1 正負の数・式の計算

必修新演習　夏期テキスト　中３数学　指導のポイント
1
正負の数・式の計算
【指導のねらい】
★正負の数の計算ができるようにする。
★ 1 次式の計算ができるようにする。
★多項式の計算の仕方を理解する。
◆指導ページ　P.2 ～ 7 ◆　はじめに
〈導入〉
この課では，1，2 年で学習した正
負の数の計算を扱う。このあたりでつ
まずいてしまう生徒は 3 年の範囲に
入ったときに苦しくなるので，1，2
年の対応する課に戻って念入りに復習
する必要がある。
特に例題 1 については，基礎中の基
礎になるので，できない生徒がいない
ように徹底して指導したい。
生徒の習熟度によっては，単なる計
算の復習なので，難なくこなしてしま
うことが予想されるので，その場合は，
演習問題に重点をおいて学習するとよ
い。
〈要点〉
例題 1
・乗除の計算結果の符号
負の数が偶数個→「＋」
負の数が奇数個→「－」
・四則混合計算の順序
累乗→かっこの中→乗除→加減
学習内容・補足事項
例題 1　正負の数の計算　2
1
2
▷　（－ 3） × 2 累乗から先に計算
＝ 9 × 4
＝ 36
▷　8 ＋ 42 ÷（－ 7）× 2　わり算を先に計算
＝ 8 ＋（－ 6）× 2　かけ算を先に計算
＝ 8 ＋（－ 12）
＝－ 4
ここでは，減法から加法に，除法から乗法になおして計算することや，累乗の計算，四則
混合計算の順序を確認する。
例題 2　１次式の計算　2
▷　3b － 8 －（2b ＋ 1）　ひく数の符号を変えてかっこをはずす
＝ 3b − 8 − 2b − 1
文字の部分が同じ項どうし，数の項どうしの和を求める
＝ 3b − 2b − 8 − 1
＝ b − 9
▷　－ 4x × 3
＝－ 4 × x × 3
＝－ 4 × 3 × x
積の交換法則
＝－ 12x
数どうし計算する
例題 2
・１次式の加法
かっこをはずし，文字の部分が同じ
項どうし，数の項どうしの和を求め
る。
・１次式の減法
ひく式の各項の符号を変えて，加法
になおし，計算する。
・１次式と数の除法
a
a ÷ b ＝
b
c
b
a ÷ ＝ a × （b ≠ 0，c ≠ 0）
b
c
例題 3
・分配法則
m
（a ＋ b）
＝ ma ＋ mb
（a ＋ b）
× m ＝ am ＋ bm
・加法の交換法則
a ＋ b ＝ b ＋ a
・乗法の交換法則
ab ＝ ba
例題 4， 例題 5
・同類項は分配法則を使って，1 つの
項にまとめる。
ma ＋ na ＝
（m ＋ n）a
・多項式と数の乗法・除法は分配法則
を使う。
m
（a ＋ b）
＝ ma ＋ mb
例題 6
・単項式の乗法
係数の積に文字の積をかける。
・単項式の除法
乗法の形になおして計算するか，分
数の形にして約分する。
例題 3　いろいろな１次式の計算　理解 ▷　3（2x ＋ 4）＝ 3 × 2x ＋ 3 × 4
3
分配法則 m（a ＋ b）＝ ma ＋ mb を用いる
＝ 6x ＋ 12　▷　3（4x － 1）－ 6（x － 1）
＝ 3 × 4x ＋ 3 ×（－ 1）＋（－ 6）× x ＋（－ 6）×（－ 1）　＝ 12x － 3 － 6x ＋ 6
かっこをはずして，文字の
部分が同じ項をまとめる
＝ 12x － 6x － 3 ＋ 6
＝ 6x ＋ 3
例題 4　多項式の計算　理解 4
▷　6a － 3b ＋ 4a ＋ b
＝ 6a ＋ 4a － 3b ＋ b　加法の交換法則
＝（6a ＋ 4a）＋（－ 3b ＋ b）
＝（6 ＋ 4）a ＋（－ 3 ＋ 1）b　＝ 10a － 2b
同じ文字の項どうし計算
例題 5　いろいろな多項式の計算　理解 ▷　2（x ＋ y）＋ 3（2x － y）　5
かっこをはずし，項を並べかえて，同類項をまとめる
＝ 2x ＋ 2y ＋ 6x － 3y
＝ 8x － y
例題 6　単項式の乗法・除法　理解 6
▷　3x ×（－ 2y）　＝ 3 ×（－ 2）× x × y
＝－ 6xy
係数の積に文字の積をかける
▷　9xy ÷ 3x
9xy
3x
＝ 3y
＝
分数の形にして約分する
必修新演習　夏期テキスト　中３数学　指導のポイント
2
1 次方程式
【指導のねらい】
★１次方程式を正確に解くことができる。
★比例式の取り扱いができるようにする。
★文章題を１次方程式を利用することにより解決できるようにする。
◆指導ページ　P.8 ～ 13 ◆　はじめに
〈導入〉
この課では，方程式の基本である１
次方程式を取り扱う。等式の性質を利
用して x ＝●の形にするのだが，等式
の性質①，②が
“移項”という手法と同
じ操作であることを理解し，自在に式
変形できるように指導したい。
〈要点〉
例題 1
・１次方程式の解き方
x をふくむ項を左辺に，定数項を右
辺に移項して，ax ＝ b の形に整理
する。
・等式の性質
A ＝ B ならば
①　A ＋ C ＝ B ＋ C
②　A － C ＝ B － C
③　AC ＝ BC
A B
④　＝ （C ≠ 0）
C C
③　B ＝ A
学習内容・補足事項
例題 1　１次方程式の解き方　▷　x ＋ 8 ＝ 3
x ＋ 8 － 8 ＝ 3 － 8
x ＝－ 5
▷　x － 4 ＝ 10
x ＝ 10 ＋ 4
x ＝ 14
1
等式の性質②
左辺の－ 4 を右辺に移項する
例題 2　かっこをふくむ１次方程式　理解 2
▷　2（x － 1）＝ 5
分配法則
2x － 2 ＝ 5
左辺の－ 2 を右辺に移項する
2x ＝ 5 ＋ 2
7
x ＝
2
例題 3　係数に分数や小数をふくむ１次方程式　3
▷　0.5x － 1 ＝ 0.2x － 1.6
両辺に 10 をかける
（0.5x － 1）× 10 ＝（0.2x － 1.6）× 10
分配法則
5x － 10 ＝ 2x － 16
x をふくむ項を左辺に，定数項を右辺に移項する
5x － 2x ＝－ 16 ＋ 10
3x ＝－ 6
x ＝－ 2
例題 2
・かっこをはずして，例題 1 のように， 例題 4　比例式　理解 4
▷　x：6 ＝ 3：2
ax ＝ b の形に整理する。
比例式の性質
2x ＝ 18
例題 3
x ＝ 9
・係数を整数になおしてから解く。
係数が分数の場合，分母の最小公倍 例題 5　１次方程式と解　理解 5
数を両辺にかける。
▷　方程式 4x ＋ a ＝ 11 ＋ 2x の解が 3 であるとき，a の値を求めよ。
係数が小数の場合，10，100，…を
を両辺にかける。
. 例題 4
・比例式の性質
内項の積と外項の積は等しい。
