DF - 芝浦工業大学

担保契約及びベーシス・スワップのスプレッド
を考慮したスワップの評価
みずほ情報総研
金融技術開発部
仲山泰弘
芝浦工業大学大学院工学マネジメント研究科安岡研究室
債券とリスクセミナー
2012/1/12
2
本日の発表の流れ
１．部署紹介
２．金融危機後のデリバティブ市場の変化
2-1.ベーシス・スワップのスプレッドの拡大
2-2.担保契約取引の増加
３．イールド・カーブの構築
４．課題と展望
５．参考文献
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１．部署紹介 金融技術開発部（１）
ターゲット
ターゲット
・みずほグループ・地域金融機関・投資顧問等
目的
目的
・数理コンサルティング
・システム開発、ソリューション提供
分野
分野
・デリバティブ（金利、為替、クレジット等）
・現物債券
・オルタナティブ
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１．部署紹介 金融技術開発部（２）
～主な業務領域～
業務領域～
バック
バック
フロント
フロント
数理コンサル
数理コンサル
ティング
システム開発
システム開発
ソリューション
提供
クォンツ
クォンツ
ミドル
ミドル
ロジック開発
ロジック
ロジック開発
開発
ロジック開発
ロジック検証
ロジック
ロジック検証
検証
ロジック検証
EUC開発
開発、
開発
ファイナンシャルシステム
EUC開発
開発、
ファイナンシャルシステム開発
開発
開発、、ファイナンシャルシステム開発
ファイナンシャルシステム開発
ASTARISKs
ASTARISKs
FE-LIBRAS
FE-LIBRAS
データ配信
データ配信
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AltalphA
AltalphA
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２．金融危機後のデリバティブ市場の変化
○ スワップの評価への影響が大きいと考えられる市場の変化
2-1. ベーシス・スワップ（※1）のスプレッドの拡大
・ テナー・スワップ（※2）のスプレッド
・ 通貨スワップ（※3）のスプレッド
2-2. 担保契約付取引の増加
※1 ベーシス・スワップ・・・変動金利同士を交換する取引
※2 テナー・スワップ・・・期間の異なる変動金利同士を交換する取引
※3 通貨スワップ・・・異なる通貨の金利及び元本を交換する取引
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２－１．ベーシス・スワップのスプレッドの拡大
テナー・スワップとは？
• テナー・スワップ
→ 期間の異なる変動金利を交換する取引
例）3M LIBOR と 6M LIBORを18ヶ月間交換する場合
3M LIBOR + スプレッド
3M
15M
9M
6M LIBOR
6M
12M
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18M
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２－１．ベーシス・スワップのスプレッドの拡大
なぜテナー・スワップにスプレッドが存在するのか？
○信用リスクによる説明
• LIBOR → 借り手銀行の倒産リスクを織り込んだリスキー
リスキー・
リスキー・レート
例：3M LIBOR または 6M LIBORで6ヶ月間運用する場合を考える。
(i) 3M LIBORで3ヶ月間運用し、3ヶ月後に再び3M LIBORで運用する場合
→ 3ヶ月後に貸し出し先の信用力が下がっていた場合は、別のLIBOR
適格銀行に貸し出すことができる
(ii) 6M LIBORで6ヶ月間運用する場合
→ 3ヶ月後に貸し出し先の信用力が下がっていたとしても、さらに3ヶ月
間貸し続けなければならない
6M LIBORの方により大きな信用リスクが上乗せされている
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２－１．ベーシス・スワップのスプレッドの拡大
単一のカーブによるテナー・スワップの評価（１）
L16YM ：半年後のフォワード・6M LIBOR
DFT ：時刻Tのディスカウント・ファクター
例：半年後の6MLIBORの現在価値
６ヶ月後の１円を6MLIBORで半年間運用
無裁定条件から
DF6 M

