数学Aに関して - GRAPES

GRAPESを「幾何」で使うための初歩の初歩
∼「数学Ａ」の平面図形での活用に向けて∼
1 はじめに
前ページまで，ひたすら，関数を表示し，生
徒たちに動的シミュレーションを味わってもら
ってきました。しかしさらに，友田先生のたい
へんな御努力により，以前よりも幾何の分野に
おいても使用することが可能となっております
ことを御存知でしょうか。幾何のソフトといえ
ばフリーソフトの Geometric Constructor（愛知
（図１）お馴染みのGRAPESの初期画面
教育大学 飯島康之先生作）や，フリーソフト
図1は，お馴染みの GRAPES の初期画面です。
ではないものとして，Cabri Geometry Ⅱ plus
や，ジオメターズスケッチパッドなどが有名で
この画面の上部の座標マークのところにマウス
す。しかし今回は，あくまで，使い慣れた
を持っていくと，図２のように「目盛／軸表示」
GRAPES を使用して「数学 A」での実践につな
と表示されるところがあります。
げるための「幾何の分野で使うための初歩の初
歩」を書いてみたいと思います。「初歩の初歩」
というタイトルをつけたように，初めて幾何で
使ってみようと思う方を対象に書いています。
この文章をお読みいただくだけで，あたかも操
作しているように感じていただければ幸いです。
なお，本原稿も文英堂の数学教科書『高等学校
新編数学 A』
（教科書番号 014）を参考に書いて
（図２）
「目盛／軸表示」と表示されたところ
います。文中に「教科書 p.○○」と出てきた場
ここをクリックしてみてください。座標が
合は，そのページの内容を扱っております。
様々に変化して，４回目には，キレイになくな
2 具体的な操作について
ってしまいます。さらにクリックすると，また
現れますので御安心を。
（1）座標軸の消し方
まず初めに初期画面から座標軸を消しましょ
う。これが幾何で使うための第一歩となります。
（2）点の打ち方
次に，点を打たないことには，始まりません。
使用する GRAPES のバージョンは 6.37 としてい
ます。関数を扱うのと違うところ，それは，座
画面上で右クリックして，点を打ってみましょ
標軸の有無ですね。あくまで点の移動そのもの
う。とにかく，点 A，点 B，点 C の３点を順に
としては，もちろん座標が大きな役割をはたす
打ってみましょう。もちろん，ドラッグアンド
のですが，「見せる」場合には，座標は不要と
ドロップでどこへでも，好きなところに移動す
なります。そこで座標軸を消してみましょう。
ることができますから，御安心を。
19
（図５）
（図３）
ここで図３のように右クリックしてマウスを
そしてマウスをクリックしますと，図６のよ
「点を打つ」にもっていってみましょう。打ち
うに画面の右側に「連結図形」
，
「点を結ぶ」が
出てきます。
たい点の名前が表示されます。
（図６）
（図４）
そして，例えば点 A のところにマウスをもっ
そして適当に点 A，点 B，点 C を打ってみま
ていくと，いかにもこれから線をひくように，
しょう。
マウスの形が鉛筆の形に変わります。
（3）点の結び方（長さの表示）
次に，点と点を結んで三角形を作ってみまし
ょう。さきほどの右クリックをして，図５のよ
うに「点を結ぶ」にマウスをもっていってみて
ください。
（図７）マウスが鉛筆の形に変化
20
そして，ここからマウスをクリックしたまま
ドラッグして，線をひいてみます（図８）
。
（図８）ドラッグしての線びき
（図10）
「連結図形のプロパティ」の拡大図
この「連結図形のプロパティ」は，今後，
点 B に到着し，マウスのクリックをやめてみ
様々なことを表示させることができる重要なプ
ると，「連結図形のプロパティ」が出現します
ロパティです。
（図９）
。
この「連結図形のプロパティ」を見てもわか
るように，２点を結ぶ線を「線分」とするか，
「半直線」とするか，
「直線」とするかなどを決
めることができます。
そして，マウスを「ラベル」というところに
もっていき，
「▼」マークをクリックする（図11）と，
（図９）線をひいた直後に現れた
「連結図形のプロパティ」
（図11）線分の長さの表示も可能
21