a：b ＝ c：d ならば ad ＝ bc
例題 5
・方程式の解が p であるとき，その方
程式の x に p を代入したとき，成り
立つ。
例題 6
・数量の関係から未知数量に関する等
式をつくる。
方程式
この方程式を解き，方程式の解が問
題にあっているかどうかを調べて答
えを書く。
方程式を整理すると，a ＝ 11 － 2x
これに x ＝ 3 を代入して，
a ＝ 11 － 2 × 3　a ＝ 5
例題 6　１次方程式の利用①　理解 6
▷　1000 円で，ノート 3 冊と 250 円のしおりを 1 枚買うと，おつりが 405 円だった。
ノート 1 冊の値段はいくらか求めよ。
ノート 1 冊の値段を x 円とすると，
1000 －（3x ＋ 250）＝ 405　←おつり
支払った 買った
お金 代金
1000 － 3x － 250 ＝ 405　－ 3x ＝－ 345　x ＝ 115
ノート 1 冊の値段を 115 円とすると，1000 －（115 × 3 ＋ 250）＝ 405（円）だから，x ＝ 115
は問題に適している。よって，115 円
例題 7　１次方程式の利用②　理解 7
▷　弟は家を出発して学校に向かった。その 5 分後に，姉は家を出発して同じ道を歩いて弟を
追いかけた。弟の歩く速さを毎分 50m，姉の歩く速さを毎分 75m とすると，姉は家を出発
してから何分後に弟に追いつくか求めよ。
例題 7
姉が家を出発してから x 分後に弟に追いつくとすると，弟の進んだ道のりは，50
（5 ＋ x）
（m）
姉の進んだ道のりは，75x（m）
・数量の関係からここでは道のりに関
する等式をつくる。
方程式
したがって，75x ＝ 50（5 ＋ x）が成り立つ。これを解くと，
75x ＝ 250 ＋ 50x　25x ＝ 250　x ＝ 10
この解は問題に適している。よって，10 分後
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3
連立方程式
【指導のねらい】
◆指導ページ　P.14 ～ 19 ◆　★代入法・加減法のどちらで解けばより計算が楽であるかを判断し，着実に解くことができるようにする。
★文章題から，未知数量を x，y とおき，2 つの等しい数量関係を立式できるようにする。
はじめに
〈導入〉
この課では，2 年に学習した連立方
程式の復習をする。代入法・加減法の，
どちらの解き方で解けばより簡単であ
るかを見極め，ミスのないように解け
るように確実に指導したい。
〈要点〉
例題 1
一方の式をもう一方の式に代入する
学習内容・補足事項
例題 1　代入法による連立方程式の解き方　▷　y ＝－ 3x － 1　……①　連立方程式
を代入法で解け。
4x ＋ 3y ＝ 7　……②
①を②に代入して，4x ＋ 3（－ 3x － 1）＝ 7　y を消去
4x － 9x － 3 ＝ 7　－ 5x ＝ 10　x ＝－ 2　……③
③を②に代入して，y ＝－ 3 ×（－ 2）－ 1 ＝ 6 － 1 ＝ 5　よって，x ＝－ 2，y ＝ 5
例題 2　加減法による連立方程式の解き方　2
▷　x ＋ 2y ＝ 9　……①　連立方程式
を加減法で解け。
3x － y ＝－ 1　……②
ことにより，文字を消去する。代入
①　x ＋ 2y ＝
するときにはかっこを忘れないよう
②× 2
＋ 6x － 2y ＝－ 2
に注意する。
1
7x
＝
9
7
…③
x
＝ 1
例題 2
③を②に代入して，3 － y ＝－ 1　－ y ＝－ 4　y ＝ 4　よって，x ＝ 1，y ＝ 4
1 つの文字の係数の絶対値をそろえ， ①× 3 －②でも求められる。
2 つの式の両辺をたしたり，ひいた
例題 3　かっこをふくむ連立方程式　理解 3
りして 1 つの文字を消去することに
▷　2（x － 5）＋ 3（y ＋ 2）＝ 1　……①　よって解く。
連立方程式
x － 2y ＝－ 8　……② を解け。
ax ＋ by ＝ c の形
①を整理して，2x
－ 10 ＋ 3y ＋ 6 ＝ 1　2x ＋ 3y ＝ 5　……①' 例題 3
②より，x ＝ 2y － 8　……②'
・ax ＋ by ＝ c の形に整理してから連
②' を①' に代入して，　2（2y － 8）＋ 3y ＝ 5　4y － 16 ＋ 3y ＝ 5　y ＝ 3　……③
立方程式を解く。
③を②' に代入して，x ＝ 6 － 8 ＝－ 2　よって，x ＝－ 2，y ＝ 3
例題 4
例題 4　係数に分数や小数をふくむ連立方程式　理解 4
係数がすべて整数になるような数を
▷　0.5x ＋ 0.4y ＝ 0.6　……①　両辺にかけてから連立方程式を解く。 連立方程式　0.1x － 0.3y ＝ 0.5　……② を解け。
①×
10　5x ＋ 4y ＝ 6　……①'
②× 10　x － 3y ＝ 5　……②'
例題 5　A ＝ B ＝ C の形の連立方程式
①' －②' × 5　19y ＝－ 19　y ＝－ 1　……③
A＝B A＝B A＝C
，　，　' に代入して，x ＋ 3 ＝ 5　x ＝ 2　よって，x ＝ 2，y ＝－ 1
③を②
A＝C B＝C B＝C
のいずれかの組み合わせで解く。
例題 6
x ＝ p，y ＝ q が連立方程式の解で
あ る と き，x ＝ p，y ＝ q を そ の 連
立方程式に代入すると，成り立って
いることを用いる。
例題 7
等しい数量の関係を 2 つみつけ，立
式し，その連立方程式を解く。
例題 5　A ＝ B ＝ C の形の連立方程式　理解 5
▷　連立方程式 5x ＋ 2y ＝ 8x ＋ 4y ＝ 4 を解け。
5x ＋ 2y ＝ 4　……①
8x ＋ 4y ＝ 4　……②
① －② ÷ 2　x ＝ 2　……③
③を① に代入して，10 ＋ 2y ＝ 4　y ＝－ 3　よって，x ＝ 2，y ＝－ 3
例題 6　連立方程式と解　理解 6
▷　ax ＋ by ＝ 9　……①　連立方程式　ax － by ＝ 3　……② の解が x ＝ 3，y ＝ 1 であるとき，a，b の値を求めよ。
①，②に
x ＝ 3，y ＝ 1 を代入すると，
3a ＋ b ＝ 9　……①'
3a － b ＝ 3　……② '
①' ，② ' を連 立 方 程 式 と し て 解 く と ，a ＝ 2，b ＝ 3　よって，a ＝ 2，b ＝ 3
例題 7　連立方程式の利用　理解 7
▷　1 個 80 円のみかんと，1 個 150 円のりんごを合わせて 10 個買い，1080 円支払った。
みかんとりんごをそれぞれ何個買ったか求めよ。