 ⋅ DF1Y

6M
 DF

L16YM = 2 ⋅  6 M − 1
 DF1Y

半年後の6MLIBORの現在価値（PV）は
L16YM
PV =
⋅ DF1Y
2
= DF6 M − DF1Y
1Y
＝＝＝＝
 L16YM
= 1 +
2

1
6M
想定元本方式
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1
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２－１．ベーシス・スワップのスプレッドの拡大
単一のカーブによるテナー・スワップの評価（２）
想定元本方式
3M LIBORサイド
Spot
3M
15M
9M
6M
12M
18M
6M LIBORサイド
スプレッドの現在価値分だけ3MLIBORサイド価値が大きくなってしまう
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２－１．ベーシス・スワップのスプレッドの拡大
単一のカーブによるテナー・スワップの評価（３）
例： 3M LIBOR受け、6M LIBOR払い、期間18Mのテナー・スワップを
6M LIBORベースの単一のスワップカーブで評価した場合
想定元本
3/6M SPD(18M)
100億円
13bp
Te rm
T/N
3M
6M
9M
12M
15M
18M
Date
2011/12/29
2012/3/29
2012/6/29
2012/9/29
2012/12/29
2013/3/29
2013/6/29
CF
3,286,111
3,322,222
3,322,222
3,286,111
3,250,000
3,322,222
DF
PV
0.99914041
0.99828897
0.99733265
0.99637724
0.99538472
0.99439319
3,283,286
3,316,538
3,313,361
3,274,206
3,235,000
3,303,595
1 9,72 5,9 87
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２－１．ベーシス・スワップのスプレッドの拡大
単一のカーブによるテナー・スワップの評価（4）
• 問題点
テナー・スワップのスプレッドの存在は期間の異なるＬＩＢＯＲ
を同一のカーブで評価できないことを意味している。
（フォワード・LIBORを過大（過小）評価してしまう）
スプレッドを考慮し、マーケットと整合性がとれるように
期間毎にフォワード・レートを求めなければならない
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２－１.ベーシス・スワップのスプレッドの拡大
通貨スワップとは？
• 通貨スワップ
→ 異なる通貨間での金利と元本を交換する取引
例：期間18Mのドル・円通貨スワップ（円金利受け、ドル金利払い）
+ スプレッド
JPY 3M LIBOR
JPY
元本
USD
元本
Spot
3M
6M
9M
12M
15M
JPY
元本
USD 3M LIBOR
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18M
USD
元本
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２－１.ベーシス・スワップのスプレッドの拡大
通貨毎単一カーブによる通貨スワップの評価（１）
○ドルサイドの
の場合）
ドルサイドの評価（
評価（例：期間18Mの
期間
場合）
Spot
3M
6M
9M
12M
15M
ドルサイドの現在価値は０
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18M
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２－１.ベーシス・スワップのスプレッドの拡大
通貨毎単一カーブによる通貨スワップの評価（２）
○円サイドの
の場合）
サイドの評価（
評価（例：期間18Mの
期間
場合）
3M
6M
9M
12M
15M
スプレッドの現在価値が残ってしまう
ドルサイドと釣り合わない
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18M
※現在このスプレッド
は負である
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２－１.ベーシス・スワップのスプレッドの拡大
通貨毎単一カーブによる通貨スワップの評価（３）
例： ドル・円通貨スワップ18M（円金利受け、ドル金利払い）をドル・円それぞれ
単一のカーブで評価した場合
元本
ドル・円SPD(18M)
100億円
-60bp
Term
T/N
3M
6M
9M
12M
15M
18M
Date
2011/12/29
2012/3/29
2012/6/29
2012/9/29
2012/12/29
2013/3/29
2013/6/29
CF
-15,166,667
-15,333,333
-15,333,333
-15,166,667
-15,000,000
-15,333,333
DF
0.999140413
0.998288973
0.997332647
0.996377237
0.99538472
0.994393191
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PV
-15,153,630
-15,307,098
-15,292,434
-15,111,721
-14,930,771
-15,247,362
-91,043,016
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2-2.担保契約付取引の拡大
担保付取引の場合のディスカウント
• 担保契約（CSA; Credit Support Annex）
→ 現金担保に対してO/Nの金利を付与しなければならない
Ａ銀行
O/N金利
現在価値
＋V
Ｂ証券
現在価値
担保V（Cash）
－Ｖ
理論的にはO/N金利
金利でディスカウントすべき
（参考文献[1]他）
金利
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2-2.担保契約付取引の拡大
中央決済機関の対応
• 海外では中央決済機関（CCP；Central Counterparty）
を通した取引が一般化
• LCH.Clearnet（London Clearing House + Clearnet）
→ 金利スワップのＣＣＰとして業界一
→ OTC金利スワップの約50%が決済されている
2010年6月29日より、USD,EUR,GBPでLIBORディスカウントから
OIS（Overnight Index Swap）ディスカウントに切り替えた
