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平成 28 年度 数学協働プログラム・ワークショップ ウェーブレット理論と工学への応用 OKU & ISM 2016 Workshop Wavelet theory and its applications to engineering 主催：大阪教育大学，統計数理研究所 場所：大阪教育大学 天王寺キャンパス 日程：平成 28 年 11月 22日（火）13:20 ー 18:00 平成 28 年 11月 23日（水） 9:30 ー 15:00 ɹ Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ։࠵झࢫ ֶڠಇϓϩάϥϜɾϫʔΫγϣοϓʮΣʔϒϨοτཧͱֶͷԠ༻ʯͰ ɼ͍ҙຯͰΣʔϒϨοτղੳʹΑͬͯղܾͰ͖Δ͔͠Εͳ͍ͱظͰ͖Δ τϐοΫεʹؔͯ͠ɼߨԋऀͷํʑʹཧͱֶతԠ༻ͷݱঢ়ɼ͞Βʹղܾ͖͢ Λղઆ͍͖ͯͨͩ͠ɼͦͷఏىΛॹͱͯ͠ࢀՃऀ͕σΟεΧογϣϯ͢ ΔͰܗɼΣʔϒϨοτղੳ͕࣮ࡍʹͲͷΑ͏ʹԠ༻͞Ε͍ͯΔ͔ΛΑΓਂ͘ཧղ ͢Δ͜ͱʹΑͬͯɼ৽͍͠ཧͱԠ༻ͷಓ͕։͔ΕΔ͜ͱΛࢦ͠·͢ɽ 1 2 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ΣʔϒϨοτཧͱֶͷԠ༻ ฏ 28 11 ݄ 22 – 23 େࡕڭҭେֶ ఱԦࣉΩϟϯύε ؗୈ 1 ߨٛࣨ ฏ 28 11 ݄ 22 ʢՐʣ13:20 – 18:00 13:20–13:30 ։࠵ͷѫࡰ 13:30–14:30 ষ , CHONG HUEI SHAN, ߒ ాށ, ळ݄ ຏ, ࡾ (๛ٕڮज़Պֶେ ֶ) 2 ࣍ݩෳૉࢄΣʔϒϨοτมʹΑΔ্Һ಄೪ບපม෦Ґͷநग़ 5 ্Һ಄೪ບපมྟচతʹಛతͳॴ͕ݟ͘͠ɼஅʹྀۤ͢Δ࣬͋ͰױΔɽ͜Ε·Ͱʹɼݧܦ ͷ͋Δҩऀࢹڸͷը૾ʹΑΓɼ্Һ಄೪ບʹಛతͳมԽΛ͠؍ɼஅΛߦ͍ͬͯΔɽຊڀݚ Ͱɼ٬؍తͳஅํ๏Λࢧԉ͢ΔͨΊʹɼ2 ࣍ݩෳૉࢄΣʔϒϨοτมΛ༻͍ͯࢹݕڸ ࠪʹΑΓͰಘΒΕΔը૾͔Β೪ບͷපม෦ҐΛநग़͠ɼԽ͢Δ͜ͱΛࢼΈΔɽ͞Βʹ͜ͷख๏ͷ ͱվળʹ͍ͭͯٞ͢Δɽ 15:00–16:00 ླ ढ़, ળำ ܒҰ, Լ อ (ஜେֶ) ΣʔϒϨοτΛ༻͍ͨσΟετʔγϣϯαϯυͷಛྔநग़ 7 σΟετʔγϣϯαϯυ͕༻͍ΒΕ͍ͯΔԻָͷࣖίϐͷਫ਼ɼݸਓͷೳྗʹݧܦେ͖͘ґ ଘ͢Δɽ͔͠͠ɼσΟετʔγϣϯϑΟϧλΫϦοϐϯάΛؚΉඇઢܗม͋ͰΔͨΊɼFourier มΛ༻͍ͨղੳ͍͠ɽࠓճզʑΣʔϒϨοτΛ༻͍ͯɼσΟετʔγϣϯαϯυͷΈ ͷಛྔΛఏҊ͢Δɽ͞ΒʹɼఏҊख๏Λ༻͍ͨࣖίϐͷԠ༻ʹ͍ͭͯհ͍ͨ͠ɽ 16:30–17:30 Ѷᖒ ܙଠ (ߴઐ), ా խ໊( وେֶ) DCT ͱΣʔϒϨοτมΛॎԣʹΈ߹ΘͤͨަมΛϒϩοΫຖʹ༻͍ΔదԠతը૾ѹॖ๏ 15 ࡏݱɼී͍ͯ͠ٴΔඇՄٯը૾ѹॖํࣜͷଟ͘ɼϒϩοΫ୯ҐͷࢄίαΠϯม DCT ʹͮج ͍͍ͯΔɽฏ 25 ͷຊϫʔΫγϣοϓʹ͓͍ͯɼ࠷୯७ͳΣʔϒϨοτม͋ͰΔϋʔϧม Λར༻͢Δ͜ͱͰɼDCT ʹ༝དྷ͢Δ JPEG ඪ४ͷදతͳࢹ֮తΛܰ͢ݮΔΞΠσΞΛհ͠ ͨɽຊߨԋͰɼͦͷޙͷڀݚՌΛใࠂ͢ΔͱʹڞɼϋʔϧมΛը૾ѹॖʹ༻͍ͨ࠷ۙͷʹڀݚ ͍ͭͯใࠂ͢Δɽ ฏ 28 11 ݄ 23 ʢਫʣ9:30 – 15:00 9:30–10:30 Ҫ ৴ࢠ (ྲྀ௨ࡁܦେֶ), कຊ ߊ, Ѷ ོҰ (େࡕڭҭେֶ) ଞ֮తௌྗ͍༻ʹࠪݕΔ༠ൃͷΣʔϒϨοτղੳʹ͍ͭͯͷߟ 27 ࣗͷҙࢥͰ͖͑͜ΛԠ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͍߹ɼଞ֮తௌྗ͞ࢪ࣮͕ࠪݕΕΔɽͦͷதͰ͔ࣖ ΒԻܹΛ༩͑ͯ༠ൃ͞ΕΔΛ༻͍Δ͕͋ࠪݕΔɽ͜ͷࠪݕ MRI ͳͲʹൺΔͱ҆ՁͰߦΘ ΕΔͳࠪݕͷͰ݈ͳͲͰͷ͕༻׆·ΕΔ͕ɼղੳͷ͠͞ͷͨΊʹݕϨϕϧͷ࣮༻Խ͕ Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering Ε͍ͯΔɽܭଌ࣌ଈ࣌அͷ࣮ݱΛٻΊΔతͰɼզʑ͜Ε·Ͱௌੑ༠ൃղੳʹΣʔϒ ϨοτղੳΛద༻͖ͯͨ͠ɽ͜Ε·ͰͷՌͱ՝ʹ͍ͭͯ·ͱΊΔ͜ͱͰɼΛ໌֬ʹ͠ղܾ ࡦʹ͍ͭͯٞ͢Δɽ 11:00–12:00 ৽Ҫ ߁ฏ (ࠤլେֶ) ΣʔϒϨοτʹΑΔϙϥϦϝτϦοΫ SAR ը૾ྨ 41 ද໘ͱϚΠΫϩͱͷΠϯλϥΫγϣϯϝΧχζϜΛภใΛ༻͍ͯղੳ͢Δ͜ͱʹΑΓɼը ૾ྨ͢Δख๏Λհ͢ΔɽͦͷࡍɼภใͷղʹΑΔࢄཚϝΧχζϜͷղ໌Λ༻͍Δํ๏ հ͢Δɽ͞Βʹɼ͜ΕʹࢄΣʔϒϨοτมΛߟྀ͢Δ͜ͱʹΑΓɼ৽ͨͳใநग़͕Մೳʹ ͳͬͯྨ੍্͕ظͰ͖Δ͜ͱΛࣔ͢ɽ ன৯ 12:00–13:30 13:30–14:30 ୌ( ࢤ ޱӴେֶߍ) ίϯΫϦʔτݐʹର͢ΔԻ CT ։ൃͱ૭ؔͷԠ༻ 59 ίϯΫϦʔτݐʹର͢Δ tomographic ͳඇഁյٕࠪݕज़ະ։ൃͰ͋Δͱ͍͏ͷ͕ݱঢ়Ͱ͋ Δ͕ɼۙɼࡾా( ߦل৬ۀೳྗ։ൃ૯߹େֶߍ) ͱୌޱͷڠಇʹΑΓɼίϯΫϦʔτݐʹର͢ ΔԻ CT ։ൃͷΞΠσΞ͕ఏҊ͞Ε͍ͯΔɽຊߨԋͰɼίϯΫϦʔτݐʹର͢ΔԻ CT ։ൃͷΞΠσΞΛհ͠ɼ͜ͷʹର͢Δ૭ Radon มͷԠ༻ʹؔͯٞ͢͠Δɽ େࡕڭҭେֶ ఱԦࣉΩϟϯύε ؗୈ 1 ߨٛࣨ ˟ 543-0054 ɹେࡕࢢఱԦࣉ۠ೆՏງொ 4-88 ɹి൪߸ (06)6775-6611 JR ఱԦࣉӺɼԼమఱԦࣉӺɼۙమେࡕѨ෦ڮӺԼंɼెา 10 ɽ JR ࣉాொӺԼंɼెา 5 ɽ http://osaka-kyoiku.ac.jp/ ౷ܭཧॴڀݚɹֶڠಇϓϩάϥϜ http://coop-math.ism.ac.jp/ ࿈བྷઌ कຊߊʢେࡕڭҭେֶ ใՊֶʣ e-mail: [email protected] tel: 072-978-3665 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~morimoto/TENWS/ws2016HP/ Ѷ ོҰʢେࡕڭҭେֶ ཧՊֶʣ e-mail: [email protected] tel: 072-978-3685 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~ashino 3 4 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ແઢ LAN ใɼΧϥʔ൛༧ߘू eduroam ͑·͢ɽϫʔΫγϣοϓઐ༻ແઢ LAN ɼ SSID: eventwifi (2.4GHz, 5GHz ڞ௨ʣ PW: minamikawahoriʢೆՏງʀΈͳΈ͔Θ΄Γʣ Ͱ͢ɽ Χϥʔ൛ͷ༧ߘूɼ http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~morimoto/WSPRO/ ͔ΒμϯϩʔυͰ͖·͢ɽ ँࣙ ຊϫʔΫγϣοϓɼେࡕڭҭେֶɼ౷ܭཧॴڀݚɹֶڠಇϓϩάϥϜɼՊݚඅ (C) 26400199 ͷαϙʔτΛड͚͍ͯ·͢ɽ Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 2 ࣍ݩෳૉࢄΣʔϒϨοτมʹΑΔ ্Һ಄೪ບපม෦Ґͷநग़ ষɹ ∗ ∗ Chong Huei Shan† ాށɹߒ ∗ † ๛ٕڮज़Պֶେֶֶ෦ ळ݄ຏ ∗ ࡾ ∗ ๛ٕڮज़ՊֶେֶେֶӃ ֓ཁ. 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[2] ߒాށɼষɼશγϑτෆมੑΛ࣮͢ݱΔෳૉࢄΣʔϒϨοτมɼ৴߸ॲ ཧ, Vol.12, No.2(2008), pp.156-166. ষɹ (๛ٕڮज़Պֶେֶֶ෦) ˟441-8580 ๛ࢢڮఱഢொӢέٰ 1-1 E-mail: [email protected] 1 5 6 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ɹ Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 7 ウェーブレットを用いた ディストーションサウンドの特徴量抽出 Feature Extraction of Distortion Sounds Based on the Wavelet Transform 鈴木 俊夫 1 ，善甫 啓一 2 ，木下 保 3 Toshio Suzuki, Kenichi Zempo and Tamotu Kinoshita 1. 筑波大学数理物質科学研究科， 2. 筑波大学システム情報系， 3. 筑波大学数理物質系 〒 305-8577 茨城県つくば市天王台 1-1-1 1. Graduate School of Pure and Applied Sciences, University of Tsukuba 2. Faculty of Engineering, Systems and Information, University of Tsukuba. 3. Faculty of Pure and Applied Science, University of Tsukuba 1-1-1 Tennodai, Tsukuba, Ibaraki 305-8577 Japan Abstract ディストーションサウンドが用いられている音楽の耳コピの精度は，個人の能力や経 験に大きく依存する．しかし，ディストーションフィルタはクリッピングを含む非線形 変換であるため，Fourier 変換を用いた解析は難しい．今回我々は ウェーブレットを用 いて，ディストーションサウンドの歪み量を提案する．さらに，提案手法を用いた耳コ ピへの応用についても紹介したい ． Dictation on the sound design of the distortion guitar depends on one’s experiences and skills. Since the distortion effector includes the clipping process, which is nonlinear transform, it is difficult to analyze by the Fourier method. In this reason, we propose the method to analyze the distortion sounds with wavelets. Furthermore, we shall introduce the technique to dictate on the sound design. 1 1.1 はじめに ディストーションフィルタとは ポップやロック等のジャンルに分けられるような昨今の音楽では，必ずと言っていいほど， エレキギターを始めとしたデジタル信号を用いた楽器が使われている．そこでは音色を変え るために，エフェクタと呼ばれるフィルタを用いて，電気信号に変化を加えている．エフェ クタにもディストーションエフェクタ，コーラスエフェクタ，コンプレッサエフェクタなど の様々な種類が存在し，演奏者はそれぞれのエフェクタを駆使しながら，好みの音色を構成 していく．その中でも，歪みの一種であるディストーションエフェクタは必ずと言ってもい いほど用いられる，ギタリストには最も馴染みのあるエフェクタである． 1 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering (a) Clean (b) Clanch (low dist.) (c) Distortion 20 0 Frequnency [kHz] -10 -20 -30 10 -40 -50 -60 00 time 1 0 1 0 1 Relative Amplitude [dB] Original wave Amplified wave Clipped wave Amplitude 8 -70 time [s] Figure 1: f (t) と fˇ(t)，f˜(t) の概形 Figure 2: f (t) と fˇ(t)，f˜(t) のスペクトログ ラム 音楽を演奏する際，耳コピという手段が頻繁に用いられる．これは音楽を聞き，演奏を 再現したり楽譜に起こすというものである．この耳コピは，個人の技量や経験によるところ が大きい．音高やリズムだけではなく，どの種類のエフェクタがどの程度かかっているのか 等も耳コピで再現する際には，Fourier 変換を用いた解析は有効ではない [1]．耳コピによる 演奏再現の１つの指標として，今回我々はディストーションの特徴量について提案する． ディストーションエフェクタは次の処理を行っている： ギターの信号 f (t) が与えられたとする．以下，f (t) は正規化されている，即ち max |f (t)| = 1 とする．ディストーションは主に２つの操作を行っている．ひとつ目は振幅の増加である．す なわち信号 f (t) の振幅を大きくする．回路上では電圧をあげることに，アンプではボリュー ムを上げることに対応する．即ち f (t) に対して，ある定数 C > 1 を用いて fˇ(t) = Cf (t) を 対応させる作用である． ふたつ目にクリッピングを行う．サチュレーションを発生させるとも言う．許容範囲を 絞ることで，微分不可能な点や，矩形波に近い成分が含まれるようになる．即ち，f˜(t) = max{−1, min{1, fˇ(t)}} を与える作用である．これにより微分不可能な点や高周波成分が大 きくなり，歪んだ音となるのである．Figuire 1 にディストーションエフェクタの各処理時に おける信号の概形を示す． 以下，信号にディストーションフィルタを作用させることを，ディストーションをかけ るといい，ディストーションをかけた音を，ディストーションサウンドと呼ぶ． 1.2 ディストーションサウンドの解析 ギターサウンド等に用いられるディストーションエフェクタは，クリッピングを行うため，非 線形・非可逆変換である．このフィルタにより生成される波形の倍音周波数のうち，原音の 周波数レスポンスを H1 ，N 次の倍音のレスポンスを HN とする．歪みの度合いの指標とし て，全高調波歪み率（Total Hamonic Distortion, THD）というものがある [2], [3]．