「!{len(Ａ,Ｂ)｜3}//長さ」という不思議な文字が出
てきます。ここは本来，線分「AB」というよ
うな，名前をつけることが可能な「ラベル」と
いう機能です。しかし，ここにさきほどの不思
議な文字（命令）をそのままクリックすると，線
分の長さが表示されるという仕組みなのです。
これは，すでに友田先生が「ここの長さを表示
するための命令」を我々が書かなくてもすむよ
（図13）画面上部の「オプション」
うに，事前に書いていてくださっているもので
す。ラベルをさきほどの「命令」にして，
「OK」
を押してみると，ここの線分の長さが表示され
ます（図 12）
。
（図12）表示された「線分の長さ」
（4）３点を結んだ角度の表示
さて次に，角度の表示です。ここで角度の表
示というと，高等学校で扱う場合には，「度数
法」と「弧度法」が問題になると思います。
（図14）オプションの中の「関数」タブをクリ
GRAPES では，どちらでも表示できるように設
ック
計されています。画面上部の「オプション」
（図 13）をクリックし，その中の「関数」のタ
ブをクリックしてみます（図 14）
。
22
（図16）点Ｂから点Ｃに結んでいるところ
（図15）
「関数」タブの中身。
（図17）再度点Ａから点Ｂに向かって結んで
ここでは，角の単位は「度数法」に，また，
角の範囲は，
「−180°から+180°まで」を意味す
いるところ
このあと，点 B に到着してマウスのドラッグ
を離すと，また「連結図形のプロパティ」が表
る「−π→π」にそれぞれ変更してみます。そ
示されます。ここで，次のようにしてみてくだ
してOKとします（図 15）
。
さい。
画面上では，何も変化がないようですが，こ
１．頂点のところには，AB としか記入されて
こから実際に角度を表示させてみると，その変
いないので，自分で C を追加記入する。
化がはっきり分かります。まず初めに，さきほ
２．図形は「角」を選んでクリック
どの続きとして，図 16 のように点 B から点 C に
３．ラベルには，友田先生が，すでに角度を表
線分を結んで∠ABC を作ります。そして，これ
示できるよう準備してくださっているので，
から，∠ABC の角度を表示させるために図 17
それを選択。
のように再度，点 A から点 B に向かって線を結
これで「OK」としてみてください（図 18）。
んでみます。
角度が度数法で表示されます。
23
この状態でマウスを点 A にもっていってみて
ください。点 A をつまんで動かせるようにマウ
スポインタが手の形に変化します（図 22）
。
そして点 A を動かしてみましょう。
AB の長さや∠ABC の値が変化しているのを
実感することができます（図 23）
。
（図20）有効になっている「点を結ぶ」
（図18）角度を表示させるための設定
（図21）無効になった「点を結ぶ」
（図22）つまめるモード
（図19）
すると，この場合の角度 52.6°が表示されまし
た（図 19）
。
ではこの後，１つの点（例えば点 A）をつま
んで動かしてみましょう。当然ながら，AB の
長さも変わるでしょうし，∠ABC の角度も変わ
ります。
ここで，いきなり点 A をつまもうとしても，
まだ，このままでは「点を結ぶ」が生きてしま
っています（図 20）。画面右側の「点を結ぶ」
（図23）点Ａをつまんで移動
をクリックして，解除します（図 21）
。
24
（5）中点連結定理
さて，ここまでのことを使って「中点連結定
理」を実際に試してみましょう。この定理を学
ぶのは中学ですが，教科書 p.14 でも取り上げて
います。
まずは，図 24のように点 A と点 C を結び AB
の長さの表示をはずしました。
（図27）
（図24）
ここで，図 27 のように「ベクトル表記」をク
そして，次に点 A と点 B の中点を打ってみまし
リックし，x，y の表記を「一本化」します。
ょう。この点は P としてみましょう（図 25，26）
。
（図25）点Ｐをクリック
（図28）
（図26）今回は単純に「点」
そして，関数電卓の「関数３」のタブに入っ
25
ている「分点」を使って点Pの入力をします。
（図32）点Ｐと点Ｑを「点を結ぶ」モードで結
んでいるところ