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2-2.担保契約付取引の拡大
ディスカウント・ファクターの影響
例
6M LIBORディスカウントによる現在価値： －23.8億円
残存期間：２０年
OISディスカウントによる現在価値：
－24.8億円
想定元本：１００億円
固定金利：３％
OISディスカウントにすると約１億円の評価損が発生
固定金利払い
ポジションによって影響の方向・度合いは異なるが、その影響が無視できない
可能性がある
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３．イールド・カーブの構築
• 現金担保付の取引については、将来のキャッ
シュ・フローは担保通貨のO/N金利より作成した
ディスカウント・ファクターで割引く
• 各ベーシス・スプレッド（テナー、通貨等）を考慮し、
商品特性ごとにフォワード・レートを求めるカーブ
を変える。
（マルチ・カーブによる評価）
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３．イールド・カーブの構築(円担保)
OIS (Overnight Index Swap)とは？
• OIS → 一定期間のO/N金利の加重平均金利
（複利運用）と固定金利を交換する取引
例：期間2年のOIS
Spot
1Y
2Y
O/N金利で複利運用
※キャッシュ・フローの交換は年１回。
割り切れない場合は最初の交換で調整（例：18Mの場合は6Mと18Mで交換）
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３．イールド・カーブの構築（円担保）
OISによるディスカウント・ファクターの作成
ON ：OISの固定レート（マーケットより取得）
δi
：日数計算関数（利払い期間を各コンベンションで年換算したもの）
DFNOIS ：OISレートから作成したディスカウント・ファクター（求めるもの）
1Y
2Y
Spot
1Y
Spot
N年のOISを考える
【固定サイドの現在価値】 = 【変動サイドの現在価値】
N
OIS
ON ∑ DFi OIS ⋅ δ i = DFSpot
− DFNOIS
i =1
これを解くことにより、 DFNOIS を求めることができる
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2Y
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３．イールド・カーブの構築（円担保）
OISディスカウントによる6MLIBORカーブ
S N ：Ｎ年スワップ・レート（マーケットより取得）
L6i M ：（i－6M）から i までのフォワード・6M LIBOR（求めるもの）
6M
N-6M
1Y
N
すべてのキャッシュ
レートより
すべてのキャッシュ・
キャッシュ・フローを
フローをOISレート
レートより作成
より作成した
作成したディスカウント
したディスカウント・
ディスカウント・ファクターで
ファクターで割引く
割引く
金利スワップの関係式 【固定サイドの現在価値】＝【変動サイドの現在価値】
2N
S N ∑ δ i / 2 ⋅ DF
OIS
i/2
i =1
2N
= ∑ L6i /M2 ⋅ δ i / 2 ⋅ DFi OIS
/2
i =1
DFNOIS は求まっているので、この式よりフォワード・6MLIBOR（ L6i M ）を計算できる
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３．イールド・カーブの構築（円担保）
OISディスカウントによる3MLIBORカーブ
τN
：N年の3M/6M LIBOR テナー・スワップのスプレッド（マーケットより取得）
L3i M ：（i－3M）から i までのフォワード・3M LIBOR（求めるもの）
τN
3M LIBOR
9M
3M
15M
6M LIBOR
6M
12M
18M
期間N年の3M/6Mのテナースワップを考える
【3Mサイドの現在価値】＝【6Mサイドの現在価値】
∑ (L
4N
3M
k /4
k =1
)
+ τ N ⋅ δ k / 4 ⋅ DF
OIS
k/4
2N
= ∑ L6jM/ 2 ⋅ δ j / 2 ⋅ DF jOIS
/2
j =1
6Mサイドの現在価値は求まっているので、適当な補間法を仮定することにより、
フォワード・3M LIBORを求めることができる
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３．イールド・カーブの構築（円担保）
OISディスカウントによるマルチ・カーブ
ここでは3M LIBORカーブを作成したが、他のベーシス・スワップのデータを用い
れば、同様の考え方でそれぞれのフォワード・カーブを作成することができる。
例えば、LIBOR/TIBORのベーシス・スワップのスプレッドのデータから6M TIBOR
のカーブを、1M/3M LIBORのテナー・スワップのスプレッドのデータから1M
LIBORのカーブを作成することができる。
商品特性に合致したフォワード・カーブで評価することで、
マーケットと整合性のとれた評価となる
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３．イールド・カーブの構築（ドル担保）
ドルOISディスカウントによるドルカーブ
ON$
：ドルOISレート（マーケットより取得）
DFN$OIS ：ドルOISレートより作成したディスカウント・ファクター（求めるもの）
S N$
：ドルスワップレート（マーケットより取得）
円の場合と同様にOISの関係【固定サイド】＝【変動サイド】
N
＄OIS
ON ∑ DFi＄OIS ⋅ δ i = DFSpot
− DFN＄OIS
i =1
ドル金利スワップの関係 【固定サイドの現在価値】＝【変動サイドの現在価値】
N
S
$
N
∑δ
i =1
i
⋅ DFi
4N
$ OIS
= ∑ L$k3/M4 ⋅ δ k / 4 ⋅ DFk$/OIS
4
k =1
この関係よりドルのフォワード・3M LIBORを求めることができる
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３．イールド・カーブの構築（ドル担保）
ドル担保を仮定した円カーブ（１）
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ドル円の通貨スワップを考える（円金利受け、ドル金利払い）
USD 元本
1
X ＄￥
Spot
Spot
3M
6M
9M
12M
15M
N
1
X ＄￥
Spot
USD LIBOR 3M
USD 元本
＄￥
ドルサイドの現在価値（円ベース） （ X ＄￥
Today, X Spot ：Today及びSpotの為替レート）
＄￥
4N

