自動車の運動性能

 自動車工学基礎シリーズ
自動車の運動性能
堀内伸一郎（日本大学理工学部）
1. はじめに
自動車の運動を厳密に数式で表
現しようとすると，非常に複雑な
式が必要となる．しかし，操舵に
対する基本的な運動特性だけを考
える際には，
・自動車を一つの剛体と見なす
・上下運動などを無視する
・走行速度を一定と見なす
・左右のタイヤ特性は等しい
などの仮定を設け，横方向の並進
†
運動と車体の向きに関する回転運
動の 2 自由度のみを考慮した簡単
な式を用いることが多い．
ここではこのような 2 自由度運
動方程式に基づいて，自動車の基
†
本的な運動特性を説明しよう
ここで， v は横速度， r は車を上か
ら見たときの回転に関する角速度
（ヨーレイト）である．(1)式のカ
ッコの中の項は横向きの加速度で
†
†
あり，横速度の微分値 v˙ と円運動
を行うことによる求心加速度 ur の
和として表されている．また F f ，
Fr は前後のタイヤから発生する横
†
向きの力を表す． †
車体の横すべり角†b が小さい範
囲の運動を考えることにすると，
次のような関係が成り立つ．
(3)
u @ V , v†= V sin b @ Vb
速度を一定と仮定しているので，
上式の v を微分すると
(4)
v˙ = Vb˙
となる．これらの関係を用いると
† (1)式は
†
2. 基本的な運動方程式
自動車の運動を剛体の平面運動 †
と簡単化して考えると，その運動
方程式はニュートンの運動法則に
従って，(1) 質量×横向き加速度
＝横向き外力，および (2) 慣性モ†
ーメント×角加速度＝外力による
重心点回りのモーメントという 2
本の式で表すことができる．左右
2 つのタイヤを中央にまとめた図 1
のようなモデルを考えると，これ
らの式は
(1)
m(v˙ + ur) = F f + Fr
Ir˙ = l f F f - l r Fr
mV (b˙ + r) = F f + Fr
(1)'
と書き直すことができる．(1)式と
(1)'式には本質的な差はないが，(1)'
式のように b を用いた方が自動車
の運動を直感的に理解するのに適
している．(1)'式，(2)式が剛体の平
面運動と考えた自動車の基本的な
†
運動方程式となる．
横すべり角が小さい場合，タイ
ヤから発生する横向きの力はタイ
ヤ横すべり角に比例すると見なす
ことができる．このような仮定は，
車体の横加速度が 0.5G 程度までは
妥当であることが知られている．
このとき，前後のタイヤ横すべり
角を b f ， b r とすると，前後タイ
(2)
と書くことができる．
†
†
†
†
†
図 1 簡単な自動車のモデル
†
ヤはそれぞれ 2 本ずつあるので，
横力は
† F f = -2K f b f , Fr = -2K r b r (5)
と書くことができる．ここで， +b
に対して -F が発生するので，マイ
ナス符号が付けられている．比例 †
定数 K f ， K r はコーナリングパワ
†
ーと呼ばれている． b f ， b r は近 †
†
似的に次のように表すことができ
る．
†
l†f
†
l
b f = b + r - d , b r = b - r r (6) †
V
V
(6)式からわかるように，前輪横す
べり角 b f には操舵角 d が含まれ，
これが運動方程式に対する入力と
なる．
†
† (1)'，(2)式に(5)，(6)式を代入す
ると
Ê
ˆ
lf
mV (b˙ + r) = -K f Á b + r - d ˜
V
Ë
¯
(7)
Ê
ˆ
lr
- K r Áb - r ˜
Ë
V ¯
Ê
ˆ
lf
Ir˙ = -l f K f Á b + r - d ˜
V
Ë
¯
(8)
Ê
lr ˆ
+ lr K r Áb - r ˜
Ë
V ¯
のような，自動車の運動を解析す
るのに便利な形の線形連立常微分
方程式が得られる．自動車の基本
的な運動特性はこの簡単な式で説
明することができる．
3. 定常円旋回特性
(7)，(8)式の微分方程式で表され
るシステムの特性を調べ，自動車
の運動性能を理解しよう．
まず始めに，舵角 d を一定と仮
定し，(7)，(8)式の平衡点の性質を
