1 はじめに 2 地形曲面のフラクタル構造と統計

自然・社会科学におけるフラクタル構造と統計に関する研究
The Study of Fractal Structure and Statistics in Natural and Social Sciences
物理学専攻　佐々木　陽
SASAKI Yo
はじめに
1
得る。このプロセスを異なるグリッド数 (システムサイ
本研究では大きく分けて以下の二つの研究テーマを
扱った。一方は地形曲面に見られるフラクタル性に関
ズ)256 × 256, 512 × 512, 1024 × 1024 で行い、検証を
行う。フラクタル次元の算出にはボックスカウント法
を用いる。
する研究である [1]。地形曲面の山並みを自己アフィン
フラクタルであるとみなすことで、Matsushita らは以
下のスケーリング関係式が成り立つということを示し
た [2] [3]。
2.1.2
結果
結果は図 1(a)、(b)、図 2 となり、図 1(a) より (1) 式
De = 2 − H
Dc =
2
(1 + H)
ζ＝
De
2
(1)
のスケーリング関係はシステムサイズに依存してよく
成り立つことが示せた。(2) 式に関しては図 1(b) より、
(2)
H が反持続性を持つ領域ではシステムサイズの増加に
つれて理論値に近い結果となることがわかる。一方で、
H が持続性を持つ領域ではシステムサイズには独立に
理論値から特徴的に外れる結果となった。(3) 式に関し
(3)
ここで De をその地形の等高線図全体のフラクタル次
元、Dc をその等高線図中の一本の等高線のフラクタル
次元、ζ を等高線図中の島のサイズ分布のべき指数、H
ては図 2 において (b) が一番理論値と近くなったこと
から、画像表現の解像度とシステムサイズを考慮すれ
ばよく成り立つことがわかった。
(a)
をその地形の山並みの起伏を特徴付けるハースト指数
とする。本研究では、この先行研究結果をより細かい
コンピュータシミュレーション及び実際の地形を用い
て検証することを目的とする。
もう一方は人口等の特徴的分布に関する研究であ
る [4]。人口は人間の集団的行動を特徴付ける代表的
指標である。政治的・経済的にもその研究は重要であ
り、学際領域として様々な分野から行われている。し
かし一方で、人口の形成には様々な要素 (政治、経済、
(b)
宗教、災害、地理条件・
・
・) が関わっているため、人口
は非常に複雑な現象であるといえる。よって本研究で
は、人口の地域分布に着目することで、日本における
人口の特性を調べることを目的とする。
地形曲面のフラクタル構造と統計
2
2.1
2.1.1
シミュレーションによる検証
方法
中点変位法を用いてコンピュータ上に H を指定した
地形曲面を発生させ、各 H ごとに 20 枚の等高線図を
図 1: (a)、(b) はそれぞれ De 、Dc と指定した H の関係
をシステムサイズ毎に ○ : 256 × 256、△ : 512 × 512、
□ : 1024 × 1024 と示している。実線と破線はそれぞれ
De = 2 − H 、Dc = 2/(1 + H) である。
2.2
実際の地形による検証
(a)
実際の地形には長崎県の九十九島地域の海岸線を用
いる (図 3)。そして特徴の局地性を調べるためにその
地域を北九十九島と南九十九島に分けた場合も調べる。
表 1 に図 3 の全体図と最長の海岸線のフラクタル次
元を求めた結果と、そこから得られた H の値、島のサ
イズ分布のべき指数をまとめた。北、南、全体の九十九
島の海岸線図から得られたフラクタル次元 De 及び Dc
(b)
は各々非常に近い値となる。これは明らかにこの地域
の地形のフラクタル的特徴を示している。さらに、三
つの図から得られた De 、Dc の値から計算された H の
値は各々近い値となる。
図 4 にこの地域における島のサイズ分布の結果を示
す。図中の実線は九十九島全体図のフラクタル次元 De
から (3) 式を用いて得られた ζ の値 (0.72) を用いて引
き、破線は分布の全体の傾向にあわせて引いた。その
