6 同値関係と商集合

数学 IB No.4
10 月 23 日配布
担当：戸松 玲治∗
同値関係と商集合
6
6.1
同値関係
これから同値関係という概念を少々厳密でないやり方で紹介する. ちゃんとした定義は [森, 齋 1, 齋 2]
などを見て欲しい.
X を集合とする. 2 元 x, y ∈ X が「何らかの基準で関係」しているとき, x ∼ y と書く. もしこの
関係が次の 3 条件をみたすとき, 同値関係であるという.
• (反射律) すべての x ∈ X に対して, x ∼ x.
• (対称律) もし x, y ∈ X が x ∼ y をみたせば, y ∼ x.
• (推移律) もし x, y, z ∈ X が x ∼ y かつ y ∼ z をみたせば, x ∼ z.
また x ∼ y のとき, x と y は同値であるという. 同値関係の例を見てみよう.
問題 53 (1pt.) X を集合, すべての 2 元が同値であると定める, つまり任意の x, y ∈ X に対して
x ∼ y. これが同値関係であることを示せ.
問題 54 (1pt.) 整数 n ∈ Z に対して, Z の関係を x ∼ y ⇔ x − y ∈ nZ と定める. この関係は同値関
係であることを示せ.
問題 55 (1pt.) X を R2 の中の三角形をすべて集めた集合とする. 2 つの三角形 x, y ∈ X に対して,
x ∼ y を x と y が合同ということで定めると, 同値関係であることを示せ.
問題 56 (1pt.) Mn (R) を n × n 実行列全体のなす集合とする. 2 つの行列 A, B ∈ Mn (R) に対して,
関係 A ∼ B を, ある正則行列 P が存在して A = P B と書ける, ということで定めると同値関係にな
ることを示せ.
問題 57 (1pt.) Mn (R) を n × n 実行列全体のなす集合とする. 2 つの行列 A, B ∈ Mn (R) に対して,
関係 A ∼ B を, ある正則行列 P が存在して A = BP と書ける, ということで定めると同値関係にな
ることを示せ.
問題 58 (1pt.) Mn (R) を n × n 実行列全体のなす集合とする. 2 つの行列 A, B ∈ Mn (R) に対して,
関係 A ∼ B を, ある正則行列 P が存在して A = P BP −1 と書ける, ということで定めると同値関係
になることを示せ.
問題 59 (1pt.) R2 において格子 Z2 := {(x, y) ∈ R2 | x, y ∈ Z} を考える. 関係 x ∼ y を x − y ∈ Z2
として定めると同値関係であることを示せ.
問題 60 (1pt.) V を R 上ベクトル空間, W をその部分空間とする. 2 つのベクトル x, y ∈ V に対し
て, x ∼ y ⇔ x − y ∈ W と定めると, これは同値関係であることを示せ.
問題 61 (1pt.) R 上の n 次元ベクトル空間 Rn の部分集合 Rn \{0} に, 関係 x ∼ y ⇔ ∃c ∈ R s.t. x =
cy と定めれば, これは同値関係であることを示せ.
∗ http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/sched.html
問題 62 (1pt.) R2 の正方形集合 R = [0, 1] × [0, 1] 上に次のようにして同値関係 ∼ が入ることを示
せ. a = (x1 , y1 ), b = (x2 , y2 ) に対して,
• 0 < x1 < 1 ならば, a ∼ b ⇔ a = b.
• x1 = 0, 1 ならば, a ∼ b ⇔ a = b or x2 = 1 − x1 & y2 = 1 − y1 .
∞
問題 63 (1pt.) 集合 `∞ (N) を, 有界な実数値数列全体のなす集合とする† . 2 つの数列 {an }∞
n=1 , {bn }n=1
∞
の関係を {an }∞
n=1 ∼ {bn }n=1 ⇔ lim (an − bn ) = 0 と定める. これは同値関係であることを示せ.
n→∞
問題 64 (各 1pt.) 次の問いに答えよ.
(1) 2 点集合 A = {a, b} の考えうる同値関係をすべて挙げよ.
(2) 3 点集合 B = {a, b, c} の考えうる同値関係をすべて挙げよ.
あとでやるが, 同値関係は次のタイプのものしかない.
問題 65 (1pt.) 写像 f : X → Y があるとき, X の関係を x1 ∼f x2 ⇔ f (x1 ) = f (x2 ) と定めると,
これは同値関係であることを示せ.
問題 66 (1pt.) 2 つの写像 f : X → Y , g : X → Z があるとき, 問題 65 のように, X 上に 2 つの同
値関係 ∼f と ∼g が入る. これらが等しい関係‡ であるための必要十分条件を求めよ.
