角運動量とトルク

角運動量とトルク
ＣＩＳ 角運動量とトルク
1
回転運動
„
どんな運動も「運動方程式」に従う
… 新しい原理は不要だが
… 新しい量の導入→記述を簡単にする
„
回転運動とは？
… 代表例：円運動
… 円運動ではない回転運動
„
„
回転半径や中心が時間とともに変化する
直線運動にも「回転」の要素がある？
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2
糸口：「てこ」の原理
„
r1
「てこ」の原理
… アルキメデス
… 「回転」のつりあい
r2
F2
F1
r F1 = r2 F2
回転の勢いが変化しない条件
1
„ 「回転の勢い」を表す量は？
„ 「回転の勢い」を変化させる量は？
„
… 運動方程式
„
「運動の勢い＝運動量」の時間的変化と力
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てこの原理 → トルク
„
回転を引き起こす要因
…
…
„
力の大きさ F
支点（回転中心）から作用点までの距離 r （これを腕の長さという）
トルク(ベクトル) 
…
大きさ
„
…
トルクベクトル
矢印の位置は問わない
回転軸があるときは、その付近に描く
N = rF
向き
„
„
回転軸の方向
回転する右ネジの進む向き
r
…
ベクトル的に加算
„
「てこ」が回転する面
「つりあい」は「加えた結果が0」
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回転軸
F
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「腕と直交しない力」の効果
„
„
„
「腕」の方向の力は回転の勢いを
変えない
「腕と直交する力の成分」だけが
有効
トルクの大きさ
＝腕の長さ
×腕と直交する力の成分
Ｐ Ｏ
F//
F⊥
Ｆ
r
F
＝ 腕と力ベクトルがつくる
平行四辺形の面積
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トルクの記述に使える数学
„
ベクトルとベクトルの外積 ×
記号「×」は必須
… 大きさ
…
„
„
„
…
„
とがつくる平行四辺形の面積
= |||| sin θ
2つのベクトルが平行のとき、大きさは0
２つのベクトルの長さを変えず向きを変えると、直交で最大
とを含む平面に直交
からへ（小さい方の角 θを通って）回転する右ネジが進む方向
大きさを「面積」と表現したが
„
„
„
G
B
θ
G
A
向き
„
…
G G
A× B
との次元は長さでなくてよい
２つのベクトルが異なる次元でもよい
との始点が同じである必要はない
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6
外積の特徴、成分による計算
正規直交基底ベクト
ルどうしの外積
„ ２つのベクトルを交換
すると符号が反転
„ 結合、分配など
„
G
ex
G
ey
Ax
Ay
Bx
By
G
ez
Ay
Az =
By
Bz
ＣＩＳ 角運動量とトルク
G G G
ex × ey = ez
G G G
ey × ez = ex
G G G
ez × ex = ey
Az G
G
ex + " = ( Ay Bz − Az By )ex + "
Bz
G
ez
G
ey
G
ex
G G
G G
A× B = −B × A
G
B
G
A
G G
B× A
7
トルクベクトルを外積で表す
„
：始点＝回転中心、終点＝力（）の作用点
„
大きさ：
…
„
向き：
…
…
„
rF sinθ
外積の絵では、
ベクトルの始点が同じに描くことが多いが、
トルクには力の作用点の位置が重要
回転軸の方向
その回転で右ねじが進む方向
次元：
…
…
…
距離×力
「仕事」と同じ
だが，単位（N・m）をＪと書くことはない
力の作用点
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G G G
N = r ×F
回転中心
G
r
θ
G
F
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例：トルク
… モータの軸に軽い棒を水平に取り付け、軸から
1mのところに質量10kgのおもりをとりつける。
水平に保持するためにモータが発生すべきトルクは？
„ 水平から45度上向きのときは？
„ 水平から45度下向きのときは？
„
モータ
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モータ
9
「トルク」を「てこから開放？」する
„
質点が力を受ける（運動していてもよい）
… 力は「てこ」の棒から受けてもよい
概念の発展
… 万有引力、電磁気力、垂直効力、摩擦力、…
… 真の（みかけでない）力なら何でもよい
„
回転中心の位置は自由に想定してよい
… 「てこ」の支点、「てこ」の棒の端、…
… 太陽、太陽と地球の重心、計算しやすい位置、…
„
同じ力で、同じ質点が、同じ軌道を運動しても、回転
中心の位置によりトルクの値は異なる
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例：トルク
„
長さ1mの糸の一端を原点Ｏに固定し他
端に質量1kgのおもりをつけ、水平面内
を1秒に10回転の速さで回転させる。
…
…
„
固定端を中心とするとき、糸の張力による
トルクは？
回転運動中にこの糸を毎秒1cmの速さで
中心でたぐり寄せて回転半径を縮めると
きは、張力によるトルクは？
Ｏ
T
1cm/s
（１）
重力で自由落下する1ｋｇの物体がある。
…
…
落下の軌道（鉛直下向きの直線）上の点
を中心としたとき重力のトルクは？
この軌道から１ｍ離の距離にある点を中
心としたとき重力のトルクは？
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（２）
mg
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運動方程式とトルク
„
運動方程式（唯一の原理）から導かれること
… 運動に対するトルクの影響
… 力の影響→運動の勢い（運動量）の時間的変化
… トルクの影響→回転の勢いの時間的変化
G
G
G
G G G dp G ⎛ dv ⎞
⎛ G dv ⎞
r ×F = r ×
= r ×⎜ m ⎟ = m⎜ r × ⎟
dt
dt ⎠
⎝ dt ⎠
⎝
運動方程式
„
「回転の勢い」にふさわしい量は何か？
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面積速度：「回転の速さ」の表現
„
t→t+Δt で
…
…
„
Δ：質点の位置ベクトルの変化
Δ= dt=
dS 1 G G
= r ×v
dt 2
ΔS：位置ベクトルが「掃く」面積
…
ΔS =(1/2) |×Δ|= (1/2) |×Δt|
d
dS
„
面積速度 = dS/dt = (1/2)|×|
…
„
P