べき指数は 0.60 であり、De から求めた値とは若干異
(c)
なる。しかし、サイズ分布は確かにべき分布に従うと
いうことがわかる。
日本の人口の特徴的分布の研究
3
3.1
方法
データは総務省統計局 HP など web 上のものを使用
し、各データの累積個数分布を扱う。また、フィッティ
ングには累積分布形の対数正規分布 N (x) を用いる。
¸¶
µ
·
NT
ln(x/T )
√
N (x) =
,
(4)
1 − erf
2
2σ
ここで NT 、σ 、T はそれぞれサンプル総数、分散、平
均を意味する。erf(z) は誤差関数である。
3.2
図 2: 得られた ζ から Hc = 2 − 2ζ を用いて計算された
Hc と指定した H の値との関係。(a)、(b)、(c) はそれぞ
れシステムサイズ 256 × 256、512 × 512、1024 × 1024 の
場合の結果である。また、参考として Hr = 2 − De も
あわせてプロットしてある。ここで、Hr : ○、Hc : □
としてプロットしてある。
NL
+
2
都道府県人口分布
都道府県人口分布を年代別に調べることにより興味
深い結果を得た。1945 年の都道府県人口分布は対数
正規分布によってフィットされる (図 5) が、その後経
済成長を遂げた 2003 年の人口分布では 2-lognormal
distributionN2 (x) でフィットされる (図 6)。すなわち
経済発展によって生じた地方の過疎化と都市部の過密
Ã
1 − erf
Ã
log(x/TL )
p
2
2σL
!!
.
(5)
ここでフィッティングパラメータは NS , TS , σS がぞれぞ
れ small group の総数、平均、分散であり、NL , TL , σL
がそれぞれ large group の総数、平均、分散である。
3.3
市町村人口分布
化という日本の人口構造の特徴を分布からも読み取る
ことができる。ここで N2 (x) は以下の式で与えられる。
Ã
Ã
!!
log(x/TS )
NS
p
1 − erf
N2 (x) =
2
2σS2
日本の各市・町・村の人口分布を見れば、それぞれ、
べき分布、裾で落ち込む対数正規分布、対数正規分布
を示すことがわかった。図 7 に示した町の場合の分布
から、裾での落ち込みが市への昇格によるものである
図 6:
2003 年の 47 都道府県人口分布。実線は 2-
lognormal distribution であり、フィッティングパラメー
タは NS = 37, TS = 1480, σS = 0.44、NL = 10,
TL = 6780, σL = 0.32 である。
図 3: 長崎県九十九島海岸の島を含んだ等高線図。
図 7: 2005 年の 1178 町の人口分布。実線は対数正規
図 4: 九十九島地域の島のサイズの累積個数分布。
分布であり、フィッティングパラメータは NT = 1178、
T = 1.1 × 104 、σ = 0.73 である。破線は町から市への
昇格の条件である人口 50,000 を表す。
3.4
モデル説明
最初にそれぞれ市、町、村に相当するサイトを 1000
用意する。それらサイトに居住者数として初期値 1 を
与える。移住のルールは以下のようになる。まず人口
移動元となるサイト i をランダムに決定する。ここで
図 5: 1945 年の 46 都道府県人口分布。実線は対数正
移住パラメータ α を導入する。α は選ばれたサイトか
規分布であり、フィッティングパラメータはそれぞれ
ら、そのサイトよりも小さい居住者数を持つサイト群
NT = 46、T = 1430、σ = 0.5 である。沖縄県は含ま
れていない。
へ移住が起こる確率を与える。確率 α で選ばれたサイ
ト群の中から、人口移動先としてのサイト j をランダ
ムに決定する。次にサイト i から居住者数の Pij ％を
サイト j へ移動する。ここで Pij は 0～90 の範囲でラ
ことが明確にわかる。我々は各市町村の昇格に伴う人
ンダムに決定する。この基本プロセスを 10000 回繰り
口条件が、市にとっての下限、町にとっての下限と上