（図29）ラベル位置を一工夫
（図33）長さ，そして∠APQも表示
（図30）これで点Ａと点Ｂの中点Ｐが打てる
（図34）
「つまめるモード」でいろいろ動かし
（図31）同様に中点Ｑを打ったところ
てみましょう
26
（6）円の表示
さて，直線や角度が表示できるようになりま
したら，次は何と言っても，円ということにな
ります。しかし，円を表示するだけでしたら，
「基本図形」を使って，それほど，難しくなく
できてしまいます。この基本図形に使用できる
文字は P，Q，R，S，T，A，B，C，D，E，F，
G，H，I，J，K，L，M，N と 19 種類も用意さ
れ，
「曲線」の共通使用となっています。
（図37）中心と半径を決めるだけ
ここで，半径は，必ずしも「数値」にするこ
（図35）基本図形のＰを選択
とはありません。そこがなんといっても
そして基本図形を選んだ場合，「点」，「円」，
「水平線」，「垂直線」の４つが選択できるよう
GRAPES の最大の魅力です。そう，「パラメー
タ」が使えるのです。x = a，y = b，r = c と決め
になっています。今回は，その中の「円」を選
てあげれば，これで，(x−a)2+(y−b)2= c2 が表示
択してみます（図 36）
。
されることになります。図 38 は，半径を「残像
あり」にして増やしたものです。
（図36）その中の「円」を選択
すると，ここで突然，画面が下に伸びて，図
37 のように，各パラメータを決められるように
なります。この突然現れる方式も，「生徒にと
ってやさしい」友田先生のすばらしいアイデア
（図38）
だと感心しております。
27
（7）円周上の点の表示
（円に内接する四角形 教科書 p.20）
さて，円を描くことは，容易にできましたが，
やはり授業で使うことを考えますと，様々なア
イデアが必要となります。円を描き，円周上の
点を動かし，そして，角度を表示していく。角
度は，「弧度法」でもよいものの，やはりわか
（図40）
「媒介変数グラフ」を選択
りやすいのは，「度数法」だろうということに
そして，以下の様にパラメータを指定を行っ
なります。そこで，いろいろと思考錯誤をして
てみてください（図 41）
。
みました。私がここで発表するよりも，もっと
よい表示の仕方があるのかもしれません。また，
GRAPES は，友田先生の不断の御努力によって，
日々進化しているソフトですので，もっと簡単
に表せる方法が出てくるかもしれません。とり
あえず，ひとつの「石谷のやり方」ということ
で，お読みいただければ幸いです。
まず，座標を消し，
「度数法」
，そして，
「−π
→π」にしておきます。
（p.23 の図 15 参照）次に，
円周上の点を４つ指定してみましょう（図 39）。
いずれ，円周上の点は「動かすこと」が前提と
なっています。ここで「基本図形」を使っても
良いのですが，すでにパラメータを使用するこ
とを前提としている「曲線」の中の「媒介変数
グラフ」を使用するのがポイントです（図 40）
。
（図41）
「媒介変数グラフ」の各パラメータの
指定
（図39）まず「曲線」のＡを指定
まず a ですが，これで「半径」としています。
そして x，y の p，q は平行移動分です。これら
を指定することで，任意の位置に円をもってい
けることを考えています。次に「変域」の右側
28
は，当初 2πとなっていたところですが，度数
法なので 360 としています。さらにここのとこ
ろの「増減幅」ですが，当初 0.1 となっていま
したが，これを５としました。一周360°ですの
で，
「１°ずつ」の変化では，進み方がかなり遅
く感じました。ので「5°ずつ」の変化としまし
たが，みなさんお使いのコンピュータでは，そ
れぞれ微妙に違うかもしれません。各自，お試
しください。パラメータは，ここでは t を使い
ました（図 42）
。
（図43）図形Ｂの指定
（図42）使用できる多くのパラメータ
また，
「点」のところでは，「ドラッグ」にチ
ェックを入れ，「手でつまめる感覚」を大切に
しています。そして最後に「ラベル」ですが，
通常ですと A のみとするところですが，ここを
A(t) としてみました。すなわち，「この点 A は，
パラメータ t で動いていますよ。