個数についての式と，代金についての式をつくり，それらを連立方程式として解く。
みかんを x 個，りんごを y 個買ったとすると，
個数の関係から，　x ＋ y ＝ 10　……①
代金の関係から，　80x ＋ 150y ＝ 1080　……②
①，②を連立方程式として解くと，x ＝ 6，y ＝ 4　よって，みかん 6 個，りんご 4 個
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4
1 次関数
【指導のねらい】
★比例，反比例，1 次関数の式が扱えるようにする。
★直線のグラフが扱えるようにする。
★ 2 直線の交点の座標の求め方を理解する。
◆指導ページ　P.20 ～ 25 ◆　はじめに
〈導入〉
この課では，1 次関数を取り扱う。
ただし，反比例は 2 年で学習した 1 次
関数とは式もグラフの形も違うため，
忘れていることが多いので，注意して
指導する必要がある。
グラフについては，今後学習する 2
学習内容・補足事項
例題 1　比例と反比例　1
▷　y は x に比例し，x ＝ 2 のとき，y ＝－ 6 である。y を x の式で表せ。
y ＝ ax に x ＝ 2，y ＝－ 6 を代入して，2a ＝－ 6　a ＝－ 3　よって，y ＝－ 3x
▷　y は x に反比例し，x ＝－ 3 のとき，y ＝ 4 である。y を x の式で表せ。
a
a
12
y ＝ に x ＝－ 3，　y ＝ 4 を代入して，4 ＝
a ＝－ 12　よって，y ＝－
x
－3
x
a
反比例で比例定数 a を求める場合は，反比例の式 y ＝ を変形した a ＝ xy を用いてもよい。
x
次関数では放物線を扱うことになるの
で，直線のグラフを学習するのは最後
になる。どうすればグラフがかけるの
か，x 軸や y 軸，2 直線の交点の座標
はどのように求めるかなど，徹底して
指導したい。
例題 2　１次関数の変化の割合　理解 2
▷　1 次関数 y ＝ 2x ＋ 5 で，x の値が 0 から 3 まで増加したときの変化の割合を求めよ。
x ＝ 0 のとき，y ＝ 5，x ＝ 3 のとき，y ＝ 11
x の増加量は，3 － 0 ＝ 3，y の増加量は，11 － 5 ＝ 6
6
したがって，変化の割合＝ ＝ 2
3
〈要点〉
例題 1
例題 3　１次関数のグラフ　・比例の式… y ＝ ax
・反比例の式… y ＝
a
x
このとき a を比例定数という。
3
y
3
▷　1 次関数 y ＝ x ＋ 4 グラフの傾きと切片をいえ。また，
2
右の図のア～エのうちのどの直線か，記号で答えよ。
グラフの傾きが
例題 2
3
，切片が 4 であることから，グラフはウ。
2
ウ
エ
5
ア
イ
－5
・x の増加量に対する y の増加量の割
O
5
x
－5
合を変化の割合という。
（y の増加量）
（変化の割合）
＝
（x の増加量）
・1 次 関 数 y ＝ ax ＋ b で は， 変 化 の
割合は一定で，傾き ax に等しい。
例題 4　１次関数の式　理解 4
▷　傾きが 2 で，点（3，7）を通る直線の式を求めよ。
傾きが 2 なので，求める直線の式は y ＝ 2x ＋ b とおける。x ＝ 3，y ＝ 7 を代入して，
例題 3
7 ＝ 2 × 3 ＋ b　b ＝ 1　よって，求める直線の式は，y ＝ 2x ＋ 1
・y ＝ ax ＋ b のグラフ
傾きは a，切片は b
例題 4
・1 次関数の式… y ＝ ax ＋ b
このときの a を傾き，b を切片とい
う。
「平行」という言葉が出てきたら，「その 2 直線の傾きは等しい」ということである。ま
た，「y 軸との交点の y 座標」という言葉が出てきたら，これは切片のことを指すので，
あわせて注意しておきたい。
例題 5　方程式とグラフ　5
y
▷　方程式 2x － y － 2 ＝ 0 を y について解き，
そのグラフをかけ。
・
（傾き）
＝
（変化の割合）
この方程式を y について解くと，
（y の増加量）
＝
（x の増加量）
直線は以下の①，②を踏まえてかく。
例題 5
・方程式のグラフのかき方…以下の 2
つのかき方がある。
5
2x － y － 2 ＝ 0　－ y ＝－ 2x ＋ 2　y ＝ 2x － 2
①切片が－ 2 なので，点（0, － 2）を通る。
②傾きが 2 ＝
O
－5
2
なので，x が 1 増加すると，y は 2 増加する。
1
x
5
－5
①傾きと切片を求めてからかく。
②通る 2 点を求めてかく。
例題 6
・2 直線の交点と連立方程式の解
2 直線の交点の座標は，その 2 直線
を表す 2 つの式を連立方程式とみて
解いた解と一致する。
例題 6　２直線の交点　理解 6
▷　右の図で，2 直線ℓ，m の交点 P の座標を求めよ。
－2
直線ℓは，傾き ＝－ 2，切片 4 であるから，
1
y ＝－ 2x ＋ 4　……①
1
直線 m は，傾き ＝ 1，切片－ 1 であるから，
1
y ＝ x － 1　……②
5
2
①，②を連立方程式として解くと，x ＝ ，y ＝
3
3
（ 53 ， 23 ）
よって，P
ℓ y
m
5
－5
O
－5
P
5
x
必修新演習　夏期テキスト　中３数学　指導のポイント
5
平面図形・空間図形
【指導のねらい】
◆指導ページ　P.26 ～ 31 ◆　★基本の作図の性質を理解し，作図できるようにする。
★おうぎ形の弧の長さと面積を求められる。
★角柱
（錐）
・円柱（錐）・球の表面積と体積の公式を用いて求められる。回転体のの表面積と体積を求められる。
はじめに
〈導入〉
この課では作図や平面図形，空間図
形についての
（表）面積や体積など，1，
2 年で学習してきた図形を広く取り扱
う。
作図については，入試に出る場合が
多いので，基本的な作図は必ずおさえ
ておく必要がある。
おうぎの弧の長さと面積，角柱（錐），
円柱
（錐）
，球，回転体の表面積と体積
は，入試問題で頻出であるので，その
基本をおさえておく必要がある。
図形問題は，苦手とする生徒が多い
ので，丁寧に指導したい。
〈要点〉
学習内容・補足事項
例題 1　基本の作図　1
▷　右の図で，P を通り，直線ℓに垂直な直線を作図せよ。
ℓ上の 2 点 A，B を，PA ＝ PB となるようにとると，△ PAB は
ℓ
二等辺三角形。さらに，CA ＝ CB となる点をとると，△ CAB は二
等三角形。線分 PC と AB は直交する。
P
①点 P を中心としてℓに交わる円をかき，ℓとの交点を A，B とす
