2 運動方程式、力の釣り合い、様々な種類の力

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運動方程式、力の釣り合い、様々な種類の力
2.1
運動方程式
物体を加速するには力を加える必要があることは日常生活で実感している。ものを動かすに
は、力を加えなければならない。同じ大きさの力を加えても重いものは動きにくく、軽いもの
は動きやすい。ニュートンは物体を加速させるには力を加える必要があり、加える力 F とその
結果生じる加速度 a の間には
ma = F
(2.1)
の関係があることを主張した。ここで m は物体の質量である。前の章で加速度は物体の位置
r(t) の２階微分であることを示したので、
m
d2 r(t)
=F
dt2
(2.2)
であり、これを運動方程式と呼ぶ。この詳しい意味についてはあとでゆっくりと述べることに
して、この章では力とはどのようなものか、それにはどのような種類のものがあるのかについ
て述べる。
物体が加速度運動をするためには物体に力が働かなければならない。加速度がゼロの運動で
は、物体に働く力はゼロであり、物体に働く力は釣り合っている。静止している物体にも等速
度運動をしている物体にも力が働いていない。運動している物体の速度が遅くなるのは、物体
に摩擦力などが働いているからである。
以下では力の釣り合いを考えるが、単位について述べておく。長さはメーター [m]、重さは
キログラム [kg]、時間は秒 [s] で測ると、力はニュートン [N] である。
2.2
2.2.1
様々な力
机の上の物体に働く力
図 2.1: 物体に働く力、(a) 静止している物体、(b) 水平方向に力 F が加わる場合。
図 2.1(a) のように物体が机の上に静止している場合を考えよう。まずは下向きに重力が働く。
重力の大きさは質量 m に重力加速度 g を掛けた mg である。g は重力加速度であるが、現時点
では単位のことは考えないことにする。しかし重力だけだと物体は下向きに力を受けて、机の
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中に沈みこむはずである。そのようなことが起こらないのは、机から上向きに抗力 N が働き、
両者が丁度バランスしていて、物体に対して働く力はゼロである：
N = mg.
抗力の源は、物体の分子と机の分子の間に反発力である。しかし力学のレベルではどのような
原因で抗力が生じるかではなく、単に抗力が上向きに働くとして十分である。
つぎに図 2.1(b) のように、水平方向に力 F が加えられるとしよう。垂直方向の力は図 2.1(a)
と同じで釣り合っている。水平方向はどうか。ここで日常生活の経験を思い起こして欲しい。
F が小さいと物体はすべり出さない。F が大きいと物体はすべり出す。これはどのように説明
されるか。力 F とは反対の方向に摩擦力 Ff （添え字 f は英語の friction の f からきている）が
働き、その大きさは μs N = μs mg であり、μs を静止摩擦と呼ぶ。μs には最大値 μ0 があって、
それを最大静止摩擦という。したがって
静止
動き出す
for F ≤ μ0 mg,
for F > μ0 mg.
いったん動き出すと、摩擦力は小さくなり、Ff =
μN = μmg となる。ここで μ は動摩擦係数と呼ばれ、
μ < μ0 である。したがって同じ大きさの力を加える
と、物体は加速を受けて速度はどんどん増す。
摩擦力の源は抗力と同じで、物体の分子と机の分
子の間に働く分子間力であるが、抗力は押し付け場
合に働く反発力であるのに対して、摩擦力は物体と
机の分子のズレが原因している。
図 2.2: 壁に押し付けられた本が滑り落
問題 2-1．図 2.2 のように重さ m の本を角度 θ 方向 ちない条件
の力 F で押し付ける。本がずり落ちない条件はなに
か。ただし壁と本の最大静止摩擦係数を μ0 、重力加速度を θ としなさい。ただし θ < π/2 の場
合に限りなさい。
問題 2-2．図 2.3 のように棒を角度 θ で床に押し付け
て、F の力を加える。実験したら分かるように、θ が
大きくなると滑り出すであろう。最大静止摩擦係数を
μ0 とすれば、滑らないための最大角度を求めなさい。
問題 2-3．角度 θ の坂道に質量 m の物体が静止して
いる。物体に働く全ての力を図に書きなさい。静止 図 2.3: F の力で押し付けられた棒が滑
摩擦係数が μs のとき、斜面に沿って働く力はいくら らない条件
か。μs の最大値を μ0 としたとき、物体が滑り落ちな
いための θ の条件はなにか。最大摩擦係数を 0.9 とすれば、滑り始める角度はいくらか。
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2.2.2
動いている物体に働く抵抗力
物体が空気中を動いている場合、周りの空気の流れを作り出すためにエネルギーを失う。言
い換えれば、抵抗力が生じる。物体の速度が小さな場合は、速度 v に比例した粘性抵抗 βv が
生じ、速度が大きくなると速度 v の２乗に比例した慣性抵抗 αv 2 が生じる。水中を動く場合も
同様の抵抗が働く。
雨粒が上空から速度 v で落ちてくるとしよう。雨粒に働く力は、雨粒の質量を m とすれば、
重力 mg が下向きに働き、運動とは反対向きの上空向きには抵抗力 βv が働く。まず最初は速
度ゼロで落ち始めるとしよう。重力によって加速されるが、最初は速度が小さいために抵抗力
はそれほど影響をしないので、どんどん加速される。しかし速度が大きくなると、抵抗力が重
力と釣り合い、
mg
mg = βv → v =
β
では働く力はゼロになり、もはや加速を受けない、すなわち速度は一定になる。このような速
度のことを雨粒の終端速度と呼ぶ。
問題 2-4．雨粒の半径を a とすると、摩擦係数は β = 6πμa である。ここで μ は空気の粘性係
数と呼ばれるものであり、μ = 0.018kg/(m s) である。落下速度は ≈ 106 a2 m/s であることを