回転の勢い？
例：惑星の運動
…
面積速度＝一定
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O
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例：面積速度
半径 r = 1 m の円周上を１秒に１回等速で回
る物体について、円の中心から見た面積速
度は？半径 r と角速度ωを用いて面積速度
を表す式は？
„ 直線上を等速 v = 1 m/sで進む物体について、
直線から r =1 m 離れた点から見た面積速度
は？
„
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14
面積速度と角運動量
„
参考：質量×速度 ＝ 運動量（運動の勢い）
G G
mv = p
„
⇒
G dpG
F=
dt
?
角運動量の単位は
N・m・s = kg m2/s
だがJ・sとは書かない
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G
G
G
⎛ G dv ⎞
r × F = m⎜ r × ⎟
dt ⎠
⎝
どこか似てない？
質量×面積速度×２ ＝ 角運動量（回転の勢い）
G
dl
d G G
G G G
m(r × v ) = l ⇒
=
= m (r × v )
dt
dt
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例：角運動量
地球（m=6.0x1024kg）が太陽を中心とする円
軌道（r=1.5x1011m）上を等速で運動するもの
として、その公転運動の角運動量（の大きさ）
を太陽を中心として表すと？角速度ωを用い
た角運動量（の大きさ）を表す式は？
„ 自分から１m離れた所を時速108kmで通過し
た質量100gの物体の角運動量（の大きさ）は、
自分から見ると？
„
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角運動量の和
„
２個以上の物体があるとき、各物体の角運動
量ベクトル和を「系の全角運動量」と言う。
… どの物体の角運動量も共通の原点から見たとき
の値を用いる
„
－
－ 


例：半径rの円の直径の両端に質量ｍの物体があり両
方とも円周上を同じ向きに同じ速さで回転する。全角
運動量は原点の選び方によって変化しないことを示せ。
Ｏ
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トルク＝角運動量の時間微分
„
角運動量（面積速度）を時間で微分すると？
G
d G G G dv
(r × v ) = r ×
dt
dt
G
G
G
⎛ G dv ⎞
r × F = m⎜r × ⎟
dt ⎠
⎝
d G G
= m (r × v )
dt
G
dl
=
dt
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G G
Δ (r × v )
G
G
G
G
G G
( r + Δr ) × ( v + Δ v ) − r × v
=
Δt
Δt
G
G
G G
G
G
r × Δv + Δr × v + Δr × Δv
=
Δt
→
G G G G
G
G
r × dv + dr × v G dv dr G
= r × + ×v
dt
dt dt
G
G dv G G
= r × + v ×v
dt
トルク と
「角運動量：回転の勢い」の時間的変化の割合
が量的に（ベクトル）として等しい
18
角運動量保存則
„
トルクが0のとき角運動量が変化しない
… 力が作用してもトルクが0になる場合に有効
„
例：中心力（不動の一点に向かう力）
… 角運動量と回転の角速度の関係に注意
„
復習：運動量保存則
… 力が0のとき運動量が変化しない
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