これは 2 H22 + H32 + · · · + HN DTHD = 2 H12 + H22 + H32 + · · · + HN または DTHD = 2 H22 + H32 + · · · + HN H1 2 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering と定義され，％もしくは比率として dB で表される．しかし，この定義によると，元の楽器 音に多くの倍音成分が含まれていた場合の考慮がされておらず，幅広い音色に対してのディ ストーションサウンドを考えるには不適切である． 2 ディストーションサウンドの特徴量について 我々はウェーブレットを用いて，ディストーションサウンドの特徴量抽出を行っている．特 に本研究では局在性の高い Haar ウェーブレットを用いて，ディストーションサウンドの特 徴量を定義している [6],[7]．以下，信号 f は音高が固定されたもので，f ∈ L1 (R) L2 (R) であり，コンパクトサポートを持つとする．また，ψ は Haar ウェーブレット ⎧ ⎨ 1 (0 < t ≤ 12 ), −1 ( 12 < t ≤ 1), ψ(t) = ⎩ 0 (otherwise) を表すものとする． 2.1 微分法 １つ目は波形の傾きに着目した特徴量である．クリッピングされた部分には元の音の情報が 残っていないと考え，振幅の増加を特徴量として抽出する．信号 f に対して，具体的な特徴 量 E1 を t−b −1 E1 (a) = max a f (t)ψ dt (1) b a R と定義し，この値が大きいほど歪んでいる，即ちディストーションがかかっていると判断す る．この特徴量を微分法と呼ぶことにする．与えられた信号 f に対して，Haar ウェーブレッ トとの相関をとることで，微分を積分変換として捉えることができる．(1) 式において a−1 を掛けないものを考えると，Haar ウェーブレットのスケールが変化すると，それに合わせ て特徴量の値が大きく変化してしまう．そのため，積分後にスケールパラメータ a−1 を掛け ることにより，Haar ウェーブレットのスケールの変化による特徴量の大きな変化を抑える ことができる．これは，f (ax + b) の点 b における 1 次近似 f (ax + b) ≈ f (b) + af (b)x を考 えたときに，f の情報を引き出している，ということである．また．a−1 は ψ ((t − b)/a) の L1 (R) における正規化をする際に現れる係数と見ることもできる． この特徴量の定義は，音の定常，非定常によらない，ということである．即ち，音が段々 小さくなっていくような状況であっても，定常状態のものと同じように解析ができるのであ る．一方，この特徴量 E1 にはクリッピングの情報は一切含まれていない．しかし，非常に シンプルな計算で済むので，有用性は高いと考えられる． 2.2 積分法 ２つ目は波形における面積に着目する．L2 ノルムをディストーションサウンドの尺度にする 手法である． E2 = |f (t)|2 dt (2) R 3 9 10 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering と定義し，この値が大きいほど歪んでいるとする．この特徴量を積分法と呼ぶことにする． ディストーションの増幅する操作により，クリッピングされていても元の音と比較して面積 が増えるので，それを特徴量として定義する．−1 ≤ f (t) ≤ 1 であることから，信号を２乗す ることにより，クリッピング部分がよりはっきりと現れるため，ディストーションがかかっ ているものとかかっていないものの差が明瞭に現れる．そのため，１つの固定された信号に 対して，様々なレベルのディストーションがかかったものが存在した場合，この特徴量を用 いたディストーションサウンドの解析は効果的である．一方，原音に倍音成分が多く含まれ る楽器（ギター・金管楽器等）は，音を出す度に波形が大きく異なる．このような楽器の音 に対してのディストーションサウンドに対して，この特徴量 E2 は実用的でない．また，定 常状態でない音に関しては，１周期分に対してのこの特徴量を考えて，比較する必要がある． 2.3 微分積分法 ３つ目は，クリッピング部分に特徴量を見る方法である． t−b 1/4 dt db (3) E3 (a) = |f (t)| ψ a R R と定義し，この値が小さいほど歪んでいるとする．これは R ψ(t)dt = 0 を利用したもので， クリッピングされた部分が定数関数に近くなることから，クリッピングされた部分が多いほ ど，この特徴量は小さくなるのである．微分法と積分法と比較して，明確にクリッピングの 量によって差が現れるのがこの特徴量である．信号 f を 1/4 乗しているのは，クリッピング 部分と，音の波形の変化部分の差をはっきりとさせるためである．この特徴量も非定常な信 号に対してはあまり実用的でないため，１周期分に対して特徴量を考える必要がある． 3 微分法を用いたディストーションサウンドの音色近似 ここでは，微分法を用いたディストーションサウンドの解析方法を提案する． 3.1 Haar ウェーブレットのスケールと特徴量について いくつかの歪みの度合いの異なるディストーションサウンドを準備し，適当なスケールの Haar ウェーブレットを用いて，スケールによってどの程度特徴量が変化するのかを観察した． Figure 3 に，観察に用いた各音の波形を示す．一番上が純音の波形（sin 波），上から二番 目がエレキギターのエフェクタをかけていないもの，そこから順にディストーションエフェ クタが強くかかっていくように並べてあり，一番下が矩形波である．この 6 つの波形に対し て，提案手法の中で，微分法における特徴量を抽出したのが Figure 4 である． Figure 3 の上から 6 つ波形が，Figure 4 の横軸の左から 6 つの値それぞれと順に対応し ている．一番上のグラフが，ψ の台が波長の 1/10 となるようにスケール a > 0 を選んで， 各波形の特徴量を抽出したものである．そして，上から２番目のグラフは１番上のグラフの ウェーブレット ψ のスケールをさらに半分にして特徴量を抽出したグラフ．３番目は２番目 のグラフから，更にスケールを半分にしたもの．４番目は３番目のグラフから更にスケール が半分のものを用いて，それぞれ特徴量を抽出したものである．また，一番下は各音の全高 調波歪み率についてのグラフである． 4 11 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 1 20 0 -1 0 1 10 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 20 -1 0 1 50 100 150 200 250 300 350 400 10 450 0 0 -1 0 1 20 50 100 150 200 250 300 350 400 450 10 0 -1 0 1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50 100 150 200 250 300 350 400 450 20 0 10 -1 0 1 0 10 0 0 -1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 -10 450 -20 1 Figure 4: 各波形の特徴量 Figure 3: 観察に用いた音の波形 一番下を除く，提案手法を用いた各グラフを見てみると，全て右肩上がりになっているの で，ディストーションサウンドの歪みの特徴量を抽出できていることがわかる．また，Haar ウェーブレット ψ のスケールに依らずに右肩上がりになっていることから，Haar ウェーブ レットのスケールを適切に選べば，それよりも小さいスケールにの Haar ウェーブレットを 用いても特徴量の差が得られることがわかる． また，グラフをさらに観察すると，スケールが小さい Haar ウェーブレットを用いたほう が，よりディストーションのかかっている音の特徴量の傾きが大きくなっている．即ち，ディ ストーションのより強くかかっている音同士（グラフの右側）の差異をよりよく抽出してい ることがわかる．これは，ディストーションが大きくかかっている音には，より大きな増幅 がかかっているため，Haar ウェーブレットにより，波形のクリッピングされていない，傾き の大きな部分を特徴量として抽出してくれているためである． 一方，Figure 4 の一番下，全高調波歪み率を見てみると，ディストーションサウンドの 歪みを反映できていないことがわかる．すなわち，ディストーションサウンドの歪みの判定 について，全高調波歪み率は利便性が低いことがわかる． これらのことから，提案手法によるディストーションサウンドの特徴量を用いることに より，２つのディストーションサウンドの差異を判断する際に，次の手法を考えることがで きる： 手順１．(2) 式，またはディストーションサウンドの音高に合わせて適当なスケールの Haar ウェーブレットを用いて，(1)，(3) 式により特徴量を抽出し，ディストーションのか かっている度合いを判断する． 手順２．(1)，(3) 式において，２つのディストーションサウンドの特徴量が大きく異なら ないとき，Haar ウェーブレットのスケールを縮めることで，ディストーションのかかり具合 をより精密に判断する． 手順３．ディストーションサウンドの特徴量に差ができるまで，手順２を繰り返す． ディストーションが強くかかっている音の特徴量を抽出する際には，スケールが小さい 5 12 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 1 3 ×10 5 0 2.8 -1 0 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 2.6 0 -1 0 1 2.4 100 200 300 400 500 600 700 800 900 2.2 0 -1 0 1 2 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.8 0 -1 0 1 1.6 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.4 0 -1 0 100 200 300 400 500 600 700 Figure 5: 近似実験結果 800 1.2 1 900 2 3 4 Figure 6: 近似実験の波形のスペクトルの相互 相関比較 Haar ウェーブレットを用いることで，より明確に差がでる．故に，より歪んでいる２つの音 に対して，その比較をする際には手順２の回数が増えることになる． 3.2 ディストーションサウンドの音色近似手法 上で解説した，ディストーションサウンドの特徴量の比較手法を，実際の音色近似に用いる ことを考える．手順は以下の通りである． 手順 A．音色近似をしたいディストーションサウンドの音高に合わせて，Haar ウェーブ レットのスケールを適当に選び，(1)，(2)，(3) 式を用いてディストーションの特徴量を抽出 する． 手順 B．スケールを変え，手順 A と同様にして音色を近似したいディストーションサウ ンドの特徴量を抽出する． 手順 C．手順 B を適当な回数繰り返す． 手順 D．得られた特徴量と一致するように，手元のエフェクタのつまみを調整し，音色 を近似する． 3.3 近似実験とその結果 上の手順 A∼手順 D を，微分法に対して用いて音の近似を行った．その結果を Figure 5 に 示す．一番上が元となる音の波形であり，増幅とクリッピング，及びイコライジングにより 音質を変化させ，特徴量を１つ合わせたものが上から２番目のグラフ，特徴量を２つ合わせ たものが３番目のグラフ，３つ合わせたものが４番目のグラフ，そして１番下のグラフが近 似したい目標の音の波形である． Figure 5 を見ると特徴量を合わせるほどに，波形が近づいて行く様子が伺える．近似し た波形のスペクトルと，近似したい波形のスペクトルの相互相関の最大値を比較したものが 6 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering Figure 6 である．Figure 5 の上から 1, 2, 3, 4 番目の波形が Figure 6 の横軸の各値 1, 2, 3, 4 と 対応しており，縦軸がそれぞれの波形と，近似したい波形との相互相関の最大値を表してい る．これを見ると，右肩上がりになっていることが見て取れる．即ち，手順 C を繰り返し用い て，特徴量を複数個合わせることにより，音質をよりよく近似できるということがわかった． 4 まとめ Haar ウェーブレット，L2 ノルムを用いて，ディストーションサウンドの特徴量を定義した． また，提案手法におけるディストーションサウンドの特徴量を，上で述べた手順１∼手順３ で用いることで，ディストーションエフェクタの歪みを比較することができる．さらに，手 順 A∼手順 D をふむことで，ディストーションサウンドの音色近似をすることができる． References [1] Temme, Steve. ”Audio distortion measurements.” Application Note, Bruel, Kjar (1992). [2] Cabot, Richard C. ”Fundamentals of Modern Audio Measurement,” J. Audio Eng. Soc., Vol. 47, No. 9, Sep., 1999, pp. 738-762, Audio Engineering Society, NY, 1999. [3] D. Shmilovitz, ”On the Definition of Total Harmonic Distortion and Its Effect on Measurement Interpretation”, IEEE Transactions on Power Delivery, VOL. 20, NO. 1, January 2005. [4] I. Daubechies, ”Ten lectures on wavelets”, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 61, SIAM, Philadelphia, PA, 1992. [5] G. Bachmann, L. Narici , E. Beckenstein, ”Fourier and Wavelet Analysis”, Springer Science+Business Media New York, 2000. [6] 鈴木 俊夫，善甫 啓一，木下 保， ”ウェーブレット変換に基づくディストーションサウ ンドの特徴量抽出” ，音響音楽研究会資料，Vol. 35 No.2 MA2016-09, 2016. [7] 鈴木 俊夫，善甫 啓一，木下 保， ”ディストーションサウンドの Haar ウェーブレット に基づく音色近似” ，音響音楽研究会資料，Vol. 35 No.4 MA2016-23, 2016. 