る。
② A，B を中心として等しい半径の円をかき，その交点を C とする。
③
ℓ
例題 2　おうぎ形　①
A
B
C
③直線 PC をひく。
暗記 する。
弧の長さは，2π× 10 ×
②
2
▷　右の図のおうぎ形の弧の長さと面積を求めよ。ただし，円周率はπと
面積は，π× 102 ×
例題 1
P
10 cm
54
＝ 3π
（cm）
360
54°
54
＝ 15π
（cm3）
360
・垂線・角の二等分線の描き方を理解
例題 3　角柱・円柱の表面積と体積　する。
暗記 3
▷　右の図の円柱の表面積と体積を求めよ。
4 cm
2
例題 2
表面積は，（π× 4 ）× 2 ＋（2 ×π× 4 × 10）
・おうぎ形の弧の長さと面積
底面積　側面積
半径が r，中心角が a°のおうぎ形
＝ 32π＋ 80π
の弧の長さをℓ，面積を S とする
＝ 112π
（cm2）
と，
体積は，π× 42 × 10 ＝ 160π
（cm3）
a
a
ℓ＝ 2πr × S ＝πr 2 × 360
360
例題 4　角錐・円錐の表面積と体積　例題 3
・角柱・円柱の表面積と体積
（表面積）
＝
（側面積）＋（底面積）× 2
（体積）
＝
（底面積）×（高さ）
暗記 10 cm
4
▷　右の図の正四角錐の体積を求めよ。
3 cm
1
×（5 × 5）× 3 ＝ 25
（cm3）
3
底面積　高さ
体積は，
5 cm
5 cm
例題 4
・角錐・円錐の表面積と体積
例題 5　球の表面積と体積　理解 （表面積）
＝
（側面積）＋（底面積）
▷　右の球の表面積と体積を求めよ。
1
（体積）
＝ ×
（底面積）×（高さ）
3
例題 5
2
5
6 cm
2
表面積は，4π× 6 ＝ 144π
（cm ）
4
体積は， π× 63 ＝ 288π
（cm3）
3
・球の表面積と体積
球の半径を r，表面積を S，体積を
V とすると，
4
S ＝ 4πr V ＝ πr 3
3
2
例題 6　回転体　理解 6
▷　右の図で，長方形 ABCD を，直線ℓを軸として 1 回転させてできる
立体の表面積と体積を求めよ。
1 回転してできる立体は，右の図のような円柱で
ある。
表面積は，2π× 3 × 4 ＋π× 32 × 2
＝ 24π＋ 18π
＝ 42π
（cm2）
体積は，π× 32 × 4 ＝ 36π
（cm3）
3 cm
A
D
ℓ
A
D
4 cm
4 cm
B
C
B
3 cm
C
必修新演習　夏期テキスト　中３数学　指導のポイント
6
三角形と四角形
【指導のねらい】
★平行線や多角形の角の計算の仕方を理解する。
★三角形の合同の証明の仕方を理解する。
★二等辺三角形や平行四辺形の性質や証明の仕方を理解する。
◆指導ページ　P.32 ～ 37 ◆　はじめに
〈導入〉
角の計算については，平行線に関す
る問題は比較的簡単なものが多いが，
多角形の内角の和や外角の和を忘れて
いる生徒が多いので，注意して指導し
たい。
二等辺三角形や平行四辺形になるた
めの条件をおさえ，さらに，それらの
図形の性質を理解する。
三角形や平行四辺形を用いた証明で
は，証明の流れを徹底して指導する。
問題量が不足しがちなので，その場合
は 2 年の対応する課に戻って復習する
とよい。
学習内容・補足事項
例題 1　平行線と角　1
▷　右の図で，∠ x の大きさを求めよ。
ただし，ℓ// m とする。
平行線の同位角は等しいので，
ℓ
65°
同位角
65°＋∠ a ＝ 180°
∠ a ＝ 115°
m
よって，∠ x ＝ 115°
例題 2　三角形の角，多角形の角　65°
ℓ
a
x
m
x
2
▷　右の図で，∠ x のの大きさを求めよ。
x
n 角形の内角の和は，180°×（n － 2）であるから，四角形の内角
130°
の和は，180°×（4 － 2）＝ 360°
70°
したがって，130°＋ 70°＋ 67°＋∠ x ＝ 360°
67°
よって，∠ x ＝ 93°
〈要点〉
例題 1
例題 3　三角形の合同　理解 ・平行線の同位角は等しい。
▷　右の図で，OA ＝ OB，OC ＝ OD であるとき，合同な三角形を
・平行線の錯角は等しい。
3
A
記号≡を使って表せ。また，そのときに使った合同条件をいえ。
C
△ AOD と△ BOC において，
例題 2
OA ＝ OB（仮定より）　……①
・三角形の 1 つの外角は，それととな
OD ＝ OC（仮定より）　……②
B
D
O
り合わない 2 つの内角の和に等しい。 ∠ AOD ＝∠ BOC（共通）　……③
・n 角形の内角の和… 180°×（n － 2）
①，②，③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，
・n 角形の外角の和… 360°
△ AOD ≡△ BOC
2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
例題 3
・三角形の合同条件
① 3 組の辺がそれぞれ等しい。
② 2 組の辺とその間の角がそれぞれ
等しい。
③ 1 組の辺とその両端の角がそれぞ
れ等しい。
例題 4
・二等辺三角形の性質
①二等辺三角形の底角は等しい。
②二等辺三角形の頂角の二等分線は，
底辺を垂直に 2 等分する。
例題 5
・平行四辺形の定義… 2 組の対辺がそ
れぞれ平行な四角形
・平行四辺形の性質
① 2 組の対辺はそれぞれ等しい。
② 2 組の対角はそれぞれ等しい。
③対角線はそれぞれの中点で交わる。
例題 4　二等辺三角形　理解 4
A
右の図で，AB ＝ AC であるとき，∠ x の大きさを求めよ。
64°
▷　二等辺三角形の底角は等しいから，
∠ ACB ＝∠ x
x
B
64°＋ 2 ∠ x ＝ 180°
よって，∠ x ＝ 58°
C
C
▷　∠ ABC ＝ 180°－ 110°＝ 70°
二等辺三角形の底角は等しいから，
∠ x ＋ 70°× 2 ＝ 180°
110°
x
B
A
よって，∠ x ＝ 40°
例題 5　平行四辺形　理解 5
A
右の平行四辺形 ABCD で，x，y の値を求めよ。
70°
110°
D
▷　平行四辺形では，2 組の対角はそれぞれ等しいので，
∠ B ＝∠ D より，∠ x ＝ 70°
∠ C ＝∠ A より，∠ y ＝ 110°
y°
x°
B
C
よって，x ＝ 70，y ＝ 110
A
▷　平行四辺形の 2 つの対角線はそれぞれの中点で交わるので，
x ＋ x ＝ 10（cm）より，x ＝ 5（cm）
