(f −1 (y)) 6= 0 となるので、両辺を α(f −1 (y)) で
割ると、
1
f −1 (y) − f −1 (b) =
(y − b)
−1
α(f (y))
3
が得られる．これは、f −1 (y) が点 y = b で微分可能で、微分係数が 1/f 0 (a) であること
を意味する．
系 y = f (x) が区間 I で x について微分可能な狭義の単調増加あるいは減少関数で
f (x) 6= 0 ならば、逆関数 x = f −1 (y) は区間 f (I) で y について微分可能で、導関数につ
いて
1
(f −1 )0 (y) = 0
(ただし y = f (x) )
f (x)
0
が成り立つ．これは、
1
dx
=
dy
dy
dx
と表すこともできる．
注意 逆関数の微分に関する定理は、次のように証明することもできる．b = f (a) と
し、k に対して
h = f −1 (b + k) − f −1 (b)
とおく．f −1 (y) は連続関数なので、k → 0 のとき h → 0 である．b = f (a) を代入する
と、h = f −1 (f (a) + k) − a、すなわち a + h = f −1 (f (a) + k) が得られる．この両辺にお
ける f の値は、f (a + h) = f (a) + k である．これより、
k = f (a + h) − f (a)
がわかる．f (x) は連続関数なので、h → 0 のとき k → 0 である．さらに、f (x) が狭義
の単調増加あるいは減少関数であることから、h 6= 0 と k 6= 0 は同値であることに注意
する．以上により、
h
1
dx
1
= lim
= lim
=
dy
h→0 k
dy k→0 k
h
dx
が得られる．
1
f (x)
とおくと f (x)g(x) = 1 であり、この両辺を x に関して微分すると、積の微分の公式によ
り f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) = 0 となる．これより、
注意 商の微分の公式は、積の微分の公式から次のように証明することもできる．g(x) =
g 0 (x) = −
すなわち
µ
f 0 (x)g(x)
f 0 (x)
=−
f (x)
f (x)2
1
f (x)
¶0
=−
f 0 (x)
f (x)2
f (x)
1
= f (x)
に適用すれば、商の微
g(x)
g(x)
分の公式が得られる．
（ただし、この議論では商の微分可能性を示すことはできない．
）
がわかる．この式を用いて、積の微分の公式を
4