7 13 14 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ɹ Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering DCT とウェーブレット変換を縦横に組み合わせた 直交変換をブロック毎に用いる 適応的画像圧縮法 ∗ 芦澤 恵太 ∗ 森田 雅貴 † 舞鶴工業高等専門学校 † 名城大学大学院都市情報学研究科 概要. 現在，普及している非可逆画像圧縮方式の多くは，ブロック単位の離散コサイ ン変換 DCT に基づいている．これまでに我々は，最も単純なウェーブレット変換である ハール変換を利用することで，DCT に由来する JPEG 標準の代表的な視覚的な歪の軽減 を試みてきた．本講演では，我々の最近の研究成果も含め，ブロック単位での処理という 枠組みの中で，ウェーブレット変換を利用する問題点と利点を整理し，研究の発展可能性 について議論する． DCT and DWT based Block Adaptive Image Compression Algorithm Using the Quantization Errors in Each Block Keita Ashizawa∗ Masaki Morita† ∗ National Institute of Technology, Maizuru College † Meijo University Abstract. Currently, the most popular lossy image compression scheme is the JPEG, which is based on the DCT. A key issue in the JPEG is how to avoid edge artifacts due to the Gibbs phenomenon. To avoid the problem, we apply a frequency transform scheme partially based on the Haar transform to the JPEG. The Haar transform is particularly effective for the reduction of edge artifacts owing to its rectangular basis functions. Numerical examples using 8 standard images with various features show that our proposal improves the performance of the JPEG, especially for step edges. 1. はじめに 一般家庭で目にする画像の画素数の急激な増加は，4K 規格のディスプレイやビデオカ メラの急速な普及に顕著に現れている．画素数の増加は，メモリ使用量や計算時間といっ た計算資源に対して大きな負荷となる為，高効率で高速な非可逆画像圧縮方式の開発は急 務である．圧縮画像において視覚的に精細感を得る為には，グラデーション部分のなめら かな表現とオブジェクトと背景との境界（エッジ）のような線的な特徴をはっきりと表現 することの両立が欠かせない． 既存のデジタル画像圧縮の多くは，ブロック単位の離散コサイン変換（DCT）に基づ く方式が広く用いられる．しかし，DCT を用いた場合，画像を再構成する為の基底がブ 1 15 16 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ロック全体を覆う為，エッジを含むブロックでは，歪がブロック全体に拡がり視覚的な劣 化を引き起こすことが知られている．そこで我々は，基底が局在する離散ウェーブレット 変換（DWT）に着目した．これまでに，矩形波を基底とし最も単純な DWT であるハール 変換（HT）を DCT に組み合わせた新たな基底系の画像圧縮への応用について研究してき た．本稿では，前回の本ワークショップ以降に提案してきた基底系の特徴についてまとめ ると共に，それら基底系を画像圧縮に適応する際の問題点を整理する．その上で，ブロッ ク単位での処理という枠組みの中で，ウェーブレット変換をどのように活用していくのか ということを議論したい． 2. 組み合わせ式直交変換（COT） これまで，異なる直交変換を同一ブロックで組み合わせることは，対称性を欠くため避 けられてきた．我々は，直交変換を組み合わせた複数の基底系を予め辞書として用意し， その中で最適なものをブロック毎に選択することで失われた対称性を補うことを試みてい る [1, 2]．以下では，この方式を組み合わせ式直交変換（COT：Combinational Orthogonal Transform）方式と呼ぶ． 2.1 概略 入力画像を輝度信号とした場合の直交変換に基づく圧縮画像作成の概略を Fig. 1 に示 す．JPEG 標準方式では，8 × 8 画素単位でブロックに分割されたすべてのブロックにお いて，DCT を適用し得た変換係数を量子化テーブルを用いて量子化した後に符号化を行 う [3]．それに対して，COT 方式では，ブロック毎に適応的に直交変換を行う．Fig. 2 に COT 方式の概略を示す．Fig. 2 における基底系番号 k とは，各ブロックで行う直交変換 と対応しており，量子化された変換係数と合わせて伝送される．すなわち，符号時は直交 変換を組み合わせて構成した基底系それぞれの変換係数を算出する必要があるが，復号時 は基底系番号 k により指定された逆変換のみを行う． Fig. 1. 従来方式 2 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering Fig. 2. COT に基づく適応的な画像圧縮方式 2.2 DCT と HT を組み合わせた基底系 文献 [1] では，JPEG 標準等で用いられている 2 次元 DCT を初期直交変換とし，Fig. 3 に示す 3 種類の基底系をブロック毎の選択肢として与えた．Fig. 3 の DCT-DCT は 2 次元 DCT の基底系 k = 0 を表しており，DCT-HT および HT-DCT は，それぞれ，DCT-DCT において，水平方向のみを 1 次元 HT に，垂直方向のみを 1 次元 HT に置き換えて構成し た基底系である．さらに NHT は非標準型 HT の基底系を表している． DCT-DCT DCT-HT HT-DCT NHT Fig. 3. 2 種類の直交変換（DCT，HT）を組み合わせた基底系 3 17 18 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 2.3 DCT と HT とアルパート変換を組み合わせた基底系 静止画像，すなわち，2 次元信号を対象とした場合，垂直と水平方向にどのような直交 変換を採用するのかを考えた場合，COT 方式では 2 種類以上の直交変換を組み合わせる ことが可能となる．文献 [4] では，アルパートウェーブレット変換（AT）[5, 6] を含めた場 合の構成例を報告している．3 種類の直交変換の内 2 種類を縦横に組み合わせることで， 基底系の選択肢は 9 種類に増加する．Slant-Haar 変換 [7] とも呼ばれる低次の AT を加え た場合は，Fig. 3 の 4 種類に，Fig. 4 に示す 5 種類の基底系が選択肢に加わる． DCT-AT AT-DCT HT-AT AT-HT NAT Fig. 4. アルパート変換（AT）を組み合わせた基底系 COT 方式では，量子化された変換係数と合わせて，各ブロックでどの基底系に対応し た変換が選択されたのかという情報のみを送れば良い．水平垂直方向の各処理において， N 種類の直交変換を候補とした場合，組み合わせで生じる基底系 N 2 種類が選択肢の最大 となる．この場合には，N 2 種類の基底系の中から画像に応じて選択肢を絞ることで，付 加情報量を抑制することが出来る．例えば，1 回目の選択で頻出した上位 4 種類の基底系 のみで再選択を行うことで，基底番号 k の情報量は，可逆符号化を行う前であっても，各 ブロックあたり 2bit となる．文献 [8, 9] では，ブロックごとに水平方向と垂直方向を代表 するベクトルを算出し，基底系を構成していく方式が提案されているが，この場合は代表 ベクトルも付加情報となる．COT 方式の最大の特徴は，既存の（有名な）1 次元変換の組 み合わせで選択肢を構成することで，ブロック単位での適応的な処理ではあるものの，付 加情報量を抑制する点である． 3. COT に基づく画像圧縮方式の実装 文献 [1, 2, 4] では，水平垂直に異なる直交変換を組み合わせた新たな基底系の画像圧縮 への有効性を検証する為に，暫定的な方法によって基底系の選択および一様量子化を行っ てきた．また，情報量の算出においても，符号化は行わず平均情報エントロピーを採用し てきた．これまでの研究により，いくつかの新たな基底系を構成すると共に，COT 方式 の枠組みを確定することができた．そこで本節では，Fig.3 に示す DCT と HT を組み合わ せた基底系に基づく COT 方式に対し，具体的な選択・量子化の構成例を報告する． 4 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 3.1 COT 方式（DCT，HT）における量子化テーブルの構成例 入力画像を 8 × 8 画素ブロックに分割し，分割されたそれぞれのブロックの画素値から なる 8 × 8 行列を f ( = 1, 2, . . . , L) とする．ここで，L は入力画像全体に含まれるブロッ ク数， はそれぞれのブロックを識別するための番号である．Fig. 3 の基底系 DCT-DCT を k = 0，基底系 DCT-HT を k = 1，HT-DCT を k = 2，NHT を k = 3 とした場合，各ブ (k) ロックにおける変換係数を F と表す．ここでは，k 番目の変換における量子化定数の重 み付けを行列 W (k) を用いて表す．まず k = 0 の場合は 2 次元 DCT 係数の量子化なので， W (0) には標準的な JPEG 圧縮の量子化テーブルを用いるものとする [3]．一方で，Fig.3 に 示すようにハール変換の基底系は階層ごとに共通の形状からなる基底によって構成される ため，k = 1, 2, 3 の場合に JPEG 圧縮の量子化テーブルをそのまま用いるのは適切ではな い．そこでハール変換を含む場合には，階層ごとに行列 W (0) の算術平均を用いることに よって対応する．量子化定数の重み付けに用いる行列 W (0) ，W (1) ，W (2) ，W (3) を以下に 示す. W (0) W (2) ⎛ ⎜⎜⎜ ⎜⎜ = ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎜⎜ ⎜⎜ = ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎝ 16 12 14 14 18 24 49 72 16 12 14 14 41 41 41 41 11 12 13 17 22 35 64 92 11 12 15 15 53 53 53 53 10 14 16 22 37 55 78 95 10 14 19 19 66 66 66 66 16 19 24 29 56 64 87 98 16 19 27 27 76 76 76 76 24 26 40 51 68 81 103 112 40 58 57 87 109 104 121 100 51 60 69 80 103 113 120 103 61 55 56 62 77 92 101 99 24 26 46 46 91 91 91 91 40 58 72 72 109 109 109 109 51 60 75 75 110 110 110 110 61 55 59 59 92 92 92 92 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ , ⎟⎟⎠ W (1) ⎞ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ , ⎟⎟⎠ W (3) ⎛ ⎜⎜⎜ ⎜⎜ = ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎜⎜ ⎜⎜ = ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎝ 16 12 14 14 18 24 49 72 11 12 13 17 22 35 64 92 13 17 20 26 47 60 83 97 13 17 20 26 47 60 83 97 44 50 56 70 89 98 111 104 44 50 56 70 89 98 111 104 44 50 56 70 89 98 111 104 44 50 56 70 89 98 111 104 16 12 15 15 59 59 59 59 11 12 15 15 59 59 59 59 15 15 23 23 59 59 59 59 15 15 23 23 59 59 59 59 55 55 55 55 100 100 100 100 55 55 55 55 100 100 100 100 55 55 55 55 100 100 100 100 55 55 55 55 100 100 100 100 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ , ⎟⎟⎠ ⎞ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ . ⎟⎟⎠ JPEG に対応する市販のソフトでの画質設定を参考に，圧縮画像の品質を制御するため の係数 q ∈ [0, 100]（以下，画質設定値と呼ぶ）を導入する．