調べてみよう．平衡点とは微分方
程式の微分項をゼロとおいて得ら
†
れる代数方程式の解である．この
代数方程式は未知数が b と r の 2
つであり，式が 2 本であるから，
簡単に解くことができる．具体的
にこの解を求めると次のようにな
† †
る．
m lf
1V2
2l l r K r
lr
(9)
b=
d
2
l
1+ AV
1
V
(10)
r=
d
2
1 + AV l
ここで， A は
m l f K f - lr Kr
A=- 2
(11)
K f Kr
2l
†
である． d = 0 のとき，平衡点は
b = r = 0 の直進状態を表している．
舵角を変化させると，これに応じ
て一定の b と r が定まる．このよ
†
†
†
†
†
(
†
†
†
る．すなわち，舵角一定の円旋回
において，速度の増加に伴う旋回
半径の変化は A の値，すなわち
l f K f - l r K r の値によって大きく異
なることがわかる．このような A
をスタビリティファクタと呼び，
†
この値が正の車両をアンダーステ
ア(US)，負の車両をオーバーステ
†
ア(OS)，ゼロの車両をニュートラ
ルステア(NS)という．
速度が非常に遅く V 2 @ 0 と見な
せるとき，(9)，(10)，(12)式は
†
l
b = b0 = r d
†l
(13)
V
(14)
d
l
l
(15)
R = R0 =
d
となる．この状態は極低速時の旋
回と呼ばれ，各タイヤは全く横す
べり角をもたず（したがって，横
力を発生せず）
，旋回している状態
である．
横軸に速度の 2 乗，縦軸に極低
速時の旋回半径 R0 と速度 V で走行
しているときの旋回半径 R の比
R / R0 をとると，図 2 のようになる．
†
これらの直線の傾きがスタビリテ
†
ィファクタを表す．
†
r = r0 =
†
†
†
3
2
R
R0 1
0
US
(A>0)
NS
(A=0)
OS
(A<0)
2
Vc
1
†Vc = - A
†
となる．
(16)
40
30
OS
†
20
NS
10
0
0
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
V
2
図 2 速度と旋回半径比の関係
10
20
velocity [m/s]
30
US
NS
OS
10
20
30
velocity [m/s]
図 3 定常円旋回状態のヨーレイ
トと横すべり角
†
†
A1s 2 + A2 s + A3 = 0
る)
ヨーレイト r が得られれば，横
加速度
† ay は
1
V2
(18)
d
2
1+ AV l
† より求めることができる．この式
(19)
ここで，
A 1 = mIV
(9)，(10)式からヨーレイトと横 †
すべり角を具体的に計算すると図
3 のようになる．これらの図から
†
わかるように，OS の車両はある有
限の速度で，ヨーレイト，横すべ
†
り角とも発散し，定常円旋回がで
きない．この速度が(16)式の臨界
速度である．NS の車両では速度の
†
増加とともに線形的にヨーレイト
が増加し，横すべり角は減少する．
US 車両のヨーレイトはある有限の
速度で最大値をとり，それ以上の
速度では緩やかに減少する．また，
US 車両の横すべり角は速度が増加
したとき，式(9)において V Æ • と
†
して
†
lf Kf
d
(17)
lim b =
l f K f †- l r K r
V Æ•
a†
y = Vr =
OS の車両では速度の増加ととも
4. 安定性と過渡応答特性
3.では，OS 車両のヨーレイトと
横すべり角が臨界速度で発散し，
定常円旋回ができないことがわか
った．ここではシステムの安定性
の面からこの点を考えてみよう．
システムの動的な安定性はその
システムの特性根を調べることに
よって知ることができる．(7)，(8)
式において時間微分を s とおき，
特性方程式を求めると次のような
s に関する 2 次式が得られる．
US
のように負の一定値に収束する． †
(US 車両では l f K f - l r K r < 0 であ
†
から横加速度を計算すると，速度
が大きくなったとき横加速度が
