双曲四面体の体積について

双曲四面体の体積について
村上 順 （早大理工）
双曲四面体の体積を，各辺の長さを用いてあらわす公式についての予想を
述べる。
T を下図の四面体とし， A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 を対応する辺のとこ
ろでの面角とする。このとき， T の体積を A1 , · · · , A6 で表す公式は，
A1 = A2 = A4 = π/2 となる場合には，例えば [5] に述べられ，また，一般
の場合には [1], [3] で与えられている。
A1 @@
A2 A3 @
Q
Q
Q
A6 Q
Q
@
@
@
A5
A4
Figure 1. 四面体 T
面角による公式
[3] での公式は次のものである。
まず，Li2 (x) を，次の積分で与えられる関数を解析接続して得られる，
dilog 関数と呼ばれるものとする。
Li2 (x) = −
√
また，ai = e
o
−1Ai
x
log(1 − t)
dt (0 < x < 1)
t
(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) とし，
U (z) = Li2 (z) + Li2 (z a1 a2 a4 a5 ) + Li2 (z a1 a3 a4 a6 ) + Li2 (z a2 a3 a5 a6 )
− Li2 (−z a1 a2 a3 ) − Li2 (−z a1 a5 a6 ) − Li2 (−z a2 a4 a6 ) − Li2 (−z a3 a4 a5 )
とおく。さらに，(z1 , k1 ), (z2 , k2 ) ∈ C × Z を，次の z と k に関する方程
（本質的に２次方程式である）
式の (z, k) = (0, 0) 以外の解とする。
z
√
d U (z)
= 2 π −1 k
dz
(k ∈ Z)
このとき，
V (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ) =
√
√
√
−1 U (z1 ) − 2π −1k1 log z1 − U (z2 ) − 2π −1k2 log z2
4
1
とおくと，これは実数になって，T の体積（またはそのマイナス）になる。
辺による公式
l1 , l2 , l3 , l4 , l5 , l6 をそれぞれ A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 に対応する T の
辺の長さとする。数値実験から次が予想される。
1
Ai li ,
2 i=1
(1)
6
V (a1 , · · · , a6 ) = V (−el4 , −el5 , −el6 , −el1 , −el2 , −el3 ) −
Ai
∂
=
V (−el4 , −el5 , −el6 , −el1 , −el2 , −el3 )
2
∂li
(2)
これにより，(2) で A1 , · · · , A6 を求めてから (1) の右辺に代入することで，
辺の長さから T の体積を求めることができる。
証明すべきこと
(1) の両辺の A1 , · · · , A6 に (2) を代入して等号が成り立つことを示せば
よい。いくつかのランダムなデータに対しては数値的にほぼ等しくなること
を確かめたが，まだきちんとは証明できていない。
予想の背景
この公式は，３次元多様体の Witten-Reshetikhin-Turaev 不変量に関す
る体積予想 [2], [4] を Turaev-Viro 不変量に置き換えて，[6] の考え方を応
用することで予想された。この考え方は，Casson による双曲構造を求めるア
ルゴリズムとも対応している。
References
[1] Y. Cho and H. Kim, On the volume formula for hyperbolic tetrahedra, Discrete & Computational Geometry 22 (1999), 347–366.
[2] H. Murakami, Optimistic calculations about the WittenReshetikhin-Turaev invariants of closed three-manifolds obtained from the figure-eight knot by integral Dhen surgeries,
math.GT/0005289.
[3] J. Murakami and M. Yano, On the volume of a hyperbolic and
spherical tetrahedron, Comm. Anal. Geom., to appear.
[4] K. Ohnuki, Optimistic limit of the Witten-Reshetikhin-Turaev invariants of some manifolds obtained from some knots, preprint.
[5] E.B. Vinberg, Volumes of non-Euclidean polyhedra, Russian Math.
Surveys 48 (1993), 15–45.
[6] Y. Yokota, On the volume conjecture for hyperbolic knots,
math.QA/0009165.