平行四辺形では，2 組の対辺はそれぞれ等しいから，
AB ＝ DC より，y ＝ 7（cm）
よって，x ＝ 5，y ＝ 7
D
10 cm
7 cm
y cm
x cm
B
C
必修新演習　夏期テキスト　中３数学　指導のポイント
7
資料の活用・確率
【指導のねらい】
★度数分布表やヒストグラム，代表値など，資料を整理し，活用できるようにする。
★樹形図や表を利用して場合の数を数えられるようにする。
★確率の計算の仕方を理解する。
はじめに
〈導入〉
この課では資料の活用や確率を扱う。
年度の最後に学習しているので，問題
量をこなした経験が少なく，記憶に残
りにくい課である。
資料の整理については，扱う用語が
多いので，覚えづらい。用語の確認か
ら指導していくとよい。
確率については，基本的に樹形図や
表を利用して数え上げのみで計算して
いくので，樹形図や表のかき方，数え
学習内容・補足事項
例題 1　度数分布表　1
めたものである。次の問いに答えよ。
②　通学時間が 20 分以上 25 分未満
の階級の相対度数を求めよ。
O
の値
③最 頻 値
（モ ー ド）… 資 料 の 中 で
もっとも多く出てくる値。度数
分布表では，度数のもっとも多
い階級の階級値のこと。
ある日のテレビ視聴時間をまとめたも
のである。次の問いに答えよ。
階級（時間） 階級値（時間） 度数（人） 階級値×度数
以上　未満
値を求めよ。
0～1
1～2
2～3
3～4
4～5
計
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
1
13
7
2
2
25
・場合の数の数え方…樹形図や，表を
利用する。もれなく，重複なく数え
上げることが大切である。
例題 4
A の起こる場合の数
すべての場合の数
0.5
19.5
17.5
7
9
53.5
53.5
＝ 2.14（時間）
25
②　中央値はどの階級に入っているか。
25 人中の中央の値は 13 人目の値なので，中央値は 1 時間以上 2 時間未満の階級に入っ
ている。
③　最頻値を求めよ。
度数のもっとも多い階級の階級値は 1.5 時間。
例題 3　場合の数　3
▷　袋の中に，1 から 5 までの番号のついた玉が，それぞれ 1 個ずつ合計 5 個入っている。こ
の袋の中から同時に 2 個取り出すとき，次の問いに答えよ。
①　取り出し方は，全部で何通りあるか。
5 個の玉を，①，②，③，④，⑤として樹形図をかくと，
例題 3
・A の起こる確率＝
5 10 15 20 25 30（分）
2
（階級値×度数）の総和
平均値＝
より，
度数の合計
大きさの順に並べたときの中央
2
ムに表せ。
例題 2
②中央値
（メジアン）…資料の値を
2
4
8
5
1
20
4
①　右の表から，階級値を用いて平均
資料の値の総和
①平均値…
度数の合計
8
③　この度数分布表を，ヒストグラ
通学時間
6
その階級の度数
・相対度数…
度数の合計
つの値。以下の 3 つがある。
（人）
10
5
＝ 0.25
20
・階級の幅…分けられた区間の幅
・代表値…資料の傾向や特徴を表す 1
5 ～ 10
10 ～ 15
15 ～ 20
20 ～ 25
25 ～ 30
計
10 － 5 ＝ 5（分）
▷　右の度数分布表は，25 人の生徒の
・階級値…階級のまん中の値
以上　未満
①　階級の幅を求めよ。
例題 2　代表値　例題 1
階級（分） 度数（人）
▷　右の度数分布表は，あるクラスの 20 名の通学時間をまと
方を重点的に指導したい。
〈要点〉
◆指導ページ　P.38 ～ 43 ◆　①
以下のように全部で 10 通り。
①
②
③
④
③
②
④
③
④
⑤
①
⑤
④
⑤
⑤
②
③
④
⑤
1
2
3
4
1
2
3
1
2
③
②　取り出した 2 個の玉の数の差が 2 となるときは何通りあるか。
右の表より，2 個の玉の数の差が 2 となるのは，3 通り。
②
④
1
⑤
重なりのないように数え上げる場合は，①―②，②―①などの重なりがないように，樹形
図をかくときに十分に注意する。
例題 4　確率　4
▷　A，B，C 3 種類の硬貨を同時に投げるとき，次の確率を求めよ。
①　すべて表が出る確率　A
B
C
A
表を○，裏を×として樹形図をかく。樹形
1
図より，①のみ。よって，求める確率は，
8
②　2 枚以上裏が出る確率
○
○
×
○…①
×…②
○…③
×…④
B
○
×
×
C
○…⑤
×…⑥
○…⑦
×…⑧
2 枚が裏になるのは，④，⑥，⑦，3 枚が裏になるのは，⑧となるので，求める確率は，
4 1
＝
8 2
必修新演習　夏期テキスト　中３数学　指導のポイント
8
多項式の計算
【指導のねらい】
★多項式の展開の仕方を理解する。
★乗法公式を覚えて使えるようにする。
★おきかえを利用した展開の仕方を理解する。
◆指導ページ　P.44 ～ 49 ◆　はじめに
〈導入〉
この課では公式を使った展開を主に
取り扱う。分配法則の計算が基礎とな
るので，苦手な生徒は 2 年の数×多項
式の計算に戻って復習するとよい。
公式を使わない展開の計算は，公式
を使う計算でも公式を忘れてしまった
ときにとても役に立つので，徹底して
指導する。
乗法公式は，今後の展開の計算に役
学習内容・補足事項
例題 1　多項式と単項式の乗除，式の展開　▷　2a（2b － 3c）　＝ 4ab － 6ac
分配法則
▷　（x ＋ 3）
（y ＋ 5）　＝ xy ＋ 5x ＋ 3y ＋ 15　例題 2　乗法公式①　1
x を y と 5 に，3 を y と 5 にかける
暗記 2
▷　（x － 2）
（x ＋ 5）　乗法公式①
2
＝ x ＋（－ 2 ＋ 5）x ＋（－ 2）× 5　に立ち，覚えて使えるのとそうでない
＝ x2 ＋ 3x － 10
数分解する際には必須といえる。覚え
＝ a2 － 7a ＋ 12
（a － 4）　のとでは計算スピードが段違いなので， ▷　（a － 3）
乗法公式①
2
{
3）＋（－ 4）}a ＋（－ 3）×（－ 4）　必ず覚えさせる必要がある。また，因 ＝ a ＋（－
る際には公式を書かせたり，声に出し
乗法公式①は，以下で学習する乗法公式②，③を使う式でも使うことができる。ただし，
計算するスピードが遅くなるので，②，③が使えない場合に限って使うとよい。
て読ませると良い。
おきかえを利用した展開は，主に扱
うのは高校に入ってからになるが，で
きるのとできないのとでは計算スピー
例題 3　乗法公式②　暗記 3
2
ドも計算量もかなり違ってくるので，
▷　（x ＋ 5）　乗法公式②ⅰ