示しなさい。ただし g = 9.8m s−2 としなさい。a = 1mm=10−3 m なら速度はいくらか。
問題 2-5．抵抗力が v に比例する βv と、v 2 に比例する αv 2 のうち大きな方が働く。働く力の
種類を速度の大きさにより分類しなさい。
2.2.3
バネに働く力
バネ秤を考えよう。図のようにバネの上にお皿が
ついていて、それをバネが支えている。どれだけバ
ネが縮んだかを測ることにより重さが測定できるわ
けである。まず物体を乗せないでバネの長さを測る。
それに質量 m の物体を乗せると x だけ縮んだ。物体
には下向きの重力 mg と、バネからの反撥力が働く。
フックによれば、バネの縮みが小さな場合はバネが
元に戻る復元力は縮み長さ x に比例する。物体に働
く力はバランスするから、
mg
g
mg = kx → x =
= m
k
k
図 2.4: バネ秤の原理
となり、重さが測れる。
問題 2-6．1kg の物を載せたら、1cm だけ短くなった。このバネ秤のバネの強さはいくらか。
問題 2-7．強さが k1 と k2 の２本のバネを並列につないで重さ m の物体を吊り下げる。バネの
伸びはいくらか。
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2.2.4
遠心力
糸の先端に錘をつけて、振り回すと外側に引っ張られる。もし糸の長さを L、錘の質量を m、
回転数を毎秒 f 回振り回すと、
mL(2πf )2 = mLω 2
だけの外向きの力を受ける。これを遠心力と呼ぶ。ここで ω = 2πf は回転の角速度と呼ばれる
ものである。
問題 2-8．錘の速度 v はいくらか。
問題 2-9．速度を用いれば、遠心力は mv 2 /L と表されることを示しなさい。
問題 2-10．長さ 1m の紐の先端に重さ 1kg の球をつけて、その紐の他端を中心にして毎秒５回
転で回転させる。物体が飛んでいかない条件は、物体に働く力がゼロであることである。物体
に働く力をすべて挙げなさい。糸に働く張力はいくらか。また手に働く力はいくらか。
2.2.5
万有引力
ニュートンは二つの物体の間に両者の質量 m1 と m2 の積に比例する力が働くことを発見し
た。万有引力 F は両者の距離 r の２乗に反比例し、
F =−
Gm1 m2
r2
である。ここで G は万有引力定数であり、6.67 × 10−11 N m3 kg−1 s−2 の大きさである。力にマ
イナスがついているのは引力を表し、プラスは反発力を表すのが物理での慣習である。
この公式を用いれば、我々の地球上でどれだけの重力が働くかが分かる。そのために地球表
面に質量 m の物体を置き、それと地球全体との間の万有引力を計算すればよい。地球の各部分
からの寄与を全て足し挙げる計算の結果は、地球の全質量を地球の中心に集中させた結果と一
致することが示せる。すなわち、
GmMe
F =−
Re2
である。ここで Re は地球の半径で 6378km、Me は地球の質量で 5.974 × 1024 kg であるので、
F = −9.8m[N] = −mg[N]
となり、よく知られた結果 g = 9.8m s−2 が導かれる。
遠心力と組み合わせると、人工衛星の問題が解ける。高さ h の所を人工衛星が飛んでいると
しよう。それに働く力は遠心力と万有引力である。遠心力は m(Re + h)ω 2 であり、外向きに働
く。一方万有引力は GmMe /(Re + h)2 で、内向きに働く。両者が釣り合うから、
m(Re + h)ω 2 =
GmMe
GMe
→ ω2 =
.
(Re + h)2
(Re + h)3
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h Re であるから、ω 2 ≈ GMe /Re3 である。g = GMe /Re2 を用いると、
ω=
g
= 1.24 × 10−3 s.
Re
人工衛星が地球を一周するのに要する時間 T は T = 2π/ω であるので、
T =
2π
= 5.07 × 103 s = 1.41h
ω
となる。
問題 2-11．静止衛星はいつも我々の上空にあって、静止しているように見える。すなわち、衛
星の周期 T は一日である。静止衛星の高度はいくらか。
問題 2-12．電波をパルス状に出す星にパルサーがある。かに星雲のパルサーの周期は 30msec
であり、これはその星の回転の周期である。そのように高速で回転している星の表面では、重
力と共に遠心力が働き、もし遠心力が勝てば、表面の物質は外に飛んでいって、星は安定に存
在しない。以上のような理由で、パルサーは白色矮星ではなく、中性子星であることが結論さ
れた。なぜ中性子星はよくて、白色矮星が否定されたかを計算で示しなさい。ただし白色矮星
も中性子も質量は太陽のそれと同じの M = 2 × 1030 kg、星の半径は、中性子星では 20km、白
色矮星では 8 × 105 km としなさい。
2.2.6
クーロン力
距離 r だけ離れた電荷 q1 と q2 の間には
q1 q2 1
4πε0 r2
の力が働く。ここで 1/(4πε0 ) = 9 × 10−9 m/F である。(F はファラッドである。）電荷が同符
号なら反撥力、異符号なら引力が働く。電荷はクーロン [C]、距離をメートル [m] で測れば、出
てくる力はニュートン [N] である。
問題 2-13．水素原子は、中心が陽子でその周りを電子が回っている。陽子の電荷は e = 1.60 ×
10−19 クーロン [C]、電子のそれは −e である。電子と陽子の距離を１オングストローム (10−8 m)
とすると、両者の間に働くクーロン力はいくらか。電子と陽子の質量は各々me = 9.11 ×
10−31 kg, mp = 1.67 × 10−27 kg である。万有引力の大きさはいくらか。万有引力は、クーロ
ン力の何倍になるか。
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