問題 67 (1pt.) 2 つの集合 X, Y の上に同値関係が ∼X , ∼Y がそれぞれ定まっているとする. この
とき直積集合 X × Y の上に次の関係を定める. (x1 , y1 ) ∼X×Y (x2 , y2 ) ⇔ x1 ∼X x2 かつ y1 ∼Y y2 .
このとき ∼X×Y は同値関係であることを示せ.
問題 68 (1pt.) Z の関係を x ∼ y ⇔ x − y > 0 と定めると, 同値関係ではないことを示せ.
商集合
6.2
集合 X に同値関係 ∼ が入っているとする. このとき各元 x ∈ X に対して, 部分集合 C(x) を
C(x) := {y ∈ X | y ∼ x}
と定める. これを x の同値類 (equivalence class) とよぶ. C(x) は x と同値な元をすべてまとめてき
たものである. C(x) を [x] とか x̄ と書くことも多い.
問題 69 (1pt.) 問題 53 において, x ∈ X の同値類 C(x) を決定せよ.
問題 70 (1pt.) 問題 54 において, x ∈ Z の同値類 C(x) を決定せよ.
次が同値類に関する基本定理である.
問題 71 (各 1pt.) 集合 X に同値関係 ∼ が入っているとする. 次を示せ.
(1) すべての x ∈ X に対して, x ∈ C(x).
(2) C(x) = C(y) ⇔ C(x) ∩ C(y) 6= ∅ ⇔ x ∼ y.
(3) C(x) ∩ C(y) = ∅ ⇔ x 6∼ y.
† 数列
‡x
{an }∞
n=1 が有界 ⇔ supn |an | < ∞.
∼f y ⇔ x ∼g y ということ.
(4) X =
∪
C(x).
x∈X
今からやりたいことは x ∼ y となる 2 つの元を一つに「同一視する」ことである. 問題 71 の (2)
を見ると, x ∼ y となる 2 元の同値類は一致していることが分かる. そこで, 集合 C(x) を元とする新
しい集合 X/ ∼ を次で定める.
X/ ∼ = {C(x) | x ∈ X}.
くどいようだが, X/ ∼ の元は同値類 C(x) であって, C(x) ∈ X/ ∼ が正しく, C(x) ⊂ X/ ∼ ではない.
同値なものをひっくるめて, 1 つの点にしてしまったというイメージである.
問題 72 (1pt.) 問題 54 において, Z/ ∼ = {[0], [1], . . . , [n − 1]} であることを示せ.
普通この商集合を Z/nZ と書く.
問題 73 (1pt.) 自然数 n に対して, n 点集合 {1, . . . , n} 上の全単射全体のなす集合を Sn と書き, n
次の対称群とよぶ. 符号写像 sgn : Sn → {±1} に対して, Sn 上の同値関係 ∼sgn を問題 65 のように
入れる. 商集合 Sn / ∼sgn の元の個数を求めよ.
6.3
写像の well-definedness
集合 X に同値関係 ∼ が与えられているとし, X/ ∼ をその商集合とする. 今写像 p : X → X/ ∼ を
p(x) = [x] で定める. これを標準的射影 (canonical projection) とよぶ.
問題 74 (1pt.) 標準的射影 p : X → X/ ∼ は全射であることを示せ.
問題 75 (1pt.) 問題 65 の決め方で, 標準的射影 p : X → X/ ∼ から定まる同値関係 ∼p はもともと
の同値関係 ∼ と一致することを示せ.
商集合 X/ ∼ からもっとわかりやすい集合 Y に写像を構成する場合がある. つまり写像 f : X/ ∼ → Y
を構成することが問題になる. もしそのような写像が与えられていれば, 全射 p : X → X/ ∼ と合成
することで写像 f ◦ p : X → Y が得られる. では逆にどんな写像 g : X → Y がこういう形をしている
のか気になる. 次の定理は, 主張だけでなく証明方法も重要なので証明もつけておく.
定理 6.1 集合 X に同値関係 ∼ があり, X/ ∼ をその商集合とする. Y をもう一つの集合で, 写像
g : X → Y が与えられているとする. このとき次は同値である.
(1) もし 2 元 x1 , x2 ∈ X が x1 ∼ x2 をみたせば, g(x1 ) = g(x2 ) である.
(2) ある写像 f : X/ ∼ → Y が, g = f ◦ p となるように存在する. またこのような f はただ 1 つに
決まる.
証明 (2)⇒(1). そのような f : X/ ∼ → Y をとってくると, g = f ◦ p である. もし x1 ∼ x2 ならば,
p(x1 ) = [x1 ] = [x2 ] = p(x2 ) である. したがって, g(x1 ) = f (p(x1 )) = f (p(x2 )) = g(x2 ).