＝ x2 ＋ 2 × x × 5 ＋ 52　是非とも覚えさせたい。
＝ x2 ＋ 10x ＋ 25
〈要点〉
2
▷　（a － 3b）
乗法公式②ⅱ
2
2
＝ a － 2 × a × 3b ＋（3b）
例題 1
＝ a2 － 6ab ＋ 9b2
・式を展開する…かっこをはずして単
項式の和の形に表すこと
乗法公式②は 2 つあるが，次のように，ⅱの式の b を符号までふくめて（－ b）と考えると，
ⅰの計算になる。このように，符号まで含めて考えれば乗法公式②はⅰの式の 1 つだけに
なる。
（a ＋ b）
（c ＋ d）
＝ ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd
例題 2
・乗法公式①
（x ＋ a）
（x ＋ b）
＝ x2 ＋
（a ＋ b）
x ＋ ab
例題 3
・乗法公式②
2
ⅰ　（a ＋ b）
＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2
2
ⅱ　（a － b）
＝ a2 － 2ab ＋ b2
例題 4
・乗法公式③
（a ＋ b）
（a － b）
＝ a2 － b2
例題 5
・おきかえを利用した展開…多項式を
2
2
（a － b）
＝ {a ＋（－ b）}2 ＝ a2 ＋ 2 × a ×（－ b）＋（－ b）
＝ a2 － 2ab ＋ b2
例題 4　乗法公式③　暗記 4
▷　（x ＋ 4）
（x － 4）　乗法公式③
2
＝ x － 42
＝ x2 － 16
▷　（2a ＋ 3b）
（2a － 3b）　乗法公式③
2
2
＝（2a） －（3b）
＝ 4a2 － 9b2
例題 5　おきかえを利用した展開　理解 5
2
▷　（a ＋ b ＋ 3）　a ＋ b ＝ X とおく
2
＝（X ＋ 3）
＝ X2 ＋ 6X ＋ 9　X を a ＋ b に戻す
2
＝（a ＋ b）
＋ 6（a ＋ b）＋ 9　＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 ＋ 6a ＋ 6b ＋ 9
1 つの文字におきかえて，乗法公式
にあてはめて展開する。その後，お
きかえた文字を多項式に戻す。
例題 6　加法・減法を組み合わせた式の展開　理解 2
▷　（x － 1） ＋（x ＋ 2）
（x ＋ 3）
＝（x2 － 2x ＋ 1）＋（x2 ＋ 5x ＋ 6）
例題 6
＝ x2 － 2x ＋ 1 ＋ x2 ＋ 5x ＋ 6
・乗法公式①〜③を用いて，いろいろ
＝ 2x2 ＋ 3x ＋ 7
な式の展開ができるようにしておく。
6
乗法公式②と①を使って，式を展開する
必修新演習　夏期テキスト　中３数学　指導のポイント
9
因数分解
【指導のねらい】
★素因数分解の仕方を理解する。
★乗法公式を利用した因数分解の仕方を理解する。
★因数分解を利用した証明ができるようにする。
◆指導ページ　P.50 ～ 55 ◆　はじめに
〈導入〉
この課では因数分解を扱う。因数分
解は，前の課で学習した展開の逆計算
であり，計算する上で乗法公式が密接
に関わってくるので，乗法公式を確実
に覚えさせてから本課の授業を進めて
いきたい。
因数分解を利用した証明では，全体
の証明の流れをつかむことが重要であ
る。証明の書き方に不安がある生徒は，
2 年の文字式の利用のところに戻って
証明の復習をするとよい。
学習内容・補足事項
例題 1　共通因数をくくり出す　1
▷　24 を素因数分解し，累乗の指数を使って表せ。　2 24
小さい素数からわってい
24 ＝ 2 × 2 × 2 × 3 ＝ 23 × 3
2 12
き，わられる数が素数に
右のように計算するとよい。
2 6
なるまで続けると，もと
3
の数は左端といちばん下
▷　次の式を因数分解せよ。
の数の積で表される。
①　xy － yz
＝ y × x － y × z　y が共通因数なので，y でくくる
＝ y（x － z）
②　2x2 － 4xy ＋ 6x
＝ 2x × x － 2x × 2y ＋ 2x × 3　2x が共通因数なので，2x でくくる
＝ 2x（x － 2y ＋ 3）
例題 2　乗法公式を利用した因数分解①　〈要点〉
2
2
▷　x － 3x － 10 を因数分解せよ。
例題 1
・素数… 1 より大きい整数で，1 とそ
の数以外に約数をもたない数
・素因数…約数のうち素数である数
・素因数分解する…整数を素因数の積
の形に表すこと
・共通因数でくくり出す。
ma ＋ mb ＝ m（a ＋ b）
例題 2， 例題 3， 例題 4
・乗法公式を利用した因数分解…乗法
公式を利用して，展開の逆操作を行
う。
①' x ＋
（a ＋ b）
x ＋ ab
2
x2 － 3x － 10　積が－ 10，和が－ 3 となるような 2 数は 2 と－ 5
＝ x2 ＋ {2 ＋（－ 5）}x ＋ 2 ×（－ 5）　①'
＝（x ＋ 2）
（x － 5）
例題 3　乗法公式を利用した因数分解②　理解 ▷　x ＋ 6x ＋ 9 を因数分解せよ。
x2 ＋ 6x ＋ 9
＝ x2 ＋ 2 × 3 × x ＋ 32
2
＝（x ＋ 3）
例題 4　乗法公式を利用した因数分解③　理解 x2 － 9
＝ x2 － 32
③'
例題 5　いろいろな式の因数分解　理解 5
③' a2 － b2 ＝（a ＋ b）
（a － b）
▷　次の式を因数分解せよ。
例題 5
①　a（x ＋ y）－ 3（x ＋ y）　x ＋ y ＝ X とおく
＝ aX － 3X
・共通因数がある場合，初めにくくり
出してから，さらに因数分解ができ
れば因数分解す。
ma ＋ mb ＝ m（a ＋ b）
・おきかえを利用した因数分解…多項
式を 1 つの文字におきかえて，乗法
公式にあてはめて因数分解をする。
その後，おきかえた文字を多項式に
戻す。
例題 6
・因数分解や展開を利用してくふうし
て式の計算ができないか考える。
4
▷　x2 － 9 を因数分解せよ。
＝（x ＋ a）
（x ＋ b） ＝（x ＋ 3）
（x － 3）
2
2
2
②' a ＋ 2ab ＋ b ＝（a ＋ b）
2
a2 － 2ab ＋ b2 ＝（a － b）
3
2
＝ X（a － 3）　＝（x ＋ y）
（a － 3）　X を x ＋ y に戻す
②　（a ＋ b）2 ＋ 6（a ＋ b）＋ 8　a ＋ b ＝ X とおく
＝ X2 ＋ 6X ＋ 8
＝（X ＋ 2）
（X ＋ 4）　X を a ＋ b に戻す
＝（a ＋ b ＋ 2）