行列 W (k) (i, j) が i 行 j 列の 位置にある要素を示すこととし，量子化行列 Q(k) を以下で定義する． ⎧ 50 (k) ⎪ ⎪ ⎪ W (i, j), 255 , q≤ ⎪ ⎪ ⎪ 255 ⎪ ⎪ ⎪ 50 (k) 50 (k) ⎪ ⎪ ⎪ rd , W (i, j) W (i, j) < q ≤ 50, ⎪ ⎪ ⎪ q 255 ⎨ (k) Q (i, j) = ⎪ ⎪ 50 100 − q (k) ⎪ ⎪ ⎪ , rd W (i, j) , 50 < q ≤ 100 − (k) ⎪ ⎪ ⎪ 50 W (i, j) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 50 ⎪ ⎪ ⎪ . , q > 100 − (k) ⎩ 1 W (i, j) ここで，rd(·) は四捨五入の操作を表す．すなわち，画質設定値 q が与えられた場合，各ブ (k) (i, j) は，選択された基底系 k，および，対応する重み行列 ロックにおける量子化係数 F 5 19 20 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering W (k) に基づき算出される量子化行列 Q(k) (i, j) によって以下で与えられる． (k) (i, F ⎛ (k) ⎞ ⎜⎜⎜ F (i, j) ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎠ . j) = rd ⎜⎜⎝ (k) Q (i, j) 3.2 圧縮画像の誤差評価に基づく基底系選択の構成例 JPEG 標準では，高周波成分に重み付けされた量子化により大半の高周波成分は捨てら れ，圧縮画像は主に低周波成分から再構成される．この点を考慮すると，基底系の選択 は，圧縮画像の再構成に用いられる低周波成分が抽出された後，すなわち，量子化後に実 行する方が効果的であることが期待される．そこで，ブロック毎に各基底系に対する量子 (k) 化誤差の 2 乗和 d ： d(k) = i (k) F(k) (i, j) − Q(k) (i, j) F (i, j) 2 j を算出し，値が最も小さくなる基底系を選択する．各ブロック = 1, 2, . . . , L において選 択された基底系番号を K と表記すれば，上述の手順は以下にまとめられる： Initialize K = 0. For k = 1, 2, 3, set K ← k if d(k) < d(K ) . (K ) にいて，JPEG Fig.3 に示すように，入力画像に含まれる全ブロックで算出された F 方式と同様のエントロピー符号化を適用する．選択された基底系番号 K については，直 (K ) (0, 0) 以外の成分を持つ場合，言い換えるならば，F (K ) の交流成分に非零の値 流成分 F (K ) の直流 を持つブロックの K のみにハフマン符号化を適用する．これは，係数行列 F 成分は，明らかに K に依らず同一の値を持つためである． 3.3 数値実験 3.1 節および 3.2 節の構成例（以下，OUR と表記）の有効性を，Fig. 5 に示す 8 種類の テスト画像を用いた数値実験で確認する．比較対象は，DCT のみを用いた場合 (DCT)， および，変換係数の 1-ノルムの値を最小とする基底系を選択した場合 (1-norm) [1] であ る．圧縮画像の画質評価には，PSNR 値及び MSSIM 値を用いた．PSNR 値は，入力画像 と圧縮画像の平均 2 乗誤差 RMSE から次式で与えられる： PSNR = 20 log10 (255/RMSE). MSSIM 値は，画素値とコントラストに対して正規化された局所的パターンを比較する誤 差評価指標であり，PSNR 値に比べてより見た目を重視する指標として知られている [10]． PSNR 値と MSSIM 値はともに値が大きいほど圧縮画像の画質が良いことを意味する．画 6 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering (a) Barbara (b) Bridge (c) FishingBoat (d) Goldhill (e) Mandrill (f) Pepper (g) Splash (h) Tiffany Fig. 5. テスト画像 (512 × 512 画素，8 bits/pixel グレースケール) 質設定値 q を 40，50，60 とした際のビットレートに対する PSNR 値をプロットしたもの を Fig.6 に，MSSIM 値をプロットしたものを Fig.7 に示す．ここで，OUR と 1-norm の ビットレートは，非零値の交流成分が量子化後に残ったブロックの基底系選択番号 K の 符号を加えたレートである．図 6，図 7 より，先行研究の 1-norm に比べ，同一のビット レートに対する PSNR 値及び MSSIM 値については OUR の方が高いことが分かる． 次に，各テスト画像の圧縮においてそれぞれのブロックに各基底系がどのように配分さ れたかを Tab. 1 に示す．Tab. 1 には，q = 50 で圧縮画像を再構成した際の各基底系の配 (K ) (K ) 分を示しており，NOUR ，N1−norm は，それぞれ OUR，あるいは 1-norm で K = k の基底系 が選択されたブロックの個数を表している．表 1 では各基底系の配分が OUR と 1-norm で大きく変化しているが，Fig. 6，Fig. 7 の結果を考えると，同一のビットレートに対す る PSNR 値と MSSIM 値を高くするためには，OUR の選択方法による基底系の配分が有 効であることが見て取れる． 従来の JPEG 方式に対応する DCT と比較し，エッジ近傍の歪が顕著に改善された例を Fig. 8 に示す．Fig. 8 は上から Barbara，Bridge，FishingBoat の順に，入力画像，OUR による圧縮画像，DCT による圧縮画像から，128 × 128 画素領域を切り出したものであ る．また，DCT による圧縮画像は画質設定値 q = 50 のときのものであり，OUR につい ては DCT 圧縮画像全体に対するビットレートと小数点以下第 2 位まで揃うように q の値 を定めている．それぞれのビットレートの値は図中のキャプションに示してある．Fig. 8 の (a)Barbara の DCT 圧縮画像では，縞模様のストールに隣接する滑らかな顎の部分に入 力画像にはない縞模様の歪が見られる．また，Fig. 8 の (b)Bridge の DCT 圧縮画像にお いては，橋の側面の白い部分に入力画像にはない縞模様の歪が見てとれる．更に，Fig. 8 7 21 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 30 29 PSNR (dB) 32 PSNR (dB) PSNR (dB) PSNR (dB) 33 34 35 31 34 33 33 32 31 0.8 0.9 1 Bit Rate (bits/pixel) 1.1 1.3 1.5 Bit Rate (bits/pixel) (a) Barbara 0.7 0.8 0.9 1 Bit Rate (bits/pixel) (c) FishingBoat (d) Goldhill 28 35 34 27 1.2 1.4 1.6 Bit Rate (bits/pixel) 39 38 37 0.5 0.6 0.7 Bit Rate (bits/pixel) (e) Mandrill PSNR (dB) 29 PSNR (dB) 36 PSNR (dB) PSNR (dB) 0.7 0.8 0.9 1 Bit Rate (bits/pixel) (b) Bridge 30 36 35 34 0.4 0.5 0.6 Bit Rate (bits/pixel) (f) Pepper ( OUR, (g) Splash 1-norm, 0.5 0.6 0.7 Bit Rate (bits/pixel) (h) Tiffany • DCT) Fig. 6. PSNR 値を用いた圧縮性能の比較 88 89 87 87 0.7 0.8 0.9 1 Bit Rate (bits/pixel) (a) Barbara (b) Bridge 84 1.2 1.4 1.6 Bit Rate (bits/pixel) (e) Mandrill 0.7 0.8 0.9 1 Bit Rate (bits/pixel) (d) Goldhill 89 88 92 93 92 91 91 90 89 87 85 86 0.7 0.8 0.9 1 Bit Rate (bits/pixel) 94 MSSIM (×0.01) MSSIM (×0.01) 87 88 88 (c) FishingBoat 90 89 89 87 1.1 1.3 1.5 Bit Rate (bits/pixel) 91 90 MSSIM (×0.01) 89 91 MSSIM (×0.01) MSSIM (×0.01) MSSIM (×0.01) 90 MSSIM (×0.01) 91 91 MSSIM (×0.01) 22 90 0.5 0.6 0.7 Bit Rate (bits/pixel) (f) Pepper ( OUR, 0.4 0.5 0.6 Bit Rate (bits/pixel) (g) Splash 1-norm, • DCT) Fig. 7. MSSIM 値を用いた圧縮性能の比較 8 0.5 0.6 0.7 Bit Rate (bits/pixel) (h) Tiffany Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering Table 1. 各基底系が割り当てられたブロック数 (q = 50) K (a) Barbara (b) Bridge (c) FishingBoat (d) Goldhill (e) Mandrill (f) Pepper (g) Splash (h) Tiffany k=0 k=1 k=2 k=3 (K ) NOUR 2453 1060 327 163 (K ) N1−norm 2151 715 212 856 (K ) (K ) NOUR − N1−norm 302 345 115 -693 (K ) NOUR 2519 730 633 212 (K ) N1−norm (K ) (K ) NOUR − N1−norm (K ) NOUR (K ) N1−norm (K ) (K ) NOUR − N1−norm (K ) NOUR (K ) N1−norm (K ) (K ) NOUR − N1−norm (K ) NOUR (K ) N1−norm (K ) (K ) NOUR − N1−norm (K ) NOUR (K ) N1−norm (K ) (K ) NOUR − N1−norm (K ) NOUR (K ) N1−norm (K ) (K ) NOUR − N1−norm (K ) NOUR (K ) N1−norm (K ) (K ) NOUR − N1−norm 1702 760 971 658 817 -30 -338 -446 2380 1131 249 120 2028 1118 376 302 352 13 -127 -182 2439 911 500 171 1546 818 666 970 893 93 -166 -799 2343 525 1012 215 2004 503 1196 389 339 22 -184 -174 2361 655 737 211 2044 629 797 452 317 26 -60 -241 1989 783 738 310 1596 827 772 555 393 -44 -34 -245 2246 754 553 197 1971 802 512 385 275 -48 41 -188 9 23 24 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering Orignal(8 bpp) OUR(0.869 bpp) DCT(0.869 bpp) (a) Barbara Orignal(8 bpp) OUR(1.234 bpp) DCT(1.236 bpp) (b) Bridge Orignal(8 bpp) OUR(0.807 bpp) DCT(0.806 bpp) (c) FishingBoat Fig. 8. OUR によって DCT 圧縮画像におけるエッジ近傍の歪が軽減された領域． 10 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering の (c)FishingBoat の DCT 圧縮画像においては，入力画像では滑らかだった背景の空に船 のマスト及びロープの成分が映り込んでいる．DCT 圧縮ではブロック全体にフーリエコ サイン級数近似を適用するため，ブロック画像内の一部の画素値が急激に変化すると，ブ ロック画像全体にギブス現象の影響が及ばされ，このような歪が生じてしまう．一方，提 案方法による圧縮画像の同部位を見てみると，明らかにこれらの歪が軽減され，圧縮画像 の画質が改善されたことが確認できる． 4. まとめと今後の課題 本稿では，我々がこれまでに提案してきた異なる直交変換を縦横に組み合わせて構成 する基底系の画像圧縮への適用について考えてきた．2 節で述べた組み合わせ式直交変換 （COT）に基づく，ブロック単位で適応的に周波数変換を採用する方式は，その組み合わ せの元となる直交変換を変えることで，様々な信号に対して適用することが可能となる． 画像圧縮方式として実装するには，基底系の選択方法だけでなく，量子化や符号化といっ た各要素技術において，基盤となる構成を確立する必要がある．3 節で報告した構成例 は，MSSIM 値を用いた圧縮画像の客観評価，および，主観評価において有効であること が確認できた． 我々の研究は，JPEG 方式の改善を目標としていた為，これまで DCT を基本に HT を 組み合わせることで進めてきた．本研究を発展させていくために，画像圧縮以外の新たな 応用分野の提案など，参加者の意見を聞きたい． 謝辞 本研究は，名城大学の山谷教授との共同研究である．また，本研究を進めるにあた り，プログラムの作成及び実験データの収集・整理に協力して頂いた山谷研究室の丹羽剛 生氏（名城大学大学院都市情報学研究科）に，この場をお借りして心から感謝の意を表し たい． 