1[G]を越えることになる．しかし，
車両に運動を発生させる力はタイ
ヤと路面との摩擦力であるから，
実際には車両の横加速度はタイヤ
と路面との摩擦係数を m としたと
き m [G]を越えることはできない．
横加速度が 1[G]を越えるのは，タ
イヤから発生する横力が(5)式のよ
†
うにタイヤ横すべり角に比例して
いくらでも発生すると仮定したモ
デルを用いているためである．
この Vc は 1+ AV 2 =†0 より
Sideslip angle [deg]
†
)
に旋回半径が減少し，速度 Vc の時
に旋回半径が理論上ゼロとなる．
このような Vc を臨界速度という．
yaw rate [deg/s]
うな運動は一定速度，一定舵角で
円旋回を行っている状態であり，
定常円旋回と呼ばれている．この
旋回半径を R とすると， R = V / r で
あるから，(10)式から
l
(12)
R = 1+ AV 2
†
†d
†
となる．一定舵角で円旋回してい
るとき，もし， A > 0 であれば速度
†
の増加とともに旋回半径が増加し，
A < 0 であればその逆に，速度の増
加とともに旋回半径が減少する．
†
A の正負は(11)式からわかるよう
に l f K f - l r K r の正負によって決ま
(20)
{ (
) (
A2 = 2 m l 2f K f + l r2 K r + I K f + K r
)}
(21)
4 2
l K f K r - 2mV l f K f - l r K r (22)
V
である．このような特性方程式で
表されるシステムが安定であるた
めには，すべての係数が正である
ことが必要である． A1 と A2 は常に
正であるから，もし，車両が不安
定になるとすると，(20)式で表さ
れる A3 が負となる時，すなわち
† †
l f K f - l r K r が正であり，速度が
(
V=
K f Kr
2l 2
m (l f K f - l r K r )
)
(23)
を越えたときのみであることがわ
かる．l f K f - l r K r が正であるとは，
車両が OS 特性をもつことを意味
し，(23)式の速度は(16)式の臨界速
† 度に等しい．すなわち， OS 車両
が臨界速度以上で定常円旋回でき
ないのは，車両が動的に不安定に
なるためであると理解できる．
もし，車両が US または NS 特性
であれば，どのような速度でも安
定である．このような理由から，
†
と比較することによって，車両の
減衰比 z と固有振動数 w n を求める
ことができる．一般に 2 次系の過
渡応答の収束性は減衰比と固有振
によって見積もるこ
† 動数の積 zw n †
とができ，この値が大きいほど全
体的な応答の立ち上がりと収束が
よいことが知られている．具体的
†
にこれを計算すると
A
zw n = 2
2A1
Ê l 2 K + l 2K
K + Kr ˆ
Á f f r r+ f
˜
Á
I
m ˜¯
Ë
(25)
となる．この式から，速度が増加
するにしたがって zw n の値が減少
し，過渡応答特性が悪くなること
がわかる．式(24)の( )内は速度に
関係せず，車両の特性のみによっ
†
て決まるので，これを繰安キャパ
シティと呼び，操縦性・安定性の
一つの指標とすることがある．高
速でも過渡応答特性を良くするた
めには，できるだけ繰安キャパシ
ティを大きくするように車両を設
計すればよい．そのためには
・コーナリングパワーを大きくす
る
・質量を小さくする
・慣性モーメントを小さくする
ことが必要である．
=
†
†
†
(24)
1
V
0
†
1
Gain [db]
s 2 + 2zw n s + w n2 = 0
て振幅比 b / a と位相差 f を調べる
ことによって周期的入力に対する
車両特性が把握できる．
このような周波数応答特性を図
†
†
に表したものが，図 4 である．こ
の図はハンドル舵角に対するヨー
レイトの周波数応答である．この
ような図は(7)，(8)式の基本的な運
動方程式とステアリングギア比か
ら計算によって求めることもでき
るが，実車実験のデータから求め
ることもできる．自動車の操縦性・