（a ＋ b ＋ 4）　例題 6　式の計算の利用　理解 2
6
2
▷　19 － 11 を，くふうして計算せよ。
192 － 112
＝（19 ＋ 11）
（ 19 － 11）
a2 － b2 ＝（a ＋ b）
（a － b）を利用
＝ 30 × 8
＝ 240
▷　x ＝ 8，y ＝ 3 のとき，x2 － 2xy ＋ y2 の値を求めよ。
x2 － 2xy ＋ y2
2
＝（x － y）
2
＝（8 － 3）
＝ 52 ＝ 25
必修新演習　夏期テキスト　中３数学　指導のポイント
10
平方根
【指導のねらい】
★平方根の言葉の意味を理解する。
★分母の有理化の仕方を理解する。
★平方根の計算の仕方を理解する。
◆指導ページ　P.56 ～ 61 ◆　はじめに
〈導入〉
この課では平方根を学習する。平方
根は 2 乗の逆であるが，理解のしづら
いところなので，平方根の言葉の意味
を具体例でよく実感させて指導してい
きたい。
根号の変形については，平方根の
様々な計算をする上で必ず必要になっ
学習内容・補足事項
例題 1　平方根　1
▷　次の数の平方根を求めよ。
5
①　4　②　10　③　36
5
正の数の平方根は，正の数と負の数の 2 つある。よって，①± 2　②± 10　③±
6
▷　次の数を根号を使わないで表せ。
2
①　25　②　64　③　（ 5 ）
てくるので，根号の変形が確実にでき ①～③は全て根号の中が 0 より大きい数なので，① 5　② 8　③ 5
るように指導してから先に進むとよい。 2 つの問題を混同して， 25 ＝± 5 と間違えてしまう場合があるので注意する。
分母の有理化は，分母を無理数のな
い形に直す作業であるが，中学の範囲
例題 2　根号の変形　2
では根号を含む場合しか扱わないので，
▷　12 を変形して， の中をできるだけ簡単な数にせよ。
分母に根号がない形を分母の有理化と
根号の中の数を素因数分解して変形する。
しても構わない。
2
平方根の計算については，今までの 12 ＝ 4 × 3 ＝ 2 × 3 ＝ 2 3
四則演算と少しルールが違うように見
えることがあるので，じっくりと指導
する必要がある。
〈要点〉
例題 1
a ＞ 0 のとき
・a の平方根… 2 乗すると a になる数
で， a，－ a の 2 つある。
a，－ a をまとめて，± a と表す。
・平方根の性質
2
（ a ） ＝ a　a2 ＝ a
例題 2
・根号のついた数の変形…根号の中の
数を素因数分解して，2 乗になる数
があれば，根号の外に出すことがで
きる。
2
2
a b ＝ a b ＝ a b（a>0，b>0）
例題 3
・平方根の大小
◦ a，b が正の数で，a ＜ b ならば，
a ＜ b
◦負の数は 0 より小さく，絶対値が
大きいほど小さい。
例題 4
a ＞ 0，b ＞ 0 のとき
a × b ＝ ab
a
a ÷ b ＝ b
例題 5
・分母の有理化…分母に根号がある場
合に分母に根号がない形に変形する
こと。分母と分子に同じ数をかける。
b
b × a
b a
＝　＝
a a × a
a
例題 6
・平方根の計算
m a ± n a ＝（m ± n） a
根号の変形では，25 や 49 といった平方数をよく使うので，平方数を頭に入れておくと，
変形のスピードは速くなる。
例題 3　平方根の大小　3
▷　2， 5 の数の大小を，不等号を使って表せ。
2 ＝ 4 で，4 ＜ 5 だから， 4 ＜ 5　すなわち 2 ＜ 5
例題 4　根号をふくむ式の乗法・除法　4
▷　5 × 2 ＝ 5 × 2 ＝ 10
12 × 3 ＝ 12 × 3 ＝ 36 ＝ 6
例題 5　分母の有理化　5
3 の分母を有理化せよ。
▷　6
分母にある根号のついた数を分母と分子にかける。
3
3 × 6
3 6 6
＝　＝　＝　6 6 × 6
6
2
例題 6　根号をふくむ式の加法・減法　理解 6
▷　3 2 ＋ 4 2
＝（3 ＋ 4） 2 ＝ 7 2
▷　12 － 27
素因数分解して，2 乗になる数を根号の外に出す
＝ 2 3 － 3 3
＝－ 3
例題 7　根号をふくむ式のいろいろな計算　理解 ▷　3（2 ＋ 3 ）
分配法則
7
＝ 3 × 2 ＋ 3 × 3 ＝ 2 3 ＋ 3
▷　（ 2 ＋ 2）
（ 5 − 3）
＝ 2 × 5 ＋ 2 ×（− 3）＋ 2 × 5 ＋ 2 ×（− 3）
＝ 10 − 3 2 ＋ 2 5 − 6
式を展開
必修新演習　夏期テキスト　中３数学　指導のポイント
11
2 次方程式⑴
【指導のねらい】
★平方根を利用した 2 次方程式の解き方を理解する。
★解の公式を覚える。
★因数分解を利用した 2 次方程式の解き方を理解する。
◆指導ページ　P.62 ～ 67 ◆　はじめに
〈導入〉
この課では，2 次方程式を扱う。2
次方程式は 3 年になってから学習した
展開，因数分解，平方根のすべてを利
用して計算することになるので，計算
に不安のある生徒がいる場合は，該当
学習内容・補足事項
例題 1　平方根を利用した解き方　理解 1
2
▷　3x ＝ 24　2 b
x ＝ の形にする
x2 ＝ 8　a
b
x ＝± の形にする
a
x ＝± 8 ▷　x2 ＋ 8x ＋ 6 ＝ 0
x ＝± 2 2
する課に戻って復習してからこの課に
進むとよい。
x2 ＋ 8x ＝－ 6　8 の半分であ
る 4 の 2 乗を
x2 ＋ 8x ＋ 42 ＝－ 6 ＋ 42　両辺に加える
（x ＋ 4）2 ＝ 10
x ＋ 4 ＝± 10
x ＝－ 4 ± 10
2
2 次方程式の解き方は式によってい
くつかパターンがあるので，どの形の
式のときにどういう解き方をするべき
かに注意して指導する必要がある。
解の公式については，高校に入って
からも多用することになるので，公式
を何回も書かせたり，問題量をこなす
などして，必ず身につけておきたい。
〈要点〉
例題 1
・ax2 ＝ b の解き方
b
b
x2 ＝ として，x ＝± a
a
2
・
（x ＋ a）
＝ b の解き方
x ＋ a ＝± b として，a を移項する。
x ＝－ a ± b
▷　（x ＋ 2） ＝ 7　x ＋ a ＝± b
の形にする
x ＋ 2 ＝± 7 x ＝－ 2 ± 7
2
x ＋ px ＋ q ＝ 0 の解き方は慣れないうちは非常に難しいので，慣れるまでたくさんの問
題を演習させるとよい。
例題 2　解の公式　暗記 2
2
▷　2x － 5x ＋ 1 ＝ 0 を解の公式を使って解け。
2x2 － 5x ＋ 1 ＝ 0　解の公式
2