11 25 26 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 参考文献 [1] 芦澤恵太，山谷克，“DCT とハール変換を縦横に組み合わせた新たな周波数変換方 式の提案と画像圧縮におけるモスキートノイズの軽減，” 信学論 (A)，Vol.J96-A， No.7，pp.484-492，2013． [2] 森田雅貴，芦澤恵太，山谷克 : “DCT と HT に基づく組み合わせ式直交変換における 演算量の軽減方法とその高精細画像圧縮への応用”, 都市情報学研究, 19, pp.81–92 ， 2014． [3] W.B. Pennebaker and J.L. Mitchell, JPEG Still Image Data Compression Standard, Van Nostrand Reinhold, New York, 1993. [4] 芦澤恵太，原田卓弥，山谷克，“ブロック変換に基づく画像非可逆圧縮におけるウェー ブレット変換，” 数理解析研究所講究録，2001，pp.83-94，2016． [5] B. Alpert : “A class of bases in L2 for the sparse representation of integral Operators”, SIAM J. Math. Anal. 26, pp.246–262，1993． [6] 芦野隆一，“マルチウェーブレットの構成と応用”，数理解析研究所講究録，1622， pp.18–36，2009． [7] W.K.Pratt, W-H.Chen, L.R.Welch : “Slant Transform Image Codeing”, IEEE Trans. Commun., COM-22, pp.1075–1095，1974． [8] S. Minasyan et al., ”An image compression scheme based on parametric Haar-like transform,” Proc. ISCAS, vol. 3, pp. 2088-2091, 2005. [9] S. Minasyan, J. Astola, D. Guevorkian : “ On a Class of Parametric Transforms and Its Application to Image Compression”, Advances in Signal Processing, Article ID 58416, 14 pages, 2007. [10] Z. Wang, A.C. Bovik, H.R. Sheikh, and E.P. Simoncelli, “Image quality assessment, From error measurement to structural similarity,” IEEE Trans. Image Process., vol.13, no.4, pp.600–612, 2004. 芦澤 恵太 (舞鶴工業高等専門学校電気情報工学科) 〒625-8511 京都府舞鶴市字白屋２３４番地 E-mail: [email protected] 12 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ଞ֮తௌྗ͍༻ʹࠪݕΔ༠ൃͷ ΣʔϒϨοτղੳʹ͍ͭͯͷߟ Ҫ ৴ࢠ ∗ कຊ ߊ † Ѷ ོҰ † ∗ ྲྀ௨ࡁܦେֶ † େࡕڭҭେֶ ֓ཁ. ࣗͷҙࢥͰ͖͑͜ΛԠ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͍߹ɼଞ֮తௌྗ͞ࢪ࣮͕ࠪݕΕ ΔɽͦͷதͰ͔ࣖΒԻܹΛ༩͑ͯ༠ൃ͞ΕΔΛ༻͍Δ͕͋ࠪݕΔɽ͜ͷࠪݕ MRI ͳͲʹൺΔͱ҆ՁͰߦΘΕΔͳࠪݕͷͰ݈ͳͲͰͷ͕༻׆·ΕΔ͕ɼղ ੳͷ͠͞ͷͨΊʹݕϨϕϧͷ࣮༻Խ͕Ε͍ͯΔɽܭଌ࣌ଈ࣌அͷ࣮ݱΛٻΊΔ తͰɼզʑ͜Ε·Ͱௌੑ༠ൃղੳʹΣʔϒϨοτղੳΛద༻͖ͯͨ͠ɽ͜Ε·Ͱ ͷՌͱ՝ʹ͍ͭͯ·ͱΊΔ͜ͱͰɼΛ໌֬ʹ͠ղܾࡦʹ͍ͭͯٞ͢Δɽ Application of wavelet analysis to auditory evoked brain responses using objective audiometry test Nobuko Ikawa∗ ∗ Akira Morimoto† † Ryutsu Keizai University Ryuichi Ashino† Osaka Kyoiku University Abstract. Wavelet analysis is applied to the auditory filter of the cochlear models. Auditory evoked brain responses which obtained at mid brain that relay part of the auditory central system are used to assist human objective audiometry test. As examples are Auditory Brainstem Response (ABR) and Auditory Steady-State Response (ASSR). In our previous study we proposed a novel quick diagnosis by applying the discrete stationary wavelet analysis (SWT) to the waveforms of each averaging. In this study, we discuss the effectiveness and possibility of the wavelet analysis to accuracy and quickly detection of the auditory evoked responses. 1. ͡Ίʹ ΣʔϒϨοτղੳͰ͋Δ࣌ؒଳͷΈͰৼಈ͠ɼͦΕҎ֎ͰθϩͱͳΔܗΛ༻͍ Δ͜ͱͰɼपߏͷ࣌ؒมԽΛଊ͑ʹ͍͘ϑʔϦΤղੳʹରͯ͠ɼ࣌ࠁͱपΛಉ ࣌ʹѻ͍͍ͨ߹ɼྫ͑࣌ྻܥσʔλղੳͳͲֶʹ͓͚ΔԠ༻ͱͯ͘͠͞༻׆Εͯ ͍Δ (ྫ͑ [1])ɽௌ֮ಛʹধ͋ͰܥΔجڇఈບৼಈܥɼ࣌ؒతʹपతʹ ඇରশͳԠಛੑΛͭଳҬ௨աϑΟϧλͱΈͳ͞ΕɼPatterson ͷ Gamma Tone Ϟσϧ ೖͷ Gamma Chirp Ϟσϧ͍ΘΏΔௌ֮ϑΟϧλϞσϧʢྫ͑ [2] ࢀরʣྑ͍ۙ ࣅͰ͋Δ͜ͱ͕ΒΕ͍ͯΔɽͭ·ΓɼϑʔϦΤੳ͏͍ͱثΑΓΣʔϒϨοτੳ ͱثΈͳ͞Ε͍ͯΔɽ 1 27 28 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering Ұํɼඃࣗऀݕ͕͖͑͜Δ͔͖͑͜ͳ͍͔ʹ͍ͭͯਖ਼֬ͳҙࢥද͕ࣔͰ͖ͳ͍߹ͳ ͲɼඃऀݕͷԠʹཔΒͣʹௌྗͷଌఆΛ͢Δඞཁ͕͋Δ߹ʹ࣮ࢪ͞ΕΔௌ֮ࠪݕΛଞ ֮తௌྗࠪݕʢobjective audiometry testʣͱ͍͏ [3]ɽଞ֮తௌྗࠪݕͷͳ͔ʹɼԻܹ ʹର͢Δ্ͷมԽɼಛʹ͔ڇΒ͞ΒʹਐΜͩௌ֮தܥͷԠͰ͋Δௌੑ༠ൃԠ ʢauditory evoked responsesʣΛࢦඪͱͯ͠ௌྗΛଌఆ͢Δํ๏͕͋Δɽզʑͦͷͳ͔Ͱ ಛʹɼௌੑװԠʢAuditory Brainstem Response: ୯ʹ ABR ͱ͍͏ʣௌੑఆৗԠ ʢAuditory Steady-State Response : ୯ʹ ASSR ͱ͍͏ʣΛத৺ʹΣʔϒϨοτղੳΛ༻ ͍ͯɼΑΓਝͳԠநग़ϞσϧͷվળͳͲΛࢼΈ͖͍ͯͯΔɽ͜ΕΒͷԠধܥ ͱߴ࣍ௌ֮ܥͷதؒʹΑΔͷͰ͋Γɼͦͷػೳࡏݱෆ໌ͳ͕ଟ͍໘ɼଞ֮త ௌ֮ࠪݕʹ͓͍ͯ͘༻͍ΒΕ͍ͯΔͷͰ͋Δɽ ຊߘͰɼ·ͣɼABR ͱ ASSR ʹ͍ͭͯड़Δɽ࣍ʹɼ1 ࣍ݩෳૉ࿈ଓΣʔϒϨοτ ղੳ (One-Dimensional Complex Continuous Wavelet AnalysisɿҎԼ “CCWA” ͱུ͢ʣͷ ద༻ྫɼ1 ࣍ࢄݩఆৗΣʔϒϨοτղੳ (One-Dimensional Discrete Stationary Wavelet Transform : ҎԼ “SWT” ͱུ͢) ͷద༻ྫΛͦΕͧΕࣔ͠ɼௌ֮த͚͓ʹܥΔ͜ΕΒͷ ௌੑ༠ൃԠʹ࣮ࢪ͖ͯͨ͠ΣʔϒϨοτղੳͷ༗ޮੑͱՄೳੑʹ͍ͭͯΛఏ͠ى ͯͦͷղܾࡦʹ͍ͭͯٞ͢Δɽ 2. ABR ͱ ASSR ʹ͍ͭͯ ABR(ৄࡉ [4]) ڇਆͱܦװ෦ௌ֮࿏༝དྷͷԠͰԻܹΛ༩͔͑ͯΒ 10 ϛϦ ඵఔҎʹೝΊΒΕΔɽதؒ (જ࣌) Ԡ (Middle Latency Response : MLR ) ଆ࣫ ঢ়ମϨϕϧ͔Βௌൽ࣭༝དྷͷԠͱࢥΘΕ͓ͯΓɼԻΛ༩͔͑ͯΒ 100 ϛϦඵఔҎʹ ೝΊΒΕΔɽͷԠʹͦΕͧΕ໊લ͕͚ͭΒΕ͍ͯͯɼજ࣌ʢԻܹΛೖྗޙ Ԡ͕ಘΒΕΔ·Ͱͷ࣌ؒʣ͕ 50ɼ100ɼ200 msec Ͱ͋ΔԠɼͦΕΒͷજ࣌Λͱͬ ͯɼP50ɼN100ɼP200 ͳͲͱݺΕΔɽ·ͨɼજ࣌ͷૣ͍ํ͔Βॱ൪ʹ P1, N1, P2 ͳͲ ͱݺΕΔɽN ͱ P ۃੑΛ͍ࣔͯͯ͠ɼͦΕͧΕɼӄੑʢNegativeʣ ɼཅੑʢPositiveʣ Λҙຯ͍ͯ͠Δɽ͢ͳΘͪɼ֤ܗͷϐʔΫʹɼϙδςΟϒͷ P ͱͦͷજ࣌ͷॱʹ൪߸ ͕ɼ֤ܗͷ୩ʹɼωΨςΟϒͷ N ͱͦͷજ࣌ͷॱʹ൪߸͕͚ͭΒΕ͍ͯΔɽABR ɼ ୈ I ͔Βୈ VII ͷ 7 ݸͷϐʔΫΛ͔࣋ͭΒߏ͞ΕਆܦઢҡͷΠϯύϧε์ిʢ ܹͷͳ͍ঢ়ଶ͔Βܹͷ͋Δঢ়ଶʹɼ·ͨҰఆͷܹঢ়ଶ͔ΒҟͳΔܹঢ়ଶʹมԽ͠ ͨͱ͖ʹͷΈੜ͡ΔԠͰɼOn-Ԡͱ͍͏ʣͰ͋Γɼڇਆ͔֩ܦΒԼٰʹ͓ΑͿ װͷ͍ൣғͷௌ֮ಋ࿏͕ͦͷൃੜͱݯىΈΒΕɼABR ͷୈ I ͔Βୈ V ͷͱݯى װͷௌ֮ಋ࿏ɼڇˠڇਆܦˠڇਆ֩ܦˠ্ΦϦʔϒ֩ˠ֎ଆໟଳ֩ˠԼٰˠ ଆකঢ়ମˠௌ์ઢˠௌൽ࣭ ͷରԠ͕΄΅ಉఆ͞Ε͍ͯΔɽ Fig. 1(Ҿ༻ [5]) ͷࠨਤͷ্ͷάϥϑԻִܹؒ (ISI) 600 msecɼԻܹԻѹ 90 dB ͷΫϦοΫԻͷԠ͋ͰܗΔɽࠨԼਤͷܗɼ্ͱಉ͡ܗͷ࣌ؒ࣠ΛରईͰ දࣔͨ͠ͷͰ͋Δɽࠨ্ਤͰ P0 ABR (ਖ਼֬ʹ slow ABR)ɼ࣍ͷϐʔΫ͔Βॱʹɼ 2 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering P1=PaɼP2=Pb Ͱ͋ΔɽࠨԼਤͰࣔ͢Α͏ʹ 10 msec ·Ͱͷ෦ʹ ABR ͷɼ 100 msec ͷ෦ʹ MLRɼ500 msec ͷ෦ʹ SVR ͕ೝࣝͰ͖Δɽӈਤௌ֮ಓ࿏্ͷ ABR ͷ֤ͱͦͷݯىͷରԠɼMLR ͷݯىͷਪఆΛද͍ͯ͠Δ [5]ɽ Fig. 1. Pathway of ABR and MLR [5]. 2.1 ABR ͷܭଌ Իܹʹ༠ൃ͞ΕͨిҐΛ࣌ؒతʹαϯϓϦϯάͯ͠σΟδλϧʹมͨ͠ Λܗ৴߸ͱͯ͠༻͍ΔɽԻܹ͝ͱʹಘΒΕͨܗ৴߸ʢ͜ΕΛ 1 epoch ͱ͍͏ʣͷ αϯϓϦϯά࣌ؒΛ 10 ϛϦඵɼαϯϓϦϯάΛ 512 ɼैͬͯɼαϯϓϦϯάִؒ 0.019 ϛϦඵʢ10 ϛϦඵ/512 ʣɼ͜ΕΛ܁Γฦ͠Ճࢉͯ͠ɼABR ܗΛಘΔɽ֤Ճࢉճ ʹ͓͚ΔܗͷσΟδλϧʹมͨ͠αϯϓϦϯάΛϑΝΠϧʹग़ྗͨ͠ɽ ௌྗ݈ৗͷ 19-21 ࡀஉੑ 30 ਓ͔ΒಘΒΕ࣮ͨݧσʔλʹ͍ͯͮجղੳΛ࣮ࢪͨ͠ɽௌ ྗਖ਼ৗऀͷ߹Ͱɼ2000 ճՃࢉΛ܁ΓฦͤɼABR ͷϐʔΫ͕ඞͣಘΒΕΔͱ͍͏Θ ͚Ͱͳ͍͕զʑͷ࣮ ͍͓ͯʹݧ2000 ճఔͷՃࢉ͢ΔͱɼҰൠతʹ࠷େ͖͍ৼ෯Λ ͭୈ V ͷग़͕ݱಘΒΕΔ͜ͱΛखֻ͔Γ͍ͯ͠Δɽ ఆٛ 2.1 Epochk , k ൪ͷ epoch Ͱ͋Γɼ N 1 ABRN = Epochk . N k=1 ABRN Λ N−average ABR ͱ͍͏. ͜͜Ͱɼ2000 − average ABR Λ୯ʹ ABR ͱͿݺ. ABR ͰϐʔΫજ࣌ʢܹΛ༩͔͑ͯΒ༠ൃిҐ͕ϐʔΫʹୡ͢Δ·Ͱͷ࣌ؒʣͳͲ ͷࢦඪ͕ྟচతʹԠ༻͞ΕΔɽྫ͑ԻܹԻѹʢԻܹڧɼIntensityʣΛมߋ͠ୈ V ͷϐʔΫͷ༗ແʹΑΓᮢΛٻΊͯɼਪఆΦʔδΦάϥϜΛඳ͘͜ͱͰௌͷஅΛߦ 3 29 30 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ͏ɼ·ͨɼୈ V ͷϐʔΫજ࣌ʢpeak latencyʣΛௐɼܹԻѹͱୈ V ϐʔΫજ࣌ͷ ؔΛදͨ͠ۂઢʢI-L curveʣΛඳ͘͜ͱͰɼௌͷಛΛ͢؍Δɽ 2.2 ASSR ͷܭଌ ASSR ͱ 1 ඵؒʹ 40 ճ͔Β 100 ճͷ܁Γฦͨ͠ௌܹ֮ʹର͕͠ఆৗతͳԠ Λ͢Δঢ়ଶͰ͋ΔɽASSR ʹ 40-Hz ASSR ͱ 80-Hz ASSR ͕͋Γɼ40-Hz ASSR ͷى ݯ slow ABR (P0) + MLR ͢ͳΘͪ P0+Pa+Pb ( [6] ࢀর) ɼ80-Hz ASSR ͷݯى slow ABR ͢ͳΘͪ P0 ͱߟ͑ΒΕ͍ͯΔɽ40-Hz ASSR ֮੧࣌ʹɼ80-Hz ASSR ਭ࣌ʹ ͞؍ΕΔ [5]ɽABR ʹൺͯपಛҟੑ͕ߴ͍ɽਭ࣌ʹ͞؍ΕΔ 80-Hz ASSR Λ༻͍ͯਪఆΦʔδΦάϥϜΛඳ͘͜ͱͳͲͰௌͷྟচஅΛߦ͍ͬͯΔɽ ɹ 80-Hz ASSR ͷ߹ ɹ 80-Hz ASSR ʹ͍ͭͯɼڇௌ֮ϑΟϧλϞσϧ*1 Λ༻͍ͯɼௌྗࠪݕΛ࣮ࢪ͢Δ ํ๏͕͋Δɽ࣮ࡍɼਭ࣌ʹ 80-Hz ASSR ͷৼ෯͕ൺֱతେ͖͍͜ͱΛར༻ͯ͠ Picton Β [7] ʹΑΓ։ൃ͞ΕͨௌྗࠪݕஔφϏήʔλϓϩˍ MASTER (Multiple Auditory Stady-State Response Ҏ߱ɼ୯ʹ MASTER ͱ͍͏) Ͱ 80 Hz มௐपΛ࠾༻͍ͯ͠ ΔɽMASTER Ͱͷ 80-Hz ASSR ɼFFT Λ༻ͨ͠ύϫʔεϖΫτϧղੳʹΑͬͯɼ ࠨӈࣖͦΕͧΕ 4 ͭͷൖૹपʢCarrier frequency: CFʣ500ɼ1000ɼ2000ɼ4000 Hz ͷԠͷᮢΛಉ࣌ʹௐΔɽ͜ͷ̐ͭͷൖૹप (ࠪݕप) ͷ७ԻΛͦΕͧΕ 70 ʙ100 Hz ͷҟͳΔपʹͯৼ෯มௐ (पมௐՄ) ͨ͠ෳ߹ SAM Ի (Sinusoidally Amplitude-Modulated tone) Λ࡞͠ɼࠨӈಉܹ࣌Λߦ͏ɽࠨӈผʑͷपʹΑͬͯ ৼ෯มௐΛ͔͚ͨ߹ SAM ԻΛฉ͔ͤͯ, جڇఈ൘্Ͱͷ֤ൖૹपʹ૬͢Δ ෦ҐͷԠΛεϖΫτϧදࣔͯ͠ௐΔɽ͢ͳΘͪಘΒΕΔԠ্ɼมௐप ʢModulation frequency: MFʣʹҰக͢Δपͷύϫʔ͕େ͖͘ͳΓɼपғͷप ͷύϫʔͱ F-test Ͱൺֱͯ͠Ԡͷ༗ແΛݟΔ͜ͱͰൖૹप͕ฉ͑͜Δ͔Ͳ͏͔ Λఆ͢Δɽ͜ͷΑ͏ʹͯ͠ɼҰʹ྆ࣖͷ 4 पͷௌྗᮢ͕ٻΊΒΕΔɽ ɹ 40-Hz ASSR ͷ߹ ɹ 40-Hz ASSR ຊདྷ 80-Hz ASSR ͱಉ༷ʹڇௌ֮ϑΟϧλϞσϧΛ༻͍ͨௌྗࠪݕ ͕ՄೳͰ͋Δ͕ɼྟচஅͷ࣮༻Խ͞Ε͍ͯͳ͍ɽ80-Hz ASSR ͕ਭதʹଌఆͰ͖Δ ͷʹରͯ͠ɼ40-Hz ASSR ֮੧࣌ʹݱΕΔԠͰ͋Γɼ֮੧࣌ଌఆ࣮༻తͰ൚༻ੑ͕ ͕Δͷ͕ͩɼҰํɼࣗൃʢspontaneous EEGʣͷӨ͍ͨڧ͕ڹΊ 40-Hz ASSR Λ༻ ͍ͯௌྗࠪݕΛߦ͏͜ͱਐΜͰ͍ͳ͍ɽͦ͜Ͱɼզʑ͕ಠࣗʹ։ൃͨ͠ஔ ( [8]) Λ༻ *1 ڇԻͷύϫʔͱҐ૬ͷ྆ํΛਖ਼֬ʹੳͯ͠ਆܦ৴߸ʹม͠ɼ֤ௌਆܦઢҡ͋Δಛఆൣғͷप ͚ͩΛ͑ΔεϖΫτϧੳ͋ͰثΔ͕ɼ͜ͷपੳߏػΛઆ໌͢ΔͨΊʹߟ͑ΒΕͨԾͷ ଳҬ௨աϑΟϧλɽଈͪɼௌਆܦશମΛݟΔͱɼͦΕͧΕ͕গͣͭ͠ҟͳͬͨपΛ௨աͤ͞ΔଳҬ ϑΟϧλͷू·ΓͱͤͳݟΔ͕ɼҎԼͷΑ͏ͳಛΛ༗͢Δɽ(1) ώτͰ 20 ݸͷଳҬϑΟϧλͰߏ ͞ΕΔɽ(2) ೖྗԻͷपԻѹʹԠͯ͡όϯυ෯͕มԽ͢Δɽ(3) पଆͱߴपଆͰ͕ࣼҟ ͳΔʢඇରশʣɽ(4) ײԻௌऀͰɼଳҬ෯͕͕Δɽຊௌ֮ҩֶձ༻ ूޠNo.315 ΑΓ 4 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ͍ͯɼ40-Hz ASSR Λଌఆͨ͠ɽ͜ͷஔɼMASTER ͷΑ͏ʹෳ߹ൖૹपʹΑΔ ଌఆͰͳ͘ɼ୯Ұൖૹप CF=1000 Hz ʹର͢ΔΛଌఆ͢Δɽ ܭଌܗͷαϯϓϦϯάप 1024 HzɼαϯϓϦϯάϙΠϯτ 512 ʢ500 msecɼ पղೳɿ2 HzʣΛɼ1 epoch ͱΑͿɽܭଌ ABR ͱಉ༷ʹՃࢉॲཧ͕ඞཁͰ͋ Δ͕ɼจ[ ݙ6] [4] ʹ͖ͮجʢFig. 