安定性を検討する際には，このよ
うなヨーレイト周波数応答を見る
ことが多い．ヨーレイト周波数応
答は速度によって変化するが，一
般には速度 100km/h のときの応答
を見ることが多い．
Phase [deg]
市販車はすべて US 特性になるよ
うに設計されている．
また，(19)式の特性方程式を一
般の 2 次系の特性方程式
-10
2
-20
-30
0
3
4
-30
-60
0.03
0.1
1
frequency [Hz]
図 4 ヨーレイト周波数応答
3
図 4 の上図は入力周波数に対す
る振幅比(ゲインと呼ぶことが多
い)，下図は入力周波数に対する位
相差を表している．振幅比はデシ
5. 周波数応答特性
ベル[db]( x [db] = 20 log10 x )という
つぎに，周期的な操舵に対する
単位で表すのが普通である．0 デ
定常応答を考えよう．このような
シベルは 0 [db] = 20 log10 x より，
応答は周波数応答と呼ばれている．
いま，舵角を正弦波状に
振幅比 x が 1 であること，すなわ
†
(26)
d (t) = a sin w t
ち入力と出力の振幅が等しいこと
を表す．振幅比がマイナスは，入
のように入力した場合を考える．
†
† 力の振幅より出力の振幅が小さい
システムが線形であれば，その定
こと，振幅比がプラスはその逆で，
常出力 x は必ず
入力の振幅より出力の振幅が大き
x(t) = bsin(w t + f )
(27)
いことを示す．また，位相差が負
の形で表されることがわかってい
であるのは，入力に対して出力が
† る．すなわち，正弦波入力に対す
遅れて出力されることを示す．
る定常出力は
さて，ハンドル舵角に対するヨ
・周波数は入力と同じ w で，
ーレイト周波数応答のグラフにお
・振幅が a から b に変化し，
いて，注目する点を説明しよう．
・位相が f だけずれる．
まず，注目するのはゲイン線図
したがって，入力の周波数に対し
†
の 1 の点，すなわち極低周波のゲ
†
†
†
インの値である．この値は極低周
波すなわち一定舵角におけるヨー
レイトの定常値を示している．図
4 ではこの値が約 -10 [db]であるか
ら，一定舵角に対するヨーレイト
の比は -10[db] = 20 log10 x より，約
0.32 であることがわかる．すなわ
†
ち，この車両はハンドル角を 10 deg
† 切ると定常ヨーレイトは 3.2 deg/s
発生することがわかる．この値は
(10)式に対してステアリングギア
比の影響を考慮した定常円旋回の
ヨーレイトに対応する．
注目点の 2 番目は，ゲインのピ
ークの高さである．(7)，(8)式で表
される自動車のモデルでは，減衰
比 z が小さくなるとこのピークが
高くなる．したがって，ピークの
高さはヨー応答の減衰の程度を表
す目安となり，良好な減衰特性を
もつためにはピークがあまり大き
くない方が望ましい．通常の乗用
車ではこの値は 2 から 4[db]程度で
ある．
注目点の 3 番目は，ゲインがピ
ークをとる周波数である．このピ
ーク周波数(共振周波数ということ
が多い)はほぼ固有振動数に一致す
るので，ピーク周波数が大きいほ
ど速応性が良く，ドライバにとっ
ては舵の効きが鋭いと感じられる．
通常の乗用車では 1 から 1.3 [Hz]の
範囲に共振周波数が存在するが，
スポーツカーではもっと高い値を
もつものもある．
注目点の 4 番目は，位相の遅れ
である．位相遅れが大きいほど，
ハンドル舵角入力に対してヨーレ
イトの発生が遅れる．したがって，
早い操舵に対して遅れなくヨーレ
イトが発生できるためには，位相
遅れが小さい方が望ましい．一般
には周波数 1[Hz]の位相遅れによっ
てヨー応答特性を比較する．通常
の乗用車は 1[Hz]での位相遅れは 20
度から 40 度程度の値をとる．
６．おわりに
簡単な運動方程式に基づいた運
動性能の検討について述べた．タ
イヤ，サスペンション，ドライバ
特性などを含めた運動性能の基礎
講習会「自動車の運動力学」が５
月 10 日に東京で開催予定なので，
さらにこの分野を深く勉強したい
方はぜひご参加をお勧めしたい．