 X Today
$ OIS
$ OIS
PV ≡  DFSpot − DFN − ∑ L$k3/M4 ⋅ δ k$/34M ⋅ DFk$/OIS
4 ⋅
＄￥
k =1

 X Spot
$
N
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３．イールド・カーブの構築（ドル担保）
ドル担保を仮定した円カーブ（２）
JPY LIBOR 3M + スプレッド bN
JPY元本
1
Spot
3M
6M
9M
12M
15M
N
JPY元本
1
円サイドの現在価値
￥
N
￥
Spot
PV ≡ − DF
4N
+ DF + ∑
￥
N
(
＄Col 3 M
k/4
L
)
+ bN ⋅ δ k / 4 ⋅ DFk￥/ 4
k =1
DFN￥ ：ドル担保の場合の円ディスカウント・ファクター
＄Col
L3NM ：ドル担保の場合の円フォワード・3M LIBOR
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３．イールド・カーブの構築（ドル担保）
ドル担保を仮定した円カーブ（３）
PVN￥ + PVN$ = 0
両サイドの釣り合いより
未知数
{DF } {
￥
＄Col
L3M
}
この関係からだけでは一意に決定することはできない
そこで、ドル担保の場合の円フォワード・LIBORと円担保の場合の円フォーワ
ード・LIBORが等しいと仮定する。
＄Col
L3NM = L3NM
3M
円担保の場合の円フォワード・LIBOR（ LN ）は、マーケットのから取得できる
レートより計算可能
未知数が一つ減るので、通貨スワップの関係式よりドル担保の場合の円デ
ィスカウント・ファクターを求めることができる。
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４．課題と展望
• ＯＩＳの流動性の問題
→ OISディスカウントが一般化することによりマーケットが成熟？
• 日本版ＬＣＨ（スワップのＣＣＰ）
→ 東京証券取引所で検討中
・どのような担保のルールになるか注目
• スタンダードＣＳＡ
→ 担保契約の標準化
・シングルカレンシーの取引に関してはその通貨での担保に限定される方向
（例えば円金利スワップの担保は円に限定）
・クロスカレンシーの取引に関しては両方の通貨での担保が認められるか？
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５．参考文献
[1]Masaaki Fujii et al. A Note on Construction of
Multiple Swap Curves with and without Collateral
＜FSA Reserch Review Vol.6(March 2010)＞
[2]Masaaki Fujii et al. Choice of collateral currency
＜Risk January 2011＞
[3]高田勝己、シグマインベストメントスクール「イールド
カーブ構築の技術」講義資料
Copyright ©2012 Mizuho Information & Research Institute, Inc.