－（－ 5）± （－ 5）
－4×2×1
x＝
2×2
5 ± 25 － 8
x＝
4
5 ± 17
x＝
4
解の公式を使うと，2 次方程式ならば必ず解を求めることができる。しかし，解の公式は
他の 2 次方程式の解き方より時間がかかるので，解の公式でないと解けないもののみに使
用するとよい。
・x2 ＋ px ＋ q ＝ 0 の解き方
x の係数の半分の 2 乗を両辺に加え
2
て，
（x ＋ a） ＝ b の形を導く。
例題 3　因数分解を利用した解き方①　理解 3
次の方程式を解け。
▷　x2 ＋ 6x ＝ 0 左辺を因数分解
x（x ＋ 6）＝ 0　例題 2
・解の公式… ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 の解は， x ＝ 0 または x ＋ 6 ＝ 0
x ＝
－ b ± b2 － 4ac
2a
よって，x ＝ 0，－ 6
▷　（x ＋ 2）
（x － 1）＝ 0
x ＋ 2 ＝ 0 または x － 1 ＝ 0
例題 3， 例題 4
よって，x ＝－ 2，1
・因数分解を利用した解き方は，
（AB ＝ 0 ならば A ＝ 0 または B ＝
0）
であることを利用する。
・分配法則や，①' ，②' ，③' を使って，
因数分解する。
例題 5
・必ず，ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 の形にして，
左辺が因数分解できないかを考える。
因数分解できなければ解の公式を用
いて解く。
例題 4　因数分解を利用した解き方②　理解 4
2
▷　x － 5x － 6 ＝ 0 を解け。
x2 － 5x － 6 ＝ 0
（x － 6）
（x ＋ 1）＝ 0
左辺を因数分解
x － 6 ＝ 0 または x ＋ 1 ＝ 0
よって，x ＝ 6，－ 1
例題 5　いろいろな 2 次方程式　理解 5
▷　x（x ＋ 8）＝－ 7 を解け。
x（x ＋ 8）＝－ 7
x2 ＋ 8x ＋ 7 ＝ 0
（x ＋ 1）
（x ＋ 7）＝ 0
かっこをはずして，− 7 を移項
左辺を因数分解
x ＋ 1 ＝ 0 または x ＋ 7 ＝ 0
よって，x ＝－ 1，－ 7
必修新演習　夏期テキスト　中３数学　指導のポイント
12
2 次方程式⑵
◆指導ページ　P.68 ～ 73 ◆　【指導のねらい】
2
2
★ 2 次方程式 ax ＋ bx ＋ c ＝ 0 の解の 1 つが p であるとは，ap ＋ bp ＋ c ＝ 0 が成り立つことを知る。
★ 2 次方程式を利用してさまざまな文章題を解けるようにする。
はじめに
〈導入〉
前課に続いて，2 次方程式を学習す
る。ここでは，2 次方程式の解の 1 つ
を 2 次方程式に代入すると成り立つこ
とから，未定係数の値を求める問題と，
文章題から，2 次方程式を立式し，そ
の解を求める問題を扱う。2 次方程式
は入試で頻出であるので，さまざまな
問題をこなしておく必要がある。
〈要点〉
例題 1
・2 次方程式の解・もう 1 つの解
2 次方程式の 1 つの解を，その 2 次
学習内容・補足事項
例題 1　２次方程式と解　理解 1
2
▷　2 次方程式 x ＋ ax ＋ 6 ＝ 0 の解の 1 つが 3 であるとき，a の値を求めよ。また，もう 1
つの解を求めよ。
x2 ＋ ax ＋ 6 ＝ 0 に x ＝ 3 を代入して，
9 ＋ 3a ＋ 6 ＝ 0
a ＝－ 5
したがって，与えられた 2 次方程式は，
x2 － 5x ＋ 6 ＝ 0
（x － 2）
（x － 3）＝ 0　x ＝ 2，3
よって，もう 1 つの解は 2
例題 2　数に関する問題　暗記 2
▷　大小 2 つの整数があり，その差は 5 で，積は 14 である。2 つの整数を求めよ。
方程式に代入して，a の値を求める。 小さいほうの整数を x とすると，大きいほうの整数は x ＋ 5 と表される。
次に，a の値を代入して，2 次方程 2 つの整数の積が 14 であるから，
式を解く。
例題 2， 例題 3， 例題 4
・2 次方程式の解の確認
2 次方程式を利用して問題を解くと
き，解が問題に適するか確認する。
たとえば，x が自然数のとき，負の
x（x ＋ 5）＝ 14
x2 ＋ 5x － 14 ＝ 0
（x － 2）
（x ＋ 7）＝ 0
x ＝ 2，－ 7
x ＝ 2 のとき，大きいほうの数は，2 ＋ 5 ＝ 7
x ＝－ 7 のとき，大きいほうの数は，－ 7 ＋ 5 ＝－ 2
これらは問題に適している。
数や分数の解などはあてはまらない。
また，x のおき方は，何通りも考え
られるが，一番計算が楽になるよう
におくとよい。
例題 3　図形に関する問題　理解 3
▷　正方形の厚紙の 4 隅から，1 辺が 3 cm の正方形を切り取り，残
りを折り曲げて，ふたのない直方体の容器を作ったら，容積が
3 cm
3 cm
108 cm3 になった。はじめの正方形の 1 辺の長さを求めよ。
はじめの正方形の厚紙の 1 辺の長さを x cm とすると，直方体
の底面の 1 辺の長さは，x － 6（cm）と表される。
2
3 ×（x － 6）
＝ 108
x2 － 12x ＝ 0
（x－6）
cm
x（x － 12）＝ 0
3 cm
x ＝ 0，12
（x－6）cm
x － 6 ＞ 0 であるから，x ＞ 6
よって，x ＝ 0 は問題に適さず，x ＝ 12 は適している。
例題 4　動点に関する問題　理解 4
▷　AB ＝ 12 cm，BC ＝ 24 cm の長方形 ABCD がある。
点 P は辺 AB 上を毎秒 1 cm の速さで A から B まで
動き，点 Q は辺 BC 上を毎秒 2 cm の速さで B から C
まで動く。P，Q が同時に出発するとき，△ PBQ の
面積が 32 cm2 になるのは，出発してから何秒後か求
めよ。
A
24 cm
D
P
B
12 cm
Q
x 秒後に△ PBQ の面積が 32 cm2 になるとすると，
BP ＝ 12 － （
x cm），BQ ＝ 2x cm だから，
1
× 2x ×（12 － x）＝ 32
2
x（12 － x）＝ 32　x2 － 12x ＋ 32 ＝ 0　（x － 4）
（x － 8）＝ 0
x － 4 ＝ 0 または x － 8 ＝ 0　よって，x ＝ 4，8
ここで，0 ≦ x ≦ 12，0 ≦ 2x ≦ 24 であるから，0 ≦ x ≦ 12
したがって，x ＝ 4，8 はともに問題に適している。よって，4 秒後と 8 秒後
C