」と表示してい
るのです。これにより，どのパラメータを動か
したら，どの点が動くのかが，はっきりします。
ラベルの「表示位置」は，一応「左上」としま
した。表示が円周と重なってしまうことがある
かもれませんが，まあ，これは適宜変更しても
いいかと思われます。
以上で点 A の指定が終わりましたら，点 B（図
43）
，点 C（図 44），点 D（図 45）と４つほど，指
定しましょう。パラメータは，皆さんのお好き
なものを適宜，選んでください。
（図44）図形Ｃの指定
29
さて，では，「円に内接する四角形の向かい合
う内角の和は 180°である。
」
（教科書 p.20）をや
ってみましょう。 四角形ができる位置関係にな
るように点を移動させてください。図 47 の様に
なりましたでしょうか。
（図47）円に内接する四角形にする位置
そして，それぞれの点を結んでみてください。
（p.21 の図８，９参照）
ここで，CDは，線分とするのではなく，「半
直線」の形にしてみてください。ちょうど，図
48のような感じになったでしょうか。
（図45）図形Ｄの指定
（8）応用例としての円に内接する四角形
さて，ここまでを設定しますと，点 A，点 B，
点 C，点 D がすべて同一点となってしまい，重
なってしまっています（図 46）
。
（図48）それぞれを結んだところ
さてここで，CD の延長上に１つ点が欲しいと
ころです。そこで，今回は，単純に「基本図形」
の点 E で設定しようと思います（図 49）
。
（図46）４つの点の重なり
「これでは，ドラッグもできない！！」と，
思いきや，なんと点 A から順に，ドラッグがで
きました。不思議な感じがしました。
（図49）基本図形の点Ｅを使用
30
式の形を見れば，一目瞭然ですね。そう，CD
CD の延長上の点ということで，あまり「凝っ
を２：１に「外分する点」としています（図 51）
。
た」形は使いませんでした。「分点」を使った
のです。
（図52）点Ｅが表示された
そして次に，∠BAC，∠BDC，∠BDE の数値
を表示させてみましょう（図 53）
。
（やり方は，p.23 の図 17，p.24 の図 18，19 を参
照）
（図50）
マウスをもっていくと下のほうに「分点」の
説明が表示される。とても丁寧です（図 50）
。
（図53）角度を見やすくするのもコツ
そして，点 A，点 B，点 C，点 D，および，各
パラメータを変化させてみてください（図 54）
。
（図51）点Ｅを「分点」を用いて表現
31
■ 音が出せるようになった GRAPES
本原稿執筆中に，友田先生の御努力により，
GRAPES が，Ver.6.40 へとアップされました。
今回のアップにより，GRAPES は，PLAY コマ
ンドが使えるようになったので，音が出せるよ
うになりました。この応用分野は，非常に広く
考えられます。とくに，理科の分野においても
GRAPES をおおいに活用していくことが可能と
なるのではと期待されます。
ここで実際に紙面から音は出ませんが，友田
先生が作られたサンプルの中から紹介したいと
（図54）点Ｄを動かしてみた
思います。
3 おわりに
友田先生作のソフト GRAPES のすばらしさは，
ここに挙げただけに留まりません。図形の分野
においても，p.25 の図 28 を見てもわかるように，
多くのパラメータやコマンドが用意されていま
す。
「数学 A」では，「三角形の性質」として，
「三角形の辺と角の大小」，「角の二等分線と辺
の比」
，
「三角形の重心・外心・内心」を扱いま
▲ サイン波（正弦波）のきれいな音
すし，また「円の性質」として「円に内接する
四角形」
，
「円と直線」
，
「２円の位置関係」も扱
います。生徒たちにとって，実際に触って動か
してみるという機会を得ることはとても有意義
なことだと考えられます。
ぜひ，この紙面で私が操作した以外のコマン
ドにも多く触れていただき，GRAPES のすばら
しさを体感していただければと思います。
今後ともよろしくお願いします。
▲ 様々な「波」の音を楽しむ
ぜひとも，皆さんも同僚の理科の先生方にも
ご紹介いただければと思います（もちろんこれ
以外のサンプルも多く入っています）
。
32