2 ࢀরʣ ɼepoch ܗΛ 1 प ظ25 ϛϦඵ (= 500 25∗512 = 26) ϙΠϯτγϑτͯ͠Ճࢉ͢Δํ๏Λ࠾༻ͨ͠ʢৄࡉ [9]ʣɽ͢ͳΘͪɼܭଌͷαϯϓ Ϧϯάͨ͠σʔλू߹ D = {d[t] | t = 0, 1, 2, . . .}ɼ ʹରͯ͠ɼ am,k = (d[26(k − 1)], d[26(k − 1) + 1] . . . , d[26(k − 1) + 511]), m ≥ 1, k = 1, . . . , m ͱͯ͠ɼ̢ = 10 epochs ͷ am,k ͷ k = 1, . . . , m ʹ͍ͭͯͷฏۉΛऔͬͨԣϕΫτϧΛɼ 40-Hz ASSR ͷ༗ແΛௐΔܗσʔλͱ͢Δɽ͢ͳΘͪɼ s M,k = m+2 1 am,k ɽ M k=3 Fig. 2. Relationship of 40-Hz ERP and MLR [4]. 5 31 32 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 3. 1 ࣍ݩෳૉ࿈ଓΣʔϒϨοτղੳ ຊઅͰɼABR ASSR ʹܗCCWA Λద༻͢Δɽ͢ͳΘͪɼΣʔϒϨοτɿ t−b 1 ψa,b (t) = √ ψ ɼa( 0)ɼb ∈ R a a (3.1) Wψ [x(t)] = C(a, b) = (3.2) ∞ −∞ x(t)ψ∗a,b (t)dt ·ͨɼෳૉϞϧϨ (complex Morlet) ΣʔϒϨοτɿ ψ(t) = √ (3.3) 1 t2 2πσ2 (3.4) Wψ [x(t)] = C(a, b) = e− 2σ2 eiω0 t ɹ Fig.3 ࢀর ∞ 1 x(t) √ e −∞ 2πσ2 a − ( t−ba )2 2σ2 t−b e−iω0 ( a ) dt Λ ABR ͓Αͼ ASSR ʹద༻ͯ͠ɼMATLAB 2016a Λͬͯɼ͢؍Δɽσ = √ 3 2 , ωo = 2π(cmorwavf(Lb, Ub, N, fb=1.5, fc=1)) ͱͨ͠ɽ Fig. 3. Complex Morlet wavelet. 3.1 ABR ͷ߹ 2000 − average ABR ͢ͳΘͪ ABR ͷαϯϓϦϯάσʔλΛ x(t) ͱͯ͠ɼCCWA Λద ༻ͨ݁͠ՌྫΛ Fig. 4 ʹࣔ͢ɽFig. 4 ΛΈΔͱɼABR ෳͷ࣌ؒ-प͔Βߏ͞Ε 6 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ͍ͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δɽৼ෯ͷେ͖͍ܗͷతͳ࣌ؒ-पߏΛѲ͢Δ͜ͱ ՄೳͰ͋Δɽ Fig. 4. Complex Morlet wavelet analysis for ABR. 3.2 ASSR ͷ߹ ɹ 80-Hz ASSR ͷ߹ ɹ MASTER ʹΑΓܭଌ͞ΕͨҰଆੑʢࠨࣖʣௌྫͷσʔλͷܗΛαϯϓϦϯά͠ ͯ CCWA Λ࣮ࢪͨ݁͠ՌΛ Fig. 5 ʹࣔ͢ɽௌྗਖ਼ৗͷ߹ࠨӈࣖ͋Θͤͯ 8 ͭͷप ৼ෯͕͞؍ΕΔ͕ɼ͜ͷྫͰ࣮ࡍɼӈଆͷ 4 ͭͷपͷΈͷԠͰ͋ͬͨɽͦ ͷ݁ՌΛ Fig. 5 ͔Βಡ͢Δͷ͍͠ɽ ɹ 40-Hz ASSR ͷ߹ ɹ༠ൃܭଌޙɼՃࢉ ܗs M,k ʹରͯ͠ CCWA Λ࣮ࢪͨ͠ɽͦͷ݁ՌΛ Fig. 6 ʹࣔ ͢ɽFig. 6 ͷࠨ্ͷܗಉҰஔͰԻܹΛ༩͑ͣʹͷΈΛܭଌͨ͠ͷͰ͋Δɽ ࠨଆͷ্͔Β 2ɼ3ɼ4 ൪ͷܗͦΕͧΕܹԻѹ 70dBɼ50dBɼ30dB nHL ͷՃࢉ ܗs M,k Ͱ͋Δɽӈଆ am,k ͢ͳΘͪɼ͋Δ epoch ͋ͰܗΔɽӈ࠷্ஈԻܹ͕ͳ͍ ߹ɼ্͔Β 2ɼ3ɼ4 ൪ܹԻѹ 70dBɼ50dBɼ30dB nHL ͷ epoch ͋ͰܗΔɽ͜ ͷਤ͔Β࣍ͷ͜ͱ͕ಘΒΕͨɿ 1. 2. 3. 4. 5. ԻܹԻѹ͋ΓՃࢉ ܗs M,k Ͱɼ40-Hz ASSR ͷݦஶͳಛ͕ಘΒΕͨɽ ԻܹԻѹ͋ΓՃࢉܗͷ ৼ෯ɼԻѹͷʹڧӨ͞ڹΕͣɼҰఆͰ͋ͬͨɽ ԻܹԻѹͳ͠ՃࢉͰܗɼ40 Hz ۙͷԠΛଟগ͖Ͱ؍ΔʢΨϯϚ?ʣ. ԻܹԻѹͳ͠ epoch Ͱܗɼ40 Hz ۙͷԠ͍ͳ͖Ͱ؍. ԻܹԻѹ͋Γ epoch ܗͷৼ෯ɼԻѹͷڧͷӨڹΛ͋·Γड͚͍ͯͳ͍ɽ 7 33 34 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering Fig. 5. Complex Morlet wavelet analysis for 80-Hz ASSR (MASTER data). 1 ࣍ࢄݩఆৗΣʔϒϨοτղੳ 4. SWT ͷΞϧΰϦζϜ࣍ͷͱ͓ΓͰ͋Δɿ 1. ͞ N ͷ৴߸ s ͕༩͑ΒΕɼSWT ͷୈ 1 εςοϓɼۙࣅ (approximation coefficients) cA1 ɼৄࡉ (detail coefficients) cD1 ͷ 2 ͭͷू߹͔Β͡·Δɽ 2. ͜ΕΒͷϕΫτϧɼapproximation ʹର͢ΔϩʔύεϑΟϧλ Lo Dɼdetail ʹର ͢ΔϋΠύεϑΟϧλ Hi D ʹ͍ͭͯ s ͷίϯϘϧʔγϣϯʹΑͬͯಘΒΕΔɽ 3. ͨͩ͠ɼcA1 ɼcD1 ͷ͞ͲͪΒ N Ͱ͋Δɽ 4. ࣍ͷεςοϓɼۙࣅ cA1 ͔ΒɼલͷεςοϓͰ༻͍ͨ s Λ cA1 ʹஔ͖ͨ͑ ϑΟϧλΛ༻͍ͯΞοϓαϯϓϦϯάͯ͠ɼ৽ͨͳϑΟϧλΛಘΔ͜ͱͰ্هಉ༷ ʹ 2 ͭͷύʔτΛ࡞͢Δɽ 5. SWT ʹΑͬͯɼcA2 ɼcD2 ͕࡞͞ΕΔɽ 6. ͜ͷॲཧΛ܁Γฦ͢ ( Fig. 7 ࢀর)ɽ SWT ɼಛघͳަΣʔϒϨοτ͋Δ͍ಛघͳަΣʔϒϨοτղϑΟϧλ Λ༻͍ͯϚϧνϨϕϧ̍࣍ݩఆৗΣʔϒϨοτղΛ͓͜ͳ͏ɽߏ࠶ܗʹ ISWT ʢInverse discrete stationary wavelet transformʣΛ༻͍ΔɽISWT ɼಛघͳަΣʔϒ Ϩοτ͋Δ͍ಛघͳަΣʔϒϨοτ࠶ߏϑΟϧλ (Lo R and Hi R) Λ༻͍ͯϚϧ νϨϕϧ̍࣍ݩఆৗΣʔϒϨοτ࠶ߏΛ͓͜ͳ͏ɽΣʔϒϨοτؔ࠶ߏՄೳ ͳަΣʔϒϨοτͰ͋Δ Bi-orthogonal ΣʔϒϨοτʢBior. 5.5ʣΛ༻͍ͨ ( Fig. 8)ɽ 8 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering Fig. 6. CCWA to brain waveforms. 9 35 36 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering Fig. 7. SWT procedures. Dec. high-pass filter bior5.5 1 Dec. low-pass filter bior5.5 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 0.5 0 5 10 15 -0.5 0 5 10 15 Rec. low-pass filter bior5.5 Rec. high-pass filter bior5.5 1 0.8 0.6 0.4 0.5 0.2 0 0 -0.2 -0.4 0 5 10 15 0 5 10 15 Fig. 8. Bior 5.5 filters. 4.1 ABR ͷ߹ 40-Hz ASSR ʹ͍ͭͯྫ͑จ[ ݙ10] ͓Αͼ [11] Ͱड़͍ͯΔɽຊߘͰ ABR ʹ SWT Λ࣮ࢪͨ͠߹ʹ͍ͭͯऔΓ্͛Δʢ [12]– [16]ʣɽզʑͷ࣮ʹݧΑΔܭଌܗͷα ϯϓϦϯάप͔ΒಘΒΕΔղϨϕϧͷߏपΛ Table 1 ʹࣔ͢ɽ ఆٛ 4.1 पྖҬ (A8+D8 ͷߏप) Λ؇ঃ (slow ABR)ɼߴपྖҬ 10 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering Table 1. Decomposition levels of SWT and each frequency band. Decomposition level Frequency band D1 12500 - 25000 Hz D2 6250 - 12500 Hz D3 3125 - 6250 Hz D4 1562 - 3125 Hz D5 781 - 1562 Hz D6 390 - 781 Hz D7 195 - 390 Hz D8 97 - 195 Hz A8 0- 97 Hz Fig. 9. SWT for ABR. 11 37 38 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering (D1+D2+D3+D4 ͷߏप) ΛϊΠζɼ྆ऀҎ֎ͷपྖҬ (D5+D6+D7 ͷߏ प) Λ (fast ABR) ͱΑͿɽ Fig. 9 ɼABRN , N = 10ɼ20ɼ30ɼ40ɼ100ɼ200ɼ300ɼ1000ɼ1500ɼ2000 ͷ DiN , i = 1 to 7 ͱ AiN , i = 8 ܗͷՃࢉ͝ͱͷॏͶॻ͖Λࣔ͢ɽՃࢉʹΑͬͯৼ෯ͷଟগͷݮগ͕ ͋Δ͕ɼҰํɼDiN , i = 5 to 7 ֤ͷϐʔΫજ͖࣌ΘΊͯগͳ͍Ճࢉճ͔Β͞؍Ε Δɽಛʹ D5N ͕ݦஶͰ N = 10 Ҏ߱ɼજ࣌ (Ґ૬) ͕΄ͱΜͲมΘΒͳ͍ɽܗ૬ؔ 0.9 Ͱ͋ͬͨɽ͜ΕΛ locked phase ͱ͍͏͜ͱʹ͢Δɽ Ұํɼslow ABR ͢ͳΘͪɼA8N , D8N ͰɼՃࢉʹΑͬͯܗͷ synchronized phase Λͨ͠؍ɽSine Wave Fit ΞϧΰϦζϜΛ༻͍ͯܗΛۙࣅ͢Δ͜ͱɼଂຊϞσϧ (ྫ ͑จ[ ݙ17] ࢀর) ͷԠ༻ΛࢼΈ͍ͯΔɽ 5. ·ͱΊͱߟ ABR ͷϐʔΫજ࣌ͷಛൺֱతΘ͔͍ͬͯΔ͜ͱ͕ଟ͍͕ɼҰํɼߏपʹͭ ͍ͯɼࣗ໌ͳ୯ҰपͰߏ͞Ε͍ͯͳ͍͜ͱ͕Θ͔͍ͬͯΔɽABR ͷԠͷ༗ແ ͷఆͰϐʔΫજ࣌ͱपใͷ྆ํΛಉ࣌ʹඞཁͱ͢ΔɽैͬͯɼABR ܗͷ நग़͓Αͼಉఆʹ͓͍ͯɼSWT ʹΑΔ࣌ؒ–पղੳඇৗʹޮՌతͰ͋Δ͜ͱ͕Θ ͔ͬͨɽ ಛʹɼՃࢉաఔͷ ܗABRN ʹ SWT ʹΑΔ࣌ؒ–पղੳΛద༻͢ΔͱՃࢉͷૣ͍ ஈ֊ͰԠ͕ಘΒΕΔ fast ABR ͱҐ૬ಉ͕ظΧΪͱͳΔ slow ABR ͷৼΔ͍Λৄ͘͠ ௐɼࣗಈఆࣜʹΑΔϞσϧԽʹΑͬͯͦͷػೳ͕໌շʹͳΓͭͭ͋Δɽ͜ͷϞσ ϧԽͷੜཧֶɾղֶతͱݟͷর߹ॏཁͰ͋Δ͕ɼैདྷ๏ΑΓߴ͔ͭৄࡉͳௌੑ ༠ൃղੳ͕ՄೳͱͳͬͨɽҰํɼslow ABRɼA8 ɼৼ෯ʹ͓͍ͯେ͖ͳӨ͕͋ڹΔ Ϩϕϧ͕ͩɼՃࢉ 300 ճఔ͢ͳΘͪɼ3 ඵఔʹॖ͕ՄೳͰ͋ΔɽͳʹΑΓϞσϧ ܗΛࢀর͢Δ͜ͱͰɼԠ͕ಘΒΕͳ͍߹ʹඞཁҎ্ʹՃࢉ͠ͳͯ͘ɼԠͳ͠ͷ ఆͷ͕֬૿͢ͱߟ͑Δɽ ͜ΕΒ SWT ʹΑΔ ABR ͷৄࡉੳΛड͚ͯɼASSR ʹ͍ͭͯߟ͢ΔͱɼASSR ABR ͷղϨϕϧ A8 ͷӨڹΛ͘ڧड͚ΔԠͰ͋ΔͷͰɼҰఆͷՃࢉಉ͕ظඞཁͰ͋ Δ͜ͱɼ·ͨɼৼܗ෯ՃࢉʹΑͬͯ͋·ΓӨ͕ͱ͍͜ͳͰ͕ڹ໌ͨ͠ɽ୯Ұൖૹप ܹΛ༻͍Δ߹ɼCCWA ʹΑͬͯ࣌ؒ–पʹؔ͢Δݦஶͳಛ͕ಘΒΕͨɽ ΣʔϒϨοτղੳʹ͍ͭͯɼ૯ͨΓ๏Λ༻͍ͯɼཁٻͷ݁Ռ͕ಘΒΕΔͷΛԠ༻ ͕ͨ͠ɼཧతͳଥੑ͍ࠜͯͭʹڌɼΑΓֶతͳཱূʹ͍ͭͯٞ͢Δ͜ͱ͋Δ͍ ΑΓྑ͍ํ๏ͷఏҊΛ͍ͯͨͩ͘͜͠ͱΛΉɽͦͷ݁ՌɼΣʔϒϨοτղੳͷௌੑ ༠ൃͷԠ༻ͷਫ਼্ΛΊ͍ͨ͟͠ɽ ँࣙ ࣮ݧͷࡍɼઍ༿େֶ CFME ͷࢧԉΛड͚ͨɽ·ͨɼՊݚඅ (C)26400199 ͷࢧԉΛ ड͚ͨ͜ͱʹ͢ँײΔɽ 12 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ࢀߟจݙ [1] ࢁాಓ, ᤈ࢙ɼѶོҰɼԠ༻ͷͨΊͷΣʔϒϨοτ, γϦʔζԠ༻ཧୈ 5 רɼཱڞग़൛, 2016. 