返し、1 サンプルとする。
限として作用し、こうした特徴的分布が導かれたと考
ここで、下限と上限をモデルにどう導入するかを説
えた。それを確かめるために単純な人口移住モデルを
明する。上限と下限は平均 Tn 、分散 σn の正規乱数で
作成し、検証を行った。
各基本プロセスごとに与えられる。シミュレーション
プロセスにおいて、サイトの居住者数が上限を超えた
場合、そのサイトの居住者数は 0 から 1 の一様乱数に
よる値で置き換えられる。これは町から市への昇格に
表 1: 九十九島地域の海岸線図のフラクタル解析結果
Area
北九十九島 南九十九島 九十九島
続いて、村から町への昇格が起こったことに相当する。
De
1.427
1.436
1.440
例えば、もしある町が市へ昇格したならば、その町は
Dc
1.257
0.573
0.591
1.295
0.564
0.544
1.282
0.560
0.560
0.714
0.718
0.720
町のグループから除外される。一方で、下限を導入し
た場合は、サイトの居住者数が下限を下回らないよう
に基本プロセスを 10000 回繰り返す。
H from De
H from Dc
ζ
サンプル平均のため、100 サンプルの結果を平均し、
最終的な分布を得る。これらのことを下限のある場合、
上限と下限のある場合、上限も下限もない場合のそれ
ぞれについて、別々に行う。
析をより容易にするであろうと思われる。
人口分布に関する研究では、都道府県人口分布から
終戦直後の先祖帰りと、その後の経済成長と共に発生
した地方での過疎化、そして都市部での人口過密化と
3.5
モデル結果
いう人口構造の二層化の問題が読み取れることを示し
た。さらに、日本の市・町・村の人口分布がそれぞれ
べき分布、裾で落ち込む対数正規分布、対数正規分布
でフィットされることを示した。この町の人口分布にお
ける裾での落ち込みは明らかに町から市になるための
昇格条件によるものであると考えられた。そこで、各
市・町・村の特徴的人口分布が各市・町・村の昇格条
件によってもたらされているという想定の下、実際の
各市・町・村の人口分布を再現できる人口移住モデル
を作成した。すなわち、各市・町・村の特徴的人口分
布は各市・町・村の人口条件に強い影響を受けている
と考えられる。
図 8: 上限と下限を設定したモデルによる人口分布。
図 8 の分布は Tn = 2.0、σn = 0.2 の上限と Tn =
0.7 × 10−4 、σn = 0.3 × 10−4 の下限を設定して発生さ
せた分布である。この場合、分布の裾では外れるが、大
部分が NT = 1000、T = 2.2 × 10−3 、σ = 2.9 の対数
正規分布によってフィットされる。その分布は図 7 の
実際の町の人口分布の特徴を再現した分布となる。
4
まとめと結論
地形曲面に関する研究ではコンピュータシミュレー
ションによって発生させた地形と実際の地形の水平断
面図 (等高線図) において (1), (2), (3) 式が成り立つこ
とを示した。但し、コンピュータシミュレーションの
場合は各式の妥当性はシステムサイズに依存し、実際
の地形の場合は必然的に海岸浸食や沿岸開発による阻
害影響を含む。水平断面図においてこれらスケーリン
グ関係式から計算された H の値はその三次元界面の起
伏特性を表す。つまりこの方法は三次元起伏特性の解
参考文献
[1] Y. Sasaki, N. Kobayashi, S. Ouchi and M. Matsushita: J. Phys. Soc. Jpn. 75 (2006) 074804.
[2] M. Matsushita, S. Ouchi, K. Honda: J. Phys.
Soc. Jpn. 60 (1991) 2109.
[3] S. Isogami and M. Matsushita: J. Phys. Soc. Jpn.
61 (1992) 1445.
[4] Y. Sasaki, H. Kuninaka, N. Kobayashi and M.
Matsushita: submitted to J. Phys. Soc. Jpn.