(1)⇒(2). 次に (1) がなりたっているとする. 元 t ∈ X/ ∼ を取ってくると, t = [x] となる x ∈ X が
存在する. ここで, f (t) = g(x) と定義したい. しかし x ∼ y ならば, t = [y] となり f (t) = g(y) でも
なければならない§ . なぜならば, もし g(x) 6= g(y) となる x ∼ y があれば, 2 通りの式 f (t) = g(x) と
f (t) = g(y) が整合しないからである. 幸い (2) の条件から x ∼ y なら必ず g(x) = g(y) となるので,
f : X/ ∼ → Y を定義できる. f の決め方からこれは明らかに g = f ◦ p をみたす.
さてこの式をみたす f が 2 つあったとする:f1 ◦ p = g = f2 ◦ p. すると任意の x ∈ X に対して,
f1 ([x]) = f1 (p(x)) = f2 (p(x)) = f2 ([x]). しかし X/ ∼ の任意の元は [x] という格好をしているから,
f1 = f2 が分かる.
§ ここの箇所が写像の
well-definedness (ちゃんと定義できていること) をチェックしているところ.
これを写像から決まる同値関係の言葉を使うと次のようになる.
問題 76 (1pt.) 定理 6.1 において, 問題 65 の決め方で写像 g から定まる X 上の同値関係を ∼g と書
く. 定理の条件 (1) は次のように言い換えられることを示せ. 「同値関係 ∼ は ∼g よりも強い, つま
りもし 2 元 x1 , x2 ∈ X が x1 ∼ x2 をみたせば, x1 ∼g x2 である.」
定理 6.1 をヒントとして, いくつかの商集合の分かりやすい表現をみていこう.
問題 77 (2pt.) 自然数 n, m ∈ Z に対して, 商集合 Z/nZ, Z/mZ を考える. もしも n が m の倍数な
らば, 写像 f : Z/nZ → Z/mZ を f ([k]) = [k], k ∈ Z として定義できることを示せ. またこれが全射
であることも示せ.
問題 78 (2pt.) 写像 g : R → R2 を g(t) = (cos(2πt), sin(2πt)) で定める. 今までのように写像 g か
ら決まる R 上の同値関係を ∼g と書く. 全単射 f : R/ ∼ → S 1 で f ([t]) = (cos(2πt), sin(2πt)) を構成
せよ. ここで S 1 := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1}. 図的にどういう意味かも考えよ.
問題 79 (2pt.) 問題 59 における同値関係について, 全単射 f : R2 / ∼ → S 1 × S 1 を構成せよ¶ . 図的
にどういう意味かも考えよ.
問題 80 (2pt.) 集合 RP1 を「R2 の原点を通る直線全体」とする. R2 に同値関係を問題 61 のよう
に入れる. このとき全単射 f : R2 / ∼ → RP1 を構成せよ.
問題 81 (2pt.) R2 に同値関係を問題 61 のように入れる. このとき全単射 f : R2 / ∼ → S 1 を構成
せよ.
問題 82 (1pt.) 問題 62 において商集合 R/ ∼ を分かりやすく図示せよk .
問題 83 (各 1pt) 問題 60 の商集合 V / ∼ を考える. このとき次の問に答えよ.
(1) V / ∼ に加法, [x] + [y] = [x + y] が定義できることを示せ.
(2) V / ∼ にスカラー倍, α[x] = [αx] が定義できることを示せ.
(3) V / ∼ は, (1), (2) の演算と [0] を 0 ベクトルとして, ベクトル空間となることを示せ.
このベクトル空間 V / ∼ を V の W による商ベクトル空間とよび, V /W で表す.
ガウスが進んだ道は即ち数学の進む道である. その道は帰納的である. 特殊から一般へ！それが標語である. それはすべての
実質的なる学問において必要なる条件であらねばならない. 数学が演繹的であるというが, それは既成数学の修業にのみ適用
するのである. 自然数学においても一つの学説ができてしまえば, その学説に基づいて演繹をする. しかし論理は当り前なの
だから, 演繹のみから新しい物は何も出て来ないのが当り前であろう. もしも学問が演繹のみにたよるならば, その学問は小
さな環の上を永遠に週期的に廻転する外はないであろう. 我々は空虚なる一般論に捉われないで, 帰納の一途に精進すべきで
はあるまいか.
高木 貞治「近世数学史談」
参考文献
[森] 森田 茂, 集合と位相空間, 朝倉書店.
[齋 1] 齋藤 毅, 集合と位相, 東京大学出版会.
[齋 2] 齋藤 正彦, 数学の基礎 集合・数・位相, 東京大学出版会.
¶ この商集合は
R2 /Z2 と書く.
k メービウスの帯と呼ばれる.