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Polarimetric SAR onboard remote sensing satellite allows sea ice monitoring as well as land use classifications. One of the specific features of polarimetric SAR is to clarify scattering properties of the ground cover targets. By using the differences of the scattering properties, land use classifications as well as sea ice discriminations can be done. In order to extract scattering properties, scattering matrix is derived from the polarimetric SAR data. From the scattering matrix, trajectory in a phase space is calculated. On the other hand, time and frequency analysis is available by the multi-dimensional DWT. In order to use the specific feature of the trajectory in the phase space, behavior of the scattering properties, multi-dimensional DWT is applied to the trajectory. Thus the specific polarimetric features of the designated ground cover targets are extracted and classified using supervised classifications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ethods for Comparison 7KH FODVVLILFDWLRQ SHUIRUPDQFH RI WKH SURSRVHG PHWKRG LV FRPSDUHG WR WKH 0D[LPXP /LNHOLKRRG FODVVLILFDWLRQ ZLWK RQO\ WKUHH FRPSRQHQWV RI WKH SRODULPHWULF 6$5 GDWD RI ++ +9 99 ZLWK WKH WKUHH FRPSRQHQWV+$FRVĮ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l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x ¦D k I x k k 'DXEHFKLHVEDVHIXQFWLRQLVGHILQHGDV^Į`VDWLVI\LQJWKHIROORZLQJFRQGLWLRQV Ek M x k D k ¦E k 6 k I x k Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering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roceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering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roceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering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roceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering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k VWDWLVWLFV ZKLFKLVVKRZQLQWKHIROORZLQJHTXDWLRQ k P A P E P E ZKHUHPAPEGHQRWHVFRUUHFWFODVVLILFDWLRQSUREDELOLW\DQGFODVVLILFDWLRQHUURUSUREDELOLW\7DEOH VKRZVWKHUHVXOWVRIFODVVLILFDWLRQSHUIRUPDQFH 10 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 7$%/(7+5((5(&(,9('(&+26,*1$/32:(521/<. 8UEDQ 9HJHWDWLRQ 3DGG\ 8UEDQ 9HJHWDWLRQ 3DGG\ 7$%/(7+5((32:(5$1'7+(0$;,080&859$785(. 8UEDQ 9HJHWDWLRQ 3DGG\ 8UEDQ 9HJHWDWLRQ 3DGG\ 7$%/(7+5((32:(5$1'++. 8UEDQ 9HJHWDWLRQ 3DGG\ 8UEDQ 9HJHWDWLRQ 3DGG\ $VLVVKRZQLQWKHSUHYLRXVVHFWLRQLWLVGLIILFXOWWRGLVFULPLQDWHEHWZHHQXUEDQDQGYHJHWDWLRQFODVVHVLI RQO\WKUHHSRZHURIIHDWXUHVDUHXVHG,WLVLPSURYHGE\DGGLQJWKHIHDWXUHVRIPD[LPXPFXUYDWXUHDQG++ UHPDUNDEO\ 2Q WKH RWKHU KDQG kVWDWLVWLFV VKRZV WKDW RI LPSURYHPHQW LV DFKLHYHG E\ DGGLQJ WKH PD[LPXPFXUYDWXUHDQGLPSURYHPHQWLVDFKLHYHGE\DGGLQJ++ Conclusion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roceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering $SSHQGL[ $QRWKHUSRODUL]DWLRQVLJQDWXUHVRIDVSKDOWDQGZDWHUERG\ 2WKHUWKDQYHJHWDWLRQXUEDQDQGULFHSDGG\ILHOGRWKHUSRODUL]DWLRQVLJQDWXUHVDUHVKRZQLQ)LJXUH$ 6LJPDQRWHı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roceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering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roceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering H3RODUL]DWLRQVLJQDWXUHRI6)I7UDMHFWRU\LQHLJHQVSDFHIRU6) J3RODUL]DWLRQVLJQDWXUHRI7,K7UDMHFWRU\LQHLJHQVSDFHIRU7, )LJXUH$D7KHW\SLFDOFURVVSRODUL]DWLRQVLJQDWXUHDQGWKHWUDMHFWRU\LQHLJHQVSDFHFRQYHUWHGIURPWKHGLPHQVLRQDOGDWDZLWK WKHTXDQWL]DWLRQVWHSRIGHJUHHVRIıIRUSRODUL]DWLRQDQJOHIURP++WR99WKURXJK+9IRUIRXUFODVVHVRSHQZDWHU2:URXJK ILUVW\HDULFH5)VPRRWKILUVW\HDULFH6)DQGWKLQLFH7,ZKHUH3&GHQRWHWKHILUVWWRWKLUGSULQFLSDOFRPSRQHQWV 7KH FRQIXVLRQ PDWULFHV RI WKH SURSRVHG DQG WKH H[LVWLQJ PHWKRGV DUH VKRZQ LQ 7DEOH$ 7KH FODVVHV EHWZHHQ6)DQG2:DUHPRVWGLIILFXOWWRGLVFULPLQDWH,WLVIROORZHGE\WKHFODVVHVEHWZHHQ6)DQG5)DQG WKHFODVVHVEHWZHHQ2:DQG6) D3RODUL]DWLRQVLJQDWXUHRI2:E7UDMHFWRU\LQHLJHQVSDFHIRU2: F3RODUL]DWLRQVLJQDWXUHRI5)G7UDMHFWRU\LQHLJHQVSDFHIRU5) 14 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering H3RODUL]DWLRQVLJQDWXUHRI6)I7UDMHFWRU\LQHLJHQVSDFHIRU6) J3RODUL]DWLRQVLJQDWXUHRI7,K7UDMHFWRU\LQHLJHQVSDFHIRU7, )LJXUH$E7KHW\SLFDOFRSRODUL]DWLRQVLJQDWXUHDQGWKHWUDMHFWRU\LQHLJHQVSDFHFRQYHUWHGIURPWKHGLPHQVLRQDOGDWDZLWKWKH TXDQWL]DWLRQVWHSRIGHJUHHRIı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r V $ n ZKHUHGHQRWHVVWDQGDUGGHYLDWLRQRI3&&DQGnGHQRWHVWKHQXPEHURIWUDLQLQJVDPSOHVDSSUR[LPDWHO\ VDPSOHV$OVRWKHNDSSDFRHIILFLHQWkDPHDVXUHRISDLUZLVHDJUHHPHQWLVHYDOXDWHG 15 55 56 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 7$%/($7+(&21)86,210$75,&(62)7+(352326('0(7+2'%$6('210$;,080/,.(/,+22'&/$66,),&$7,210/+ 86,1*7+5((5(&(,9('32:(5+++9$1'99$6:(//$67+(0$;,080&859$785(2)7+(75$-(&725<2)Ȉ,17+(63$&(2) (//,37,&,7<$1'25,(17$7,21$1*/(686,1*-8677+5((5(&(,9('32:(586,1*7+5((5(&(,9('32:(5+$ǹ &20321(176$1'86,1*7+5((5(&(,9('32:(52''(9(1',))86(&20321(176&,'(127(6&21),'(1&(,17(59$/ $77+(2)&21),'(1&(/(9(/$1' K'(127(6.$33$&2()),&,(17 352326('0(7+2'3&& K 86,1*+++9993&& K 2: 5) 6) 7, &, 2: 5) 6) 7, &, 2: 2: 5) 5) 6) 6) 7, 7, 86,1*+++999+$ǹ3&& K 86,1*+++9992''(9(1',))86(3&& K 2: 5) 6) 7, &, 2: 5) 6) 7, &, 2: 2: 5) 5) 6) 6) 7, 7, $OWKRXJK+$DQGĮLQJHQHUDOGRHVZRUNIRUFODVVLILFDWLRQWKHGLVWULEXWLRQRIWKHGDWDRI7,DQG6)DUH RYHUODSSHGLQWKH+$DQGĮ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± 8ODE\)7(ODFKL&5DGDU3RODULPHWU\IRU*HRVFLHQFH$SSOLFDWLRQV$UWHFK+RXVH,QF'HGKDP 16 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 0RWW0$QWHQQDVIRU5DGDU&RPPXQLFDWLRQV±$3RODULPHWULF$SSURDFK-RKQ:LOH\1HZ<RUN +HQGHUVRQ)0/HZLV$-3ULQFLSOHVDQGDSSOLFDWLRQVRILPDJLQJUDGDULQ0DQXDORI5HPRWH6HQVLQJWKLUGHG-RKQ:LOH\ 1HZ<RUN .URJDJHU($QDO\VLVRIWKHDEVROXWHDQGUHODWLYHSKDVHFRQGLWLRQVRIWUDQVIRUPLQJPDWULFHVIRUWKHVLQFODLUDQGFRYDULDQFH PDWULFHVLQUDGDUSRODULPHWU\-2SW6RF$P(%$ 'RQJ<,PDJLQJUDGDUSRODULPHWHUIURPZDYHV\QWKHVLV-*HRSK\V5HV± =HENHU+$HWDO,PDJLQJUDGDUSRODULPHWHUIURPZDYHV\QWKHVLV-*HRSK\VLFDO5HVHDUFK9RO1RSS .URJDJHU(&]\]=+3URSHUWLHVRIWKHVSKHUHGLSODQHKHOL[GHFRPSRVLWLRQLQ3URFHHGLQJV7KLUG,QWHUQDWLRQDO:RUNVKRS RQ5DGDU3RODULPHWU\YROSS± &ORXGH653RWWLHU($UHYLHZRIWDUJHWGHFRPSRVLWLRQWKHRUHPVLQUDGDUSRODULPHWU\,(((7UDQV*HRVFL5HPRWH6HQVLQJ ± 3RWWLHU(/HH-68QVXSHUYLVHGFODVVLILFDWLRQVFKHPHRI3ROVDULPDJHVEDVHGRQWKHFRPSOH[:LVKDUWGLVWULEXWLRQDQG+$D SRODULPHWULFGHFRPSRVLWLRQWKHRUHPV3URFHHGLQJVRIWKH7KLUG(XURSHDQ&RQIHUHQFHRQ6\QWKHWLF$SHUWXUH5DGDU(86$5 6FKHXFKO % +DMLQVHN , &XPPLQJ ,* HW DO 6HD LFH FODVVLILFDWLRQ XVLQJ PXOWLIUHTXHQF\ SRODULPHWULF 6$5 GDWD LQ 3URFHHGLQJVRIWKH,*$566¶ YDQ=\O--=HENHU+$(ODFKL&,PDJLQJUDGDUSRODUL]DWLRQVLJQDWXUHVWKHRU\DQGREVHUYDWLRQ5DGLR6FL±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roceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ίϯΫϦʔτݐʹର͢ΔԻ CT ։ൃͱ ૭ؔͷԠ༻ ∗ ୌ∗ ࢤ ޱ Ӵେֶߍֶڭҭࣨ ֓ཁ. ίϯΫϦʔτݐʹର͢Δ tomographic ͳඇഁյٕࠪݕज़ະ։ൃͰ͋Δͱ ͍͏ͷ͕ݱঢ়Ͱ͋Δ͕ɼۙɺࡾా( ߦل৬ۀೳྗ։ൃ૯߹େֶߍ) ͱߨԋऀͷڠಇʹΑ ΓɼίϯΫϦʔτݐʹର͢Δ acoustic CT ։ൃͷΞΠσΞ͕ఏҊ͞Ε͍ͯΔɻຊߨ ԋͰɼίϯΫϦʔτݐʹର͢Δ acoustic CT ։ൃͷΞΠσΞΛհ͠ɼ͜ͷ ʹର͢Δ૭ Radon มͷԠ༻ʹؔͯٞ͢͠Δɻ Development of ultrasonic CT for concrete structures and application of window functions Takashi Takiguchi∗ ∗ National Defense Academy of Japan Abstract. There having been developed no tomographic non-destructive testing technique for concrete structures for the time being, N. Mita and the speaker proposed an idea to develop an acoustic CT for concrete structures. In this talk, we introduce their idea and discuss application of the windowed Radon transform for development of an acoustic CT for concrete structures. 1. ͡Ίʹ ίϯΫϦʔτݐʹର͢Δ tomographic ͳඇഁյٕࠪݕज़ະ։ൃͰ͋Δͱ͍͏ͷ͕ ݱঢ়Ͱ͋Δ͕ɼۙɺ༷ʑͳख๏͕ఏҊ͞Ε࢝Ί͍ͯΔɻࡾా( ߦل৬ۀೳྗ։ൃ૯߹େ ֶߍ) ͱߨԋऀɼ[2, 3] ʹ͓͍ͯίϯΫϦʔτݐʹର͢ΔԻ CT ։ൃͷΞΠσΞ ΛఏҊ͍ͯ͠ΔɻຊߨԋͰɼίϯΫϦʔτݐʹର͢ΔԻ CT ։ൃͷΞΠσΞΛ հ͠ɼ͜ͷʹର͢Δ૭ Radon มͷԠ༻ʹؔͯٞ͢͠Δɻ 2. ίϯΫϦʔτͷૅجࣝ ຊઅͰɼຊߨԋͰඞཁͱͳΔίϯΫϦʔτͷૅجࣝʹ͍ͭͯ؆୯ʹઆ໌͢Δɻ ఆٛ 2.1 (ίϯΫϦʔτ) ίϯΫϦʔτɺηϝϯτ (cement: C)ɺਫ (W) ࠭ (fine aggregate or sand: S)ɼ࠭ར (coarse aggregate or gravel: G) ͷࠞ߹Ͱ͋Δɻ 1 59 60 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering (i) ηϝϯτ + ਫ → ηϝϯτϖʔετ (cement paste) (ii) ηϝϯτ + ਫ + ࠭ ( ηϝϯτϖʔετ + ࠭ ) → Ϟϧλϧ (mortar) (iii) ίϯΫϦʔτ (concrete) “Ϟϧλϧ + ࠭ར” ҙ 2.1 ͱཧղͰ͖Δɻ ຊઅͰɼҎԼͷओுʹ͖ͮجɼίϯΫϦʔτͱԿ͔Λઆ໌͢Δɻ ओு 2.1 The concrete materials are artificial megaliths. ओு 2.1 [2, 3] ʹԙ͍ͯओு͞ΕͨͷͰ͋Δ͕ɼҎԼͷٞʹ͍͍ͯͮجΔɻྫ ͑, Valley Temple (BC2500?) Parthenon ਆ఼ (BC447-432) ੴݐͰ͋Γɼங ޙ2000 Ҏ্ͰࡏݱͨͬܦɼͦͷߏΛอ͍ͬͯΔɻͱ͜Ζ͕ɼϩʔϚͷ Colosseum (AD70-80) ͷ֎นੴͰ͋Δ͕ɼนɼ࿃נͷഁยɾੴɾ࠭ɾփͰຒΊΒΕ͍ͯΔɻ ͜ΕɼϩʔϚͰेͳڊੴ͕ೖखͰ͖ͳ͔ͬͨͨΊͰ͋Δ͕ɺColosseum ͷนʹ༻ ͍ΒΕͨૉࡐ (Roman or promitive concrete) 2000 ۙ͘ڊੴͷସͱͯ͠ͷׂΛ Ռ͖ͨͯͨ͠ͱ͍͑Δɻ ίϯΫϦʔτ͕ڊੴͷସʹͳΔʹɼ (a) Concrete is not tough to tensile strength. (b) Concrete easily gets cracks in and on itself. ͷΛվળͤ͞ͳ͚ΕͳΒͳ͍͕ɼ (α) Concrete is easily made and shaped in any form because of its fluidity before it gets hard. (β) The cost of concrete is very cheap. ɼڊੴΑΓ༏Εͨଟ͍ɻܽ (a) Λิ͏ͨΊʹ։ൃ͞Εͨͷ͕మےίϯΫϦʔτ (RC) Ͱ͋Δɻ • మͱίϯΫϦʔτͱͷு΄΅ಉ͡Ͱ͋Δ • ηϝϯτͷΞϧΧϦੑ͕మےΛࡺ͔ΒकΔ ͷཧ༝͔ΒɼమےίϯΫϦʔτ͕։ൃ͞Εͨ࣌ɼమےίϯΫϦʔτɼ“حͷૉ ࡐ”ɼ “Ӭٱૉࡐ” ͱݺΕ͍͕ͯͨɼͦʹޙΕΒ͕ݬӨͰ͋ͬͨ͜ͱ͕Θ͔ͬͨɻࡏݱ ɼRC ݐͷण໋Խͱͦͷҡ࣋ཧ͕Πϯϑϥͷҡ࣋ཧɾ࠶උʹ͓͍ͯॏཁͳ ՝ͷҰͭͱͳ͍ͬͯΔɻ 2 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 3. ίϯΫϦʔτݐʹର͢Δ CT લઅͰड़ͨ௨ΓɼRC ݐͷण໋Խͱͦͷҡ࣋ཧඇৗʹॏཁͳͰ͋Δ͕ɼ ίϯΫϦʔτݐʹର͢Δ tomographic ͳඇഁյࠪݕ๏ཱ֬͞Ε͍ͯͳ͍ͱ͍͏ͷ͕ ݱঢ়Ͱ͋Δɻۙɼ༷ʑͳओு͕ఏҊ͞Ε͍ͯΔ͕ɼࡾాͱߨԋऀ [2, 3] ʹ͓͍ͯ, Իి࣓ύϧεԻڹΛ༻͍ͨ acoustic CT scan ͷ։ൃΛఏҊ͍ͯ͠ΔɻຊઅͰɼ[2, 3] ͰఏҊ͞ΕͨΞΠσΞΛհ͢Δɻ ൴Βɼ·ͣɼ࣮ݧΛ௨ͯ͡, ҎԼͷੑ࣭Λ֬ೝͨ͠ɻ ੑ࣭ 3.1 • We can conclude that for the test pieces of the length less than 1200mm, there is no decay of the acoustic velocity from the viewpoint of its first arriving time. • The first arrival wave of the ultrasonic one takes the fastest route in the cement paste, the mortar and the concrete. ͜ΕΒͷੑ࣭Λ༻͍ͯɼίϯΫϦʔτݐʹର͢Δ acoustic CT ։ൃͷͨΊʹ࣍ͷ Λղܾ͢Εྑ͍͜ͱΛओு͍ͯ͠Δɻ 3.1 (Problem for non-destructive inspection for concrete structure) Let Ω ⊂ R3 be a domain and f (x) be the propagation speed of the ultrasonic wave at the point x ∈ Ω. For α, β ∈ ∂Ω, we denote by γα,β a route from α to β contained in Ω. In this case, reconstruct f (x) (x ∈ Ω) out of the data (3.1) min 1/ f (x)dγ, γα,β γα,β for ∀α, β ∈ ∂Ω. ੑ࣭ 3.1 ʹ͋ΔΑ͏ʹ͜ͷ͕͞ 1.2m ҎԼͷݐΛରʹ͍ͯ͠Δ͕ɼమے ߴݐͷபɼߴಓ࿏ڮྊʹ͓͚Δ͔ͿΓίϯΫϦʔτͷҟৗௐࠪɼଟ͘ͷ ͷԠ༻͕ݕ౼͞Ε͍ͯΔɻৄ͘͠ [3] Λࢀর͞Ε͍ͨɻ 4. ి࣓ύϧεԻڹஔ લઅͰհͨ͠ acoustic CT ͰɼԻஔి࣓ύϧεஔԻͱݯड৴ஔͷ Έ߹ΘͤͰ༻͍ΒΕ͓ͯΓɼݪཧతʹ྆ऀͷҧ͍ແ͍͕ɼطଘͷஔΛ༻͍ͨ߹ɼి ࣓ύϧεஔͷํ͕؍ଌͷਫ਼͕͍ɻɼ؍ଌਫ਼ஔͷਫ਼ʹґଘ͢ΔͨΊɼҰ ֓ʹ͚݁ग़དྷͳ͍͕ɼి࣓ύϧεஔʹΑΔ؍ଌਫ਼ͷ͞ͷݪҼɼύϧεԻ ൃੜͷݪཧʹґΔͱ͜Ζ͕গͳ͘ͳ͍Α͏ʹ͡ײΒΕΔɻ 3 61 62 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering ి࣓ύϧεʹΑΔԻൃੜҎԼͷΑ͏ͳݪཧʹ͍͍ͯͮجΔɻ Fig. 1. ి࣓ύϧεԻൃੜͷݪཧ ਤ 1 ʹ͓͍ͯ, ਤͷԖํ๏ʹ࣓Λ͔͚ɼίΠϧʹύϧεిྲྀΛྲྀ͢͜ͱʹΑΓ, ஔ ͷۚଐ (మ) ͕࣓ޮՌ (magneto-striction effect) ʹΑΓߴԻΛൃੜ͢Δɻैͬͯɼి ࣓ύϧεԻԻͰ͋ΓɼͦͷपΛௐ͢Δٕज़ਐΜͰ͍Δ͕ɼۚଐͷͲͷ෦ ͔ΒԻΛൃ͍ͯ͠Δ͔ʹີݫௐΒΕ͍ͯͳ͍ɻɺి࣓ύϧεԻڹஔͷۚଐ ඍখͰ͋ΔͨΊɼେ͖ͳࠩޡੜ͍ͯ͡ͳ͍ͱࢥΘΕΔ͕ɼ͠ɼ؍ଌຖʹԻݯͷॴ ͕มΘ͍ͬͯΕɼ؍ଌͷਫ਼ʹେ͖ͳӨڹΛ༩͍͑ͯΔͣͰ͋Δɻ ຊߨԋͰɼమےίϯΫϦʔτए͘͠మےϞϧλϧʹରͯ͠ɼి࣓ύϧεΛͿͭ ͚Δ͜ͱʹΑΓɼమےͷͲ͔͜ΒԻ͕ग़͍ͯΔ͔ΛௐΔΛߟ͑Δɻ 4.1 మےίϯΫϦʔτɼए͘͠మےϞϧλϧɼʹର͢Δి࣓ύϧεԻʹڹԙ͍ͯɼ ԻݯΛશͯಛఆͤΑɻ ͜ͷ͕ղܾ͢Εɼ෦ೖΛࢪ͞ͳ͍ RC ݐʹର͢ΔԻ ڹPET(Positron Emission Tomography) ͷԠ༻͕ՄೳʹͳΔɻຊߨԋͰɼҎԼͷ 3 Λհ͢Δ͜ͱ Λओඪͱ͢Δɻ • 4.1 ͕࣍અͰհ͢Δஅ૭ X ઢมؔͳີͱΛ࣋ͭ͜ͱΛࣔ͢͜ͱɻ • ͔ͭزͷఆʹରͯ͠ 4.1 ͕ղܾՄೳͰ͋Δ͜ͱΛࣔ͠ɼͦͷղΛ༩͑Δ͜ͱɻ • 4.1 ͷղੳ݁ՌΛ༻͍ͯɼ෦ೖΛࢪ͞ͳ͍ RC ݐʹର͢ΔԻ ڹPET ։ൃ͕ՄೳͰ͋Δ͜ͱɻ 4 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 5. ૭ Radon ม ຊઅͰɼલઅͷ࠷ʹޙఏͨ͠ى 4.1 ʹؔ࿈͢ΔੵมΛհ͢Δɻຊઅͷओ ඪஅ૭ X ઢมͷఆٛΛ༩͑Δ͜ͱͰ͋Δ͕ɼ·ͣɼͦͷ͍ͯͬͳʹجΔɼ૭ Radon ม( ૭ X ઢม )ͷఆٛΛ෮श͢Δɻ૭ Radon ม( ૭ X ઢม ) Radon ม (X ઢมʹ )૭ؔΛֻ͚ͨੵม͋ͰΔ͕ɼͦͷఆٛҎԼͰ༩͑ΒΕΔɻ ఆٛ 5.1 (૭ Radon ม )Let 1 ≤ d ≤ n. The d dimensional Windowed Radon Transform Rh f (x, A) of a function f defined on Rn is defined by h(t) f (x + At)dt, (5.1) Rh f (x, A) ≡ Rd where h is a function defined on Rd and A ∈ {A = vRJ J : Rd → Rn (inclusion), R ∈ S O(n)/S O(n−d), v > 0}. h̄ means the complex conjugate of h. We write Rh f (x, A) = fh (x, A). ఆٛ 5.2 (૭ X ઢม )For a function f defined on Rn we call Xh f (x, ξ) ≡ (5.2) R h(t) f (x + tξ)dt, the Windowed X-ray Transform (WXT) with window h, where h is a function defined on R and ξ ∈ Rn . We adopt the notation ξ = vω, v > 0, ω ∈ S n−1 . ͜ΕΒͷมʹର͢Δੑ࣭ͳͲɼ[4] Λࢀর͞Ε͍ͨɻ ৄ͘͠ߨԋʹͯઆ໌͢Δ͕ɼ 4.1 ʹ͓͍ͯɼ࠷୯७ͳ߹ʹɼҎԼͷٯ Λղܾ͢Εྑ͍͜ͱ͕͍͑Δɻ 5.1 R2 ্Ͱఆٛ͞Εͨؔ f (x), x ∈ R2 ͕طͰ͋Δ࣌, ؍ଌ ∞ (5.3) f (y + tθ)dt a ͔Β a Λ෮ͤݩΑɻୠ͠, θ ∈ S 1 , y ⊥ θ ͱ͢Δɻ (5.3) அ X ઢมݺͱΕΔม͋ͰΔ͕ɼ 4.1 ʹؔͯ͠ɼ͜ͷม͕அ ૭ X ઢมʹରԠ͢Δࣄ͕Θ͔Δɻৄ͘͠ߨԋʹͯઆ໌͢Δɻ 6. ͓ΘΓʹ ຊߨԋʹԙ͍ͯɼి࣓ύϧεԻ͚͓ʹڹΔԻݯͷಛఆʹؔ͢ΔΛఏ͕ͨ͠ىɼ͜ͷ அ૭ X ઢม͚͓ʹΔஅΛ෮͢ݩΔ 5.1 ͱਂ͍ؔΛ͍࣋ͬͯΔɻ 5 63 64 Proceedings of the OKU & ISM 2016 Workshop on Wavelet Theory and its Applications to Engineering 4.1 ͷڀݚΛൃలͤ͞ΔͱɼίϯΫϦʔτݐʹର͢ΔԻ ڹPET ͷ։ൃ͕Մೳʹͳ Δɻࠓޙɺ࣮ͱݧཧͷ྆ऀͷཱ͔Β͜ΕΒͷͷڀݚΛਐΊɼίϯΫϦʔτݐ ͷඇഁյࠪݕ๏ͷ͞ΒͳΔൃలʹ͍ͨ͛ܨɻ ँࣙ ຊڀݚɼJSPS Պֶڀݚඅ (C)26400184 ͷॿΛड͚͍ͯ·͢ɻ ࢀߟจݙ [1] Mita, N., Horie, Y. and Matsudome, S. : Fundamental study on estimation of compressive strength of cement mortar by pulsed electromagnetic force acoustic method, Architectural Institute of Japan 76 (662) (2011) , pp. 721–727. [2] Mita, N. and Takiguchi, T. : Basic propertiers of concrete and its non destructive testing, MI Research 2, “Collaboration between theory and practice in inverse problems”, (2015), pp. 117-137. [3] ——- : Development of ultrasonic tomography for concrete structures, MI Research 5, “Mathematical backgrounds and future progress of practical inverse problems”, (2016), pp. 205-233. [4] Takiguchi, T. : On invertibility of the windowed Radon transform, J. Math. Sci., Univ. Tokyo, 2 (1995) pp. 621-636. ୌ( ࢤ ޱӴେֶߍֶڭҭࣨ) ˟239-8686 ਆಸݝԣਢլࢢਫ 1-10-20 E-mail: [email protected] 6 ɹ ウェーブレット理論と工学への応用 主催 大阪教育大学・統計数理研究所 平成 二十八年 十一 月